Nella presa palmare Soggetto normale

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1 Università degli Studi di Bari Analisi multirisoluzione segnali prof. ing. Livio Quagliarella Nella presa palmare Soggetto normale Paziente con morbo di Parkinson

2 Analisi Multirisoluzione (AMR) Forza [N] decomposizione wavelet del segnale (wavelet bior6.8 ) tempo [s] Segnale ~5 Hz 5-1 Hz 7-15 Hz 1-2 Hz 2-4 Hz 4-55 Hz An arbitrary function, continuous or with discontinuities, defined in a finite interval by an arbitrarily capricious graph can always be expressed as a sum of sinusoids J.B.J. Fourier Jean B. Joseph Fourier ( )

3 L'analisi dei segnali Scopo dell'analisi dei segnali è rappresentare la generica grandezza x(t) in un dominio differente da quello naturale del tempo, in modo da evidenziare meglio alcune caratteristiche altrimenti difficilmente rilevabili. La maggior parte dei segnali reali fisici è di tipo non stazionario, cioè con caratteristiche variabili nel tempo. FT x1 ( t) = cos(2π 5 t) x2( t) = cos(2π 25 t) x3( t) = cos(2π 5 t)

4 FT x 1 ( t) X 1 ( ω) x 2 ( t) X 2 ( ω) x 3 ( t) X 3 ( ω) FT x 4 ( t) = cos(2π 5 t) + cos(2π 25 t) + cos(2π 5 t) x 4 ( t) X 4 ( ω)

5 FT FT identifies all spectral components present in the signal, however it does not provide any information regarding the temporal (time) localization of these components. Why? Stationary signals consist of spectral components that do not change in time all spectral components exist at all times no need to know any time information FT works well for stationary signals However, non-stationary signals consists of time varying spectral components How do we find out which spectral component appears when? FT only provides what spectral components exist, not where in time they are located. Need some other ways to determine time localization of spectral components FT Stationary signals spectral characteristics do not change with time x 4 ( t) = cos(2π 5 t) + cos(2π 25 t) + cos(2π 5 t) Non-stationary signals have time varying spectra x5( t) = [ x1 x2 x3] Concatenation

6 X 4 (ω) FT Perfect knowledge of what frequencies exist, but no information about where these frequencies are located in time X 5 (ω) L'analisi dei segnali Consideriamo un generico segnale e la sua trasformata di Fourier: La trasformata di Fourier evidenzia la presenza delle componenti armoniche ma non permette di ricavare facilmente informazioni su quando e come tali frequenze siano effettivamente presenti.

7 Real-world Signals Dominance of transient and non-stationary signals Information often reside in transients, changes The need to develop tools for T-F analysis L'analisi dei segnali Il motivo di tutto ciò è intrinseco nella definizione della trasformata: X ( f ) + j πft = x( t) e 2 dt da cui si nota che X(f) rappresenta il prodotto scalare fra il segnale e una funzione sinusoidale complessa di durata temporale infinita, la quale è perfettamente locale in frequenza ma assolutamente globale nel tempo. In altri termini, questa trasformazione è adatta a segnali stazionari perché permette di evidenziare nettamente fenomeni che avvengono nel dominio della frequenza ma non discrimina eventi che avvengono nel dominio del tempo.

8 Chiariamo meglio questo concetto: L'analisi dei segnali Questo è un segnale di tipo CHIRP. La caratteristica principale di questo tipo di segnale è che istante per istante varia la sua frequenza in modo lineare. La trasformata di Fourier ci dice quali sono le armoniche che compongono questo segnale ma non localizza quando 'intervengono'. Loss of Time Information in FT 1 SALAAM with switching the 1st 5 samples with the tail segment.5 Original x shifted x 1 4

9 Fourier Transform Loss of time information 4 abs(fft) of SALAAM with shifting the 1st 5 samples to the tail L'analisi dei segnali Per i segnali non stazionari occorre quindi inserire nella trasformazione una dipendenza dal tempo; il modo più immediato consiste nel rendere locale la trasformata di Fourier non operando su tutto il supporto del segnale x(t) ma su porzioni di esso, ottenute moltiplicandolo per una finestra che trasla nel tempo g(t) -. Nasce così la Short Time Fourier Transform (STFT): Dove: STFT ( τ, f ) x x è il segnale + * 2πft = x( t) g ( t τ ) e dt g è una finestra temporale di osservazione

