Ulteriori Contenuti digitali integrativi sono disponibili sul sito della Casa Editrice

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2 Ulteriori Contenuti digitali integrativi sono disponibili sul sito della Casa Editrice

3 Edizione Direzione Editoriale: Progetti di Editoria s.r.l. Redazione: Domenico Gesmundo, Mario Scalvini Coordinamento edizione digitale: Roberto Rustico Progetto grafico: Ufficio Tecnico Atlas Fotocomposizione, impaginazione e disegni: GIERRE, Bergamo Copertina: Vavassori & Vavassori Illustrazioni: Bruno Dolif Stampa: Vincenzo Bona - Torino Con la collaborazione della Redazione e dei Consulenti dell I.I.E.A. La casa editrice ATLAS opera con il Sistema Qualita conforme alla nuova norma UNI EN ISO 9001:2008 certificato da CISQ CERTICARGRAF. Il presente volume e conforme alle nuove Indicazioni Nazionali e alle nuove disposizioni ministeriali in merito alle caratteristiche tecniche e tecnologiche dei libri di testo. Le pagine ad Alta leggibilita di questo volume sono proposte con il carattere Trebuchet MS, specificamente raccomandato dall Associazione Italiana Dislessia per chi soffre di disturbi dislessici, ma comunque valido per tutti, per le sue caratteristiche di chiarezza grafica e di lettura. Si ringraziano le prof.sse Carla Melzani, Barbara Vanzani ed Elisabetta Zampiceni per la collaborazione editoriale. In particolare si ringraziano le prof.sse Ivana Durante e Roberta Gagni per la realizzazione dei video. Per eventuali e comunque non volute omissioni o per gli aventi diritto tutelati dalla legge, l Editore dichiara la propria disponibilita. Il coupon riprodotto nelle copie destinate alla vendita puo essere associato ad un solo account per scaricare la versione digitale del libro. L accesso a tutti i contenuti digitali e riservato all utente registrato, che ha accettato le relative condizioni generali di licenza d uso riportate sul sito della Casa Editrice. Tale licenza non e trasferibile a terzi. Ogni riproduzione del presente volume e vietata. Le fotocopie per uso personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume/fascicolo di periodico dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n Le fotocopie effettuate per finalita di carattere professionale, economico o commerciale o comunque per uso diverso da quello personale possono essere effettuate a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da CLEARedi, Centro Licenze e Autorizzazioni per le Riproduzioni Editoriali, Corso di Porta Romana 108, Milano, autorizzazioni@clearedi.org e sito web Q 2017 by ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Bergamo - Via Crescenzi, 88 - Tel. (035) Fax (035) Questo volume e disponibile anche in versione digitale. Per scaricarla: 1. prendi nota del codice stampato sul bollino, se presente in questa pagina solo sulle copie destinate alla vendita; 2. segui le istruzioni sul sito della Casa Editrice Libri in chiaro Il marchio Libro in Chiaro mette in evidenza le qualita del libro di testo e con la Carta d Identita - in modo semplice, immediato e trasparente - indica gli elementi di cui e composto, descrivendone gli aspetti qualitativi e quantitativi, la validazione del processo produttivo, le modalita di rapporto con l utente e l osservanza delle norme di legge etico-comportamentali. Scopri, con la Carta d Identita, la storia di ogni libro visitando il sito della Casa Editrice.

4 PRESENTAZIONE "Tutti matematici": la teoria Il corso si articola in sei volumi: due di aritmetica, tre di geometria ed uno di algebra. Per ogni capitolo, l unità minima di studio è costituita dal paragrafo che inizia sempre a pagina nuova e si completa con gli esercizi della rubrica Prova subito da svolgere dopo la spiegazione in classe. Nell edizione digitale alcune rubriche arricchiscono il percorso di apprendimento: innanzi tutto l Assistente digitale (un video per capitolo che ripropone la teoria ed esercizi relativi), poi le animazioni, che ripropongono in forma sintetica i contenuti del paragrafo evidenziando quello che è necessario sapere; gli approfondimenti, che ampliano i contenuti del capitolo. Materiali per l inclusione Al termine della trattazione teorica di ciascun capitolo, si trovano le pagine della rubrica Matematica per tutti. Scritte in un carattere ad alta leggibilità e suddivise in teoria ed esercizi, queste pagine possono essere utilizzate come supporto per tutte le situazioni legate ai BES (Bisogni Educativi Speciali). Gli esercizi di questa sezione proseguono e si completano con quelli più facili presenti nell eserciziario ben riconoscibili dalla numerazione in azzurro. "Tutti matematici": gli esercizi Ogni capitolo si completa con un vastissimo repertorio di esercizi e problemi suddivisi secondo la scansione dei paragrafi della teoria; oltre agli esercizi con la numerazione in azzurro, gli altri esercizi sono stati raggruppati in tre livelli di difficoltà (ben riconoscibili dalla grafica). Ogni tipologia di esercizi è sempre preceduta da un esercizio guida. All interno degli esercizi di ogni paragrafo sono presenti numerosi esercizi pluridisciplinari che portano l alunno ad applicare i concetti matematici in ambito scientifico, logico e creativo (nelle rubriche Matematica e Scienze, Matematica e Realtà, Matematica Creativa) e rappresentano un primo passo per lo sviluppo e la certificazione delle competenze. Al termine di ogni capitolo è presente una Verifica sommativa che permette all alunno di verificare il livello di preparazione raggiunto in vista della prova di verifica proposta dal Docente. Nell edizione digitale i video-tutorial, una serie di videolezioni, applicano i concetti della teoria nello svolgimento di uno specifico esercizio. L attività per il recupero e il rinforzo permette di individualizzare il cammino di ciascun alunno e ha lo scopo di puntualizzare e chiarire le nozioni minime di base che devono essere possedute da tutti gli studenti. Gli approfondimenti finali hanno la funzione di sviluppare le competenze. Questi esercizi, legati alla realtà, richiedono la capacità dello studente di pianificare strategie di soluzione e di applicarle in ambiti matematici più complessi. Molti di questi esercizi sono stati proposti nei testi di valutazione elaborati dall OCSE all interno del progetto PISA. Ogni capitolo si completa con gli esercizi da utilizzare per il CLIL (lingua inglese). La rubrica delle Gare di matematica presenta esercizi assegnati nelle varie competizioni nazionali e internazionali di matematica. Opportunamente selezionati per capitolo, gli esercizi per l INVALSI permettono allo studente di cimentarsi con gli esercizi proposti negli anni passati. Il volume si completa con i Compiti di realtà: esercitazioni in cui si chiede allo studente di risolvere una situazione problematica, complessa e nuova, trasferendo procedure e tecniche di calcolo in ambiti diversi da quelli tipici della disciplina. ebook+ per computer, tablet e LIM Questo libro comprende anche un ebook+: la versione digitale del corso è accessibile attraverso l utilizzo del codice alfanumerico riportato sul coupon in frontespizio. Propone contenuti digitali integrativi ed espansioni multimediali che sono segnalati nel volume, con questi simboli: video e filmati verifiche interattive test di recupero approfondimenti mp3 link a presentazioni in powerpoint Libro liquido Le sezioni di teoria sono disponibili anche in formato ad Alta leggibilità, compatibili con i programmi di sintesi vocale. Contenuti digitali integrativi Alcuni contenuti digitali integrativi sono disponibili anche sul sito della Casa Editrice: Essi sono contrassegnati, nel testo cartaceo, con il simbolo Materiali per il Docente Per i Docenti che adottano l opera sono disponibili: l la guida didattica con didattica delle competenze, quadro normativo della didattica inclusiva, verifiche per capitolo con soluzioni, soluzioni esercizi pluridisciplinari, Gare di matematica, Approfondimento l un DVD con i contenuti digitali integrativi e le espansioni multimediali per le lezioni con la LIM l una WebApp con un eserciziario digitale che propone migliaia di esercizi per comporre prove di verifica o compiti da assegnare a casa. I testi dei Giochi Matematici che compaiono alla fine di ogni capitolo sotto la rubrica "Gare di Matematica" sono stati gentilmente forniti dal Centro Pristem-Eleusi dell Università Bocconi di Milano e si riferiscono alle competizioni matematiche organizzate dallo stesso Centro. 2 PRESENTAZIONE

5 COME È FATTO QUESTO LIBRO Il corso è strutturato in capitoli organizzati al loro interno rispettando la seguente struttura fissa. La teoria Ogni paragrafo inizia sempre a pagina nuova. Le immagini fotografiche e i fumetti contestualizzano i concetti teorici e gli esercizi. Le definizioni, i teoremi e le proprietà sono evidenziate con dei box azzurri. I collegamenti con il materiale digitale sono sempre evidenziati nel testo dallo specifico link e permettono l utilizzo del libro anche con la LIM. Gli esempi svolti Dove necessario, per mostrare come si deve procedere nell applicazione dei contenuti del paragrafo, sono proposti degli esempi completamente svolti. Gli esercizi da svolgere in classe Ogni paragrafo si chiude sempre con la rubrica Prova subito. Da svolgere in classe, subito dopo la spiegazione, questi esercizi permettono di verificare se gli studenti hanno compreso la teoria e di capire gli eventuali problemi che un alunno potrebbe incontrare nella soluzione dei compiti a casa. Presenti anche nella parte teorica, gli esercizi di matematica e... hanno lo scopo di mostrare il collegamento tra i contenuti del paragrafo e il mondo che ci circonda. Sono caratterizzati dalla presenza di illustrazioni e fotografie. Gli approfondimenti della teoria Oltre a quelli segnalati dall apposito link e scaricabili dalla versione digitale, in alcuni capitoli sono stati inseriti a stampa alcuni approfondimenti su aspetti curiosi o di carattere storico, con relativi esercizi. La didattica inclusiva - Teoria Alla fine dell esposizione teorica, tutta la teoria, paragrafo per paragrafo, viene riproposta in forma semplificata per tutti. Scritta utilizzando un carattere ad alta leggibilità e con linguaggio semplice una spiegazione di questo genere diventa comprensibile anche da parte degli alunni che presentano difficoltà di apprendimento e risulta utile a tutti come strumento di ripasso. La didattica inclusiva - Esercizi Alcuni esercizi vengono proposti subito dopo la teoria semplificata. Altri esercizi sono proposti nell eserciziario a fine capitolo, contrassegnati dal numero in colore azzurro. PRESENTAZIONE 3

