AFFIDABILITA DEI SISTEMI STOCASTICI (semplici)

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1 AFFIDABILITA DEI SISTEMI STOCASTICI (semplici) Un sistema (o uno qualsiasi dei suoi componenti) può essere soggetto a stress casuali. Es: un fusibile in un circuito; una trave di acciaio sotto carico; l ala di un aereo sotto l influenza di forze Collasso del componente Lo stato in cui il componente (o il sistema) cessa di funzionare Definizione Se un componente è messo in condizioni di stress in un istante temporale t= e viene osservato fino a quando collassa, la durata della vita (o il tempo necessario al collasso) è una variabile aleatoria che indicheremo con T 1

2 Definizione di guasto Per guasto si intende (a) la cessazione di un dispositivo ad adempiere la funzione richiesta (guasti totali); (b) variazione prestazione del dispositivo che lo renda inservibile (guasti parziali); Guasti intermittenti Classificazione dei guasti in base al tempo di vita del sistema Guasti infantili Guasti di usura errori montaggio errori progettazione Guasti casuali Indipendenti dal tempo E anche nota come v.a. esponenziale negativa. Perché? Nelle applicazioni, la v.a. esponenziale viene usata per descrivere il tempo di vita (aleatorio) di un sistema complesso fino al suo collasso. FX ( t) funzione di guasto (failure function) R ( t) = 1 F ( t) funzione di affidabilità (reliability function) X X 2

3 1) R() = 1 2) lim R( t) = t 3) se t t R( t ) R( t ) Proprietà della funzione R(t) RX ( t) RX ( t) RX ( t) Densità di probabilità del tempo di vita T d d f ( t) = F( t) oppure f ( t) = R( t) dt dt R( t) f ( t) R( t) f ( t) R( t ) R( t) f ( t) f ( t) 3

4 Nelle applicazioni, la v.a. esponenziale viene usata per descrivere il tempo di vita (aleatorio) di un sistema complesso fino al suo collasso. ( ) ( ) Prop: Se T Exp( λ ),allora P T > s + t T > s = P T > t ASSENZA DI MEMORIA Si dimostra che ( > + > ) = ( > ) ( ) ( ) { } (a) Se P T s t T s P T t s, t T Exp( λ) (b) Se P T s + t T > s = P T t s, t,1, 2, T Geom( p) ( ) ( ) P ( T > s) ( > + ) P ( T > s) e P T > s + t ( T > s) Proof : P T > s + t T > s = λ ( s+ t ) P T s t e λt = = = e = P T > t λs ( ) Altra formulazione della proprietà di assenza di memoria La durata di vita residua ha la stessa distribuzione della durata di vita del componente considerato. Prop: Sia T Exp( λ ) e sia t >. Posto T = T t allora ( t ) ( ) t P T t T > t = P T t per t t Se T è un tempo di vita con legge qualsiasi, qual è la distribuzione della sua vita residua? Tt ( ) ( ) ( ) F t = P T < t = P T t t T t = t Nel caso esponenziale, questa proprietà lascia qualche perplessità, perché implica che il sistema non è soggetto ad usura. T ( + ) T ( ) 1 F ( t ) F t t F t T 4

5 Def : Sia T il tempo di vita di un sistema, e sia T v.a. assolutamente contina. Si definisce tasso di gausto (o funzione di rischio ) - failure rate or hazard function la funzione f ( t) Z( t) = R( t) dove f ( t) rappresenta la funzione densità di T e R( t) la sua funzione di affidabilità. Ex: Nel caso esponenziale, il tasso di guasto è. Modello di tasso di guasto in funzione dell età generalmente impiegato nelle applicazioni. 5

6 Significat o probabilis tico : successivo [ t, t + t] f ( t) t Z( t) t = = P T ( t) t + t t f ( s) ( t) P T ds = P probabilità che il componente che è durato fino all'istante Teorema : ( ) F ( ) ' ( ) ( ( t T < t + t T t) t collassi nell'intervallo di tempo Se T è una variabile aleatoria continua, con funzione di distribuzione F tale che =, allora t R ( t ) = exp Z( s) ds, t f t R t) DIM: Z( t) = Z( t) = R( t) R( t) t ( ) Z(s)ds = log R t + cos t. t ( ) = ( ) R t K exp Z( s) ds dove K dipende dalle condizioni iniziali Esercizio 1: Stabilire se la funzione R(t)=exp[-(t/b)^k] è una funzione di affidabilità. Determinare il tasso di guasto. Esercizio 2: Si assuma che un dispositivo abbia un tasso di guasto lineare. Determinare la funzione di affidabilità e la funzione di guasto. Proprietà del tasso di guasto i Z ( t) i i i Z ( t) f ( t) t Z ( s ) d s < R Z ( t) dt = Dunque non è una probabilità! Contiene informazioni istantanee! 6

