Sistemi di riferimento accelera0 (parte 1)

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1 isei di riferieno accelera0 (pare 1) isei di riferieno accelera0 Abbiao viso le rasforaioni di Galileo ra le coordinae di sisei di riferieno ineriali in oo rela4vo unifore. Ma cosa succede se il oo di una par4cella è osservao da un sisea di riferieno accelerao?? 1

2 isei di riferieno accelera0 Caso generale: un sisea ' che rasla con velocià non cosane e ruoa rispe?o ad un sisea ineriale. Tra?ereo separaaene due casi: Ø raslaione con acceleraione cosane; Ø roaione rispe?o ad un asse fisso con velocià angolare cosane. La fisica che ci ineressa c è u?a. Il caso generale è solo più coplicao foralene. ia a l acceleraione di ' rispe?o ad un sisea ineriale. cegliao (arbirariaene, e sena perdere generalià) i due assi e ' nella direione di a, con l origine coincidene al epo = ' ( ) = a ' 2 ' ' a = uˆ a ' quesa è la posiione di ' visa dal sisea di riferieno ' 2

3 ia a l acceleraione di ' rispe?o ad un sisea ineriale. cegliao (arbirariaene, e sena perdere generalià) i due assi e ' nella direione di a, con l origine coincidene al epo = ' ( ) = a ' 2 ' ' ' r P 1 r 2 r = r' + ' = r' + a ' 2 ' r ' = r 1 2 a 2 Derivando si rova la relaione ra le velocià 1 2 r ' r a d r ' d dr = 1 2 v' = = r a = a = v a 2 d' d 2 d ' ' ' r r ' P ' ' 3

4 Derivando di nuovo si rova la relaione ra le acceleraioni 1 2 r ' r a d r ' d dr = 1 2 v' = = r a = a = v a 2 d' d 2 d ' ' ' r dv' d dv a' = = ( v a) = a = a a d' d d P L acceleraione non r ' è più invariane!! ' a' = a a ' In ' si isura un acceleraione diversa da quella isuraa in sisei di riferieno ineriali. La differena non può essere spiegaa in erini di fore (reali) diverse. a' = a a Possiao ricordarci l esepio della biglia ' sul reno che frena. ' P r olo l osservaore r eserno descriverà ' corre?aene il ' oo in erini di ' fore e usando le ' leggi di Newon. 4

5 La seconda legge di Newon vale solo nei sisei ineriali!! a = F ' ' ' r r ' P ' Dove quesa è la risulane delle fore vere, che agiscono sulla par4celle per effe?o della presena di alre par4celle che ne influenano il oo. ' La seconda legge di Newon vale solo nei sisei ineriali!! ' ' a = F Cosa succede se usiao la relaione a' = a? ' P r ( a'+ a ) = F r ' ' a'= F a ' È sepre la II legge nel sisea ineriale, a scri?a in erini di a '. a 5

6 La seconda legge di Newon (nel sisea ineriale) a = F riscri?a per l acceleraione isuraa nel sisea non ineriale, divena a'= F a ' ' ' ' r r ' P ' Quesa è u4le nel caso in cui sia noa l acceleraione di rascinaeno a. Allora il erine a è noo, ha le diensioni di una fora e può essere viso coe una fora apparene (o fiuia o ineriale ). In sinesi, se osserviao il oo nel sisea accelerao, possiao usare la II legge nella fora a' = F + F app ' ' ' r r ' dove P ' F app = a è una fora apparene, dovua al fa?o che il sisea non è ineriale. ' 6

7 Non è una fora vera perché: = a Ø Non è riconducibile all aione di alri corpi. Ø Non vale il principio di aione e reaione. Ø Ha origine dal oo del sisea di riferieno. Alra peculiarià: è sepre dire?aene proporionale alla assa (ineriale) della par4cella!! F app F app = a Il fa?o che le fore apparen4 non siano vere fore, non vuol dire che non esisano!! InfaU, se uno si rova nelle condiioni di voler/dover usare le coordinae di un sisea di riferieno accelerao e, nonosane queso, vuole descrivere il oo in erini dei principi di Newon, deve includere le fore apparen4 nella II legge. E per farlo, deve conoscere già l acceleraione di rascinaeno (è il preo da pagare per usare la II legge dove non si porebbe). 7

