Corso propedeu*co di Matema*ca e Fisica

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1 CLASSE DELLE LAUREE TRIENNALI DELLE PROFESSIONI SANITARIE DELLA RIABILITAZIONE Corso propedeu*co di Matema*ca e Fisica A. A Fabrizio Boffelli

2 SIMBOLI MATEMATICI + :, /, x 1.3 1,3 a modulo di a a valore medio di a uguale =! ordine di grandezza " infinito zero > maggiore < minore >> molto maggiore 2

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6 Equazioni: cosa sono Relazioni di uguaglianza tra due membri tueo ciò che è a 1 o membro (numeri, dimensioni, unità di misura) deve essere uguale a tueo ciò che è a 2 o membro Area di un rettangolo: A = ab = (50 cm) (1 m) = 50 cm m (da evitare!) Es. = 50 cm 100 cm = 5000 cm 2 = 5000 cm NO! = 0.5 m 1 m = 0.5 m 2 = 0.5 m NO! a b A a = 50 cm, b = 1 m Equivalenze + controllo dimensionale Equazione = relazione di uguaglianza tra due membri verificata solo per par*colari valori di una variabile incognita ax + b = 0 x = - b/a 6

7 Proprietà: Equazioni: come si risolvono Sommando (soeraendo) una stessa quan*tà a entrambi i membri Mol*plicando (dividendo) per una stessa quan*tà entrambi i membri il risultato non cambia 2x = 6 x=3 2x + 4 = x + 4 = 10 x=3 2x 5 = x = 30 x=3 Metodo di risoluzione: Equazione: ax+b =0 ax + b = 0 ax + b b = 0 b ax = - b ax/a = - b/a x = - b/a Es. e da qui deriva il metodo di risoluzione: 2x - 6 = 0 2x = 0+6 2x = 6 2x/2 = 6/2 x = 3 Es. E il modo per girare le formule! 7

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9 Proporzioni a:b = c:d ad = bc ProdoEo dei medi = prodoeo degli estremi Nulla di magico: sono solo normali equazioni! a/b = c/d a = bc/d c = ad/b b = ad/c d = bc/a... ogni giorno, nella vita quo*diana, usiamo inconsciamente le proporzioni... 9

10 Proporzioni economiche 10

11 Proporzioni in Fisica 11 11

12 Conversione di unità di misura Applicazione quotidiana : conversione di unità di misura FaEore di conversione = rapporto tra due unità di misura Velocità Es. km/h m/s m/s km/h 1 km/h = 1000 m/3600 s = 0.28 m/s 1m/s = km/ (1/3600)h = 3.6 km/h n km/h = n 0.28 m/s n m/s = n 3.6 km/h Velocità di un atleta dei 100 m: di un automobile: della luce: 10 m/s = km/h = 36 km/h 120 km/h = m/s = 33.6 m/s km/s = m/s = km/h = km/h 12

13 Potenze Operazioni algebriche: Operazioni inverse (quando possibili) Addizione a+b SoErazione Mol*plicazione a b = a+a+a (b volte) Divisione Potenza a b = a a a (b volte) Radice b- esima a b a = base, b = esponente Proprietà delle potenze di ugual base a n + a m (nessuna par*colare proprietà) a n a m a n+m (a n ) m a n m a 3 + a 2 = (a a a) + (a a) = a a (a+1) dipende! a 3 a 2 = (a a a) (a a) = a a a a a = a 5 (a 3 ) 2 = (a a a) (a a a) = a a a a a a = a 6 a n /a m a n- m a 3 /a 2 = (a a a)/(a a) = a = a 1 13

14 Potenze a esponente nega*vo a n /a m a n- m a 3 /a 2 = (a a a)/(a a) = a = a 1 Ma aeenzione: a 3 /a 2 = (a a a)/(a a) = a = a 1 = a 3-2 a 2 /a 3 = (a a)/(a a a) = 1/a = a - 1 = a 2-3 a 3 /a 3 = (a a a)/(a a a) = 1 = a 0 = a 3-3 La regola continua a valere, purchè si definisca a - n = 1/a n potenza a esponente nega*vo a 0 = 1 potenza a esponente nullo 14

