Alla ricerca della forma ideale. La sezione aurea

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2 Alla ricerca della forma ideale La sezione aurea

3 Progetto realizzato da IIS Maserati - sezione associata Baratta Classe 3BG Docenti: Prof. Donatella Cabrini Prof. Antonella Dabusti Prof. Maria Lagomarsini

4 Sommario Home Introduzione La sezione aurea in matematica Definizione La sezione aurea nell algebra Esempi di sezione aurea nella geometria Luca Pacioli La sezione aurea nella natura La sezione aurea nella natura:ammoniti La sezione aurea nella natura:fillotassi La sezione aurea nella natura:numeri di Fibonacci La sezione aurea nella natura:pigne La sezione aurea nella natura:l orecchio La sezione aurea nell arte Le Proporzioni armoniche... Il canone nel corpo umano Il modulor Sezione aurea nella pittura La sezione aurea nell architettura... e il tempio di Atena a Paestum La costruzione di

5 Introduzione Nel corso dei secoli la parola Proporzione è stata sinonimo di Sezione Aurea (termine che utilizzò Leonardo) come di Divina proporzione (nome che gli attribuì Luca Pacioli). Queste definizioni suggeriscono qualcosa di veramente bello come già pensavano i Pitagorici, coloro che la utilizzarono nel VI secolo circa. Uno dei motivi della sua bellezza è certamente il fatto che la sezione aurea interviene nella costruzione del pentagono regolare e dunque del dodecaedro. Il pentagono non costituisce la pianta di molti edifici a causa della sua difficoltà nella costruzione.

6 Al contrario la ritroviamo in figure e proporzioni auree già a partire dagli Egizi e dai Greci. La più nota figura in proporzioni è la stella pitagorica, si tratta di una stella a cinque punte che si ottiene tracciando le diagonali di un pentagono regolare. Il primo campo in cui la sezione aurea si è mostrata è la Matematica. Successivamente anche gli artisti hanno subito il fascino di questi oggetti. Anche in natura, sia fra gli animali che fra le piante, è facile riscontrare la presenza della sezione aurea.

7 I greci pensavano che il rapporto aureo rappresentasse la proporzione "ideale" tra parti del corpo come il viso e il torso, o tra gli arti e il corpo intero. La sezione aurea fu perciò usata come guida per riprodurre accuratamente il corpo umano nella pittura e nella scultura. Vista la sua diffusione in natura, veniva considerato esteticamente piacevole e di buon auspicio, perciò veniva usato anche per le creazioni umane.

8 Diversi dipinti sono stati composti secondo la sezione aurea; edifici, giardini e monumenti sono stati progettati con rettangoli aurei (per esempio il Partenone di Atene e la Grande Piramide a Giza). Moltissimi artisti rinascimentali, tra i quali Leonardo da Vinci, Piero della Francesca e Leon Battista Alberti (autore del trattato De Architectura ), si dedicarono allo studio e alla teorizzazione delle proporzioni applicandole nelle loro composizioni, proseguendo una tradizione già intrapresa da Vitruvio. La sezione aurea continua ad essere utilizzata, architetti come Le Corbusier o in Italia Terragni l'anno usata nella progettazione di alcuni edifici razionalisti. Altre applicazioni si trovano nel design, e studi recenti mostrano che continua ancora a giocare un ruolo importante nella nostra percezione della bellezza.

9 La sezione aurea in matematica

10 Definizione Dato un segmento AB si dice sua sezione aurea il segmento AC, Con C compreso fra A e B, medio proporzionale fra il segmento AB e il segmento CB. AB : AC = AC : BC

11 La sezione aurea di un segmento AB si costruisce con il seguente procedimento: Dall estremo B del segmento AB si traccia la perpendicolare ad AB; su questa perpendicolare si prende il punto O tale che OB sia congruente a metà di AB; Si traccia la circonferenza con centro in O e raggio OB; Detti E ed F i punti in cui la retta O interseca la circonferenza (E compreso fra A e O), si ha che il segmento AE è congruente alla sezione aurea richiesta; questa si ottiene, quindi, trasportando col compasso AE sul segmento AB.

