Rudi Mathematici. 1. Editoriale. Rudy d'alembert Alice Riddle Piotr R. Silverbrahms. Numero Editoriale...1

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1 Rud Mathematc Numero Edtorale.... Problem.... Ancora sulle blance.... Estrazon del lotto Soluzon e Note [06] Problema dell'oste Blance Paraphernala Mathematca Equazon Dofantee...3. Edtorale Omne bene, Sne poenae, Tempus est ludend; Vent hora, Absque mora, Lbros deponend...m pace pensare "Graffta su un banco n un gymnasum d Pompe" (n realta` e` medevale). Io capsco che l mglor matematco che conoscete e che v da` pazentemente una mano a rsolvere problem d RM adesso ha l'esame d qunta elementare, ma almeno uno sforzo potevate farlo. O state cercando d uguaglare l record dell'edzone nglese? Sappate che ce l'avete fatta. Qualcuno, scarsamente ntenzonato a rsolvere problem (qund la stragrande maggoranza d vo) m ha chesto: "Ma quanto tempo prma prepar 'sta roba?" Beh, dpende. Voglo sperare che vo state cercando d rsolvere problem corroborat da una bella gornata d gugno; sappate che, mentre sto scrvendo queste note, c'e` un grazoso clma d tpo (m dcono) rlandese: pove, e` grgo, meno male che tra un po` e` Pasqua. In compenso (lber d nvdarm), sappate che sono o a spaparanzarm al sole adesso... Tranqull, ho detro carta, matta e cervello (organco: quello elettronco e` rmasto a casa). Qualche problemno ve lo trovo comunque. Non portate dentro la sabba Rudy d'alembert Alce Rddle Potr R. Slverbrahms

2 Numero Problem. Ancora sulle blance La sere d problemn sulle monete dell'altra volta me ne ha fatto venre n mente un altro. Supponamo sate l'assstente d un fruttvendolo (l'ho sempre detto: bracca sottratte all'agrcoltura!); vostro compto e` portare la blanca (e pes), mentre l capo acqusta la frutta; a vo, l'ncarco d pesarla. E` vostra ntenzone andare n gro con la blanca (una bella blanca a due patt, robusta, come non ne fanno pu`... Ma senza scala graduata) e l mnor numero (e peso) d pes possbl, tutt multpl dell'unta` fondamentale. Consderato che dovete essere n grado d pesare "pu` pes" possble, che pes v portate detro?. Estrazon del lotto S, stavolta damo numer... Abbamo un'urna con "N" numer, ed estraamo delle terne "smultanee" (coe` tramo fuor tre numer contemporaneamente); l famoso professore d matematca Massmo DellaNoa sostene che s possono formare 00 terne; cosa ne dte, del goco? 3. Soluzon e Note 3. [06] 3.. Problema dell'oste Devo ammetterlo, qualche tentatvo c'e` stato. Rsultat decent, comunque, zero. Per rsolverlo, questo, bsognava nventars un altro "pezzo"; qualcuno d vo ha provato con rmbalz n bzzarr oggett trdmensonal che sembrano dervat pu` che altro da un ncubo d Escher, per po rdurs al volgare metodo per tentatv; onore al merto, ma nente pupazzetto! Il "pezzo" n pu` che bsognava nventare n questo caso era la dagonale del rombo, che nel dsegno, per comodta`, portamo "fuor"; ogn volta che che operamo sul recpente "grosso", rportamo l valore anche su questa dagonale; probablmente, dal dsegno s capsce d pu` che dalle parole; d seguto, le operazon nececssare e, tra parentes tonde, lo stato de contentor da 8, 5 e 3 ltr (la prma e` la stuazone nzale): cos` vedo quanta ne "resta dentro". 0 [ :(8,0,0)] - [8->5:(3,5,0)] [5->3:(3,,3)] - [3->8:(6,,0)] [5->3:(6,0,)] - [8->5:(,5,)] [5->3:(,4,3)] - [3->8:(4,4,0)] Semplce, vero? non so se ve ne sete accort, ma la scala del contentore grosso e` nvertta: questo perche` parto con l contentore peno, e Caso ma foste nteressat, potete provare a verfcare l fatto che se l terzo recpente ha capacta` maggore o uguale alla somma de prm due e gl altr due recpent hanno

