Tipologia A - Trattazione sintetica di argomenti

Transcript

1 LICEO ARTISTICO. Tipologia A - Trattazione sintetica di argomenti 1. Si consideri l'enunciato: Se due triangoli hanno uguali due lati e il seno dell'angolo tra essi compreso essi sono uguali (congruenti). Esso non è un teorema; spiegare il perché. Estensione risposta: massimo 10 righe.. Si espongano i metodi noti (di varia natura: elementare, trigonometrica,...) per calcolare l'area di un triangolo; si motivi poi l'equivalenza di due di essi scelti a piacere (si spieghi, cioè, il motivo per cui due formule portano allo stesso risultato). Estensione risposta: massimo 15 righe. 3. Descrivere sinteticamente che cosa si intende per risoluzione di un triangolo, illustrando il discorso con un esempio formulato a piacere. Trovare un esempio in cui, fissati tre elementi (lunghezze dei lati, seno o coseno degli angoli), non viene univocamente determinato un triangolo. Estensione risposta: massimo 10 righe. 4. Determinare l'area di un triangolo rettangolo conoscendo la lunghezza dell'ipotenusa e l'ampiezza di un angolo acuto. Fissata la lunghezza dell'ipotenusa, per quale ampiezza l'area è massima? Rispondere poi alle domande precedenti nel caso si conoscano la lunghezza di un cateto e l'ampiezza dell'angolo acuto opposto al cateto. Estensione risposta: 5 righe e due disegni. 5. Scrivere in modo corretto la seguente definizione. Spiegare perché così scritta non è corretta e produrre esempi che lo mostrino. Sia f una funzione definita in un intorno reale del punto x 0, tranne al più il punto x 0 stesso, e sia a R. Si dice allora che f ha limite a per x x 0, e si scrive a = lim x f ( x), se esistono un intorno U di a ed un opportuno intorno V di x 0 tale che se x V allora f(x) U. Estensione risposta: massimo 5 righe. x 0

2 6. Il teorema di Rolle afferma: sia x f(x) una funzione reale definita e continua nell'intervallo chiuso e limitato [a, b] R, derivabile nell'intervallo aperto ]a, b[ e tale da assumere valori uguali agli estremi dell'intervallo considerato. Allora esiste (almeno) un punto c, interno all'intervallo, tale che: f '(c) = 0. a) Si illustri il teorema con un esempio in forma analitica o grafica. b) Il teorema di Rolle esprime una condizione sufficiente affinché la derivata prima della funzione considerata si annulli in un punto? Si giustifichi adeguatamente la risposta. c) La condizione espressa dal teorema di Rolle affinché la derivata prima della funzione considerata si annulli in un punto è necessaria? Ovvero, può accadere che la derivata prima di una funzione f sia nulla in un punto c interno all'intervallo [a, b], ma non valgano tutte le ipotesi del teorema? Si illustri la risposta con (almeno) un esempio. Estensione risposta: massimo 0 righe e tre grafici. 7. Nell'ambiente delle funzioni reali y = f(x) derivabili in un intervallo chiuso [a, b] si trattino i seguenti argomenti: a) definizione, esistenza di un punto di massimo relativo; [max 5 righe] b) definizione, esistenza, unicità di un punto di massimo assoluto; [max 5 righe] c) metodi analitici per determinarli; [max 5 righe] d) qualche esempio significativo di applicazione a un problema concreto (di fisica, di economia ecc.). [max 10 righe]. 8. Sia f una funzione reale della variabile reale x definita in un intervallo (a, b). a) Se f(x) è continua ed assume in due punti di (a, b) i valori c e d, con c < d, esiste almeno un numero reale h, compreso tra c e d, che la funzione non assume? b) Se f(x) è costante in (a, b), risulta ivi costante anche la funzione f(x)? Giustificare le risposte. Estensione risposta: massimo 0 righe e 3 disegni. 9. a) Si dia la definizione di seno di un angolo α (precisando tutte le opportune premesse). [max 5 righe]. b) Si scriva qualche relazione non banale che lega il seno di un angolo α a quello degli angoli -α, α, α/... ecc. [max 10 righe]. c) Si descriva qualche legge della fisica che faccia uso della nozione di seno di un angolo. [max 10 righe]. d) Si dia l'enunciato di qualche proprietà o teorema di geometria che faccia uso della nozione di seno di un angolo. [max 10 righe].

