Appunti di Metodi Numerici per l Ingegneria

Transcript

1 Appunti di Metodi Numerici per l Ingegneria Davide Cavalca Anno accademico 2006/07

2 Copyright 2006,2007 Davide Cavalca. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front- Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the Appendix B, entitled GNU Free Documentation License. Copyright 2006,2007 Davide Cavalca. È dato il permesso di copiare, distribuire e/o modificare questo documento seguendo i termini della GNU Free Documentation License, Versione 1.2 o ogni versione successiva pubblicata dalla Free Software Foundation; senza Sezioni Non Modificabili, senza Testi Copertina, e senza Testi di Retro Copertina. Una copia della licenza è acclusa nell Appendice B, dal titolo GNU Free Documentation License. Hanno contribuito a questo lavoro: Davide Cavalca: autore originale; Angelo Stramieri: aiuto nella revisione, diverse correzioni e suggerimenti.

3 Indice Indice Elenco delle figure Elenco delle tabelle iii vii ix 1 Introduzione Informazioni sul corso Esempi Crescita di una popolazione Modello preda-predatore Oscillatore armonico Problemi di Cauchy Risoluzione di problemi di Cauchy Consistenza Stabilità Stabilità minima e zero-stabilità Convergenza A-stabilità Eulero Esplicito Eulero Implicito Crank-Nicholson Regioni di a-stabilità Riepilogo Abbattere i costi dei metodi impliciti Interpolazione di funzioni Interpolazione polinomiale Interpolazione polinomiale a tratti Approssimazioni con funzioni splines Interpolazione di Hermite Formule di quadratura interpolatorie Calcolo dell errore Interpolazione lineare composita Punti di Gauss Formule di quadratura in due dimensioni iii

4 iv INDICE 3.6 Formule di quadratura adattive Radici di equazioni non lineari Metodo di bisezione Metodi basati su valori di f e/o di f Metodo delle corde Metodo delle secanti Metodo di Newton o delle tangenti Test d arresto Radici di un sistema di equazioni non lineari Risoluzione di sistemi lineari Metodi diretti Metodo di eliminazione di Gauss Metodo di fattorizzazione di Gauss Riepilogo Metodo di fattorizzazione di Cholewski Accuratezza dei risultati Metodi iterativi Metodo di Jacobi Metodo di Gauss-Seidel Convergenza dei metodi iterativi Metodi di rilassamento Test d arresto Sistemi indeterminati Regressione Approssimazione di funzioni con i minimi quadrati Metodi iterativi avanzati Metodi di discesa Metodo del gradiente Metodo del gradiente coniugato Metodi avanzati per problemi di Cauchy Metodi multistep Consistenza Stabilità Metodi di Runge-Kutta Consistenza minima Stabilità Approssimazione di sistemi di equazioni differenziali Riepilogo A Norme di vettore e di matrice 107 A.1 Norme di vettore A.2 Norme di matrice A.2.1 Norme naturali

5 INDICE v B GNU Free Documentation License 111 B.1 Applicability and definitions B.2 Verbatim copying B.3 Copying in quantity B.4 Modifications B.5 Combining documents B.6 Collections of documents B.7 Aggregation with indipendent works B.8 Translation B.9 Termination B.10 Future revisions of this License

6

7 Elenco delle figure 1.1 Diagramma del processo di modellizzazione di un problema fisico Modello di crescita di una popolazione nel tempo Discretizzazione dell intervallo [0, T [ Approssimazione di integrale con (b a)g(a) Approssimazione di integrale con (b a)g(b) Approssimazione di integrale con la formula dei trapezi Sviluppo di Taylor Punti di stabilità di un pendolo Grafico della soluzione y(t) = e λt del problema modello Regione di a-stabilità per Eulero Esplicito Regione di a-stabilità per Eulero Implicito Regione di a-stabilità per Crank-Nicholson Grafico della soluzione y(t) = e 10t del problema modello nel caso di λ = Esempio di caso soglia in EE Soluzione del problema modello approssimata con EE nel caso soglia Soluzione del problema modello approssimata con EE oltre il caso soglia Grafico della soluzione y(t) = e 10t del problema modello nel caso di λ = Soluzione del problema modello approssimata con EI Nodi interpolatori di una generica funzione Polinomi di Lagrange per tre nodi prefissati Interpolazione polinomiale con nodi equispaziati della funzione f(x) = x Costruzione dei nodi di Chebishev Esempio di interpolazione polinomiale a tratti Confronto di due interpolazioni polinomiali a tratti per valori diversi di h Punti per interpolazione di Hermite Spiegazione della formula del punto medio (3.9) Errore di interpolazione Interpolazione composita con il metodo del punto medio Interpolazione composita con il metodo dei trapezi Dominio triangolare di integrazione vii

8 viii ELENCO DELLE FIGURE 3.13 Trasformazione geometria del dominio triangolare Una funzione che necessita di interpolazione adattiva Suddivisione dell intervallo per le formule adattive Applicazione del metodo di bisezione Applicazione del metodo delle corde Un esempio in cui il metodo delle corde fallisce Applicazione del metodo delle secanti Applicazione del metodo di Newton Dimostrazione del teorema della convergenza di Newton (Teorema 4.2) Distribuzione di punti da interpolare Regressione lineare della distribuzione di Figura Distribuzione di punti da interpolare con delle funzioni sinusoidali Rappresentazione grafica della Proprietà Grafico della funzione dente di sega sull intervallo [ 2π, 2π] Somme parziali della serie di Fourier per la funzione f(x) = x Grafico della funzione onda quadra sull intervallo [ 3π, 2π] Approssimazione in serie di Fourier della Delta di Dirac con 41 termini Grafico della funzione ghirlanda sull intervallo [ 3π, 3π] Grafico della funzione campana sull intervallo [ 3π, 3π] Schema d uso della FFT Andamento di L 1 (t) Andamento di L 2 (t) Grafico delle soluzioni del sistema (6.18)

9 Elenco delle tabelle 2.1 Riepilogo dei metodi di approssimazione ad un passo esaminati Calcolo dell ordine di precisione per alcune formule di quadratura Calcolo dell ordine di precisione per alcune formule di quadratura a due dimensioni Riepilogo degli esempi di approssimazione di funzioni periodiche con serie di Fourier Numero di stadi s necessario per ottenere un dato ordine di consistenza per un metodo RK esplicito Riepilogo dei metodi di approssimazione per problemi di Cauchy ix

10

11 Capitolo 1 Introduzione Questo lavoro è una raccolta di appunti delle lezioni per l anno 2006/2007 realizzato da uno studente del corso. Questi appunti sono rilasciati sotto licenza GNU FDL: questo significa che chiunque è libero di copiarli, stamparli, modificarli ed estenderli come preferisce. L unico vincolo imposto è il rilascio di lavori derivati sotto gli stessi termini di licenza dell opera originale: se create una nuova versione degli appunti aggiornata, ampliata o con delle correzioni siete tenuti a pubblicarla sempre sotto licenza GNU FDL e a mantenere il nome dell autore iniziale e di chi ha contribuito precedentemente. In questo modo, tutti potranno beneficiare dei vostri miglioramenti. La lista di chi ha contibuito all opera è presente nella seconda di copertina. Gli appunti sono scritti in LATEX: se create una versione modificata siete tenuti a distribuire i sorgenti aggiornati, in modo che altri possano a loro volta contribuire al lavoro. Il testo completo della licenza è riportato nell Appendice B; per maggiori informazioni contattate l autore o fate riferimento a L autore ringrazia Angelo Stramieri per l importante contributo nella revisione di questi appunti e le numerose correzioni apportate. Per informazioni sugli appunti ed ottenere il sorgente LATEX del documento, l autore può essere contattato via a <davide.cavalca@tiscali.it>. Buono studio! 1.1 Informazioni sul corso Docente: prof. Donatella Marini <marini@imati.cnr.it> Sito del corso: html Testo di riferimento: A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri: Matematica Numerica, Springer Verlag Italia, Esempi Questa sezione raccoglie alcuni esempi di modellizzazione di problemi fisici, che danno un idea delle possibili applicazioni degli argomenti del corso. 1