7 Un problema piuttosto comune nello studio dell affidabilità dei sistemi, è determinare tra due sistemi quello più affidabile, ossia quello che ha un tempo di vita maggiore. Come si fanno a controllare tempi di vita aleatori? Una scelta che sembra piuttosto naturale è confrontare le medie. Tempo medio di guasto (MEAN TIME TO FAILURE - MTTF) Teorema: Se E [ T ] < E[ T ] = R( t) dt PROOF: [ ] E X = xf ( x) dx = Teorema molto generale x d t f ( x) dx = d t f ( x) dx t Non è esaustivo! MTTF2 = MTTF1 7

8 Def : Un sistema A si dice più affidabile di un sistema B ( ) ( ) se R t R t per ogni t. A R R A B ( t) ( t) Tasso di guasto cumulativo B ( ) ( ) ( ) > 1 se H A t > H B ( t) = exp H A ( t) H B ( t) = 1 se H A t = H B ( t) < 1 se H A t < H B ( t) t dove H ( t) = Z( s) d s (tasso di guasto cumulativo) Si potrebbe pensare di confrontare i tassi di guasto: ( ) ( ) ( ) ( ) Teorema : Se ZA t > Z B t t RA t < RB t t (vale anche sul segno <) Non vale il viceversa. Z( t) = 1 t (linea rossa) ( t ) 2 Z( t) = 3 (linea verde) 8

9 In questo esempio, pur essendo le funzioni di affidabilità una strettamente maggiore dell altra, non vale lo stesso per i tassi di guasto! P( T > T ) T > T Come si calcola invece 1 2? significato all evento ( ) 1 2 A questo scopo è necessario dare ossia considerare coppie di variabili aleatorie Altra legge impiegata per descrivere il tempo di vita di un sistema è la legge gaussiana per via del teorema del limite centrale. Prestare attenzione alla legge dei 3 sigma Talvolta viene usato il valore assoluto della gaussiana! 9

10 Confronti Il grafico in rosso corrisponde alla gaussiana standard. Il grafico in verde corrisponde al valore assoluto di una gaussiana standard. Tasso di guasto di un modello gaussiano T N(1,1) > y<-dnorm(x,1,1)/(1-pnorm(x,1,1)) 1

11 Esercizio: Si assuma che un dispositivo abbia una funzione di guasto descritta da una v.a. uniforme sull intervallo [,1]. Determinare il tasso di guasto. Come si descrivono gli altri rami della curva a vasca da bagno? β 1 β = 1 costante β t Z( t) = = β > 1 crescente α α β < 1 decrescente Esercizio: Il modello di vita di un apparato propulsivo di un sottomarino atomico ha un tasso di guasto pari a 2 t^3. Determinare l affidabilità del sistema a due mesi. DISTRIBUZIONE DI WEIBULL Calcolare la funzione densità. Una v.a. di Weibull ha funzione densità: β 1 β β t t exp t > f ( t) = α α α altrove 11

12 Esercizio: Calcolare la funzione di ripartizione La distribuzione di Rayleigh (Lord Rayleigh - fisico britannico premio nobel), di parametro = >, descrive la v.a. Z = X + Y dove X N(, ) e Y N α σ 2 (, ) (indipendenti). σ Per β = 2 Distribuzione di Raylegh σ Per β = 1/ 2 Curva mortalità infantile NOTA: I parametri della legge di Weibull Il parametro β è detto parametro di forma. Questo perchè variando questo parametro, varia la forma della pdf Il valore di alfa è stato fissato a 1. 12

13 NOTA: I parametri della legge di Weibull Il parametro α è detto parametro di scala. Questo perchè variando questo parametro, varia il range in cui la pdf è diversa da zero. Il valore di beta è stato fissato a 1. ESERCIZI Esercizio 1: Il tempo di guasto di un radar per la navigazione aerea è rappresentabile mediante una distribuzione di Weibull con parametro di scala pari a 2 ore e parametro di forma pari a 2.1. a) Effettuare il grafico della funzione densità. b) Effettuare il grafico del tasso di guasto. c) Determinare l affidabilità del sistema a 1 ore. Esercizio 2: Sia T il tempo di vita di un componente elettronico in un aereo descritto da una v.a. di Weibull di parametro di scala 11 ore di volo e di parametro di forma 3. Determinare la probabilità di guasto dopo 1 ore. Determinare la massima lunghezza di volo tale che la probabilità di guasto sia inferiore a.5. Esercizio 3: Sia T il tempo di vita di un componente elettronico una v.a. gaussiana di deviazione standard 1 ore. Assumendo che dopo un periodo pari a 1 ore, l affidabilità stimata per il componente sia 99%, determinare la media di T. 13

