ARITMETICA - GEOMETRIA 2

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2 ROBERTO VACCA - BRUNO ARTUSO - CLAUDIA BEZZI ARITMETICA - GEOMETRIA 2 Questo volume eá disponibile anche in versione digitale. Per scaricarla: 1. prendi nota del codice stampato sul bollino, presente in questa pagina solo sulle copie destinate alla vendita; 2. segui le istruzioni sul sito della Casa Editrice

3 ISBN Edizione Direzione Editoriale: Progetti di Editoria s.r.l. Redazione: Domenico Gesmundo, Mario Scalvini Coordinamento edizione digitale: Roberto Rustico Progetto grafico: Ufficio Tecnico Atlas Fotocomposizione, impaginazione e disegni: GIERRE, Bergamo Copertina: Vavassori & Vavassori Illustrazioni: Bruno Dolif Stampa: Grafica Veneta - Trebaseleghe (PD) Con la collaborazione della Redazione e dei Consulenti dell'i.i.e.a. Il presente volume eá conforme alle nuove Indicazioni Nazionali e alle nuove disposizioni ministeriali in merito alle caratteristiche tecniche e tecnologiche dei libri di testo. Si ringraziano le prof.sse Carla Melzani, Barbara Vanzani ed Elisabetta Zampiceni per la collaborazione editoriale. In particolare si ringrazia la prof.ssa Ivana Durante per la realizzazione dei video che accompagnano come "assistente digitale" la spiegazione dei concetti fondamentali dell'intero capitolo. Per eventuali e comunque non volute omissioni o per gli aventi diritto tutelati dalla legge, l'editore dichiara la propria disponibilitaá. Ogni riproduzione del presente volume eá vietata. Le fotocopie per uso personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume/fascicolo di periodico dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall'art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n Le fotocopie effettuate per finalitaá di carattere professionale, economico o commerciale o comunque per uso diverso da quello personale possono essere effettuate a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da CLEARedi, Centro Licenze e Autorizzazioni per le Riproduzioni Editoriali, Corso di Porta Romana 108, Milano, autorizzazioni@clearedi.org e sito web Q 2014 by ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Bergamo - Via Crescenzi, 88 - Tel. (035) Fax (035)

4 PREFAZIONE Un'opera mista e digitale per una nuova didattica della matematica Il corso "Noi matematici" eá un libro misto e digitale che nasce dalla necessitaá di accogliere tutte le esigenze didattiche ed editoriali che il nuovo scenario della Scuola Italiana esige dall'insegnamento della matematica oggi. EÁ un progetto didattico frutto di una pluriennale esperienza nella scuola sia sotto il profilo dell'insegnamento che sotto quello della ricerca e dell'aggiornamento. Le riforme avviate negli ultimi anni valorizzano, ancor piuá che nel passato, la funzione culturale e formativa della matematica, ponendola al centro del curriculum formativo dello studente ed assegnandole ampie finalitaá formative. Oggi e nel futuro prossimo, infatti, la societaá avraá sempre piuá bisogno di cittadini che siano "competenti" dal punto di vista matematico per essere in grado di munirsi degli strumenti per affrontare una societaá molto complessa e in rapido cambiamento, dove l'informazione disponibile ha raggiunto livelli esponenziali. In tale contesto un corso di matematica, secondo le indicazioni ministeriali e le attese generali, deve avere alcune caratteristiche indispensabili: n stimolare la comprensione e l'interesse e per questo deve essere scritto in un linguaggio chiaro, semplice, accattivante e soprattutto comprensibile per uno studente di etaá intorno agli anni n far capire percheâ gli strumenti matematici sono indispensabili nell'affrontare e risolvere problemi n far capire come il linguaggio e i concetti della matematica sono presenti nel mondo che ci circonda per cui eá indispensabile essere in grado di "matematizzare" la realtaá n essere ricco di esempi, dai piuá semplici che servono per imparare ad usare formule o comprendere concetti, a quelli piuá complessi nei quali le formule e i concetti si applicano n proporre un abbondante repertorio di esercizi, opportunamente graduati, non ripetitivi e non banali, che stimolino il ragionamento e la riflessione n mettere in grado lo studente di autovalutare il proprio livello di preparazione, di capire gli errori commessi, in modo da renderlo consapevole delle proprie competenze n utilizzare gli strumenti che la tecnologia informatica mette a disposizione della didattica, ovvero gli strumenti integrativi digitali da usare individualmente o per le lezioni con la Lavagna Interattiva Multimediale. Struttura dell'opera Il corso Noi matematici eá un progetto didattico che favorisce le esigenze legate alla programmazione personale del Docente e tiene conto del problema del tetto di spesa e del peso, secondo le norme vigenti. Per questo si compone di tre volumi uno per ciascun anno di corso. Ogni volume si articola in capitoli e ogni capitolo eá suddiviso in paragrafi. Nella pagina iniziale di ogni capitolo sono espressamente dichiarati i Prerequisiti, indispensabili per affrontare in modo consapevole e con successo i contenuti, e gli Obiettivi che si vogliono conseguire, suddivisi in Conoscenza e AbilitaÁ. Allegati alla collana, tre volumi dal titolo Laboratorio per le competenze, uno per ogni anno, contenenti: n le prove INVALSI somministrate nel corso degli anni e divise per capitolo n una serie di attivitaá di carattere pluridisciplinare sempre organizzate per capitolo e dirette al graduale sviluppo delle Competenze previste dalle Indicazioni Nazionali per il curricolo. La proposta editoriale "Noi matematici" si completa con un'edizione specifica triennale per i Bisogni Educativi Speciali, in particolare per chi soffre di discalculia. Contenuti e impostazione didattica La parte teorica tratta i concetti in modo chiaro ed esaustivo e, per facilitare la comprensione dei contenuti, evidenzia con chiarezza le "Definizioni", le"proprietaá" e le"regole". Ogni capitolo eá corredato da numerosi Esempi svolti ed esercizi, nella rubrica "Verifica se hai capito": inseriti al termine di ogni paragrafo, essi mirano a verifi- PREFAZIONE 3

5 care le conoscenze fondamentali e il Docente puoá proporli agli alunni subito dopo la spiegazione. Ogni capitolo eá inoltre arricchito da un vastissimo repertorio di esercizi e problemi suddivisi in relazione alla scansione dei paragrafi della teoria; gli esercizi sono stati raggruppati in tre livelli di difficoltaá (ben riconoscibili dalla grafica) e comunque graduati nei vari paragrafi. Il presente volume propone numerosissimi esercizi nella versione a stampa; a questi se ne aggiungono moltissimi altri nella versione digitale. All'interno dei paragrafi sono presenti numerosi esercizi, denominati "Laboratorio delle competenze", volti a verificare la capacitaá degli alunni di saper applicare i concetti matematici in ambito scientifico, logico e creativo. Al termine di ogni capitolo eá presente una Verifica sommativa che permette all'alunno di verificare il livello di preparazione raggiunto in vista della prova di verifica proposta dal Docente. Sono inoltre previsti Esercizi di recupero che servono a puntualizzare e chiarire le nozioni minime di base che devono essere possedute da tutti gli alunni, anche quelli che presentano maggiori difficoltaá nell'apprendimento dei contenuti. Ciascun capitolo termina con le rubriche: n Math in English: sono esercizi di matematica in lingua inglese n Gare di matematica: sono esercizi assegnati nelle varie competizioni nazionali e internazionali di matematica; suddivisi in relazione alle scansioni dei contenuti dei testi, sono destinati in particolare agli studenti piuá capaci che vogliono mettersi alla prova con contenuti ed esercizi piuá complessi e con proposte piuá creative n OCSE-PISA: in questa rubrica, presente in quasi tutti i capitoli, sono stati inseriti esercizi proposti nei testi di valutazione elaborati dall'ocse (Organizzazione per la cooperazione e lo sviluppo economico) all'interno del progetto PISA (Programme for International Student Assessment), che intende valutare il livello di competenze matematiche in piuá di 60 Nazioni. Gli esercizi proposti richiedono la capacitaá dello studente di pianificare strategie di soluzione e di applicarle in ambiti matematici piuá complessi e meno familiari. Versione digitale ebook+ per computer, tablet e LIM con contenuti digitali integrativi ed espansioni multimediali Alla luce delle nuove Indicazioni Nazionali e disposizioni ministeriali, "Noi matematici" eá un'opera mista e digitale per computer, tablet e LIM. Nelle varie parti di ogni capitolo eá infatti presente un apposito simbolo che segnala la disponibilitaá sulla versione digitale ebook+ di contenuti digitali integrativi ed espansioni multimediali. In particolare: Video introduttivo: attraverso aneddoti e informazioni tratti dalla realtaá di tutti i giorni, ha lo scopo di trovare un collegamento tra i contenuti del capitolo e l'esperienza personale degli alunni Assistente digitale: ripropone in formato digitale e con l'aiuto di un commento vocale i contenuti del capitolo. EÁ suddiviso in tre sezioni: la prima parte presenta la teoria ripercorrendo i contenuti del capitolo con esempi e utili suggerimenti; la seconda parte eá ricca di esercizi guidati spiegati in maniera dettagliata; la terza parte, denominata Prova tu invita l'alunno a risolvere una serie di esercizi con la possibilitaá di verificare la correttezza del lavoro svolto Guida allo studio: unfile audio guida l'alunno al ripasso delle definizioni, regole e proprietaá di riferimento Perche studiare: eá una rubrica che permette di porre in relazione i contenuti propri del capitolo con il vissuto del ragazzo (motivazione iniziale) Link interno: permette il collegamento fra diverse componenti del volume (ad esempio teoria, esercizi, esercizi-soluzioni) Scheda di approfondimento: amplia i contenuti del capitolo con schede storiche sui principali protagonisti della storia della matematica e su alcuni temi affascinanti e interessanti. Non mancheranno, inoltre, curiositaá e aneddoti, che servono a rendere piuá accattivante l'approccio al sapere matematico Mappa concettuale: la parte di teoria si chiude con la presenza di una scheda di ripasso che riprende i Concetti chiave studiati nel capitolo Informatica: eá una espansione di cui un moderno corso di matematica non puoá fare a meno. I programmi aggiornati GeoGebra e OpenOffice applicati ai capitoli di Geometria e Aritmetica, portano progressivamente gli alunni ad integrare e completare i contenuti del capitolo Ulteriori esercizi: completano la giaá ricca dotazione di esercizi presenti nel testo; anche questi esercizi sono suddivisi per livello di difficoltaá 4 PREFAZIONE

