6/15/2018. Regressione lineare rappresentare con una retta due fenomeni X e Y quantitativi osservati contemporaneamente. Correlazionelineare = con 1 1

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1 Regressione lineare rappresentare con una retta due fenomeni X e Y quantitativi osservati contemporaneamente Retta di regressionechespiegain funzionedi + dove / pendenzadella retta intercetta dellarettacon l assey Correlazionelineare con forte correlazione linearenegativa +1 forte correlazione linearepositiva 0 assenzadi correlazione lineare regressionelinearesi regressionelineareno Covarianza,!$% (! )(! )!$%!! Correlazionelineare con 1 1 Correlazione lineare positiva Correlazione lineare negativa Misura di bontà di adattamento della retta di regressione ai dati ( con 0 ( 1 > 0 < 0 > 0 < 0 ( +1 forte correlazionelineare buon adattamento della retta ai dati regressionelinearesi 0 < 1 1 < assenzadi correlazione lineare scarso adattamento della retta ai dati regressionelineareno Test delle ipotesi di livello ) sul coefficiente * della retta di regressione + + +, - * -, / * - Il test controlla che il valore di b sia significativamente diverso da zero Se 0significa che non dipende da in tal caso la retta non è un buon modello per rappresentare i dati Un indice di correlazione lineare tra le variabili X e Y pari a -0.0 indica che (a) X e Y sono correlate positivamente (b) X e Y sono molto correlate (c) X e Y sono molto connesse (d) X e Y sono incorrelate / > / (3) Si rifiuta, - se > /3)/ dove la Statistica Test è *6/78 * A quale grafico di dispersione corrisponde il coefficiente di correlazione lineare 0,9? (a) (b) (c) 9!$%!! 3 1

2 Una misura della bontà di adattamento della retta di regressione ai dati è (a) la covarianza (b) l indice ( (c) l indece χ (d) l intercetta I valori assunti dal coefficiente di correlazione sono (a) 1 1 (b) 1 ( 1 (c) 0 1 (d) 0 ( 1 In un modello di regressione lineare + + +, la verifica della A 0 % 0 fornisce p-valueuguale a 0.03 Allora (a) si A a livello D 0.01 (b) non si % a livello D 0.01 (c) non si A a livello D 0.01 (d) la pendenza stimata è 0.03 Se ilcoefficientedi correlazionetrale variabilix e Y vale 0, allora (a) X e Y sono correlate positivamente (b) X e Y sono incorrelate (c) X e Y sono indipendenti (d) X e Y sono correlate negativamente Si rifiuta, - se p-value < ) / > / 6 Due variabili Ee sonolegate dallarelazione E + 1. Allora (a) (b) 1 (c) ( 0 (d) 0 (a) FALSO perché 1 1 Neltestosidichiarachetra Ee c èun perfettarelazionelineare, quindi (c)-(d) FALSOperchédovrebbeessere ( 1 e ±1 Esercizio 1 Si considerino le coppie di osservazioni da due variabili casuali E e in tabella! 1 3 6! ) Stimare la retta di regressione che spiega Y in funzione di X e disegnarla sul grafico precedente 3) Verificare se la regressione è significativa a livello 10%. ) Valutare la bontà di adattamento della retta stimata ai dati ) Se possibile, prevedere il valore di dato e quello di dato 0 (b) VERO perché la pendenza indica una correlazione lineare negativa, quindi 1 7 8

3 ! 1 3 6! in orizzontale in verticale correlazione >! 1 3 6! G!$%! 7!$% (! ) (3 3.7) + ( 3.7) + (6 3.7) oppure correlazione >! 1 3 6! >G!$%! 7 >!$% (! ) ( ) + (0. 0.3) + ( ) 0.07 oppure 7 > > correlazione >! 1 3 6! G >G > > 0.6,!$% (! )(! )!$%!! Essendo ilcoefficiente di correlazione vicinoa 1, le variabilix e Y mostrano una elevata correlazione lineare negativa 1 3