12 Fai clic sull immagine per visualizzare la costruzione

13 La sezione aurea nell algebra Nella figura precedente consideriamo il segmento AB unitario e scriviamo la proporzione: 1 : x = x : (1-x) Applichiamo ora le proprietà delle proporzioni otteniamo x 2 = 1.(1-x). Risolviamo ora l equazione precedente:

14 x 2 = 1 x x 2 + x 1 = 0 1 ± 1 4 ( 1) x = x 1 = x 2 = 2

15 Teniamo conto del valore positivo perché stiamo cercando la dimensione di un segmento. Dai calcoli troviamo che. x = 0,618. Dato che Φ= 1/x otteniamo il valore approssimato Φ = 1,618.

16 Esempi di sezione aurea nella geometria La configurazione di pentagoni si presta a scoperte meravigliose dove è possibile incontrare il numero d oro a ogni passo. Nella figura seguente possiamo notare che l interno di un pentagono stellato rappresenta,ridotto il pentagono convesso; i lati prolungati ricostituiscono un ingrandimento del poligono stellato.

17 Nel pentagono rappresentato sotto individuiamo i punti E,J e B, e notiamo che J divide il segmento EB in modo che il rapporto tra il segmento stesso e il segmento EJ ci dia il numero che viene chiamato numero d oro o più semplicemente Φ(fi).

18 Luca Pacioli ( ). Pubblicò nel 1494 la Somma de aritmetica, geometria, proportioni et proportionalità compilazioni di materiali appartenenti all aritmetica, algebra, geometria euclidea e registrazione a partita doppia. Pacioli pubblicò altri due libri sulla geometria.uno di questi De Divina Proportione parla di poligoni e solidi regolari, include molti disegni di alta qualità che vengono distribuiti a Leonardo. Nel De Divina Proportione viene studiato il rapporto che in epoca successiva sarà denominato Sezione Aurea.

19 Alle spalle di Luca Pacioli si trova un dodecaedro pentagonale e il pollice e l indice della mano sinistra formano un rettangolo aureo il rapporto delle cui dimensioni forma il numero d oro. Quindi nel ritratto viene rappresentato in molteplici modi il numero aureo.

20 DODECAEDRO1_P2.cg3

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22 Leonardo Pisano ( ) detto Fibonacci perché figlio di un mercante italiano. Nel 1202 Fibonacci pubblica un libro in cui descrive il sistema di numerazione con cifre indo-arabiche cioè l utilizzo delle nove cifre e dello zero (da zephirum) al posto della più scomoda numerazione romana: stiamo parlando del Liber abaci Esso ha però un titolo inesatto: Liber abaci in realtà non parla dell abaco, ma parla di metodi e problemi algebrici.

23 Nel Liber abaci fra i vari problemi proposti c è un problema famoso che era stato suggerito da un altro problema contenuto nel papiro di Ahmes: Sette vecchie donne andavano a Roma; ciascuna donna aveva sette muli; ciascun mulo portava setti sacchi, ciascun sacco conteneva sette forme di pane; e con ciascuna forma di pane v erano sette coltelli; ciascun coltello era infilato in sette guaine. Il problema del Liber abaci che ispirò i futuri matematici era il seguente: Quante coppie di conigli verranno prodotte in un anno, a partire da un unica coppia, se ogni mese ciascuna coppia dà alla luce una nuova coppia che diventa produttiva a partire dal secondo mese?

24 Questo problema origina la Serie di Fibonacci : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,., u n,., dove, u n = u n 1 + u n 2 dove ciascun termine dopo i primi due è la somma dei due termini precedenti. Tale serie ha molte proprietà significative: fra queste ricordiamo se n diventa molto grande il rapporto fra due termini successivi è il numero aureo.

25 La sezione aurea nella natura La sezione aurea in natura

26 Che cosa hanno in comune una galassia, l'accrescimento di alcune conchiglie la spaziatura tra le foglie lungo uno stelo la disposizione dei semi di girasole?

27 L'elemento comune è rappresentato dalla spirale logaritmica detta anche "spirale aurea", attraverso la quale lo sviluppo armonico della forma è legato alla necessità di accrescere "secondo natura e in maniera ottimale e meno dispendiosa possibile. In un breve viaggio nella natura tenteremo di scoprire dove l armonia matematica della spirale aurea è stata utilizzata.

