Fattorizzazione QR con pivoting per colonne

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1 Fattorizzazione QR con pivoting per colonne Mele Giampaolo May 14, Traccia Abstract Breve descrizione dell algoritmo implementato per l esame di calcolo scientifico con sperimentazione Implementare il metodo QR con pivoting per colonne applicato a matrici rettangolari m n con m n e allegare una sperimentazione del metodo che ne illustri le proprietà di fattorizzazione rank-revealing. In altri termini nella sperimentazione numerica consideri matrici di rango non massimo n k e riporti la norma della sottomatrice k k di coda del fattore R. 2 Algoritmo Data la matrice A C m n vogliamo una fattorizzazione AP = QR dove P è una matrice di permutazione opportuna che useremo nella strategia di pivoting, Q è una matrice unitaria ed R è una matrice triangolare destra. Poniamo A 1 := A e determiniamo la colonna di A 1 con norma massima e con una matrice di permutazione P 1 scambiamola con la prima colonna, quindi A 1 P 1 è una matrice tale che la norma della prima colonna è maggiore della norma di ogni altra colonna. Determiniamo la matrice di Householder S 1 tale che S 1 A 1 P 1 e 1 = λe 1, quindi poniamo λ 1 A 2 = S 1 A 1 P 1 =. Â 2 Ripetiamo ora i primi due passaggi sulla sottomatrice Â2 determinando la matrice di permutazione P 2 e la matrice di Householder Ŝ2 e poi poniamo P 2 =. S 2 =.. P2. Ŝ 2 Quindi poniamo A 3 = S 2 A 2 P 2 = S 2 S 1 A 1 P 1 P 2, questa ha la forma λ 1 λ 2 A 3 =. Â 3 A questo punto si ripete ancora lo stesso ragionamento su A 3. 1

2 Al passo k dell algoritmo avremo A k = S k A k P k = S k... S 1 A 1 P 1... P k Condizioni di arresto: ci fermiamo quando abbiamo fatto n passi n è il numero di colonne oppure quando nel fare il pivoting per colonne troviamo che il vettore di norma massima ha norma inferiore ad una certa tolleranza ɛ, in tal caso il numero di passi che abbiamo fatto prima di fermarci è uguale al rango di A. Qualora la descrizione non fosse chiara o obbastanza completa il codice è ampliamente commentato. 3 Sperimentazione 3.1 Matrice di rango massimo Iniziamo da un caso semplice, una matrice con rango massimo, prendiamo Lanciando il programma su questa matrice troviamo Q = R = E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E P = A questo punto vogliamo verificare che AP = QR, ma infatti AP = mentre QR = E E Considerando che il programma è implementato in precisione semplice non doppia l errore è dell ordine di ɛ = E 8 i risultati sono ragionevoli. 3.2 Matrice di rango non massimo Consideriamo ora la matrice

3 Questa è di rango non massimo dato che la terza colonna è il doppio della prima, lanciando il programma su questa matrice troviamo R = E E E E E E E 8 Osserviamo subito che la sottomatrice di coda 2 2 ha norma di Frobenius 1.224e 7 quindi sotto la soglia che si è fissata nel codice, pertanto il rango della matrice è 2 come già si vedeva esplicitamente prima della fattorizzazione Q = E P = 1 1 Verifichiamo che AP = QR 2 1 AP = E QR = E E 9 Quindi anche in questo caso i risultati sono ragionevoli. 4 Sperimentazione con matrici pseudo-casuali Nel programma c è la possibilità di creare una matrice pseudo-casuale dando in input tre numeri m, n, k dove m è il numero di righe n è il numero di colonne k min {m, n} è il rango E necessario inserire il rango altrimenti tutte le matrici causali con m righe ed n colonne hanno rango massimo la probabilità di trovarne una casuale di rango non massimo è nulla. Quindi il programma genera casualmente le prime k colonne e le restanti n k come combinazione lineare delle precedenti. 4.1 Matrice di rango massimo Dando in input m, n, k = 6, 3, 3 troviamo Dopo l esecuzione del programma abbiamo R = Le prime tre colonne di Q sono i i i i i i i E i i E E 3i i i i i i i i i i i i E E 8i i i E E 9i E E 9i i E E 9i E E 8i E E 1i E E 8i E E 9i E E 9i E E 9i E E 8i E E 8i Q:, 1 : 3 = i i E i i i i i E 2i E 3i E 2i E 3i i E 2i i E 2i i i i 3

4 Le restati tre colonne di Q sono Q:, 4 : 6 = Verichiamo al solito che AP = QR AP = QR = 4.2 Matrice di rango non massimo Dando in input m, n, k = 5, 4, 2 troviamo R = E 2i E 2i i E 2i i E i i i i E 2i i E E 2i E 2i E 2i E i i i i 1 P = i i i i i i E i i i i E E 3i i i i i i i i i i i i i i E i i i i E E 3i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i E E 3i E i E i E i i i i i i i i i E E 8i E 2i E 2i E 2i E E 9i E E 9i E E 8i E E 8i E E 8i E E 8i E E 8i E E 8i E E 9i E E 8i E E 8i E E 9i Il programma termina dopo due passi e dice anche che il rango è 2 come già sapevamo infatti la sottomatrice di coda 3 3 ha norma trascurabile. Le prime tre colonne di Q sono Q:, 1 : 3 = Le restanti due colonne sono AP = QR = i i E i E 2i E E 2i i i i E 2i E E 2i E i i E 2i E 2i E 2i Q:, 4 : 5 = E i E 2i E i i E 2i E i E 2i E i E i E 3i 1 P = i i i i i i i i i i i i E i E i E E 3i E i i i i i i i i i i i i i i i i i E i E i E E 3i E i i i i i 5 Conclusione Ho fatto la sperimentazione su svariate matrici e sembra funzioni tutto, chiaramente qui ci ho messo solo matrici piccole e ho comunque dovuto sforare i margini del documento rendendo meno leggibile il tutto, ad ogni modo il codice è allegato. Per inserire una matrice manualmente bisogna creare un file matrix.text, la prima riga deve contenere due numeri, il numero di righe e il numero di colonne, poi ogni riga contiene un elemento della matrice, sono numeri complessi quindi 4

5 bisogna inserirli come coppie, il numero 2 + 3i deve esser inserito come 2, 3. Ad esempio per memorizzare la matrice 5 + 3i 1 + 2i i 2 + 2i i Il file matrix.text deve essere 2 3 5, 3 1, 2 1, 1, 1 2, 2 2, 4 5 5