6 Gli esercizi suddivisi per paragrafo e per livello di difficoltà Gli esercizi vengono proposti per paragrafo; sono divisi in conoscenze ed abilità e sono numerati progressivamente. Come già detto, gli esercizi di abilità più semplici sono numerati in azzurro e possono essere utilizzati anche come continuazione degli esercizi proposti nella sezione Matematica per tutti. Tutti gli altri esercizi di abilità (contrassegnati dal colore giallo-beige) sono a loro volta suddivisi per livello di difficoltà: il blocco più consistente è di livello base; quelli che presentano gradi di complessità maggiore sono segnalati da uno o da due pallini rossi. Ulteriori esercizi, sempre divisi per paragrafo, sono disponibili nella versione digitale del volume. Gli esercizi guida Ogni nuova tipologia di esercizi è sempre preceduta da un esercizio guida, parzialmente o completamente svolto. È contrassegnato dal colore azzurro perché si rivolge a tutti. Gli esercizi per lo sviluppo delle competenze Tutti i capitoli propongono numerosi esercizi di contenuto pluridisciplinare (soprattutto relativi al mondo delle scienze), molti legati alla realtà quotidiana, altri ancora di tipo più creativo. La verifica sommativa Per prepararsi alla verifica conclusiva assegnata dal Docente, al termine di ogni sezione di esercizi è presente una simulazione della prova di verifica di cui si danno le soluzioni a fine volume. La griglia del punteggio, poi, in basso nella pagina permette di capire immediatamente il grado di preparazione raggiunto dall alunno. 4 PRESENTAZIONE

7 L attività per il recupero ed il rinforzo La struttura della rubrica per il recupero facilita il ripasso dei contenuti minimi del capitolo. È anche possibile scaricare il file MP3, presente nell espansione ebook+, che può essere utilizzato per agevolare la memorizzazione delle formule e delle proprietà. Soprattutto nei problemi e nei capitoli di geometria, alcuni esercizi completano l attività di recupero. Per facilitarne lo svolgimento da parte di tutti gli studenti, sono stati inseriti alcuni suggerimenti che spiegano quale procedura utilizzare. Per ciascun capitolo, l attività di recupero si completa con i file in PowerPoint presenti sul sito Approfondimenti e materiali CLIL Al termine del percorso, gli alunni possono cimentarsi con gli esercizi presenti nelle pagine degli approfondimenti. Per come sono strutturati e per il richiamo alle altre discipline si possono utilizzare per lo sviluppo e la certificazione delle competenze. Gli approfondimenti di ogni capitolo si completano con le rubriche per il CLIL (in lingua inglese); con una selezione di esercizi delle gare di matematica (nelle espansioni online è possibile scaricare ulteriori esercizi); con gli esercizi somministrati nelle prove nazionali INVALSI (ulteriori prove ed esercizi sono presenti nelle pagine finali di ciascun volume). Compiti di realtà per la certificazione delle competenze Tutti gli esercizi per le competenze presenti in ogni volume trovano il loro completamento naturale nei cosiddetti compiti di realtà per la certificazione delle competenze. Ognuna delle attività proposte viene presentata nei suoi passaggi, con l indicazione delle competenze chiave e disciplinari che possono essere verificate, le tappe in cui il lavoro (individuale e di gruppo) può essere suddiviso, i tempi di realizzazione e la tipologia del prodotto finale. PRESENTAZIONE 5

8 L offerta digitale Il libro per tablet, LIM e computer è corredato di contenuti digitali integrativi cui è possibile accedere tramite gli appositi link già descritti a pagina 2. + MULTIMEDIALE Un libro di testo digitale arricchito da audio, video, approfondimenti e link + INTERATTIVO Integra gli esercizi interattivi direttamente nel testo digitale, per un immediata verifica + COINVOLGENTE Aiuta a comprendere e approfondire il testo, rendendo l apprendimento più attivo e divertente Per attivare la versione digitale del libro utilizza il codice coupon riportato sul frontespizio. Potrai consultarlo attraverso le APP di lettura o direttamente online, tramite il webreader. Bastano tre semplici passaggi! 1. Collegati al sito 2. registrati 3. inserisci il codice coupon nell apposito form Segui le istruzioni che trovi su Una volta attivato, sull ebook+ docenti e studenti possono annotare, sottolineare ed evidenziare il testo, salvando il proprio lavoro per poterlo consultare e sincronizzare sui diversi dispositivi. Classe digitale - L ambiente per una didattica digitale n Integrato con gli ebook+ per aggiungere note, appunti e condividerli con la classe n Si possono creare percorsi personalizzati e arricchirli con materiale personalizzato n Non richiede installazioni Per scoprire come funziona collegati al sito Ulteriori contenuti digitali integrativi su Cerca sul sito le ulteriori risorse libere da scaricare. Per trovare il libro e i contenuti digitali abbinati basta inserire il titolo, o le ultime cifre del codice ISBN, nel campo di ricerca presente nella home page del sito o sfogliare il catalogo selezionando ordine di scuola, ambito disciplinare e titolo. Arrivati alla copertina del libro, dal tasto Contenuti digitali, si può accedere ai contenuti dedicati. 6 IL LIBRO DIGITALE

9 INDICE Capitolo 1 I numeri razionali 1 La frazione come numero razionale assoluto I numeri decimali limitati I numeri decimali periodici 17 2 L approssimazione di un numero decimale 20 3 La frazione generatrice di un numero decimale 22 4 Le espressioni con i numeri decimali 25 n Matematica per tutti 27 n Esercizi e problemi 32 n Verifica sommativa 46 n Recupero e rinforzo 47 n Approfondimenti 49 l CLIL 51 l Gare di Matematica 51 l Prove INVALSI 52 ESPANSIONI DIGITALI n A che cosa serve la matematica n Assistente digitale n Videolezioni n Animazioni n Perché studiare n Approfondimento l Von Neumann e il problema della mosca n Ulteriori esercizi per paragrafo n Mappa concettuale n Test interattivi n Test di recupero con soluzioni n Guida allo studio per paragrafo n Recupero - Teoria n Sintesi del capitolo Capitolo 2 Radice quadrata 1 La radice quadrata 54 2 La radice quadrata esatta 56 3 Le proprietà della radice quadrata 59 4 Determinare la radice quadrata mediante le tavole numeriche La radice quadrata di un numero decimale 62 n Matematica per tutti 64 n Esercizi e problemi 69 ESPANSIONI DIGITALI n A che cosa serve la matematica n Assistente digitale n Videolezioni n Animazioni n Perché studiare n Approfondimenti l Il logaritmo l L algoritmo di estrazione della radice quadrata n Ulteriori esercizi per paragrafo n Mappa concettuale INDICE 7

10 n Verifica sommativa 86 n Recupero e rinforzo 87 n Approfondimenti 89 l CLIL 93 l Gare di Matematica 93 l Prove INVALSI 93 n Test interattivi n Test di recupero con soluzioni n Guida allo studio per paragrafo n Recupero - Teoria n Sintesi del capitolo Capitolo 3 Rapporti e proporzioni 1 Il concetto di rapporto 96 2 Rapporto tra grandezze non omogenee 99 3 Scala di riduzione e scala di ingrandimento Il concetto di proporzione Le proporzioni continue Le proprietà delle proporzioni La proprietà fondamentale La proprietà dell invertire La proprietà del permutare La proprietà del comporre La proprietà dello scomporre La risoluzione di una proporzione Risoluzione di particolari proporzioni Le proporzioni con più termini incogniti Risoluzione di una serie di rapporti 115 n Matematica per tutti 116 ESPANSIONI DIGITALI n A che cosa serve la matematica n Assistente digitale n Videolezioni n Animazioni n Perché studiare n Approfondimenti l I rapporti matematici e la geografia l Le carte geografiche n Ulteriori esercizi per paragrafo n Mappa concettuale n Test interattivi n Test di recupero con soluzioni n Guida allo studio per paragrafo n Recupero - Teoria n Sintesi del capitolo n Esercizi e problemi 124 n Verifica sommativa 160 n Recupero e rinforzo 161 n Approfondimenti 164 l CLIL 170 l Gare di Matematica 170 l Prove INVALSI INDICE

