Appendice 2 - Richiami vari

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1 Appunti di ounicazioni Elettriche Appendice ichiai vari l trasforatore ideale... ntroduzione... aratteristica del trasforatore ideale...3 Proprietà del trasforatore ideale...4 Osservazione...5 Modello di EbersMoll per un BJT...6 ircuito equivalente di EbersMoll...8 Modello di EbersMoll per le varie condizioni di funzionaento...9 Stadio ad eettitore coune... Effetto Miller sulla capacità... 4 Stadio a base coune... 6 ircuiti risonanti... 8 isonanza serie... 8 attore di qualità serie... isonanza parallelo... attore di qualità parallelo... 4 l trasforatore ideale NTODUZONE l trasforatore reale è un dispositivo biporta (o doppio bipolo) generalente utilizzato per variare opportunaente la tensione in uscita rispetto alla tensione in ingresso. Per studiare il trasforatore reale si fa riferiento ad un suo odello astratto, che prende il noe di trasforatore ideale :

2 Appunti di ounicazioni Elettriche Appendice idealità di questo odello deriva dall adozione delle seguenti 3 ipotesi fondaentali: non ci sono flussi dispersi; non ci sono perdite (in particolare, non ci sono correnti parassite né perdite dovute ad isteresi en inoltre i due avvolgienti avranno resistenza nulla); il ateriale agnetico è costituito da una pereabilità infinita. Sulla base di queste ipotesi di fondo, è possibile ritenere quanto segue: in prio luogo, le linee di flusso del capo agnetico generato dalle correnti nei due avvolgienti sono tutte contenute all interno della struttura; in secondo luogo, il capo agnetico è costante lungo ogni caino chiuso scelto all interno della struttura; infine, non essendoci flussi diversi, il flusso ϕ del capo agnetico risultante, attraverso una generica sezione S del trasforatore ideale, è ideale sezione per sezione. Queste tre approssiazioni consentono di scrivere che i flussi concatenati rispettivaente al prio ed al secondo avvolgiento sono Φ Nϕ Φ Nϕ Tenendo inoltre presente che i due avvolgienti presentano resistenza nulla (il che coporta che non ci siano cadute di tensione su di essi), possiao anche scrivere che d Φ N d ϕ dt dt d Φ ϕ N dt dt acendo il rapporto ebro a ebro tra queste due equazioni si ricava evidenteente che N N N Ponendo allora N concludere che sussiste la relazione n (rapporto di trasforazione o anche rapporto spire), possiao Questa relazione dice dunque che il valore della tensione in ingresso è legata al valore della tensione in uscita dall eleento ediante il rapporto di trasforazione. n

3 ichiai vari Questo rapporto di trasforazione dipende dal nuero di spire che costituiscono i due avvolgienti: è chiaro che n può essere > o < a seconda di quale avvolgienti conti più spire. AATTESTA DE TASOMATOE DEAE a relazione n è una delle due equazioni che costituiscono la caratteristica del trasforatore. E possibile trovare anche una seconda equazione che lega le due correnti di porta. Applicando il teorea di Apere ad un caino edio di lunghezza, otteniao r r H dl N N dove N è il nuero di spire facenti parte del avvolgiento e N quello del secondo avvolgiento e e le rispettive correnti. Dato che il capo agnetico r H è un vettore parallelo al vettore dl r, il prodotto scalare all interno dell integrale è pari al prodotto dei oduli: si ha dunque che Hdl N N l capo agnetico è costante sezione per sezione, per cui può essere portato fuori dall integrale: H dl N N integrale rianente è chiaraente pari alla lunghezza della circonferenza, per cui si ha H N N Moltiplicando e dividendo il prio ebro per la quantità S, dove è la pereabilità agnetica entre S è la sezione trasversale dell eleento, otteniao S H S N N Ponendo adesso " riluttanza agnetica ", possiao scrivere che S H S N N Ma, avendo detto che per il trasforatore ideale, la riluttanza agnetica risulta nulla, per cui N N 3

