Determinazione degli zeri di una formula Gaussiana mediante l'algoritmo QR per il calcolo degli autovalori di una matrice.

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1 Determinazione degli zeri di una formula Gaussiana mediante l'algoritmo QR per il calcolo degli autovalori di una matrice. Andrea Salimbeni Relatore Prof. Giuseppe Rodriguez

2 Indice Premesse pg. 3 Formule di quadratura gaussiane pg. 3 Algoritmo QR pg. 4 Matrici elementari di Householder pg. 5 Fattorizzazione QR con Householder pg. 7 Implementazione dell'algoritmo QR su matlab pg. 10 Famiglie di polinomi di Legre, Hermite e Laguerre pg. 12

3 Lo scopo della tesina è quello di determinare gli zeri di una formula gaussiana mediante l'algoritmo QR per il calcolo degli autovalori di una matrice. Premesse Defino una generica formula di quadratura come: n I n f = α j f x j j=0 b con α j = a L j x dx Gli α j sono i pesi della formula mentre gli x j sono i nodi della stessa. Prima di analizzare le caratteristiche di una formula di quadratura gaussiana è necessario definire i polinomi ortogonali. Si dice ortogonale la famiglia di polinomi i cui elementi hanno mutuo prodotto scalare nullo. È possibile definire dei polinomi monici ortogonali mediante la formula ricorsiva a tre termini seguente: p 0 x =1; p 1 x =0; p k 1 x = x α k p k x 2 k p k 1 x con k = xp, p k k k=0,1,... p k, p k 0 =0, k = xp, p k k 1, k=1,2,... p k 1, p k 1 Formule di quadratura Gaussiane È possibile, a questo punto, definire con chiarezza una formula di quadratura gaussiana come quella formula avente: come nodi gli zeri del polinomio p n+1 ortogonale rispetto al prodotto scalare, come pesi b j = a con c j = b L j x w x dx= a n K =0,k j x j x k. p n 1 w x dx c j x j x k

4 Il problema più complesso risulta quindi la determinazione dei nodi. È possibile però dimostrare che la matrice: J n = n 0 0 n n ha come polinomio caratteristico proprio p n+1 (). Esso la matrice tridiagonale simmetrica avrà autovalori reali e distinti. L'algoritmo QR si presta bene quindi al loro calcolo. L'algoritmo QR L'algoritmo QR permette di determinare gli autovalori di una matrice. Nell'ipotesi che gli autovalori siano tutti distinti in modulo può essere applicato senza problemi. In quei casi, compreso come si vedrà in seguito il nostro, in cui questa condizione non sia verificata si può comunque applicare il metodo modificandolo opportunamente. Posta A 0 la matrice di cui si vogliono calcolare gli autovalori, l'algoritmo QR fattorizza QR la matrice, determina una matrice A 1 data dal prodotto R*Q per poi rifattorizzarla QR e reiterare il processo. Si dimostra che la successione delle A k converge a una matrice triangolare superiore T avente come elementi della diagonale principale gli autovalori di A 0. Le matrici A k infatti sono unitariamente simili: A k 1 =R k Q k =Q k T Q k R k Q k =Q k T A k Q k A k 1 è simile ad A k Come precedentemente annunciato, nel caso in cui la matrice A 0 di partenza non abbia autovalori distinti in modulo. Il metodo non converge a una matrice T ma ad una matrice così strutturata: T = # # * * # # * * n con * = 2 Il blocco 2x2 non si stabilizza ma ha comunque autovalori pari a λ 1 e λ 2, determinabili anche con l'algoritmo classico del calcolo degli zeri del polinomio caratteristico. All'algoritmo QR possono essere associati vari metodi per accelerarne la convergenza. La fattorizzazione QR della matrice A può essere fatta per mezzo di matrici di Householder o di Givens e in questo lavoro la scelta è ricaduta su Householder.