3 Numero capacta` prme tra loro, posso ottenere qualsas valore tra e l valore d capacta` ntermedo (coe`, nel nostro caso, qualunque valore tra e 5). Se nvece l recpente pu` grande e` mnore della somma de due pu` pccol, devo "taglare" la punta n alto a destra del rombo, n modo da farc "stare" la dagonale. Sete caldamente nvtat, con recpent da 9, 7 e ltr, a non cercare d ottenere 6. Non credate d poter sfuggre al problema tosto della sere. L'altro gorno, essenda prevsta una runone del comtato d redazone, m sono procurato un contentore da 0 ltr d brra; non essendo scuro che fosse buona, ne ho assaggato "un po`", utlzzando recpent da 3 e 5 ltr. Quando fnalmente arrvano Potr e Fran (che non sanno nente del mo "assaggo" precedente), ruscamo a dvderlo n tre part ugual, usando gl stess contentor. Quanta brra beve cascuno d no (n partcolare, quanta ne bevo o n totale)? 3.. Blance Hmmm, qualcosa avete provato a fare... Poca roba, comunque... Allora, con calma: Il prmo, come v dcevo, e` facle; sapendo quanto pesano (n meno) le monete false, ne posso prendere una dal prmo muccho, due dal secondo muccho, tre dal terzo muccho,..., dec dal decmo muccho. Se fossero tutte vere, peserebbero ( )*5, ossa 55*5. La dfferenza tra questo valore e l valore ottenuto e` l numero del muccho ncrmnato. Facle, vero? Il secondo non e` cos` facle... Tant'e` che, la prma volta, l'ho sbaglato. Devo prendere abbastanza monete da poter ndvduare l numero d'ordne de tre grupp "sbaglat"; ossa, non m basta prenderne uno dal prmo, due dal secondo, tre dal terzo eccetera, n quanto la stuazone d "uno e due fals" sarebbe equvalente alla stuazone "tre falso". Qund, la ma dea era quella d prendere una dal prmo, due dal secondo, quattro dal terzo, sette dal quarto e avant n questo modo: ogn volta prendo un numero d monete par alla somma de tre valor precedent (con l'eccezone del terzo, dove devo prendere 4 monete perche` 3+). Alla fne, l mo rsultato era che m servvano de mucch d (almeno),, 4, 7, 3, 4, 44 monete. (Non molto) grazosamente, pero`, m hanno fatto notare che, se non prendo nessuna moneta dal prmo muccho, e po ne prendo,, 4, 7, 3, 4, l gochno resce lo stesso... Che fgura! L'ultmo, devo dre, era duro. La soluzone (trovata "al volo" da Potr, con un po` pu` d lentezza da me) e`: Mettete su un patto le monete --3, sull'altro le monete Tenete l gruppo che pesa meno (se pesano uguale, tenete l gruppo 7-8-9). Sceglete due monete da questo gruppo e pesatele (ad esempo, pesamo 7 e 8) Se pesano uguale, la moneta falsa e` 9; n caso contraro, e` la pu` leggera. Carno, vero? 4. Paraphernala Mathematca 4. Equazon Dofantee "Un contadno, al mercato, vende de poll ad A lre l'uno e de congl a B lre l'uno; consderato che ha rcavato dalla vendta C lre, s chede quant congl e quant poll ha venduto". 3