4 Appunti di ounicazioni Elettriche Appendice Da questa relazione si ricava che N N n Questa è l altra equazione che cercavao, per cui possiao concludere che la caratteristica del trasforatore ideale è la seguente: n n n fora atriciale, queste due equazioni diventano n n Questa relazione atriciale costituisce la rappresentazione ibrida di un resistore biporta: ciò significa che il trasforatore ideale può essere considerato coe un particolare resistore biporta. acciao inoltre osservare che è possibile trovare, del trasforatore ideale, sia la rappresentazione ibrida sia le due rappresentazioni trasissione e trasissione, entre non esistono la rappresentazione controllata in corrente né quella controllata in tensione. l sibolo circuitale con cui si indica il trasforatore ideale è il seguente: n : a sibologia n : indica la proporzione che rappresenta evidenteente la relazione n : : n. POPETÀ DE TASOMATOE DEAE l trasforatore ideale gode di una serie di iportanti proprietà. n prio luogo, è facile verificare che il trasforatore ideale è un eleento non energetico (ossia trasparente alla potenza). nfatti, si ha che v ( t) p( t) p ( t) p ( t) v ( t) i ( t) v ( t) i ( t) v ( t) i ( t) ( ni ( t) ) n 4

5 ichiai vari a seconda proprietà è la seguente: collegando alla porta di uscita un resistore di resistenza, la porta di ingresso si coporta coe un resistore di resistenza n. nfatti, si ha che v ( t) nv ( t) nv ( t) ni ( t) n( i ( t)) n( ni ( t)) n i ( t) da cui si deduce che la resistenza di ingresso è v t ( ) n i( t) ultia proprietà è infine la seguente: collegando alla porta di ingresso un resistore di resistenza, la porta di uscita si coporta coe un resistore di resistenza /n. nfatti, si ha che v v ( t) v ( t) i ( t) ( i( t)) i ( t) ( t) n n n n n n n i t ( ) da cui l ipedenza di uscita vale v i ( t ) ( t) n. Osservazione Supponiao di avere un generico circuito e di poterlo scheatizzare coe nella figura seguente: rete N n : rete N Si osserva, cioè, la presenza di due distinte reti onoporta, indicate genericaente con N ed N e contenenti eleenti qualsiasi, collegate tra di loro ediante un trasforatore ideale. n una situazione di questo tipo, se il rapporto di trasforazione è n, il trasforatore può evidenteente essere eliinato, in quanto il circuito è del tutto equivalente al seguente: rete N rete N 5

6 Appunti di ounicazioni Elettriche Appendice equivalenza si capisce iediataente se si considera cosa diventa la caratteristica di funzionaento del trasforatore quando n: si ha infatti che tale caratteristica è ed essa appunto equivale all assenza del trasforatore. isicaente, i trasforatori aventi rapporto di trasforazione pari ad vengono ipiegati al fine di separare, appunto fisicaente, parti di circuiti che si vuole tenere staccate. Modello di EbersMoll per un BJT l odello di EbersMoll è un odello ateatico del BJT, ossia un insiee di equazioni (tre per la precisione) che servono a caratterizzare il coportaento elettrico di questo dispositivo. n particolare, questo odello risponde ai seguenti requisiti: in prio luogo, è valido per un qualsiasi BJT, sia esso di tipo npn sia esso di tipo pnp; in secondo luogo, è valido per qualsiasi condizione di polarizzazione; in terzo luogo, è un odello ateatico per grandi segnali, nel senso che si può applicare in presenza di segnali di qualsiasi apiezza; infine, è un odello che tiene conto solaente dell effetto transistore, per cui rientra nella classe dei odelli del prio ordine, con i quali è possibile condurre una analisi solo approssiata (a counque corretta) del dispositivo. l punto di partenza, per arrivare alle equazioni finali, è quello di considerare che le correnti di eettitore e di collettore, per un BJT, sono entrabe frutto della soa di due coponenti dovute alle due oogiunzioni di cui si copone il BJT. n tal senso, è possibile pensare a ciascuna di queste correnti coe soa di due contributi, ciascuno dei quali dovuto appunto ad una oogiunzione. Partendo da questo principio, si trovano due equazioni che forniscono appunto i valori della corrente di collettore e di quella di eettitore: E α αe α α E α e e qbe qbe α αα α α e e qb qb n questa espressione, è la corrente di collettore quando la giunzione basecollettore è polarizzata inversaente e l eettitore è aperto, entre E è la corrente di eettitore quando la giunzione baseeettitore è polarizzata inversaente e il collettore è aperto. noltre α è guadagno di corrente in continua nella configurazione di base coune e in condizioni di E 6