12 2 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE problema fisico modello matematico equazioni differenziali (o sistemi di) ordinarie alle derivate parziali (lineari e non) problemi di Cauchy problemi ai limiti Figura 1.1: Diagramma del processo di modellizzazione di un problema fisico.

13 1.2. ESEMPI Crescita di una popolazione Problema: modellizzare la crescita di una popolazione di animali. Si chiama N(t) il numero di animali presenti al tempo t; si hanno a disposizione il numero medio di nascite b e di morti d per animale per unità di tempo. Il variare della popolazione nel tempo è descritto dall equazione N(t + Δt) = N(t) + bn(t)δt dn(t)δt; dividendo tutto per Δt si ottiene la legge per ogni intervallo di tempo Δt: N(t + Δt) N(t) Δt = (b d)n(t), che spinta al limite per Δt 0 ci fornisce l equazione differenziale del processo: N (t) = (b d)n(t) = r 0 N(t), con r 0 = b d tasso di incremento della popolazione. Associando a questa equazione una condizione iniziale si ottiene un problema di Cauchy: { N (t) = (b d)n(t) = r 0 N(t) N(0) = N 0 Questo è uno dei rari casi in cui il problema è risolvibile esattamente e non è quindi N(t) r 0 > 0 N 0 r 0 < 0 r 0 = 0 0 t Figura 1.2: Modello di crescita di una popolazione nel tempo necessario ricorrere all analisi numerica; la soluzione è N(t) = N 0 e r 0t. Si noti che ciò vale sono nel particolare caso in cui r 0 costante. In generale, infatti, r 0 = r 0 (t, N), poiché il tasso di incremento dipende dal tempo e dalla popolazione preesistente. In tal caso il problema non è più risolvibile esattamente ed è necessario ricorrere a soluzioni approssimate.

14 4 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE Modello preda-predatore Detto anche problema dei conigli e delle volpi. Sono presenti due popolazioni, una di conigli e una di volpi. Chiamo rispettivamente C(t) e V (t) il numero di conigli e di volpi all istante t. Se non ci fossero volpi, i conigli crescerebbero in modo indefinito (non hanno predatori) riproducendosi liberamente: C (t) = ac(t), a > 0; se invece non ci fossero conigli, le volpi morirebbero di fame (senza prede di cui cibarsi) e tenderebbero ad estinguersi: V (t) = bv (t), b > 0. Nella realtà le due popolazioni sono interdipendenti: conigli con volpi: C (t) = ac(t) αv (t)c(t), α > 0 volpi con conigli: V (t) = bv (t) + βc(t)v (t), β > 0 Aggiungendo opportune condizioni iniziali otteniamo un problema di Cauchy: C (t) = (a αv (t)) C(t) V (t) = ( b + βc(t)) V (t) C(0) = C 0 V (0) = V 0 Questo sistema, al contrario del precedente, non si può risolvere esattamente: sono necessari metodi numerici per approssimare la soluzione Oscillatore armonico Problema: punto materiale di massa m che si muove lungo una corda elastica. Si definiscono la posizione y(t), la velocità y (t) e l accelerazione y (t). Se sul punto agisce una forza F si ha: F = m a = m y (t) Poiché la corda è elastica, essa esercita una forza di richiamo sulla massa: Da queste due equazioni si ricava: F = ky(t) y (t) = k m y(t), t > 0 che è un equazione differenziale del secondo ordine con 2 soluzioni. Con le opportune condizioni iniziali ottengo il problema di Cauchy: y (t) = k m y(t), t > 0 y(0) = y 0 y (0) = 0

15 1.3. PROBLEMI DI CAUCHY 5 Il problema è risolvibile esattamente, la soluzione generale è ( ) ( ) y(t) = c 1 cos k m t + c 2 sin k m t y(0) = y 0 y (0) = 0 Dalle condizioni iniziali si ricava il valore delle costanti ed infine la soluzione: y(0) = y 0 y(0) = c 1 = y 0 k y (0) = 0 y (0) = c 2 cos 0 m = 0 c 2 = 0 y(t) = y 0 cos k m t In questo caso è stato possibile risolvere l equazione esattamente. Per poter usare dei metodi numerici avremmo dovuto prima trasformare l equazione differenziale del II ordine in un sistema del I ordine. Questo è facilmente realizzabile ponendo y (t) = v(t) e riscrivendo il tutto come v (t) = k m y(t) y (t) = v(t) y(0) = y 0 v(0) = 0 Si noti che questa operazione non sarebbe stata possibile in presenza di una condizione finale del tipo y(t ) = y T ; in tal caso sarebbe stato necessario risolvere un problema ai limiti. 1.3 Problemi di Cauchy Caso scalare (una equazione in un incognita): si cerca la soluzione u(t) di Caso vettoriale (sistema): dove { u (t) = f(t, u(t)) t [t 0, T ] u(t 0 ) = u 0 { U (t) = F(t, U(t)) t [t 0, T ] U(t 0 ) = U 0 U = [U 1, U 2,..., U n ] T F = [F 1, F 2,..., F n ] T [ U 0 = U1 0, U2 0,..., Un 0 ] T

16 6 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE Esempio: problema dell oscillatore armonico trattato nella Sezione in forma vettoriale [ ] y(t) U(t) = v(t) [ ] [ ] f1 (t, y(t), v(t)) v(t) F(t, U(t)) = = f 2 (t, y(t), v(t)) k m y(t) [ ] y0 U(0) = 0

17 Capitolo 2 Risoluzione di problemi di Cauchy { y (t) = f(t, y(t)) t [0, T ] T < + y(t 0 ) = y 0 (2.1) Nella maggior parte dei casi non siamo in grado di scrivere l espressione analitica della soluzione: abbiamo bisogno di metodi approssimati. Si inizia discretizzando la 0 ΔT T t 0 t 1 t 2... t i... t N = T Figura 2.1: Discretizzazione dell intervallo [0, T [ funzione: fissato un numero N di sottointervalli uguali di [0, T ] di lunghezza h = T N, avremo: t 0 = 0 t 1 = t 0 + h t 2 = t 1 + h... t N = t N 1 + h = T. Si va alla ricerca di valori y i : y i y(t i ) per qualsiasi i; i metodi numerici, infatti, trovano soluzioni approssimate di quelle vere nei diversi intervalli. In ognuno di questi intervalli integro l equazione differenziale. Iniziamo col primo: t1 t 0 y (t) dt = t1 t 0 f(t, y(t)) dt; Per il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha t1 y(t 1 ) = y(t 0 ) + f(t, y(t)) dt. t 0 7

