( ) = è continua in D, allora

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1 La stesura di queste dispense vanta il contributo dei miei carissimi amici Giulia, Matteo e Francesco che ringrazio P INTGRALI MULTIPLI n ia un dominio limitato dello spazio R, cioè un sottoinsieme costituito dall'unione di un n sottoinsieme aperto e limitato di R con la sua frontiera (un dominio limitato è quindi un n particolare compatto, cioè un chiuso e limitato, di R ) iremo che è misurabile se ad esso si può associare un numero reale positivo, mis, che ne rappresenta l'area Inoltre chiameremo diametro di l'estremo superiore delle distanze tra tutte le coppie di punti di, cioè diam sup dist P, Q P, Q Consideriamo una qualsiasi decomposizione di in r domini misurabili,,, r i ha quindi r e i j i j Ovviamente risulta mis + mis + + mis mis Chiameremo norma della decomposizione il massimo r diametro dei domini,,, r ia, inoltre, f ( P) f (,, n) una funzione reale di n variabili reali definita e continua in iccome f è continua, su ciascun dominio i esistono il minimo m i e il massimo M i assoluti di f ' quindi possibile definire, in funzione della decomposizione, i seguenti due numeri reali r ( ) e f ( ) M i mis( i) s m mis f i i i r i, detti, rispettivamente, somma integrale inferiore e somma integrale superiore della funzione f rispetto alla decomposizione iniziale i può dimostrare il seguente risultato: Teorema: e f P f ( ),, n è continua in, allora ( ) con norma s ε > δ > / < δ f f < ε ε In sostanza il teorema asserisce che, considerando decomposizioni di sempre più fitte, i s tendono ad avvicinarsi fino, al limite, a coincidere con un numero reale numeri f e f Tale numero si dice integrale multiplo di f sul dominio (che denomineremo dominio di integrazione) e si scriverà In particolare, se f (,, ) f ( P) dp o f (,, n) d dn R scriveremo f (, ) ε dd, mentre se R scriveremo z dddz Il primo lo chiameremo integrale doppio, il secondo integrale triplo i possono dimostrare le seguenti proprietà

2 Proprietà di linearità: iano f P f ( ) e g P g( ) misurabile n R, e,,, n c c R Allora si ha,, n continue su un dominio c f (,, n) + cg(,, n) d dn (,, ) + (,, ) Proprietà di additività: ia f P f ( ),, n siano, domini misurabili tali che c f d d c g d d n n n n continua su un dominio misurabile e Allora si ha f (,, n) d d n (,, ) + (,, ) f d d f d d n n n n Proprietà di monotonia: ia f P f ( ),, n continua su un dominio misurabile tale che f ( P), P Allora si ha f (,, n) d dn Area del dominio di integrazione: e allora si ha efinizione di dominio normale di dove α ( ) e ( ) [ a, b ] tali che α( ) < β( ), ( a, b) f P f n,, su un dominio misurabile d dn mis R rispetto all'esse : é un insieme del tipo {(, ) R / e α β} a b n R, e n R, e n R, β sono assegnate funzioni reali di una variabile reale continue nell'intervallo Le due funzioni possono coincidere agli estremi sempio La semicorona circolare in figura è un esempio di dominio normale rispetto all'asse In realtà conviene considerarlo come unione di tre α si esprime in domini normali, perché la funzione minorante tre modo diversi su tre intervalli diversi (due segmenti di retta e una semicirconferenza)

3 sempio efinizione di dominio normale di sempio isegnare il dominio L'intera corona circolare in figura è un esempio di dominio non normale rispetto all'asse Infatti ci sono dei segmenti disgiunti di rette verticali che sono contenuti nel dominio Ciò rende impossibile β considerare la funzione minorante α e quella maggiorante che soddisfano le condizioni poste nella definizione di dominio normale rispetto all'asse R rispetto all'esse : è un insieme del tipo {(, ) R / e γ δ} c d dove γ ( ) e δ ( ) sono assegnate funzioni reali di una variabile reale continue nell'intervallo [ c, d ] tali che γ( ) < δ( ), ( c, d) Le due funzioni possono coincidere agli estremi {, / e } R Le funzioni continue che delimitano la variabile sono α ( ) e β ( ) ristrette nell'intervallo [,] sse coincidono negli estremi di tale intervallo; in particolare la seconda funzione rappresenta la semicirconferenza superiore di raggio centrata nell'origine Quindi è il semicerchio delimitato dall'asse e dalla semicirconferenza speriore è un dominio normale rispetto all'asse sempio isegnare il dominio delimitato dalla retta di eq e dalla parabola di eq La parabola ha asse di simmetria parallelo all'asse, rivolge la concavità verso l'alto e ha il vertice nel punto b ac b V, (, ) Troviamo i punti di intersezione tra la a a retta e la parabola risolvendo il sistema 6 ( 6) I punti di intersezione sono P (, ) e P ( 6,6) Quindi il dominio è (, ) R / 6 e,

4 ed è normale rispetto all'asse Le funzioni continue che delimitano la variabile sono α ( ) e β ( ) ristrette nell'intervallo [,6 ] sse coincidono negli estremi di tale intervallo In realtà il dominio è normale anche rispetto all'asse In tal caso occorre invertire le espressioni α β, cioè esprimere in funzione della ; avremo delle funzioni e γ( ) α ( ) ± + e δ( ) β ( ) La funzione minorante γ ( ) si esprime in due modi diversi a seconda di dove si trova la variabile, più precisamente si ha γ ( ) [ ] [ ] + se, se,6 La funzione maggiorante è δ ( ) + + definita nell'intervallo [,6] Per tener conto del fatto che la funzione minorante si esprime in due modi diversi, si considera il dominio come l'unione di due domini e internamente disgiunti, rispettivamente definiti come segue: { R } {(, ) R / 6 e + + }, / e Formula per il calcolo di un integrale doppio di una funzione continua f (, ) dominio normale rispetto all'asse b β( ) f (, ) dd f (, ) d d α a rispetto a un Occorre, in sostanza, calcolare due integrali consecutivamente, il primo (quello dentro la parentesi graffa) rispetto alla variabile (quindi la è considerata costante) e il secondo rispetto alla variabile Il modo convenzionale di scrivere l'integrale doppio (per evitare di scrivere le parentesi graffe) è il seguente b β( ) (, ) (, ) f dd d f d () α a Formula per il calcolo di un integrale doppio di una funzione continua f (, ) dominio normale rispetto all'asse d δ( ) (, ) (, ) γ c rispetto a un f dd d f d () Occorre, in sostanza, calcolare due integrali consecutivamente, il primo rispetto alla variabile (quindi la è considerata costante) e il secondo rispetto alla variabile

5 sempio Calcolare l'integrale doppio sin + dd 6 dove R è il rettangolo [,] [, ] R Il dominio è normale sia rispetto all'asse che all'asse Integriamo considerando R normale rispetto all'asse : alla formula () si ha R R sin + dd 6 d sin + d 6 cos cos d sin sin sin sin ( ) cos + sin sempio 6 Calcolare l'integrale doppio ( + ) [,] [, ] R dd dove R è il rettangolo Il dominio è normale sia rispetto all'asse che all'asse Integriamo considerando R normale rispetto all'asse : alla formula () si ha ( + ) dd R R d + d (abbiamo messo fuori dall'integrale interno perché è costante rispetto alla variabile di integrazione ) + d ( + ) d ( + ) d + sempio Calcolare l'integrale doppio dd + R dove R è il rettangolo [,] [,] R Il dominio è normale sia rispetto all'asse che all'asse Integriamo considerando R normale rispetto all'asse : alla formula () si ha R dd + d d ln( ) + d ln ln { } ( ln 6 ln) d sempio 8 Calcolare l'integrale doppio A (,) e (,) T dd + dove T è il triangolo di vertici (,) O, Il dominio è normale sia rispetto all'asse che all'asse Integriamo considerando T normale rispetto all'asse L'equazione del segmento di retta O è Quindi