10 Vediamo come opera: L'analisi dei segnali (STFT) Questo è un segnale di tipo CHIRP. La caratteristica principale di questo tipo si segnali è che istante per istante varia la sua frequenza in modo lineare. L'analisi dei segnali (STFT) g(t) Scelgo come finestra un rettangolo di.1 s

11 L'analisi dei segnali (STFT) g(t) Calcolo la STFT. L'analisi dei segnali (STFT) Vediamo più semplicemente come opera: g(t) Ora sposto la finestra e ripeto le stesse informazioni. Le dimensioni della finestra sono esagerate per far comprendere meglio il funzionamento

12 L'analisi dei segnali (STFT) Vediamo più semplicemente come opera: g(t) L'analisi dei segnali (STFT) Vediamo più semplicemente come opera: g(t)

15 L'analisi dei segnali (STFT) L'oggetto che ora dobbiamo trattare è tridimensionale. Infatti otteniamo una rappresentazione nel piano t-f-a. Il contenuto in frequenza del segnale varia nel tempo linearmente come prospettato. La rappresentazione in tre dimensioni ha maggiore chiarezza L'analisi dei segnali (STFT)

16 L'analisi dei segnali (STFT) Questo approccio, ha un difetto non trascurabile: moltiplicare nel dominio del tempo il segnale x(t) con la funzione finestra g(t) equivale a effettuare la convoluzione dei loro spettri X(f) e G(f) nel dominio della frequenza; la STFT fornisce quindi lo spettro del segnale alterato dalla presenza della finestra. Tale difetto non è eliminabile. L'analisi dei segnali (STFT) Se si vuole ridurre l'effetto di G(f) occorre ridurne la banda Δf, ma ciò implica un aumento dell'ampiezza temporale e quindi una diminuzione della precisione nel dominio del tempo, nel senso che due eventi separati da meno di Δt non sono più discriminabili; viceversa, se si riduce la finestra Δt necessariamente aumenta la banda Δf e quindi si ha una diminuzione della precisione in frequenza.

17 L'analisi dei segnali (STFT) fissata la funzione finestra g(t) vengono automaticamente definite le indeterminazioni Δt e Δf rispettivamente nel dominio del tempo e della frequenza; L'analisi dei segnali (STFT) due eventi distanti meno di Δt o Δf non sono più discriminati dalla STFT nel rispettivo dominio;

18 L'analisi dei segnali (STFT) la due indeterminazioni sono inversamente proporzionali, quindi la risoluzione temporale può essere migliorata solo a scapito della risoluzione in frequenza, e viceversa; L'analisi dei segnali (STFT) le due indeterminazioni sono fisse e questo implica che le risoluzioni relative Δt/t e Δf/f risultano variabili.

19 L'analisi dei segnali (STFT) In molte applicazioni non è possibile permettersi di localizzare fenomeni lenti e fenomeni veloci con la stessa indeterminazione, nel senso che identificare una frequenza di 1MHz con precisione Δf =1kHz è molto diverso dall'identificare 1kHz con la stessa precisione. La trasformata Wavelet Si è notato che la STFT è una tecnica di analisi a risoluzione fissa e si è appurato come questo possa costituire una limitazione. Si è anche osservato come la causa sia intrinseca nella presenza della funzione finestra g(t) a supporto e a banda limitata, che viene modulata con e j2πft e moltiplicata scalarmente con il segnale x(t). STFT( τ, f ) x + * 2πft = x( t) g ( t τ) e dt Per ottenere un'analisi a risoluzione variabile occorre fare in modo che le risoluzioni relative Δt/t e Δf/f risultino costanti e questo richiede che all'aumentare della frequenza f aumenti in modo proporzionale la banda Δf.