11 Capitolo 4 Le applicazioni della proporzionalità 1 Le grandezze proporzionali Le grandezze direttamente proporzionali Le grandezze inversamente proporzionali I problemi del tre semplice I problemi del tre semplice diretto I problemi del tre semplice inverso I problemi del tre composto I problemi di ripartizione semplice I problemi di ripartizione semplice diretta I problemi di ripartizione semplice inversa Le percentuali La rappresentazione grafica delle percentuali: gli areogrammi Elementi di matematica finanziaria 190 ESPANSIONI DIGITALI n A che cosa serve la matematica n Assistente digitale n Videolezioni n Perché studiare n Approfondimenti l Bevande isotoniche l Il prestito e l usura n Ulteriori esercizi per paragrafo n Mappa concettuale n Gare di Matematica n Test interattivi n Test di recupero con soluzioni n Guida allo studio per paragrafo n Recupero - Teoria n Sintesi del capitolo n Matematica per tutti 192 n Esercizi e problemi 203 n Verifica sommativa 237 n Recupero e rinforzo 238 n Approfondimenti 241 l CLIL 245 l Gare di Matematica 245 l Prove INVALSI 246 Capitolo 5 La statistica 1 L indagine statistica La raccolta e l elaborazione dei dati L elaborazione dei dati La sintesi dei dati La media aritmetica La mediana La moda 259 ESPANSIONI DIGITALI n A che cosa serve la matematica n Assistente digitale n Videolezioni n Animazioni n Perché studiare n Approfondimenti l Perché nasce e come si sviluppa la statistica INDICE 9

12 4 Esempi di indagine statistica Indagine relativa a caratteri qualitativi Indagine relativa a caratteri quantitativi 262 Approfondimenti: L indagine statistica e il questionario 265 n Matematica per tutti 267 n Esercizi e problemi 272 n Verifica sommativa 283 n Recupero e rinforzo 284 n Approfondimenti 286 l CLIL 289 l Gare di Matematica 289 l Prove INVALSI 289 l La scelta del campione l L elaborazione dei dati continui l I numeri indice n Ulteriori esercizi per paragrafo n Mappa concettuale n Test interattivi n Test di recupero con soluzioni n Guida allo studio per paragrafo n Recupero - Teoria n Sintesi del capitolo PROVE INVALSI - CLASSE SECONDA l Prova l Prova l Prova l Prova l Prova SOLUZIONI l Verifica sommativa 308 l Gare di Matematica 309 l Prove INVALSI 310 l Prove INVALSI - Classe seconda 311 COMPITI DI REALTÀ l Chi ha detto che l operazione inversa della potenza è solamente la radice? 312 l Ancora un po di numeri 314 l Scale, tassi, capitali, debiti 316 l Statistica e attività sportiva 319 l La rappresentazione dei numeri molto grandi 320 l La festa di compleanno 322 l Il valore del denaro 324 TAVOLE NUMERICHE INDICE

13 INDICE DELLE ANIMAZIONI 1 I numeri razionali I numeri decimali limitati 16 I numeri decimali periodici 17 Dal numero decimale alla frazione generatrice 22 2 Radice quadrata La radice quadrata 54 Quadrati perfetti 56 Uso delle tavole numeriche 1 61 Uso delle tavole numeriche 2 61 Uso delle tavole numeriche Rapporti e proporzioni Rapporto tra due numeri 96 Le scale di ingrandimento e di riduzione 101 La proporzione 103 La proprietà fondamentale delle proporzioni 105 Le proprietà dell invertire 105 Le proprietà del permutare La statistica La statistica 255 Sintesi dei dati 258 INDICE 11

14 INDICE DELLE VIDEOLEZIONI 1 I numeri razionali L approssimazione di un numero decimale 38 Trasformare un numero decimale limitato in frazione 39 Trasformare un numero decimale periodico in frazione 40 Espressioni con numeri decimali 44 2 Radice quadrata Le proprietà della radice quadrata 73 Espressioni sotto il segno di radice quadrata 80 3 Rapporti e proporzioni Il rapporto diretto e inverso (grandezze omogenee) 125 Il rapporto tra grandezze non omogenee 135 Scala di riduzione e ingrandimento 137 Le proprietà delle proporzioni 142 La risoluzione di una proporzione Le applicazioni della proporzionalità Le grandezze direttamente proporzionali 204 Le grandezze inversamente proporzionali 207 Problema del tre semplice 211 Problema del tre composto 215 Problema di ripartizione semplice 217 Problema con la percentuale 224 Areogrammi percentuali 227 Il calcolo dell interesse La statistica La tabella delle frequenze 273 La sintesi dei dati INDICE

15 INDICE DEGLI ESERCIZI PLURIDISCIPLINARI 1 I numeri razionali Matematica e scienze: Gita a Roma 36 Matematica e realtà: La torta nuziale 38 Matematica e scienze: La densità dei corpi 41 Matematica creativa: Il percorso 41 Matematica e scienze: Peso specifico 42 Matematica e realtà: Macchie sul quaderno 43 Matematica e realtà: La spesa 45 2 Radice quadrata Matematica e realtà: Composizione di quadrati 70 Matematica creativa: Quadrato magico e radice quadrata 74 Matematica creativa: Anagramma 74 Matematica creativa: A caccia di regole 76 Matematica e realtà: Festa in giardino 77 Matematica creativa: Curiosità matematiche 79 3 Rapporti e proporzioni Matematica e scienze: Attività fisica e calorie 128 Matematica e scienze: La chimica e la legge di Proust Le applicazioni della proporzionalità Matematica e scienze: Il dinamometro 205 Matematica e realtà: In cucina 212 Matematica e realtà: In vacanza 227 Matematica e realtà: Farina e pane La statistica Matematica e scienze: La velocità del suono 276 Matematica e realtà: Gare di matematica 277 INDICE 13

16 I NUMERI RAZIONALI 1 STRUTTURA DEL CAPITOLO n Contenuti 1. La frazione come numero razionale assoluto 2. L approssimazione di un numero decimale 3. La frazione generatrice di un numero decimale 4. Le espressioni con i numeri decimali n Esercizi di pronta verifica: "Prova subito" n Matematica per tutti l Teoria l Esercizi n Esercizi e problemi l Esercizi di conoscenze e abilità l Esercizi pluridisciplinari n Verifica sommativa n Recupero e rinforzo: "Matematica per te" l Richiami di teoria l Esercizi di recupero n Approfondimenti: "Competenze" l Esercizi pluridisciplinari l CLIL l Gare di matematica l Prove Invalsi CONTENUTI DIGITALI INTEGRATIVI n Approfondimenti n PowerPoint ESPANSIONI DIGITALI ebook+ n A che cosa serve la matematica n Assistente digitale n Videolezioni n Animazioni n Perché studiare n Approfondimenti n Ulteriori esercizi per paragrafo n Mappa concettuale n Test interattivi n Test di recupero con soluzioni n Guida allo studio per paragrafo n Recupero - Teoria n Sintesi del capitolo OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO n conoscenze La classificazione dei numeri razionali L approssimazione e l arrotondamento di un numero decimale Il significato di frazione generatrice n abilità Determinare il tipo di numero che si origina da una frazione ordinaria Approssimare un numero decimale Determinare la frazione generatrice di un numero decimale Calcolare il valore di espressioni con numeri decimali limitati o periodici n competenze L alunno si muove con sicurezza con i numeri razionali, ne padroneggia le diverse rappresentazioni e stima il risultato delle operazioni

17 l1 La frazione come numero razionale assoluto Incontriamo i numeri razionali quotidianamente, per esempio quando leggiamo la pagina economica di un giornale, quando ci pesiamo utilizzando una bilancia, o leggiamo l etichetta di un prodotto. APPROFONDIMENTO Von Neumann e il problema della mosca Consideriamo il peso di 62,35 kg riportato dalla bilancia in figura. Tale misura equivale a: 62 kg 3 hg 5 dag attenzione o anche 62 kg þ 0,3 kg þ 0,05 kg cioè 62 kg þ 3 10 kg þ kg Possiamo quindi dire che ogni numero razionale può essere rappresentato da una frazione e ogni frazione rappresenta una divisione che ha come risultato un numero decimale. Una frazione dà sempre origine ad un numero razionale assoluto che rappresenta il quoziente tra il numeratore e il denominatore. Consideriamo ora le frazioni 8 4, 4 5, 2 e determiniamo i corrispondenti valori 3 numerici calcolando i quozienti fra i numeratori e i rispettivi denominatori in modo da ottenere i relativi numeri razionali assoluti: 8 4 ¼ 8 : 4 ¼ ¼ 4 : 5 ¼ 0,8 2 3 ¼ 2 : 3 ¼ 0,666666::: l Nel primo caso il quoziente ottenuto è un numero naturale (risultato ovvio perché la frazione è apparente ed avremmo dovuto considerare la frazione generatrice ridotta ai minimi termini cioè la frazione 2 1 ). l l Nel secondo caso, svolgendo la divisione, dopo alcuni passaggi abbiamo ottenuto il resto uguale a zero, cioè abbiamo trovato un quoziente che presenta un numero limitato di cifre decimali. Nel terzo caso il quoziente della divisione non raggiunge mai un risultato esatto e, per quanto prolunghiamo il calcolo, troviamo sempre un resto; il numero decimale che abbiamo ottenuto ha dunque un numero illimitato di cifre decimali. Possiamo perciò distinguere le frazioni in tre categorie a seconda del quoziente ottenuto dalla divisione fra numeratore e denominatore. CAPITOLO 1 I NUMERI RAZIONALI 15