18 8 CAPITOLO 2. RISOLUZIONE DI PROBLEMI DI CAUCHY Se potessimo calcolare t 1 t 0 f(t, y(t)) dt otterremmo il valore esatto dell equazione in t 1. Sfortunatamente questo non è possibile nella stragrande maggioranza dei casi: è necessario approssimare o l integrale o la funzione stessa. Una possibile approssimazione per un generico integrale può essere la seguente: b a g(x) dx (b a)g(a) (2.2) Questa formula approssima l integrale con l area (col segno) del rettangolo avente g(x) g(a) 0 a b x Figura 2.2: Approssimazione di integrale con (b a)g(a). per base b a e per altezza il valore della funzione integranda nel primo estremo. L approssimazione comporta in generale un errore; è esatta solo per funzioni costanti (polinomi di grado zero). Questo genere di forumule si dicono formule di quadratura e sono alla base dei diversi metodi utilizzati per eseguire le approssimazioni. Applicando la formula al nostro caso nel primo intervallo otteniamo y 1 che è definito come l approssimazione di y(t 1 ): y(t 1 ) y(t 0 ) + (t 1 t 0 ) f (t 0, y(t 0 )) = = y 0 + hf(t 0, y 0 ) =: y 1 Procedendo analogamente per il secondo intervallo otteniamo t2 y(t 2 ) = y(t 1 ) + t 1 y (t) dt = t2 t2 t 1 f(t, y(t)) dt t 1 f(t, y(t)) dt y 1 + hf(t 1, y 1 ) =: y 2 Andando avanti si costruisce una successione di valori approssimati {y 0, y 1,..., y N } {y(t 0 ), y(t 1 ),..., y(t N )} Avanzando gli errori si accumulano, dando origine ad una soluzione non esatta. Questo avviene poiché durante l approssimazione degli y i nei diversi punti, ogni y i si porta dietro l accumulo di approssimazioni delle y N 1, y N 2,..., y i 2, y i 1 che concorrono a determinarne il valore. Per migliorare l approssimazione il più possibile

19 9 deve essere h 0; poiché h = T N, può in alternativa essere N. Idealmente, questo porta a lim y n = y(t n ) n + Noi vogliamo minizzare l errore complessivo, quindi deve essere che max n y n y(t n ) 0 Ricapitolando, abbiamo ottenuto una successione così strutturata: y 0 dato, y n+1 = y n + hf(t n, y n ) (2.3) per n = 0, 1, 2,..., N 1. Questa successione rappresenta una delle tecniche codificate per approssimare un problema di Cauchy. In particolare, questo metodo è detto metodo di Eulero esplicito (EE). Ora proviamo a risolvere il problema con un altra formula, molto simile alla precedente: b g(x) dx (b a)g(b) (2.4) Applicandolo al nostro caso nel primo intervallo avremo: g(x) a g(b) 0 a b x Figura 2.3: Approssimazione di integrale con (b a)g(b). y(t 1 ) y(t 0 ) + hf(t 1, y(t 1 )) y 0 + hf(t 1, y 1 ) =: y 1 Questa è un equazione non lineare, poichè y 1 è argomento di f. Analogamente per il secondo intervallo: y(t 2 ) y(t 1 ) + hf(t 2, y(t 2 )) y 1 + hf(t 2, y 2 ) =: y 2 La successione ottenuta è abbastanza diversa dalla precedente: y 0 dato, y n+1 = y n + hf(t n+1, y n+1 ) (2.5) per n = 0, 1, 2,..., N 1. Questo metodo è detto metodo di Eulero implicito (EI).

20 10 CAPITOLO 2. RISOLUZIONE DI PROBLEMI DI CAUCHY g(x) g(b) g(a) 0 a b x Figura 2.4: Approssimazione di integrale con la formula dei trapezi. Vediamo un terzo metodo: approssimiamo l integrale con l area del trapezio: b a g(x) dx (b a) 2 [g(a) + g(b)] (2.6) Questa formula, detta formula dei trapezi, è la semisomma delle precedenti. Anche in questo caso commettiamo un errore; abbiamo il valore esatto solo se g(x) è una funzione lineare (polinomio di grado 1). Applicando il metodo al nostro caso in modo analogo al precendente otteniamo questa successione: y 0 dato, y n+1 = y n + h 2 [f(t n, y n ) + f(t n+1, y n+1 )] (2.7) per n = 0, 1, 2,..., N 1. Questo metodo è detto metodo dei trapezi o metodo di Crank-Nicholson (CN). 2.1 Consistenza La consistenza di uno schema permette di valutare quanto bene uno schema adottato riproduca l equazione che approssima. Riscrivo EE come: y n+1 y n h f(t n, y n ) = 0 n = 0, 1,..., N 1 Se applico lo schema alla soluzione esatta trovo un errore y(t n+1 ) y(t n ) h f(t n, y(t n )) = τ n 0 (2.8) detto errore di troncamento locale, che si esprime come potenza del passo di discretizzazione h. In base a questo si definisce l errore di consistenza come τ = max n τ n (2.9) Questo errore è sicuramente diverso da zero; noi vogliamo che sia piccolo. In particolare se τ = ch p (p > 0) lim h 0 τ = 0

21 2.1. CONSISTENZA 11 il metodo si dice consistente di ordine p. Al crescere di p migliora la qualità dell approssimazione prodotta dallo schema. Per mettere in relazione i rapporti incrementali con le derivate ho bisogno delle serie di Taylor. y(t) 0 t h t t + h t Figura 2.5: Sviluppo di Taylor y( t + h) = y( t) + hy ( t) + h2 2 y ( t) + h3 6 y ( t) + (multipli dx) (2.10) y( t h) = y( t) hy ( t) + h2 2 y ( t) h3 6 y ( t) + (multipli sx) (2.11) Dalla (2.10) si trova che y ( t) = y( t + h) y( t) h h 2 y ( t) h2 6 y ( t) + che è uguale al rapporto incrementale destro più un errore dell ordine di h (se y è limitata). L espressione dell errore troncato al primo termine è la seguente: errore = y ( t) y( t + h) y( t) h = h 2 y (z) (2.12) con z [ t, t + h]. Dalla (2.11) si trova invece dove l errore è invece y ( t) = y( t) y( t h) h + h 2 y ( t) h2 6 y ( t) + errore = h 2 y (z), z [ t h, t] (2.13) In entrambi i casi errore è zero t se y 0, ovvero se y è una funzione lineare (polinomio di grado 1). Facendo la semisomma dei due sviluppi (2.10) e (2.11) ottengo y ( t) = y( t + h) y( t h) 2h h2 6 y ( t) +

