Definizione di Segnali e loro caratterizzazione

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1 Definizione di Segnali e loro caratterizzazione Definizione Un segnale è un modello matematico che descrive la variazione di una o più grandezze (fisiche) in funzione di altre grandezze (fisiche). Non tutti i segnali ammettono una descrizione matematica esatta attraverso una funzione del tempo. Alcuni segnali contengono un certo grado di imprevedibilità o di incertezza, in quanto scaturiscono da fenomeni fisici che, per la loro complessità, o per la conoscenza imperfetta dei meccanismi che li governano, non ammettono una descrizione matematica esatta. Pertanto distinguiamo tra: Segnale deterministico: Un segnale si dice deterministico (o determinato) se è perfettamente descritto da una funzione (espressa analiticamente, in forma tabellare, o in forma grafica). Segnale aleatorio: Un segnale si dice aleatorio (o casuale) se nella sua definizione è contenuto un certo grado di incertezza. 1 Presentation Title Month 2006

2 Classificazione elementare dei segnali Definizione1. Segnale monodimensionale/multidimensionale (a) Un segnale si dice monodimensionale i se è descritto da una funzione di una variabile indipendente. Esempio x(t)=cos(2 f t ) (b) Un segnale si dice multidimensionale se è descritto da una funzione di due o più variabili indipendenti. Tipici esempi di segnali multidimensionali sono le immagini (fisse o in movimento). Un immagine fissa in bianco e nero, o monocromatica può essere descritta da un segnale multidimensionale z(x,y), che descrive le variazioni di luminosità (o luminanza) in funzione della posizione spaziale (x,y) del punto (detto anche pixel) dell immagine. Se l immagine è in movimento (filmato in bianco e nero), è necessario considerare anche una terza variabile temporale, per cui il segnale diventa una funzione z(x,y,t) di tre variabili. 2 Presentation Title Month 2006

3 Classificazione elementare dei segnali Definizione 2 (segnale a tempo continuo/discreto) (a) Un segnale si dice a tempo continuo (TC), o forma d onda, se la variabile indipendente (tempo) varia in un insieme continuo. (b) Un segnale si dice a tempo discreto (TD), o sequenza, se la variabile indipendente (tempo) varia in un insieme discreto. Definizione 3 (segnale scalare/vettoriale) (a) Un segnale si dice scalare se il valore assunto dal segnale (la variabile dipendente) è uno scalare. Esempi: segnale cosinusoidale x(t)=cos(2 f t ), Un immagine fissa in bianco e nero, o monocromatica z(x,y). (b) Un segnale si dice vettoriale se il valore assunto dal segnale (la variabile dipendente) è un vettore, ovvero un array di scalari. Una immagine fissa a colori è una funzione vettoriale di due variabili: z(x,y) = [zr(x,y), zg(x,y), zb(x,y)]. in quanto può essere decomposta dalle sue tre componenti fondamentali, rosso (R), verde (G) e blu (B), e quindi può essere descritta da tre segnali monocromatici associati a ciascuna componente, siano essi zr(x,y), zg(x,y), zb(x,y). 3 Presentation Title Month 2006

4 Classificazione elementare dei segnali Definizione 4 (segnale ad ampiezza continua/discreta) (a) Un segnale si dice ad ampiezza continua (AC) se la variabile dipendente (ampiezza) varia in un insieme continuo. (b) Un segnale si dice ad ampiezza discreta (AD) se la variabile dipendente (ampiezza) varia in un insieme i discreto. Un esempio di segnale ad ampiezza discreta è il segnale logico. La codifica degli stati logici 0 (falso) ed 1 1 (vero) avviene in un circuito digitale associando ad essi due livelli di tensione (in Volt), ad esempio 5V per rappresentare lo stato 0 e -5V per rappresentare lo stato 1. Il segnale risultante x(t) (vedi figura) descrive la variazione dello stato logico nel tempo. Si tratta di un segnale a tempo continuo ma ad ampiezza discreta, visto che il suo codominio. 4 Presentation Title Month 2006

5 Classificazione elementare dei segnali Definizione 5 (segnale analogico/digitale) (a) Un segnale si dice analogico se è a tempo continuo e ad ampiezza continua. (b) Un segnale si dice digitale o numerico se è a tempo discreto e ad ampiezza discreta (con un numero finito di ampiezze). 5 Presentation Title Month 2006