6 Gare di matematica: in questa espansione piuá di 160 esercizi integrano i giaá numerosi esercizi presenti nel volume a stampa e rappresentano un valido strumento per la valorizzazione delle eccellenze Test interattivo di conoscenza: puoá essere utilizzato dallo studente per testare il proprio livello di conoscenze raggiunto Verifica di abilitaá: costituisce un utile strumento per mettere alla prova le proprie abilitaá prima di dover affrontare la prova di verifica del Docente Valutazione del recupero: a conclusione dell'attivitaá di recupero eá presente una scheda di verifica per l'accertamento delle conoscenze e delle abilitaá di base Aiuto alla soluzione: permette di svolgere con piuá facilitaá gli esercizi piuá complessi del recupero. Contenuti digitali integrativi disponibili sul sito della Casa Editrice Alcuni contenuti digitali integrativi della versione ebook+ sono disponibili anche sul sito della Casa Editrice. Essi sono contrassegnati, sul testo cartaceo, con il simbolo Verifiche delle abilitaá Valutazione del recupero Schede di approfondimento.. In particolare si tratta di: Materiali per il Docente Per i Docenti che adottano l'opera sono disponibili: n la guida didattica a stampa e in formato pdf nell'area riservata del sito della Casa Editrice e su chiavetta USB n un DVD con i contenuti digitali integrativi e le espansioni multimediali per le lezioni con la LIM n un eserciziario digitale su chiavetta USB che propone tutti gli esercizi presenti nella guida didattica con la possibilitaá di comporre prove di verifica o compiti da assegnare a casa n le presentazioni in PowerPoint per ogni capitolo sulle principali definizioni, proprietaá e regole. Sono inoltre disponibili i file sorgente dei programmi GeoGebra e OpenOffice a supporto delle espansioni di informatica. Il LABORATORIO DI MATEMATICA PER LO SVILUPPO DELLE COMPETENZE e preparazione alle PROVE INVALSI comprende attivitaá strutturate in funzione dei Traguardi per lo sviluppo delle competenze della disciplina, articolate in proposte di lavoro ed esercizi collegati agli Obiettivi di apprendimento previsti dalle nuove Indicazioni Nazionali. Le schede di lavoro sono suddivise secondo tre macro categorie: l Matematica e scienze l Matematica e realtaá l Matematica creativa Come contributo alla preparazione della Prova Nazionale INVALSI di Matematica, in questo quaderno operativo vengono proposte, per ciascun anno, alcune prove per esercitare le proprie abilitaá e conoscenze in previsione della prova finale. I testi dei Giochi Matematici che compaiono alla fine di ogni capitolo sotto la rubrica "Gare di Matematica" sono stati gentilmente forniti dal Centro Pristem-Eleusi dell'universitaá Bocconi di Milano e si riferiscono alle competizioni matematiche organizzate dallo stesso Centro. PREFAZIONE 5

7 INDICE GENERALE 1. I NUMERI RAZIONALI 1. La frazione come numero razionale assoluto I numeri decimali limitati I numeri decimali periodici L'approssimazione e l'arrotondamento La frazione generatrice di un numero decimale Le espressioni con i numeri decimali 19 Esercizi e problemi 21 Math inenglish 33 Gare di Matematica 34 Verifica sommativa 35 Esercizi di recupero 36 OCSE - PISA RADICE QUADRATA 1. La radice quadrata La radice quadrata esatta La radice quadrata approssimata all'unitaá Le proprietaá della radice quadrata Determinare la radice quadrata mediante le tavole numeriche La radice quadrata di un numero decimale La radice quadrata di una frazione L'algoritmo di estrazione della radice quadrata 48 Esercizi e problemi 53 Math inenglish 70 Gare di Matematica 70 Verifica sommativa 71 Esercizi di recupero 72 n Approfondimenti: l Von Neumann e il problema della mosca 12 n Verifica delle abilitaá n Valutazione del recupero n Approfondimenti: l Il logaritmo 40 l Un algoritmo alternativo per l'estrazione della radice quadrata 48 n Verifica delle abilitaá n Valutazione del recupero 6 INDICE

8 3. RAPPORTI E PROPORZIONI 1. Il concetto di rapporto Il rapporto tra grandezze Rapporto tra grandezze omogenee Rapporto tra grandezze non omogenee Scala di riduzione e scala di ingrandimento Il concetto di proporzione Le proporzioni continue Le proprietaá delle proporzioni La proprietaá fondamentale La proprietaá dell'invertire La proprietaá del permutare La proprietaá del comporre La proprietaá dello scomporre La risoluzione di una proporzione Risoluzione di particolari proporzioni Le proporzioni con piuá termini incogniti Risoluzione di una serie di rapporti 92 Esercizi e problemi 94 Math inenglish 126 Gare di Matematica 126 Verifica sommativa 127 Esercizi di recupero 128 OCSE - PISA LE APPLICAZIONI DELLA PROPORZIONALITA Á 1. Le grandezze proporzionali Le grandezze direttamente proporzionali Le grandezze inversamente proporzionali I problemi del tre semplice I problemi del tre semplice diretto I problemi del tre semplice inverso 137 Approfondimenti I problemi del tre composto I problemi di ripartizione semplice I problemi di ripartizione semplice diretta I problemi di ripartizione semplice inversa 142 Approfondimenti I problemi di ripartizione composta Le percentuali 147 Approfondimenti Gli areogrammi percentuali Elementi di matematica finanziaria 150 Esercizi e problemi 153 Math inenglish 188 Gare di Matematica 189 Verifica sommativa 190 Esercizi di recupero 191 OCSE - PISA 193 n Approfondimenti: l I rapporti matematici e la geografia 78 l Le carte geografiche 79 n Verifica delle abilitaá n Valutazione del recupero n Approfondimenti: l Bevande isotoniche 148 l Il prestito e l'usura 150 n Verifica delle abilitaá n Valutazione del recupero INDICE 7

9 5. LA STATISTICA 1. L'indagine statistica La raccolta dei dati 197 Approfondimenti La scelta del campione L'elaborazione dei dati La sintesi dei dati La media aritmetica La mediana La moda Esempi di indagine statistica Indagine relativa a caratteri qualitativi Indagine relativa a caratteri quantitativi I numeri indice 207 Approfondimenti L'indagine statistica e il questionario 208 Esercizi e problemi 211 Math inenglish 222 Gare di Matematica 222 Verifica sommativa 223 Esercizi di recupero 224 OCSE - PISA 227 n Approfondimenti: l Perche nasce e come si sviluppa la statistica 196 l L'elaborazione dei dati continui 206 n Verifica delle abilitaá n Valutazione del recupero 6. LA CIRCONFERENZA E IL CERCHIO 1. La circonferenza e il cerchio Le parti di una circonferenza Le proprietaá di archi e corde Le parti di un cerchio Le posizioni di una retta rispetto ad una circonferenza Le posizioni di due circonferenze Gli angoli al centro e alla circonferenza Le relazioni tra gli angoli al centro e alla circonferenza 240 Esercizi e problemi 243 Math inenglish 256 Gare di Matematica 256 Verifica sommativa 257 Esercizi di recupero 258 OCSE - PISA 260 n Approfondimenti: l Come nasce la circonferenza 229 l Le condizioni per individuare una circonferenza 229 l L'angolo alla circonferenza e il corrispondente angolo al centro 241 n Verifica delle abilitaá n Valutazione del recupero 8 INDICE

10 7. I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI 1. I poligoni inscritti e circoscritti I poligoni inscritti in una circonferenza I poligoni circoscritti ad una circonferenza I triangoli inscritti e circoscritti I quadrilateri inscritti e circoscritti I poligoni regolari Poligoni regolari particolari La relazione tra il lato e l'apotema nei poligoni regolari 270 Esercizi e problemi 272 Math inenglish 284 Gare di Matematica 284 Verifica sommativa 285 Esercizi di recupero 286 n Approfondimenti: l L'uomo vitruviano 262 n Verifica delle abilitaá n Valutazione del recupero 8. L'AREA DELLE FIGURE PIANE 1. La superficie di una figura geometrica La definizione e la misura di una superficie L'equivalenza delle figure piane Figure equicomposte L'area del rettangolo e del quadrato L'area del rettangolo L'area del quadrato L'area del parallelogrammo L'area del triangolo La formula di Erone L'area del rombo e del deltoide L'area del rombo L'area del deltoide L'area del trapezio L'area di un poligono circoscritto ad una circonferenza L'area di un poligono regolare e i numeri fissi L'area di un poligono irregolare L'area di una figura a contorno curvilineo 310 Esercizi e problemi 312 Math inenglish 352 Gare di Matematica 353 Verifica sommativa 354 Esercizi di recupero 355 OCSE - PISA 357 n Approfondimenti: l Perimetri e aree 289 n Verifica delle abilitaá n Valutazione del recupero INDICE 9

11 9. IL TEOREMA DI PITAGORA 1. Il teorema di Pitagora Il teorema di Pitagora nei poligoni Il teorema di Pitagora e la circonferenza 370 Esercizi e problemi 374 Math inenglish 401 Gare di Matematica 401 Verifica sommativa 402 Esercizi di recupero 403 n Approfondimenti: l Il teorema di Pitagora nella storia 360 l Le terne pitagoriche 361 n Verifica delle abilitaá n Valutazione del recupero 10. LE TRASFORMAZIONI NON ISOMETRICHE 1. L'omotetia Le proprietaá delle figure omotetiche La similitudine I criteri di similitudine nei triangoli I teoremi della similitudine Il teorema della parallela al lato di un triangolo Il teorema delle altezze corrispondenti di due triangoli simili Il teorema dei perimetri di due poligoni simili Il teorema delle aree di due poligoni simili I teoremi di Euclide Il primo teorema di Euclide Il secondo teorema di Euclide 419 Approfondimenti Interpretazione geometrica dei teoremi di Euclide 420 Esercizi e problemi 423 Math inenglish 439 Gare di Matematica 440 Verifica sommativa 441 Esercizi di recupero 442 OCSE - PISA 444 n Approfondimenti: l Altre trasformazioni non isometriche 406 l La topologia 406 l I frattali 409 n Verifica delle abilitaá n Valutazione del recupero Soluzioni Math in English 445 Soluzioni Gare di matematica 446 Soluzioni Verifiche sommative 447 Tavole numeriche 448 Formulario INDICE