22 12 CAPITOLO 2. RISOLUZIONE DI PROBLEMI DI CAUCHY e in questo caso l errore è errore = h2 6 y (z) z [ t h, t + h]. (2.14) Questo errore va con h 2 e decresce quindi più velocemente degli altri: l approssimazione è più precisa, poiché l errore va a zero se y 0, ovvero per polinomi di grado 2. Esaminiamo ora la consistenza dei diversi metodi esaminati in precedenza. Per EE si ha t n+1 = t n + h t = t n ; gli sviluppi saranno quindi calcolati intorno a t n usando la (2.10). Ricordando che il problema di Cauchy in esame è y (t) = f(t, y(t)), l errore di troncamento locale è dato da τ n = y(t n + h) y(t n ) h f(t n, y(t n )) = = y (t n ) + h 2 y (t n ) + h2 6 y (t n ) + y (t n ) = = h 2 y (t n ) + O(h 2 ). Da τ n si può calcolare l errore di consistenza del metodo: τ EE = max τ n = h n 2 max y (t) = ch. (2.15) t [0,T ] Poiché τ = ch abbiamo p = 1 EE è consistente di ordine 1. Infatti, per h 0 l errore tende linearmente a 0 con h. Si esegue la stessa analisi per EI: riscritto il metodo y n+1 y n h f(t n+1, y n+1 ) = 0, si applica lo schema alla soluzione esatta per trovare l errore di troncamento locale. Poiché in questo caso t n+1 = t n + h t = t n+1, gli sviluppi saranno intorno al punto t n+1 usando la (2.11). L espressione di τ n è quindi τ n = y(t n+1) y(t n ) h f(t n+1, y(t n+1 )) = = y (t n+1 ) h 2 y (t n+1 ) + h2 6 y (t n+1 ) + y (t n+1 ) = = h 2 y (t n+1 ) + O(h 2 ) e si ottiene l errore di consistenza τ EI = max τ n = h n 2 max y (t) = ch. (2.16) t [0,T ]

23 2.2. STABILITÀ 13 Poiché τ = ch abbiamo p = 1 EI è consistente di ordine 1. Osserviamo infine il comportamento di CN; anche in questo caso si usa il metodo y n+1 y n h 1 2 [f(t n, y n ) + f(t n+1, y n+1 )] = 0 per poi applicare lo schema alla soluzione esatta e trovare τ n. Per CN si ha t n+1 = t n + h t = t n e lo sviluppo è intorno a t n usando (2.10). L espressione dell errore di consistenza è τ n = y(t n+1) y(t n ) h 1 [ y (t n ) + y (t n+1 ) ] = 2 = y (t n ) + h 2 y (t n ) + h2 6 y (t n ) + h3 4! y (t n ) y (t n ) 1 2 y (t n+1 ) = = 1 [ y (t n ) y (t n+1 ) ] + h 2 2 y (t n ) + h2 6 y (t n ) + h3 4! yiv (t n ) + Sapendo che lo sviluppo di Taylor della derivata è la prima parte si può riscrivere come y (t n+1 ) = y (t n ) + hy (t n ) + h2 2 y (t n ) + 1 [ y (t n ) y (t n+1 ) ] = 1 [ ] hy (t n ) h y (t n ) + O(h 3 ). Questo premette di ricavare l espressione del τ n : τ CN n = h2 4 y (t n ) + h2 6 y (t n ) + = h2 12 y (t n ) + O(h 3 ) e quindi dell errore di consistenza del metodo: τ CN = max n h2 12 y (t n ) = h2 max t [0,T ] y (t) 12 = ch 2. (2.17) Poiché τ = ch 2 abbiamo p = 2 CN è consistente di ordine 2; l errore tende a zero quadraticamente. 2.2 Stabilità La stabilità di un sistema è la sua sensibilità alle variazioni sui dati. Si distingue tra problemi stabili e non stabili. Un sistema è stabile se piccole perturbazioni dei dati comportano piccole variazioni del risultato; al contrario, è instabile se a piccole variazioni corrispondono forti cambiamenti. Un determinato sistema fisico può avere dei punti di stabilità e dei punti di instabilità: si veda ad esempio la Figura 2.6 per l esempio di un pendolo. Per trattare la stabilità di un problema continuo (su un

24 14 CAPITOLO 2. RISOLUZIONE DI PROBLEMI DI CAUCHY punto stabile punto instabile Figura 2.6: Punti di stabilità di un pendolo intervallo [0, T ]) del tipo { y (t) = f(t, y(t)) y(0) = y 0 (2.18) si esamina il corrispondente problema perturbato: { z (t) = f(t, z(t)) + δ(t) z(0) = z 0 + δ 0 (2.19) Si studia la differenza y z: se è piccola (ovvero le perturbazioni sono piccole) allora il problema è stabile. Per il caso [0, T ] limitato (T < + ) (2.18) è stabile se δ 0, δ(t) : δ 0 < ε δ(t) < ε t, ε > 0 c > 0 indipendente da ε : z y cε; (2.20) in questo caso si parla di stabilità minima. La definizione fa uso della norma del massimo o norma infinita 1 z y = max z(t) y(t). t [0,T ] Se invece l intervallo è illimitato (T = + ) è necessaria una condizione aggiuntiva: (2.18) è stabile se vale (2.20) e inoltre si ha lim z(t) y(t) = 0; (2.21) t + in questo caso si parla di stabilità asintotica o a-stabilità Stabilità minima e zero-stabilità Consideriamo il problema modello { y (t) = λy(t) y(0) = 1 (2.22)

25 2.2. STABILITÀ 15 e λt λ > 0 y 0 = 1 λ < 0 λ = 0 0 t Figura 2.7: Grafico della soluzione y(t) = e λt del problema modello definito su [0, T ] e con λ R. Questo problema ha una soluzione esatta: y(t) = e λt. Per semplificare la trattazione ipotizzo di perturbare solo la condizione iniziale y(0): { z (t) = λz(t) z(0) = 1 + δ 0 La soluzione del sistema perturbato è invece z(t) = (1 + δ 0 )e λt = y(t) + δ 0 e λt. Per studiare la stabilità si valuta (per ogni t) la differenza z(t) y(t) = δ 0 e λt = δ0 e λt Per la (2.20) abbiamo che δ 0 e λt ε e λt Per risolvere la disequazione bisogna esaminare i diversi valori di λ: caso λ = 0 z(t) y(t) ε z y ε stabilità minima con c = 1; caso λ > 0: se l intervallo è limitato il massimo di e λt si ha nel punto T z(t) y(t) e λt ε = cε stabile con c = e λt R; se invece l intervallo è illimitato non si può verificare la stabilità; caso λ < 0: il massimo di e λt vale 1 ed è nel punto 0; si ha quindi z(t) y(t) ε stabile con c = 1. In conclusione, se l intervallo è limitato il sistema è stabile λ; nel caso illimitato, invece, lo è solo per λ < 0 (il caso λ = 0 non è significativo). Quello che vogliamo è che, se il problema in continuo è stabile, lo sia anche lo schema numerico approssimato; per verificare questo si procede nel discreto in modo analogo al continuo. Per creare lo schema si discretizza { [0, T ] in N parti con passo h = T N e si trova una soluzione approssimata y(h) = y (h) } 0, y(h) 1,..., y(h) N. La soluzione { del problema perturbato invece è approssimata da z (h) = z (h) } 0, z(h) 1,..., z(h) N. Lo 1 Per maggiori informazioni sulle norme di matrice e di vettore fare riferimento all Appendice A.