6 Segnale periodico Definizione (segnale periodico) (a) Un segnale TC x(t) si dice periodico se esiste it un valore reale T 0 > 0 tale che: x(t) = x(t + T 0 ), t, Il più piccolo valore di T0 che verifica l equazione di sopra è detto periodo (fondamentale) del segnale. (b) Un segnale TD x(n) si dice periodico se esiste un valore intero N 0 1 tale che: x(n) = x(n + N 0 ), n Il più piccolo valore di N 0 che verifica l equazione di sopra è detto periodo (fondamentale) del segnale. 6 Presentation Title Month 2006

7 Caratterizzazione sintetica dei segnali I principali parametri numerici che concorrono a caratterizzare sinteticamente un segnale sono : durata temporale; media temporale; energia e potenza. Definizione (estensione e durata temporale di un segnale) (a) L estensione temporale di un segnale x(t) a TC è l intervallo di tempo in cui x(t) assume valori non trascurabili. (b) L estensione temporale di un segnale x(n) a TD è l intervallo di tempo in cui x(n) assume valori non trascurabili. Definizione (media temporale): La media temporale di un segnale è: 7 Presentation Title Month 2006

8 Proprietà della media temporale (a) Linearità: (b) Invarianza temporale: x (t-t t 0 ) = x (t), t 0, x (n-n 0 ) = x (n), n 0, 1 x 1 ( ) + 2 x 2 ( ) 1 x 1 ( ) + 2 x 2 ( ), 1, 2 (c) Media temporale di un segnale periodico: Sia x( ) un segnale periodico, avente periodo T 0 nel caso TC, o periodo N 0 nel caso TD, assolutamente integrabile/sommabile su un periodo. La media temporale di x( ) può essere calcolata su un solo periodo: 8 Presentation Title Month 2006

9 Caratterizzazione sintetica dei segnali I Definizione (Energia e Potenza ): L energia di un segnale è: La potenza di un segnale è: 9 Presentation Title Month 2006

10 Segnali di Energia e Potenza Si dice segnale di energia un segnale x( ) ) avente energia finita e diversa da zero Si dice segnale di potenza un segnale x( ) avente potenza finita e diversa da zero Teorema 2.1 (relazioni tra segnali di energia e di potenza) (a) se x( ) è un segnale di potenza, allora esso ha energia infinita (E x = ); (b) se x( ) è un segnale di energia, allora esso ha potenza nulla (P x = 0). 10 Presentation Title Month 2006

11 Definizione (componente continua/alternata) La componente continua (DC) di un segnale x( ) coincide con la sua media temporale: La componente alternata (AC) di un segnale x( ) si ottiene sottraendo al segnale la sua componente continua: Mentre la componente continua rappresenta il valor medio del segnale, e quindi, in un certo senso, la parte costante del segnale, la componente alternata, essendo ottenuta depurando il segnale della componente continua, ne rappresenta la parte effettivamente variabile. Dalla sua definizione, è chiaro che la componente alternata di un segnale ha media temporale (e quindi componente continua) nulla. Infatti, applicando la proprietà di linearità della media temporale, si ha: 11 Presentation Title Month 2006

12 esempi di segnali: Piu definizione i i della delta di dirac delta e della delta di kroneker k 12 Presentation Title Month 2006

13 Convoluzione Consideriamo due segnali x ( ) e y ( ). Si definisce prodotto di convoluzione tra di essi il nuove segnale z(.)= x( ) y( ) cosi definito: Integrale di Convoluzione Somma di Convoluzione Se i due segnali x(.) e y(.) sono segnali periodici la convoluzione cosi come definita i sopra diverge. Pertanto si introduce una definizione i i alternativa di convoluzione valida per segnali periodici. Siano x(.) e y(.) sono segnali periodici TC (rispettivamente TD) di periodo T 0 (rispettivamente N 0 ): 13 Presentation Title Month 2006

14 Proprietà della Convoluzione (a) Proprietà commutativa: x( ) ( h( ) ) = h( ) ) x( ) ( ). (b) Proprietà associativa: x( ) [h 1 ( ) h 2 ( )] = [x( ) h 1 ( )] h 2 ( ). (c) Proprietà distributiva: x( ) [h 1 ( ) +h 2 ( )] = x( ) h 1 ( ) + x( ) h 2 ( ). (d) Proprietà di esistenza dell unità: x( ) = x( ) ( ) = ( ) x( ). 14 Presentation Title Month 2006