12 Capitolo 1 inumeri razionali Prerequisiti Obiettivi Conoscere il sistema di numerazione decimale Conoscere le proprietaá delle quattro operazioni e saper operare con esse Conoscere le potenze e le loro proprietaá Fattorizzare un numero Svolgere calcoli con le frazioni L'orologio atomico eá uno degli strumenti piuá precisi al mondo; permette misurazioni di tempo con una precisione di 9 cifre decimali (nanosecondi). & realtà matematica realtà CONOSCENZE La classificazione dei numeri razionali L'approssimazione e l'arrotondamento di un numero decimale Il significato di frazione generatrice ABILITAÁ Determinare il tipo di numero che si origina da una frazione ordinaria Approssimare o arrotondare un numero decimale Determinare la frazione generatrice di un numero decimale limitato o periodico Calcolare il valore di espressioni con numeri decimali limitati o periodici VIDEO INTRODUTTIVO ASSISTENTE DIGITALE PERCHÉ STUDIARE

13 1 La frazione come numero razionale assoluto APPROFONDIMENTO Von Neumann e il problema della mosca Consideriamo ad esempio le frazioni 8 4, 16 25, 5 e determiniamo i corrispondenti valori numerici calcolando i quozienti fra i numeratori e i rispettivi de- 6 nominatori in modo da ottenere i relativi numeri razionali assoluti: 8 4 ˆ 8 : 4 ˆ ˆ 16 : 25 ˆ 0, ˆ 5 : 6 ˆ 0, ::: l l l Nel primo caso il quoziente ottenuto eá un numero naturale (risultato ovvio percheâ la frazione eá apparente ed avremmo dovuto considerare la frazione generatrice ridotta ai minimi termini cioeá la frazione 2 1 ). Nel secondo caso, svolgendo la divisione, dopo alcuni passaggi abbiamo ottenuto il resto uguale a zero, cioeá abbiamo trovato un quoziente che presenta un numero limitato di cifre decimali. Nel terzo caso il quoziente della divisione non raggiunge mai un risultato esatto e, per quanto prolunghiamo il calcolo, troviamo sempre un resto; il numero decimale che abbiamo ottenuto ha dunque un numero illimitato di cifre decimali. Possiamo percioá distinguere le frazioni in tre categorie a seconda del quoziente ottenuto dalla divisione fra numeratore e denominatore. attenzione Lo scorso anno abbiamo appreso che una frazione daá sempre origine ad un numero razionale assoluto che rappresenta il quoziente tra il numeratore e il denominatore. DEFINIZIONE. Dividendo il numeratore per il denominatore di una frazione si ottiene un numero: l naturale se la frazione eá apparente; l decimale se la frazione non eá apparente; in particolare tale numero puoá essere: ± decimale limitato; ± decimale illimitato. 1.1 I numeri decimali limitati 7 Consideriamo le frazioni 100 e 7 e calcoliamo il quoziente che si ottiene 20 dividendo il numeratore per il denominatore: l ˆ 7 : 100 ˆ 0,07 l 7 ˆ 7 : 20 ˆ 0,35 20 In entrambe le frazioni il quoziente ottenuto eá un numero decimale limitato. Analizziamo piuá in dettaglio le due frazioni: n la prima ha come denominatore una potenza del numero 10 e per questo motivo prende il nome di frazione decimale. In generale, per questa tipologia di frazioni, possiamo dire che: REGOLA. Una frazione decimale daá sempre origine ad un numero decimale limitato. n La seconda frazione ha come denominatore un numero diverso da 10 (o una sua potenza) e viene chiamata frazione ordinaria. 12 CAPITOLO 1 I numeri razionali

14 Se scomponiamo in fattori primi il denominatore della frazione: 20 ˆ ci accorgiamo che contiene esclusivamente i fattori 2 e 5. Possiamo dunque enunciare la seguente: 1.2 I numeri decimali periodici 7 Consideriamo le frazioni 33 e 7 e calcoliamo il quoziente che si ottiene dividendo il numeratore per il 6 denominatore: l REGOLA. Una frazione ordinaria ridotta ai minimi termini daá origine ad un numero decimale limitato se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, presenta esclusivamente i numeri 2 e/o 5 o le loro potenze ˆ 7 : 33 ˆ 0,212121::: l 7 6 ˆ 7 : 6 ˆ 1,16666::: Nelle due frazioni considerate il quoziente ottenuto eá un numero decimale illimitato. Analizziamo piuá in dettaglio i numeri generati dalle due frazioni: n nel primo caso il quoziente presenta, dopo la parte intera, un gruppo di cifre che si ripete periodicamente. Il numero si chiama periodico semplice e il gruppo di cifre che si ripete viene detto periodo periodo 7 33 " ˆ 7 : 33 ˆ 0, ::: n nel secondo caso il quoziente presenta, dopo la parte intera, una cifra che non si ripete e una cifra che si ripete illimitatamente. Il numero si chiama periodico misto, la cifra che non si ripete viene detta antiperiodo, la cifra che si ripete viene detta periodo 7 ˆ 7 : 6 ˆ 1, ::: 6. & antiperiodo periodo In generale possiamo enunciare le seguenti: DEFINIZIONE. Un numero decimale illimitato si dice periodico semplice se subito dopo la virgola troviamo il periodo, cioeá la cifra (o il gruppo di cifre) che si ripete all'infinito. DEFINIZIONE. Un numero decimale illimitato si dice periodico misto se subito dopo la virgola e prima del periodo troviamo una cifra (o piuá cifre) detta antiperiodo che non si ripete. attenzione Ridurre la frazione ai minimi termini eá indispensabile per non commettere errori. Consideriamo, ad esempio, la frazione 85 che semplificata eá equivalente 68 alla frazione 5 4 : : 17 ˆ : 17 ˆ 5 4 Il denominatore di quest'ultima frazione, scomposto in fattori primi, eá 4 ˆ 2 2 ; la frazione genera quindi un numero decimale limitato: 5 4 ˆ 5 : 4 ˆ 1,25. Se effettuiamo la scomposizione in fattori primi del denominatore senza ridurre la frazione ai minimi termini otteniamo: 68 ˆ e potremmo erroneamente ritenere che la frazione non generi un numero decimale limitato. Il linguaggio della Matematica Per segnalare la presenza del periodo si usa mettere un trattino sopra la cifra (o il gruppo di cifre) che si ripete. Negli esempi considerati scriviamo dunque: l 0,212121:::! 0,21 l 1,166666:::! 1,16 Tornando agli esempi iniziali, scomponiamo in fattori primi i denominatori delle due frazioni: 33 ˆ ˆ 2 3 Tra i fattori del denominatore della prima frazione non troviamo neâ il numero 5 neâ il numero 2; tra i fattori del denominatore della seconda frazione troviamo il numero 2 (oltre al fattore 3). CAPITOLO 1 I numeri razionali 13

15 Possiamo generalizzare i risultati con la seguente: REGOLA. Una frazione ordinaria ridotta ai minimi termini daá origine a un: n numero periodico semplice se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene fattori primi diversi da 2 e da 5; n numero periodico misto se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene come fattori primi il 2 e/o il 5 o entrambi insieme ad altri numeri. GUIDA ALLO STUDIO Verifica i se hai capito 1 Delle seguenti affermazioni indica quali sono vere e quali false. Dividendo il numeratore per il denominatore di una frazione: a. decimale non apparente otteniamo sempre un numero decimale illimitato V F b. ordinaria non apparente otteniamo sempre un numero decimale limitato V F c. apparente otteniamo qualche volta un numero naturale V F d. ordinaria apparente otteniamo sempre un numero razionale assoluto. V F 2 Il numero 5, eá un numero: a. naturale; b. decimale periodico; c. decimale illimitato; d. decimale limitato. 3 Trasforma le seguenti frazioni nei corrispondenti numeri razionali assoluti, eseguendo la divisione tra il numeratore e il denominatore e classifica poi il tipo di numero che hai ottenuto: 25 a. ˆ 25 : 10 ˆ ::::::::::! numero b. c. d ˆ 35 : :::::: ˆ ::::::::::! numero ˆ ::::: : ::::: ˆ ::::::::::! numero ˆ ::::: : ::::: ˆ ::::::::::! numero Delle seguenti affermazioni indica quali sono vere e quali false: a. una frazione si dice decimale quando ha per denominatore una potenza di 10 V F b. una frazione si dice decimale quando ha per numeratore una potenza di 10 V F c. una frazione si dice ordinaria quando il denominatore non eá una potenza di 10 V F d. una frazione si dice ordinaria quando il numeratore eá una potenza di 10. V F 5 Sottolinea con la biro rossa le frazioni ordinarie e con la biro blu quelle decimali: ; ; ; ; ; ; ; ; ; Trasforma le seguenti frazioni decimali nei corrispondenti numeri decimali: a ˆ :::::; b ˆ :::::; c ˆ ::::: Nelle seguenti frazioni, giaá ridotte ai minimi termini, identifica quelle che generano numeri decimali limitati e quelle che generano numeri periodici. Classifica quindi i numeri periodici in semplici e misti: 7 40 ; 7 9 ; 3 4 ; 7 25 ; ; 1 5 ; 2 3 ; ; ; 5 6 ; ; CAPITOLO 1 I numeri razionali