5 Matrici elementari di Householder Una matrice elementare di Householder può essere così definita: H =I 2 w w T con I =matrice identità w 2 =1, w R una matrice così definita è simmetrica e ortogonale. Infatti: Simmetria : H = I 2 w w T T =I T 2 w w T T =I 2 w w T. Ortogonalità : H H T = I 2 w w T I 2 w w T T = I 2 w w T 2 = = I 4 w w T 2 w w T w w T = I 4 w w T 4 w w T = I Assegnato un generico vettore x si vuole determinare w tale che: H x=k e 1 Per cominciare si nota che: H x = k e 1 H x = k e 1 x = k da cui k= σ con σ= x Calcolando poi: H x = I 2 w w T x= x x 2 w w T x= x 2 w T x w=k e 1 w= x k e 1 2 w T x =x k e 1 x k e 1 dato che w =1. infine: x T H x=x T x 2 w T x 2 =k x 1 da cui w T x 2 = 2 k x 1 2 e per evitare la cancellazione: e =2 w T x= 2 x 1 k= sign x 1

6 L'algoritmo è stato quindi implementato su matlab nel seguente modo: %Householder %% function H = myhousefat(x) [nn,mm]=size(x);%determina la dimensione del vettore x Ih=eye(nn);%costruisce una matrice identita della dimensione di x e = zeros(nn,1);%crea il versore e1 e(1)=1; s=norm(x);%determina la norma di x if x(1) >= 0%ciclo if che sostituisce la funzione segno kk = -s; else kk = s; L=(2*s*(s+abs(x(1))))^(1/2); w = (x-kk*e)/l; H = Ih-(2*w*w'); È stato necessario introdurre un ciclo if in quanto la funzione sign(x) di matlab restituisce 0 se x = 0 e non 1 come richiesto dall'algoritmo. È stato effettuato un test su un vettore casuale per testarne il funzionamento: >> w = rand(8,1) w = >> H = myhousefat(w); >> e = H*w e =

7 Fattorizzazione QR con Householder Azzerando tutti i termini di un vettore tranne il primo, la matrice elementare di Householder può essere efficaciemente utilizzata per fattorizzare QR una qualsiasi matrice. Scrivo una generica matrice A come matrice di vettori colonna, al primo passo dell'algoritmo si avrà: A=A 1 =[a 1 1 a 2 1 a 3 1 a n 1 ] Applicando l'algoritmo esposto nel paragrafo precedente si possono facilmente azzerare tutti i termini sotto il termine a 1. Quindi: a 12 a 13 a 1n A 2 =H 1 A =[k ] a 22 a 23 a 2n [ = k a n2 a n3 a nn 2 ] T v1 A Al passo successivo occorre considerare selettivamente la matrice  (2) : A =[ a 2 a 3 a 4 a 2 2 n ] e applicare householder solo al vettore colonna a 2. Per far questo senza alterare gli zeri già introdotti in A bisogna costruire la H nel seguente modo: H 2 =[1 ] H 2 0 Quindi per il passo i si avrà: =[ A i 1 =H i A i I i 1 0 i] 0 H [ A i 11 i A 12 i 0 A i ] = [ A 11 i A 12 0 H i A i ] L'algoritmo termina al passo n-1 se la matrice è quadrata, al passo n se la matrice ha numero di righe maggiore del numero di colonne. Si ha pertanto: R= A n =H n 1 A n 1 =H n 1 H n 2 A n 2 = =H n 1 H n 2 H 1 A 1 =Q T A Q T ortogonale A=Q R

8 L'algoritmo di fattorizzazione QR scritto su matlab è il seguente: %Householder %% function [Qd,Rd] = miaqrconhouse(x1) [m1,n1]=size(x1); %determina la dimensione della matrice in ingresso X1 Q1 = eye(size(x1));%costruisce una matrice Identità della stessa dimensione di X1 if m1==n1% Caso 1(matrice quadrata) for i=1:(n1-1)%esso la matrice quadrata il cilco si ferma a n-1 ap = X1(i:n1,i);%pre il vettore da azzerare ad eccezione del primo termine Hp = myhousefat(ap);%applica la matrice elementare di householder al vettore ap Hs = eye(n1);% costruisce una matrice identità di dimensione n1 Hs(i:n1,i:n1) = Hp;% sostituisce alla matrice identità gli elementi della matrice di householder appena calcolata Q1 = Q1*Hs;%aggiorna la matrice data dal prodotto di tutte le matrici di householder X1=Hs*X1;%aggiorna la matrice X1 Qd=Q1;%restituisce Q Rd=X1;%restituisce R elseif m>n%caso 2 (matrice rettangolare) for i=1:n1 ap = X1(i:n1,i); Hp = myhousefat(ap); Hs = eye(n1); Hs(i:n1,i:n1) = Hp; Q1 = Q1*Hs; X1=Hs*X1; Qd=Q1; Rd=X1; else 'Errore' Dove come si può notare si è diviso il caso di una matrice quadrata da quello di una matrice rettangolare. Di seguito invece l'applicazione dell'algoritmo ad una matrice casuale: >> A = rand(8) A =