26 16 CAPITOLO 2. RISOLUZIONE DI PROBLEMI DI CAUCHY schema si dice zero-stabile (l equivalente della stabilità minima per i sistemi discreti) se δ 0, δ 1,..., δ N ( δ k < ε) c indipendente da ε h 0 > 0: h h 0 z (h) y (h) cε (2.23) Valutiamo la stabilità dell esempio utilizzando EE (2.3): la successione del problema originale è mentre quella del problema perturbato y 0 dato, y n = y n 1 + hf(t n 1, y n 1 ) n = 1, 2,..., N z 0 = y 0 + δ 0 dato, z n = z n 1 + h [f(t n 1, z n 1 ) + δ n 1 ] n = 1, 2,..., N Si può dimostrare che in generale vale la zero-stabilità (vedi libro). Noi esaminiamo un caso semplificato: { y (t) = f(t) y(0) = y 0 definito come al solito su [0, T ]. In questo caso, le due soluzioni sono rispettivamente Esaminiamo ora la differenza y n = y n 1 + hf(t n 1 ) z n = z n 1 + hf(t n 1 ) + hδ n 1 con e n errore pari a z n y n = z n 1 y n 1 + hδ n 1 =: e n e n = e n 1 +hδ n 1 = e n 2 +hδ n 2 +hδ n 1 = = e 0 +hδ 0 +hδ 1 +hδ 2 + +hδ n 1 dove l errore iniziale è e 0 = z 0 y 0 = δ 0. Abbiamo quindi n 1 e n e 0 + h δ j ε(1 + nh) ε(1 + Nh) = ε(1 + T ) j=0 = max e n = max z n y n ε(1 + T ) n n Il problema è quindi stabile con c = 1 + T finito. La dimostrazione è analoga per EI e per CN: in entrambi i casi risulta sempre c = 1 + T come per EE. La dimostrazione del caso generale è più laboriosa, poiché comporta la presenza dei termini f(t, ) che non si cancellano: z n y n = z n 1 y n 1 + hδ n 1 + h [f(t n 1, z n 1 ) f(t n 1, y n 1 )] z n y n z n 1 y n 1 + h δ n 1 + h f(t n 1, z n 1 ) f(t n 1, y n 1 ) }{{} L z n 1 y n 1 Si ipotizza che f sia Lipshitz sul secondo argomento (l ipotesi di Lipshitz è meno forte della derivabilità), e risulta e n h δ n 1 + (1 + hl) e n 1 ; alla fine si arriva ad un esponenziale, fare riferimento al libro per i dettagli.

27 2.3. CONVERGENZA Convergenza La convergenza permette di valutare quanto i valori ottenuti con i vari schemi siano vicini ai corrispondenti valori esatti. Dato uno schema numerico approssimazione di un problema di Cauchy, questo si dice convergente se max n y n (h) y(t n ) ch p (2.24) dove p > 0 è l ordine di convergenza. Se p = 1 dimezzando il passo si dimezza l errore, se p = 2 diventa un quarto. Teorema 2.1 (di Lax). Uno schema numerico è convergente se è consistente e stabile; l ordine di convergenza p è pari all ordine di consistenza (nella norma in cui si ha la stabilità). Questo teorema è dimostrabile in generale per tutti gli schemi numerici. Nel nostro caso ne usiamo una versione più specifica Teorema 2.2. Se uno schema numerico per problemi di Cauchy è zero-stabile e consistente di ordine p lo schema è convergente di ordine p, con y y (h) ch p. Il procedimento da seguire per lo studio di un problema di Cauchy è quindi il seguente: 1. fissare lo schema; 2. studiare la consistenza e scrivere l errore di consistenza in funzione di h; 3. valutare la stabilità; 4. se ci sono (2) e (3) lo schema è buono e il teorema di Lax (Teorema 2.1) ci garantisce che convergerà alla soluzione esatta con velocità data dall ordine di convergenza p. 2.4 A-stabilità Nel caso di un intervallo illimitato è necessario studiare la a-stabilità. Esaminiamo il problema modello: { y (t) = λy(t) y(0) = 1 con t > 0 e λ = a + ib C. La sua soluzione è y(t) = e λt = e at (cos bt + i sin bt) ed il suo modulo y(t) = e at cos bt + i sin bt = e at. Verifichiamo la a-stabilità: lim y(t) = t + + a > 0 0 a < 0 1 a = 0

28 18 CAPITOLO 2. RISOLUZIONE DI PROBLEMI DI CAUCHY Il problema è a-stabile se Re λ < 0, e in questo caso abbiamo lim y(t) = 0. t + Uno schema è a-stabile se è zero-stabile e inoltre vale lim y n = 0 t + poiché lo schema all infinito deve comportarsi come la soluzione esatta Eulero Esplicito y 0 = 1 y n = y n 1 + hλy n 1 = (1 + hλ)y n 1 = (1 + hλ) [(1 + hλ)y n 2 ] = (1 + hλ) 2 y n 2 = = (1 + hλ) n y 0 = (1 + hλ) n per ogni n. Per vedere se il sistema è a-stabile valuto lim y n = lim 1 + n + n + hλ n = hλ < 1 caso λ R : 1 < 1 + hλ }{{}}{{} < 1 EE è condizionatamente a-stabile (h deve h< 2 vera λ essere molto piccolo quando λ è grosso); caso λ C (Re λ < 0): si ha 1 + hλ = 1 + ah + ibh = (1 + ha) 2 + h 2 b h 2 (a 2 + b 2 ) + 2ha < 1 h(a 2 + b 2 ) < 2a h λ 2 < 2 Re λ; in }{{}}{{} >0 >0 conclusione h < 2 Re λ. λ 2 Si vede chiaramente che il caso reale (λ R ) ricade nel caso complesso. Si conclude che EE è a-stabile per h: 1 + hλ < 1, cio` per h piccolo Eulero Implicito y 0 = 1 y n = y n 1 + hλy n (1 hλ)y n = y n 1 y n = y n 1 1 hλ = y n 2 (1 hλ) 2 = = y 0 (1 hλ) n = 1 (1 hλ) n lim y 1 n = n + lim n + 1 hλ n = 0 1 hλ > 1 caso λ R 1 hλ > 1 sempre vera, poiché 1 hλ > 1; caso λ C (Re λ < 0): 1 hλ = 1 ah ibh = (1 ah) 2 + ( bh) h 2 (a 2 + b 2 ) 2ah > 1 h(a 2 + b 2 ) > 2a h λ 2 > 2 Re λ; in conclusione, poichè h > 0 la disuguaglianza è sempre verificata. In conclusione EI è a-stabile h che soddisfa la disequazione 1 hλ > 1, ossia h > 0 (ricordando che Re λ < 0).