16 8 Scrivi i seguenti numeri sottoforma di numeri decimali periodici: a. 1, ˆ...; b. 45, ˆ...; c. 0, ˆ...; d. 14, ˆ...; e. 789, ˆ...; f. 0, ˆ...; g. 1, ˆ...; h. 3, ˆ... 9 Se la scomposizione del denominatore di una frazione ridotta ai minimi termini non ammette fra i suoi fattori neâ il numero 2 neâ il numero 5, allora il numero razionale che si origina dalla divisione fra numeratore e denominatore eá un numero: a. decimale limitato; b. decimale periodico semplice; c. decimale periodico misto; d. naturale. esercizi e problemi a pagina 21 2 L'approssimazione e l'arrotondamento Nella risoluzione di molti problemi puoá capitare di ottenere come risultato numeri decimali finiti con molte cifre decimali o periodici. Quando cioá si verifica eá spesso necessario conoscere l'approssimazione o l'arrotondamento a cui si vuole fermare il numero. Ma qual eá la differenza tra i due procedimenti? Osserva attentamente le due procedure. Approssimazione L'approssimazione eá il procedimento che permette di avvicinarsi ad un valore che non eá raggiungibile in modo esatto. Dipende dal maggiore o minore grado di precisione che si intende raggiungere infatti, piuá si aumentano le cifre decimali, piuá ci si avvicina al valore esatto. Un risultato approssimato, quindi, si avvicina a quello esatto senza coincidervi. Per esempio, se consideriamo la divisione 5 : 3 otteniamo 1,6; le relative approssimazioni sono: 1,6! approssimazione ai decimi; 1,66! approssimazione ai centesimi; 1,666! approssimazione ai millesimi; 1,6666! approssimazione ai decimillesimi... e cosõá via. Arrotondamento L'arrotondamento eá il procedimento che permette di avvicinarsi ad un valore dato, ma con un numero determinato di cifre significative. L'arrotondamento si puoá presentare in due forme diverse: per eccesso o per difetto. L'arrotondamento per difetto porta ad un risultato inferiore rispetto a quello esatto; l'arrotondamento per eccesso porta ad un risultato maggiore rispetto a quello esatto. Normalmente si usa arrotondare per difetto quando la cifra seguente a quella fissata per l'arrotondamento eá minore di 5; per eccesso quando la cifra seguente a quella fissata per l'arrotondamento va da 5 a 9. Il 1ë Gennaio del 2002 ha avuto inizio la circolazione monetaria dell'euro nei 12 paesi che hanno adottato la nuova valuta. In Italia per svolgere la conversione con la Lira si eádeciso di arrotondare tutti gli importi espressi originariamente in migliaia di Lire con due cifre decimali. CAPITOLO 1 I numeri razionali 15

17 CosõÁ, ad esempio, se consideriamo il numero 1,1538: l arrotondiamo all'unitaá! 1 per difetto percheâ la cifra dei decimi (1) eá minore di 5 l arrotondiamo ai decimi! 1,2 per eccesso percheâ la cifra dei centesimi eá 5 l arrotondiamo ai centesimi! 1,15 per difetto percheâ la cifra dei millesimi (3) eá minore di 5 l arrotondiamo ai millesimi! 1,154 per eccesso percheâ la cifra dei decimillesimi (8) eá maggiore di 5. Come abbiamo giaá detto nella nota di pagina precedente, l'arrotondamento eá il procedimento che normalmente viene usato nei calcoli con gli Euro; quando il valore eá composto da piuá di due cifre decimali si arrotonda sempre ai centesimi. Ad esempio: E 5,324 ˆ E 5,32; E 8,567 ˆ E 8,57. GUIDA ALLO STUDIO Verifica i se hai capito 1 Delle seguenti affermazioni indica quali sono vere e quale eá falsa: a. la scelta di arrotondare un numero decimale per eccesso o per difetto eá sempre obbligata V F b. un numero arrotondato per difetto eá sempre minore dello stesso numero arrotondato per eccesso V F c. un numero arrotondato per eccesso ai centesimi si ottiene aumentando di una unitaá la seconda cifra decimale e fermando ad essa il numero. V F 2 Completa le seguenti affermazioni. a. L'approssimazione ai decimi del numero 0,48 eá...; l'arrotondamento ai decimi eá... b. L'approssimazione ai decimi del numero 1,62 eá...; l'arrotondamento ai decimi eá... c. L'approssimazione ai centesimi del numero 0,134 eá...; l'arrotondamento ai centesimi eá... d. L'approssimazione ai centesimi del numero 14,2785 eá...; l'arrotondamento ai centesimi eá... e. L'approssimazione ai millesimi del numero 0,1357 eá...; l'arrotondamento ai millesimi eá... 3 Approssima i seguenti numeri decimali: a. 1,0342 ai millesimi :...; b. 35,5 all'unitaá :...; c. 580,37 ai decimi :...; d. 78,992 ai centesimi :...; e. 0,088 ai centesimi :...; f. 78,9921 ai millesimi :... 4 Calcola i quozienti delle seguenti frazioni con l'arrotondamento indicato: 7 a. 32 ˆ 7 : 32 ˆ 0,21875! ai centesimi :...; b. 1 ˆ 1 : 21 ˆ ::::::::::::! ai decimi :...; 21 c ˆ 17 : 6 ˆ ::::::::::::! ai millesimi :...; d. 18 ˆ ::::::: : ::::::: ˆ ::::::::::! ai millesimi : esercizi e problemi a pagina 25 3 La frazione generatrice di un numero decimale Per trasformare un numero decimale nella sua frazione generatrice eá necessario distinguere il procedimento in relazione al tipo di numero decimale. 16 CAPITOLO 1 I numeri razionali

18 I caso Numeri decimali limitati Trasformiamo il numero decimale 3,45 nella relativa frazione generatrice. Per quanto abbiamo detto a proposito della scrittura polinomiale di un numero, siamo in grado di operare la seguente trasformazione: 1 3,45 ˆ 3 4 0,1 5 0,01 ˆ ˆ ˆ ˆ In base a questa procedura possiamo ricavare la seguente: REGOLA. La frazione generatrice di un numero decimale limitato eá una frazione avente: l per numeratore il numero stesso senza virgola; l per denominatore una potenza di 10 di esponente uguale al numero delle cifre decimali del numero considerato. attenzione La frazione ottenuta deve poi essere ridotta ai minimi termini: ˆ II caso Numeri decimali periodici semplici Per trasformare un numero decimale periodico semplice nella relativa frazione generatrice occorre seguire attentamente un procedimento particolare che per essere compreso necessita di conoscenze molto complesse; ci limitiamo ad enunciare la regola pratica che utilizzeremo nel calcolo. REGOLA. La frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice eá una frazione avente: l per numeratore il numero ottenuto dalla differenza tra tutto il numero, compreso il periodo e senza virgola, e la sua parte intera; l per denominatore tanti nove quante sono le cifre del periodo. Trasformiamo, ad esempio, il numero 64,34 nella relativa frazione generatrice: tutto il numero compreso il periodo e senza virgola parte intera 64,34 ˆ ˆ frazione generatrice numero decimale periodico semplice due 9 (corrispondenti al numero di cifre del periodo) III caso Numeri decimali periodici misti Anche in questo caso diamo solo la regola generale. REGOLA. La frazione generatrice di un numero decimale periodico misto eá una frazione avente: l per numeratore il numero ottenuto dalla differenza tra tutto il numero, compreso il periodo e l'antiperiodo e senza virgola, e il numero formato dalle cifre che precedono il periodo compreso l'antiperiodo e senza virgola; l per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono le cifre dell'antiperiodo. CAPITOLO 1 I numeri razionali 17

19 Trasformiamo, ad esempio, il numero decimale 5,326 nella relativa frazione generatrice: tutto il numero compreso il periodo e l'antiperiodo e senza virgola parte che precede il periodo compreso l'antiperiodo e senza virgola 5,326 ˆ ˆ ˆ frazione generatrice ridotta ai minimi termini numero decimale un 9 (corrispondente due 0 (corrispondenti al numero periodico misto alla cifra del periodo) di cifre dell'antiperiodo) GUIDA ALLO STUDIO Verifica i se hai capito 1 Il numeratore di una frazione generatrice di un numero decimale limitato: a. eá il numero stesso scritto senza virgola; b. si ottiene dalla differenza tra tutto il numero e la sua parte decimale; c. eá 10, 100, a seconda che le cifre decimali siano rispettivamente 1, 2, Il denominatore di una frazione generatrice di un numero decimale limitato eá: a. il numero 10; b. la potenza di 10 di esponente uguale al numero delle cifre decimali del numero considerato; c. la potenza di 10 di esponente uguale alle cifre della parte intera del numero considerato. 3 Il denominatore della frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice eá: a. un numero formato da tanti 9 quante sono le cifre dell'antiperiodo; b. dato dalla differenza tra tutto il numero, compreso il periodo e senza virgola, e la sua parte intera; c. un numero formato da tanti 9 quante sono le cifre del periodo. 4 Il numeratore della frazione generatrice di un numero decimale periodico misto eá: a. la differenza fra tutto il numero, compreso periodo e antiperiodo e senza virgola, e la parte che precede il periodo compreso l'antiperiodo e senza virgola; b. un numero formato da tanti 9 quante sono le cifre dell'antiperiodo e tanti 0 quante sono le cifre del periodo; c. la differenza tra tutto il numero, compreso il periodo e senza antiperiodo, e la parte che precede il periodo. 5 Il denominatore della frazione generatrice di un numero decimale periodico misto eá costituito da: a. tanti 9 quante sono le cifre dell'antiperiodo e tanti 0 quante sono le cifre del periodo; b. tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti 10 quante sono le cifre dell'antiperiodo; c. tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono le cifre dell'antiperiodo. 6 Trasforma i seguenti numeri decimali nelle loro corrispondenti frazioni generatrici: a. 4,72; b. 27,9; c. 3112,04; d. 3,62; e. 14,06; f. 852,356. Nelle seguenti coppie di numeri inserisci il segno di uguale o di diverso (Attenzione:le frazioni non sono ridotte ai minimi termini) a. 5,8 ::::: 10 ; b. 389,45 ::::: ; c. 0,004 ::::: a. 23,6 ::::: 9 a. 2,83 ::::: ; b. 1,72 ::::: ; c. 0,90 ::::: ; b. 1,53 ::::: ; c. 1,56 ::::: esercizi e problemi a pagina CAPITOLO 1 I numeri razionali