28 Iniziamo il nostro percorso partendo dalla nostra galassia. La Via Lattea é una galassia a spirale che si trova insieme ad altre 20 nell ammasso locale. Contiene centinaia di miliardi di stelle, polveri e gas. Ha un diametro di anni luce. Tutte le stelle dei bracci ruotano intorno al centro della galassia e anche il sole,che si trova nel braccio inferiore, compie questo movimento in 225 milioni di anni.

29 Circa 4500 milioni di anni fa si è formata la terra che,insieme a 9 pianeti, formano il sistema solare. Sulla terra, grazie alla presenza dell atmosfera, si possono formare gli uragani. Il fenomeno interessa esclusivamente i mari caldi e solo in alcuni periodi dell'anno,quando la temperatura del mare supera i 27 gradi Celsius su una profondità di 80 metri e l'aria dell'alta atmosfera è fredda.l'aria calda, più leggera, si alza e aspira in alto l'umidità del mare formando delle nuvole. Quando il ciclone è in pieno sviluppo i venti descrivono spirali quasi perfette, antiorarie nell emisfero boreale e orarie in quelle australi.

30 La vita sulla terra comparve circa tre miliardi di anni fa con organismi procarioti (batteri ed alghe azzurre). Successivamente (300 milioni di anni fa ) comparvero i primi protozoi,come i foraminiferi con guscio calcareo o siliceo, responsabili della formazione della sabbia a foraminiferi. In questi organismi per la prima volta appare la spirale Aurea formata dalla deposizione dei Sali di calcio.

31 Nel Giurassico ( milioni di anni fa) comparvero le La sezione ammoniti, aurea nella natura:ammoniti molluschi provvisti di conchiglia concamerata a spirale, che con la loro rapida diffusione ed altrettanto rapida estinzione nel cretaceo vengono utilizzati come fossili guida per la datazione delle rocce.

32 La sezione aurea nella natura: molluschi Sempre nel girurassico comparvero molluschi più complessi come il nautilo,cefalopode tetrabranchiato marino, dotato di una conchiglia esterna avvolta a spirale con cavità interna concamerata.

33 La vita conquistò le terre emerse grazie agli esseri autotrofi che modificarono la composizione La sezione aurea nella natura:fillotassi dell atmosfera rendendola ricca di ossigeno. Così animali e piante occuparono tutti gli ambienti adattandosi alle varie esigenze e utilizzando ancora la spirale e la serie dei numeri di Fibonacci. Nel regno vegetale venne sfruttata la disposizione a spirale delle foglie su di uno stelo in modo che la luce potesse arrivare a tutte le foglie in uguale quantità. FILLOTASSI

34 La sezione aurea nella natura:numeri di Fibonacci I pistilli sulle corolle dei fiori spesso sono messi secondo uno schema preciso formato da spirali il cui numero corrisponde ad una delle serie di Fibonacci. I pistilli sono disposti secondo questi schemi in modo da essere uniformemente sparsi su tutta la corolla e non troppo ammassati al centro.

35 Sulla testa di un tipico girasole, per esempio, il numero delle spirali rientra molto spesso in questo schema: 89 spirali che si irradiano ripide in senso orario; 55 che si muovono in senso antiorario e 34 che si muovono in senso orario ma meno ripido. Il più grande girasole che si sia mai conosciuto aveva 144, 89 e 55 spirali.

36 La sezione aurea nella natura:pigne. Le brattee delle pigne si dispongono in due serie di spirali dal ramo verso l'esterno - una in senso orario e l'altra in senso antiorario. Uno studio di oltre 4000 pigne di dieci specie di pino rivelò che oltre il 98 per cento di esse conteneva un numero di Fibonacci nelle spirali che si diramavano in ogni direzione. Inoltre, i due numeri erano adiacenti, o alternati, nella sequenza di Fibonacci - per esempio 8 spirali in un senso e 13 nell'altro, o 8 spirali in un senso e 21 nell'altro.

37 Le scaglie degli ananas presentano un'aderenza ancora più costante ai fenomeni di Fibonacci: non una sola eccezione fu trovata in un test compiuto su 2000 ananas.