14 Esercizio 4: Due compagnie producono pneumatici per auto. Entrambe le compagnie dichiarano che il tempo di vita medio dei loro prodotti è 2 miglia. Dopo una indagine statistica risulta che il tempo di vita dei pneumatici prodotti dalla compagnia A è esponenziale di parametro.5 e invece il tempo di vita dei pneumatici prodotti dalla compagnia B è gaussiano, di media 2 miglia e di deviazione standard 2 miglia. Se la politica di un negozio che affitta le macchine è di cambiare i pneumatici non appena essi raggiungono le 2 miglia, quali pneumatici converrebbe comprare? Si tratta di calcolare le funzioni di affidabilità a 2 ore: R (2) =.3678, R (2) =.5 A Esercizio 5: il tempo di vita di un sistema ha un tasso di guasto costante pari a.1. Determinare per quante ore deve funzionare affinché abbia un affidabilità pari almeno a 9%. B Esercizio 6: Il tempo di guasto di un RWR (radar warning receiver) in un aereo da combattimento segue una legge di Weibull con parametro di scala 12 ore di volo e parametro di forma 3. Lo stesso radar montato su di un elicottero ha un tempo di vita esponenziale con parametro.1. a) Confrontare le affidabilità dei due sistemi. b) Se il fornitore dà una garanzia di 75 ore di volo, calcolare il tasso di guasto a 75 ore. c) Confrontare il tempo medio di vita. 14

15 Per l esponenziale sappiamo che la media è 1/.1, ossia 1. Per la legge di Weibull, la formula della media è piuttosto complicata. Usiamo allora il seguente risultato: = E[ T ] R( t) dt Si tratta di usare una routine per l integrazione numerica in R. > integrand<-function(x){pweibull(x,3,12,lower.tail=false)} > integrate(integrand,,inf) with absolute error <.82 Pertanto ha un tempo di vita maggiore l aereo Un indice più robusto è la mediana. Essa rappresenta quel valore M tale che l affidabilità R(M) del sistema vale 5%. Per il suo calcolo, usiamo la funzione che restituisce i quantili di una distribuzione. > qexp(.5,.1) [1] > qweibull(.5,3,12) [1] MBTF= MEAN OPERATING TIME BETWEEN FAILURES e non MEAN TIME BETWEEN FAILURES E il tempo medio tra due consecutivi guasti Se dopo ogni riparazione, il sistema torna "come nuovo" allora MTBF=MTTF, ignorando il tempo impiegato per la riparazione Se il tasso di guasto è esponenziale, allora MBTF= T / n, ignorando il tempo impiegato per la riparazione. Più in generale: MBTF=MTTF+MTTR Tempo medio per la riparazione 15

16 Affidabilità condizionata Il dispositivo in esame ha funzionato fino al tempo s. Qual è la probabilità che funzioni per un altro intervallo di tempo t? ( ) P T > s + t T > s = R( s + t s) Conoscendo la funzione di affidabilità, come è possibile calcolare la funzione di affidabilità condizionata? Cosa accade nel caso esponenziale? R( s + t) R( s + t s) = R( s) Quanto vale R(t+ )? Quali sono le proprietà di questa funzione per s fissato e t variabile? Quali sono le proprietà di questa funzione per t fissato e s variabile? Affidabilità condizionata per d. Weibull 16

17 Tempo medio di vita residua (MEAN RESIDUAL LIFE) Il tempo medio di guasto per un sistema di età t tempo medio di vita residua ( t ) = E [ T t T > t ] MTTF prende il nome di Una formula per il calcolo del tempo medio di vita residua: MTTF ( t ) = t R( t) dt R t ( ) Esercizio: Il tempo di guasto di un radar per la navigazione aerea è rappresentabile mediante una distribuzione di Weibull con parametro scala pari a 2 ore e parametro forma pari a 2.1. Uno di questi radar viene montato su di un aereo. Viene dichiarato che l età del radar è di 8 ore. Trovare il tempo medio di vita residua per questo radar. Soluzione: Si tratta di calcolare E[ T 8 T > 8] ossia MTTF( 8) Costruiamo la funzione integranda > integrand<-function(x){pweibull(x,2.1,2,lower.tail=false)} Effettuiamo l integrale e assegniamo il suo valore ad una variabile > integrate(integrand,8,inf) with absolute error <.71 >a< Calcoliamo la media condizionata > a/pweibull(8,2.1,2,lower.tail=false) [1] = 8 R R( t) dt ( 8) Qual è la probabilità condizionata di guasto di un componente di età t durante l intervallo seguente di durata t? F( t + t t) = R( t) R( t + t) 1 R( t + t t) = R( t) F( t + t) F( t) P( t < T t + t) = = = P( t < T t + t T > t) R( t) P( T > t) 17