3 Risposte e commenti n. Commento. Domanda teorica che dovrebbe permettere a tutti i candidati di scrivere qualcosa e ai bravi di scrivere di più, ad esempio citando la formula di Erone o le matrici. n.3 Commento. È una domanda standard. Le possibili difficoltà consistono nella esposizione in italiano e nella costruzione di esempi. n.4 a) a Per via geometrica si può ricordare che, fissata la lunghezza dell'ipotenusa a, tutti i triangoli rettangoli sono inscritti in una semicirconferenza che ha per diametro l'ipotenusa. Poiché l'area si può esprimere con 1 a h (h misura dell'altezza relativa all'ipotenusa), essa sarà massima quando h è massima; ciò corrisponde ad h uguale al raggio: il triangolo risulta isoscele, con angoli acuti di 45. Per via trigonometrica, indicata con a la lunghezza dell'ipotenusa e con α l'ampiezza di uno dei due angoli acuti, le lunghezze dei cateti saranno date da a cosα e a sinα, rispettivamente. L'area A del triangolo è pertanto data da: A = 1 a sin α cosα = 4 1 a sin α. Per costruzione deve essere 0 < α < π. Fissato a, possiamo considerare A come funzione di α. Allora si vede subito che A = A(α ) è una funzione crescente rispetto ad α per α < 4 π e decrescente per α > 4 π. Il valore α = 4 π ci dà dunque il valore massimo per l'area del triangolo rettangolo e ciò corrisponde al caso di cateti uguali. b) k A' A'' Fissata la lunghezza di un cateto, geometricamente si osserva che l'area del triangolo cresce via via che diminuisce l'ampiezza dell'angolo acuto opposto a tale cateto; contemporaneamente la lunghezza del secondo cateto cresce, senza limitazioni. Pertanto non esiste un'area massima.

4 Mediante la trigonometria, ragionando in modo analogo al caso precedente, indicando con k la lunghezza del cateto considerato e con α l'ampiezza dell'angolo acuto opposto, abbiamo l'area del triangolo rettangolo data da: 1 A= k 1 1, essendo k la lunghezza del secondo cateto. tanα tanα Questa volta la funzione A = A(α ) è sempre decrescente, per 0 < α < estremi. Non è dunque possibile determinare l'area massima. π, e non vi sono valori n.5 La definizione di limite è qui data in modo scorretto: l'errore sta nell'uso errato dei quantificatori, che riportiamo in MAIUSCOLO: Sia f una funzione definita in un intorno reale del punto x 0, tranne al più il punto x 0 stesso, e sia a R. Si dice allora che f ha limite a per x x 0, e si scrive a = lim x f ( x), SE ESISTONO UN intorno U di a ed UN OPPORTUNO intorno V di x 0 tale che se x V allora f(x) U. L'intorno U deve essere scelto in modo arbitrario e l'intorno V dipende dalla scelta fatta dell'intorno U. Nella definizione data (in modo erroneo) la scelta dell'intervallo implicherebbe, paradossalmente, che tutte le funzioni avrebbero limite se U venisse scelto coincidente con un intorno del punto a che contenga il codominio della funzione e se per V si scegliesse il dominio della funzione (o un insieme aperto che lo contenga). Facciamo il seguente semplice esempio: Sia f(x) la funzione reale di variabile reale definita da : f(x) = x, x W = [-10, 10] e consideriamo la veridicità delle espressioni lim x 0 f (x) = 5; lim x 0 f (x) = π. E' evidente che entrambe le affermazioni sono errate, ma è altrettanto evidente che diventano... (entrambe!) vere se prendiamo U = W = V. La definizione corretta è la seguente: Sia f una funzione definita in un intorno reale del punto x 0, tranne al più il punto x 0 stesso, e sia a R. Si dice allora che f ha limite a per x x 0, e si scrive a = lim x f ( x), se, per ogni intorno U di a, esiste un intorno V di x 0, tale che se x V allora f(x) U. x 0 x 0 Tipologia B - Quesiti a risposta singola 1. Lo psicologo L.L. Thurstone nel 1916 elaborò un metodo per descrivere l'apprendimento L di una data abilità (imparare a leggere, a guidare un'auto, a risolvere problemi di matematica...) in funzione del grado di pratica x. L'equazione formulata è

5 ( x) L x =, con a, b parametri reali positivi a + bx x reale positivo a) Valori diversi del parametro b si riferiscono a persone che imparano con diversa facilità: a chi attribuire i valori minori di b? b) Quale significato assume in psicologia dell'apprendimento l'esistenza dell'asintoto orizzontale? c) Quale significato assume la derivata prima della funzione L(x)? Estensione risposta: massimo 10 righe.. Disegnare il grafico di una funzione reale definita sull'intervallo (0, 1) che sia sempre negativa ed abb negative la derivata prima e la derivata seconda. (Facoltativo) Scrivere l'equazione di una tale funzione. Estensione risposta: un disegno ed una riga. 3. Tracciare il grafico cartesiano di una funzione che abbia per dominio l'intervallo reale [0; 3] e tale che i valori assunti sia dalla funzione, sia dalla derivata prima, sia dalla derivata seconda siano negativi in tutto il dominio. Estensione risposta: un disegno. 4. a) Esiste una funzione reale y = f(x) che abbia per dominio tutto l'asse reale e sia tale che: - lim f ( x) = 0 x + - la derivata prima di f sia sempre positiva - la derivata seconda di f sia sempre negativa? b) Esiste una funzione reale y = f(x) che abbia per dominio tutto l'asse reale e sia tale che: - lim f ( x) = 0 x + - la derivata prima di f sia sempre positiva - la derivata seconda di f sia sempre positiva? In caso di risposta negativa, spiegarne il motivo; in caso di risposta affermativa, tracciare il grafico di una funzione che soddisfa alle richieste. Estensione risposta: massimo 10 righe e uno o due grafici.