20 4 Le espressioni con i numeri decimali Lo scorso anno abbiamo risolto espressioni contenenti numeri decimali limitati semplicemente rispettando le stesse regole utilizzate nel calcolo con i numeri naturali. In alternativa, eá anche possibile trasformare tutti i numeri decimali nelle corrispondenti frazioni generatrici, secondo le modalitaá studiate nel paragrafo precedente, ed eseguire il calcolo dell'espressione con le relative frazioni. La risoluzione di espressioni contenenti sia numeri decimali limitati, sia numeri decimali periodici semplici e periodici misti prevede sempre, come prima operazione, la trasformazione di tutti i numeri decimali nelle corrispondenti frazioni generatrici. Osserva attentamente i seguenti due esempi. GUIDA ALLO STUDIO 1. 2,5 0,25 : 5,5 2,25 0,75. I metodo Effettuiamo il calcolo con i numeri decimali limitati secondo le regole note: 2,75 : 5,5 2,25 0,75 ˆ 0,5 2,25 0,75 ˆ 2 II metodo Trasformiamo tutti i numeri decimali nelle relative frazioni generatrici e svolgiamo i calcoli: : ˆ : ˆ 11 4 : ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 8 2 ˆ ,6 2 0,5 : 1,25 1 0,16 0,2 : 0,125 : 5 0,2. Vista la presenza di numeri periodici dobbiamo trasformare tutti i numeri decimali nelle relative frazioni generatrici: : : 125 : 5 2 ˆ ˆ : : 1 : 5 1 ˆ 8 5 ˆ : : 1 8 : 26 5 ˆ : 26 5 ˆ ˆ : ˆ : 26 5 ˆ ˆ ˆ 0,6. CAPITOLO 1 I numeri razionali 19

21 Verifica i se hai capito 1 Calcola il valore delle seguenti espressioni con i numeri decimali. 2 2: a. 0,25 1,4 : 0,8 0,5 10,2 : 2,4 0,2 0,1 2 1,34 Trasformiamo tutti i numeri decimali nelle corrispondenti frazioni generatrici: ( " 25 ˆ : : # ) ˆ semplificando le frazioni otteniamo la seguente espressione che dovrai completare sul quaderno: ( " 1 ˆ : : # ) ˆ :::::::::: ˆ h i b. 1,5 0,25 1,75 0,6 0,83 0,6 0,5 0,13 : 0,43. Trasformiamo tutti i numeri decimali limitati, periodici semplici e misti nelle corrispondenti frazioni generatrici: " 15 ˆ # 13 1 : 43 4 ˆ semplificando le frazioni otteniamo la seguente espressione che dovrai completare sul quaderno: 3 ˆ ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: : ::::: ˆ ::::: ˆ 2. 6 esercizi e problemi a pagina 29 MAPPA CONCETTUALE 20 CAPITOLO 1 I numeri razionali

22 ESERCIZI E PROBLEMI 1 La frazione come numero razionale assoluto teoria a pagina 12 Dopo aver eseguito la divisione tra numeratore e denominatore, stabilisci a quale tipo di numero decimale danno origine le seguenti frazioni. ULTERIORI ESERCIZI 1 a. b. c ˆ 18 : 9 ˆ 2! numero ˆ 13 : 40 ˆ 0,325! numero ˆ 19 : 100 ˆ :::::::::! numero a. 3 a. 4 a. 5 a. 6 a. 7 a. 8 a. 9 a. 1 3 ; b. 7 6 ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d. 5 6 ; e ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d. 5 9 ; e ; b ; c ; d ; e Trasforma le seguenti frazioni in numeri decimali e poi disponi i numeri ottenuti in ordine decrescente: 8 5 ; 7 3 ; ; 7 8 ; ; ; Dopo aver ridotto ai minimi termini le seguenti frazioni, trasformale nei corrispondenti numeri decimali e poi disponi i numeri ottenuti in ordine decrescente: 6 9 ; ; ; ; ; ; Individua quali fra le seguenti frazioni sono decimali e quali ordinarie. 12 a. b. 37 : 28 frazione ordinaria (il denominatore eá un numero diverso da una potenza di 10) 19 : 1000 frazione... (il denominatore eá una potenza di...) CAPITOLO 1 I numeri razionali 21

23 13 a. 14 a. 15 a. 16 a. 17 a. c. d. 5 : frazione... (il denominatore eá un numero diverso da una potenza di...) 4 23 : frazione... (il denominatore eá una potenza di...) ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e Trasforma le seguenti frazioni decimali nei corrispondenti numeri decimali. 18 a ; b ; c a. 20 a. 21 a. 22 a. 23 a. 67 a. 10 ˆ 6,7 b ˆ :::::::::: c ˆ ::::::::: # " # " # " uno una cifra due due cifre tre tre cifre zero! decimale zeri! decimali zeri! decimali ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e a. 25 a. 26 a. 27 a. 28 a. Fra le seguenti frazioni identifica quelle decimali e ricava il numero decimale limitato corrispondente ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e CAPITOLO 1 I numeri razionali

24 Classifica i seguenti numeri decimali, indicando le parti che li compongono. 29 a. 5,26! decimale limitato: 5 ˆ parte intera; 26 ˆ parte decimale; b. 3,46! decimale periodico...: 3 ˆ...; 46 ˆ...; c. 56,867! decimale periodico...: 56 ˆ...; 8 ˆ...; 67 ˆ a. 78,87; b. 0,435; c. 12,78; d. 1,0864; e. 0, a. 0,023; b. 56,007; c. 0,803; d. 34,68; e. 1, a. 7,95; b. 5,03; c. 31,3153; d. 0,003; e. 13, a. 6,13; b. 0,0019; c. 6,893; d. 12,534; e. 161, Stabilisci se i seguenti numeri sono decimali periodici semplici o periodici misti; indica quindi la parte intera, la parte decimale, il periodo e l'antiperiodo: a. 5,8; b. 0,05; c. 7,765; d. 6,01; e. 25,01; f. 0,32101; g. 19,39; h. 15, Completa la seguente tabella: Numero decimale Limitato Periodico semplice Periodico misto Parte intera Parte decimale Antiperiodo 2,35 x ,45 7,2 12,034 0, ,7 36 Inserisci il segno di uguale o diverso tra le seguenti coppie di numeri: a. 5,467 ::::: 5, :::; b. 34,5 ::::: 34,555555:::; c. 0,754 ::::: 0, :::; d. 16,21 ::::: 16,212121::::; e. 321,7623 ::::: 321, :::; f. 1,905 ::::: 1, :::; g. 901,4472 ::::: 901, :::; h. 14,3157 ::::: 14, ::: 37 Inserisci il segno di maggiore, minore o uguale fra le seguenti coppie di numeri: a. 7,5 ::::: 7,5; b. 7,47 ::::: 7,315; c. 10,41 ::::: 10,5; d. 13,105 ::::: 13,1; e. 14,73 ::::: 14,7; f. 121,4 ::::: 121, Disponi in ordine crescente i seguenti numeri decimali limitati: 15,89; 15,09; 15,98; 15,9; 15,01; 15,8; 14, Disponi in ordine decrescente i seguenti numeri decimali periodici semplici: 8,601; 8,6; 8,61; 8,611; 8,161; 8,061; 8, Disponi in ordine crescente i seguenti numeri decimali periodici misti: 0,093; 0,094; 0,904; 0,004; 0,490; 0,409; 0, Disponi i seguenti numeri decimali in ordine crescente: 6,01; 5,95; 5,95; 5,9; 5,9; 5,91; 5,5. Periodo CAPITOLO 1 I numeri razionali 23

25 Senza eseguire la divisione tra il numeratore e il denominatore stabilisci quale tipo di numero decimale si origina dalle seguenti frazioni ! La frazione eá giaá ridotta ai minimi termini; scomponiamo dunque il... in fattori ˆ ::::: 5 2 :::::: Il denominatore scomposto in... primi contiene i fattori... pertanto: 131! numero... infatti 131 : 300 ˆ ::::::::: a. 44 a. 45 a. 46 a. 47 a. 48 a. 49 a. 50 a. 51 a. 3 5 ; b. 4 3 ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e Completa la seguente tabella: Frazione Frazione semplificata Scomposizione del denominatore Numero decimale limitato Numero decimale periodico semplice Numero decimale periodico misto x 24 CAPITOLO 1 I numeri razionali

26 matematica &realtà 53 matematica GITA A ROMA Laboratorio per le competenze Il costo complessivo della gita a Roma per la classe II A formata da 21 alunni eá di E Senza svolgere la divisione sapresti dire se la cifra per alunno saraá cifra tonda o meno? Se no, quale tipo di numero decimale ti aspetti? Giustifica le tue risposte. Qual eá il numero massimo di alunni della classe che dovrebbe partecipare percheâ la somma per alunno sia una cifra tonda? Senza eseguire la divisione tra il numeratore e il denominatore stabilisci quale tipo di numero decimale si origina dalle seguenti frazioni. Verifica quindi il risultato ottenuto svolgendo la divisione. 54 a ; b ; c ; d. 5. 0,625; 6,3; 24,16; 0, a ; b ; c. 1 9 ; d ,6; 0,675; 0,1; 0, a ; b ; c ; d ,90; 1,048; 0,55; 0, a ; b ; c ; d ,296; 0,972; 0,75; 0, Nei seguenti gruppi di frazioni identifica quelle ordinarie e da esse ricava il numero razionale assoluto corrispondente, solo nel caso in cui esso sia un numero decimale limitato. 58 a ; b ; c ; d ; e a ; b ; c ; d ; e Nei seguenti gruppi di frazioni identifica quelle che generano numeri decimali periodici semplici e quindi ricavali eseguendo la divisione tra numeratore e denominatore. 60 a. 8 9 ; b ; c ; d ; e a ; b ; c. 1 3 ; d ; e Nei seguenti gruppi di frazioni identifica quelle che generano numeri decimali periodici misti e quindi ricavali eseguendo la divisione tra numeratore e denominatore. 62 a ; b ; c ; d ; e a ; b ; c ; d ; e L'approssimazione e l'arrotondamento teoria a pagina Calcola il quoziente approssimato ai centesimi delle seguenti frazioni: a ; b ; c ; d ULTERIORI ESERCIZI 65 Calcola il quoziente approssimato ai decimi delle seguenti frazioni: a ; b ; c ; d CAPITOLO 1 I numeri razionali 25

