Tutorato di Analisi 2 - AA 2014/15

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1 Tutorato di nalisi - /5 Emanuele Fabbiani marzo 5 Integrali tripli.. Integrali tripli. Risolvere i seguenti integrali tripli sull'insieme.. + dddz, (,, z R : + z } Il dominio di integrazione è la regione di spazio compresa tra il paraboloide di equazione z + e il piano z. al momento che gli estremi sull'asse z sono numerici ( z, si procede con l'integrazione per strati paralleli al piano. Immaginando di osservare la gura dall'alto, è facile notare come la sezione dell'insieme su un piano orizzontale parallelo a sia il cerchio descritto dall'equazione + z, con centro O (; e raggio z (a Insieme ( (b Insieme ( z Figura.: ominio di integrazione dell'integrale triplo e dell'integrale doppio. Si denisce quindi: z + z } (. E si trasforma l'integrale: ˆ ( + dddz + dd dz (. z

2 L'integrale doppio deve essere eseguito nelle variabili e su un cerchio di raggio z. al momento che quest'ultima non è una variabile di integrazione, può essere considerata alla stregua di una costante. Si passa in coordinate polari: ρ cos θ (. ρ sin θ dd ρdρdθ (. alla gura si deduce che le nuove variabili di integrazione sono comprese negli intervalli: Si può quindi riscrivere l'integrale: ˆ E risolvere: ( + dd dz z ˆ (ˆ (ˆ z ˆ (ˆ [ ρ ] z ρ z (.5 θ (.6 ˆ (ˆ (ˆ z ρ cos θ + ρ sin θ ρdρ dθ dz dθ dz ˆ (ˆ z dθ dz ρ cos θ + ρ sin θ ρdρ dθ dz (.7 ˆ (ˆ (ˆ z ˆ ( z ρ dρ dθ dz (.8 dz [ ] z dddz, (,, z R : z + + z } L'insieme di integrazione è la porzione di spazio dove tutte le coordinate sono positive, limitata superiormente dal piano + + z. Per capire la disposizione del piano nello spazio, il procedimento più semplice è trovare le intersezioni con i tre assi coordinati: + + z (; ; (.9 Poi si tratta solo di unire i puntini. + + z z + + z z (; ; (. (; ; ( (a Insieme ( (b Insieme ( Figura.: ominio di integrazione dell'integrale triplo e dell'integrale doppio.

3 Se si decidesse di integrare per strati orizzontali, il dominio dell'integrale doppio sarebbe un triangolo di dimensioni variabili in funzione di z. Più semplice risulta la soluzione dei li verticali: in questo caso il doppio integrale più esterno è eseguito su un insieme sso - ovvero la proiezione del volume sul piano, mentre l'integrale monodimensionale lungo l'asse z ha estremi variabili in funzione delle altre coordinate. In particolare, manipolando le condizioni che descrivono, si ottengono gli estremi della variabile z: z + + z z z z (. Per ricavare il dominio del doppio integrale esterno, invece, è suciente osservare che la proiezione di sul piano di equazione z è l'area del triangolo con vertici C (;, B (; e O (;. In alternativa è possibile considerare le disequazioni che descrivono sul piano, di equazione z. In entrambi i casi si ricavano gli intervalli di variazione delle due incognite: z + + z, Si può qui di procedere nella risoluzione: ˆ ˆ (ˆ ( ˆ dddz (ˆ dz +, (ˆ dd ( d d ( d d ˆ ( d [ (. dz dd (. ( dd ˆ (ˆ ˆ + ˆ d d [ ( + d ] ]. dddz, (,, z R : + z } L'insieme di integrazione è ancora un paraboloide, con asse parallelo all'asse. Il limite superiore è il piano, parallelo a z. Gli estremi di integrazione sull'asse sono numerici: d (.5 Lo strato bidimensionale che si ottiene sezionando il volume con un piano parallelo a z è una circonferenza di raggio variabile in funzione della coordinata : + z } + z } (.6