38 La sezione aurea nella natura:l orecchio All apice della complessità evolutiva vi è l uomo, ma ancora una volta l armonia della sezione aurea si può scoprire nel complesso apparato uditivo dove nell orecchio interno vi è la cloclea o chiocciola che racchiude il delicato organo del Corti responsabile della trasduzione dei suoni trasformandoli da Onde sonore ad impulsi nervosi che arrivano alla corteccia cerebrale uditiva.

39 In questo breve viaggio abbiamo visto come la natura ha saputo sfruttare le rigide leggi matematiche e geometriche per raggiungere un equilibrio e una armonia che noi dobbiamo rispettare e conservare.

40 La sezione aurea nell arte

41 Le Proporzioni armoniche...

42 Dall analisi delle opere dei diversi periodi storici risulta evidente la ricerca della proporzione. Il termine Proporzione è usato generalmente per stabilire un criterio o un metodo per rapportare le parti di un insieme secondo determinati schemi geometrici o aritmetici, o in base a un modulo riferito alla figura umana, a un dipinto, a una statua od ancora un edificio architettonico. Il concetto di proporzione esprime il rapporto armonico delle singole parti di una figura con il tutto, per conseguire un ideale di bellezza. Di conseguenza l analisi geometrica delle opere coincide spesso con la ricerca dei rapporti armonici.

43 Nell arte egizia, la figura umana era rappresentata basandosi su un reticolo geometrico che assicurava la conservazione di un preciso rapporto tra le diverse parti del corpo

44 gli egiziani conoscevano, oltre al canone per dimensionare le figure, anche sistemi geometrici di proporzionamento basati sui rettangoli armonici e la sezione aurea Il tracciato geometrico costruito su un bassorilievo di epoca tolemaica

45 La seziona aurea è presente nei rapporti proporzionali sottesi alle forme di numerosi manufatti di vasai greci. In un'anfora greca (IV-III secolo a.c.) il diametro maggiore sta al diametro del collo come 1:0,618; il listello all'altezza dei manici divide l'altezza totale in una proporzione aurea, che si riduce anche nel rapporto tra la fascia decorata a figure e la parte superiore del vaso. Clicca sull immagine per vedere la ricostruzione geometrica delle proporzioni auree di un vaso greco

46 Ricostruzione geometrica delle proporzioni auree di un vaso greco

47 IL CANONE NEL CORPO UMANO L arte classica ha presupposto che in ogni opera esista un canone, vale a dire una forma a cui l artista è vincolato. Il canone è una legge formale: un sistema di relazioni proporzionali tra l insieme dell opera e le sue singole parti, e tra l opera e lo spazio. Nelle opere d arte dell epoca ateniese, l arte greca esprimeva fermamente questi ideali. All epoca si ricercava una misura che esprimesse la relazione fra gli elementi divino,naturale e sociale. L uomo, viene rappresentato attraverso la combinazioni di forme geometriche ideali. La definizione dell ideale della figura umana si deve allo scultore greco Policleto il Vecchio. Policleto, indicò come ideale supremo da perseguire la simmetria anatomica della figura umana, maschile e femminile, equilibrata nelle sue parti.

48 Egli scrisse un canone in cui dava le misure perfette e assolute della figura umana: questa era concepita salda, atletica, armoniosa, con la testa piccola e la fronte larga, nella ricerca geometrica strutturale per la resa delle parti del corpo, vincolate tra loro da un rapporto dimensionale e di simmetria: la metà del corpo deve essere nell attacco delle gambe, il piede è un settimo della lunghezza del corpo, la testa un ottavo, e la faccia un decimo. Il risultato, dice in un frammento rimasto di quest opera letteraria di Policleto, dipende da una piccolezza decisiva in mezzo ai rapporti di proporzione.

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50 Le proporzioni del corpo umano secondo Vitruvio Nel Libro Terzo del trattato De architectura Vitruvio descrive le misure ideali del volto e del corpo umano. Il centro naturale del corpo umano è l ombelico; infatti, se una persona si distendesse a terra supina a braccia e gambe divaricate, puntando il compasso sull ombelico e tracciando una circonferenza, questa toccherebbe entrambe le estremità dei piedi e delle mani. Nondimeno, com è possibile inscrivere il corpo in una circonferenza così se ne può ricavare un quadrato; misurando la distanza dai piedi alla sommità del capo e riportandola a quella che intercorre tra un estremo e l altro delle braccia aperte si costaterà che le misure in altezza e larghezza coincidono come nel quadrato tracciato a squadra. (cit. da Marco Vitruvio Pollione, De Architectura Libri X, trad. di L. Migotto, Studio Tesi, Pordenone 1990, pag. 127).