18 DEFINIZIONE. Dividendo il numeratore per il denominatore di una frazione si ottiene un numero: l naturale se la frazione è apparente; l decimale se la frazione non è apparente; in particolare tale numero può essere: decimale limitato; decimale illimitato. Così come abbiamo visto per i numeri naturali, anche i numeri decimali possono essere posizionati su una semiretta orientata: ANIMAZIONE 1.1 I numeri decimali limitati 7 Consideriamo le frazioni 100 e 7 e calcoliamo il quoziente che si ottiene 20 dividendo il numeratore per il denominatore: l l 7 ¼ 7 : 100 ¼ 0, ¼ 7 : 20 ¼ 0,35 20 In entrambe le frazioni il quoziente ottenuto è un numero decimale limitato. Analizziamo più in dettaglio le due frazioni: n la prima ha come denominatore una potenza del numero 10 e per questo motivo prende il nome di frazione decimale. In generale, per questa tipologia di frazioni, possiamo dire che: REGOLA. Una frazione decimale dà sempre origine ad un numero decimale limitato. n La seconda frazione ha come denominatore un numero diverso da 10 (o una sua potenza) e viene chiamata frazione ordinaria. Se scomponiamo in fattori primi il denominatore della frazione: 20 ¼ ci accorgiamo che contiene esclusivamente i fattori 2 e 5. Possiamo dunque enunciare la seguente: REGOLA. Una frazione ordinaria ridotta ai minimi termini dà origine ad un numero decimale limitato se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, presenta esclusivamente i numeri 2 e/o 5 o le loro potenze. attenzione Ridurre la frazione ai minimi termini è indispensabile per non commettere errori. Consideriamo, ad esempio, la frazione 85 che semplificata è equivalente 68 alla frazione 5 4 : : 17 ¼ : 17 ¼ 5 4 Il denominatore di quest ultima frazione, scomposto in fattori primi, è 4 ¼ 2 2 ; la frazione genera quindi un numero decimale limitato: 5 4 ¼ 5 : 4 ¼ 1,25. Se avessimo effettuato la scomposizione in fattori primi del denominatore senza ridurre la frazione ai minimi termini avremmo ottenuto: 68 ¼ e avremmo concluso erroneamente che la frazione data non genera un numero decimale limitato. 16 CAPITOLO 1 I NUMERI RAZIONALI

19 1.2 I numeri decimali periodici 7 Consideriamo le frazioni 33 e 7 e calcoliamo il quoziente che si ottiene dividendo il numeratore per il 6 denominatore: ANIMAZIONE n 7 33 periodo " ¼ 7 : 33 ¼ 0, ::: n 7 ¼ 7 : 6 ¼ 1, ::: 6. & antiperiodo periodo Nelle due frazioni considerate il quoziente ottenuto è un numero decimale illimitato. Analizziamo più in dettaglio i numeri generati dalle due frazioni: n nel primo caso il quoziente presenta, dopo la parte intera, un gruppo di cifre che si ripete periodicamente. Il numero si chiama periodico semplice e il gruppo di cifre che si ripete viene detto periodo; n nel secondo caso il quoziente presenta, dopo la parte intera, una cifra che non si ripete e una cifra che si ripete illimitatamente. Il numero si chiama periodico misto, la cifra che non si ripete viene detta antiperiodo, la cifra che si ripete viene detta periodo. PAROLE CHIAVE Per segnalare la presenza del periodo si usa mettere un trattino sopra la cifra (o il gruppo di cifre) che si ripete. Negli esempi considerati scriviamo dunque: l 0,212121:::! 0,21 l 1,166666:::! 1,16 In generale possiamo enunciare le seguenti: DEFINIZIONE. Un numero decimale illimitato si dice periodico semplice se subito dopo la virgola troviamo il periodo, cioè la cifra (o il gruppo di cifre) che si ripete all infinito. DEFINIZIONE. Un numero decimale illimitato si dice periodico misto se subito dopo la virgola e prima del periodo troviamo una cifra (o più cifre) detta antiperiodo che non si ripete. Scomponiamo in fattori primi i denominatori delle due frazioni date: 33 ¼ ¼ 2 3 Tra i fattori del denominatore della prima frazione non troviamo né il numero 5 né il numero 2; tra i fattori del denominatore della seconda frazione troviamo il numero 2 (oltre al fattore 3). Possiamo generalizzare i risultati con la seguente: REGOLA. Una frazione ordinaria ridotta ai minimi termini dà origine a un: n numero periodico semplice se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene fattori primi diversi da 2 e da 5; n numero periodico misto se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene come fattori primi il 2 e/o il 5 o entrambi insieme ad altri numeri primi. GUIDA ALLO STUDIO CAPITOLO 1 I NUMERI RAZIONALI 17

20 Prova subito 1 Trasforma le seguenti frazioni nei corrispondenti numeri razionali assoluti, eseguendo la divisione tra il numeratore e il denominatore e classifica poi il tipo di numero che hai ottenuto: 25 a. ¼ 25 : 10 ¼ ::::::::::! numero b ¼ 35 : :::::: ¼ ::::::::::! numero... c. d. 73 ¼ ::::: : ::::: ¼ ::::::::::! numero ¼ ::::: : ::::: ¼ ::::::::::! numero Sottolinea con la biro rossa le frazioni ordinarie e con la biro blu quelle decimali: ; ; ; ; ; ; ; ; ; Trasforma le seguenti frazioni decimali nei corrispondenti numeri decimali: 67 a. 10 ¼ :::::; b ¼ :::::; c ¼ ::::: Nelle seguenti frazioni, già ridotte ai minimi termini, identifica quelle che generano numeri decimali limitati e quelle che generano numeri periodici. Classifica quindi i numeri periodici in semplici e misti: 7 40 ; 7 9 ; 3 4 ; 7 25 ; ; 1 5 ; 2 3 ; ; ; 5 6 ; ; Scrivi i seguenti numeri sottoforma di numeri decimali periodici: a. 1, ¼...; b. 45, ¼...; c. 0, ¼...; d. 14, ¼...; e. 789, ¼...; f. 0, ¼...; g. 1, ¼...; h. 3, ¼... 6 Di seguito è rappresentata una retta orientata; posiziona su di essa i numeri decimali: 1,3; 0; 1,5; 1,25; 3 4 ; 4 3 ; 0,25. 7 Individua sulla retta orientata i seguenti numeri: 4 0,92; 0,42; 0,18; 0,55; 5 ; 3 10 ; ; È stato più semplice individuare la posizione dei numeri decimali o delle frazioni? Secondo te qual è il motivo? 8 Scrivi i seguenti numeri decimali come somma di un intero con una o più frazioni decimali come nell esempio: 3,21 ¼ 3 þ 2 10 þ a. 4,75; b. 9,04; c. 7,86; d. 15, CAPITOLO 1 I NUMERI RAZIONALI

21 9 Scrivi sotto forma di numero decimale ciascuna addizione: a. 6 þ ¼ :::::::::::; b. 21 þ 1 10 þ ¼ :::::::::::; c. 17 þ 2 10 þ ¼ :::::::::::: d. 25 þ 3 10 þ þ ¼ ::::::::::: 10 Matematica e... apporto calorico. Dopo aver scritto sotto forma di frazione il rapporto fra le calorie e il peso delle brioches determina che tipo di numero decimale corrisponde a tale rapporto analizzando i fattori presenti nel denominatore della frazione ridotta ai minimi termini. Verifica poi il risultato eseguendo la divisione. Brioche Calorie Peso A 117 kcal 30 g B 166 kcal 60 g C 200 kcal 50 g 11 Matematica e... creatività. L insegnante di matematica scrive alla lavagna quattro numeri e chiede a quattro alunni di disporli ordinandoli dal più grande al più piccolo; chi ha risposto correttamente? 1 3 ; 0,56; 1 20 ; 0, ; 0,123; 1 3 ; 0,56 0,56; 1 3 ; 0,123; ,56; 0,123; 1 20 ; Matematica e... realtà. Marta ha studiato la regola che, senza eseguire la divisione tra il numeratore e il denominatore, permette di capire il tipo di numero decimale che si origina da una frazione ordinaria; quando si trova di fronte alla frazione 60 risponde senza esitazione che la frazione data dà origine a un numero decimale periodico 75 semplice perché il denominatore scomposto in fattori primi è: 75 ¼ Poi però esegue la divisione 60 : 75 ¼ 0,8 ed ottiene un numero decimale finito. Stabilisci perché e dove ha sbagliato Marta. a. Ha eseguito calcoli sbagliati; b. non ha applicato una procedura corretta; c. non ha ridotto la frazione ai minimi termini; d. non ha capito bene la regola. CAPITOLO 1 I NUMERI RAZIONALI 19

22 l2 L approssimazione di un numero decimale Le lattine delle bibite che generalmente beviamo contengono 1 di di bevanda ma sull etichetta è indicato 0,333 o 333 ml. 3 Se eseguiamo la divisione 1 : 3 otteniamo un numero decimale periodico, quindi 0,333 è un valore approssimato di 1. Nelle questioni pratiche quindi si considerano solo un certo numero di cifre decimali e si ha così un valore 3 approssimato. L approssimazione di un numero decimale può avvenire secondo le suguenti due modalità. Troncamento L approssimazione per troncamento è il procedimento che permette di avvicinarsi ad un valore che non è raggiungibile in modo esatto. Dipende dal maggiore o minore grado di precisione che si intende raggiungere infatti, più si aumentano le cifre decimali, più ci si avvicina al valore esatto. Un risultato approssimato per troncamento, quindi, si avvicina a quello esatto senza coincidervi. Per esempio, se consideriamo la divisione 5 : 3 otteniamo 1,6; le relative approssimazioni per troncamento sono: 1,6! troncamento ai decimi; 1,66! troncamento ai centesimi; 1,666! troncamento ai millesimi; 1,6666! troncamento ai decimillesimi... e così via. Arrotondamento L approssimazione per arrotondamento è il procedimento che permette di avvicinarsi ad un valore dato con un determinato numero di cifre significative. L approssimazione per arrotondamento si può presentare in due forme diverse: per difetto o per eccesso. n L arrotondamento per difetto porta ad un risultato inferiore rispetto a quello esatto; n l arrotondamento per eccesso porta ad un risultato maggiore rispetto a quello esatto. Normalmente si usa arrotondare per difetto quando la cifra seguente a quella fissata per l arrotondamento è minore di 5; per eccesso quando la cifra seguente a quella fissata per l arrotondamento va da 5 a 9. Così, ad esempio, se consideriamo il numero 1,1538: l arrotondiamo all unità! 1 per difetto perché la cifra dei decimi (1) è minore di 5; l arrotondiamo ai decimi! 1,2 per eccesso perché la cifra dei centesimi è 5; l arrotondiamo ai centesimi! 1,15 per difetto perché la cifra dei millesimi (3) è minore di 5; l arrotondiamo ai millesimi! 1,154 per eccesso perché la cifra dei decimillesimi (8) è maggiore di CAPITOLO 1 I NUMERI RAZIONALI