8 Esepio: esperien4 in un ascensore accelerao ' ' a ' ' ' Esepio: esperien4 in un ascensore accelerao ' ' ' ' a T g ' a Pendolo viso nel sisea ineriale. Equaione del oo lungo : a = T g D alra pare sappiao che a = a e dunque T = g + a ) ( Quesa è la ensione del filo che serve per l equilibrio del pendolo. 8

9 Esepio: esperien4 in un ascensore accelerao ' ' ' ' a T g ' a Pendolo viso nel sisea non ineriale '. Equaione del oo lungo ': a' = T g a D alra pare sappiao che a'= 0 e dunque T = g + a ) Coe pria!! ( Esepio: esperien4 in un ascensore accelerao ' ' ' ' a T g ' a Il risulao è lo sesso perché abbiao usao la sessa equaione (la II legge nel sisea ineriale). Per l osservaore nell ascensore ci siao liia4 a porare un erine da sinisra a desra dell uguale, chiaandolo fora apparene. i può fare e, a vole, è conveniene. 9

10 Esepio: esperien4 in un ascensore accelerao ' ' ' ' a T g ' a T = g + a ) ( No4ao che se l ascensore accelera verso l alo (a >0), allora T > g. e accelera verso il basso (a <0), allora T < g. Esepio: esperien4 in un ascensore accelerao ' ' T g Noa: e a =0 i due sisei sono enrabi ineriali e la ensione bilancia solo il peso: T = g = g ' ' ' 10

11 Esepio: esperien4 in un ascensore accelerao ' '? T Ma se fossio chiusi nell ascensore e isurassio T g cosa ne dedurreo? ' ' ' Esepio: esperien4 in un ascensore accelerao ' ' a T g T g 1. L ascensore sa accelerando; ' ' ' 11

12 Esepio: esperien4 in un ascensore accelerao ' ' ' ' T g T g' ' 1. L ascensore sa accelerando; 2. l ascensore è fero, a il valore di g è diverso da quello previso. Esepio: esperien4 in un ascensore accelerao ' ' ' ' T g? T 1. L ascensore sa accelerando; 2. l ascensore è fero, a il valore di g è diverso da quello previso. ' Possiao dis4nguere i due casi? No, a eno di non conoscere la risposa a priori, cioè conoscere g oppure a!! 12

13 Esepio: esperien4 in un ascensore accelerao T = ( g + a ) ' ' ' '? T e conosciao a priori g, allora la isura di T pere?e di deerinare a (acceleroero). Viceversa, se conosciao a, ' allora la isura di T pere?e di deerinare g (graviero). Esepio: esperien4 in un ascensore accelerao ' 1. L ascensore sa accelerando; ' ' ' T? ' 2. L ascensore è fero, a il valore di g è diverso da quello previso. ena inforaioni aggiun4ve, le due opioni sono equivalen0!! 13

14 Esepio: esperien4 in un ascensore accelerao ' ' ' ' T g' ' In qualsiasi isura facciao, peso e fora apparene enrano sepre nella fora ( g + a ) = g' e i due addendi non sono separabili sena inforaioni indipenden4, che e?ano in relaione con '. Caso ineressane: ascensore in cadua libera g ' ' ' ' a g ' a = g g' = ( g + a ) = 0 a La gravià efficace è nulla. La par4cella nell ascensore in cadua libera si copora coe si rovasse in un sisea ineriale in assena di gravià!! 14

15 Caso ineressane: ascensore in cadua libera ' a = g ' g a a T = ( g + a ) = 0 g Nel caso del pendolo la ' ensione si annulla: il filo non ' ' serve per enere la par4cella in equilibrio!! Esepio: esperien4 in un ascensore accelerao ' ' g' Poreo cabiare 4po di esperien4. Ad esepio, isurare il periodo di oscillaione del pendolo. ' ' ' Le conclusioni sarebbe le sesse!! 15