15 Proprietà della Convoluzione (Dimostrazione nell esercitazione del 23 Marzo) (e) Proprietà di invarianza temporale: h(t) x(t) = y(t) h(t -t 1 ) x(t -t 2 ) = y[t -(t 1 +t 2 )], t 1, t 2 ; h(t) x(t) = y(t) h(n -n 1 ) x(n -n 2 ) = y[n -(n 1 +n 2 )],, n 1, n 2 ; (f) Proprietà di convoluzione con l impulso: x(t - t 0 ) = x(t) (t -t 0 ), t 0, x(n - n 0 ) = x(n) (n -n 0 ), n 0, (g) Proprietà di durata della convoluzione: Siano x(t) e h(t) di durata rigorosamente limitata, con durate x e h z(t) = x(t) h(t) è di durata rigorosamente limitata, con durata z x + h. Siano x(n) e h(n) di durata rigorosamente limitata, con durate x e h z(n) = x(n) h(n) è di durata rigorosamente limitata, con durata z x + h Presentation Title Month 2006

16 Sistemi Definizione 1 (Sistema) Un sistema it è un modello matematico ti che descrive la relazione tra due o più segnali, dei quali alcuni sono identificati come segnali di ingresso (o cause), e gli altri come segnali di uscita (o effetti). 16 Presentation Title Month 2006

17 Classificazione elementare dei sistemi Definizione 1. (sistema SISO/MISO/SIMO/MIMO) (a) Un sistema con un ingresso ed una uscita si dice single-input single-output (SISO). (b) Un sistema con più ingressi ed una uscita si dice multiple-input single-output (MISO). (c) Un sistema con un ingresso e più uscite si dice single-input multiple-output (SIMO). (d) Un sistema con più ingressi e più uscite si dice multiple-input multiple-output (MIMO). (MISO). (SISO). 17 Presentation Title Month 2006

18 Classificazione elementare dei sistemi Definizione 2 (sistema a tempo continuo/discreto/misto) (a) Un sistema si dice a tempo continuo (TC) se l ingresso e l uscita sono entrambi segnali a tempo continuo. (b) Un sistema si dice a tempo discreto (TD) se l ingresso e l uscita sono entrambi segnali a tempo discreto. (c) () Un sistema si dice misto (o ibrido) se l ingresso e l uscita sono uno a tempo continuo e l altro a tempo discreto, o viceversa. 18 Presentation Title Month 2006

19 Classificazione elementare dei sistemi Un sistema TC (SISO) è descritto matematicamente da una trasformazione S : I --> U, Definizione (relazione i-u di un sistema TC) Detto x(t) I l ingresso ed y(t) U l uscita, il sistema TC (SISO) è descritto matematicamente dalla sua relazione ingresso-uscita (i-u): Esempi: Integratore, integrale di convoluzione, Definizione (relazione i-u di un sistema TC) Detto x(t) I l ingresso ed y(t) U l uscita, il sistema TC (SISO) è descritto matematicamente dalla sua relazione ingresso-uscita (i-u): Esempi: Sommatore, somma di convoluzione, 19 Presentation Title Month 2006

20 Classificazione elementare dei sistemi Definizione (connessione di sistemi in serie) Due sistemi S1 e S2 si dicono connessi in serie o in cascata se l uscita del primo sistema S1 è collegata all ingresso del secondo sistema S2. Definizione 3.4 (connessione di sistemi in parallelo) Due sistemi ste S1 e S2 si dicono o connessi in parallelo allelo se lo stesso ingresso è applicato ai due sistemi S1 e S2, e l uscita si ottiene sommando algebricamente le uscite dei due sistemi. Definizione 3.5 (connessione di sistemi in retroazione) Due sistemi S1 e S2 si dicono connessi in retroazione o con feedback se l uscita del sistema S1, dopo essere stata elaborata dal sistema S2, viene sommata algebricamente all ingresso del sistema S1. 20 Presentation Title Month 2006