9 >> [Q R] = miaqrconhouse(a) Q = R = >> I = Q*Q' I =

10 Implementazione dell'algoritmo QR su matlab Avo già descritto l'algoritmo in precedenza, non resta a questo punto che implementarlo in matlab in modo da determinare gli autovalori di una matrice assegnata. %Fattorizzazione QR %% function lambda = miautovalqr(a) [m,n]=size(a); %Determina la dimensione di A N=100;% Fissa il numero di iterazioni tau=1e-8;%fissa la soglia sotto la quale un elemento è considerato nullo k=1;%inizializza k if max(diag(a)) == 0 %discrimina il caso in cui la diagonale principale abbia tutti elementi nulli simm = 1; else simm = 0; if m==n while k<n [Q,R] = miaqrconhouse(a); %applica l'algoritmo QR alla matrice A A=R*Q;%Costruisce la matrice Ak k=k+1;%aggiorna k if simm %Caso con diagonale avente elementi della diagonale principale tutti nulli lambda = [];%Inizializza il vettore lambda contenente gli autovalori come vettore vuoto for i = 2:2:n%ciclo for con i che incrementa di 2 per ogni passo per evitare di considerare 2 volte lo stesso autovalore if abs(a(i,i-1)) > tau%verifica che l'elemento A(i,i-1) sia diverso da zero, se lo è si hanno due autovalori uguali in %modulo lambda = [lambda; eig(a(i-1:i,i-1:i))];%calcola i due autovalori con eig. if size(lambda,1) == n-1%se la dimensione di lambda è inferiore a n aggiunge l'elemento zero come spiegato in %seguito lambda = [lambda; 0]; elseif size(lambda,1) == n lambda = lambda; else lambda = diag(a);%se gli elementi della diagonale principale sono diversi da zero coincidono con gli autovalori lambda = sort(lambda); Nell'algoritmo sono presenti alcuni accorgimenti che verranno spiegati di seguito. Nel caso in cui la matrice abbia autovalori uguali in modulo a due a due (cosa che come si vedrà in seguito accade con legre e hermite) dopo le N iterazioni previste assume una struttura di questo tipo: 0 * * 0 * 0 0 J n = 0 * * * * *

11 Si è quindi introdotta una condizione if che discrimini proprio questa situazione ago sulla variabile simm. Quando simm è vera e cioè si è nella situazione esposta sopra, non abbiamo gli autovalori nella diagonale principale. Si inizializza quindi il vettore lambda come vettore vuoto e si controllano gli elementi della sottodiagonale tramite un ciclo for con passo 2. L'indice i incrementa di due ad ogni passo per considerare solo gli elementi 2x2 utili per la determinazione degli autovalori. # # # 0 # # * J n = 0 * # # # # * * # # # Nella matrice di sopra sono evidenziati i quadrati 2x2 da considerare tramite dei # e gli elementi della sottodiagonale da saltare tramite dei *. Considerarli in una matrice 6x6 come quella dell'esempio comporterebbe l'avere in uscita un vettore con 8 autovalori invece di 6. Il ciclo for quindi controlla, come visto con passo pari a due, gli elementi sottodiagonali: nel caso in cui siano diversi da zero calcola gli autovalori delle sottomatrici 2x2 associate tramite la funzione eig di matlab e aggiorna il vettore di uscita lambda; nel caso in cui siano uguali a zero siamo in presenza di un autovalore non accoppiato, nel caso di laguerre e legre sempre pari a zero, che viene saltato dal ciclo e aggiunto successivamente manualmente con la condizione if che verifica la compatibilità della dimensione di lambda. L'efficacia nella determinazione degli autovalori è stata testata su una matrice simmetrica otteno i seguenti risultati: >> B = rand(8); >> A = B * B' A =