51 Leonardo nel L Uomo, studia le proporzioni della sezione aurea secondo i dettami del De architectura di Vitruvio che obbediscono ai rapporti del numero aureo. Famosa è la sua rappresentazione di Leonardo dell'uomo di Vitruvio in cui una persona è inscritta in un quadrato e in un cerchio. Nel quadrato, l'altezza dell'uomo (AB) è pari alla distanza (BC) tra le estremità delle mani con le braccia distese. La retta x-y passante per l'ombelico divide i lati AB e CD esattamente in rapporto aureo tra loro. Lo stesso ombelico è anche il centro del cerchio che inscrive la persona umana con le braccia e gambe aperte. La posizione corrispondente all'ombelico è infatti ritenuta il baricentro del corpo umano.

52 Meno famosa, ma non meno esplicita, è la figura dell'uomo di Rutilio il Vecchio, nel quale la figura umana è inscritta in una stella a cinque punte.

53 Una famosa rappresentazione della figura umana in proporzioni auree è anche la di Venere di Botticelli nella quale si possono individuare diversi rapporti aurei (1:1,618). Oltre all altezza da terra dell ombelico e l altezza complessiva, è aureo anche il rapporto tra la distanza del collo del femore al ginocchio e la lunghezza dell intera gamba o il rapporto tra il gomito e la punta del dito medio e la lunghezza dell'intero braccio.

54 Luca Pacioli nel De Divina Proportione presenta l idea, risalente al mondo classico, di applicare la matematica all arte, formulando canoni estetici in termini di rapporti numerici, tra cui, in primo luogo, la sezione aurea. Questa proporzione, cui si riferisce il titolo, era già presente nella filosofia di Pitagora e venne ripresa da Vitruvio. Essa compare anche in molti poligoni regolari e poliedri regolari ed archimedei. Ecco alcuni esempi: I poliedri disegnati da Leonardo da Vinci Le proporzioni del viso Le proporzioni dei caratteri tipografici

55 Alcuni poliedri di Leonardo...

56 Un immagine di de divina proportione di Luca Pacioli (Venezia 1509)

57 La lettera A da de divina proportione di Luca Pacioli (Venezia 1509)

58 Il modulor Sin dall antichità artisti e architetti hanno studiato dei moduli, ossia degli schemi misurati sull uomo, a cui poi si attenevano nel realizzare le loro opere. Il modulor è il più moderno di questi schemi: si chiama MODULOR, (module = unità di misura, section d or = sezione aurea) ossia modulo d oro o modulo ideale, ed è stato concepito dall architetto svizzero Le Corbusier( ) intorno al Le Courbusier ha usato il rapporto aureo per determinare un insieme di dimensioni armoniche a misura d uomo ; considera punti decisivi di riferimento:le altezze del peso, la testa e il braccio alzato generano tre intervalli dimensionali progressivi, dai quali si possono costruire rettangoli aurei. Elaborato per creare architetture composte di spazi misurati sulle reali dimensioni dell uomo, ossia sulle reali esigenze, è servito per costruire vari edifici. Clicca sull immagine per ingrandirla

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60 Il modulor Mostra un uomo con un braccio alzato Punti decisivi di riferimento: Pianta del piede Plesso solare Sommità del capo Estremità delle dita della mano protesa verso l alto Tali punti originano 3 intervalli decrescenti in reciproco rapporto aureo

61 Il modulor: cos è Deriva da module e section d or Unità di misura Sezione aurea E una scala dimensionale in cui confluiscono aspetti antropometrici e principi matematici E un reticolo di proporzione, un sistema di dimensioni armoniche riferite alla scala umana, universalmente applicabile all architettura e alla meccanica

62 Il modulor: come è fatto Serie rossa (altezza ideale dell uomo) 1,829 m Serie blu (uomo con braccio alzato) 2,260 m

63 Il modulor: a cosa serve Creare ambienti essenziali e conformi alle dimensioni dell uomo Riportare l uomo e le sue dimensioni al centro dell architettura, solo da un punto di vista funzionale Misure finalizzate alla progettazione di spazi residenziali e oggetti d uso comune

64 Sezione aurea nella pittura Molte opere di artisti, da Leonardo da Vinci a Piero della Francesca, da Sandro Botticelli a Salvador Dalì, sono strutturati secondo una griglia di rettangoli aurei.