20 La trasformata Wavelet A tale riguardo viene in aiuto una proprietà fondamentale della trasformata di Fourier: Comprimendo nel tempo una funzione si ottiene una espansione in frequenza del suo spettro, e viceversa. F x t a = a X (af ) Fourier vs Wavelet Transform Stationary signal Analysis Fourier Transform Frequency Information only, Time/space information is lost Single Basis Function Computational Cost High Analysis Structures: - FS( periodic functions only) - FT and DFT Wavelet Transform Nonstationary Transient signal Analysis Joint Time and Frequency Information Many Basis Functions Low computational costs Numerous Analysis structures: CWT, DWT(2 Band and M Band), WP DDWT, SWT, Adaptive Signal Transform, Numerous Best basis selection algorithms Frame structure

21 La trasformata Wavelet Da questa considerazione nasce l'idea di sostituire l'operazione di modulazione con l'operazione di scalamento, ovvero anziché moltiplicare il segnale per la finestra g(t) ad ampiezza temporale costante ed F-trasformare si esegue direttamente il prodotto scalare con scalamenti e traslazioni di un unico prototipo. Quello che si ottiene prende il nome di trasformata wavelet continua (CWT): CWTx a b + * (, ) = x( t) ψ ab ( t) dt Dove: ψ ab (t) è la wavelet madre x(t) è il segnale La trasformata Wavelet 1 t b ψ ab ( t) = ψ a a Il prototipo ψ(t) prende il nome di wavelet madre. a è il parametro di scalamento, b è il parametro di traslazione. La denominazione wavelet deriva dal fatto che, graficamente, il prototipo è una funzione che oscilla e si smorza come una piccola onda.

22 La trasformata Wavelet Riprendiamo il nostro segnale e vediamo cosa succede: Scelgo la wavelet (ce ne sono parecchie in giro ): La trasformata Wavelet Riprendiamo il nostro segnale e vediamo cosa succede: Fisso la scala iniziale

23 La trasformata Wavelet Riprendiamo il nostro segnale e vediamo cosa succede: Confronto la wavelet scalata con tutto il segnale La trasformata Wavelet Riprendiamo il nostro segnale e vediamo cosa succede: * CWT ( a, b) = x( t) ψ ( t) dt x + ab Nel confronto vario b.

24 La trasformata Wavelet Riprendiamo il nostro segnale e vediamo cosa succede: * CWT ( a, b) = x( t) ψ ( t) dt x + ab Nel confronto vario b. La trasformata Wavelet Riprendiamo il nostro segnale e vediamo cosa succede: * CWT ( a, b) = x( t) ψ ( t) dt x + ab Nel confronto vario b.

25 La trasformata Wavelet Riprendiamo il nostro segnale e vediamo cosa succede: * CWT ( a, b) = x( t) ψ ( t) dt x + ab Nel confronto vario b. La trasformata Wavelet Riprendiamo il nostro segnale e vediamo cosa succede: * CWT ( a, b) = x( t) ψ ( t) dt x + ab Nel confronto vario b.

26 La trasformata Wavelet Riprendiamo il nostro segnale e vediamo cosa succede: * CWT ( a, b) = x( t) ψ ( t) dt x + ab Nel confronto vario b. La trasformata Wavelet Riprendiamo il nostro segnale e vediamo cosa succede: Questi sono i risultati. Il tipo di diagramma è analogo per costruzione alla STFT.

27 La trasformata Wavelet Riprendiamo il nostro segnale e vediamo cosa succede: * CWT ( a, b) = x( t) ψ ( t) dt Adesso vario a. x + ab La trasformata Wavelet Riprendiamo il nostro segnale e vediamo cosa succede: * CWT ( a, b) = x( t) ψ ( t) dt Ricomincio a variare b. x + ab

28 La trasformata Wavelet Riprendiamo il nostro segnale e vediamo cosa succede: * CWT ( a, b) = x( t) ψ ( t) dt Ricomincio a variare b. x + ab La trasformata Wavelet Riprendiamo il nostro segnale e vediamo cosa succede: * CWT ( a, b) = x( t) ψ ( t) dt x + ab Aggiungo i risultati.

29 La trasformata Wavelet Riprendiamo il nostro segnale e vediamo cosa succede: Si può intuire poi come vadano le cose Ecco la nostra CWT: La trasformata Wavelet

30 La trasformata Wavelet Come interpretare l'informazione fornita da una rappresentazione tempo-scala? Occorre svincolarsi dal concetto di frequenza, poiché confrontando la definizione di FT con la definizione di CWT, è immediato notare che il prodotto scalare del segnale x(t) viene ora eseguito con una funzione non periodica e limitata nel tempo: il concetto di frequenza dell'armonica e j2πft viene sostituito con il concetto di scala della wavelet ψ ab (t). La trasformata Wavelet L'analogia è tuttavia immediata: Øvalori piccoli di a significano wavelets compresse nel tempo, quindi contenenti armoniche ad alta frequenza; effettuare il prodotto scalare con esse implica ottenere proiezioni che portano informazioni sui dettagli del segnale, cioè su fenomeni rapidamente variabili; Øvalori grandi di a comportano wavelets lentamente variabili, con banda stretta, che invece colgono il comportamento del segnale a lungo termine.