18 Altri tipi di curve bathtub Componenti meccanici Curve reali Dai dati al modello teorico. Alla ricerca del modello teorico Prendendo in considerazione il campione casuale esaminato nel capitolo sulla statistica descrittiva, ci poniamo la seguente domanda: il campione proviene da una popolazione gaussiana? > qqnorm(dati) > Se il grafico si attesta su una retta, allora si può ritenere il campione proveniente da una popolazione gaussiana. Sul grafico sono riportate le coppie dove: x ( i) ( z( i), x( i) ) rappresenta l' i-esimo dato ordinato mentre z ( Z z( i) ) ( i) rappresenta il quantile tale che P i.5 < = n 18

19 E possibile aggiungere la linea teorica di tendenza al grafico con il comando qqline() > qqline(dati) > Per la legge esponenziale e per quella di Weibull, si potrebbe costruire un grafico analogo al QQplotper la gaussiana. Tuttavia nella letteratura relativa alle applicazioni in ambito ingegneristico, si preferisce una diversa procedura. Per determinare quale distribuzione fitta meglio i dati, si utilizzano i metodi grafici cosiddetti probability plotting papers. L idea è la seguente: scelto il modello teorico, viene determinata una trasformazione degli assi in modo che la sua funzione di ripartizione risulti lineare. Rappresentando i dati e la rispettiva ECDF in questo sistema, un andamento lineare valida il modello teorico scelto. Probability plotting papers necessitano di: a) dati (ordinati in ordine crescente) b) funzione di ripartizione cumulativa Metodi di stima Mean Rank Median Rank Symmetric CDF Costruzione F(x) i/(n+1) (i-.3)/(n+.4)(bernard) (i-.5)/n Particolarmente utile per leggi asimmetriche Molto usata! Studi recenti hanno dimostrato che questo metodo grafico è più accurato Non è ancora chiaro quali di queste stime sia la migliore 19

20 Come si individua la trasformazione: Caso Esponenziale Ricordando che la funzione di guasto nel modello esponenziale è ( x) F( x) = 1 exp λ applicando una trasformazione logaritmica ad entrambi i membri si ha: da cui ponendo: log 1 λ x = 1 F ( x ) 1 y = log 1 F ( x ) y = λz z = x Pertanto se rappresentando le coppie ( x queste risultano i, yi ) disporsi lungo una retta, allora il modello esponenziale può ritenersi adeguato. > source('datiprimoesercizio.r') > x<-sort(dati) > index<-seq(1,2,1) > cdf<-(index-.3)/2.4 > z<-log(1/(1-cdf)) > plot(x,z,type='p',xlab='dati',ylab='trasf.log.cdf',main='prob.plotting + esponenziale') > L andamento non è lineare. Il valore del parametro lambda potrebbe essere stimato calcolandoil coefficiente angolare della retta di regressione. Esistono altri metodi 2

21 Caso Weibull 1 1 y = log log Si ha la seguente retta log log β log x β log α. Poni 1 F( x) 1 F( x) = z = log x Un grafico sugli assi ( z, y) è un Weibull probability paper > x<-log(sort(dati)) > z<-log(log(1/(1-cdf))) > plot(x,z,type='p',xlab='log Dati', + ylab='log log cdf',main='probability + plotting paper Weibull') > Il modello di Weibull sembra essere il migliore. Con quali parametri? La functiondi R che consente di calcolare il valore numerico di questi parametri è fitdistr() nella libreria MASS. Il metodo per effettuare questo calcolo è noto nella letteratura come metodo di massima verosimiglianza (qualche dettaglio in più nel capitolo sui vettori di variabili aleatorie). > stima<-fitdistr(dati,"weibull") > str(stima) List of 5 $ estimate: Named num [1:2] attr(*, "names")= chr [1:2] "shape" "scale" $ sd : Named num [1:2] attr(*, "names")= chr [1:2] "shape" "scale" 21