15 Potenze di 10 Per esprimere brevemente numeri molto grandi o molto piccoli: 10 6 si legge 'dieci alla sesta' è uguale a 1 mol*plicato per 10 6 : = è uguale a 1.0 spostando la virgola a destra di 6 pos* es = si legge 'dieci alla meno 6' è uguale a 1 diviso per 10 6 : 1/ = è uguale a 1.0 spostando la virgola a sinistra di 6 pos* es = numero di Avogadro N A = = carica dell elettrone e = C = C Es. 15

16 Notazione scien*fica Nei calcoli scien*fici si usa scrivere i numeri grandi e piccoli come una cifra (da 1 a 9), seguita eventualmente da punto decimale e cifre successive, per la rela*va potenza di dieci 500 = = = = = = 10-4 Vantaggio: le potenze di 10 sono potenze! Le proprietà delle potenze permeeono di eseguire velocemente operazioni complicate, con risulta* non lontani dal risultato vero. Es. calcolo veloce a mente!!! = = (esatto) = ( ) ( ) = ( ) Es. ( ) ( ) = = = = (approx.) 16

17 Percentuale Metodo comodo per esprimere variazioni (aumen* o diminuzioni) rispeeo a una situazione nota 1 % = 1/100 = 10-2 = 0.01 n % = n/100 = 10-2 n = 0.01 n Es. La percentuale è sempre rela*va alla grandezza a cui si riferisce. Es. Per mille : 1 = 1/1000 = = 0.1% Parte per milione: 1 ppm = 1/ = = % =

18 Uso del calcolo percentuale In laboratorio: errore rela*vo o percentuale Misura: a ± Δa Errore rela*vo: err = Δa/a Errore percentuale: err% = Δa/a 100 Nella vita quo*diana: i con* in tasca (tasse, IVA, ) Es. Es. 18

19 Esponenziale e logaritmo Qual è l esponente a cui bisogna elevare un dato numero per oeenere un certo risultato? 10 3 = 1000 log 10 (1000) = 3 a n = N n = log a (N) Logaritmo in base a di N è l esponente a cui bisogna elevare la base a per oeenere come risultato il numero dato N. Es. logaritmo= funzione inversa dell esponenziale log 10 (10 2 ) = 2 log 3 (9) = 2 perché 3 2 = 9 log 2 (64) = 6 perché 2 6 = 64 log e (e) = 1 perché e 1 = e Es. e = numero di Neper log e = ln logaritmi in base e log 10 = Log logaritmi in base 10 19

20 Conosciamo meglio i logaritmi Per semplicità u*lizziamo i logaritmi in base 10. Ma tuee le proprietà valgono per i logaritmi a qualunque base. Def. 10 n = N n = log 10 (N)... log 10 (100) = 2 perché 10 2 = 100 log 10 (10) = 1 perché 10 1 = 10 log 10 (1) = 0 perché 10 0 = 1 log 10 (0.1) = -1 perché 10-1 = 1/10 = 0.1 log 10 (0.01) = -2 perché 10-2 = 1/100 = log 10 (0) non esiste perché 10 n non può dare 0 log 10 (-1) non esiste perché 10 n non può dare un n.negativo Il logaritmo è definito solo per numeri posi*vi. E posi*vo per numeri >1, nega*vo per numeri <1, nullo per numeri =1. Ogni numero posi*vo ha il suo logaritmo rispeeo a una data base posi*va (u*le la calcolatrice...) log e (5) = perché e = 5 log 10 (64) = perché = Es.

21 Proprietà dei logaritmi DireEamente dalla definizione e dalle proprietà delle potenze: log(n M) = log(n) + log(m) log(n/m) = log(n) - log(m) log(n a ) = a log(n) Def. 10 n = N n = log 10 (N) log( ) = log(10000) = 4 = 3+1 log(1000/10) = log(100) = 2 = 3-1 log( ) = log( ) = 6 = 2 3 Es. Ma: log(n±m) log(m) ± log(n) log( ) = log(1010) = 3, =