4 z (a Insieme ( (b Insieme ( Figura.: ominio di integrazione dell'integrale triplo e dell'integrale doppio. Il centro della circonferenza è l'origine e il raggio è. Si propende quindi per una risoluzione per strati: l'integrale singolo più esterno viene eettuato rispetto alla variabile e presenta estremi numerici, l'integrale doppio più interno, invece, interessa e z e ha per estremi funzioni di. ˆ ( ˆ ( dddz ddz d ddz d (.7 Per risolvere l'integrale doppio non è necessario alcun cambio di variabili. Per denizione, l'integrale doppio della costante su una supercie fornisce la misura dell'area della supercie stesse. L'area di un cerchio di raggio è: ( ddz (.8 Rimane ora da arontare solo l'integrale singolo: ˆ ( ddz d. ˆ d [ ] 6 (.9 + z dddz, (,, z R : } + z + z Il dominio di integrazione è compreso tra il cono di equazione z + ed il piano z +. a come è descritto l'insieme è facile capire che il metodo più semplice è l'integrazione per strati paralleli al piano. Gli estremi di z sono infatti numerici: z (. Sul singolo strato z, che interseca il volume ad altezza z, questa variabile diviene costante. Si può quindi descrivere il dominio di integrazione bidimensionale tramite le seguenti disequazioni: + z + z (. + z z ove e sono le variabili del piano cartesiano, mentre z può essere considerata alla stregua di un numero. Si riconosce quindi che le precedenti disequazioni identicano la parte di piano interna alla circonferenza di raggio z centrata nell'origine e al di sopra del graco della retta z.

5 (a Insieme ( (b Insieme ( z con z.6. Figura.: ominio di integrazione dell'integrale triplo e dell'integrale doppio. + z dddz ˆ ( z ˆ ( + z dd dz + z dd dz (. z questo punto rimane da risolvere il doppio integrale. Si procede per li verticali: la è limitata inferiormente dalla retta e superiormente dalla circonferenza, mentre la varia entro la lunghezza del raggio della circonferenza. Per trovare l'estremo in funzione di occorre manipolare l'equazione della circonferenza per portarla nella forma f (, z. a cui gli estremi: Si deve quindi risolvere: ˆ ( ˆ (ˆ z + z dd dz z + z ˆ ˆ 5. + z (ˆ z [ ] z d dz z (ˆ z ˆ + z d dz + z ˆ z 6 + z dz ˆ + z + z z (. z z (. z (.5 ˆ (ˆ z z d d dz (.6 (ˆ z + z z z + z d dz [ + z ] z dz ˆ z + z dz [ ( ln + z ] ln ( z + z + z dz + dddz, (,, z R : z + z } + La prima condizione del dominio di integrazione indica il semispazio con z positive. La seconda descrive la regione compresa tra due coni. Il primo, z + ha vertice nel punto V (; ; ed è più stretto perché il coeciente davanti alla radice ha valore assoluto maggiore (vale lo stesso ragionamento che viene presentato al liceo per le parabole. Il secondo, z + ha vertice V (; ; ed è 5

6 più largo. Il dominio di integrazione è la regione di spazio al di sopra del primo cono ma al di sotto del secondo (a Insieme (. (b Insieme ( in sezione. (c Insieme ( z con z. Figura.5: ominio di integrazione dell'integrale triplo e dell'integrale doppio. al momento che gli strati z ottenuti sezionando il volume con piani paralleli a sono corone circolari, si procede con l'integrazione per strati. Occorre innanzitutto determinare gli estremi numerici della variabile z. Quello inferiore è ovviamente z, mentre quello superiore è la quota alla quale i due coni si intersecano. Questa si ricava mettendo a sistema le due gure: z + z z + + z z z z + (.7 Quindi z varia nell'intervallo: z (.8 Si può quindi riscrivere l'integrale: ˆ + dddz ( z + dd dz (.9 L'insieme z è una corona circolare centrata nell'origine i cui raggi variano in funzione di z. Si pensa quindi di passare in coordinate polari. L'angolo θ deve spazzare tutto il piano: θ (. Ricordando che, sul piano cartesiano, la distanza di un generico punto (, dall'origine è ρ +, dalle condizioni del dominio si ricava immediatamente l'intervallo di variazione di ρ. + z z + z ρ z z ρ Si può quindi procedere alla risoluzione dell'integrale: ˆ ( ˆ ( z + dd dz polari ρ ρdρdθ dz ˆ (ˆ z z dθ dz ρ z ρ z (. ρ z (. z ˆ z dz ˆ (ˆ (ˆ z z dρ dθ [ z z ] 6 dz (. 6