6 T alla formula () si ha (, ) R / e T dd d + d + ln + d { ln + ln + } d ln( + ) d ln( + ) d ln( ) ( ) ln( ) ( ) + d d + ( + ) ln( + ) d ( ) ln( ) d ( + ) ln( + ) ( ) ln( ) + ( ) ln( ) ( ) ln( ) + ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) sempio 9 Calcolare l'integrale doppio A (,) e ( 8,) dd dove T è il triangolo di vertici (,) O, Il dominio è l unione di due domini e internamente disgiunti e normali rispetto all'asse L'equazione del segmento di retta OA è, mentre l'equazione del segmento di retta A è Quindi { R } e, / e alla formula () e per la proprietà di additività si ha, R / 8 e dd dd dd d d d d d d d + 9d d 8 + 9d + 9d + 9d d ( + 9) ( + 9) 8 +

7 Il dominio è normale anche rispetto all asse ; infatti invertendo la funzione si ha, mentre invertendo la funzione si ha e quindi si può rappresentare analiticamente come (, ) R / e alla formula () si ha dd d d d d d Con lo stesso criterio di calcolo di un integrale doppio su un dominio normale rispetto ad uno degli f P f,, z su un dominio assi coordinati o è possibile integrare una funzione continua normale rispetto ad uno dei tre piani coordinati ( ) ; ( z ) ; ( z ) efinizione di dominio normale di R rispetto al piano : é un insieme del tipo {(,, ) R /(, ) e α(, ) β(, )} z z

8 ove è un dominio misurabile del piano e α (, ) e (, ) variabili reali continue in tali che α(, ) < β(, ), (, ) β sono assegnate funzioni reali di due Le due funzioni possono coincidere sulla frontiera di Analogamente si possono definire domini normali rispetto ai piani coordinati z e z sempio isegnare il dominio [,] [,] [,] i tratta di un parallelepipedo a base rettangolare sso è normale rispetto a tutti e tre i piani coordinati e lo si vuole considerare normale rispetto al piano, allora {(,, z) R /(, ) e z } dove [,] [,] Le funzioni che delimitano la variabile z sono le funzioni costanti α (, ) e β (, ) sempio isegnare il dominio : + + z i tratta di una sfera di raggio centrata nell origine ssa è normale rispetto a tutti e tre i piani coordinati e lo si vuole considerare normale rispetto al piano, allora dove {(,, ) R } /, e z z {, / } R + è il cerchio nel piano di raggio centrato nell origine Le α e funzioni che delimitano la variabile z sono le funzioni costanti (, ) (, ) β Formula per il calcolo di un integrale triplo di una funzione continua c rispetto a un dominio normale rispetto al piano β(, ) f (,, z) dddz f (,, z) dz dd α(, ) Occorre, in sostanza, calcolare due integrali consecutivamente, il primo semplice (quello dentro la parentesi graffa) rispetto alla variabile z (quindi la e la sono considerata costanti) e il secondo doppio rispetto alle variabili e con la tecnica vista nella lezione precedente Il modo convenzionale di scrivere l'integrale triplo (per evitare di scrivere le parentesi graffe) è il seguente β(, ) (,, ) (,, ) f z dddz dd f z dz () α(, ) Formule analoghe si hanno nel caso di integrali tripli su domini normali rispetto ai piani z o z sempio Calcolare l'integrale triplo dddz dove è il ( ) + + z+ parallelepipedo [,] [, ] [,]

9 Il dominio è normale rispetto a tutti i piani coordinati Integriamo considerando normale rispetto al piano : alla formula () si ha dddz ( + + z+ ) dd dz ( + + z+ ) dove [,] [, ] è un dominio nel piano normale sia rispetto all asse che all asse dd ( + + z + ) ( + + ) ( + + ) dd dd Calcoliamo ora i due integrali doppi usando la formula () della lezione precedente d d + + d d ln( ) + + d + + d ln( + + ) ln( ) d ln( + ) d ln( + 6) d+ ln( ) + + d ln( ) d( ) ln( + ) d( + ) ln( + 6) d( + 6) + ln( ) d( ) + + ( ) ln( ) d ( + ) ln( + ) + d ( 6) ln( 6) + + ( ) ln( ) d d+ ln ln ln ln + 6ln 6+ ln ln ln ln ln + 6ln 6+ ln ln ln + 6ln + ln ln ln ln + 6ln + 6ln + ln ln 6 ln ln + ln + ln ln sempio Calcolare l'integrale triplo dddz dove P è il tetraedro di P + + z+ vertici O (,,), A (,,), (,,) C (,,9) e Possiamo considerare il dominio di integrazione normale rispetto al piano La limitazione inferiore della variabile z è data proprio dal piano coordinato la cui equazione è z ; quindi si α, La limitazione superiore della variabile z è determinata dal piano passante per i ha punti AC (faccia obliqua del tetraedro) la cui equazione è z z z A A A z z, A A A z z 9 C A A C A cioè z 6 che esplicitata rispetto a z diventa 9 9 z 9

10 L equazione di questo piano può essere determinata più rapidamente essendo i punti appartenenti agli assi coordinati Necessariamente i punti del piano devono soddisfare l equazione z che, esplicitata rispetto a z, diventa z 9 Quindi la funzione che delimita superiormente 9 9 la variabile z è β (, ) 9 Il dominio di integrazione P si può definire come segue 9 9 P (,, z) R /(, ) T e z 9 ove T è il triangolo rettangolo di vertici O (,,), A (,,), (,,) che giace sul piano coordinato e si può considerare normale rispetto all asse L equazione della retta passante per i punti A e (ipotenusa del triangolo) è +, che, esplicitata rispetto a, diventa Il dominio T si può definire come segue T (, ) R / [, ] e alla formula () si ha P dddz ( + + z+ ) T dd dz ( + + z+ ) ( + + z+ ) dd T alla formula () si ha T 6 8 dd ( ) + + dd T d 6 8 d d ( + + ) d 6 8 d ( + + ) d ( 6 8 ) 9 9 d 6 d ( ) + d

11 ( 6 8) ( 6 8) ( + ) ( ) ( 6) ( 8) ( 6) ( 8) ( 9) + ( 66) + ( 9) ( ) sempio Calcolare l'integrale triplo O (,,), (,,) A, (,,) e (,,) + + z e dddz dove è il tetraedro di vertici C Possiamo considerare il dominio di integrazione normale rispetto al piano La limitazione inferiore della variabile z è data proprio dal piano coordinato la cui equazione è z ; quindi si α, La limitazione superiore della variabile z è determinata dal piano passante per i ha punti AC (faccia obliqua del tetraedro) la cui equazione è z + + che, esplicitata rispetto a z, diventa z Quindi la funzione che delimita superiormente la variabile z è β, Il dominio di integrazione si può definire come segue {(,, ) R /(, ) e } z T z ove T è il triangolo rettangolo di vertici O (,,), A (,,), (,,) che giace sul piano coordinato e si può considerare normale rispetto all asse L equazione della retta passante per i punti A e (ipotenusa del triangolo) è +, che, esplicitata rispetto a, diventa Il T, R /, e { } dominio T si può definire come segue [ ] alla formula () si ha

12 e + + z dddz 6 e dd T T T + + z dd e dz alla formula () si ha e + dd T dd e + + z 6 d e d + d e d d e 6 d e + e d + e 6 d e 6 d + e d 6 e e + e e 6 e 6 6 e e e 6 e + e e ( e ) 6 e 6 e e 6 e e + e 6 sempio 6 ato il quadrato Q [,] [,] si consideri la piramide di base Q e vertice V (,,) e sia la parte di tale piramide con le limitazioni e Calcolare l'integrale triplo z dddz è il quarto di piramide con base il quadrato di vertici O (,,), M (,,), N (,,), P (,,) e vertice V (,,) ividiamo in due domini (tetraedri),, entrambi normali rispetto al piano, tagliando la piramide con il piano perpendicolare al piano coordinato e passante per i punti ONP L'integrale sul tetraedro coincide con quello sul tetraedro per simmetria della funzione e si fanno variare le coordinate e nel triangolo di base T allora la variabile z sarà limitata inferiormente da T e superiormente dal piano passante per i punti MNV Quest'ultimo ha equazione z z z V V V z z, M V M V M V z z N V N V N V cioè + z + + che esplicitata rispetto a z diventa z Allora si ha