23 L arrotondamento è il procedimento che normalmente viene usato nei calcoli con gli Euro; quando il valore è composto da più di due cifre decimali si arrotonda sempre ai centesimi. Ad esempio: E 5,324 ¼ E 5,32; E 8,567 ¼ E 8,57. GUIDA ALLO STUDIO Prova subito 1 Completa le seguenti affermazioni. a. L approssimazione per troncamento ai decimi del numero 0,48 è...; l arrotondamento ai decimi è... b. L approssimazione per troncamento ai decimi del numero 1,62 è...; l arrotondamento ai decimi è... c. L approssimazione per troncamento ai centesimi del numero 0,134 è...; l arrotondamento ai centesimi è... d. L approssimazione per troncamento ai centesimi del numero 14,2785 è...; l arrotondamento ai centesimi è... e. L approssimazione per troncamento ai millesimi del numero 0,1357 è...; l arrotondamento ai millesimi è... 2 Approssima per troncamento i seguenti numeri decimali: a. 1,0342 ai millesimi :...; b. 35,5 all unità :...; c. 580,37 ai decimi :...; d. 78,992 ai centesimi :...; e. 0,088 ai centesimi :...; f. 78,9921 ai millesimi :... 3 Calcola i quozienti delle seguenti frazioni con l arrotondamento indicato: 7 a. 32 ¼ 7 : 32 ¼ 0,21875! ai centesimi :...; b. 1 ¼ 1 : 21 ¼ ::::::::::::! ai decimi :...; 21 c ¼ 17 : 6 ¼ ::::::::::::! ai millesimi :...; d. 18 ¼ ::::::: : ::::::: ¼ ::::::::::! ai millesimi : Matematica e... tasse. La famiglia Pagani deve pagare la tassa sulla prima casa; dal comune di residenza arriva la cartella con il seguente importo E 102,755. Quanto deve versare la famiglia per essere in regola con la tassa? 5 Se scrivo il numero 73,2544 nella forma 73,25 ho approssimato per difetto o per eccesso? 6 Matematica e... disegno tecnico. Nella figura seguente è rappresentata la piantina di una stanza. Quanto è lunga questa stanza? Quanto è larga? Approssima la misura ai decimi. 7 Matematica e... consumi. L immagine indica un contatore del gas con il relativo consumo in m 3. Sapendo che il pagamento avviene arrotondando la lettura ai decimi, indica quanti m 3 saranno riportati sulla fattura. CAPITOLO 1 I NUMERI RAZIONALI 21

24 l3 La frazione generatrice di un numero decimale Per trasformare un numero decimale nella sua frazione generatrice è necessario distinguere il procedimento in relazione al tipo di numero decimale. ANIMAZIONE I caso Numeri decimali limitati Trasformiamo il numero decimale 3,45 nella relativa frazione generatrice. Per quanto abbiamo detto a proposito della scrittura polinomiale di un numero, siamo in grado di operare la seguente trasformazione: 3,45 ¼ 3 þ 4 0,1 þ 5 0,01 ¼ 3 þ þ ¼ 3 þ 4 10 þ þ 40 þ 5 ¼ ¼ La frazione generatrice del numero 3,45 deve poi essere ridotta ai minimi termini: ¼ In base a questa procedura possiamo ricavare la seguente: REGOLA. La frazione generatrice di un numero decimale limitato è una frazione avente: l per numeratore il numero stesso senza virgola; l per denominatore una potenza di 10 di esponente uguale al numero delle cifre decimali del numero considerato. II caso Numeri decimali periodici semplici Per trasformare un numero decimale periodico semplice nella relativa frazione generatrice occorre seguire attentamente un procedimento particolare di cui ci limitiamo ad enunciare la regola pratica che utilizzeremo nel calcolo. REGOLA. La frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice è una frazione avente: l l per numeratore il numero ottenuto dalla differenza tra tutto il numero, compreso il periodo e senza virgola, e la sua parte intera; per denominatore tanti nove quante sono le cifre del periodo. Trasformiamo, ad esempio, il numero 64,34 nella relativa frazione generatrice: tutto il numero compreso il periodo e senza virgola parte intera 64,34 ¼ ¼ frazione generatrice numero decimale periodico semplice due 9 (corrispondenti al numero di cifre del periodo) 22 CAPITOLO 1 I NUMERI RAZIONALI

25 III caso Numeri decimali periodici misti Anche in questo caso diamo solo la regola generale. REGOLA. La frazione generatrice di un numero decimale periodico misto è una frazione avente: l per numeratore il numero ottenuto dalla differenza tra tutto il numero, compreso il periodo e l antiperiodo e senza virgola, e il numero formato dalle cifre che precedono il periodo compreso l antiperiodo e senza virgola; l per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono le cifre dell antiperiodo. Trasformiamo, ad esempio, il numero decimale 5,326 nella relativa frazione generatrice: tutto il numero compreso il periodo e l antiperiodo e senza virgola parte che precede il periodo compreso l antiperiodo e senza virgola 5,326 ¼ ¼ ¼ frazione generatrice ridotta ai minimi termini numero decimale un 9 (corrispondente due 0 (corrispondenti al numero periodico misto alla cifra del periodo) di cifre dell antiperiodo) GUIDA ALLO STUDIO Prova subito 1 Matematica e... creatività. L insegnante chiede alla classe a quale frazione corrisponde il numero decimale periodico misto 0,56? Rispondono quattro alunni. Chi ha ragione? A quale delle seguenti frazioni corrisponde il numero decimale periodico semplice 0,75? a. 5 6 ; b. 3 4 ; c. 7 5 ; d Trasforma i seguenti numeri decimali nelle loro corrispondenti frazioni generatrici: a. 4,72; b. 27,9; c. 3112,04; d. 3,62; e. 14,06; f. 852,356. CAPITOLO 1 I NUMERI RAZIONALI 23

26 Nelle seguenti coppie di numeri inserisci il segno di uguale o di diverso (attenzione: non tutte le frazioni sono ridotte ai minimi termini) a. 5,8 ::::: 10 ; b. 389,45 ::::: ; c. 0,004 ::::: a. 23,6 ::::: 6 a. 2,83 ::::: ; b. 1,72 ::::: ; c. 0,90 ::::: ; b. 1,53 ::::: ; c. 1,56 ::::: Matematica e... analisi chimica. Nell immagine seguente è riportata l analisi chimica di un acqua minerale. Trasforma in frazioni il numero di milligrammi per litro relativamente al magnesio, al cloruro e al potassio. 8 Matematica e... tuorli d uovo. Se 6 tuorli d uovo pesano 100 g, quanto pesa un tuorlo? Trasforma questo valore in frazione. 9 Matematica... in cucina. Per preparare 12 pancakes sono necessari: 150 g di farina 25 g di zucchero 225 ml di latte 20 g di uova Se volessi preparare solo 2 pancakes come diventerebbe la ricetta? Elenca gli ingredienti prima in forma decimale e poi in frazione. 24 CAPITOLO 1 I NUMERI RAZIONALI

27 l4 Le espressioni con i numeri decimali Lo scorso anno abbiamo risolto espressioni contenenti numeri decimali limitati semplicemente rispettando le stesse regole utilizzate nel calcolo con i numeri naturali. In alternativa è anche possibile trasformare tutti i numeri decimali nelle corrispondenti frazioni generatrici, secondo le modalità studiate nel paragrafo precedente, ed eseguire il calcolo dell espressione con le relative frazioni. La risoluzione di espressioni contenenti sia numeri decimali limitati, sia numeri decimali periodici semplici e periodici misti prevede sempre, come prima operazione, la trasformazione di tutti i numeri decimali nelle corrispondenti frazioni generatrici. Osserva attentamente i seguenti due esempi. esempi GUIDA ALLO STUDIO 1. ð2,5 þ 0,25Þ : 5,5 þ 2,25 0,75. I metodo Effettuiamo il calcolo con i numeri decimali limitati secondo le regole note: 2,75 : 5,5 þ 2,25 0,75 ¼ 0,5 þ 2,25 0,75 ¼ 2 II metodo Trasformiamo tutti i numeri decimali nelle relative frazioni generatrici e svolgiamo i calcoli: þ 25 : þ ¼ 5 2 þ 1 : þ ¼ 11 4 : 11 2 þ ¼ ¼ þ ¼ 1 2 þ ¼ 2 þ 9 3 ¼ 8 2 ¼ ,6 2 þ 0,5 : 1,25 1 þ 0,16 þ 0,2 : 0,125 : ð5 þ 0,2Þ. Vista la presenza di numeri periodici dobbiamo trasformare tutti i numeri decimali nelle relative frazioni generatrici: þ : þ þ : 125 : 5 þ 2 ¼ ¼ þ 1 2 : þ 1 6 ¼ þ 1 2 : 5 12 þ 1 5 : 1 8 ¼ þ 6 5 þ 8 5 þ 1 5 : 1 : 5 þ 1 ¼ 8 5 : 26 5 ¼ þ þ : 26 5 ¼ : 26 5 ¼ : 26 5 ¼ ¼ ¼ 0,6. CAPITOLO 1 I NUMERI RAZIONALI 25