29 2.4. A-STABILITÀ Crank-Nicholson y 0 = 1 y n = y n 1 + h 2 (λy n 1 + λy n ) y n = 2 + hλ 2 hλ y n 1 = y n = y n 1 + h 2 λy n 1 + h 2 λy n (1 h ) 2 λ y n = (1 + h ) 2 λ y n 1 (2 hλ)y n = (2 + hλ)y n 1 ) 2 ( ) 2 + hλ n y n 2 = = y 0 = 2 hλ lim 2 + hλ n n + 2 hλ = 0 ( 2 + hλ 2 hλ lim y n = n + ( ) 2 + hλ n 2 hλ Questo limite è zero quando il modulo è minore di uno: 2 + hλ 2 hλ < 1 (2.25) La disequazione, riscrivibile come 2 + hλ < 2 hλ è sempre vera, sia in campo reale sia in campo complesso (ricordare che h > 0), quindi CN è a-stabile h che soddisfa la (2.25) (ricordando che Re λ < 0) Regioni di a-stabilità Si definisce una regione di a-stabilità per i sistemi continui e per i rispettivi schemi numerici A h := A := {λ C: Re λ < 0} (2.26) { hλ C: } lim n = 0 n +. (2.27) Nel caso ideale A h = A. La regioni di a-stabilità per EE, visibile in Figura 2.8, è data da A EE h = {hλ C: 1 + hλ < 1}. (2.28) Questa regione è descritta nel piano dall equazione hλ ( 1) < 1, che rappresenta un cerchio centrato in ( 1, 0) e di raggio 1. Per EI, analogamente, si ha A EI h = {hλ C: 1 hλ > 1} (2.29) che è l esterno del cerchio di centro (1, 0) e raggio 1; questa regione è visibile in Figura 2.9. Per CN, infine, l espressione della regione rappresentata in Figura 2.10 è A CN h = {hλ C: 2 + hλ < 2 hλ } (2.30)

30 20 CAPITOLO 2. RISOLUZIONE DI PROBLEMI DI CAUCHY Im hλ 1 0 Re hλ Figura 2.8: Regione di a-stabilità per Eulero Esplicito. Im hλ 0 1 Re hλ Figura 2.9: Regione di a-stabilità per Eulero Implicito. Im hλ Re hλ Figura 2.10: Regione di a-stabilità per Crank-Nicholson.

31 2.4. A-STABILITÀ 21 che può essere riscritta come (hλ) ( 2) }{{} < (hλ) 2 }{{} distanza di hλ da ( 2, 0) distanza di hλ da (2, 0) che di fatto è verificata da tutti i punti del semipiano negativo Re Im. La regione di CN può quindi essere scritta come A CN h = {hλ C: Re hλ < 0} A (2.31) e coincide con quella del problema continuo. Ciò significa che il problema approssimato con CN riproduce bene l originale in continuo. In effetti, dei tre metodi CN è quello che fornisce l approssimazione migliore. Gli altri due metodi invece soffrono di problemi dovuti alle loro regioni di a-stabilità: A EE h è troppo piccola, mentre A EI h è troppo grande. Esempio (Eulero esplicito). { y (t) = 10y(t) y(0) = 1 Esaminiamo il problema modello nel caso particolare di λ = 10; la soluzione è y(t) = e 10t e il sistema è a-stabile (Figura 2.11). Studiamo il problema su [0, 1] nel e 10t 1 0 t Figura 2.11: Grafico della soluzione y(t) = e 10t del problema modello nel caso di λ = 10. caso reale per semplicità di trattazione e applichiamo i diversi metodi, a partire da EE. EE è condizionatamente a-stabile, e deve essere h < 2 λ = 2 10 = 1 5. Si analizza il problema nel caso soglia h = 1 5 hλ = 2: ci troviamo sul bordo della regione di a-stabilità di EE come visibile in Figura Si applica il metodo:

32 22 CAPITOLO 2. RISOLUZIONE DI PROBLEMI DI CAUCHY Im hλ Re hλ Figura 2.12: Esempio di caso soglia in EE. y n = y n 1 + hf(t n 1, y n 1 ) y 0 = 1 y 1 = y ( 10y 0) = ( 10) = 1 5 y 2 = y ( 10y 1) = 1 2( 1) = 1 y 3 = y ( 10y 2) = 1 2(1) = 1 y 4 = y ( 10y 3) = 1(1 2) = 1... La regola è quindi y n = y n 1 : la soluzione oscilla tra 1 e 1 e il metodo fallisce (Figura 2.13). Osserviamo invece il comportamento con h = 2 5 > 2 λ (fuori dalla y n 1 0 t 1 Figura 2.13: Soluzione del problema modello approssimata con EE nel caso soglia.

33 2.4. A-STABILITÀ 23 regione di a-stabilità): y 0 = 1 y 1 = y ( 10y 0) = 3y 0 = 3 y 2 = y ( 10y 1) = 3y 1 = 9 y 3 = y ( 10y 2) = 3y 2 = 27 y 4 = y ( 10y 3) = 3y 3 = Anche in questo caso la soluzione oscilla, ma le oscillazioni invece di restare costanti diventano sempre più grandi (Figura 2.14). In generale Eulero Esplicito fornisce y n 0 t Figura 2.14: Soluzione del problema modello approssimata con EE oltre il caso soglia. buoni risultati solo se h è abbastanza piccolo. Questo stesso problema non presenta difficoltà con EI e CN. Esaminiamo la soluzione con EI (con h = 2 5 ): y n = y n 1 + hf(t n, y n ) y 0 = 1 La soluzione è y n = y 1 = y ( 10y 1) 5y 1 = y 0 y 1 = 1 5 y 2 = y ( 10y 2) 5y 2 = y 1 y 2 = = 1 25 y 3 = y ( 10y 3) 5y 3 = y 2 y 3 = ( 1 5 ) n che va a zero rapidamente, in modo analogo alla soluzione

34 24 CAPITOLO 2. RISOLUZIONE DI PROBLEMI DI CAUCHY esatta. Risolvendo con CN si ottiene una convergenza ancora più veloce: y n = y n 1 + h 2 [f(t n 1, y n 1 ) + f(t n, y n )] y 0 = 1 y 1 = y [ 10(y 1 + y 0 )] 3y 1 = y 0 y 1 = 1 3 y 2 = y [ 10(y 2 + y 1 )] 3y 2 = y 1 y 2 = 1 9 y 3 = y [ 10(y 3 + y 2 )] 3y 3 = y 2 y 3 = Esempio (Eulero implicito). { y (t) = 10y(t) y(0) = 1 In questo caso scegliamo λ = 10; la soluzione è y(t) = e 10t e il sistema è chiaramente instabile (Figura 2.15). Osserviamo il comportamento di EI. Il metodo è stabile per e 10t 1 0 t Figura 2.15: Grafico della soluzione y(t) = e 10t del problema modello nel caso di λ = 10. hλ = 10h > 2 h > 1 5 ; scegliamo h = 3 5. y 0 = 1 y 1 = y (10y 1) 5y 1 = y 0 y 1 = 1 5 y 2 = y (10y 2) 5y 2 = y 1 y 2 = 1 25 y 3 = y (10y 3) 5y 3 = y 2 y 3 = La soluzione è y n = 1 5 y n 1: produce oscillazioni sempre più piccole fino a convergere a zero (Figura 2.16), un risultato palesemente in contrasto con il comportamento della funzione. Questo metodo non va bene, poiché è troppo a-stabile e tende ad