13 z dddz z dddz { } dove P (,, z) /(, ) T e z ( ) O (,,), M (,,), (,,) R e T è il triangolo rettangolo di vertici N che giace sul piano coordinato e si può considerare normale rispetto all asse L equazione della retta passante per i punti O e N (ipotenusa del triangolo) è Il dominio T si può definire come segue T (, ) R / [, ] e alla formula () si ha T ( ) dd z dz 8 ( ) dd T alla formula () si ha T z dd ( ) { } 8 d ( ) d ( ) 6 d ( ) 6 d 6 d ( ) ( ) 6 ( ) 6 d 6 d ( ) d( ) ( ) ( ) d ( ) 6 d( ) ( ) 6 ( ) ( ) 6 d d d d sempio ato il quadrato Q di vertici A (,,), (,,), C(,,) e (,,) si consideri la piramide di base Q e vertice V (,,) e sia P la parte di tale piramide con le limitazioni e Calcolare l'integrale triplo P è il tetraedro di vertici O (,,), A (,,), (,,) e V (,,) z dddz P Possiamo considerare il dominio di integrazione normale rispetto al piano La limitazione inferiore della variabile z è data proprio dal piano coordinato la cui equazione è α, La z ; quindi si ha limitazione superiore della variabile z è determinata dal piano passante per i punti AC (faccia obliqua del tetraedro) la cui equazione è z + + che, esplicitata rispetto a z, diventa z ( ) la variabile z è β (, ) ( ) Quindi la funzione che delimita superiormente Il dominio di integrazione P si può definire come segue {(,, ) R /(, ) e ( )} P z T z

14 ove T è il triangolo rettangolo di vertici O (,,), A (,,), (,,) che giace sul piano coordinato e si può considerare normale rispetto all asse L equazione della retta passante per i punti A e (ipotenusa del triangolo) è +, che, esplicitata rispetto a, diventa Il {, /, e } dominio T si può definire come segue [ ] alla formula () si ha P z dddz T dd alla formula () si ha 6 ( ) z dz T R T ( ) d ( ) d d d( ) z dd 6 ( ) dd T 6 6 d ( ) ( ) d 6 6 d ( ) d 6 6 ( ) 6 d ( ) 8 8 ( ) d efinizione: ia una lamina piana rappresentabile mediante un dominio misurabile di R e sia µ, la funzione continua su che ne rappresenta la densità superficiale Allora la massa della lamina è definita mediante l'integrale doppio massa dd µ (, ) In particolare, se è una lamina omogenea, cioè ( ) µ, µ constante, allora si ha µ µ massa dd area Come per gli integrali di funzioni di una variabile reale, anche gli integrali multipli possono essere semplificati mediante un cambiamento delle variabili di integrazione e con nuove variabili u e v L obiettivo è quello di semplificare sia la funzione da integrare sia il dominio di integrazione efinizione: trasformazione regolare di coordinate nel piano: Le funzioni ( u, v) ( u, v) e che mettono in relazione le coordinate con le nuove coordinate u, v rappresentano una trasformazione regolare di coordinate nel piano se

15 ) Le relazioni si possono invertire, cioè è possibile esprimere univocamente la u e la v in u u, v v, ; termini di e secondo le relazioni e ) Le funzioni ( u, v) e ( u, v) v sono continue; u v ) La matrice jacobiana u v con le rispettive derivate parziali prime rispetto ad u e ha determinante J( u, v ) non nullo Una trasformazione regolare di coordinate nel piano mette in corrispondenza biunivoca due domini misurabili ed del piano, il primo definito nel piano coordinato, il secondo nel piano coordinato uv L obiettivo è quello di trasformare un dominio di integrazione che rende complicata l applicazione della formula di integrazione con un altro dominio di integrazione secondo il quale la formula risulta più semplice Teorema: integrazione per sostituzione: ia f ( P) f (, ) R n e sia ( u, v) e ( u, v) continua nel dominio misurabile una trasformazione regolare di coordinate nel piano Allora, detto il dominio misurabile del piano uv ottenuto mediante la trasformazione regolare di coordinate, si ha f, dd f u, v, u, v J u, v dudv ( ) Il risultato si può estendere anche per gli integrali tripli (6) efinizione: trasformazione regolare di coordinate nello spazio: Le funzioni ( u, v, w) ( u, v, w) e z z( u, v, w), che mettono in relazione le coordinate z con le nuove coordinate u, v w rappresentano una trasformazione regolare di coordinate nello spazio se ) Le relazioni si possono invertire, cioè è possibile esprimere univocamente la u, la v e la w in u u,, z v v,, z w w,, z ; termini di, e z secondo le relazioni, e ) Le funzioni ( u, v, w), ( u, v, w) e z z( u, v, w) prime rispetto ad u, v e w sono continue; u v w ) La matrice jacobiana u v w z z z u v w con le rispettive derivate parziali ha determinante J( u, v, w ) non nullo Teorema: integrazione per sostituzione: ia f ( P) f (,, z) R e sia ( u, v, w), ( u, v, w) e z z( u, v, w) continua nel dominio misurabile una trasformazione regolare di coordinate nello spazio Allora, detto il dominio misurabile dello spazio uvw ottenuto mediante la trasformazione regolare di coordinate, si ha (,, ) ( (,, ), (,, ), (,, )) (,, ) f z dddz f u v w u v w z u v w J u v w dudvdw

16 sempio 6 opo aver verificato che il quadrilatero P di vertici A(,), (,), ( 6,) (,) è un parallelogramma, calcolare Calcoliamo le equazioni cartesiane dei lati del quadrilatero P retta A: ( + ) + 8 ; retta C: ( 6) + 6 ; retta C: + ; retta A: + P ( + ) ( ) dd + 9 C e I lati opposti del quadrilatero sono paralleli, quindi esso è un parallelogramma i potrebbe suddividere il dominio di integrazione in tre domini ciascuno normale rispetto all asse ed integrare rispetto a ciascuno di essi Tuttavia, dato che i lati di P sono a due a due paralleli, si può trasformare il dominio di integrazione P del piano coordinato in un nuovo dominio di integrazione del piano coordinato uv mediante una trasformazione regolare di coordinate del piano in modo tale che abbia, rispetto al piano uv, i lati paralleli agli assi coordinati Questo renderebbe più semplice l applicazione della formula di integrazione La trasformazione regolare conveniente in tal senso è u v + che invertita diventa u+ v u+ v 8 Grazie a questa trasformazione il dominio si è trasformato in un dominio che è un rettangolo con i lati paralleli agli assi coordinati uv Infatti le equazioni delle rette diventano, nel nuovo piano coordinato, Quindi retta A: u 8 ; retta C: v 6 ; retta C: u ; retta A: v {, / 8 e 6} u v R u v Calcoliamo il determinante della matrice jacobiana relativa al cambiamento di variabile J( u, v ) Allora dalla formula (6) si ha

17 P ( + ) ( ) v du dd (, ) J u v dd + 9 u u v dv 8 68 du du u 8 u + 9 settsinh 8 u du v 8 u settsinh( 6) settsinh sempio 6 Calcolare dd dove T è il triangolo di vertici ( ) T + + A (,), (,9), C (, ) Conviene trasformare il dominio T in un'altro triangolo con due lati paralleli ai nuovi assi coordinati Calcoliamo le equazioni cartesiane dei lati del triangolo T 8 retta A: ( ) ; retta C: ( ) + ; retta AC: ( ) + 6 Consideriamo la seguente trasformazione regolare che trasforma il lati A e AC in lati paralleli agli assi u e v u+ v u che invertita diventa v + u+ v In particolare la seconda equazione colloca il triangolo trasformato interamente nel primo,, C, quadrante I vertici del triangolo trasformato sono vertici A,, Le equazioni cartesiane dei lati del triangolo T diventano retta A : u ; retta A C : v retta C : v u+ Quindi ( u, v) R / u e v u Calcoliamo il determinante della matrice jacobiana relativa al cambiamento di variabile J( u, v ) 9 Allora dalla formula (6) si ha