28 Prova subito 1 Matematica e... creatività. Lucia ha risolto la seguente espressione ma l insegnante di matematica ha sottolineato in verde un errore che ha compromesso lo sviluppo dell espressione; correggi l errore e continua tu. Se non commetti ulteriori errori troverai che il risultato è ,5 þ 0,6 0,05 : 3,2 2,16 ¼ 10 2 þ " # 9 þ ¼ : ¼ : ¼ 6 : ¼ : ¼ Calcola il valore delle seguenti espressioni con i numeri decimali. 2þ2: a. ð0,25 þ 1,4 : 0,8Þ 0,5 þð10,2 : 2,4 0,2Þ 0,1 2 1,34 Trasformiamo tutti i numeri decimali nelle corrispondenti frazioni generatrici: 25 ¼ 100 þ ::::: ::::: : þ ::::: ::::: : ::::: þ2 ¼ 10 ::::: 100 semplificando le frazioni otteniamo la seguente espressione che dovrai completare sul quaderno: ( " 1 ¼ 4 þ 7 5 : þ 51 5 : # ) þ2 ¼ :::::::::: ¼ h i b. ð1,5 þ 0,25 1,75Þ 0,6 þ 0,83 0,6 þ 0,5 þ 0,13 : 0,43. Trasformiamo tutti i numeri decimali limitati, periodici semplici e misti nelle corrispondenti frazioni generatrici: ::::: ¼ ::::: þ 25 ::::: ::::: 9 þ ::::: ::::: 6 10 þ þ : ¼ semplificando le frazioni otteniamo la seguente espressione che dovrai completare sul quaderno: 3 ¼ þ ::::: ::::: þ 5 ::::: þ ::::: þ ::::: : ::::: ¼ ::::: ¼ Matematica e... supermercato. Per festeggiare il suo compleanno Marta invita a casa sua alcuni amici e decide così di acquistare 24 pizzette, 4 bottiglie di succo, 18 pasticcini e 16 salatini. Il costo unitario di ciascun prodotto è: pizzette E 0,60 bottiglie di succo E 0,90 pasticcini E 0,80 salatini E 0,75 a. Scrivi un espressione che rappresenti la spesa totale di ciò che Marta vuole acquistare. b. Calcola il valore dell espressione per determinare la spesa sostenuta da Marta. 4 Matematica e... colazione. Luisa ogni mattina fa colazione al bar e prende un cornetto che costa E 0,70 e un cappuccino che costa E 1,30. Quanto ha speso nel mese di marzo? Scrivi l espressione che rappresenta il problema e risolvila trasformando i numeri in frazioni. 5 Calcola i 5 di 16 diminuiti della terza parte di 2 prima utilizzando le frazioni e poi i numeri decimali; quale procedimento è più 6 conveniente? 26 CAPITOLO 1 I NUMERI RAZIONALI

29 M ATEMATICA PER TUTTI I NUMERI RAZIONALI Di seguito rappresentiamo uno schema che mostra le caratteristiche dei numeri razionali e la loro classificazione. NUMERI RAZIONALI NUMERI DECIMALI numeri con la virgola PARTE INTERA a sinistra della virgola 35,46 PARTE DECIMALE a destra della virgola 35,46 PUÒ ESSERE FINITA INFINITA PERIODICA il numero è decimale limitato 7,15 8,3217 c è solo il periodo periodico semplice 7,23 ci sono il periodo e l antiperiodo periodico misto 14,12 CAPITOLO 1 I NUMERI RAZIONALI 27

30 DAL NUMERO DECIMALE LIMITATO ALLA FRAZIONE GENERATRICE 3,623 l Traccia la linea di frazione e al numeratore scrivi il numero senza virgola 3623 FRAZIONE GENERATRICE l Al denominatore scrivi la cifra 1 seguita da tanti 0 quante sono le cifre decimali del numero dato È la frazione generatrice del numero 3,623 infatti: 3623 : 1000 ¼ 3,623 La frazione generatrice di un numero decimale limitato è una frazione che ha per numeratore il numero intero ottenuto sopprimendo la virgola e per denominatore la cifra 1 seguita da tanti 0 quante sono le cifre decimali DAL NUMERO DECIMALE PERIODICO SEMPLICE ALLA FRAZIONE GENERATRICE 3,5 l Traccia la linea di frazione e al numeratore scrivi il numero senza virgola poi sottrai le cifre che precedono il periodo 35 3 FRAZIONE GENERATRICE 32 9 l Al denominatore scrivi tanti 9 quante sono le cifre del periodo l Esegui la sottrazione al numeratore 32 9 È la frazione generatrice del numero 3,5 infatti: 32 : 9 ¼ 3,5555::: La frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice è una frazione che ha per numeratore il numero ottenuto dalla differenza tra tutto il numero, compreso il periodo e senza virgola, e la sua parte intera e per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo. 28 CAPITOLO 1 I NUMERI RAZIONALI

31 DAL NUMERO DECIMALE PERIODICO MISTO ALLA FRAZIONE GENERATRICE 1,271 l Traccia la linea di frazione e al numeratore scrivi il numero senza virgola poi sottrai la parte che precede il periodo (compreso l antiperiodo) FRAZIONE GENERATRICE l Al denominatore scrivi tanti 9 quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti 0 quante sono le cifre dell antiperiodo l Esegui la sottrazione al numeratore È la frazione generatrice del numero 1,271 infatti: 1259 : 990 ¼ 1, ::: La frazione generatrice di un numero decimale periodico misto è una frazione che ha per numeratore il numero ottenuto dalla differenza tra tutto il numero, compreso il periodo e l antiperiodo e senza virgola, e il numero formato dalle cifre che precedono il periodo compreso l antiperiodo e senza virgola; per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono le cifre dell antiperiodo. Per eseguire le operazioni con i numeri periodici devi prima trasformarli in frazioni. L APPROSSIMAZIONE DI UN NUMERO DECIMALE 2,5 km è un indicazione più facilmente comprensibile rispetto a 2,5012 km Scelgo un numero formato da poche cifre decimali per rendere più comprensibile un numero con molte cifre decimali. APPROSSIMAZIONE PER TRONCAMENTO Conservo alcune cifre e sopprimo quelle situate a destra Le approssimazioni successive del numero 3,7837 sono 3 (all unità) 3,7 (ai decimi) 3,78 (ai centesimi) 3,783 (ai millesimi) CAPITOLO 1 I NUMERI RAZIONALI 29

32 ARROTONDAMENTO Conservo alcune cifre e sopprimo quelle situate a destra in base al seguente criterio:! se la cifra che segue quella da mantenere è minore di 5, lascio la cifra così come è (approssimazione per difetto);! se la cifra che segue quella da mantenere è uguale o maggiore di 5 aumento di un unità la cifra da mantenere (approssimazione per eccesso). L arrotondamento del numero 3,7837 è 4 (all unità; approssimazione per eccesso) 3,8 (ai decimi; approssimazione per eccesso) 3,78 (ai centesimi; approssimazione per difetto) 3,784 (ai millesimi; approssimazione per eccesso) ESERCIZI 1 Individua quali delle seguenti frazioni sono apparenti e quali non apparenti (ordinarie). 7 3 ; 6 3 ; ; 25 5 ; Trasforma le seguenti frazioni nei corrispondenti numeri e classificali: a. 8 4 ¼ ::::::; b. 7 5 ¼ ::::::; c. 8 3 ¼ ::::::; d. 5 6 ¼ ::::::; e ¼ ::::::; f. 3 8 ¼ :::::: 3 Stabilisci, senza eseguire la divisione tra il numeratore e il denominatore, se le seguenti frazioni danno origine a un numero decimale limitato (L), periodico semplice (PS) o periodico misto (PM): a ¼ ¼! L; b ¼ ¼!::::::::; c ¼ ¼! ::::::::; d ¼ 13 :::::! ::::::::; e ¼ 5 ::::: ¼! ::::::::; f ¼ 5 :::::! :::::::: 4 Calcola il quoziente approssimato per troncamento ai centesimi delle seguenti frazioni: a ¼ 15 : 8 ¼ 1,87; b. 7 ¼ 7 : 12 ¼ :::::; CAPITOLO 1 I NUMERI RAZIONALI