7 ichiai vari polarizzazione in zona attiva diretta, entre E α è il guadagno di corrente in continua nella configurazione di base coune e in condizioni di polarizzazione in zona attiva inversa. Generalente, si pone ES S E α α α α per cui le due equazioni che definiscono il odello diventano q q BE B E ES e α S e qbe qb α ES e S e A queste equazioni potrebbe essere aggiunta una terza equazione che fornisca la corrente di base B : basta infatti considerare che le tre correnti di un BJT, coe di un qualsiasi eleento a tre terinali, sono vincolate dalla relazione B E iposta dalla K. N.B. E possibile diostrare una iportante relazione, relativa ai paraetri che copaiono in queste equazioni e nota coe condizione di reciprocità : α α ES S Da un punto di vista fisico, questa relazione è giustificata dal fatto che i eccanisi di conduzione della corrente, in corrispondenza delle due giunzioni di cui si copone il transistore, sono identici. edreo in seguito, a proposito degli HBT, che questa condizione viene eno, proprio a causa del fatto che, in quel tipo di transistor, la giunzione baseeettitore è una oogiunzione, entre la giunzione basecollettore è una eterogiunzione. noltre, entre le due equazioni di pria sono state espresse in funzione delle tensioni BE e B, è spesso opportuno sostituire la B con la E : per effettuare questo cabio è sufficiente considerare che B BE E. l otivo per cui facciao questo è il seguente: la configurazione circuitale aggiorente utilizzata nelle applicazioni del BJT è quella ad eettitore coune: B porta di ingresso BE E porta di uscita 7

8 Appunti di ounicazioni Elettriche Appendice n tale configurazione, allora, la porta di ingresso è baseeettitore, caratterizzata dalla coppia,, entre la porta di uscita è la porta collettoreeettitore, caratterizzata dalla coppia ( BE B ) ( E ), : di conseguenza, espriendo la e la B in funzione di E e di BE otteniao evidenteente la caratteristica di uscita f( E BE ) B f( BE, E ) e la transcaratteristica f( BE, E ).,, la caratteristica di ingresso N.B. on la notazione f( E BE ) ed al variare del valore scelto per BE., abbiao inteso indicare le curve della in funzione della E UTO EQUAENTE D EBESMO Dal odello ateatico di EbersMoll si può arrivare al corrispondente odello circuitale. Ponendo q BE ES e qb S e le equazioni del odello vanno nella fora α α E Queste due equazioni, considerando le espressioni di e di, possono essere considerate coe quelle caratteristiche del seguente circuito: α α E E B B 8