18 T ( u+ v) dd + + ( u+ v) ( u+ v) + + u u+ v dudv du dv 9 u+ v+ u u d( u+ v+ ) du ( u v)( u v ) dv ( ) 9 du u v u u du ( u v)( u v ) ( u v ) dv u du 68 u 6 u ( u v ) dv ( u+ ) u du 68 u 6 u ( u v ) ( u+ ) du 68 u 6 u 6 u 96 + ( u+ ) ( u+ ) du 68 u 6 u 6 u 96 + ( u+ ) 68 u 6 u du u du 68 u d 6 u 96 ( u ) ln 6 98 u + 68 u 6 u + 6 u du+ 96 ln 6 u + ln + 98 ln + ln + ln ( ) ln + ln ( ) 8 ln ln ( ) du 96 + ln + 96 ln + 98 ln ( ) 96 ( u ) ln ( ) 96 Le trasformazioni regolari di coordinate nel piano sono generalmente di due tipi: lineari e polari Le trasformazioni lineari, come visto nella lezione precedente, si utilizzano soprattutto quando il dominio di integrazione è un poligono (per esempio un triangolo o un quadrilatero) che non ha nessun lato parallelo ad uno dei due assi coordinati In tal caso il poligono viene trasformato in un nuovo poligono che, rispetto al nuovo sistema di riferimento, ha almeno due lati paralleli agli assi coordinati

19 Ovviamente se il poligono di partenza è un parallelogramma allora è possibile considerare una trasformazione tale che tutti e quattro i suoi lati siano, a due a due, paralleli ai nuovi assi coordinati Questo ovviamente renderà più semplice l'applicazione della formula di riduzione per il calcolo β delimitanti il nuovo dominio risulteranno degli integrali doppi in quanto le funzioni α e costanti La trasformazione polare (o in coordinate polari) si utilizza quando la frontiera del dominio di integrazione è composta da una o più circonferenze o elissi o da tratti di esse ssa è definita dal sistema ρ cosϑ ρ sinϑ con i parametri ρ e ϑ variabili in opportuni intervalli Questa relazione fornisce le coordinate di un punto P sulla circonferenza centrata nell'origine e raggio ρ, detto raggio vettore Il parametro ϑ è detto anomalia del punto P ed è l'angolo formato dal semiasse polare (coincidente con il semiasse positivo delle ascisse) e il raggio che passa per il punto P Il determinate della matrice jacobiana ρ ϑ cosϑ ρ sinϑ sinϑ ρ cosϑ ρ ϑ è J( ρ, ϑ) ρ sempio eterminare il punto della circonferenza di centro l'origine, raggio ρ e anomalia t 6 P ρ cosϑ P cos i ha P( P, P) con 6 P ρ sinϑ P sin 6 P sempio eterminare le coordinate polari del punto (,) Le coordinate polari di un punto sono rispettivamente il raggio della circonferenza centrata nell'origine e passante per il punto P e l'anomalia del punto stesso Il raggio è allora dato dalla formula ρ + + Per determinare l'anomalia, utilizzando l'equazione P P parametrica della circonferenza, otteniamo cosϑ sinϑ alla prima relazione, tenendo conto del fatto che il punto P si trova nel secondo quadrante e che quindi la sua anomalia ϑ è compresa tra e, possiamo ricavare la formula per calcolare l'anomalia Infatti abbiamo cosϑ P ϑ P arccos sempio ia : + l'eq cartesiana di una ellisse eterminare l'anomalia eccentrica 6 9 del punto P, nel primo quadrante, di intersezione tra e la retta di eq Consideriamo l'eq parametrica dell'ellisse

20 cosϑ sinϑ [,] ϑ Il parametro ϑ, detto anomalia eccentrica del punto P sull'ellisse, è l'angolo formato dal semiasse positivo delle e il raggio della circonferenza di raggio che passa per il punto della circonferenza avente la stessa ascissa di P Troviamo prima le coordinate cartesiane del punto P mettendo a sistema le equazioni cartesiane dell'ellisse e della retta Per trovare ϑ P, dalla prima eq P i può utilizzare anche la seconda eq cosϑ abbiamo cosϑ P P ϑ P sinϑ, da cui arccos sinϑ P ϑ P arcsin sempio Calcolare l'integrale doppio dd dove è definito dalle disuguaglianze ( + ), 9 + e Le equazioni parametriche delle circonferenze di eq + sono rispettivamente cosϑ sinϑ e cosϑ sinϑ + 9 e Conviene, quindi, considerare la trasformazione in coordinate polari ρ cosϑ ρ sinϑ ρ con la seguente limitazione sul raggio vettore [,] dell'anomalia ϑ [ ϑ, ϑ ] di eq min ma e Per determinate le limitazioni, troviamo i punti di intersezione tra la circonferenza minore e le rette all'eq cosϑ, troviamo cosϑ min ϑ min 6 Analogamente

21 all'eq cosϑ, troviamo cosϑ ma ϑ ma La trasformazione in coordinate polari è allora la seguente ρ cosϑ ρ sinϑ ( ρ ϑ) [ ],,, 6 Quindi il dominio di integrazione iniziale si è trasformato in un rettangolo [ ] nuovo piano coordinato (polare) ρϑ Calcoliamo il determinante della matrice jacobiana relativa al cambiamento di variabile Allora l'integrale doppio diventa dd dρdϑ d dϑ ( ) ρ + 6 J ( ρ, ϑ) cosϑ ρ sinϑ ρ sinϑ ρ cosϑ ρ ρ ρ ,, 6 del sempio Calcolare l'integrale doppio,, + 6 e dd dove + + è definito dalle disuguaglianze L'equazione parametrica della circonferenza di eq cartesiana + 6 è cosϑ sinϑ Conviene, quindi, considerare la trasformazione in coordinate polari ρ cosϑ ρ sinϑ con la seguente limitazione sul raggio vettore ρ [,] Per determinate la limitazione superiore dell'anomalia ϑ [, ϑ ], basta ricordare che il coefficiente angolare della retta coincide ma con la tangente dell'angolo ϑ ma, cioè tanϑ ma da cui ricaviamo ϑ ma arctan (questo ragionamento funziona solo per i punti della circonferenza ma non per i punti dell'ellisse Inoltre se la retta fosse stata e quindi il punto P si fosse trovato nel quadrante allora dalla relazione tan ma ϑma arctan + ); La trasformazione in coordinate polari è allora la seguente ϑ segue

22 ρ cosϑ ρ sinϑ ( ρ, ϑ) [,] [,arctan ] Quindi il dominio di integrazione iniziale si è trasformato in un rettangolo,,arctan del nuovo piano coordinato (polare) ρϑ [ ] [ ] Il determinante della matrice jacobiana relativa al cambiamento di variabile è Allora l'integrale doppio diventa J ( ρ, ϑ) arctan dd ρdρdϑ d ϑ + + ρ Ponendo ρ u si ha cosϑ ρ sinϑ ρ sinϑ ρ cosϑ ρ ρ dρ arctan dρ + + ρ + ρ u arctan du arctan u u du + u + + u u u 8 ( arctan ) + u ln( + u) 8 arctan + ln ( arctan ) ln sempio 6 Calcolare l'integrale doppio + e + 9 dd dove è definito dalle disuguaglianze + Troviamo i punti di intersezione tra la circonferenza retta e la , 9, I punti di intersezione sono A, e, cosϑ L'equazione parametrica della circonferenza è Troviamo i valori delle anomalie dei sinϑ punti A e