65 La sezione aurea affascinò altri pittori, come Botticelli ( ) e la rappresentò ne La Venere. Infatti misurando l altezza da terra dell ombelico e l altezza complessiva il loro rapporto risulterà 0.618, così anche il rapporto tra la distanza tra il collo del femore e il ginocchio e la lunghezza dell intera gamba o anche il rapporto tra il gomito e la punta del dito medio e la lunghezza del braccio. Clicca sull immagine per ingrandire

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67 Nell'Annunciazione, di Piero della Francesca, la figura e la postura dell'angelo sono in proporzione aurea rispetto alla sua distanza dalla Vergine

68 Leonardo, utilizzò la sezione aurea nei suoi dipinti dopo il soggiorno Milano, presso la corte sforzesca di Ludovico il Moro, dove ebbe modo di conoscere il matematico Luca Pacioli, al quale egli fu legato anche da profonda amicizia e da reciproca collaborazione. Infatti nella stesura del trattato "del Divina Proportione ", che il Pacioli compose attorno al 1498, Leonardo collaborò con la realizzazione di ben sessanta disegni esplicativi. Analizziamo, qui di seguito,le opere in cui Leonardo utilizzò la " divina proporzione"

69 Nella Gioconda possiamo individuare la figura di un rettangolo aureo: -nella disposizione del quadro; -nelle dimensioni del viso; -nell area che va dal collo a sopra le mani; in quella che va dalla scollatura dell abito fino a sotto le mani. Clicca sull immagine per ingrandire Clicca sull immagine per ingrandire Clicca sull immagine per ingrandire

70 Il volto della Gioconda è racchiuso in un rettangolo d'oro.

71 La figura può essere racchiusa in un triangolo aureo nel quale il braccio destro segue la direzione della bisettrice dell'angolo di base, che, a sua volta, divide il lato opposto in un rapporto aureo.

72 Nell Ultima cena, Gesù, il solo personaggio veramente divino, è dipinto con le proporzioni divine, essendo racchiuso in un rettangolo aureo.

73 Nella Donna scapigliata la testa è racchiusa in un rettangolo aureo ed il volto è in proporzione aurea rispetto ai fascia dei capelli. Anche l'inclinazione del capo non è casuale ma segue la diagonale del quadrato

74 Nella "Belle Ferronnière" la particolare inclinazione del busto ed il taglio del cornicione alla base fanno sì che, oltre al capo, anche la figura della dama rientri in un rettangolo aureo.

75 Georges Seurat ha sempre avuto presente la sezione aurea nella definizione della struttura dei suoi quadri. E' facile individuare i molti rettangoli aurei di questa sua opera. La Parade, Clicca sull immagine per ingrandire

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77 Salvador Dalì rappresenta il quadro Il sacramento dell'ultima Cena con le dimensioni di un rettangolo aureo e altri rettangoli aurei compaiono nella disposizione delle figure. La tavola inoltre, è sovrastata da un grande dodecaedro le cui facce pentagonali ci riportano alla sezione aurea. Clicca sull immagine per ingrandire Il sacramento dell'ultima Cena, 1955

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79 Un altro interessante esempio di composizione basata sui rapporti aurei può essere tratto dall opera di Piet Mondrian. L artista si è concentrato sulla ricerca di struttura geometriche armoniche, che queste sono diventate l essenza stessa delle sue opere..

80 Piet Mondrian, New York city I, Sezione aurea e oltre.

81 Anche Albers nelle sue composizioni in campo quadrato ha individuato rapporti proporzionali armoniosi e vitali giocando sulle mediane del campo quadrato.