9 ichiai vari Quindi, il odello circuitale di EbersMoll rappresenta il transistore npn ediante due diodi ideali ciascuno connesso, in parallelo, ad un generatore di corrente pilotato proprio dalla corrente che scorre nel corrispondente diodo. Possiao anche capire a cosa corrispondono, da un punto di vista fisico, questi eleenti circuitali. Per esepio, coinciao dal diodo attraversato dalla corrente : in base alle posizioni fatte, l espressione di questa corrente è qbe qbe E ES e e α α Dato che la corrente E è la corrente di saturazione della giunzione baseeettitore e BE la tensione di polarizzazione di tale giunzione, si capisce coe questo diodo tenga sepliceente conto del contributo alla corrente fornito dalla giunzione baseeettitore. n odo analogo, dato che qb qb S e e α α è chiaro che il secondo diodo tiene conto del contributo alla corrente fornita dalla giunzione basecollettore. Quindi, i due diodi che copaiono nel circuito equivalente di Ebers Moll tengono conto del contributo dato alla corrente (sia in polarizzazione diretta sia in polarizzazione inversa) dalle due giunzioni. iguardo invece i due generatori pilotati, la presenza dei fattori α e α, che sono i guadagni di corrente, in continua, nella configurazione di base coune, rispettivaente in ZAD e ZA, indica che tali generatori tengono in conto del fenoeno del trasporto dei portatori inoritari di corrente attraverso la base. Quindi, riepilogando, dichiao che il odello di EbersMoll rappresenta il transistore npn, in condizioni di polarizzazione continua e qualsiasi, ediante due diodi ideali, che rappresentano le due giunzioni di cui si copone il transistore, ciascuno connesso, in parallelo, ad un generatore di corrente pilotato proprio dalla corrente che scorre nel corrispondente diodo; tali generatori tengono in conto del fenoeno di trasporto dei portatori inoritari attraverso la base. Modello di EbersMoll per le varie condizioni di funzionaento l odello di EbersMoll è valido sia per qualsiasi tipo di transistore (cioè npn o pnp) sia, soprattutto, per qualsiasi condizione di polarizzazione del transistore. E possibile tuttavia seplificare il odello nel caso in cui si abbia una specifica condizione di funzionaento. Quando il transistore è posto a funzionare in condizione di interdizione, ossia con entrabe le giunzioni polarizzate inversaente, le tensione BE e B sono entrabe negative e, in valore assoluto, olto aggiori della tensioni terica: allora, noi possiao certaente trascurare i terini esponenziali che le contengono, ottenendo così che α α E ES S ES S 9

10 Appunti di ounicazioni Elettriche Appendice n base alla condizione di reciprocità α α, quelle relazioni diventano ES S ( α ) ( α ) E ES S Queste equazioni rappresentano il seguente circuito equivalente: E ( α ) ES ( ) α S E B B Sono cioè scoparsi i due diodi e sono riasti dei generatori di corrente pilotati dalle correnti inverse di saturazione e dipendenti anche dal trasporto degli elettroni nella base (data la presenza di α e α ): questo in perfetto accordo al fatto che, in condizioni di polarizzazione inversa per entrabe le giunzioni, gli unici contributi significativi di corrente vengono dalle correnti inverse di saturazione. Passiao alla condizione di saturazione: in questo caso, entrabe le giunzioni sono polarizzate direttaente con tensioni BE e B olto aggiori della tensione terica: in questa condizione, possiao riscrivere le equazioni del odello nella fora E qbe E α e α α α α qbe α E e α α α α e e qb qb acendo una serie di passaggi puraente ateatici, da queste si ottiene il odello di EbersMoll in condizioni di saturazione: qb e α E qbe E Ee α nfine, vediao il odello circuitale di EbersMoll per il funzionaento in zona attiva diretta: in questo caso, la tensione B è negativa e aggiore, in valore assoluto, della tensione terica: di conseguenza, possiao eliinare il terine esponenziale che contiene tale tensione B e riscrivere le due equazioni del odello nella fora

11 ichiai vari E qbe E α e α α α α qbe α E e α α α α oponendo in odo opportuno le due equazioni, si ottiene facilente che α E Stadio ad eettitore coune onsideriao un classico stadio ad eettitore coune coe quello della figura seguente: l nostro obbiettivo è quello di deterinare la frequenza di taglio superiore di questo v O circuito, intesa coe la frequenza alla quale il guadagno di tensione A (jω) (jω) scende di v 3dB rispetto al valore (sepre in db) che assue per ω. Per pria cosa, dobbiao dunque calcolare A ( jω ), per cui consideriao il circuito equivalente per piccoli segnali di questo stadio, nel quale teniao conto (dato che stiao supponendo di lavorare ad alta frequenza) delle capacità intrinseche del transistor: S