27 66 Calcola il quoziente, arrotondato ai decimi, delle seguenti frazioni: a. 67 Calcola il quoziente, arrotondato ai centesimi, delle seguenti frazioni: a. 68 Calcola il quoziente, arrotondato ai millesimi, delle seguenti frazioni: a. 69 Calcola il quoziente, arrotondato ai decimillesimi, delle seguenti frazioni: a. 70 Calcola il quoziente, arrotondato ai decimillesimi, delle seguenti frazioni: ; ; ; ; ; matematica &realtà 71 matematica LA TORTA NUZIALE ; b ; c ; b ; c ; b. 3 7 ; c ; b ; c Laboratorio per le competenze Al matrimonio di Anna e Luigi sono invitate 200 persone; solo 150 peroá esprimono l'intenzione di mangiare la torta, che viene suddivisa in 150 fette tutte uguali. Dopo aver scritto il numero decimale che rappresenta una fetta di torta, stabilisci se coincidono l'arrotondamento e l'approssimazione ai millesimi. Dopo aver indicato il tipo di numero decimale che si origina dalle seguenti frazioni, approssima il quoziente. 72 a. 73 a ai decimi; b. ai centesimi; b ai decimi; c. ai decimillesimi; c ai centesimi. ai centesimi. Dopo aver indicato il tipo di numero decimale che si origina dalle seguenti frazioni, arrotonda il quoziente. 74 a. 75 a ai decimi; b. ai millesimi; b ai decimi; c. ai decimillesimi; c ai centesimi. ai millesimi. 3 La frazione generatrice di un numero decimale teoria a pagina 16 Trasforma i seguenti numeri decimali limitati nelle corrispondenti frazioni generatrici riducendo, quando eá possibile, ai minimi termini le frazioni ottenute. ULTERIORI ESERCIZI 76 tutto il numero senza la virgola a. 45,65! 45,65 ˆ ˆ due cifre potenza di 10 decimali di esponente 2 frazione generatrice ˆ frazione generatrice ridotta ai minimi termini. b. 2,2167! 2,2167 ˆ :::::::::: 10 4 ˆ :::::::::: frazione generatrice. 26 CAPITOLO 1 I numeri razionali

28 77 a. 65,32; b. 1,56; c. 0, a. 0,0031; b. 1,653; c ,2. 79 a. 0,4326; b. 0,0001; c. 313, a. 1,25; b. 0,95; c. 1, a. 11,16; b. 0,66; c. 44, a. 0,2375; b. 0,055; c. 2, a. 455,16; b. 32,32; c. 8, a. 0,00008; b. 0,053125; c. 2, ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Trasforma i seguenti numeri decimali periodici semplici nelle corrispondenti frazioni generatrici riducendo, quando eá possibile, ai minimi termini le frazioni ottenute. 85 tutto il numero compreso il periodo e senza virgola parte intera a. 345,8 ˆ ˆ frazione generatrice. tanti 9 quante sono le cifre del periodo b. 0,465 ˆ 465 ::::: ::::: ˆ ::::: ::::: ˆ frazione generatrice ridotta ai minimi termini. 86 a. 5,6; b. 2,27; c. 16,6. 87 a. 7,27; b. 2,63; c. 1, a. 2,6; b. 1,72; c. 11,6. 89 a. 9,18; b. 0,21; c. 0, a. 3,370; b. 2,51; c. 0, a. 15,19; b. 1,351; c. 0, a. 3,615384; b. 0,925; c. 0, a. 72,346; b. 0,20430; c. 5, a. 1,857142; b. 1,923076; c. 11, ; ; ; ; ; ; ; 7 33 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; CAPITOLO 1 I numeri razionali 27

29 Trasforma i seguenti numeri decimali periodici misti nelle corrispondenti frazioni generatrici riducendo, quando eá possibile, ai minimi termini le frazioni ottenute. 95 tutto il numero compreso il periodo e l'antiperiodo e senza virgola parte che precede il periodo compreso l'antiperiodo e senza virgola a. 3,57 ˆ ˆ ˆ frazione generatrice ridotta ai minimi termini. tanti 9 tanti 0 quante sono le quante sono le cifre del periodo cifre dell'antiperiodo b. 0,309 ˆ ::::: 3 ::::: ˆ ::::: ::::: ˆ frazione generatrice ridotta ai minimi termini. 96 a. 3,83; b. 0,46; c. 0, a. 1,436; b. 1,93; c. 0, a. 0,16; b. 0,03; c. 1, a. 2,16; b. 1,27; c. 0, a. 0,2407; b. 3,4583; c. 1, a. 1,583; b. 0,2083; c. 23, a. 7,8457; b. 12,07079; c. 0, matematica &scienze 103 matematica LA DENSITAÁ DEI CORPI 23 6 ; 7 15 ; ; ; ; 1 30 ; ; ; ; ; ; 5 24 ; ; ; Laboratorio per le competenze Volumi uguali di sostanze diverse hanno masse diverse, percheâ ogni sostanza ha una propria densitaá caratteristica che ne rappresenta la massa contenuta in un'unitaá di volume. DensitaÁ ˆ Massa : Volume Di seguito sono riportate le densitaá dell'acqua in base alle diverse forme fisiche (a 4 C la densitaá dell'acqua distillata eá 1). Prova a trasformare le densitaá assegnate nelle corrispondenti frazioni generatrici. Materiale DensitaÁ (g/cm 3 ) DensitaÁ in frazione (g/cm 3 ) Acqua a 0 C 0,9998 Vapore acqueo 0,6235 Ghiaccio a 0 C 0, CAPITOLO 1 I numeri razionali

30 Trasforma i seguenti numeri decimali nelle corrispondenti frazioni generatrici ridotte ai minimi termini. 104 a. 3,5; b. 1,7; c. 0,19; d. 0, ; 16 9 ; 1 5 ; a. 1,6; b. 1,51; c. 1,66; d. 0, ; ; ; a. 1,25; b. 7,09; c. 0,516; d. 0, ; ; ; a. 3,45; b. 1,16; c. 1,125; d. 3, ; 7 6 ; 9 8 ; a. 6,5; b. 5,4; c. 3,02; d. 1, ; 49 9 ; ; a. 0,31; b. 2,3; c. 0,416; d. 16, ; 7 3 ; 5 12 ; a. 12,09; b. 0,031; c. 4,8; d. 3, ; ; 44 9 ; a. 15,85; b. 0,005; c. 1,37; d. 2, ; ; ; a. 0,35; b. 0,018; c. 0,03; d. 0, ; 1 55 ; 1 33 ; Le espressioni con i numeri decimali teoria a pagina 19 Calcola il valore delle seguenti espressioni contenenti solo numeri decimali limitati. ULTERIORI ESERCIZI 113 0,75 0,5 0,375 0,5 : 1,25 0,25 2,05. Trasformiamo tutti i numeri decimali nelle corrispondenti frazioni generatrici e svolgiamo i calcoli: : ˆ ˆ ::::: ::::: 1 2 : ::::: ::::: ˆ ˆ ::::: ::::: ˆ ˆ ::::: ::::: ˆ ˆ 3 4 ::::: 41 ::::: 80 ˆ ˆ 60 ::::: ˆ ˆ 5 8 ˆ 0, ,5 2,4 3,7 3 4,1. 8,1Š 115 0,8 1,1 2,4 5,6 2,1. [16,06] 116 1,2 1,5 : 0,4 1,2 0,25 0,03. [3,52] 117 0,04 0,01 : 0,1 2,1 0,03 1,28 : 0,8. [1,82] 118 5,6 0,02 : 0,04 4,9 1,25 2 0,3 1,4 : 0,2. [9,4] CAPITOLO 1 I numeri razionali 29

31 119 8,2 1,4 2,2 : 0,3 1,4 0,9 0,1. [28,51] 120 1,3 0,6 1,2 3,2 1,6 0,2 2,6. [0] 121 4,8 1,5 3,8 2,4 : 1,02 1,88 0,5. [1] 122 4,5 0,1 2,52 0,04Š 0,41. [0,4932] 123 6,8 5,24 3,2 8,4 : 0,2Š26,84. [24] 124 1,04 0,6 0,3 0,01 : 0,2Š 0,1 1,11. [1,28] 125 3,2 5,1 0,02 3,1 1,9Š : 0,8 10,6725. [1,2] 126 1,2 1,5 0,8 0,01 0,18 1,2 Š : 0,2712. [2] 127 4,2 0,5 : 0,7 5,4 0,2 : 1,2 0,1 3. [2] 128 1,2 0,5 3,6 : 1,2 2 0,06 : 0,3 3. [40] ,56 : 7,1 0,12 3,2 0,0128 : 3,2 0,6Š 2,44 0,5 0,4 1,26 : 2,1. [6] ,1 2,3 1,25 0,2 1,75 : 2,5 0,05Š 3,2 0,15 0,9 3. [4,97] 131 5,1 3,2 0,6 1,02Š 1,5 2,5 0,5 2 : 1,42 1,08. [10,2] 132 f3,2 5,1 0,02 3,1 1,9Š : 0,8 10,6725g 1,3 2,4 1,28. [3,04] 133 4,5 1,5 0,05 : 0,25 0,2Š 1,6 0,4 0,2 0,2 : 0,2 1,4 0,8 1,45 0,15. [22,85] ,6 0,87 13,59 0,02 1,2 1,136 2,3728 1,4272 2,8 0,1 : 0,01 9,42. [5,14] 0,2 1,9 5,6 3,4 1,02 1,12 1 2,4 1,06 3,1694 2,4. [0] 2,06 1,05 1,363 0,13 0,5 0,002 : 0,0157 1,4 3,8 2,32 : 0,75 0,2 1,4 0,8 1,05 0,75 0,26. [43] Calcola il valore delle seguenti espressioni contenenti numeri decimali limitati e periodici ,16 0,13 0,8 : 6,25 0,3 0,4. Trasformiamo tutti i numeri decimali nelle corrispondenti frazioni generatrici e svolgiamo i calcoli : ˆ ˆ : ˆ ˆ 5 6 : ˆ ˆ ,6 0,5 0,75 0,6. [0,25] 139 1,5 2,3 2,2 0,2 5,3. 0, ,25 : 0,7 0,1 2,6 0,6 0,75 0,2. 9, ,375 : 0,5625 0,5 0,75 3,3 0,16. 3,5Š 142 0,3 1,25 0,6 2,25 1 : 0,4 0,083. 2,5Š 143 3,3 0,1 0,83 0,375 1,7 : 1,3 1 1,5. 3,61 30 CAPITOLO 1 I numeri razionali