33 La frazione come numero razionale assoluto la teoria è a pag. 15 Conoscenze ULTERIORI ESERCIZI 1 Delle seguenti affermazioni indica quali sono vere e quali false. Dividendo il numeratore per il denominatore di una frazione: a. decimale non apparente otteniamo sempre un numero decimale illimitato V F b. ordinaria non apparente otteniamo sempre un numero decimale limitato V F c. apparente otteniamo qualche volta un numero naturale V F d. ordinaria apparente otteniamo sempre un numero razionale assoluto. V F 2 Il numero 5, è un numero: a. naturale; b. decimale periodico; c. decimale illimitato; d. decimale limitato. 3 Delle seguenti affermazioni indica quali sono vere e quali false: a. una frazione si dice decimale quando ha per denominatore una potenza di 10 V F b. una frazione si dice decimale quando ha per numeratore una potenza di 10 V F c. una frazione si dice ordinaria quando il denominatore non è una potenza di 10 V F d. una frazione si dice ordinaria quando il numeratore è una potenza di 10. V F 4 Se la scomposizione del denominatore di una frazione ridotta ai minimi termini non ammette fra i suoi fattori né il numero 2 né il numero 5, allora il numero razionale che si origina dalla divisione fra numeratore e denominatore è un numero: a. decimale limitato; b. decimale periodico semplice; c. decimale periodico misto; d. naturale. Abilità Dopo aver eseguito la divisione tra numeratore e denominatore, stabilisci a quale tipo di numero decimale danno origine le seguenti frazioni. 5 esercizio guida 6 a. 7 a. 8 a. 9 a. 10 a. a. b. c. 18 ¼ 18 : 9 ¼ 2 9! numero ¼ 13 : 40 ¼ 0,325 40! numero ¼ 19 : 100 ¼ ::::::::: 100! numero ; b. 7 6 ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d. 5 6 ; e ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e CAPITOLO 1 I NUMERI RAZIONALI

34 11 a. 12 a. 13 a ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d. 5 9 ; e ; b ; c ; d ; e Trasforma le seguenti frazioni in numeri decimali e poi disponi i numeri ottenuti in ordine decrescente: 8 5 ; 7 3 ; ; 7 8 ; ; ; Dopo aver ridotto ai minimi termini le seguenti frazioni, trasformale nei corrispondenti numeri decimali e poi disponi i numeri ottenuti in ordine decrescente: 6 9 ; ; ; ; ; ; Individua quali fra le seguenti frazioni sono decimali e quali ordinarie. 16 esercizio guida 17 a. 18 a. 19 a. 20 a. 21 a. a. b. c. d. 37 : 28 frazione ordinaria (il denominatore è un numero diverso da una potenza di 10) 19 : 1000 frazione... (il denominatore è una potenza di...) 5 : 4 frazione... (il denominatore è un numero diverso da una potenza di...) 23 : 10 frazione... (il denominatore è una potenza di...) ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e Trasforma le seguenti frazioni decimali nei corrispondenti numeri decimali. 22 esercizio guida 23 a. a ; b ; c a. 10 ¼ 6,7 b ¼ :::::::::: c ¼ ::::::::: # " # " # " uno una cifra due due cifre tre tre cifre zero! decimale zeri! decimali zeri! decimali ; b ; c ; d ; e CAPITOLO 1 I NUMERI RAZIONALI 33

35 24 a. 25 a. 26 a ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e a ; b ; c ; d ; e a. 29 a. 30 a. 31 a. 32 a. Fra le seguenti frazioni identifica quelle decimali e ricava il numero decimale limitato corrispondente ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e Classifica i seguenti numeri decimali, indicando le parti che li compongono. 33 esercizio guida a. 5,26! decimale limitato: 5 ¼ parte intera; 26 ¼ parte decimale; b. 3,46! decimale periodico...: 3 ¼...; 46 ¼...; c. 56,867! decimale periodico...: 56 ¼...; 8 ¼...; 67 ¼ a. 78,87; b. 0,435; c. 12,78; d. 1,0864; e. 0, a. 0,023; b. 56,007; c. 0,803; d. 34,68; e. 1, a. 7,95; b. 5,03; c. 31,3153; d. 0,003; e. 13, a. 6,13; b. 0,0019; c. 6,893; d. 12,534; e. 161, Stabilisci se i seguenti numeri sono decimali periodici semplici o periodici misti; indica quindi la parte intera, la parte decimale, il periodo e l antiperiodo: a. 5,8; b. 0,05; c. 7,765; d. 6,01; e. 25,01; f. 0,32101; g. 19,39; h. 15, Completa la seguente tabella: Numero decimale Limitato Periodico semplice Periodico misto Parte intera Parte decimale Antiperiodo 2,35 x ,45 7,2 12,034 0, ,7 Periodo 34 CAPITOLO 1 I NUMERI RAZIONALI

36 40 Inserisci il segno di uguale o diverso tra le seguenti coppie di numeri: a. 5,467 ::::: 5, :::; b. 34,5 ::::: 34,555555:::; c. 0,754 ::::: 0, :::; d. 16,21 ::::: 16,212121::::; e. 321,7623 ::::: 321, :::; f. 1,905 ::::: 1, :::; g. 901,4472 ::::: 901, :::; h. 14,3157 ::::: 14, ::: 41 Inserisci il segno di maggiore, minore o uguale fra le seguenti coppie di numeri: a. 7,5 ::::: 7,5; b. 7,47 ::::: 7,315; c. 10,41 ::::: 10,5; d. 13,105 ::::: 13,1; e. 14,73 ::::: 14,7; f. 121,4 ::::: 121, L insegnante di matematica fa la seguente domanda: "Quale fra i seguenti numeri decimali è il numero maggiore e quale il numero minore?". Risponde Matteo: 12,09; 12,99; 12,90; 12,19; 12,19; 12,09; 12,19; 12,909. Secondo te Matteo: a. ha sbagliato entrambi i numeri; b. ha sbagliato solo il numero maggiore; c. ha risposto in modo corretto; d. ha sbagliato solo il numero minore. Secondo me il numero maggiore è 12,09 e il minore è 12, Disponi in ordine crescente i seguenti numeri decimali limitati: 15,89; 15,09; 15,98; 15,9; 15,01; 15,8; 14, Disponi in ordine decrescente i seguenti numeri decimali periodici semplici: 8,601; 8,6; 8,61; 8,611; 8,161; 8,061; 8, Disponi in ordine crescente i seguenti numeri decimali periodici misti: 0,093; 0,094; 0,904; 0,004; 0,490; 0,409; 0, Disponi i seguenti numeri decimali in ordine crescente: 6,01; 5,95; 5,95; 5,9; 5,9; 5,91; 5,5. Senza eseguire la divisione tra il numeratore e il denominatore stabilisci quale tipo di numero decimale si origina dalle seguenti frazioni. 47 esercizio guida ! La frazione è già ridotta ai minimi termini; scomponiamo dunque il... in fattori ¼ ::::: 5 2 :::::: Il denominatore scomposto in... primi contiene i fattori... pertanto: 131! numero... infatti 131 : 300 ¼ ::::::::: a. 49 a. 50 a. 3 5 ; b. 4 3 ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e ; b ; c ; d ; e CAPITOLO 1 I NUMERI RAZIONALI 35

37 Ulteriore verifica interattiva Verifica sommativa TEST INTERATTIVO 1 [2 punti] Scegli la forma decimale corretta delle seguenti frazioni decimali: a ,3 0,3 fi 13,0 b ,25 0,125 fi 12,5 2 [2 punti] Calcola il quoziente delle seguenti frazioni e stabilisci se si tratta di un numero decimale limitato o illimitato: a ,6 2,6 fi 2,5 b ,875 1,87 fi 1,8 3 [1 punto] Individua quali fra i seguenti numeri sono decimali limitati: a. 2,6 b. 1,875 c. 4,75 d. 2,2 e. 5,46 f. 3,6 g. 3,3 h. 9,7 4 [2 punti] Inserisci al posto dei puntini il simbolo di maggiore o minore: a. 0,3... 0,3; b. 17, ,9; c. 8, ,01; d. 2,5... 2,5. 5 [2 punti] Calcola il quoziente arrotondato ai millesimi delle seguenti frazioni: a ,143 2,142 fi 2,14 b ,285 1,286 fi 1,300 6 [2 punti] Trasforma nella corrispondente frazione decimale i seguenti numeri decimali finiti: a. 8, fi 81 9 fi b. 0, [4 punti] Trasforma nella corrispondente frazione generatrice i seguenti numeri periodici: a. 0, b. 0, fi fi [3 punti] Esegui le seguenti operazioni in colonna e trasforma il risultato in frazione: a. 0,93 þ 10,45 5, b. 5,32 þ 11,45 15, c. 35,9 7,58 12, fi fi fi [3 punti] Risolvi la seguente espressione: 8 90 ð1,03 þ 0,05Þ a b c SOLUZIONI E AUTOVALUTAZIONE Controlla l esattezza delle soluzioni con quelle riportate a pagina 308 ed assegnati il punteggio corrispondente per ciascun esercizio svolto correttamente. In particolare, se il totale del tuo punteggio è nella fascia rossa devi eseguire l attività di recupero; se il punteggio raggiunto supera il limite della fascia rossa puoi affrontare le attività per il potenziamento. 46 CAPITOLO 1 I NUMERI RAZIONALI