23 Per il punto A si ha cosϑ arccos A ϑa Per il punto si ha cosϑ ϑ arccos Consideriamo la trasformazione in coordinate polari ρ cosϑ ρ sinϑ con la seguente limitazione sull'anomalia ϑ [ ϑa, ϑ] ρ [ ρ, min ] La limitazione del raggio vettore è Per ottenere la limitazione inferiore, basta considerare l'equazione polare della retta + 9, cioè l'eq della retta in coordinate polari ottenuta esplicitando il raggio vettore ρ in funzione dell'anomalia ϑ i ha ρ cosϑ ρ sinϑ 9 + ρ ρ( ϑ) La trasformazione in coordinate polari è allora la seguente ρ cosϑ ρ sinϑ dove 9 9 cosϑ+ sinϑ ( ρ, ϑ) ρ, ϑ R / ϑa ϑ ϑ e ρ cosϑ+ sinϑ Il determinante della matrice jacobiana relativa al cambiamento di variabile è J( ρ, ϑ) ρ Allora l'integrale doppio diventa ϑ dd ρdρdϑ dϑ ρ A ( + ϑ ρ ϑ ) ϑ ϑ A ϑ dρ dϑ ρ ρ ϑ A ρ( ϑ) ρ( ϑ) cosϑ+ sinϑ dϑ [ ] sin [ cos ] 9 ϑ ϑ ϑ ϑ A A ϑa 9 ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ A dϑ arccos arccos arccos arccos 9 9 sempio Calcolare l'integrale doppio dd essendo il semicerchio di ordinate +, avente centro in (, ) e raggio iccome il centro della circonferenza non è l'origine ma il punto (, ) si può pensare di considerare la trasformazione polare In tal caso si ha + ρ cosϑ ρ sinϑ ( ρ, ϑ) [,] [, ]

24 dd + ( + cos ) ρ ϑ ρ dϑ dρ + ρ cosϑ+ ρ Notiamo che mentre il dominio si è semplificato, la funzione da integrare no Proviamo allora con la seguente trasformazione polare ρ cosϑ ρ sinϑ,, ma, ( ρ ϑ) [ ρ ] Per ottenere la limitazione superiore del raggio vettore, basta considerare l'equazione polare della circonferenza +, cioè l'eq della circonferenza in coordinate polari ottenuta esplicitando il raggio vettore ρ in funzione dell'anomalia ϑ i ha ρ cosϑ + ρ sin ϑ ρ ρ( ϑ) cos Il determinante della matrice jacobiana relativa al cambiamento di variabile è J( ρ, ϑ) ρ Allora l'integrale doppio diventa dd + cos ϑ ρ cosϑ d d cos d ρ sin ϑ ϑ ρ ϑ ϑ ( + cos( ϑ) ) dϑ ϑ + ϑ sempio 8 ia α l'angolo convesso del piano avente come lati la semiretta r di equazione con e la semiretta s di equazione con Calcolare dd, dove è il compatto del piano i cui punti soddisfano la disequazione esternamente all'angolo α + e giacciono non 6 Troviamo il punto di intersezione tra l'ellisse + e la retta 6 con Troviamo il punto di intersezione tra l'ellisse e la retta 6 A (,) con (, ) Troviamo le anomalie eccentriche dei punti A e L'equazione parametrica dell'ellisse è cosϑ sinϑ

25 Abbiamo A cosϑ cosϑ A A cosϑ A ϑ A 6 Abbiamo cosϑ cosϑ cosϑ ϑ Conviene considerare allora la trasformazione in coordinate polari con ρ [,] e ϑ, 6 ρ cosϑ ρ sinϑ Il determinante della matrice jacobiana relativa al cambiamento di variabile è J( ρ ϑ) Allora l'integrale doppio diventa dd 8 ρ cos ϑ sin ϑdρdϑ 8 cos ϑ sin ϑ dϑ ρ dρ 6 6 ρ 8 cos ϑ sin ϑ dϑ ρ dρ 8 cos ϑ sin ϑ dϑ 6 6 cos ϑ sin ϑ dϑ 6 6 6, ρ alla formula di duplicazione, abbiamo sin ϑ cos ϑ sin ϑ Quindi cos ( ϑ) ( ϑ) sin cos ϑ sin ϑ 8 ( cos( ϑ) ) dϑ 6 sin ϑ sin sin 6 sempio 9 ia una lamina circolare omogenea di raggio R Calcolare il momento d'inerzia rispetto al centro Il momento d'inerzia di una lamina piana circolare di raggio R è dato dall'integrale doppio dove µ (, ) è la densità e d(, ) dal centro, (, ) (, ) I µ d dd + è la distanza di un generico punto P della lamina Poiché la lamina è omogenea, cioè la densità è costante, abbiamo µ ( + ) Con la trasformazione in coordinate polari si ottiene R R I µ + dd µ dρ ρ dϑ µ I dd

26 Posto M µ R la massa della lamina, si ha infine I MR Le trasformazioni regolari di coordinate nello spazio sono generalmente di due tipi: lineari e polari Le trasformazioni lineari si utilizzano soprattutto quando il dominio di integrazione è un poliedro (per esempio un parallelepipedo o una piramide) che non ha nessuna faccia parallela ad uno dei tre piani coordinati In tal caso il poligono viene trasformato in un nuovo poliedro che, rispetto al nuovo sistema di riferimento, ha almeno tre facce parallele ai piani coordinati In particolare se il poligono di partenza è un parallelepipedo allora è possibile considerare una trasformazione tale che tutti e sei le sue facce siano, a due a due, parallele ai nuovi piani coordinati Questo ovviamente renderà più semplice l'applicazione della formula di riduzione per il calcolo, β, delimitanti il nuovo dominio degli integrali tripli in quanto le funzioni α e risulteranno costanti sempio 8 Calcolare l'integrale triplo A (,,), (,,), C (,,), (,,) dddz dove P è la piramide di vertici P ( + + z ) Nessuna faccia della piramide è parallela ad un piano coordinato possibile trasformare tre delle quattro facce della piramide in modo tale da renderle parallele al nuovo sistema di riferimento uvw Calcoliamo l equazione cartesiana della faccia AC: z z z 8 + z + z z + z 9 Calcoliamo l equazione cartesiana della faccia A: z z z 6 + z + z z 9 + z Calcoliamo l equazione cartesiana della faccia AC:

27 z z ( ) z z ( ) z + + z + + z Consideriamo ora una trasformazione lineare di coordinate che associa ai piani AC, AC e A del riferimento z altrettanti piani A C, A C e A paralleli ai piani uv, uw e vw del nuovo riferimento uvw: Con questa trasformazione u + z v 9 + z w + + z al piano AC si è associato il piano A C di eq u 9 parallelo al piano coordinato vw; al piano A si è associato il piano A di eq v parallelo al piano coordinato uw; al piano AC si è associato il piano A C di eq w parallelo al piano coordinato uv La trasformazione lineare inversa (che si ottiene invertendo la matrice dei coefficienti), necessaria per il calcolo del determinate jacobiano, è Il determinate della matrice jacobiana è u v w J( u, v, w ) u v w z z z u v w u v w u v + w z u + v + w 8 Calcoliamo l eq del piano passante per i punti C i ha ( 9,, ), ( 9,, ) ( 9,, ), quindi l equazione cartesiana della faccia C nel riferimento uvw è: C e u v w u 9 v w 9 u 9 v w

28 ( w ) ( u ) ( v ) ( w ) ( u ) ( v ) 9 + u+ v w+ Al punto A resta associato i punto A ( 9,,) isegniamo la figura w '(9,,) C'(9,-,) A'(9,,) v '(9,,) A''(9,,) u Il dominio di integrazione diventa L'insieme u+ v ( u, v, w) R /( u, v) T e w dove T u, v R /9 u 9 e u 6 v dove v u 6 è la retta passante per i punti ' e C' Calcoliamo l'integrale { } dddz u+ v dw dudv P + + z T ( u v+ w) ( u v+ w) dudv 6 T u+ v 9 ( u v ) ( ) + dudv du ( u v ) ( ) dv T + 9 u 6 ( u v+ ) 9 9 u+ 9 u du ( ) v du 9 9 ( ) u ( u ) ( 9 u) 9 + du ( 9 u) du ( u+ ) ( ) + 9 8

