ESAME DI STATO DI ISTITUTO TECNICO PER GEOMETRI. Svolgimento. f S

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1 EAME DI TATO DI ITITUTO TECNICO PER GEOMETRI volgiento P p q R r s B u h g C t 2 f 3 l D k a 1 c d A b E Dal testo della traccia la superficie dell'intero appezzaento è: Qui si nota che l'ordine di grandezza diensionale per le approssiazioni di calcolo è il d essendo specificata la superficie in d². I lati AB e AE valgono rispettivaente: a := Qui si nota che le isure sono state effettuate con l'approssiazione del. Attraverso le letture al cerchio orizzontale si possono deteinare gli angoli: α := la figura è indicativa b := η := ν := Θ := in radianti (lo svolgiento effettuato con Matcad richiede tale sistea angolare: α := α η := η ν := ν Θ := Θ il lato c=be si calcola c:= a 2 + b 2 2 a b cos( α gli angoli del triangolo BAE si calcolano applicando il teorea di Carnot a2 + c 2 b 2 β := acos 2 a c := c = β = b2 c 2 ε := acos 2 b + a 2 c ε =

2 Dell'appezzaento si conoscono tutti gli angoli perchè l'unico angolo ancante si ricava sapendo che la soa degli angoli interni di una figura piana è dato da tanti angoli piatti quanti sono i vertici eno 2 ( ω := 5 2 ( Θ + η + α + ν ω = La superficie del triangolo BAE vale: ab sin( α 1 := 2 1 = gli angoli alla base BE del triangolo BEV ottenuto prolungando i lati BC e ED valgono: γ := η β δ := ν ε γ = δ = Da qui in poi non ha più senso l'approssiazione del per le distanze in quanto si utilizza un valore di superficie con approssiazione del d² Il quadrilatero BCDE ha coe superficie: 2 := 1 1 = La superficie del triangolo BVE deve essere così calcolata (noto un lato e i due angoli adiacenti: T := c 2 sin( γ sin( δ 2 sin( γ + δ T = Per differenza il triangolo CVD ha coe superficie: 3 := T = e gli angoli alla base f valgono: φ := Θ ξ := ω φ = ξ = La superficie del triangolo CVD può essere espressa dalla forula che considera un lato e i due angoli adiacenti e, nota la superficie, si ricava con la forula inversa la lunghezza del lato: (i calcoli sono riportati con l'approssiazione del c e il valore dei risultati sarà riportato con l'approssiazione corretta f := 2 3 sin( φ + ξ sin( φ sin( ξ f =

3 Applicando il teorea dei seni al triangolo CVD si calcolano i lati: sin( ξ t:= f sin( φ + ξ t = l sin( φ f sin( φ + ξ := l = Applicando il teorea dei seni al triangolo BVE si calcolano i lati: h sin( δ c sin( δ + γ := h = sin( γ k:= c sin( δ + γ k = I lati del quadrilatero g=bc e d=de risultano essere: g:= h t g = d:= k l d = Risposte alla pria doanda: BC, CD e DE valgono rispettivaente g = f = d = Le coordinate al punto B devono essere ricavate risolvendo il problea di intersezione inversa per quanto riguarda le planietriche X e Y; per quanto riguarda la quota invece si deve utilizzare la procedura di livellazione trigonoetrica da un estreo in considerazione del fatto che i punti colliati sono assai distanti e quindi occorre tener conto della sfericità terrestre e della rifrazione atosferica. Parte planietrica: noti X P := Y P := Z P := X R := Y R := Z R := X := Y := Z := Gli angoli di direzione interessati valgono: θ BP := θ BR := θ B := in radianti: θ BP := θ BP θ B := θ B θ BR := θ BR Gli angoli che occorrono per l'intersezione inversa sono: σ := θ B θ BR σ ρ := θ BR θ BP ρ = =

4 Le distanze p=pr e q=r tra i trigonoetrici considerati valgono (qui ritorna l'approssiazione del : ( 2 + ( Y R Y P 2 p X R X P := p = ( 2 + ( Y Y R 2 q X X R := q = Gli aziut (PR e (R valgono: ( PR := atan ( X R X P ( Y R Y P ( ( + X X R ( R := atan R Y Y R di conseguenza: ( RP := ( PR + RP ( PR = τ := ( RP ( R τ = I valori di H e K dell'intersezione inversa sono dati da: τ + ρ σ H := ( + H = ( = ( = µ := atan p sin( σ q sin( ρ µ = Κ := atantan( H tan 4 µ Κ = Gli angoli incogniti dell'intersezione inversa risultano essere: ζ := H + Κ ζ ψ := H Κ ψ = = Le distanze s=bp, r=br, u=b sono ricavate applicando il teorea dei seni. s p sin( ρ + ζ sin( ρ r := s = p sin( ζ sin( ρ := r = u q sin( ψ + σ sin( σ := u = L'aziut (PB vale: ( PB := ( PR + ζ PB ( =