32 144 2,3 0,25 1,5 1,6 0,16 5,5 1,5 0,125. 2, ,5 0,25 0,27 0,583 0,5 1,3 4,5 4,09. 3Š 146 0,5 1,25 0,3 0,083 0, ,5Š 147 0,416 0,083 0,15 0,025 0, , Š 148 3,5 1,6 0,25 3 0,3 2,16 : 0,6. 3, ,375 1,75 : 4,6 0,8 0,6 0,3 0,06 0,16. [1,175] 150 0,3 0,4 0,75 0,8 0,875 0,6 : 0,4 1,2 : 5,875. 0, ,4 0,5 0,6 0,75 : 1 0,6 0,25 0,16 3,3. 3, ,26 0,28 0,2 6,5625 0,4. 1,875Š 153 0,83 0,81 0,060 : 6,36 0,2 : 3,7. 0,125Š 154 0,5 0,75 0,6 0,625 0,7 0, , ,5 : 3 2 0,16 0, ,25 3 0,3 1,6 1 : ,1 0,25 6 0,5 : ,75 0,5 : 1 1,25 0,5 : 0,45 : 1,6. 0, ,111 0,25 6 0,5 1,1 0,25 : 0,83. [0] ,24 0,5 3,75 1,36 1,5 1,590. 0, ,1 0,054 : 0,36 0,6 0,5 0,6 1,09. [1,2] 162 1,5 0,25 1,6 0,5 0,6 3,3 1,6 1 0,16 0,125 : 0,5. 3, ,6 0,5 0,75 0,16 0,083 4,5 3,3 0,83 0,25. 17, ,3 1 0,2 1 0,1 0,5 1 0,75 : 0,6 0,56 : 2 : 3,4 0,6 2: 2,25Š ,6 0,2 0,6 2 2,3 1 0,5 0,6 1 0,5 : 0,083. 8,4Š 166 0,16 : 0, : 0,8 0,6 1,8 : 1,3 1, , ,25 : 1 0,125 0,75 0, ,2 0,3. [4] ,6 2 4 : 1 0,16 0,63 : 0, [3] ,5 0,2 : , : 1,25 0,4 0,5 : 0,5. 25 [7] 170 0,46 0,3 1,2 3,75 2,5 0,2 2,6 2. 2, ,5 1,125 1,3 0,4 0,6 : 0,28 0, Š 172 1,6 0,3 2,25 0, ,3 0, , Š 173 1,16 0,6 0,25 0,25 0,3 0,5 10,8 : 0,6 1,25 0, CAPITOLO 1 I numeri razionali 31

33 174 0,125 1,5 0,6 0,25 0,2 : 0,2 0,7 0,6 0,5 0,7. 2,015Š 175 1,5 0,25 0,5 1,3 0,5 : 0,83 0,75 0,5 : 1,083. 2, ,6 1,6 : 3,75 : 1,6 0,083 0,75 : 1,6 0,083 0,75 : 0,16 0,6. 1, ,75 0,8 0,6 0,83 : 12,5 2,4 0,6 0,25 0,8 0,3 : 1,2 1 : 0,16 0,25. 2,5Š 178 n o 1,5 1 0,2 0, ,6 : 0,8 0,3 0,8 35,7. 24, ,83 1,5 0,20 0,6 0,1 0,46 0,8 0, ,8. 0, ,5 0,5 : 0,4 0, ,3 0,25 : 0,25 1,4 : 0,5 0,2. 3, ,3 0,6 1, ,5 0,6 0,2 3,6 0,6 0,5 0,2. 3, ,2 1,7 0,26 0,81 : 44,8. 0,15 0,2 0,08 : 6,71 1,25Š ,4 0,5 0,25 1,1 1,3. 0,962 1,2 0,6 0,83 : 0,03 1,5 : 29,5 0,6 0,16 : 2,5 0,16 0,75 : 0,55 1,25 3,5 0,625 : 5,5Š 0,25. 1,189 21,3 1,6 1,16 2,25 : 1,5 0,125. [4] 0,83 0,13 0,6 0,4 0,5 0,1 3,75 0,2 0,5 0,083 1,3 0,36 0,15 f 2,4 0,25 0,95 0,3 : 0,5Š 2 : 1,3 1,3. [0,1065] ,6 : 0, ,3 4 1, ,083 0,16 : 33 : 2,3 9 h i 3,3 0,83 0,9 : 3,5 2 0, ,4 h i. 2Š 0,875 0,416 0,25 : 1,5 0,625 0,3 0,06 0,3 0,6 0,5 0,3 0,06 3,3 0,8 1,2. 0,24Š 2,6 0,5 1,25 1 0,625 0,16 2,4 : 0,3 0,25 0,6 3,75 0,083 0, ,6. 0,006 0,3 1,6 0,86 0,5 3,3 0, , : 1 0,16 1,75 1,5 : 0,25 0,25Š ,5 0,5 0, ,3 6 0,916 : 0, , CAPITOLO 1 I numeri razionali

34 ,3 0,8 0,16 1,5 1,25 0, ,281 2,5 0,16 : 1 0,75 0,4 1 2, ,13 0,5 0,002 : 0,157 21,6 0,87 13,59 1,4 3,8 2,32 : 0,75 2,3728 1,4272 2,8 : 8,14Š 1 0,25 0,4 0,5 3 2,75 7 1,25 0,5 0, ,2Š 14 1, ,6 : 9 h i 2,3 0, ,5 0,16 1,375 1,25 0,3 : 0,416 0,54 n o : 3,6Š 1,125 1,75 0,5 0,16 0,3 : 0,3 0,25 1,6 : 9, ,875 0,4 0,75 Š 1,75 0,2 0,8 0,375. 0,4 0,83 0,3 : 1 0,8 : 0,5 0,6 0,75 n o 4,5 2,25 0,375 Š : 1 0,6 0,25 0,16 0,5 0,3 h i : 1 1 0,6 0,25 0,16 1 0, ,3 5 3, ,5 0, ,15 0,4 0,25 Š. [0] 0,6 0,25 0, ,5 1,5 : 0,16 7 0,75 5 0,3 1, Š 8 0,416 0,36 0,53 1, ,375 0,83 0,5 1,5 0,25 1,75 : 0, ,75 1,6 1,4. 2,7916 1,6 2,5 0,75 0,05 0,83 : 0,416 0,1 : 0,2 5 1 Solve the following problems. Show your answers by correctly placing a dot on the number line below each problem. a. Place a dot on the number line below to show the location of the decimal equivalent of six-tenths. b. Place a dot on the number line below to show the location of the decimal halfway between four-tenths and five-tenths. c. Place a dot on the number line below that shows rounded to the nearest tenth. CAPITOLO 1 I numeri razionali 33

35 385 d. Place a dot on the number line below to show the decimal equivalent of rounded to the nearest hundredth e. Place a dot on the number line below that shows the decimal equivalent of 1 1 rounded to the nearest tenth. 4 (Tip: the expression means ˆ 5 4 ) 2 Mary is solving a problem using a calculator. The calculator display reads 0,375, but she needs to write the answer in the form of a fraction. Change 0,375 into a fraction. 3 Change these fractions into decimals: a. 4 5 b c Choose the one best answer to each item. 4 Alicia rode her bike 26.8 miles on Monday, 14 3 miles on Wednesday, and 27 3 miles on Thursday. How many 8 4 miles did she ride in all the three days? a. 26,825 b. 67,05 c. 67,825 d. 68,925 e. 80,4. 5 John is paid at the rate of E 9,50 per hour for the first 40 hours worked in a week, and 1 1 times that rate for all 2 hours over 40. If he works for 52 1 hours in one week, what is his gross pay, rounded to the nearest cent? 4 a. E 550,56 b. E 552,56 c. E 554,56 d. E 557,56 e. E 560,56. soluzioni a pagina 445 GARE dimatematica 1 Il 98 o della lista (1997, Finale nazionale) Si scrive un numero avente una cifra prima della virgola ed una cifra dopo la virgola, per esempio 4,1 (1 o numero della lista). Si scambiano quindi la parte intera e la parte decimale di questo numero (4,1 diventa 1,4), poi si calcola la differenza tra i due numeri (il piuá grande meno il piuá piccolo: 4,1 1,4) e si scrive il risultato: 2,7 (2 o numero della lista). Si puoá allora ricominciare con 2,7 : 2,7 diventa 7,2 e 7,2 2,7 ˆ 4,5 (3 o numero della lista)... Se il primo numero scritto eá 9,7 e si applica lo stesso metodo, per 97 volte, quale saraá l'ultimo numero scritto, cioeá il 98 o? 2 Nuove generazioni (2005, Finale nazionale) Scriviamo due numeri diversi di una cifra (da 0 a 9), per esempio 1 e 3 (vedi tabella seguente). Scriviamo in seguito la cifra delle unitaá della loro somma: 4. Poi, ricominciamo con le due ultime cifre scritte: 3 4 ˆ 7; scriviamo 7 e continuiamo allo stesso modo: 4 7 ˆ 11; scriviamo 1, ecc Ci accorgiamo che otteniamo un elenco di dodici cifre (il "periodo"): 1, 3, 4, 7, 1, 8, 9, 7, 6, 3, 9, 2 che si ripeteraá all'infinito. Una diversa scelta dei primi due numeri porterebbe naturalmente ad una situazione diversa. Da quante cifre eá composto il "periodo" piuá breve possibile? soluzioni a pagina CAPITOLO 1 I numeri razionali