21 Proprietà dei sistemi Definizione 3.6 (sistema non dispersivo) (a) Un sistema TC si dice non dispersivo se la sua relazione i-u assume la forma (b) Un sistema TD si dice non dispersivo se la sua relazione i-u assume la forma In sintesi, in un sistema non dispersivo, l uscita all istante t oppure n dipende solo dal valore assunto dal segnale di ingresso nello stesso istante (con una legge che può variare, eventualmente, con t oppure con n). Come sinonimo di sistema non dispersivo, si parla anche di sistema istantaneo o senza memoria. Un sistema che non soddisfa la definzione di sopra si dice evidentemente dispersivo, o anche dinamico, o ancora con memoria. In definitiva, la memoria di un sistema può essere definita come la durata temporale del segmento del segnale di ingresso che contribuisce, oltre al campione attuale, all uscita in un determinato istante di tempo. Inoltre, non sempre la memoria di un sistema è finita diversi sono gli esempi di sistemi con memoria infinita. 21 Presentation Title Month 2006

22 Esempi 22 Presentation Title Month 2006

23 Proprietà dei sistemi Definizione (sistema causale) (a) Un sistema TC si dice causale se la sua relazione i-u assume la forma (b) Un sistema TD si dice causale se la sua relazione i-u assume la forma Un sistema in cui l uscita non soddisfa la definzione di sopra si dice non causale. Un caso particolare di sistema non causale è quello in cui l uscita dipende solo dal futuro, ossia: Un sistema siffatto si dice anticausale. 23 Presentation Title Month 2006

24 Esempi 24 Presentation Title Month 2006

25 Proprietà dei sistemi Definizione (sistema invertibile) Un sistema è invertibile se è possibile costruire un sistema S -1 : I --> U, detto sistema inverso, tale che la cascata di S e S -1 (nell ordine) realizza la trasformazione identica, matematicamente ciò significa che:, per ogni segnale di ingresso x(t) I. Questo comporta che dall osservazione dell uscita del sistema è possibile determinare (almeno in linea di principio) univocamente l ingresso. 25 Presentation Title Month 2006

26 Esempi 26 Presentation Title Month 2006

27 Proprietà dei sistemi: Definizione (sistema invariante temporalmente) La relazione i-u di un sistema TC e TD, nella forma più generale é: La dipendenza esplicita da t (e da n rispettivamemente) nelle relazioni precedenti evidenzia che il comportamento del sistema può variare nel tempo. Se tale dipendenza dal tempo non c è, allora è possibile scrivere la relazione i-u del sistama senza l esplicta dipendenza da t o da n, i.e.: ed il sistema si dice invariante temporalmente [sistema tempo-invariante (TI) o stazionario]. Se la tempo-invarianza non è soddisfatta il sistema di dice tempo-variante (TV) Esempi: (amplificatore a guadagno costante ( partitore resistivo) : Sitema TI amplificatore a guadagno variabile: Sistema TV 27 Presentation Title Month 2006

28 Proprietà dei sistemi invarianti temporalmente Proprietà (caratterizzazione i-u dell invarianza temporale) (a) Un sistema TC con ingresso x(t) ed uscita y(t) è invariante i temporalmente t se e solo se per ogni t 0, e per ogni coppia di segnali di ingresso x(t) I e di uscita y(t) ) U. (b) Un sistema TD con ingresso x(n) ed uscita y(n) è invariante temporalmente se e solo se per ogni n 0, e per ogni coppia di segnali di ingresso x(n) I e di uscita y(n) U. 28 Presentation Title Month 2006

29 Esempi 29 Presentation Title Month 2006

30 Esempi 30 Presentation Title Month 2006

31 Proprietà dei sistemi Un sistema si dice stabile in senso BIBO (bounded-input bounded-output) se l uscita corrispondente ad un qualunque ingresso di ampiezza limitata è a sua volta di ampiezza limitata. Matematicamente: Definizione (sistema stabile in senso BIBO) (a) Un sistema TC con ingresso x(t) ed uscita y(t) si dice stabile in senso BIBO se: x(t) K x per ogni t, y(t) K y per ogni t, per ogni x(t) I limitato con K x, K y +. y (b) Un sistema TD con ingresso x(n) ( ) ed uscita y(n) ) si dice stabile in senso BIBO se: x(n) K x per ogni n, y(n) K y per ogni n, per ogni x(n) I limitato con K x, K y Presentation Title Month 2006