7 6. z dddz, Si riscrive la prima condizione: (,, z R : } + + z z + + z + + z (. La disequazione rappresenta la regione compresa tra due sfere: la più grande ha raggio, mentre la più piccola ha raggio. Considerando anche la seconda condizione, si conclude che individua i punti compresi tra le due semisfere contenute nel semispazio con coordinata z positiva (a Insieme (. (b Insieme ( in sezione. Figura.6: ominio di integrazione dell'integrale triplo. ata la struttura dell'insieme pare appropriato passare alle coordinate sferiche: ρ sin φ cos θ ρ sin φ sin θ z ρ cos φ dddz ρ sin φ dρdφdθ (.5 Si rende necessario ricavare gli estremi di integrazione nelle nuove variabili: il raggio ρ è compreso tra i raggi delle due sfere che delimitano l'insieme; l'angolo θ descrive la longitudine spazzando il piano orizzontale : in questo caso deve coprire tutto il piano, quindi oscilla tra e ; l'angolo φ, invece, descrive la latitudine e si apre a partire dal semiasse positivo delle z: in questo caso, dovendo coprire solo la metà superiore della sfera, è limitato tra e. Riassumendo: ρ (.6 θ (.7 φ (.8 Si denisce l'insieme denito dalle precedenti disuguaglianze. Si può ora risolvere l'integrale: ˆ (ˆ (ˆ z dddz sferiche ρ cos φ ρ sin φdρdφdθ ρ cos φ sin φ dφ dθ dρ (.9 (ˆ (ˆ (ˆ (ˆ ρ (ˆ ( dρ dθ sin φ cos φ dφ ρ dρ dθ ˆ sin φ cos φ dφ 7

8 ˆ ρ dρ ˆ ˆ dθ! sin φ dφ ˆ ˆ ρ dρ ˆ! dθ sin φ dφ ρ 5 [ cos φ] ( + 7. sin dddz, z + z + n o p (,, z R : + + z L'insieme di integrazione è identico a quello descritto nell'esercizio precedente, tolta la restrizione sul z. valore di Questo signi ca che la regione da considerare è quella compresa tra le due sfere e non tra le due semisfere (a Insieme ( -. (b Insieme ( in sezione. Figura.7: ominio di integrazione dell'integrale triplo. alla gura si nota come l'insieme sia simmetrico rispetto a tutti i piani coordinati z., e al momento che la funzione integranda non è delle più semplici, si veri ca l'esistenza di qualche simmetria che possa sempli care il calcolo. Rispetto alla variabile : sin f (,, z ( z + 6 f (,, z 6 f (,, z z + z + z + ( sin (. Il solo fatto di aver notato che il primo termine della funzione è dispari potrebbe sempli care i calcoli. Si possono tuttavia ottenere risultati migliori passando a considerare la variabile sin ( f (,, z ( z + L'intera funzione è dispari rispetto a al piano. : sin z f (,, z z + (. e, come sottolineato in precedenza, l'insieme è simmetrico rispetto Senza ulteriori indugi - e senza eseguire calcoli - si conclude: 8. z + sin z + dddz z + + dddz, (,, z R : + + z 8 (.