31 Riprendiamo la definizione di wavelet Precisazione 1 1 t b ψ ab ( t) = ψ a a se a = 1e b = ψ ab ( t) = ψ () t wavelet madre a è il parametro di scalamento, b è il parametro di traslazione. La scala a è un valore maggiore di zero. Precisazione 2 Visualizziamo come cambia la wavelet al variare della scala:

32 La Trasformata Wavelet La definizione di trasformata wavelet continua è utilizzabile nei casi in cui si desideri una valutazione analitica della CWT di un segnale. Nella maggior parte dei casi pratici, il segnale x(t) Ønon è noto analiticamente (non conosciamo la funzione) Ørisulta quantizzato La trasformata dovrà essere valutata solo con un numero finito di valori delle variabili a e b. La scelta non accurata dei parametri ovviamente può determinare Øuna rappresentazione ridondante (campioni trasformata >> campioni segnale) Øuna rappresentazione non completa (campioni trasf. non suff. per la ricostruzione) La situazione ideale è la rappresentazione ortogonale, ovvero il segnale e la sua trasformata hanno lo stesso numero di campioni. La Trasformata Wavelet Noiose considerazioni portano a scegliere come discretizzazione: m a = a b = nab m Z n Z a b > 1 > 1 Il caso più comunemente utilizzato è quello diadico, con a =2 che definisce la famiglia di wavelet 1 t b 2 m ψ mn ( t) = ψ = 2 ψ (2 t nb ) a a m m a= 2, b= 2 nb m

33 La Trasformata Wavelet A partire da questa forma di CWT a parametri discreti, una successiva quantizzazione nel dominio del tempo t (fisso b ) permette di introdurre la versione definitiva completamente discretizzata nota come DWT (Discrete Wavelet Transform). Tale rappresentazione è implementabile in modo estremamente efficiente mediante un banco di filtri discreti iterato che esegue una codifica a sottobande. m 1 t b 2 m ψ mn ( t) = ψ = 2 ψ (2 t nb ) a a m m a= 2, b= 2 nb Qualche Precisazione Che cosa fa un filtro? Attenua, esalta o elimina determinate armoniche di un segnale. Che cosa fa un filtro discreto? Un filtro discreto ha la stessa funzione di quello analogico solo che è rappresentabile anziché con un circuito, con un algoritmo implementabile su un calcolatore oppure memorizzabile su di un chip che elabora segnali digitali (DSP digital signal processor)

34 Qualche Precisazione Come si classificano i filtri? Ci sono tanti modi di classificare un filtro. Una delle classificazioni più generali è: Qualche Precisazione Come si classificano i filtri? Ci sono tanti modi di classificare un filtro. Una delle classificazioni più generali è: Passabasso f 1 viene detta frequenza di taglio. Il filtro fa passare solo le frequenze dalla continua (f=) ad una frequenza f 1 ampiezze f 1 f

35 Qualche Precisazione Come si classificano i filtri? Ci sono tanti modi di classificare un filtro. Una delle classificazioni più generali è: Passabasso Passaalto Il filtro fa passare solo le frequenze dalla frequenza f 1 in poi ampiezze f 1 f Qualche Precisazione Come si classificano i filtri? Ci sono tanti modi di classificare un filtro. Una delle classificazioni più generali è: Passabasso Passaalto Passabanda Il filtro fa passare solo le frequenze comprese tra f 1 ed f 2 ampiezze f 1 f 2 f

36 Qualche precisazione Un esempio di filtro discreto nel tempo è il seguente: Le ampiezze vengono dette coefficienti del filtro. Qualche precisazione Lo stesso filtro in frequenza rivela la sua natura:

37 Qualche precisazione Sottocampionare un segnale di un fattore due significa prendere un campione del segnale ogni due. Qualche precisazione Sovracampionare un segnale di un fattore due significa mettere uno zero tra 2 campioni.