32 Esempi 32 Presentation Title Month 2006

33 Proprietà dei sistemi: Sistemi Lineari La proprietà di linearità è estremamente importante, in quanto porta a notevoli semplificazioni nell analisi e nella sintesi dei sistemi. La proprietà di linearità può essere vista come composta da due proprietà più semplici: la proprietà di omogeneità e di additività, secondo la definizione seguente: Definizione (sistema lineare) Un sistema si dice lineare se soddisfa le seguenti due proprietà: (a) Omogeneità: per ogni coppia di segnali di ingresso x( ) I e di uscita y( ) U, si ha: x( ) y( ) (b) Additività: per ogni coppia di segnali di ingresso x 1 ( ) I e di uscita y 1 ( ) U, e per ogni coppia di segnali di ingresso x 2 ( ) I e di uscita y 2 ( ) U, si ha: 2 2 x 1 ( )+x 2 ( ) y 1 ( )+y 2 ( ). 33 Presentation Title Month 2006

34 Proprietà dei sistemi: Sistemi Lineari Le due proprietà precedenti, che caratterizzano la linearità di un sistema, si possono riassumere nel cosiddetto principio di sovrapposizione: Proprietà (principio di sovrapposizione) Un sistema è lineare se, per ogni coppia di segnali di ingresso x 1 ( ) I e di uscita y 1 ( ) U, e per ogni coppia di segnali di ingresso x 2 ( ) I e di uscita y 2 ( ) U, si ha:, si ha: 1 x 1 ( ) + 2 x 2 ( ) 1 y 1 ( ) + 2 y 2 ( ), 1, 2 34 Presentation Title Month 2006

35 Proprietà dei sistemi: Sistemi Lineari Proprietà (comportamento a riposo di un sistema omogeneo) In un sistema omogeneo, l uscita corrispondente all ingresso nullo è necessariamente nulla. Esempio di sistema non omogeneo omogeneo 35 Presentation Title Month 2006

36 Sistemi non lineari senza memoria Definizione (non linearità senza memoria) Sia g( ) una funzione non lineare, un sistema TI senza memoria, descritto dalla relazione iu: y(t) = g[x(t)] (nel caso TC) oppure da y(n) = g[x(n)] (nel caso TD) prende il nome di non linearità senza memoria. Esempi: raddrizzatore: y ( )= x ( ), hard limiter: y (t)=sign(x (t)), y(t)=x 2 (t) 36 Presentation Title Month 2006

37 Sistemi Lineari: Relazione i-u e risposta impulsiva Considerato l insieme numerabile degli impulsi discreti traslati nel tempo (n-k), un arbitrario segnale TD si scrive: Supponiamo che x(n) sia posto in ingresso ad un sistema TD LTI, sfruttando il principio di sovrapposizione, nonché l invarianza temporale del sistema: Definito per l invarianza temporale abbiamo: Pertanto la relazione i-u del sistema diventa: 37 Presentation Title Month 2006

38 Esempio 38 Presentation Title Month 2006

39 Sistemi Lineari: Relazione i-u e risposta impulsiva Partendo dalla rappresentazione di un segnale a TC come sovrapposizione di impulsi di Dirac: Applicando la linearità e la tempo invarianza, abbiamo dove abbiamo indicato Risposta Impulsiva 39 Presentation Title Month 2006

40 Relazione i-u e risposta impulsiva di un sistema LTI Proprietà (relazione i-u e risposta impulsiva di un sistema LTI) (a) Dato un sistema TC con ingresso x(t) ed uscita y(t), esso è un sistema LTI se e solo se è descritto da una relazione i-u di convoluzione: dove è la risposta impulsiva del sistema. (b) Dato un sistema TD con ingresso x(n) ed uscita y(n), esso è un sistema LTI se e solo se è descritto da una relazione i-u di convoluzione: dove è la risposta impulsiva del sistema. 40 Presentation Title Month 2006

41 Relazione i-u e risposta impulsiva di un sistema LTI 41 Presentation Title Month 2006

42 Risposta impulsiva di un sistema LTI non dispersivo Proprietà (a) Un sistema LTI è non dispersivo se e solo se la sua risposta impulsiva assume la forma h( ) = ( ). (b) Equivalentemente, un sistema LTI è non dispersivo se e solo se la sua relazione i-u è y( ) = x( ), ovvero se e solo se è un amplificatore/attenuatore ideale. 42 Presentation Title Month 2006