4 ) Stimare la retta di regressione che spiega Y in funzione di X e disegnarla sul grafico precedente G >G > > ) Verificare se la regressione è significativa a livello 10%. G >G > > ! 1 3 6! Retta di regressione 6 -.NO -./P Per disegnare una retta bastano due punti (0, ) (0, 0.8) (, ) (, 0.3) Test delle Ipotesi su * (3) Si A se Q > Q A % 0 D 0.10 dove la statistica test è Q / 9 essendo 9 e!$%!! A % 0 D 0.10! 1 3 6! >8 S (-.NO -./P /) (-.NO -./P P) (-.NO -./P T) (-.NO -./P U) (3) Si A se Q > Q %3R/ dove la statistica test è O.PP (3) (O3) () /3)/ /3-.// -.VT.V/VVV.V! (3) È vero che Q > Q %3R/.33 >.9 Si A a livello 10% La regressione è significativa a livello 10 % * 6 -./P 78 * -.-P O.PP 16 1

5 ) Valutare la bontà di adattamento della retta stimata ai dati G >G > > ) Se possibile, prevedere il valore di dato e quello di dato - G >G > > ( Essendoilvalore ( prossimoa 1, la rettadi regressione ben siadattaaidati! 1 3 6! I dati di W variano da 1 a 6 posso fare la previsione solo se è tra 1 e 6 Per siprevede Per 0 non si può fare previsione Esercizio Si considerino le coppie di osservazioni da due variabili casuali E e in tabella! 7! ! 7! in orizzontale in verticale ) Si calcoli la retta di regressione di Y su X e la si disegni sul grafico precedente 3) Verificare se la regressione è significativa a livello %. ) Si valuti un opportuno indice di bontà della regressione ) Se possibile, prevedere il valore di dato.e quello di dato 19 0

6 correlazione >! 7! G!$%! 7!$% (! ) (.) + (.) + (7.) 3. 7 oppure correlazione >! 7! >G!$%! 7 >!$% (! ) (.1) + (3..1) + (9.1) 10.3 oppure 7 > > correlazione >! 7! G >G.1 7 > > 3.1 ) Si calcoli la retta di regressione di Y su X e la si disegni sul grafico precedente G >G.1 7 > > ,!$%!! Retta di regressione 6 P.TN + /.X/ Per disegnare una retta bastano due punti (G, >G) (.,.1) Essendo ilcoefficiente di correlazione vicinoa +1, le variabilix e Y mostrano una elevata correlazione lineare positiva 3 (6, ) (6, 6.68) 6

7 3) Verificare se la regressione è significativa a livello %. G >G.1 7 > > Test delle Ipotesi su * (3) Si A se Q > Q %3R/! 7! 0 3. A % 0 D 0.0 dove la statistica test è Q / 9 essendo 9 e!$%!! ! 7! >8 S ( P.TN + /.X/ )( P.TN + /.X/ O)( P.TN + /.X/ T) ( P.TN + /.X/ X)! /U * 6 78 * /.X/ -.PT O.NV 6 (3) Si A se Q > Q A % 0 D 0.0 dove la statistica test è O.NV ) Si valuti un opportuno indice di bontà della regressione G >G.1 7 > > (3) (O3) () /3)/ /3-.-T/ -.VXT O.P-UT O.P ( (3) È vero che Q > Q %3R/.89 >.30 Si A a livello % La regressione è significativa a livello % Essendoilvalore ( prossimoa 1, la rettadi regressione ben siadattaaidati 7 8 7

8 ) Se possibile, prevedere il valore di dato.t e quello di dato G >G.1 7 > > ! 7! I dati di W variano da a 7 posso fare la previsione solo se è tra e 7 Per. siprevede Esercizio 3 Si considerino le coppie di osservazioni da due variabili casuali E e in tabella! 1 3 7! ) Calcolare la retta di regressione di Y in funzione di X e disegnarla sul grafico precedente 3) Verificare se la regressione è significativa a livello %. ) Valutare la bontà della regressione con un indice opportuno ) Qualora la regressione fosse risultata significativa, prevedere il valore di in 0e quello di in Per non si può fare previsione 9 30! 1 3 7! in orizzontale in verticale correlazione >! 1 3 7! G!$%! 7!$% (! ) (3 3.6 ) + ( 3.6 ) + (7 3.6 ).6 7 oppure

9 correlazione >! 1 3 7! >G!$%! 7 >!$% (! ) ( ) + ( 3.68) + ( ) + (1 3.68).11 oppure 7 > (3.68).11 7 > correlazione >! 1 3 7! G >G >.11 7 > 1.,!$%!! Essendo ilcoefficiente di correlazione vicinoa 1, le variabilix e Y mostrano una elevata correlazione lineare negativa 3 ) Calcolare la retta di regressione di Y in funzione di X e disegnarla sul grafico precedente G >G >.11 7 > ) Verificare se la regressione è significativa a livello %. G >G >.11 7 > ! 1 3 7! Retta di regressione 6 T.VN -.UO Per disegnare una retta bastano due punti (0, ) (0,.98) (8, ) (8, 0.86) Test delle Ipotesi su * (3) Si A se Q > Q A % 0 D 0.0 dove la statistica test è Q / 9 essendo 9 e!$%!!