4 Numero Avete d fronte a vo un raro esemplare d problema nooso, scarsamente dvertente e enormemente rompscatole; quando pero` l'ntellgentone d turno ve lo propone e vo gl dte che problem del genere non v nteressano, lu fa la facca contenta e strlla: "Aaaah, vuol dre che non se capace!". La cosa verra` opportunamente strombazzata a quattro vent, ad ndubbo detrmento della vostra autorta` matematca. Tra l'altro, quest problem sono talmente vecch che, d solto, ben che vada l vllco rcava lre: avessero almeno l lampo d geno d passarlo n euro... Quello che c nteressa, come s argusce faclmente, e` trovare le soluzon ntere dell'equazone: Ax + By C [00] Per rsolvere questa equazone, s cercano, per prma cosa, le soluzon dell'equazone assocata: Ax + By [00] Ora, se andate a rprendere questa rubrchetta qualche mese fa ( "Frazon Contnue Artmetche - 0" -so che n realta` numer precedent brllano scolpt nel vostro cuore e nella vostra mente...), c era passata davant un'espressone del tpo: p q p q ( ) [003] che, ammetterete, mostra una sospetta parentela con la nostra equazone assocata: nfatt, le rdotte che v compaono non sono altro che le rdotte d A/B. L'unco guao sono segn... ma quest non rappresentano un grosso problema; l secondo membro, nfatt, e` funzone del numero d termn dello svluppo n FCA; dovreste anche rcordare, pero`, che possamo far dventare l numero de termn par o dspar a nostra scelta. In partcolare, se l'equazone e` nella forma Ax+By c servranno un numero dspar d termn, mentre se e` nella forma Ax-By ce ne servranno un numero par (no, non ve lo dmostro... appartene all'nseme delle noosaggn). Da questo, ottenamo le soluzon partcolar dell'equazone assocata: x y q 0 n p 0 n [004]...e da queste, utlzzando t come parametro, s hanno le soluzon general dell'equazone orgnara: x cqn tb ax + by c y at cpn x cqn tb ax by c + y at + cpn [005] Sccome ogg sono n buona, v facco un esempetto: l contadno, poll e congl mettetel vo, partamo dall'equazone. 0x y 7 [006] Dunque, per prma cosa calcolamo la sere delle rdotte d 0/ (v sete accort che e` la stessa frazone dell'altra volta? E` per rsparmare calcol): a 4 4

5 Numero p q c p q da cu, nostr valor dovrebbero essere e 0, se non fosse per l fatto che devo avere un numero par d termn (c'e` l segno meno nell'equazone); qund, devo "raggustare" l mo svluppo: 0 [,, 4,, ] [,, 4,,, ] da cu la nostra tabella dventa: [007] a 4 p q c p q e, utlzzando la [005] per t0, ottenamo la soluzone: x x y 7 y Che e` la soluzone "base" della nostra equazone. [008] E` utle notare che condzone necessara per la rsoluzone dell'equazone e` che A e B (ce`, nell'esempo, 0 e ) devono essere prm tra loro, ossa (A,B). Replogando e aggungendo anche l caso per l segno postvo, l metodo generale e`: 5