43 Sistemi dispersivi o con memoria I sistemi non dispersivi sono detti anche sistemi senza memoria, dove la memoria di un sistema è la durata temporale del segmento del segnale di ingresso che contribuisce, oltre al campione attuale, all uscita in un determinato istante di tempo. Dalla relazione i-u di un sistema LTI, segue che tale durata è determinata dalla estensione temporale D h della risposta impulsiva la memoria di un sistema coincide con la durata temporale D h della risposta impulsiva h( ) (escluso il campione per n = 0 nel caso TD). I sistemi LTI con memoria si possono ulteriormente classificare come segue: sistemi LTI aventi memoria rigorosamente finita: la risposta impulsiva h( ) ha durata rigorosamente limitata; sistemi LTI aventi memoria praticamente finita: la risposta impulsiva h( ) decade asintoticamente a zero per t senza mai annullarsi; l estensione temporale D h è l intervallo in cui risposta impulsiva h( ) assume valori significativamente diversi da zero (soglia da fissarsi); sistemi LTI aventi memoria infinita: la risposta impulsiva h( ) non decade a zero, per cui presenta valori non trascurabili su un intervallo temporale non limitato. Sistemi LTI con memoria rigorosamente finita prendono il nome di sistema finite impulse response (FIR). l integratore con memoria finita, sistema MA. Sistema LTI con memoria non rigorosamente finita sono detti sistemi infinite impulse response (IIR). L integratore e l accumulatore 43 Presentation Title Month 2006

44 Risposta impulsiva di un sistema LTI causale Proprietà Un sistema LTI è causale se e solo se h(n) = 0, n < 0 (sistema TD) h(t) = 0, t < 0 (sistema TC) Se la risposta impulsiva del sistema LTI non è identicamente nulla per t <0 (caso TC) oppure per n<0 (caso TD), il sistema è non causale. Un sistema LTI è anticausale se e solo se la sua risposta impulsiva soddisfa la seguente condizione: h(n) = 0, n 0 (sistema TD) h(t) = 0, t 0 (sistema TC) 44 Presentation Title Month 2006

45 Sistema LTI non-causale 45 Presentation Title Month 2006

46 46 Presentation Title Month 2006

47 Risposta di un sistema LTI causale ad un segnale causale Proprietà (risposta di un sistema LTI causale ad un segnale causale) (a) Se il segnale in ingresso ad un sistema TC LTI causale è identicamente nullo per t < 0, allora la corrispondente uscita è anch essa identicamente nulla per t < 0. (b) Se il segnale in ingresso ad un sistema TD LTI causale è identicamente nullo per n<0, allora la corrispondente uscita è anch essa identicamente nulla per n < Presentation Title Month 2006

48 Sistema Inverso Proprietà (risposta impulsiva del sistema inverso di un sistema LTI) Si consideri i un sistema LTI invertibile con risposta impulsiva i h( ), ) il suo sistema inverso è anch esso LTI e, detta hinv( ) la sua risposta impulsiva, sussiste la seguente relazione tra le due risposte impulsive: h( ) hinv( ) = hinv( ) h( ) = ( ). 48 Presentation Title Month 2006

49 Sistemi Stabili Proprietà (risposta impulsiva di un sistema LTI stabile) Un sistema LTI è stabile se e solo se la sua risposta impulsiva i è sommabile, ovvero se e solo se (sistema TD), (sistema TC). Dimostrarlo: Possiamo quindi dire che tutti i sistemi LTI con memoria rigorosamente finita (FIR) sono stabili. 49 Presentation Title Month 2006

50 Sistemi Stabili: Dimostrazione Condizione sufficiente: 50 Presentation Title Month 2006

51 Sistemi Stabili: Dimostrazione Condizione necessaria: Per provarlo, procediamo per assurdo, supponendo che un sistema stabile abbia una risposta impulsivanon sommabile. Definiamo allora un opportuno segnale di ingresso: 51 Presentation Title Month 2006

52 Esempi 52 Presentation Title Month 2006

53 Trasformata di Fourier Definizione (trasformata di Fourier per segnali TC) La trasformata di Fourier di un segnale TC x(t) è definita dalle equazioni: (equazione di analisi) (equazione di sintesi) Definizione (trasformata di Fourier per segnali TD) La trasformata di Fourier di un segnale TD x(n) è definita dalle equazioni: (equazione di analisi) (equazione di sintesi) 53 Presentation Title Month 2006