10 ! 1 3 7! >8 S (3) Si A se Q > Q A % 0 D 0.0 dove la statistica test è T.PP (3) (T3) (P) /3)/ /3-.-/ -.VV- O.TO-X- O.TO! (3) È vero che Q > Q %3R/.33 >. Si A a livello % La regressione è significativa a livello % * 6 -.UO 78 * -./ T.PP ) Valutare la bontà della regressione con un indice opportuno G >G >.11 7 > ) Qualora la regressione fosse risultata significativa, prevedere il valore di in - e quello di in O G >G >.11 7 > ( Essendoilvalore ( prossimoa 1, la rettadi regressione ben siadattaaidati! 1 3 7! I dati di W variano da 1 a 7 posso fare la previsione solo se è tra 1 e 7 Per 0 non si può fare previsione Per siprevede

11 Tabella di contingenza (a doppia entrata) per rappresentare due fenomeni X e Y osservati contemporaneamente X Y > % > > e % %% % %e % % e g g% g ge g % e Indice di connessione ^ \ χ YY!Z!Z S$/ ]$/ ^ n. righe \ n. colonne S] n. di volte che la coppia (!,> Z ) è stata osservata n. totale di coppie osservate S n. marginale riga h ] n. marginale colonna i S] S ] / n. di volte che la coppia (!,> Z ) sarebbe osservata se X e Y fossero indipendenti!z Valore minimo 0 indipendenza tra X e Y Valore massimo min(c 1, 1) massima connessione tra X e Y 1 Indice di connessione Test chi-quadro di indipedenza, - χ - indipendenza tra X e Y, / χ > - connessione tra X e Y Indice relativo di connessione χj χ min(c 1, 1) Valore minimo 0 indipendenza tra X e Y Valore massimo 1 massima connessione tra X e Y ^ \ χ YY!Z!Z S$/ ]$/!Z Valore minimo 0 indipendenza tra X e Y Valore massimo min(c 1, 1) massima connessione tra X e Y Rifiuto, - a livello ) se k (^3/)(\3/) > k /3) Esercizio La tabella riporta il numero (in milioni) di contribuenti, suddiviso per fasce di età, che lo scorso anno ha effettuato la dichiarazione dei redditi autonomamente tramite il servizio web dell Agenzia delle Entrate età web SI Verificare a livello 1% se c è associazione tra le due variabili considerate? NO <0 -,N /-,P O- U- /, /,T > U- -,O /T,U X«età» è quantitativa in classi e Y«utilizzo del web» è qualitativa Test chi-quadro per verificare se c è indipendenza o connessione tra X e Y, - k - (indipendenza), / k > - (connessione) A a livello D 0.01 se m (g3%)(e3%) > m %3R g e m YY!Z!Z!$% Z$%!Z!Z! Z dove 3, - k - (indipendenza), / k > - (connessione) A a livello D 0.01 se m > m %3R g e m YY!Z!Z!$% Z$%!Z (g3%)(e3%)!z! Z - N. righe c 3, N. colonne - Prima calcolole marginali! e Z (ultima riga/colonna) - Poi calcolo delle frequenze!z (tra parentesi) età web SI <0 -,N (11,1,/0,8 -,UT) O- U- /, (13,7,/0,8 -,N/) > U- -,O (16,0,/0,8 -,VO) 0,8 + 1, + 0,,O NO /-,P (11,1 38,/0,8 /-,TT) /,T (13,7 38,/0,8 /,NV) /T,U (16,0 38,/0,8 /T,-U) 10,3 +1, + 1,6 PN,O dove 0,8 + 10,3 //,/ 1, + 1, /P,X 0, + 1,6 /U,- O-,N 11

