Analisi Statistica di Dati Geografici: Metodologie e Problemi

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1 Analisi Statistica di Dati Geografici: Metodologie e Problemi Fabio Divino Università di Roma La Sapienza fabio.divino@uniroma1.it Sommario Perché analizzare i dati da un punto di vista geografico? La mappatura geografica come problema di inferenza statistica Alcuni problemi relativi all'analisi di dati spaziali Costruzione di un modello statistico Alcune applicazioni Commenti e conclusioni

2 Analisi statistiche spaziali L analisi della variazione geografica di fenomeni di interesse è oggetto di studio in molte aree della ricerca applicata: Epidemiologia Controllo ambientale Biogeografia Economia... Il motivo principale è dovuto al principio di ottimizzazione delle risorse. Le analisi geografiche sono utili per scopi interpretativi e previsivi Il crescente interesse è motivato anche dalla possibilità di disporre di grandi database con alta risoluzione spaziale (GIS, satellite-data,...)

3 Data Mapping Un aspetto molto interessante delle analisi geografiche è la produzione di mappe che sintetizzano e visualizzano i risultati ottenuti Il data-mapping è essenzialmente un problema di stima statistica e necessita di un approccio inferenziale Consiste nel calcolare la stima di qualche indicatore in riferimento ad una serie di sotto-aree costituenti la nostra regione di interesse. Il data-mapping non è altro che la visualizzazione della variazione spaziale di questi indicatori

4 Problemi Se studiamo dati distribuiti geograficamente senza un approccio statistico adeguato possiamo incappare in seri problemi che possono confondere l interpretazione dei risultati Le questioni più importanti da considerare in uno studio territoriale sono: Autocorrelazione spaziale dei dati Oltre alla dipendenza tra variabili esiste una dipendenza fra le unità statistiche che in questo contesto sono rappresentate da locazioni geografiche Extra-variabilità (over-dispersion) In piccole aree, la bassa dimensione della popolazione di riferimento rende ogni indicatore statistico inconsistente Distorsione da aggregazione geografica La struttura spaziale può agire da fattore latente e modificare o confondere relazioni fra variabili di interesse

5 Extra-Variabilità E il problema più serio che si presenta nelle analisi spaziali di dati riferiti a piccole aree (small area data) Consiste nel fatto che ogni stima statistica prodotta in riferimento ad una popolazione di piccole dimensioni è necessariamente povera di proprietà, in particolare risulta fortemente inconsistente Yˆ i = 1 n i n i Y ij j= 1 ˆ informazione Y i reale? In questo modo la mappa prodotta per visualizzare la variazione spaziale del fenomeno investigato sarà affetta da extra-variabilità delle stime, e quindi sarà di difficile interpretazione Quello che si rischia è di visualizzare solo la dispersione dei dati Principio Più aumenta la risoluzione spaziale, più diminuisce la precisione statistica

6 Distorsione Ecologica E il problema più serio quando si vuole investigare la relazione fra due o più variabili utilizzando dati aggregati, che nel nostro contesto lo sono a livello geografico (dati regionali, provinciali, ) Infatti non è assolutamente vero che una relazione statistica evidenziata a livello aggregato possa essere vera anche a livello individuale In questo modo fare inferenza causale sul comportamento individuale, basandosi su associazioni ecologiche può portare a conclusioni errate Esempio (Durkheim) Durkheim studiò l incidenza dei suicidi in alcune province della Prussia rispetto alla fede religiosa di appartenenza Egli trovò che nelle province a maggioranza protestante era presente una più alta propensione al suicidio rispetto alle province a maggioranza cattolica (associazione ecologica) Concluse che i «protestanti» erano predisposti al suicidio più dei «cattolici» (inferenza causale individuale) Se la conclusione può anche essere vera, l inferenza causale è logicamente errata.

7 Se ad esempio stiamo studiando la relazione fra due variabili, che chiameremo Causa ed Effetto, la distorsione ecologica è sostanzialmente dovuta al fatto che noi non conosciamo la loro distribuzione congiunta Per ogni area geografica conosciamo solo i dati marginali della tabella di associazione Causa Effetto Si No Si?? Tot SI No?? Tot NO Tot SI Tot NO Tot Quando la variazione spaziale della variabile Causa è simile a quella della variabile Effetto, allora la locazione geografica può confonderne la relazione statistica Livello Individuale Livello Aggregato Effetto Effetto +Bias Gruppo Causa Causa

8 Come affrontare il problema? I metodi classici di analisi risultano fortemente inefficaci, è necessario un approccio basato sulla definizione di modello statistico spaziale Per costruire un modello il punto di partenza è di capire quali sono le caratteristiche di un fenomeno rilevato su scala spaziale Trend Spaziale Eterogeneità dei dati Dipendenza spaziale fra le osservazioni Cosa possiamo fare per tener conto di ciò? Uso di covariate, il cui contributo può essere stimato globalmente dai dati (global information) Interscambio dell informazione tra aree localmente vicine (contextual information)