54 Periodicità della trasformata di Fourier a TD Proprietà (periodicità della trasformata di Fourier a TD) La trasformata t di Fourier X( ) di un segnale TD x(n), è periodica di periodo unitario, ossiaç X( ) = X( +1), ν R. In virtù di tale proprietà, per specificare completamente la trasformata di Fourier X( ) è sufficiente assegnare i suoi valori in un arbitrario intervallo di ampiezza unitaria, ad esempio (0,1) oppure (.1/2,1/2). Sapedo che: calcorale per esercizio la trasformata di Fourier della finestra rettangolare TD 54 Presentation Title Month 2006

55 Proprietà elementari delle trasformata di Fourier Proprietà (linearità della trasformata di Fourier) Siano x 1 ( ) FT X 1 ( ) e x 2 ( ) FT X 2 ( ), e siano 1, 2, si ha: y ( ) = 1 x 1 ( ) + 2 x 2 ( ) FT Y( ) = 1 X 1 ( ) + 2 X 2 ( ). Proprietà (simmetria hermitiana della trasformata di Fourier) Sia x( ) FT X( ), valgono i seguenti risultati: (a) Se x( ) è reale, allora X( ) possiede la seguente proprietà di simmetria hermitiana: X*( ) = X(-( )) (( )* denota la coniugazione) (b) Se X( ) possiede la proprietà di simmetria hermitiana, allora x( ) è reale. Dimostrare la prop. di simmetria hermitiana ricordando che: 55 Presentation Title Month 2006

56 Proprietà di dualità nel caso TC Proprietà (dualità della trasformata di Fourier a TC) Sia x(t) FT X( f ), si ha X(t) FT x(-f ( ). Dim: La trasformata di Fourier di X(t) è Utilizzando l equazione di sintesi con come variabile di integrazioneç 56 Presentation Title Month 2006

57 Esempio 57 Presentation Title Month 2006

58 Valore nell origine della trasformata di Fourier Proprietà (valore nell origine della trasformata di Fourier) Sia x( ) FT X( ), si ha: (caso TC) (caso TD) 58 Presentation Title Month 2006

59 Proprietà di convoluzione della trasformata di Fourier Proprietà (proprietà di convoluzione della trasformata di Fourier) Siano x1( ) ) FT X1( ) ) e x2( ) ) FT X2( ), ) si ha: y( ) = x1( ) x2( ) FT Y( ) = X1( ) X2( ). 59 Presentation Title Month 2006

60 Uguaglianza di Parseval 60 Presentation Title Month 2006

61 Uguaglianza di Parseval: Dimostrazione 61 Presentation Title Month 2006

62 Uguaglianza di Parseval sua estensione con dimostrazione 62 Presentation Title Month 2006

63 Decadimenta zero: senza dimostrazione 63 Presentation Title Month 2006

64 Proprietà della Trasformata di Fourier 64 Presentation Title Month 2006

65 Proprietà della Trasformata di Fourier 65 Presentation Title Month 2006

66 Proprietà della Trasformata di Fourier 66 Presentation Title Month 2006

67 67 Presentation Title Month 2006

68 Trasformata di Fourier di segnali sommabili Proprietà (trasformata di Fourier a TD di un segnale sommabile) Se il segnale x(t) è sommabile su R, l integrale che definisce l equazione di analisi esiste in senso ordinario e la trasformata di Fourier X( f ) del segnale x(t) è una funzione continua e limitata, infinitesima per f +. Proprietà (trasformata di Fourier a TD di un segnale sommabile) (i) Se il segnale x(n) è sommabile, la serie che definisce l equazione di analisi converge uniformemente in R e la trasformata di Fourier X( ν) del segnale x(n) è una funzione continua. (ii) Se X( ν) è la trasformata di Fourier di un segnale x(n) sommabile, l equazione di sintesi restituisce x(n), n Z. 68 Presentation Title Month 2006