12 g e k YY!Z!Z!$% Z$%!Z 0,8 0,6 1, 0,81 0, 0, ,6 0,81 0,9 10,3 10, 1, 1,89 1,6 1, , 1,89 1,06 -,TX, - k - (indipendenza), / k > - (connessione) A a livello D 0,01 se m (g3%)(e3%) > m %3R g e m YY!Z!Z 0,7!$% Z$%!Z c 3 (g3%)(e3%) (o3%) (3%) () D 1% 0,01 m %3R m%3a,a% ma,pp 9,103 età web SI <0 -,N (11,1,/0,8 -,UT) O- U- /, (13,7,/0,8 -,N/) > U- -,O (16,0,/0,8 -,VO) 0,8 + 1, + 0,,O NO /-,P (11,1 38,/0,8 /-,OT) /,T (13,7 38,/0,8 /,NV) /T,U (16,0 38,/0,8 /T,-U) 10,3 +1, + 1,6 PN,O 0,8 + 10,3 //,/ 1, + 1, /P,X 0, + 1,6 /U,- O-,N Non vale che m (g3%)(e3%) > m %3R 0,7 < 9,103 Non si A a livello D 0,01 Non c èconnessionetrale variabili «età» e «utilizzo del web», ossia le due variabili possono essere considerate indipendenti Il valore prossimo a zero dell indice relativo di connessione conferma il risultato del test mj m min c 1, 1 0,7 0,8 qh(3 1, 1) 0,01 6 La distribuzione di probabilità più adatta a verificare se due variabili osservate congiuntamente sono indipendenti è (a) chi-quadro (b) t-student (c) normale (d) binomiale Se l indice relativo di connessionetrax e Y risultaugualea 0, alloratrax e Y c è (a) massima connessione (b) minima connessione (c) dipendenza (d) correlazione 0 χj 1 Se l indicerelativodi connessionedi X e Y è ugualea 1, allora (a) rs 1 (b) le variabili sono indipendenti (c) le variabili non sono indipendenti (d) ( 1 L indice χ per due caratterix e Y risulta0 se (a) X e Y sono connessi (b) X e Y sono correlati (c) X e Y sono indipendenti (d) nessuna delle precedenti 0 χj 1 Ricordiamo che 0 χ ts(^ /,\ /) 7 8 1

13 I valori assunti dall indice di connessione sono (a) 1 rs 1 (b) 0 χj / I valori assunti dall indice relativo di connessione sono (a) 1 rs 1 (b) 0 χj / (c) 0 m qh(c 1, 1) (d) 0 m 1 (c) 0 m qh(c 1, 1) (d) 0 m 1 Esercizio Alcuni pazienti affetti da una certa patologia sono stati classificati per durata (in giorni) dello stato febbrile e per tipo di trattamento somministrato durata cura / T T /- 10 / A - OX TV B - - T C / /N UO 1) Completare la tabella di contingenza ) Verificare a livello % se le due variabili considerate sono indipendenti? 9 0 durata cura / T T /- 10 / A - OX / TV B T - - T C / /X /N PU U UO P- /- - N. righe c 3, N. colonne 3 - Prima calcolole marginali! e Z (ultima riga/colonna) - Poi calcolo delle frequenze!z (tra parentesi) riga riga 0 0 colonna colonna colonna Riga Totalepazienti durata cura A - (9 6/10) (/,N) B / T T /- 10 / T 6/10 (T,O) C / 36 6/10 (X,N) U OX 9 6/10 (P/,T) - ( 6/10) (/P,P) /X 36 6/10 (/V,) UO / (9 30/10) (/O,N) - 30/10 (U,) /N 36 30/10 (V) TV T PU P- /- 1 13

14 g e k YY!Z!Z durata cura!$% Z$%!Z 0 1,8, 1 7, ,8, 7,8 /U,N A - (9 6/10) (/,N) B / T T /- 10 / T 6/10 (T,O) C / 36 6/10 (X,N) U OX 9 6/10 (P/,T) - ( 6/10) (/P,P) /X 36 6/10 (/V,) UO / (9 30/10) (/O,N) - 30/10 (U,) /N 36 30/10 (V) TV T PU P- /- 3, - k - (indipendenza), / k > - (connessione) A a livello D 0,0 se m (g3%)(e3%) > m %3R g e m YY!Z!Z 16,8!$% Z$%!Z c 3 3 (g3%)(e3%) (o3%) (o3%) (v) D % 0,0 m %3R m%3a,au ma,pu 9,8773 Vale che m (g3%)(e3%) > m %3R 16,8 > 9,8773 Si A a livello D 0,0 C è connessione tra«cura» e «durata della febbre» Il valore dell indice relativo di connessione conferma il risultato del test mj min 3 1, 3 1 0,3 indica una connessione tra «cura» e «durata della febbre» abbastanza forte. 1