12 Appunti di ounicazioni Elettriche Appendice Per coodità, è stato fatto l equivalente di Norton del generatore forzante d ingresso e nella resistenza è stata inclusa la resistenza intrinseca di base r b, che è in serie ad S. Scrivendo le relazioni di equilibrio delle correnti ai due nodi del circuito, otteniao quanto segue (indichiao le rispettive aettenze dei resistori con la lettera G) : ( ) v G v ( G g ) ( v v ) dvs d o S dt dt ( ) ( v v ) d o g v v o G dt Trasforando le due equazioni con la trasforata di aplace e facendo qualche seplice passaggio, si ottiene v v S ( s) ( s) G g s G ( g s ) [ ( g g G) ] s a funzione di trasferiento ha evidenteente due poli, in quanto il denoinatore è del ordine; dato che un equazione di grado con coefficienti positivi ha le soluzioni a parte reale negativa, deduciao che il sistea presenta due poli a parte reale negativa. noltre il sistea presenta uno zero g reale positivo. a funzione di trasferiento è strutturalente espriibile allora nella fora seguente: A ( s) A s z s p s p a costante A definisce il guadagno statico, che può essere ottenuto ponendo s nella funzione di trasferiento :

13 ichiai vari A A ( ) g r r β r S β r b r l sistea risulta essere asintoticaente stabile e pertanto si può applicare il teorea di risposta aronica, in base al quale la funzione di risposta aronica si ottiene dalla funzione di trasferiento con la seplice sostituzione di s con jω: A ( jω) A jω z jω jω p p l odulo della funzione di risposta aronica ci fornisce il guadagno in tensione del circuito al variare della frequenza. due poli del circuito si valutano risolvendo l equazione caratteristica del sistea, ottenibile uguagliando a zero il denoinatore di A (s): [ ( g g G) ] G g s s Si tratta di una equazione di grado, le cui soluzioni risultano essere p ' ( ) g p ' g dove abbiao posto ' // r. a frequenza di taglio può essere deterinata iponendo che il odulo della funzione di risposta A ( ) aronica sia uguale a. Questa operazione, però, anche in un caso seplice coe questo si rivela in realtà inutile, poiché, in genere, per i circuiti si può assuere l ipotesi di sistea a polo doinante e quindi si ha che ω h p dove p è il polo a frequenza più piccola. n questo caso l ipotesi di sistea a polo doinante è apiaente verificata: infatti, considerando che ci si trova a frequenze olto più basse di quella di transizione del transistor, si ha che ω << ω T g, da cui deriva che ω << g Moltiplicando allora abo i ebri di questa disuguaglianza per ω si ottiene ω << ω g onfrontando con le espressioni della funzione di trasferiento e della risposta aronica, deduciao che può essere trascurato il terine di grado: 3

14 Appunti di ounicazioni Elettriche Appendice v v S ( s) ( s) G g s G ( g s ) [ ( g g G) ] o zero g z di questa funzione si trova al di là della frequenza di transizione del BJT, che vale notoriaente ω T g, per cui si tratta di uno zero fuori banda che possiao trascurare (nuericaente, il terine /g corrispondente a tale zero è dell ordine di ), in odo da porre la funzione di trasferiento nella seguente fora approssiata: v v S ( s) Gg ( s) G g s ( g g G) a corrispondente funzione di risposta aronica è quindi [ ] v v S ( jω) G g jω Gg [ ( g g G) ] Questa funzione approssia olto bene quella esatta, ben oltre la frequenza del suo unico polo. Tale polo, in base all espressione appena ricavata, è dunque p G g [ ( g g G) ] l risultato ottenuto è del tutto analogo a quello che si è ottenuto senza l approssiazione di polo doinante, per cui concludiao che ω h p. approssiazione a polo doinante può essere in genere fatta, senza coettere un grosso errore, quando il polo dista dal di aleno una decade. n caso contrario si possono ottenere errori non tollerabili. Effetto Miller sulla capacità o stadio ad eettitore coune suggerisce una notevole applicazione del teorea di Miller. Se applichiao alla capacità il teorea di Miller, otteniao il seguente circuito, equivalente a quello di partenza: 4