29 La trasformazione polare nello spazio (o in coordinate sferiche) si utilizza quando la frontiera del dominio di integrazione è composta da una o più sfere o ellissoidi o da tratti di esse ssa è definita dal sistema ρ cosϕ sinϑ ρ sinϕ sinϑ z ρ cosϑ con i parametri ρ, ϕ e ϑ variabili in opportuni intervalli Questa relazione fornisce le coordinate di un punto P sulla sfera centrata nell'origine e raggio ρ, detto raggio vettore sso si esprime mediante le coordinate cartesiane del punto P nel modo seguente ρ + + z I parametri ϕ e ϑ sono rispettivamente l angolo formato tra il semiasse positivo delle e il piano passante per l asse z e il punto P, e l angolo formato tra il semiasse positivo delle z e il raggio della sfera passante per il punto P ssi variano rispettando le limitazioni ϕ e ϑ e si fanno variare i parametri ρ e ϑ, mantenendo costante il parametro ϕ, si descrive un semipiano, mentre se si fanno variare i parametri ρ e ϕ, mantenendo costante il parametro ϑ, si descrive la superficie laterale di un cono Il determinate della matrice jacobiana della trasformazione in coordinate sferiche vale ρ ϕ ϑ cosϕ sinϑ ρ sinϕ sinϑ ρ cosϕ cosϑ J( ρ, ϕ, ϑ ) sinϕ sinϑ ρ cosϕ sinϑ ρ sinϕ cosϑ ρ ϕ ϑ cosϑ ρ sinϑ z z z ρ ϕ ϑ cosϕ sinϑ sinϕ sinϑ cosϕ cosϑ sin sin cos sin sin cos ρ ϕ ϑ ϕ ϑ ϕ ϑ cosϑ sinϑ ( sin cos sin sin sin cos sin cos cos sin sin sin ) ρ ϑ ϕ ϑ ϑ ϕ ϑ ϑ ϕ ϑ ϑ ϕ ϑ ρ sinϑ Ricordiamo che nella formula del calcolo integrale con il cambiamento di variabile, bisogna considerare il determinante jacobiano in valore assoluto

30 sempio 8 Calcolare l'integrale doppio dddz dove è definito dalle ( + + z ) / disuguaglianze z Conviene considerare la trasformazione polare (o in coordinate sferiche) ρ cosϕ sinϑ ρ sinϕ sinϑ z ρ cosϑ ( ρ, ϕ, ϑ) [,] [, ] [, ] Il valore assoluto del determinate della matrice jacobiana della trasformazione in coordinate ρ sinϑ ρ sinϑ sferiche è J( ρ, ϕ, ϑ ) Allora l'integrale triplo diventa dddz ( ) / + + z ρ sinϑdρdϕdϑ ( ρ ) / dϕ sinϑdϑ dρ ρ cos ϑ ln ln [ ] sempio 8 Calcolare l'integrale triplo disuguaglianze + + z e z zdddz dove è definito dalle + + z Il dominio di integrazione è la regione dello spazio delimitata dalla sfera di equazione + + z e dal piano di eq z i tratta di un dominio normale rispetto al piano coordinato definito come segue: { } z z + + z,, R /, C e dove C è il cerchio la cui frontiera è la circonferenza che si ottiene dall intersezione tra la sfera + + z e il piano z che ha, quindi, equazione + + cioè + Risolviamo l integrale senza cambiare le variabili i ha zdddz + + z C dd zdz + + z C dd + + z ( ) dd dd ( + + ) dd ( ) + + C Passando a coordinate polari nel piano abbiamo C C mis C + + dd ( ρ + ) dϑρ( ρ + ) dρ ( ) + Proviamo a risolvere l integrale mediante il cambio di variabili a coordinate sferiche i ha C

31 ρ cosϕ sinϑ ρ sinϕ sinϑ z ρ cosϑ ( ρ, ϕ, ϑ) [ ρ, ] [, ] [, ϑ ] Il valore assoluto del determinate della matrice jacobiana della trasformazione in coordinate ρ sinϑ ρ sinϑ sferiche è J( ρ, ϕ, ϑ ) Per calcolare ϑ ma sfruttiamo la terza eq in coordinate sferiche con ρ e z ; si ha min cosϑ ma cosϑ ma ϑ ma 6 Per ottenere la limitazione inferiore ρ min del raggio vettore, basta considerare l'equazione polare del piano z, cioè l'eq del piano in coordinate polari ottenuta esplicitando il raggio vettore ρ in funzione del parametroϑ i ha ma Allora l'integrale triplo diventa ρ cosϑ ρ ρ( ϑ) cosϑ zdddz + + z 6 d cos sin d d ϕ ϑ ϑ ϑ ρ ρ cosϑ 6 ρ cosϑ sinϑdϑ sin ϑ cosϑ sinϑdϑ cosϑ sinϑdϑ 6 cos ϑ cos ϑ 8 sin cos ( ) cosϑ i è visto, in precedenza, come a volte sia opportuno considerare una trasformazione di variabili in coordinate polari (nel piano o nello spazio) di tipo generalizzato Questo accade, per esempio, nel caso in cui il dominio di integrazione sia definito da una più circonferenze (o tratti di esse) non centrate nell origine, oppure da una o più ellissi (o tratti di esse) centrate o meno nell origine Ricordiamo, inoltre, che la scelta della trasformazione di coordinate va fatta anche considerando l espressione della funzione da integrare In questa lezione studieremo altri casi di questo tipo sempio 9 Calcolare l'integrale doppio + 6 dd dove è definito dalle disuguaglianza Ricordiamo che una equazione del tipo piano Più precisamente se b se b se b a b c d e f rappresenta una conica nel ac> è una iperbole; ac è una parabola; ac< è una ellisse In particolare se b e a c è una circonferenza

32 Le coniche hanno gli assi di simmetria paralleli agli assi coordinati solo se b In tal caso: Quindi l eq se a e c sono concordi è una iperbole; se a e c sono uguali è una circonferenza; se a e c sono discordi è una iperbole; se a e c sono opposti è una iperbole equilatera + 6 rappresenta una circonferenza non centrata nell origine Possiamo scrivere l equazione in modo equivalente ( ) ( ) integrazione è un cerchio di raggio centrato nel punto (, ) e utilizzassimo la trasformazione in coordinate polari ρ cosϑ ρ sinϑ + Quindi il dominio di dovremmo considerare l equazione polare della circonferenza per delimitare il raggio vettore ρ complicando, a causa dell'espressione della funzione integranda, notevolmente i calcoli Conviene, in questo caso utilizzare una trasformazione in coordinate polari traslata, che tiene conto cioè del decentramento della circonferenza nel punto (, ) + ρ cosϑ + ρ sinϑ ( ρ, ϑ) [,] [, ] Possiamo notare che il cerchio si è trasformato nel rettangolo Inoltre l espressione della funzione integranda non complica eccessivamente il calcolo dell integrale doppio Abbiamo infatti dd ρ( + ρ cosϑ)( + ρ sinϑ) dρdϑ d ( 6 sin cos cos sin ) ϑ ρ+ ρ ϑ+ ρ ϑ+ ρ ϑ ϑ dρ ρ dϑ ρ + ρ sinϑ+ ρ cosϑ+ cosϑ sinϑ 6 + sinϑ+ cosϑ+ cosϑ sinϑ dϑ dϑ dϑ Abbiamo sfruttato il fatto che sempio 9 Calcolare ( + ) soddisfano la disequazione a+ a+ n m cos ϑ sinϑdϑ cosϑ sin ϑdϑ a a dd, dove è il compatto del piano i cui punti +, e 6 6 Troviamo il punto di intersezione tra l'ellisse + e la retta con 6 6