6 Numero L'equazone dofantea generale: Ax ± By C con ( A, B) [009] S rsolve come: Svluppare A/B n frazone contnua Nel caso d segno postvo, n un numero dspar d termn Nel caso d segno negatvo, n un numero par d termn Generare la sere delle rdotte p 0 p 0 q q 0 0 p a p + p q a q + q Note le soluzon partcolar dell'equazone assocata Ax x y a a q n p n S rcavano le soluzon general dell'equazone data Nel caso d segno postvo: x cqn tb y at cpn Nel caso d segno negatvo: x cqn + tb y at + cpn Semplce, charo e (abbastanza) poco fatcoso, se avete studato... [00] ± By, par a [0] [0] [03] Per concludere, v passo un problemno da rflare all'antpatco d cu all'ntroduzone mente ha ancora la bocca aperta dallo stupore per la vostra soluzone (l metodo per rsolverlo e` una dofantea con numer "gross": tranqull, v do` anche la soluzone): Su un'sola deserta, fanno naufrago cnque marna; appena arrvat, raccolgono un muccho d noc d cocco, alletat da una scmmetta che saltella loro ntorno (no, non ruba le noc...). Essendos fatto tard, decdono d rnvare la dvsone delle noc tra d loro al gorno successvo. Durante la notte, uno de marna s svegla e, consderando che molto probablmente l gorno dopo c sarebbero stat de ltg per la dvsone, senza chamare gl altr dvde l muccho n cnque part ugual; la dvsone fa s` che avanz una noce, che da` alla scmmetta; dopo aver nascosto l "suo" qunto d noc, torna a dormre. Per farla breve, tutt marna s sveglano (uno per volta all'nsaputa degl altr), s avvcnano al muccho reduce dalla dvsone del marnao precedente, fanno la dvsone, 6

7 Numero nascondono la loro parte, danno la noce avanzata alla scmma (tutt avanzano una noce) e tornano a dormre. Al mattno, quando s sveglano tutt, nessuno ha la coscenza propramente pulta, qunsd nonostante le dmenson del muccho sano "strane", effettuano come se nente fosse la dvsone d quanto rmasto; questa volta, la scmmetta resta a dguno. Quante noc dovevano avere almeno raccolto nostr ero per ruscre a fare una dvsone del genere? Allora, se N e` l numero totale delle noc all'nzo, A l numero d quelle nascoste dal prmo marnao, B quelle nascoste dal secondo e avant sno ad F che sono quelle che s dvdono fraternamente al mattno, l sstema rsolutvo vene ad essere: N 5A + 4 A 5B + 4B 5C + 4C 5D + 4D 5E + 4E 5F [04] Notare che, se sostute l secondo membro dell'ultma equazone con 5F+, date una noce alla scmmetta anche nell'ultmo gro e v rtrovate con de numer decsamente pu` grand. Comunque, sosttuendo n salta, la nostra equazone s rduce alla: 04N 565F 8404 [05] La frazone s svluppa: [ 0, 5, 3,, 6,,, 3, 3] [ 0, 5, 3,, 6,,, 3,, ] E ottenamo la successone delle rdotte: [06] a p q Da cu, le soluzon partcolar dell'equazone assocata e dell'equazone data: N A 08 N N A 9796 FA 7 F0 8404FA E le soluzon general: N t F t Le soluzon per t che fornscono l valore mnmo (postvo) per N e F sono: [06] [07] 7

8 Numero t > 5835,. K t > 5835, K 04 [08] Dovendo t essere un ntero, l valore cercato e` t sosttuendo nelle [07], s ottengono valor fnal: N 3 F 04 Che e` l nostro rsultato. [09] L'altra formulazone del problema fornsce un valore, per N, par a 56 (beh, questa, se volete, ve la calcolate vo; s, cont l ho fatt a mano!). Il problema e` puttosto vecchotto ma lo conoscono n poch vsto che, per tentatv, c vuole un muccho d tempo; e` esstta un'unca persona al mondo che abba dato stantaneamente la rsposta alla versone n cu venva data una noce alla scmma anche l'ultma volta; trattavas d P.A.M. Drac (Nobel per la fsca, caso ma non ve lo rcordaste...), che ha mmedatamente rsposto: "Quattro noc negatve". Il prmo marnao da` una noce postva alla scmma e s rtrova con cnque noc negatve; ne nasconde una; l secondo marnao da` una noce postva alla scmma e... Drac sosteneva che la sua soluzone era decsamente pu` elegante: tanto per comncare, numer n valore assoluto sono pu` pccol, e po al mattno marna non dcono nulla n quanto le noc (negatve) sono quattro, come la sera prma... L'avete chuso, l'ombrellone? Rudy d'alembert Potr R. Slverbrahms Alce Rddle 8