35 2.5. RIEPILOGO 25 1 y n 0 t 1 Figura 2.16: Soluzione del problema modello approssimata con EI. andare a zero anche quando non dovrebbe. Esaminiamo anche il caso soglia h = 1 5 : y 0 = 1 y 1 = y (10y 1) y 1 = y 0 y 1 = 1 y 2 = y (10y 2) y 2 = y 1 y 2 = 1 y 3 = y (10y 3) y 3 = y 2 y 3 = 1... La soluzione è y n = y n 1 e oscilla tra 1 e 1, come nella Figura 2.13: anche in questo caso non va bene. Questo esempio non avrebbe presentato problemi per CN. 2.5 Riepilogo In Tabella 2.1 è presentato un riepilogo dei tre metodi esaminati. EE, EI e CN sono tutti metodi a un passo poiché y n è sempre funzione solo del valore precedente y n 1 e non di altri punti. Altri tipi di metodi di approssimazione per problemi di Cauchy saranno esaminati nel Capitolo 6. Dei tre metodi, CN fornisce la migliore approssimazione, ma è un metodo costoso, come tutti i metodi impliciti. Al contrario, EE è poco accurato ma costa molto poco. Un metodo è più accurato tanto più è alto il suo ordine di convergenza. In generale i metodi espliciti non sono mai a-stabili, mentre lo sono solo alcuni di quelli impliciti (noi studieremo solo metodi impliciti a-stabili). 2.6 Abbattere i costi dei metodi impliciti Idea: partire da un metodo implicito accurato e renderlo esplicito. In questo modo perdiamo sicuramente l a-stabilità, ma vogliamo mantenere l accuratezza, cioè lo stesso ordine di convergenza. Partiamo da CN: y 0 dato, y n = y n 1 + h 2 [f(t n 1, y n 1 ) + f(t n, y n )]

36 26 CAPITOLO 2. RISOLUZIONE DI PROBLEMI DI CAUCHY Tipo Metodo Consistenza Zerostabilità Convergenza A- stabilità Regione di a-stabilità EE esplicito τ = O(h) sì sì: O(h) sì se h piccolo cerchio di centro ( 1, 0) e raggio 1 EI implicito τ = O(h) sì sì: O(h) sì esterno del cerchio di centro (1, 0) e raggio 1 CN implicito τ = O(h 2 ) sì sì: O(h 2 ) sì semipiano negativo (coincide con la regione nel continuo) Tabella 2.1: Riepilogo dei metodi di approssimazione ad un passo esaminati. La parte implicita di questo metodo è data dal secondo argomento di f(t n, y n ). Per eliminarla sostituisco y n con la sua approssimazione ỹ n calcolata usando EE. Il metodo risultante è detto metodo di Heun { yn = y n 1 + h 2 [f(t n 1, y n 1 ) + f(t n, ỹ n )] ỹ n = y n 1 + hf(t n 1, y n 1 ) (2.32) In questo modo perdo sicuramente la a-stabilità, ma vorrei conservare l ordine di consistenza O(h 2 ) tipico di CN. Per verificarlo calcolo l errore di troncamento locale in ogni punto: τ n = y(t n) y(t n 1 ) h = y(t n) y(t n 1 ) h 1 2 [f (t n 1, y n 1 ) + f (t n, y n 1 + hf(t n 1, y n 1 ))] = 1 [ y (t n 1 ) + f ( t n 1 + h, y(t n 1 ) + hy (t n 1 ) )] 2 Bisogna sviluppare in serie il termine f (t n 1 + h, y(t n 1 ) + hy (t n 1 )): è necessario utilizzare gli sviluppi di Taylor per funzioni di due variabili. Cerchiamo una strada alternativa. τ n misura l errore commesso quando sostituisco alle derivate i rapporti incrementali e alle funzioni i valori in certi punti. Per CN si ha τ n = h 2 y (t n ) che è zero se y (t n ) = 0. Per poter dire che l errore è di ordine due deve quindi essere τ n = 0 per le funzioni con y = 0, ovvero i polinomi di secondo grado (y(t) P 2 ). Un metodo di ordine due integra esattamente l equazione differenziale (nei punti di suddivisione) quando la sua soluzione è quindi in P 2, ovvero è del tipo y(t) = a + bt + ct 2. Si definisce P 2 = span { 1, t, t 2} ovvero gli elementi di P 2 sono le combinazioni lineari di 1, t e t 2. Esaminiamo allora tre problemi di Cauchy derivati da polinomi in P 2 e calcoliamo i relativi τ n :

37 2.6. ABBATTERE I COSTI DEI METODI IMPLICITI 27 { y (t) = 0 y(t) = 1 è soluzione di y(0) = 1 0; { y (t) = 1 y(t) = t è soluzione di y(0) = 0 ordine 1; ; τ n = 1 1 h ; τ n = 1 2 [0 + 0] = 0 ok per ordine h {}}{ t n t n 1 h 1 2 [1 + 1] = 0 ok per y(t) = t 2 è soluzione di = h { y (t) = 2t y(0) = 0 ; τ n = t2 n t2 n 1 h 1 2 [2t n 1 + 2t n ] = {}}{ (t n t n 1 )(t n+t n+1 ) h (t n 1 + t n ) = 0 ok per ordine 2. Lo schema integra quindi esattamente 1, 1, t 2 è di ordine due. Si potrebbe verificare se sia di ordine tre calcolando l errore del problema di Cauchy con soluzione y(t) = t 3, ma è inutile: è impossibile modificare un metodo implicito di ordine due e otterne uno di ordine superiore, può solo peggiorare o restare uguale.

38

39 Capitolo 3 Interpolazione di funzioni Approssimo f(x) f(x) che deve coincidere con la f(x) in certi punti dati: f(x) f(x) : f(x i ) = f(x i ), con x 1, x 2,..., x n+1 punti dati. Ogni oggetto di questo tipo si chiama interpolatore, mentre i punti di controllo sono detti nodi di interpolazione. Un interpolatore permette di ricostruire la funzione attraverso i nodi di interpolazione (Figura 3.1). f(x) 0 a = x 1 x i b = x n+1 x Figura 3.1: Nodi interpolatori di una generica funzione. 3.1 Interpolazione polinomiale Teorema 3.1. Siano dati n+1 punti distinti x 1, x 2,..., x n+1 e n+1 valori associati f(x 1 ), f(x 2 ),..., f(x n+1 ); allora! polinomio Π n (x) di grado n : Π n (x i ) = f(x i ) con i = 1, 2,..., n + 1. Π n (x) è detto polinomio interpolatore di Lagrange per f relativo ai nodi dati; questo è un interpolatore polinomiale. Dimostrazione. Considero lo spazio dei polinomi P n = span { 1, x, x 2,..., x n} formato da n + 1 oggetti linearmente indipendenti. Per i = 1, 2,..., n + 1 si definisce un polinomio L i (x) P n : L i (x i ) = 1 L i (x j ) = 0 j i. Ad esempio, dati tre nodi x 1 = x 2 = x 3 = 1, i polinomi corrispondenti, rappresentati in Figura 3.2, sono i seguenti: 29