15 ichiai vari dove abbiao indicato con k il guadagno in tensione tra i due nodi a cui è collegata la capacità nel circuito di partenza. onsideriao adesso il seguente teorea sulle reti elettriche: Dato un circuito costituito da N parti tra di loro sconnesse (N può anche essere uguale ad ), se per ognuna di esse viene scelta una porta e a quella porta viene valutata l aettenza (passivando tutti i generatori indipendenti), allora tutte le frequenze che soddisfano questa condizione sono frequenze naturali del circuito E iportante evidenziare che è opportuno applicare questo teorea quando la singola parte di circuito per la quale si annulla l aettenza ha ordine pari ad uno, altrienti ci si ritrova a dover fare olti conti e quindi il teorea non risulta di alcuna utilità. Diciao, quindi, che il teorea risulta utile se si è capaci, con delle operazioni di equivalenza e/o con delle ragionevoli approssiazioni, di sconnettere dal circuito parti di ordine pari ad uno: annullando l aettenza in quella parte, si ottiene la frequenza di un polo del circuito. n pratica, questo è ciò che viene fatto con il teorea di Miller applicato al circuito ad eettitore coune e quindi i due poli si possono valutare facilente. l problea è che il coefficiente k dipende dalla frequenza, poiché rappresenta il guadagno in tensione tra i nodi a cui è collegata. Per calcolare l espressione esatta di k, bisognerebbe risolvere il circuito (a questo è proprio quello che si vuole evitare) e counque, valutando i poli, si otterrebbero delle espressioni in funzione di k (e quindi di s) e quindi in realtà non si deterinerebbero i poli del circuito. Tuttavia, nel caso particolare della deterinazione della frequenza di taglio ω h, se supponiao k costante e pari al valore a centro banda, otteniao, applicando il teorea di Miller, un circuito equivalente a quello di partenza fino alla sua frequenza di taglio. Pertanto, possiao calcolare la frequenza di taglio del nuovo circuito e assuere con buona approssiazione che essa sia anche la frequenza di taglio del circuito di partenza. Questa operazione prende il noe di approssiazione di Miller (e si tratta di una approssiazione a polo doinante). Oltre a seplificare notevolente la ricerca della frequenza di taglio, l approssiazione di Miller offre una spiegazione significativa di coe il liite della risposta in frequenza dei transistor in configurazione di eettitore coune non venga dalla, a bensì dalla che in genere riporta in ingresso una capacità nettaente aggiore della (questo prende il noe di effetto Miller). Adottando dunque l approssiazione di Miller, si ottengono i seguenti poli: [ ( k) ] s p [ ( k) ] k s k p k k dove k g è il guadagno a centro banda tra i nodi di base e di collettore ai quali è connessa la. Tra questi due poli, sarà quello a frequenza più bassa ad essere in coune con il circuito di partenza, entre per quello a frequenza più alta l equivalenza con l approssiazione di Miller non è più a diostrazione del teorea può essere intuita constatando che in un circuito privo di generatori forzanti l unica soluzione non banale è data dalla risposta naturale del circuito. 5