22 Un primo modo per verificare se il modello teorico fitta i dati del campione casuale è -sovrapporre la densità di probabilità all istogramma. -sovrapporre la funzione di ripartizione a quella empirica. > source('datiprimoesercizio.r') > library(mass) > stima<-fitdistr(dati,'weibull') > yy<-dweibull(sort(dati),stima$estimate[1], + stima$estimate[2]) > hist(dati,prob=true, col='blue',labels=t, + ylim=range(,.12),breaks=c(,15,3,45,6,75)) > par(new=true) > plot(sort(dati),yy,type='l',col='red',lwd=4, + xlab=' ',ylab=' ',ylim=range(,.12), + xlim=range(,75)) > > yy<-pweibull(sort(dati),stima$estimate[1],stima$estimate[2]) > plot.ecdf(dati,col.points='blue',col.hor='red',main='funz. affidabilità', + xlim=range(,8)) > par(new=true) > plot(sort(dati),yy,type='s',col='red',lwd=4,xlab=' ',ylab=' ', + ylim=range(,1),xlim=range(,8)) > 22

23 Esercizio: Considerando un albero rotante con tasso di guasto costante pari a 2 guasti su 1^5 ore di funzionamento, calcolare il numero (medio) di alberi che si romperanno tra 1. e 2. ore, considerando un numero di alberi in prova pari a 5. Soluzione: Il numero di alberi che si romperanno tra 1. e 2. ore è una variabile binomiale di parametri N=5e probabilità di successo P(1. < T < 2.) = p Poiché il tasso di guasto è costante, la v.a. T è esponenziale. Calcoliamo p con R. Poiché il tasso di guasto si riferisce a 1. ore di funzionamento mentre p si riferisce ad ordini di grandezza pari a 1. il tasso di guasto che bisogna considerare è 2 su 1.. > p<-pexp(2,2)-pexp(1,2) > 5*p [1] Il numero medio corrisponde alla media della v.a. binomiale La fase di raccolta dei dati sperimentali richiede che il prodotto spesso un prototipo sia testato per tempi sufficientemente lunghi Prove di affidabilità Time-terminated Failure-terminated Time-terminated: - rimpiazzo delle unità guastate - senza rimpiazzo delle unità guastate Failure-terminated: - senza rimpiazzo delle unità guastate Oppure la prova viene fatta finire al primo guasto se questo risulta maggiore di un determinato tempo di prova. In genere, dopo l 8% delle unità inizialmente inserite sulle macchine di prova. Il failureterminatedè la procedura usualmente impiegata in prove di affidabilità che coinvolgono modelli esponenziali. 23

24 Campioni incompleti (Censored sample) Si definisce campione incompleto, un insieme di dati riguardanti sia componenti che non hanno funzionato bene durante la prova, che componenti la cui prova è stata interrotta senza che si sia raggiunto il guasto. Durata in ore Stato del sistema 31 Guasto 4 Sospeso 45 Guasto 7 Guasto 73 Sospeso 85 Guasto 99 Sospeso 111 Sospeso 151 Guasto 195 Guasto In questo caso non è possibile stimare la funzione di ripartizione perché i guasti sono separati da unità testate non arrivate al guasto. Assegnazione dell INCREMENTO fittizio del numero ordinale i, dipendente dalle unità non arrivate al guasto. Durata in ore IO (1) = 1 Stato del sistema 31 Guasto 4 Sospeso 45 Guasto 7 Guasto 73 Sospeso 85 Guasto 99 Sospeso 111 Sospeso 151 Guasto 195 Guasto NO = numero d'ordine IO = incremento d'ordine A = B = n + 1 A IO = B + 1 NO() del guasto precedente numero di pezzi ancora da considerare incluso quello rotto n = dimensione del campione di prova NO( i) = NO( i -1) + IO( i) IO(2) = = NO(2) = NO(1) + IO(2) = = Sarà questo valore a sostituire il valore di i nella stima di F() 24

25 Durata in ore Stato del sistema 31 Guasto 4 Sospeso 45 Guasto 7 Guasto 73 Sospeso 85 Guasto 99 Sospeso 111 Sospeso 151 Guasto 195 Guasto Non ci sono sospensioni tra il secondo ed il terzo guasto IO(2) = IO(3) NO(3) = NO(2) + IO(3) = = IO(4) = = NO(4) = NO(3) + IO(4) = = IO(5) = = 2.16 = IO(6) 1+ 2 NO(5) = NO(4) + IO(5) = = E così via Numguasti Tempo guasto NO(i) MEDIAN RANK NO( i).3 n