36 Verifica TEST CONOSCENZA VERIFICA ABILITÀ SOLUZIONI 1 [2 punti] Scrivi sottoforma di numero decimale le seguenti frazioni decimali: a ,3 0,3 13,0 b ,25 0,125 12,5 2 [2 punti] Calcola il quoziente delle seguenti frazioni e stabilisci se si tratta di un numero decimale limitato o illimitato: a ,6 2,6 2,5 b ,875 1,87 1,8 3 [1 punto] Stabilisci quali dei seguenti numeri sono decimali limitati: a. 2,6 b. 1,875 c. 4,75 d. 2,2 e. 5,46 f. 3,6 g. 3,3 h. 9,7 4 [2 punti] Inserisci al posto dei puntini il simbolo di maggiore o minore: a. 0,3... 0,3; b. 17, ,9; c. 8, ,01; d. 2,5... 2,5. 5 [2 punti] Calcola il quoziente arrotondato ai millesimi delle seguenti frazioni: a ,143 2,142 2,14 b ,285 1,286 1,300 6 [2 punti] Trasforma nella corrispondente frazione decimale i seguenti numeri decimali finiti: a. 8, b. 0, [4 punti] Trasforma nella corrispondente frazione generatrice i seguenti numeri periodici: a. 0, b. 0, [3 punti] Esegui le seguenti operazioni in colonna e trasforma il risultato in frazione: a. 0,93 10,45 5, b. 5,32 11,45 15, c. 35,9 7,58 12, [3 punti] Risolvi la seguente espressione: ,03 0, a b c SOLUZIONI E AUTOVALUTAZIONE Controlla l'esattezza delle soluzioni con quelle riportate alla fine del volume ed assegnati il punteggio corrispondente per ciascun esercizio svolto correttamente. Utilizzando il seguente schema calcola quindi il tuo livello di preparazione. SOLUZIONI CAPITOLO 1 I numeri razionali 35

37 Esercizi di recupero n DETERMINARE IL TIPO DI NUMERO CHE SI ORIGINA DA UNA FRAZIONE ORDINARIA TEST DI RECUPERO SOLUZIONI 1 Stabilisci quali delle seguenti affermazioni sono errate e correggi gli errori. a. Il prodotto fra il numeratore e il denominatore di una frazione daá origine ad un numero razionale assoluto. V F b. Una frazione si dice ordinaria quando il numeratore eá minore del denominatore. V F c. Dividendo numeratore e denominatore di una frazione ordinaria non apparente si ottiene un numero decimale illimitato. V F d. Un numero periodico misto eá formato da una parte intera e da una parte decimale con una cifra (o un gruppo di cifre) che si ripete. V F e. Una frazione si trasforma in un numero decimale limitato se la scomposizione del denominatore in fattori primi eá formata esclusivamente da potenze di 2 e di 5. V F f. Una frazione ridotta ai minimi termini si trasforma in un numero periodico misto se la scomposizione del denominatore in fattori primi eá formata da fattori tutti diversi da 2 e 5. V F 2 Inserisci al posto dei puntini il segno di uguale, maggiore o minore: a. 3,8811 ::::: 3,801; b. 5,09 ::::: 5,0819; c. 7,9 ::::: 8,1; d. 4,2 ::::: 4,219; e. 8,9 ::::: 8,809; f. 56,1181 ::::: 56, Trasforma le seguenti frazioni decimali nei corrispondenti numeri decimali. 53 a. 10 ; b ; c ; d a. 5 a. Suddividi le seguenti frazioni in ordinarie e decimali. Stabilisci inoltre il tipo di numero decimale che si origina eseguendo la divisione tra numeratore e denominatore ; b. 2 7 ; c ; d ; b ; c ; d Dopo aver eseguito la divisione tra numeratore e denominatore, stabilisci a quale tipo di numero decimale danno origine le seguenti frazioni. 18 a. 6 ; b ; c ; d. 7 6 ; e Stabilisci a quale tipo di numero decimale danno origine le seguenti frazioni senza eseguire la divisione tra numeratore e denominatore (ricorda che, se necessario, devi ridurre la frazione ai minimi termini) a. 3 ; b ; c ; d ; e a ; b ; c ; d ; e n APPROSSIMARE O ARROTONDARE UN NUMERO DECIMALE 9 Stabilisci quali delle seguenti affermazioni sono errate e correggi gli errori. a. L'approssimazione del numero 1,452 ai centesimi eá 1,45. V F b. Il valore arrotondato per eccesso di un numero decimale si ottiene prendendo la cifra corrispondente all'approssimazione considerata, aumentandola di una unitaá, e fermando ad essa il numero. V F 36 CAPITOLO 1 I numeri razionali

38 c. Un numero si arrotonda per difetto ai centesimi se la cifra dei decimi eá minore di 5. V F d. Il numero 3,417 arrotondato ai centesimi eá 3,42. V F e. Il numero 4,2105 arrotondato ai millesimi eá 4,210. V F 10 Le approssimazioni successive del numero 6,5627 sono: a. a meno di un'unitaá: 6; b. a meno di un decimo: 6,...; c. a meno di un centesimo:...; d. a meno di un millesimo: Gli arrotondamenti successivi del numero 1,8764 sono: a. a meno di un'unitaá: 2; b. a meno di un decimo: 1,...; c. a meno di un centesimo:...; d. a meno di un millesimo:... n DETERMINARE LA FRAZIONE GENERATRICE DI UN NUMERO DECIMALE LIMITATO O PERIODICO 12 Trasforma i numeri 5,36 e 5,36 nelle corrispondenti frazioni generatrici. Applichiamo le regole e semplifichiamo: 5,36 ˆ 536 ::::: ˆ ::::: e 5,36 ˆ ::::: 536 ::::: ::::: ˆ ˆ ::::: :::::. 13 Trasforma i seguenti numeri decimali limitati nelle corrispondenti frazioni generatrici e riduci, quando eá possibile, ai minimi termini le frazioni ottenute: a. 6,8; b. 3,27; c. 0,312; d. 26,88; e. 1,332; f. 0, Trasforma i seguenti numeri decimali periodici semplici nelle corrispondenti frazioni generatrici e riduci, quando eá possibile, ai minimi termini le frazioni ottenute: a. 1,42; b. 0,314; c. 51,6; d. 32,25; e. 0,324; f. 4, Trasforma i seguenti numeri decimali periodici misti nelle corrispondenti frazioni generatrici e riduci, quando eá possibile, ai minimi termini le frazioni ottenute: a. 8,53; b. 0,437; c. 0,561; d. 1,93; e. 5,36; f. 43,876. n CALCOLARE IL VALORE DI ESPRESSIONI CON NUMERI DECIMALI LIMITATI O PERIODICI Calcola il valore delle seguenti espressioni con numeri decimali e trasforma il risultato in forma decimale. 16 7,3 4,5 : 9,4 8,5 0,3 2,5. Trasformiamo tutti i numeri decimali nelle corrispondenti frazioni generatrici: : ˆ : ˆ : ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0, ,25 3,7 2,14 : 16,2 2,7 : 3,76: 0, ,3 2,6 0,125 0,4 2,3 2 0,6 0,16 0,4. 1,3Š 19 1,1 0,3 0,83 1 0,75 0,5 0,16 2,4 0,75 : 2,5. 2, ,3 0,25 1,3 2,3 1 : 2,4375 0,16: 1,16 CAPITOLO 1 I numeri razionali 37

39 OCSE PISA Scale termometriche L'unitaÁ di misura della temperatura eá il grado centigrado o grado Celsius (si indica con C). Esistono altre scale: la scala ReÂaumur ( R), usata una volta in Francia, e la scala Fahrenheit ( F), attualmente usata soprattutto nei paesi anglosassoni. Per trasformare una temperatura da Cin R si devono moltiplicare i C per 0,8. Per trasformare una temperatura da Cin F si devono moltiplicare i C per 1,8 e aggiungere poi 32. Rispondi alle seguenti domande a. A quanti R corrisponde una temperatura di 23 C? b. A quanti F corrisponde una temperatura di 18 C? c. A che temperatura in R bolle l'acqua a livello del mare? d. A che temperatura in F l'acqua si trasforma in ghiaccio a livello del mare? e. "Fahrenheit 451" eá il titolo di un libro di fantascienza scritto da Ray Bradbury. Il valore 451 indica la temperatura in F a cui brucia la carta. Qual eá questa temperatura in C? f. Completa infine la seguente tabella di conversione in modo che non compaia nessun numero in forma decimale, ma solo numeri in forma frazionaria. Conversione da a Formula C R R ˆ :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: C F F ˆ :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: R C C ˆ :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: F C C ˆ :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: R F F ˆ :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: F R R ˆ :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: La pressione atmosferica Per misurare la pressione di un gas esistono diverse unitaá di misura. Alla latitudine di 45, alla temperatura di 15 Ce al livello del mare la pressione atmosferica misura 1 atmosfera (atm). Esistono peroá altre unitaá di misura che sono il bar e il Pascal (Pa). Per la conversione da un'unitaá di misura all'altra si utilizzano le seguenti equivalenze: 1 atm corrisponde a Pa; 1 bar corrisponde a 10 5 Pa. Rispondi alle seguenti domande indicando il risultato in forma frazionaria. a. A quanti bar corrisponde una pressione di 1 Pa? b. A quante atm corrisponde una pressione di 1 Pa? c. A quanti bar corrisponde una pressione di 1 atm? d. A quante atm corrisponde una pressione di 1 bar? e. Il signor Gonfi ha letto su un vecchio libro che per trasformare una pressione, data in atm, in una pressione in bar basta moltiplicare per 193, dividere per e moltiplicare di nuovo per 21. Stabilisci se questo procedimento eá corretto e spiega il motivo. 38 CAPITOLO 1 I numeri razionali

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