33 , Troviamo l anomalia eccentrica del punto L'equazione parametrica dell'ellisse è Abbiamo 6cosϑ 6cosϑ 6cosϑ sinϑ cosϑ i possono utilizzare, in modo equivalente, anche le seguenti formule: da da sinϑ tan ϑ sinϑ tanϑ sinϑ tanϑ ϑ arccos ϑ arcsin ; ϑ arctan Conviene considerare allora la trasformazione in coordinate polari generalizzate 6ρ cosϑ ρ sinϑ ( ρ ϑ) [ ] [ ϑ ],,, Il determinante della matrice jacobiana relativa al cambiamento di variabile è ρ ϑ 6cosϑ 6ρ sinϑ sinϑ ρ cosϑ è J( ρ, ϑ) ρ ρ ϑ Allora l'integrale doppio diventa + dd ρ cosϑ+ ρsinϑ ρdρdϑ 88ρ dρ ( cosϑ+ sinϑ) dϑ 88 ρ ϑ ϑ ϑ [ sin cos ] 96( sinϑ cosϑ ) + sempio 9 Calcolare + ϑ dd, dove è il compatto del piano i cui punti soddisfano la disequazione + 6, e Il dominio di integrazione è la regione del primo quadrante compresa tra le due ellissi di equazione cartesiana + e + 6 Utilizziamo la seguente trasformazione in coordinate polari generalizzate ρ cosϑ ρ sinϑ,,, ( ρ ϑ) [ ]

34 Il determinante della matrice jacobiana relativa al cambiamento di variabile è ρ ϑ cosϑ ρ sinϑ sinϑ ρ cosϑ è J( ρ, ϑ) ρ ρ ϑ Allora l'integrale doppio diventa ρ sin ϑ dd ρdρdϑ + ρdρ sin ϑdϑ ρ cos ϑ+ ρ sin ϑ cosϑ sin ϑ ρ dϑ ϑ sempio 9 Calcolare disequazione dd 89, dove è il compatto del piano i cui punti soddisfano la + + e 8 La conica è una ellisse con gli assi paralleli agli assi coordinati L'eq può essere scritta in modo equivalente ( ) + ( 8) ovvero ( ) ( ) risulta decentrata nel punto + ; quindi l'ellissi, ed ha semiassi rispettivamente e Troviamo i punti di intersezione A e tra la retta 8 e l'ellisse mettendo a sistema le eq ± + 6 A, A 8 A 8 e A, e, Troviamo le anomalie eccentriche dei punti A e L'equazione parametrica dell'ellisse è + cosϑ + sinϑ Abbiamo A + sinϑa + sinϑ A sinϑ A ϑ A arcsin

35 A + cosϑa + cosϑ A Quindi avremo ϑ + arcsin cosϑ A ϑ A arccos ( + ) e sinϑ sin ϑ sinϑ A A cosϑ cos ϑa+ cosϑa Consideriamo la trasformazione in coordinate polari generalizzate e traslate + ρ cosϑ + ρ sinϑ con ( ρ, ϑ) [, ] [ ϑ, ϑ ] Il determinante della matrice jacobiana relativa al cambiamento di variabile è ρ ϑ cosϑ ρ sinϑ sinϑ ρ cosϑ è J( ρ, ϑ) ρ ρ ϑ Allora l'integrale doppio diventa + ρ sinϑ ρdρdϑ ρdρ ( 6+ ρ sin ϑ+ ρ sinϑ) dϑ dd ϑ d ρ ρ + ρ ρ cos ϑ+ 8ρ sinϑ dϑ ϑ ϑa sin ϑ d 8 cos ρ ρ ϑ+ ρ ϑ ρ ρ ϑ sin ϑ sin ϑa ρdρ ( + ρ )( ϑ ϑa) ρ 8ρ( cosϑ cosϑ A) ϑ ϑ ϑa ϑa d 8 sin cos sin cos ρ ρ ( + ρ ) ρ ρ d d ( ) 8 ( 8 ) ρ ρ + ρ + 8ρ ϑa ϑ ϑa ρ ρ + ρ + ρ ρ+ ρ + ρ dρ 8 6 6ρ + ρ + ρ + A efinizione ata una lamina piana (cioè un compatto misurabile di R ) di densità superficiale, G G, G µ (funzione continua non negativa), le coordinate cartesiane del suo baricentro ( ) sono date dai seguenti integrali doppi: G µ µ (, ) dd, dd (, ) G µ µ (, ) dd dd (, )

36 Ricordando che l integrale (, ) µ dd M rappresenta la massa della lamina, abbiamo G µ dd M (, ), µ (, ) Inoltre, se la lamina è omogenea, cioè la densità (, ) G dd M µ è costante, allora risulta G dd dd, dd Area( ) G (, ) µ dd dd µ (, ) dd Area( ) sempio 9 Calcolare le coordinate del baricentro della lamina piana omogenea definita dalle disequazioni La lamina è la regione delimitata dalla parabola di eq e dall asse delle ascisse Poiché è simmetrico rispetto all asse, si ha che il baricentro della lamina giace sull asse delle ordinate, quindi G Inoltre, essendo la lamina omogenea, abbiamo dd d G Area( ) ( ) ( ) d d d d ( ) efinizione ato un solido (cioè un compatto misurabile di R ) di densità superficiale µ (,, z) (funzione continua non negativa), le coordinate cartesiane del suo baricentro (,, z) date dai seguenti integrali tripli: G µ µ (,, ) z dddz, z dddz (,, ) Ricordando che l integrale (,, ) G µ z dddz M G µ µ 8 (,, ) (,, ) d z dddz, z dddz G z zµ µ G G G G sono (,, ) z dddz z dddz (,, ) µ z dddz M rappresenta la massa del solido, abbiamo (,, ), µ (,, ) G z dddz M Inoltre, se il solido è omogeneo, cioè la densità (,, z), Gz zµ (,, z) dddz M µ è costante, allora risulta G dddz dddz dddz, Volume G dddz dddz dddz, Volume G z zdddz dddz zdddz Volume

37 sempio 96 Calcolare le coordinate del baricentro del solido omogeneo definito dalle z disequazioni + + e z a b c z Il solido è la regione dello spazio delimitato dall ellissoide di eq + + e dal piano a b c coordinato Poiché è simmetrico rispetto all asse z, si ha che il suo baricentro giace su tale asse, quindi G G Inoltre, essendo il solido omogeneo, abbiamo G z zdddz Volume Conviene considerare la seguente trasformazione in coordinate sferiche generalizzate aρ cosϕ sinϑ bρ sinϕ sinϑ z cρ cosϑ,,,,, ( ρ ϕ ϑ) [ ] [ ] Il determinate della matrice jacobiana della trasformazione ρ ϕ ϑ a cosϕ sinϑ aρ sinϕ sinϑ aρ cosϕ cosϑ J( ρ, ϕ, ϑ ) bsinϕ sinϑ bρ cosϕ sinϑ bρ sinϕ cosϑ abcρ sinϑ ρ ϕ ϑ ccosϑ cρ sinϑ z z z ρ ϕ ϑ Abbiamo G zdddz z Volume c ρ dρ dϕ cosϑsinϑdϑ ρ dρ dϕ sinϑdϑ c cosϑsinϑdϑ sinϑdϑ cos ϑ c cos [ ϑ] i poteva sfruttare la formula relativa al volume dell ellissoide di semiassi a,b e c, cioè V( ellissoide) abc Il volume di metà ellissoide è, allora, abc Quindi per calcolare G z basta calcolare l integrale a numeratore, cioè G z zdddz abc abc 8 c ρ dρ dϕ cosϑsinϑdϑ cos sin abc c ϑ ϑ d cos ϑ ϑ c 8 c sempio 9 Calcolare e z + zdddz dove è definito dalle disequazioni z + +,, 6 9

38 z Il solido è la regione nel I ottante dello spazio delimitato dall ellissoide di eq + + e 6 9 dalla superficie laterale del cono di eq z + eterminiamo l'eq cartesiana della curva intersezione tra l ellissoide e la superficie laterale del cono z z + z z + z + 6 z + ( + ) z z + Questa curva, considerata nello spazio, non rappresenta una ellisse perché è sghemba (infatti non giace su un piano ma sulla superficie laterale del cono) Tuttavia la sua proiezione sul piano rappresenta un'ellisse di semiassi rispettivamente e e costituisce la frontiera del 9 dominio dell'integrale doppio che interviene nella formula di riduzione dell'integrale triplo Infatti si può considerare normale rispetto al piano coordinato ed è definito come segue ( z) ( ) z,, R /, e + + dove è il dominio nel piano delimitato dall'ellisse di eq + 9 zdddz dd Allora abbiamo 6 + zdz z dd 6 + 6, 9 + ovvero 9 9 ( + ) dd 9 dd 6 6 Per calcolare l'integrale doppio, consideriamo la trasformazione in coordinate polari generalizzate il cui jacobiano ha determinante J( ρ, ϑ) ρ cosϑ ρ sinϑ 9,,,, ( ρ ϑ) [ ] 8 ρ i ha, 9