38 Qualche precisazione Queste operazioni si indicano con i simboli: sottocampionamento sovracampionamento Riprendiamo fiato. L'affermazione di partenza era: La DWT è implementabile in modo estremamente efficiente mediante un banco di filtri discreti iterato che esegue una codifica a sottobande. Fino ad ora abbiamo visto cosa significa: vfiltro vfiltro discreto vsottocampionamento vsovracampionamento

39 Qualche precisazione Vediamo ora cosa significa codifica a sottobanda. Codifica sottobanda = filtro discreto passabasso + filtro discreto passaalto + 2 sottocampionatori. Qualche precisazione H 1 è un filtro passaalto H è un filtro passabasso x[n] è la sequenza di campioni in ingresso y h [n] è la sequenza di campioni in uscita dal filtro passaalto y l [n] è la sequenza di campioni in uscita dal filtro passabasso

40 Qualche precisazione Lo schema qui sotto viene anche detto banco di analisi: le due sequenze in uscita sono rappresentazioni del segnale di partenza, lo decompongono. I due sottocampionatori eliminano le ridonzanze e permettono l'ortogonalità necessaria alla trasformazione Qualche precisazione Vediamo come funziona (ci riferiremo alle operazioni in frequenza, più semplici): Mettiamo in ingresso un segnale discreto, campionato a f s. Il numero di campioni è N. Supponiamo che il segnale sia campionato rispettando abbondantemente il teorema di Nyquist e i fenomeni di aliasing siano trascurabili. Il segnale quindi ha estensione in frequenza al massimo da a f s /2, l'operazione di campionamento infatti ribalta e periodizza lo spettro, quindi basta considerarlo in un semiperiodo dello spettro.

41 Vediamo come funziona: Dividiamo la banda del segnale f s /2 in due Qualche precisazione ampiezze f s /4 f s /2 f Vediamo come funziona: Dividiamo la banda del segnale f s /2 in due Filtriamo passabasso con frequenza di taglio f s /4 Qualche precisazione ampiezze f s /4 H f s /2 f

42 Vediamo come funziona: Qualche precisazione Risultato: ampiezze f s /4 f Vediamo come funziona: Filtriamo passaalto con frequenza di taglio f s /4 Qualche precisazione ampiezze H 1 f s /4 f s /2 f

43 Vediamo come funziona: Risultato: Qualche precisazione ampiezze f s /4 f s /2 f Vediamo come funziona: Qualche precisazione Sottocampioniamo: siamo partiti con N campioni all'uscita dei filtri abbiamo ancora N campioni per parte. Sottocampionando abbiamo N/2 campioni per sequanza di uscita. La somma è ancora N. Il nostro segnale è ancora descritto da N campioni.

44 Qualche precisazione In definitiva: Abbiamo decomposto il nostro segnale in due parti: Una parte passabasso Una parte passaalto Qualche precisazione Graficamente abbiamo un sistema SIMO (Single Input Multiple Output) con un ingresso e 2 uscite

45 Riprendiamo fiato. L'affermazione di partenza era: La DWT è implementabile in modo estremamente efficiente mediante un banco di filtri discreti iterato che esegue una codifica a sottobande. Fino ad ora abbiamo visto cosa significa: vfiltro discreto vcodifica a sottobande La Trasformata Wavelet Non abbiamo fatto precisazioni sulla forma del filtro, da dove prenderlo e su quali criteri costruirlo. Possiamo scegliere di usare una Wavelet come filtro. Nel tempo il filtraggio che abbiamo visto in frequenza equivale ad un prodotto di convoluzione. La definizione di CWT e a seguito di DWT usano questo prodotto. Il filtraggio è quindi una trasformata Wavelet a tutti gli effetti, abbiamo fissato la scala e provvediamo a decomporre il segnale.

46 La Trasformata Wavelet Abbiamo però la necessità di variare la scala: prendiamo la struttura vista fino ad ora e la ripetiamo (banco di filtri iterati) La Trasformata Wavelet Abbiamo però la necessità di variare la scala: prendiamo la struttura vista fino ad ora e la ripetiamo (banco di filtri iterati) y h1 [n] x[n] ampiezze Codifica a sottobande Codifica a sottobande Codifica a sottobande y h2 [n] y h3 [n] y l1 [n] f s /2 f Vediamo cosa fa la struttura se gli diamo in pasto un segnale discreto.