38 recupero e rinforzo Matematica per te Frazioni e numeri decimali Si dicono frazioni decimali quelle frazioni che hanno come denominatore una potenza di 10. Si dicono frazioni ordinarie quelle frazioni che hanno come denominatore un numero diverso da 10. n Dividendo il numeratore per il denominatore di una frazione apparente si ottiene un numero naturale. n Dividendo il numeratore per il denominatore di una frazione non apparente si ottiene un numero decimale. In particolare: l se il resto della divisione è zero, la frazione dà origine ad un numero decimale limitato. Il denominatore della frazione (ridotta ai minimi termini) è composto esclusivamente dai fattori primi 2 e/o 5 o le loro potenze; l se si ottiene, dopo la parte intera, una cifra (o un gruppo di cifre) che si ripete all infinito, la frazione dà origine ad un numero periodico semplice; la cifra (o il gruppo di cifre) che si ripete si chiama periodo. Il denominatore della frazione (ridotta ai minimi termini) è composto esclusivamente da fattori primi diversi da 2 e 5; l se si ottiene, dopo la parte intera, una cifra (o un gruppo di cifre) che non si ripete e una cifra (o un gruppo di cifre) che si ripete all infinito, la frazione dà origine ad un numero periodico misto; la cifra (o il gruppo di cifre) che non si ripete si chiama antiperiodo, la cifra (o il gruppo di cifre) che si ripete si chiama periodo. Il denominatore della frazione (ridotta ai minimi termini) è composto da altri fattori primi oltre a2e5. 1 Inserisci al posto dei puntini il segno di uguale, maggiore o minore: a. 3,8811 ::::: 3,801; b. 5,09 ::::: 5,0819; c. 7,9 ::::: 8,1; d. 4,2 ::::: 4,219; e. 8,9 ::::: 8,809; f. 56,1181 ::::: 56, Trasforma le seguenti frazioni decimali nei corrispondenti numeri decimali. 53 a. 10 ; b ; c ; d Suddividi le seguenti frazioni in ordinarie e decimali. Stabilisci inoltre il tipo di numero decimale che si origina eseguendo la divisione tra numeratore e denominatore a. 10 ; b. 2 7 ; c ; d a. 25 ; b ; c ; d Dopo aver eseguito la divisione tra numeratore e denominatore, stabilisci a quale tipo di numero decimale danno origine le seguenti frazioni. 18 a. 6 ; b ; c ; d. 7 6 ; e Stabilisci a quale tipo di numero decimale danno origine le seguenti frazioni senza eseguire la divisione tra numeratore e denominatore (ricorda che devi ridurre la frazione ai minimi termini). 6 a. 7 a. 8 a. 9 a ; b ; c ; d ; b ; c ; d ; b ; c ; d ; b ; c ; d CAPITOLO 1 I NUMERI RAZIONALI 47

39 Cosa si intende per approssimazione di un numero decimale? n Il valore approssimato per troncamento di un numero decimale si ottiene considerando la cifra corrispondente all approssimazione richiesta e fermando ad essa il numero. n L arrotondamento di un numero permette di avvicinarsi ad un valore dato con un numero determinato di cifre decimali. Inoltre, se la cifra seguente a quella fissata per l arrotondamento è: l minore di 5 dobbiamo arrotondare per difetto ponendo uguale a zero questa cifra e tutte le successive; l uguale o maggiore di 5 dobbiamo arrotondare per eccesso aumentando di uno la corrispondente cifra scelta per l arrotondamento e ponendo uguale a zero tutte le cifre successive. Come si calcola la frazione generatrice di un numero decimale? La frazione generatrice di: n un numero decimale limitato è la frazione che ha per numeratore il numero stesso senza virgola e per denominatore una potenza di 10 con esponente uguale al numero delle cifre decimali del numero considerato. Esempio: 7,523 ¼ n un numero decimale periodico semplice è la frazione che ha per numeratore la differenza tra tutto il numero, compreso il periodo e senza virgola, e la sua parte intera, e per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo. Esempio: 1,47 ¼ ¼ n un numero decimale periodico misto è la frazione che ha per numeratore la differenza tra tutto il numero, compreso il periodo e l antiperiodo e senza virgola, e il numero formato dalle cifre che precedono il periodo, compreso l antiperiodo e senza virgola, e per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti 0 quante sono le cifre dell antiperiodo. Esempio: 1,47 ¼ ¼ Le approssimazioni successive per troncamento del numero 6,5627 sono: a. a meno di un unità: 6; b. a meno di un decimo: 6,...; c. a meno di un centesimo:...; d. a meno di un millesimo: Gli arrotondamenti successivi del numero 1,8764 sono: a. a meno di un unità: 2; b. a meno di un decimo: 1,...; c. a meno di un centesimo:...; d. a meno di un millesimo: Esegui la seguente addizione e arrotonda il risultato ai centesimi: 0,35 þ 4 þ 1,28 ¼ ::::::::::::::::::: 7 13 Trasforma i seguenti numeri decimali limitati nelle corrispondenti frazioni generatrici e riduci, quando è possibile, ai minimi termini le frazioni ottenute: a. 6,8; b. 3,27; c. 0,312; d. 26,88; e. 1,332; f. 0, Trasforma i seguenti numeri decimali periodici semplici nelle corrispondenti frazioni generatrici e riduci, quando è possibile, ai minimi termini le frazioni ottenute: a. 1,42; b. 0,314; c. 51,6; d. 32,25; e. 0,324; f. 4, Trasforma i seguenti numeri decimali periodici misti nelle corrispondenti frazioni generatrici e riduci, quando è possibile, ai minimi termini le frazioni ottenute: a. 8,53; b. 0,437; c. 0,561; d. 1,93; e. 5,36; f. 43,876. Calcola il valore delle seguenti espressioni e trasforma il risultato in forma decimale. 16 7,3 4,5 : 9,4 8,5 þ 0,3 2,5. ½0,83Š 17 0,25 þ 3,7 2,14 : 16,2 2,7 : 3,76: 0,083 TEST DI RECUPERO SOLUZIONI POWERPOINT L attività di recupero, oltre all aiuto di file audio, si completa con i file in PowerPoint disponibili sul sito 48 CAPITOLO 1 I NUMERI RAZIONALI

40 approfondimenti Competenze SCALE TERMOMETRICHE L unità di misura della temperatura è il grado centigrado o grado Celsius (si indica con C). Esistono altre scale: la scala Réaumur ( R), usata una volta in Francia, e la scala Fahrenheit ( F), attualmente usata soprattutto nei paesi anglosassoni. Per trasformare una temperatura da Cin R si devono moltiplicare i C per 0,8. Per trasformare una temperatura da Cin F si devono moltiplicare i C per 1,8 e aggiungere poi 32. Rispondi alle seguenti domande a. A quanti R corrisponde una temperatura di 23 C? b. A quanti F corrisponde una temperatura di 18 C? c. A che temperatura in R bolle l acqua a livello del mare? d. A che temperatura in F l acqua si trasforma in ghiaccio a livello del mare? e. "Fahrenheit 451" è il titolo di un libro di fantascienza scritto da Ray Bradbury. Il valore 451 indica la temperatura in F a cui brucia la carta. Qual è questa temperatura in C? f. Completa infine la seguente tabella di conversione in modo che non compaia nessun numero in forma decimale, ma solo numeri in forma frazionaria. Scala di partenza Scala di arrivo Formula C R R ¼ :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: C F F ¼ :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: R C C ¼ :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: F C C ¼ :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: R F F ¼ :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: F R R ¼ :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: LA PRESSIONE ATMOSFERICA Per misurare la pressione di un gas esistono diverse unità di misura. Alla latitudine di 45, alla temperatura di 15 Ceal livello del mare la pressione atmosferica misura 1 atmosfera (atm). Esistono però altre unità di misura che sono il bar e il Pascal (Pa). Per la conversione da un unità di misura all altra si utilizzano le seguenti equivalenze: 1 atm corrisponde a Pa; 1 bar corrisponde a 10 5 Pa. Rispondi alle seguenti domande indicando il risultato in forma frazionaria. a. A quanti bar corrisponde una pressione di 1 Pa? b. A quante atm corrisponde una pressione di 1 Pa? c. A quanti bar corrisponde una pressione di 1 atm? d. A quante atm corrisponde una pressione di 1 bar? e. Il signor Gonfi ha letto su un vecchio libro che per trasformare una pressione, data in atm, in una pressione in bar basta moltiplicare per 193, dividere per e moltiplicare di nuovo per 21. Stabilisci se questo procedimento è corretto e spiega il motivo. CAPITOLO 1 I NUMERI RAZIONALI 49

41 LA RESISTENZA ELETTRICA La resistenza è una grandezza fisica che indica l opposizione che offre un corpo al movimento degli elettroni al suo interno quando è sottoposto a una tensione elettrica; è quindi un indicazione della sua conducibilità, ovvero di quanto sia facile o meno che la corrente elettrica lo attraversi. Il valore numerico della resistenza dipende sia dal materiale con cui il corpo è realizzato che dalle sue dimensioni. In base al valore di conducibilità elettrica è stato possibile dividere i materiali in conduttori ed isolanti. I cavi elettrici presentano l interno costituito da un metallo, generalmente rame, che è conduttore, rivestito all esterno da un materiale plastico con conducibilità uguale a zero. Nel Sistema Internazionale di Misura, l unità di misura della resistenza è l Ohm ðþ. Siano noti i valori della resistenza di tre materiali: RESISTENZA VALORE DECIMALE VALORE FRAZIONARIO R 1 3,6 R 2 3,56 R 3 3,6 Dopo aver disposto i tre valori in ordine crescente, classifica i numeri decimali e determina le frazioni generatrici. CRUCIVERBA Orizzontali 6. Numero periodico con denominatore scomposto in fattori primi che contiene 2 e/o 5 e altri numeri. 7. Frazione con denominatore 10 o una sua potenza. 9. Frazione con denominatore diverso da 10 o da una sua potenza. 10. Procedimento che permette di avvicinarsi ad un valore non raggiungibile in modo esatto. 11. Cifra successiva alla virgola che si ripete all infinito. Verticali 1. Procedimento che permette di avvicinarsi ad un valore con un numero determinato di cifre significative. 2. Cifra dopo la virgola ma prima del periodo. 3. Numero decimale con numero di cifre decimali infinito. 4. Numero decimale con numero di cifre decimali finito. 5. Frazione che origina un numero razionale. 8. Numero periodico la cui frazione generatrice ha un denominatore scomposto in fattori primi che contiene solo fattori diversi da 2 e CAPITOLO 1 I NUMERI RAZIONALI