9 Omogeneità Locale Everything is related to everything else but near things are more related than distant things (Prima legge della Geografia, Tobler 1971) L idea è che aree spazialmente vicine tendono ad avere un pattern delle variabili simile Nella costruzione di un modello spaziale il punto più difficile da risolvere è proprio quello relativo all informazione contestuale Ovvero, come includere l informazione dovuta all omogeneità spaziale locale dei dati? Strategia L idea è di definire dei sotto-modelli locali che possano includere tale informazione contestuale e poi derivare un modello generale per l intero insieme dei dati

10 Campi Aleatori Una classe di modelli stocastici molto utile per descrivere le caratteristiche di un insieme di dati spaziali è rappresentata dai campi aleatori L origine della teoria dei campi aleatori è abbastanza lontana nel tempo e deriva dalla Meccanica Statistica I sistemi fisici complessi, costituiti da un gran numero di elementi interagenti tra loro sono caratterizzati da un forte contrasto di forma tra il livello macro e quello micro La descrizione del loro stato di equilibrio è più efficace se si utilizza un approccio probabilistico piuttosto che deterministico In questo contesto un ruolo fondamentale hanno le distribuzioni di Gibbs

11 Modelli di Interazione Spaziale In generale un modello spaziale può essere descritto nel seguente modo Link E(Y i ) = Trend Spa. + Eter. + Omog. Locale dove Y i è la quantità di interesse relativa all i-ma area Trend Spaziale Regressione su covariate H h= 1 β h X ih Eterogeneità Random effect U i ( 2 ) 0, ~ N σ Omogeneità Locale Autoregressione j~ i γ ij Y j

12 Approccio classico: il modello descrive direttamente i dati osservati Hidden model: si hanno due livelli, il primo descrive lo stato (latente), il secondo descrive le osservazioni condizionate alla variabile di stato Nel contesto delle analisi spaziali, l approccio che funziona meglio è quello che utilizza due livelli (HMM) Il primo livello descrive il processo (latente) che genera le osservazioni reali, tale processo è quello che ingloberà gli aspetti di dipendenza spaziale ed eterogeneità Il secondo livello descrive i dati osservabili, condizionatamente allo stato di natura (incognito) che li ha generati Il naturale contesto in cui affrontare i problemi inferenziali con HMM è quello Bayesiano: Inferenza(Stato Dati) Modello(Stato) Verosimiglianza(Dati Stato)

13 Modello Gerarchico In particolare le procedure inferenziali sono più efficienti se si utilizza uno schema gerarchico Iperparametri Trend Spaziale Eterogeneità Omogeneità Locale Stato di natura Dati Osservati

14 Applicazioni in Biogeografia L analisi della variazione geografica dell associazione fra diverse popolazioni biologiche è di primario interesse in molti contesti dell ecologia In particolare è fondamentale per capire quello che è noto come ordinamento ecologico Nel caso delle piante è importante poiché ci dice quali piante convivono tra loro Il problema generale è quello di studiare la significatività dell intersezione fra due popolazioni Popolazione 1? P 11 P 10 0 P 01 P 00 Popolazione 2 p logor = log p p p 00 01

15 Analisi spaziale dell associazione Area K P 11 P 10 0 P 01 P 00 ( k) logor = log p p ( k) 11 ( k) 10 p p ( k) 00 ( k) 01

16 Approccio classico L approccio classico all analisi dell associazione si basa essenzialmente sullo studio delle tabelle di contingenza osservate Area k n 11 n 10 0 n 01 n 00 Allora uno stimatore di LogOR è ( n log ( n (k) 11 (k) 10 + ε )( n + ε )( n (k) 00 (k) 01 + ε ) + ε ) La sua varianza è approssimata da VAR n (k) (k) (k) (k) ε n + ε n + ε n ε E chiaro che la varianza dipende dalle frequenze osservate in ogni tabella; in particolare quando tali frequenze sono abbastanza piccole l accuratezza delle stime non è molto alta.

17 Approccio spaziale Assumiamo che per la misura di associazione LogOR k relativa alla tabella della cella k-ma valga la relazione: L-OR k = SPA k + HET k + REG k Il processo osservabile Y è rappresentato dalle frequenze di associazione, ovvero Y k =n 11,k k=1,..., K κ spa κ het κ reg SPA HET REG Log OR Covariate Y

18 Un esempio: associazione fra due specie di licheni. (Penttinen, Divino, Riiali, 2003) I dati sono riferiti ad un area forestale di pioppi (populus tremula) di 25ha del Sud della Finlandia Sull area è stata sovrapposta una griglia di 49 (7 7) celle, ciascuna di 90 m 2 Le due specie di licheni rilevate Lobaria pulmonaria Nephroma parile Il diametro medio degli alberi presenti (BHD) in ogni cella rappresenta la covariata.

19 Conclusioni L analisi di dati geografici è di fondamentale importanza al fine di pianificare decisioni soprattutto nel campo ambientale e di salute pubblica L approccio classico è del tutto insufficiente a catturare le caratteristiche di un fenomeno geografico Anzi i risultati possono essere seriamente compromessi da problemi quali l extra-variabilità e la distorsione ecologica E necessario un approccio inferenziale basato su un modello statistico spaziale Il modello che ha mostrato di essere particolarmente flessibile è quello tipo hidden Non tutto va bene, questo tipo di approccio induce grosse questioni di tipo computazionale Sviluppi metodologici Processi spaziali di punto e modelli di convoluzione spaziale Modelli mistura