40 30 CAPITOLO 3. INTERPOLAZIONE DI FUNZIONI 1 L 1 L 2 L3 0 x 1 x 2 x 3 x Figura 3.2: Polinomi di Lagrange per tre nodi prefissati. L 1 (x) P 2 : L 1 (x 1 ) = 1 L 1 (x 2 ) = L 1 (x 3 ) = 0; L 2 (x) P 2 : L 2 (x 2 ) = 1 L 2 (x 1 ) = L 2 (x 3 ) = 0; L 3 (x) P 2 : L 3 (x 3 ) = 1 L 3 (x 1 ) = L 3 (x 2 ) = 0. L espressione generale degli L i (x), detti polinomi caratteristici di Lagrange, è L i (x) = n+1 j=1 j i Questi n + 1 polinomi costituiscono una base per P n : P n = span {L 1 (x), L 2 (x),..., L n+1 (x)} x x j x i x j. (3.1) Infatti, gli L i sono esattamente n+1 e ognuno di essi ha esattamente grado n: perché siano una base è sufficiente dimostrare che sono linearmente indipendenti, ovvero che vale: n+1 i=1 Supponendo per assurdo α 1 0, avremmo α i L i (x) = 0 α i 0 n+1 α 1 L 1 (x) = α j L j (x) che calcolato per x = x 1 porta ad ottenere j=2 α 1 L 1 (x 1 ) = α 2 L 2 (x 1 ) α 3 L 3 (x 1 ) α n+1 L n+1 (x 1 ). }{{}}{{}}{{}}{{} =1 x def =0 =0 =0 Si trova α 1 = 0, che è in contrasto con l ipotesi per assurdo, quindi l assunto è dimostrato. Si procede analogamente per tutti gli α n fino a dimostrare che sono tutti uguali a zero sono tutti linearmente indipendenti sono una base per P n e

41 3.1. INTERPOLAZIONE POLINOMIALE 31 possono essere quindi usati per esprimere i polinomi in sostituzione dei monomi. È quindi possibile scrivere l espressione dei polinomi di Lagrange con questa base: Π n (x) = n+1 i=1 f(x i )L i (x). (3.2) Π n (x) è sicuramente un polinomio di grado al più n; si deve verificare che valga f(x i ) nei nodi. Si trova che: Π n (x k ) = n+1 i=1 f(x i ) L i (x k ) }{{} =1 se k=i =0 se k i = f(x k ) L k (x k ) = f(x k ) }{{} =1 quindi esiste; deve anche essere unico. Supponiamo per assurdo che non lo sia: avremmo due polinomi interpolatori p(x) e q(x) per f nei nodi x 1, x 2,..., x n+1. Sarà p(x) P n con p(x i ) = f(x i ) per i = 1, 2,..., n + 1; q(x) P n con q(x i ) = f(x i ) per i = 1, 2,..., n + 1; w(x) = p(x) q(x) P n con w(x i ) = p(x i ) q(x i ) = f(x i ) f(x i ) = 0 per i = 1, 2,..., n + 1. w è quindi un polinomio di grado n che si annulla in n + 1 punti distinti è identicamente nullo. A parte la dimostrazione formale, questo è intuitivo, poiché un polinomio di primo grado con due zeri (o uno di secondo (parabola) con tre, ecc.) può essere solo una retta coincidente con l asse delle ascisse. Interpolando si commette un errore, che non sarà mai zero a meno che la funzione non sia essa stessa un polinomio. L errore si definisce come e la sua espressione è data dal seguente E(x) = f(x) Π n (x) Teorema 3.2. Data f : [a, b] R, f C (n+1) (a, b) e n + 1 nodi x 1, x 2,..., x n+1 [a, b], x [a, b] z (x) [a, b] tale che E(x) = f(x) Π n (x) = f (n+1) (z) (n + 1)! ω n+1(x) (3.3) dove ω n+1 (x) = n+1 i=1 (x x i ). (3.4) Se x = x i (ovvero è uno dei nodi interpolatori) l errore si annulla, in tutti gli altri casi vale la precedente.

42 32 CAPITOLO 3. INTERPOLAZIONE DI FUNZIONI Dimostrazione. Su t [a, b] costruisco la funzione g(t) = E(t) ω n+1 (t) E(x) ω n+1 (x) che è continua con derivate continue fino all ordine n + 1 (g(t) C (n+1) (a, b)). La derivata di ordine n + 1 è g (n+1) (t) = E (n+1) (t) E(x) ω n+1 (x) (n + 1)! = f (n+1) (t) E(x) (n + 1)! (3.5) ω n+1 (x) poiché Π (n+1) n (t) = 0 e ω (n+1) n+1 (t) = (n + 1)!. g(t) ha n + 2 zeri: per t = x 1 si ha g(x 1 ) = E(x 1 ) }{{} =0 ω n+1 (x 1 ) }{{} =0 E(x) ω n+1 (x) = 0 quindi gli zeri sono x 1, x 2,..., x n+1 (tutti i nodi). Anche x è uno zero, infatti per t = x g(x) = E(x) ω n+1 (x) E(x) ω n+1 (x) = 0. Ne consegue che g (t) avrà n + 1 zeri, g (t) n zeri e g (n+1) (t) un solo zero z (x) : g (n+1) (z) = 0. Ponendo t = z nell espressione (3.5) di g (n+1) (t) calcolata in precedenza abbiamo g (n+1) (z) = f (n+1) (z) E(x) ω n+1 (x) (n + 1)! = 0 E(x) = f (n+1) (z) (n + 1)! ω n+1(x) Quello che interessa realmente è l errore massimo: max f(x) Π n(x) = f Π n max x [a,b] f (n+1) (x) (b a) n+1 ; x [a,b] (n + 1)! le lunghezze dei diversi intervalli sono tutte maggiorate con b a ω n+1 (x) = (x x 1 ) (x x 2 ) (x x n+1 ) (b a) (b a) (b a) }{{} n+1 volte ne consegue che f Π n f (n+1) (b a) n+1. (3.6) (n + 1)! Normalmente al crescere di n l errore tende ad azzerarsi perché l approssimazione migliora. Se però i nodi sono equispaziati in certi casi va a infinito. Consideriamo ad esempio la funzione f(x) = 1 sull intervallo [ 1, 1] e le sue interpolazioni 1+x 2 polinomiali con nodi equispaziati. Si vede che, al crescere del numero di nodi, i polinomi approssimano sempre meglio la parte centrale della funzione ma tendono ad oscillare sulle code, con oscillazioni sempre più grandi (Figura 3.3). Questa analisi è dovuta a Runge.

43 3.1. INTERPOLAZIONE POLINOMIALE 33 Figura 3.3: Interpolazione polinomiale con nodi equispaziati della funzione f(x) = x 2.

44 34 CAPITOLO 3. INTERPOLAZIONE DI FUNZIONI Per evitare questi problemi si prende una suddivisione dell intervallo con dei nodi addensati agli estremi (nodi di Chebishev 1 ). Per costruire questa suddivisione si prende una semicirconferenza, la si divide in n parti uguali ognuna di lunghezza π n e si proiettano i punti di suddivisione sull asse orizzonale (Figura 3.4). Questi punti Figura 3.4: Costruzione dei nodi di Chebishev forniscono una possibile suddivisione per l intervallo [ 1, 1] e la loro espressione analitica è ( ) π ^x i = cos n i con i = 0, 1, 2,..., n. L estensione sull intervallo [a, b] è x i = a + b 2 + b a ^x i Interpolazione polinomiale a tratti Se lavoriamo con dati sperimentali però i nodi sono già fissati e non si può usare la tecnica appena vista. Per poter continuare ad utilizzare un interpolazione polinomiale in questo caso si applica l interpolazione nei diversi intervalli della funzione, utilizzando funzioni polinomiali a tratti (Figura 3.5). Dati n + 1 punti x 1, x 2,..., x n+1 f(x) 0 a = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = b x Figura 3.5: Esempio di interpolazione polinomiale a tratti. che determinano n sottointervalli I 1, I 2,..., I n avremo f(x) f(x): f Ik P 1 1 Matematico russo, Chebishev è una delle possibili traslitterazioni del nome dal cirillico.