69 69 Presentation Title Month 2006

70 70 Presentation Title Month 2006

71 71 Presentation Title Month 2006

72 72 Presentation Title Month 2006

73 73 Presentation Title Month 2006

74 74 Presentation Title Month 2006

75 75 Presentation Title Month 2006

76 76 Presentation Title Month 2006

77 Trasformata di Fourier della finestra rettangolare

78 78 Presentation Title Month 2006

79 79 Presentation Title Month 2006

80 80 Presentation Title Month 2006

81 81 Presentation Title Month 2006

82 82 Presentation Title Month 2006

83 83 Presentation Title Month 2006

84 84 Presentation Title Month 2006

85 Serie di Fourier

86 Proprietà della Serie di Fourier Dimostrazione: o Dimostrazione: o

87 Verifica:

88 Trasformata di Fourier di segnali periodici Utilizzando: Utilizzando:

89 Relazione tra Serie di Fourier and Trasformata di Fourier

90 Esempio

91 Esempio

92 Sistemi LTI e Serie di Fourier La principale motivazione che spinge a rappresentare un arbitrario segnale come sovrapposizione di fasori è la semplicità con cui è possibile calcolare l uscita di un sistema LTI sollecitato da un singolo fasore, mediante le relazioni Le relazioni sono state ottenute via def. di integrale di covoluzione

93 Sistemi LTI e Serie di Fourier per segnali TC Infatti applicando l equazione di sintesi Per il principio p di sovrapposizione otteniamo: Da cui si deduce che:

94 Sistemi LTI e Serie di Fourier per segnali TD Infatti applicando l equazione di sintesi Per il principio di sovrapposizione otteniamo: Da cui si deduce che come nel caso TC che che y(n) è un segnale periodico, con lo stesso periodo N0 del segnale di ingresso, e che la sua DFS Y(k) è legata alla DFS del segnale di ingresso dalla relazione:: che le componenti continue di x(k) e y(k) sono legate della dal valor in zero della risposta in fequenza del sistema LTI.

95 Selettività in frequenza In generale un sistema LTI modifica in maniera diversa le armoniche del segnale alle differenti frequenze: questa fondamentale proprietà dei sistemi LTI va sotto il nome di selettività ità in frequenza. Particolarmente t interessante t è la modifica delle ampiezze delle armoniche, in quanto essa consente di alterare il peso relativo di ciascun fasore nella serie di Fourier. Comportamento tipico di molti sistemi LTI è di attenuare notevolmente (quando H(k f0) 1) l ampiezza di alcune armoniche, e di lasciare inalterate (quando H(k f0) 1) l ampiezza di altre armoniche. Caso limite: il sistema presenta una risposta armonica che si annulla in corrispondenza di alcune frequenze le armoniche corrispondenti a quelle frequenze saranno completamente cancellate e quindi non saranno presenti nel segnale di uscita. Notiamo che il sistema LTI può solo modificare in ampiezza e fase le armoniche che sono già presenti nel segnale di ingresso, mentre non è in grado di generare armoniche a frequenze differenti da quelle dell ingresso (la generazione di nuove armoniche è una caratteristica tipica dei sistemi non lineari). Per questo motivo, si dice che il sistema LTI p ) q si comporta come un filtro, opera un filtraggio del segnale di ingresso.

96 Filtri Ideali TC Con riferimento al caso TC, i più semplici esempi di filtri sono quelli cosiddetti ideali, la cui risposta in frequenza H( f ) assume solo i valori 0 oppure 1. In particolare, tutte le armoniche aventi frequenze per le quali H( f) = 1 vengono fatte passare dal filtro senza modifiche: tale intervallo di frequenze Wp prende il nome di banda passante del filtro. Viceversa, tutte le armoniche aventi frequenze per le quali H(f) = 0 vengono completamente bloccate dal filtro: tale intervallo di frequenze Ws prende il nome di banda oscura del filtro o stopband. I filtri ideali TC sono in genere classificati, sulla base della posizione della banda passante e di quella oscura, in quattro tipologie principali: 1. Filtri passabasso o lowpass filter (LPF): 2. Filtri passaalto o highpass filter (HPF): 3. Filtri passabanda o bandpass filter (BPF): 4. Filtri passabanda o bandpass filter (BPF):

97 Filtri passabasso o lowpass filter (LPF):

98 Filtri passaalto o highpass filter (HPF):

99 Filtri passabanda o bandpass filter (BPF)

100 Filtri passabanda o bandpass filter (BPF):

101 Filtri Ideali TD Per quanto riguarda il caso TD, le tipologie di filtri ideali sono le stesse, con la fondamentale differenza che, essendo la risposta armonica H( ) una funzione periodica di periodo 1, le corrispondenti risposte dei filtri sono tutte periodiche di periodo 1. Nelle figure sono mostrate le risposte armoniche dei filtri ideali LPF, HPF, BPF e BSF per il caso TD, le cui espressioni analitiche sono:

102 Filtri Ideali TD

103 Esempio