47 La Trasformata Wavelet Abbiamo però la necessità di variare la scala: prendiamo la struttura vista fino ad ora e la ripetiamo (banco di filtri iterati) y h1 [n] x[n] ampiezze Codifica a sottobande Codifica a sottobande Codifica a sottobande y h2 [n] y h3 [n] y l1 [n] f f s /4 f s /2 In rosso abbiamo il segnale di partenza. La Trasformata Wavelet Abbiamo però la necessità di variare la scala: prendiamo la struttura vista fino ad ora e la ripetiamo (banco di filtri iterati) y h1 [n] x[n] ampiezze Codifica a sottobande Codifica a sottobande Codifica a sottobande y h2 [n] y h3 [n] y l1 [n] y l1 [n] y h1 [n] f f s /4 f s /2 Situazione dopo la prima codifica a sottobande

48 y l3 [n] y h3 [n] La Trasformata Wavelet Abbiamo però la necessità di variare la scala: prendiamo la struttura vista fino ad ora e la ripetiamo (banco di filtri iterati) y h1 [n] x[n] ampiezze Codifica a sottobande Codifica a sottobande Codifica a sottobande y h2 [n] y h3 [n] y l1 [n] y l2 [n] y h2 [n] y h1 [n] f f s /8 f s /4 f s /2 Situazione dopo la seconda codifica a sottobande La Trasformata Wavelet Abbiamo però la necessità di variare la scala: prendiamo la struttura vista fino ad ora e la ripetiamo (banco di filtri iterati) y h1 [n] x[n] ampiezze Codifica a sottobande Codifica a sottobande Codifica a sottobande y h2 [n] y h3 [n] y l3 [n] y h2 [n] y h1 [n] f f s /16 f s /8 f s /4 f s /2 Situazione dopo la terza codifica a sottobande

49 y l3 [n] y l3 [n] y h3 [n] y h3 [n] La Trasformata Wavelet ampiezze y h2 [n] y h1 [n] f s /16 f s /8 f s /4 f s /2 f Ho scomposto il mio segnale: Le divisioni per due della frequenza di campionamento per la determinazione della banda dei filtri sono l'analogo della variazione della una scala diadica. La Trasformata Wavelet ampiezze y h2 [n] y h1 [n] f s /16 f s /8 f s /4 f s /2 f La banda relativa rimane la stessa: Δf/f i costante. dove f i = f s /i con i = 2,4,8 La risoluzione varia.

50 La Trasformata Wavelet Quello che abbiamo visto si chiama albero di decomposizione Wavelet. la sequenza y l trasporta un'informazione approssimativa del segnale x mentre la sequenza y h trasporta un'informazione di dettaglio, necessaria per definire univocamente x. La Trasformata Wavelet Quello che abbiamo visto si chiama albero di decomposizione Wavelet. Chiameremo: y l Approssimazione y h Dettaglio

51 La trasformata Wavelet d1 y h1 [n] x[n] s Codifica a sottobande Codifica a sottobande Codifica a sottobande d2 y h2 [n] y h3 [n] y l1 [n] d3 a3 Consideriamo un segnale e lo decomponiamo fino al 3 livello. La Trasformata Wavelet Decomposizione wavelet di un seno a 1 Hz campionato a 1 Hz s Segnale a3-125 Hz d Hz d Hz d1 5-1 Hz

52 Analisi Multirisoluzione (AMR) Forza [N] decomposizione wavelet del segnale (wavelet bior6.8 ) tempo [s] Segnale ~5 Hz 5-1 Hz 7-15 Hz 1-2 Hz 2-4 Hz 4-55 Hz Analisi Multirisoluzione (AMR) Forza [N] 3 2 decomposizione wavelet del segnale (wavelet bior6.8 ) tempo [s] segnale senza rumore strumentale

53 Analisi Multirisoluzione (AMR) Forza [N] 3 2 decomposizione wavelet del segnale (wavelet bior6.8 ) tempo [s] Studiare la eventuale presenza di tremito Analisi Multirisoluzione (AMR) Forza [N] 3 2 decomposizione wavelet del segnale (wavelet bior6.8 ) tempo [s] Isolare il rumore strumentale