6 Risposte e commenti n.1 a) Tenendo conto che parametri e variabili sono tutti positivi, poiché il parametro b compare a denominatore, i suoi valori minori, a parità di altre condizioni, daranno valori maggiori della funzione L, quindi essi si riferiscono alle persone che apprendono con più facilità. b) L'asintoto orizzontale significa che dopo una certa quantità di pratica (in definitiva quindi di tempo), l'apprendimento non si incrementa quasi più, tende a stabilizzarsi. c) La derivata prima misura la variazione dell'apprendimento in relazione al grado di pratica, quindi la velocità di apprendimento. Si noti che, fissando i valori dei parametri, il grafico cartesiano della funzione nel piano (x,l), è dato da un ramo di iperbole equilatera che passa per l'origine, con asintoto la retta di equazione L = 1/b. n.3 Si può tracciare un grafico analogo a quello qui riportato. Per via analitica è sufficiente ad esempio considerare il grafico della parabola y = - x, traslarne il vertice "verso sinistra", ad esempio nel punto P (-1,0). Nell'intervallo [0, 3] la funzione risulta negativa, con derivate prima e seconda negative. L'equazione della curva si ottiene facilmente: da y = - x, basta considerare y = - (x+1) =- x -x -1 n.4 a) Si può ad esempio considerare una funzione con andamento come quello di f(x) = - e x. Essa è definita su tutto l'asse reale. Risulta lim x ( e x ) = 0. La funzione è continua e derivabile ovunque: f ' (x) = - (-1) e x = e x > 0 per ogni x. f "(x) = - e x < 0 su tutto l'asse reale. Il grafico di f(x)= e x è noto; simmetrizzandolo rispetto all'asse delle ordinate si ottiene il grafico di e x, che, simmetrizzato rispetto all'asse delle ascisse, dà la funzione considerata. Più rapidamente, si può operare un'unica simmetria del grafico di e x rispetto all'origine.

7 b) Con argomentazioni intuitive si può affermare che una tale funzione non può esistere. Infatti: 1. Se f "(x)>0 allora f ' è crescente; così pure la condizione imposta f ' >0 implica che anche f deve essere crescente. Dunque per x la f(x) tende a zero assumendo valori negativi.. Ciò implica che la f ', come pendenza della curva, tende a zero (cioè la tangente alla curva tende a disporsi orizzontalmente) per valori positivi via via decrescenti. 3. Ciò contraddice il fatto che la f ' sia crescente. Commento. Il problema nella parte b) richiede di riflettere a livello intuitivo sul grafico di una funzione, ragionando sia sull'andamento della funzione che delle sue derivate successive: richiede quindi un controllo sia concettuale che figurale. Tipologia C - Quesiti a risposta multipla 1. Sia a 1, a, a 3, la successione che ha per termini le aree di ciascuno dei quadrati che si ottengono come in figura: Il lato del quadrato iniziale è 3. Il lato di ogni quadrato è metà del lato del quadrato precedente. Pertanto il termine generale a n della successione è: a) 9 n b) 3 n c) 9 n d) 9 n

8 . Quali tra i seguenti grafici corrispondono ad una funzione continua nell'intervallo [0, 1] e quali ad una funzione derivabile in tutto l'intervallo? a) b) c) d) e) L'equazione sin x = 1 ha soluzioni a) π + kπ, con k intero 4 b) π kπ +, con k intero 4 4 c) π kπ +, con k intero d) π kπ +, con k intero 4 4. Quale delle seguenti uguaglianze vale per ogni numero reale x? a) sen x + cos x = 1 b) x 3 1 x 1 = x + x +1 c) x = x d) log (4 + x ) = log10 (4 + x) 10

9 5. Il coseno di 0,65 vale circa a) -0,8 b) -0,5 c) 0,5 d) 0,8 6. Una delle seguente affermazioni è vera a) sin 1 = sin 1 b) sin 1 > sin 1 c) sin 1 < sin 1 d) sin 1 e sin 1 non sono confrontabili 7. Una delle seguenti affermazioni è vera: a) tan 1 < tan b) tan 1 > tan c) tan = tan 1 d) tan > tan 1 8. Quale delle seguenti espressioni rappresenta "un terzo del quadrato del doppio di x"? x a) 3 x b) 3 (x) c) 3 x d) 3 Risposte n.1 c n. a,c,d; nessuno n.3 d n.4 a n.5 d

10 n.6 b n.7 b n.8 c TIPO D - Problemi a soluzione rapida 1. Da un rettangolo (di cartone) ABCD di lati l ed m si tolgono 4 quadrati uguali di lato x come indicato in figura A x B D l C a) Esprimere in funzione di x il volume V della scatola a forma di parallelepipedo che si forma ripiegando i quattro lembi ad angolo retto verso l'alto. b) Dati i valori l = 8 ed m = 3, assegnare liberamente ad x alcuni valori, tabulare i corrispondenti valori del volume V e stimare il massimo della funzione V(x) con approssimazione di due cifre decimali. c) (facoltativo) Studiare la funzione V(x) con l'uso delle derivate e calcolarne il massimo. È consentito l'uso di calcolatrice tascabile.