5 Le coordinate di B sono pertanto: X B X P + s sin( ( PB := X B = Y B Y P + s cos( ( PB := Y B = Attenzione, le coordinate del punto B se calcolate passando attraverso i punti R, cioè considerando le altre due vie, devono essere identiche in quanto il problea di intersezione inversa se la aette, aette una soluzione univoca. In nessun caso è possibile la copensazione di dette coordinate. Risoluzione della poligonale geoetricaente deterinata (non ha senso quindi parlare di copensazione planietrica delle coodinate Il valore dell'angolo ι risulta: dai valori dati θ BC := 0 ι := θ BC θ BP + 2 ( CB := ( DC + Θ CB Le coordinate dei vertici della poliganale risultano essere: X A X B + a sin( ( BA ( = := X A = Y A Y B + a cos( ( BA := Y A = X E X A + b sin( ( AE := X E = Y E Y A + b cos( ( AE := Y E = X D X E + d sin( ( ED := X D = Y D Y E + d cos( ( ED := Y D = X C X D + f sin( ( DC := X C = Y C Y D + f cos( ( DC := Y C = Per la verifica dei conti dovrà essere : X B X C + g sin( ( CB := X B = Y B Y C + g cos( ( CB θ BC = ι = Gli angoli aziut dei lati si calcolano con la regola di propagazione degli aziut: ( BC := ( PB + ι ( BA := ( BC + η ( AE := ( BA + α AE ( ED := ( AE + ν ED ( DC := ( ED + ω + DC ( BC = ( BA = ( = := Y B = ( = ( =

6 Attenzione, il problea sin qui risolto non ha nulla di topografico, se non le considerazioni sulle approssiazioni, essendo risolto con procedure prettaente geoetriche con univoca soluzione con copensabile. La parte altietrica riguarda pria la copensazione dei dislivelli ottenuti con le livellazioni di alta precisione geoetriche coposte dal ezzo. I dislivelli dati sono (si noti l'approssiazione del : AB := CD := BC := DE := EA := Calcolo dell'errore di chiusura sui dislivelli: := E = E AB + BC + CD + DE + EA Calcolo dell'errore lineare: e l E ( a + b + d + f + g := e l = Calcolo degli errori da attribuire ad ogni singolo tratto di livellazione pari alla lunghezza del relativo lato: e.ab := ae l e.ab = e.ea := be l e.ea = e.de := de l e.de = e.cd := fe l e.cd = e.bc := ge l e.bc = Ponendo ora il coefficiente di rifrazione atosferica ragionevolente uguale a 0.13 per l'italia settentrionale e il raggio della sfera locale ediaente pari a non essendo note le coordinate geografiche della località del rilievo si ha: K r := 0.13 R := Un pochino di attenzione occore nel constatare che l'altezza della ira è pari a 1.60 non specificando il terzo deciale l'ordine di approssiazione dei risultati relativi alle quote decade al c. Inutile quindi la terza cifra deciale relativa all'altezza struentale. l p := 1.60 H B := Conoscendo i valori delle letture zenitali prese in tabella e pari a: ψ BP := ψ BR := ψ B :=

7 in radianti: ψ BP := ψ BR := ψ B := I dislivelli calcolati appoggiandosi ai tre vertici trigonoetrici P, R, sono: 1 1 K r s2 BP := s + + H tan( ψ BP B l p BP = R 1 1 K r r2 BR := r + + H tan( ψ BR B l p BR = R 1 1 K r u2 B := u + + H tan( ψ B B l p B = R La quota di B può essere pertanto calcolata in 3 odi distinti e tutti egualente attendibili: Q B1 := Z P BP Q B2 := Z R BR Q B1 = Q B2 = Q B3 := Z B Il calcolo delle quote dei vertici della poligonale risulta essere: Q C := Q B + BC e.bc Q D := Q C + CD e.cd Q E := Q D + DE e.de Q A := Q E + EA e.ea Q C = Q D = Q E = per verifica: Q A = Q B Q A + AB e.ab := Q B = Relativaente alla divisione delle aree occorre dappria dividere l'area totale in parti proporzionali ai valori 2, 3, 5 assegnati dando per scontato che tutto l'appezzaento sia di ugual valore unitario. I II 2 Q B3 = La quota più probabile risulta pertanto la edia delle tre quote calcolate anche se l'approssiazione iposta la rende apparenteente ininfluente. Q B1 + Q B2 + Q B3 Q B := 3 Q B = := ( I = := 3 II = III := 5 III = Considerando le superfici coe disposte dal testo fornito e dando il noe z alla distanza da calcolare per il picchettaento del punto L posto sul lato ED, in direzione ED positiva, si ottiene:

8 z := 2 I b sin( ν Considerando il triangolo AED esso ha superficie uguale a: bd sin( ν AED := 2 ADG := I + II AED Del triangolo AED si calcolano il lato w=ad e l'angolo in D, c : z = 94.6 AED = La superficie da staccare al triangolo ADC per ottenere la coordinata x sul lato DC al fine di picchettare il secondo punto G posto in direzione DC positiva vale: ADG = w:= b 2 d 2 d2 + w 2 b 2 χ := acos 2 d w Del triangolo ADC si calcola l'angolo in D, υ υ := ω χ + 2 b d cos( ν e quindi la coordinata x vale: w = χ = υ = x := 2 ADG w sin( υ Per poter picchettare dallo stesso vertice D i due picchetti L e G si calcola la differenza alla lunghezza del lato ED e si fornisce la distanza DL che riferisce il picchetto L al vertice D y:= d z I picchetti dunque saranno posti l'uno a 94.6 da D verso E e l'altro a 37.5 da D verso C Piano quotato: x = 64.7 y = 54.2 scala 1:5000 P R G DG= D DL=54.2 L