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23 Lunghezze, superfici, volumi ReEa [L] 1 Piano [L] 2 Spazio [L] 3 l (m) S (m 2 ) V (m 3 ) L area della superficie di un corpo si misura sempre in m 2, cm 2, Il volume (o capacità) di un corpo si misura sempre in m 3, cm 3, b c PARALLELEPIPEDO S = a b V = a b c r SFERA S = π r 2 V = (4/3) π r 3 a r l CILINDRO S = π r 2 V = π r 2 l In generale: S = base altezza V = area base altezza 23

24 Misure di superfici e volumi AEenzione alle conversioni tra unità di misura! Meglio un passaggio in più... 1 m 2 (m 3 ) significa un metro al quadrato(cubo) e non uno al quadrato(cubo) metri è una misura di area(volume) e quindi: e quindi ha sempre dimensione L 2 (L 3 ) 1 m 2 = (1 m) 2 = (10 2 cm) 2 = 10 4 cm 2 = cm 2 1 m 3 = (1 m) 3 = (10 2 cm) 3 = 10 6 cm 3 = cm 3 1 cm 2 = (1 cm) 2 = (10-2 m) 2 = 10-4 m 2 = m 2 1 cm 3 = (1 cm) 3 = (10-2 m) 3 = 10-6 m 3 = m 3 1 l = 1 dm 3 = (1 dm) 3 = (10-1 m) 3 = 10-3 m 3 = (10 1 cm) 3 = 10 3 cm 3 1 m 100 cm 1 m 100 cm 1 m 100 cm Strano ma vero: Ricordatelo!!! Se 1 litro d acqua ha massa di 1 kg, 1 m 3 d acqua ha massa di 1000 kg!!! 1 cm 3 d acqua ha massa di 1 g!!! Es. 24

25 Sistemi di riferimento Criterio generale: semplicità (= minor complicazione possibile!) Sistemi cartesiani: assi x,y,z tra loro perpendicolari cartesiano Quale sistema di riferimento usare? Dipende dalle caraeeris*che geometriche e di simmetria del problema. non cartesiano (inu*le?...) } Es. coord. cartesiane } coord. sferiche } Coord. cilindriche 25

26 Sistemi di riferimento a 2 e 3 dimensioni y P(x 1,y 1 ) y P(x 1,y 1,z 1 ) y 1 r r y 1 O θ x 1 Ogni punto è univocamente determinato da: x z O φ θ z 1 x 1 in 2 dim 2 coordinate in 3 dim 3 coordinate P(x,y) o P(r,θ) P(x,y,z) o P(r,θ,φ) x 26

27 Misura degli angoli Lunghezza di una circonferenza: c = 2π r y Lunghezza di un arco di circonferenza: a = α r Rapporto arco/circonferenza= a/c = αr/2πr = α/2π c 2π r α a x Quanto vale un radiante? Angolo giro = 360 = 2π radian* 1 rad : x = 2π rad : 360 x = 360 /2π

28 Funzioni Funzione = relazione univoca tra due grandezze variabili y=f(x) y=f(x) la grandezza y dipende dalla grandezza x: come? Definire la funzione y=f(x) significa stabilire come varia la variabile dipendente y al variare della variabile indipendente x. Rappresentazione delle funzioni Sistemi di riferimento 28

29 Funzioni: cosa sono Una relazione di dipendenza è una funzione se per ogni valore della variabile indipendente x esiste uno e un solo valore della variabile dipendente y y y?? SI x NO x Es. Una funzione inverxbile se a ogni valore della var.dipendente y corrisponde uno e un solo valore della var.indipendente x In praxca, se e sempre crescente o decrescente. persona data di nascita SI NO persona targa auto NO SI x = n y = n SI, inverxbile x = n y = n 2 SI, non inverxbile x = n y = n NO 29

30 Quali funzioni usare? Problema pra*co: interpretare e generalizzare un dato sperimentale Metodo: 1) Effe[uare una serie di misure di laboratorio 2) Disporle in grafico (x=var.indip., y=var.dip.) 3) Cercare la funzione che meglio descrive la relazione tra y e x 4) Determinare i parametri di tale funzione nella parxcolare situazione in esame TuEo questo normalmente lo fa un computer, ma solo se correeamente impostato. 30