82 La sezione aurea nell architettura...

83 Anche nell'architettura la sezione aurea è stata applicata sin dai tempi più antichi. La civiltà greca classica tentò di unire tutte le arti e le scienze a secondo rapporti armonici inerenti all universo. Gli architetti e gli artisti greci apprezzavano il rettangolo aureo per le sue proporzioni perfette che riproducevano geometricamente un infinità di volte. Il rettangolo era usato per disegnare la pianta del pavimento e della facciata dei templi: Il rapporto tra lunghezza e larghezza nei templi greci era di preferenza 1:0,618 e il timpano era costruito come un triangolo isoscele avente un angolo al vertice di 108. La sezione aurea si riscontra anche nell architettura romana e in quella gotica; anche nel rinascimento ritroviamo proporzioni auree nell altezza. Esempi di questo genere non sono per altro limitati all Europa; ma compaiono soluzioni uguali anche nell architettura del medio oriente.

84 troviamo proporzioni auree nella struttura del Partenone

85 Il Partenone è un antico tempio greco costruito sulla cima di un colle che domina la città di Atene, dedicato alla dea Atena, protettrice della città, e fu costruito attorno al 440/430 a.c. L edificio ancora conserva, nonostante le distruzioni e le spoliazioni, un miracoloso accordo di misure geometriche esatte. Esso contiene molti rettangoli aurei e le stesse proporzioni auree si riscontrano nelle statue in esso presenti. La pianta del Partenone è un rettangolo con lati aventi rapporto 1:p5, ossia la lunghezza è radice di 5 volte la larghezza.

86 La facciata è chiusa in un rettangolo aureo, tale cioè che il lato più lungo diviso per quello più corto è uguale al numero d'oro e nella sua struttura sono diverse le sezioni auree che si possono osservare Clicca sull immagine per vedere l applicazione del rapporto aureo nella struttura della facciata del Partenone.

87 applicazione del rapporto aureo nella struttura della facciata del Partenone.

88 La facciata del Partenone risulta inscritta in un rettangolo aureo: l altezza è sezione aurea della base La proiezione ortogonale della facciata mostra come essa sia stata costruita su un rettangolo aureo applicazione del rapporto aureo nella struttura della facciata del Partenone.

89 La pianta del Partenone mostra che il tempio fu costruito su un rettangolo con lati di dimensioni tali che la lunghezza sia pari alla radice di 5 volte la larghezza

90 Nell'architrave in facciata il rettangolo aureo è ripetuto più volte.

91 Altro esempio significativo sono le Korai dell Eritteo...

92 ... il Tempio di Atena a Paestum Le misure degli elementi della trabeazione, per esempio, furono determinate dall'armonica proporzione (che si basava appunto sulla sezione aurea e che fu una delle tre principali proporzioni scoperte dalla scuola pitagorea, insieme alla proporzione aritmetica e a quella geometrica), che può essere graficamente ottenuta partendo dal quadrato ABCD.

93 ... L arco di Costantino a Roma... Nell'arco di trionfo di Costantino, il più importante degli archi trionfali romani, costruito nel 313 d.c per celebrare la vittoria dell'imperatore Costantino su Massenzio l'altezza dell'arco divide l'altezza totale secondo la sezione aurea, mentre i due archi più piccoli giocano lo stesso ruolo nella distanza tra la base e il listello inferiore

94 ... Castel del Monte... Noto per la sua inconfondibile forma ottagonale,castel del Monte costituisce una delle principali mete turistiche della Puglia. ll disegno del portale di Castel del Monte, esempio di architettura gotica in Puglia, scaturisce dal pentagono stellato e dalla sua scomposizione secondo il numero d'oro, 1.618, le sue potenze e le sue radici.

95 ... Notre Dame di Parigi il palazzo di vetro dell'onu a New York...

96 La costruzione di...

97 .un rettangolo aureo e della sezione aurea di un segmento Dato il segmento AB, costruire il suo punto medio M e, successivamente, il triangolo rettangolo di cateti AB e BO = MB. Costruire il punto medio E dell'ipotenusa AO e disegnare sul segmento AB il segmento AC = AE. AC è la parte aurea di AB, come si può dimostrare facilmente. ABCD è un rettangolo aureo, poiché AD = AC per costruzione.

98 ...costruzione di un segmento data la sua sezione aurea Dato il segmento AB, costruire il quadrato ABCD. Dopo aver disegnato il punto medio M del segmento BC, tracciare il segmento MD. Riportare MD sulla semiretta BC, ottenendo ME = MD. Il segmento BE ha come sezione aurea AB. Il rettangolo ABEF è aureo.