16 Principio di equivalena Un acceleraione cosane del sisea di riferieno in una cera direione è equivalene ad un capo di gravià unifore in direione opposa Principio di equivalena Un acceleraione cosane del sisea di riferieno in una cera direione è equivalene ad un capo di gravià unifore in direione opposa Esepio (versione #1): siee sull asronave Nosroo e, dopo un lungo viaggio inergalauco, il copuer di bordo vi sveglia dall ibernaione conrollaa. Vi alae e percepie il vosro peso conro il pavieno, un po obliquo. Pensae di essere sa4 sveglia4 perchè l asronave è a7erraa su un pianea sconosciuo, adagiandosi sul fianco di una collina. Prendee un dinaoero e una assa capione e isurae l acceleraione di gravià per sabilire su quale pianea siee, usando i valori di g per i piane> no> che rovae nel anuale (il copuer di bordo, HAL, riciclao da un alra asronave, si rifiua di dirvi dove siee). 16

17 Principio di equivalena Un acceleraione cosane del sisea di riferieno in una cera direione è equivalene ad un capo di gravià unifore in direione opposa Esepio (versione #2): siee sull asronave Nosroo e, dopo un lungo viaggio inergalauco, il copuer di bordo vi sveglia dall ibernaione conrollaa. Vi alae e percepie il vosro peso conro il pavieno, un po obliquo. Pensae di essere sa4 sveglia4 perchè l asronave a breve a7errerà sul pianea previso dai piani di volo, e dovee prepararvi. Prendee un dinaoero e una assa capione e isurae l acceleraione di frenaa dell asronave, per assicurarvi che si ie7a in orbia con la giusa velocià (il copuer di bordo, HAL, riciclao da un alra asronave, si rifiua di darvi i paraeri di frenaa). Principio di equivalena Un acceleraione cosane del sisea di riferieno in una cera direione è equivalene ad un capo di gravià unifore in direione opposa La versione #1 e la versione #2 sono equivalen0 e non dis0nguibili, a eno che non guardiae fuori dal finesrino dell asronave!! 17

18 Principio di equivalena Un acceleraione cosane del sisea di riferieno in una cera direione è equivalene ad un capo di gravià unifore in direione opposa Il principio di equivalena, nella nosra forulaione, segue dai principi della dinaica e da un uleriore assunione, che è riasa finora iplicia: l uguagliana della assa graviaionale e della assa ineriale. Principio di equivalena La assa ineriale è quella che avevao definio nell inroduione alla dinaica, usando i carrelli, ed è quella che enra a sinisra nella seconda legge a = F La assa graviaionale è quella che enra nell espressione della fora graviaionale 1 2 F = G ˆr 2 12 r e, di conseguena, nell espressione della fora peso F = g 12 18

19 Principio di equivalena Non c è una ragione a priori per assuerle uguali, dao che originano da conceu diversi (l ineria di un corpo e la sua ineraione con alri corpi). Nella relaione a = g quella ineriale è a sinisra, quella graviaionale è desra. L osservaione che l acceleraione di cadua dei gravi è la sessa per uu, iplica che le due asse siano uguali. Abbiao assuno che siano uguali anche nel derivare l espressione della fora graviaionale da Keplero. Principio di equivalena Dunque, se sono validi i principi di Newon e se le asse ineriale e graviaionale sono uguali allora vale il principio di equivalena. [Ma poreo ragionare al conrario: assuere vero il principio di equivalena fin dall iniio e dedurne u7e le iplicaioni... queso è ineressane per gli sviluppi della fisica olre la eccanica newoniana ] 19

20 Eserciio suggerio Un vagone di un reno accelera con acceleraione cosane lungo un binario reulineo. Ad un cero isane una vie si sacca dal soffi?o del vagone. i sudi il oo sia nel sisea di riferieno ineriale che in quello accelerao. [es Dalba- Fornasini] isei di riferieno accelera0 Caso generale: un sisea ' che rasla con velocià non cosane e ruoa rispe?o ad un sisea ineriale. Tra?ereo separaaene due casi: Fao! Ø raslaione con acceleraione cosane; Ø roaione rispe?o ad un asse fisso con velocià angolare cosane. 20

21 isei di riferieno accelera0 Caso generale: un sisea ' che rasla con velocià non cosane e ruoa rispe?o ad un sisea ineriale. Tra?ereo separaaene due casi: Fao! Ø raslaione con acceleraione cosane; Ø roaione rispe?o ad un asse fisso con velocià angolare cosane. da fare... le roaioni richiedono il foraliso dei prodou ve?oriali. Parenesi aea4ca da aprire... 21