31 Le funzioni in laboratorio y NO (dipende ) x Per determinare una funzione e i suoi parametri bisogna rispeeare i vincoli dei da* sperimentali (es. limi* a valori grandi o piccoli, pun* o regioni non fisiche, zeri o valori par*colari) dando come input al computer tuee le informazioni che si hanno. AEenzione: impostazioni e approssimazioni diverse portano a funzioni diverse per un unica legge fisica. Bisogna quindi tener presen* i limi* di validita del procedimento. Principali funzioni di uso comune in laboratorio : polinomi y = a n x n +a n- 1 x n a 2 x 2 +a 1 x 1 +a 0 esponenziali y = ae bx trigonometr. y = asin(bx), acos(bx) 31

32 Funzioni dipenden* dal tempo Vasta classe di fenomeni della Fisica (e della vita quo*diana) Tempo = variabile indipendente parametro del moto Mo*: s=s(t), v=v(t), a=a(t) Oscillazioni: s(t) = A sin(ωt) Decadimen*: n(t) = n 0 e - λt polinomi f.trigonometriche f.esponenziale 32

33 Proporzionalità direea e inversa ReEa 1 o grado Iperbole proporz.direea proporz.inversa y raddoppia al raddoppiare di x y si dimezza y y = K x y/x = K = cost y y = K/x y x = K = cost x Es. x λ λν λ ν Δ 33

34 Proporzionalità quadra*ca Parabola 2 o grado Iperbole quadr. proporz.direea proporz.inversa y quadruplica al raddoppiare di x y si riduce a un quarto y y = K x 2 y/x 2 = K = cost y y = K/x 2 y x 2 = K = cost x x Es. 34

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38 Funzione esponenziale y = 10 x. definita per ogni valore di x sempre posi*va =1 per x=0 sale velocissima per x>0 scende len*ssima per x<0 U*le in tan* processi in cui sono coinvolte grandezze posi*ve fortemente variabili... Rappresentazione semilogaritmica: un intervallo = es = 1-10 un ordine di grandezza (potenza di 10) = =

39 Funzione logaritmica y = log 10 x definita solo per x>0 >0 per x>1 =0 per x=1 <0 per x<1 sale len*ssima per x>1 scende velocissima per x<1... y Funzione inversa ( specchiata lungo la reea y=x) dell esponenziale: y = log x 10 y = x y=10 x y=x x y=log 10 x 39

40 Seno e coseno Circonferenza centrata nell origine con raggio r=1 (Se r 1, tueo vale ugualmente normalizzando a r=1) y 1 Teorema di Pitagora: r x 2 + r y 2 = r 2-1 r y 0 r α r x 1 x sen(α) = r y cos(α) = r x ordinata ascissa -1 Seno e coseno sono due numeri compresi tra 1 e 1, funzioni di un angolo, tali per cui vale la proprietà fondamentale sen 2 (α) + cos 2 (α) = 1 40

41 Valori notevoli di seno e coseno Muovendosi sulla circonferenza unitaria in senso an*orario partendo dal semiasse x posi*vo: y 1 α α sen(α) cos(α) π/ π π/ π sen(α) 0 r α cos(α) -1 1 x Quanto valgono il seno e il coseno dell angolo di 45 (= π/4)? Sono evidentemente uguali: sen(π/4)=cos(π/4), per cui: sen 2 (π/4) + cos 2 (π/4) = 1 2 sen 2 (π/4) = 1 sen 2 (π/4) = ½ sen(π/4) = 1/ 2 Es. 41

42 Funzioni trigonometriche y +1 ο 1 y = sen α α π /2 π 3 π /2 2 π 5 π /2 3 π radianti y = cos α sen(α) -1 0 y 1 r α cos(α) -1 1 x y = sen x y = cos x periodiche di periodo 2π definite per ogni valore di x limitate tra 1 e 1 42

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45 Periodo e frequenza +A ο A Quando un fenomeno si ripete periodicamente nel tempo: π /2 π T ωt 3 π /2 2 π 5 π /2 radianti y = A sen ωt α t ω = pulsazione T= periodo ω (t+t) ω t = 2 π ω T = 2 π ω = 2 π T 1 T = ν = frequenza = 2 π ν 45