39 cos 9 sin d d 9 9 d ϑ ρ ρ d ρ ρ ϑ ρ ϑ ρ ρ ϑ ρ ρ 9 9 Abbiamo visto alcune applicazioni fisiche dell integrale doppio e triplo; in particolare si è definito il momento d inerzia di una lamina piana rispetto ad un punto fissato e le coordinate del, µ,, z baricentro di una lamina piana o di un solido avente densità pari a µ e rispettivamente efinizione Il momento d inerzia rispetto ad un punto (, ) piana avente densità pari a µ (, ) è dove d(, ) ( ) ( ) (, ) (, ) P, detto polo, di una lamina I µ d dd () + è la distanza del generico punto P della lamina dal punto P Nel caso particolare di una lamina omogenea, cioè a densità costante µ, il momento d inerzia rispetto al polo P diventa (, ) I µ d dd () efinizione La formule () e (), rispettivamente nel caso di una lamina non omogenea e omogenea, definiscono il momento d inerzia di una lamina piana rispetto ad un asse (per d, rappresenta la distanza del generico punto P esempio rispetto all asse o all asse ) se della lamina dall asse ( d(, ) oppure d(, ) o delle ordinate rispettivamente) se l asse coincide con l asse delle ascisse sempio Calcolare la massa e il momento d inerzia rispetto all origine di una lamina quadrata +, a, a di densità pari a µ (, ) ke [ ] [ ] i ha M µ (, ) dd + k e dd a a k e d e d a e e k a µ (, ) + k + e dd I + dd a k e d + e d a k ( e a a )( e ) 6 a a a a k k e d ( + ) d ( e ) ( ) a e d e + e d a a a k a e d ( a ) e d ( e ) + a k a a e d a e e e d + + a k a a a e d ( a ) e ae e a k + + e d { e a + a e a ae a + e a }

40 ( a a ) ( a a a a e k a e ae + e ) k e d + e d a a a a a e k a e ae + e k a d e d e 6 + a a a a a ( ) a ( + ) e k a e ae e k a e e d + ( e ) 6 a a a a ( e ) k ( ) a a e ae + e k a a a e d( e ) ( e ) 6 + a a a a a ( e ) k a ( a e ae + e a ) k a a e e e d ( e ) a a a a ( e ) k ( a a a a e ae e ) k a a e ae e + + ( e ) a a a a ( e ) k ( a a a a e ae e ) k a a e ae e ( e ) sempio Calcolare la massa e il momento d inerzia rispetto all asse z del solido definito dalle disuguaglianze r z R µ,, z inversamente proporzionale + + di densità pari a alla distanza dall origine Il solido è la regione di spazio compresa tra le due sfere centrate nell origine e raggi r e R i ha k µ (,, z) + + z dddz M kµ (,, z) dddz k + + z mediante la trasformazione in coordinate sferiche, ρ cosϕ sinϑ ρ sinϕ sinϑ z ρ cosϑ,,,,, ( ρ ϕ ϑ) [ r R] [ ] la cui matrice jacobiana ha determinate in valore assoluto pari a J( ρ, ϕ, ϑ ) ρ sinϑ, abbiamo R k ρdρ dϕ sinϑdϑ k R r cosϑ r ( )[ ] k ( R r ) La distanza d(,, z ) di un punto generico del solido dall asse delle z è d(,, z) Quindi abbiamo ( + ) I k dddz + + z fruttando la trasformazione in coordinate sferiche abbiamo +

41 ( + ) I k dddz k ρ dρ dϕ sin ϑdϑ + + z k cos ϑ ( R r ) cosϑ+ Possiamo anche scrivere k I R r k R r ( ϑ) k k ( R r ) ( R r ) M R + r ( ) ( R + r )( R r ) k R r cos sinϑdϑ ia R un dominio misurabile dello spazio Allora il volume del solido si può calcolare mediante l integrale triplo mis volume dddz Tuttavia, se il solido si genera mediante una rotazione attorno ad un'asse coordinato, per esempio all asse z, di una lamina piana omogenea giacente sul piano z (con ) allora, per il calcolo del volume sussiste il I teorema di Pappo-Guldino: I teorema di Pappo-Guldino: Il volume di un solido generato dalla rotazione completa attorno ad un asse coordinato (per esempio all asse z) di una lamina piana omogenea (dominio misurabile) giacente nel piano z (con ) è pari al prodotto della lunghezza della circonferenza descritta dal baricentro di per l area di, cioè mis volume G dd, dove G è la prima componente del baricentro della lamina piana Ricordando che si ha G dd, dd mis volume dd Ovviamente, se la lamina giace sul piano z (con ), allora nella formula si deve utilizzare la seconda componente del baricentro, cioè G dd dd e quindi mis volume dd sempio Calcolare il volume del solido generato dalla rotazione attorno all asse z della lamina piana omogenea definita dalle relazioni, z e

42 La lamina giace nel piano z (con ) ed è la regione compresa tra la z ( )( ) parabola di eq e l asse delle Allora si ha volume dd d dz d 8 sempio Calcolare il volume del solido generato dalla rotazione attorno all asse della regione piana giacente sul piano definita dalle disuguaglianze a b f e i ha volume dd b f b f d d d f ( ) d a a a b sempio Calcolo del volume di un cono rotondo di raggio di base r e altezza h volume r h h d dd r h h h r h d d hr r h h d sempio 6 Calcolo del volume di un tronco di cono rotondo di raggi di base r e R e altezza h R r + r R r + r h h h h volume( ) dd d d d h h R r R r + r d R r r r d h + + h h R r h R r r h h r h + + h h ( R + rr + r ) sempio Calcolo del volume di una sfera di raggio r volume dd Utilizziamo la trasformazione in coordinate polari ρ cosϑ ρ sinϑ ( ρ, ϑ) [, r] [, ] la cui matrice jacobiana ha determinate in valore assoluto pari a J( ρ, ϑ ) ρ, abbiamo

43 ρ sin r ρ ϑdρdϑ ρ dρ sinϑdϑ [ cosϑ] r r Nel caso in cui la lamina piana omogenea è tale da poter fruttare le formule della geometria euclidea per il calcolo della sua area e delle coordinate del suo baricentro, allora il calcolo del volume del solido generato dalla rotazione di attorno ad un asse coordinato, mediante il I teorema di Pappo-Guldino, diventa una semplice applicazione sempio 8 Calcolo del volume del solido generato dalla rotazione completa del triangolo,,, attorno all asse e all asse omogeneo giacente sul piano di vertici O, A e Le coordinate del baricentro di un triangolo sono ciascuna la media aritmetica delle coordinate dei tre vertici Quindi si ha G, Inoltre l area del triangolo è pari a Quindi, detti e i solidi generati dalla rotazione del triangolo rispettivamente attorno all asse e all asse, dal teorema di Pappo-Gudino abbiamo volume e volume( ) sempio 9 Calcolo del volume del solido generato dalla rotazione completa del triangolo,, C, attorno all asse omogeneo giacente sul piano di vertici A, e e all asse Le coordinate del baricentro sono G,, mentre l area del triangolo è pari a Quindi, detti e i solidi generati dalla rotazione del triangolo rispettivamente attorno all asse e all asse, dal teorema di Pappo-Gudino abbiamo volume e volume( ) In effetti il solido è lo stesso ottenuto nell esercizio precedente, mentre ha un volume maggiore rispetto a quello ottenuto nell esercizio precedente sempio Calcolo del volume del toro T generato dalla rotazione completa del cerchio omogeneo giacente sul piano z di C R, e raggio r attorno all asse z centro Le coordinate del baricentro del cerchio sono G( R,), mentre la sua area è pari a r Il volume del toro T è volume T Rr