16 Appunti di ounicazioni Elettriche Appendice valida (per cui esso non dà alcuna indicazione). D altra parte, il nostro scopo è trovare ω H, per cui, a patto che il secondo polo non sia interagente col prio, ci basta trovare quest ultio. Evidenziao, a questo punto, che l effetto Miller non è sepre un effetto indesiderato: infatti, in alcuni casi, collocando una capacità fra due nodi dove esiste un guadagno in tensione elevato e invertente, si può siulare una capacità nettaente aggiore di quella che viene utilizzata (il caso più frequente lo si ha con la copensazione interna degli aplificatori). Osservazioni l circuito che si ottiene con il teorea di Miller è perfettaente equivalente a quello di partenza, a esso ha l inconveniente di dipendere da un rapporto di tensioni. Da ciò segue che ha senso applicare il teorea solo nei casi in cui il coefficiente k è costante e cioè quando si ha un unico ingresso sinusoidale. Se cabia la frequenza del generatore forzante, cabiano i valori delle reattanze. noltre, il circuito di Miller non può essere utilizzato per valutare la resistenza d uscita, poiché questo essenzialente coporta uno spostaento del generatore forzante e in genere un cabiaento del coefficiente k. Quindi, fatto l equivalente di Miller, il nuovo circuito che si ottiene può essere utilizzato solo per l analisi di funzioni di trasferiento in avanti (forward). nfine, se si utilizza l approssiazione di Miller, si deve aggiungere, a tutto ciò che è stato detto finora, che il nuovo circuito è equivalente a quello di partenza solo fino alla frequenza di taglio. Questo giustifica la perdita dello zero di trasissione che nel circuito di partenza era presente. Stadio a base coune o schea circuitale di un classico stadio a base coune è riportato nella figura seguente: O S i EE Uno stadio a base coune presenta notoriaente una bassa ipedenza di ingresso (che vale /g a centro banda), un altra ipedenza di uscita (quella di uno specchio di Widlar) e un guadagno di corrente prossio all unità (è un inseguitore di corrente). Esso presenta una banda passante particolarente estesa, per cui trova apio utilizzo nelle applicazioni a larga banda e in quelle dove è richiesta una bassa ipedenza di ingresso. Altre applicazioni sono coe stadi di uscita ad alta 6

17 ichiai vari tensione e coe traslatori di livello di tensione, coe per esepio accade nell aplificatore operazionale A74. Nella figura seguente è ostrato il circuito equivalente per piccoli segnali di uno stadio a base coune, nel quale vengono incluse ovviaente le capacità intrinseche, che deterinano il coportaento in alta frequenza: v r g v v O S v in ipedenza di ingresso è la stessa dello stadio inseguitore di eettitore: essa vale Z N r b r s r g r s r E Si tratta di una ipedenza piccola alle basse frequenze, entre, per frequenze più elevate e per correnti di polarizzazione del collettore di centinaia di A, essa diventa induttiva per la presenza della resistenza intrinseca di base r b (che però abbiao trascurato nella figura di pria). Per quanto riguarda, invece, l ipedenza di uscita, essa può essere approssiativaente stiata, a bassa frequenza, con β r O ed è perciò olto grande. Alle alte frequenze, invece, essa riceve un contributo notevole dalla capacità e anifesta perciò un coportaento capacitivo. Al fine di individuare il guadagno di tensione in funzione della frequenza, conviene ridisegnare il circuito equivalente in odo più opportuno; con opportuni passaggi sul circuito (tra cui la rappresentazione dell ingresso ediante un generatore ideale di corrente, al posto del generare reale di tensione usato pria) della figura precedente, si giunge a quest altro circuito: i in v g v O g v Questo circuito è estreaente seplice da analizzare. a tensione di uscita v O (s) è sepliceente dovuta alla corrente g v (s) che fluisce nel parallelo tra e, coe anche tensione v (s) è dovuta alla corrente di ingresso i in (s) che fluisce nel parallelo tra /g e. Prendendo coe corrente di uscita i O (s) la corrente che scorre nella resistenza e trascurando la 7