12 >> Autovalori = miautovalqr(a) Autovalori = >> Verifica = eig(a) Verifica = Famiglie di polinomi di Legre, Hermite, Laguerre. Si è deciso di determinare gli zeri dei polinomi appartenenti a tre delle più comuni famiglie: Legre, Hermite e Laguerre. Il polinomio di Legre ha peso pari a uno e intervallo di integrazione [-1;1]. Viene definito come: P 0 x =1, P 1 x =x, n2 P n 1 x =x P n x 4 n 2 1 P x, n 1 da cui riferosi alla forma generale P n 1 x = x n P n x 2 n P n 1 x si estrapola : n =0, n= n 2 4 n 2 1 conn 1 Analogamente si hanno i polinomi di Hermite: peso w x =e x2, [a, b ]=, H 0 x =1, H 1 x =0, H n 1 x =x H n x n 2 H n 1 x, con n 0 da cui riferosi alla forma generale P n 1 x = x n P n x n 2 P n 1 x si estrapola : n =0, n= n 2

13 E per Laguerre: peso w x =e x, [a, b ]= 0, L 0 x =1, L 1 x =0, L n 1 x = x 2 n 1 L n x n 2 L n 1 x, con n 0 da cui riferosi alla forma generale P n 1 x = x n P n x 2 n P n 1 x si estrapola : n =2 n 1, n =n L'algoritmo per la determinazione degli zeri prevede quindi, caso per caso, il calcolo degli α e β, la costruzione della matrice Jn e l'applicazione dell'algoritmo QR modificato a quest'ultima. %Polinomi %% clc 'Calcolo dei nodi di una formula Gaussiana di integrazione' met = input('scegliere la famiglia di polinomi: Legre(1), Laguerre(2), Hermite(3) '); np = input('inserisci il grado del polinomio: '); if met == 1 n1 = [1:(np-1)]';%np-1 in quanto sono presenti n-1 beta e n alfa nella matrice Jn beta1 = n1./sqrt(4*n1.*n1-1);%determina i beta Jn1 = diag(beta1,1)+diag(beta1,-1)%costruisce Jn l1 = miautovalqr(jn1);% determina gli autovalori 'Le radici del polinomio sono' l1 elseif met==2 n2a = [1:np]'; n2b = [1:(np-1)]'; alfa2 = n2a.*2+1; beta2 =sqrt(n2b); Jn2 = diag(alfa2)+diag(beta2,-1)+diag(beta2,1); l2 = miautovalqr(jn2); 'Le radici del polinomio sono' l2 elseif met == 3 n3 = [1:(np-1)]'; beta3 = sqrt(n3./2); Jn3 = diag(beta3,1)+diag(beta3,-1) l3 = miautovalqr(jn3); 'Le radici del polinomio sono' l3 else error('errore')

14 Di seguito, e nell'ordine, un esempio di applicazione dell'algoritmo con legre, laguerre ed hermite per n pari a sette: Legre Calcolo dei nodi di una formula Gaussiana di integrazione Scegliere la famiglia di polinomi: Legre(1), Laguerre(2), Hermite(3) 1 Inserisci il grado del polinomio: 7 ans = Le radici del polinomio sono Radici = >> Jn1 Jn1 = >> beta1 beta1 =

15 Laguerre Calcolo dei nodi di una formula Gaussiana di integrazione Scegliere la famiglia di polinomi: Legre(1), Laguerre(2), Hermite(3) 2 Inserisci il grado del polinomio: 7 ans = Le raici del polinomio sono Radici = >> Jn2 Jn2 = >> beta2 beta2 =

16 Hermite Calcolo dei nodi di una formula Gaussiana di integrazione Scegliere la famiglia di polinomi: Legre(1), Laguerre(2), Hermite(3) 3 Inserisci il grado del polinomio: 7 ans = Le radici del polinomio sono Radici = >> Jn3 Jn3 = >> beta3 beta3 =