9 Seguendo la traccia dei due esercizi precedenti, si conclude che l'insieme di integrazione è la regione di spazio delimitata tra le due sfere centrate nell'origine e di raggio e e limitata al semispazio dove la coordinata è negativa (a Insieme (. Figura.8: ominio di integrazione dell'integrale triplo. Si passa quindi in coordinate sferiche: ρ sin φ cos θ ρ sin φ sin θ z ρ cos φ dddz ρ sin φ dρdφdθ (. Il raggio ρ è compreso tra quelli delle due sfere; l'angolo θ deve spazzare i due quadranti del piano cartesiano che presentano negativa: è quindi compreso tra e ; l'angolo φ, invece, deve coprire sia le z positive che quelle negative: oscilla quindi tra e. Ricapitolando: ρ (. θ (.5 φ (.6 Si può ora risolvere l'integrale. Sia l'insieme di integrazione nelle coordinare sferiche: + dddz ρ sin φ cos θ + ρ sin φ sin θ ρ sin φ dρdφdθ (.7 ρ sin φ ( cos θ + sin θ dρdφdθ ρ sin φ dρdφdθ ˆ (ˆ (ˆ ρ sin φ dφ dθ dρ (ˆ (ˆ (ˆ ρ dρ dθ sin φ dφ La ricerca della primitiva delle prime due funzioni non crea particolari problemi, mentre quella della terza richiede alcuni passaggi: (ˆ (ˆ ρ dρ 5 ˆ (ˆ dθ sin φ dφ [ ρ 5 5 ] (ˆ sin φ ( cos φ dφ ˆ 5 sin φ sin φ cos φdφ (ˆ ˆ 5 sin φ dφ ( ˆ 5 + sin φ cos φ dφ ( [ cos ] 5 φ + ( 5 sin φ sin φ dφ (.8 sin φ cos φ dφ 5 9

10 9. dddz, (,, z R : z + } z 6 Una equazione lineare rappresenta sempre un piano nello spazio tridimensionale. i conseguenza, la condizione + z 6 descrive i punti che hanno ascissa negativa ma superiore a quella del piano + z 6. Le prime due condizioni impongono di considerare solo la regione di spazio dove le variabili e sono positive. Per disegnare l'insieme risulta ancora una volta consigliabile trovare i punti di intersezione del piano con gli assi per poi tracciare la supercie che li unisce. + z 6 (; ; (.9 + z 6 z (; ; (.5 + z 6 z ( 6; ; (.5 La scrittura dell'insieme fornita dall'esercizio contiene gli estremi di variazione dell'incognita in funzione delle altre due. Risulta quindi opportuno procedere con l'integrazione per li paralleli all'asse. (ˆ dddz d ddz (.5 + z 6 Il doppio integrale esterno deve essere eseguito sulla proiezione del volume sul piano z, di equazione. Sostituendo questa condizione nelle disequazioni che descrivono si ottiene l'insieme bidimensionale: z + z 6 } z + } z 6 (.5 z (a Insieme ( (b Insieme ( Figura.9: ominio di integrazione dell'integrale triplo e dell'integrale doppio. Per risolvere il doppio integrale si sceglie di procedere per li paralleli all'asse z, ovvero verticali, nella gura mostrata. Si rende quindi necessario scrivere gli estremi di z nella forma z f (: z z z + z 6 z (.5 + z z

11 alla gura si nota che: Si può quindi risolvere l'integrale: (ˆ d ddz + z 6 ˆ. [6z z z ] z ˆ z (.55 6 z ddz ˆ d ˆ d dddz, (ˆ 6 z dz d (.56 6 ( ( ( d ˆ [ 6 + ] d (,, z R : z ( + } 9 La prima condizione individua i punti la cui ascissa è positiva ma minore di quella del piano. La seconda ( descrive invece la regione compresa tra il pano, di equazione z e il paraboloide z 9 +. Questo ha come asse di simmetria l'asse z e come vertice il punto (; ; (a Insieme ( (b Insieme (, sezione (c Insieme (, vista dall'alto. (d Insieme ( Figura.: ominio di integrazione dell'integrale triplo e dell'integrale doppio.

12 al momento che l'insieme già fornisce l'intervallo di variazione di z in funzione di e, pare ragionevole impostare l'integrazione per li paralleli all'asse z: dddz (ˆ 9( + z ( + (.57 9 ( dz dd ( + dd (.58 9 L'insieme è la proiezione del volume sul piano, di equazione z. Si ricavano le disequazioni che descrivono l'insieme: ( + } z 9 z ( + } ( } (.6 Come si nota dalla gura, l'insieme è un ottavo di circonferenza. ata la particolare forma, per l'integrale doppio è opportuno passare alle coordinate polari, secondo la trasformazione: ρ cos θ ρ sin θ (.6 dd ρdρdθ Con i seguenti estremi: ρ (.6 θ (.6 Si procede quindi nella risoluzione dell'integrale doppio: ( ( + dd polari ρ cos θρ sin θ ( 9 9 ρ ρdρdθ (ˆ ˆ (ˆ ρ ( 9 ρ5 dρ ρ cos θ sin θ ( 9 ρ dθ ˆ cos θ sin θdθ (ˆ dρ ] [ρ ρ6 6 9 (8 8 [ cos θ] ρ cos θ sin θ ( 9 ρ dρdθ ( ρ (ˆ 9 ρ dρ cos θ sin θdθ ˆ 6 sin θdθ (8 8 ˆ (.6 sin θdθ. pplicazioni. La densità di massa di una semisfera di raggio a è µ (,, z k (a + + z con k >. eterminare la massa totale del solido. Per denizione, la massa di un solido è il triplo integrale della sua densità di massa su tutto il volume del solido. Si deve quindi risolvere: µ (,, z dddz k (a + + z dddz (.65 ato che l'insieme di integrazione è una semisfera, si passa alle coordinate sferiche: ρ sin φ cos θ ρ sin φ sin θ z ρ cos φ dddz ρ sin φ dρdφdθ (.66

13 Gli estremi delle nuove variabili sono: ρ a θ (.67 φ L'angolo θ deve infatti spazzare tutto il piano, mentre φ, per individuare una semisfera, si deve limitare a metà dello spazio. Sia l'insieme nelle nuove variabili; l'integrale da risolvere è: k (a + + z dddz (.68 k k ˆ a (ˆ (ˆ ( a ρ sin φ cos θ + ρ sin φ sin θ + ρ cos φ ρ sin φ dρdφdθ ( a ρ sin φ ( cos θ + sin θ + ρ cos φ ρ sin φ dρdφdθ ( a ρ sin φ + ρ cos φ ρ sin φ dρdφdθ k k ( a ρ ( sin φ + cos φ ρ sin φ dρdφdθ k (a ρ ρ sin φ dφ dθ dρ ( k ˆ a ] a ( k [a ρ ρ a k a k (a ρ ρ sin φ dρdφdθ (ˆ (ˆ aρ ρ dρ dθ sin φ dφ 5 6 ka. Calcolare il volume della regione interna alla sfera + + z 6 e posta al di sopra del paraboloide z +. Per denizione, il volume di un solido limitato alla regione è dato dalla formula: V dddz (.69 Si devono quindi individuare le disequazioni che descrivono. La supercie interna alla sfera è identicata da: + + z 6 (.7 Mentre i punti al di sopra del paraboloide sono quelli che rispettano: z + ( (a Insieme ( (b Insieme (, sezione. Figura.: ominio di integrazione dell'integrale triplo.

14 Si sceglie di integrare per li paralleli all'asse z. La variabile z è limitata superiormente dalla sfera e inferiormente dal paraboloide: + + z 6 z 6 z + z + + z 6 (.7 Si riscrive quindi l'integrale: dddz (ˆ 6 dz dd + 6 ( + dd (.7 L'insieme su cui deve essere eseguito il doppio integrale è la proiezione sul piano del volume : è quindi il cerchio racchiuso dalla circonferenza che sfera e paraboloide formano intersecandosi. Per scoprire il raggio occorre mettere a sistema le due superci, ricordando che il raggio di una circonferenza con centro sull'asse è ρ z 6 z + ρ + z 6 z ρ z + z 6 z ρ z z ρ (.7 ato che l'insieme di integrazione è un cerchio, si opera un cambio di variabili verso le coordinate polari: ρ cos θ ρ sin θ (.75 dd ρdρdθ ρ (.76 θ (.77 Sia l'insieme relativo alle nuove variabili. Si risolve l'integrale: 6 ( + ( dd polari 6 ρ ρ ρdρdθ (.78 ˆ ˆ (ˆ ρ 6 ρ ρ dρ ρ (ˆ 6 ρ ρ dθ dρ ρ 6 ρ ρ dρ ˆ [ (6 ρ ] [ ρ ρ 6 ρ dρ ] ˆ ρ dρ ˆ ( (ˆ dθ ρ ( 6 ρ dρ ( 6 6 ˆ ρ dρ