18 Appunti di ounicazioni Elettriche Appendice capacità (che non è in questo caso soggetta ad effetto Miller), si ottiene, per il guadagno di corrente, la seguente espressione: i A (s) i O in β (s) β (s) s g Questa espressione ostra che il guadagno di corrente dello stadio a base coune vale bassa frequenza (cioè praticaente ) ed ha un polo reale negativo g p prossia alla frequenza di transizione del transistor, che vale notoriaente ω P ω T β β a ad una frequenza g. iò significa, in odo analogo a quanto accade per lo stadio inseguitore di eettitore, che lo stadio a base coune è un aplificatore (non invertente) a larga banda. ircuiti risonanti SONANZA SEE onsideriao un seplice onoporta costituito da un collegaento in serie tra un resistore, un induttore ed un condensatore: i(t) v(t) Supponiao di alientare il circuito ediante una tensione sinusoidale di apiezza costante e pulsazione ω: avreo perciò una fora d onda del tipo v( t) M cos( ω t) (dove ovviaente stiao assuendo α ) cui è associato il fasore M. i chiediao, allora, coe varia la corrente i(t) assorbita dal carico al variare della pulsazione ω dell alientazione. 8

19 ichiai vari Per pria cosa deteriniao il fasore associato alla corrente i(t) e l angolo di sfasaento ϕ, che saranno ovviaente entrabi funzioni di ω: per un circuito di questo tipo, l ipedenza d ingresso vale &z j ω ω ed essa lega corrente e tensione ediante la relazione z &. Abbiao allora facilente che ( ω) z ω ω ω ϕ( ω) arctg ω Analizziao nel dettaglio le espressioni ottenute, coinciando dalla corrente. a pria cosa che risulta evidente è che esiste un valore della pulsazione ω che annulla la reattanza all ipedenza, ossia che annulla il terine ω. Si tratta precisaente del valore ω ω che prende il noe di pulsazione di risonanza. l otivo del terine risonanza sarà chiaro tra un attio. Per il oento, ci basta sottolineare che, se alientiao un circuito serie ediante una alientazione con pulsazione pari a ω,, il circuito si coporta sepliceente coe un circuito resistivo, ossia coe se né l induttore né il condensatore fossero presenti. Dire che il circuito si coporta coe un circuito resistivo equivale fondaentalente a dire 3 cose: z (la reattanza all ipedenza è nulla) ϕ (tensione e corrente sono in fase) / (la corrente assue il suo valore assio) Oltre a questo, si osservano anche altre due cose a proposito del valore assunto dal valore efficace della corrente i(t) in funzione di ω: si ha infatti che se ω () se ω ( ) Sulla base di questi risultati, possiao tracciare un grafico del valore efficace della corrente (ω) in funzione di ω: 9

20 Appunti di ounicazioni Elettriche Appendice ( ω) / ω ω (in ascisse è stata usata una scala lineare per ω). Si osserva, dunque, coe il valore efficace della corrente parta dal valore nullo in corrispondenza di ω (che corrisponde ad alientare il circuito con una tensione continua), per crescere verso il valore di picco /, che si ottiene in corrispondenza di ω, e quindi decrescere nuovaente verso il valore nullo per ω. l discorso non è olto diverso per quanto riguarda l angolo di sfasaento ϕ, il cui andaento grafico è fatto nel odo seguente: ( ) ϕ ω ω ω circuito ohicocapacitivo circuito ohicoinduttivo l grafico parte dal valore / per ω; cresce fino a raggiungere il valore in corrispondenza della pulsazione di risonanza, in accordo al fatto che, in questa condizione, il circuito è resistivo e quindi corrente e tensione sono in fase (ossia appunto ϕ); infine cresce ancora, tendendo in odo esponenziale al valore / al crescere di ω. Quindi, l angolo di sfasaento è una funzione crescente di ω e si annulla in condizioni di risonanza. Nel prio tratto, dove l angolo è negativo, il circuito si coporta dunque coe un circuito ohicocapacitivo, in quanto la reattanza capacitiva prevale su quella induttiva; quando l angolo di sfasaento si annulla, si coporta da circuito solo ohico; infine, nel tratto in cui l angolo di sfasaento è positivo, il circuito risulta essere ohicoinduttivo, in quanto la reattanza induttiva prevale questa volta su quella capacitiva. Questo fatto può essere visto in un diagraa in cui riportiao, sepre al variare di ω, i valori di X, X e X X X :

21 ichiai vari X ω X ω XX X ω ω l grafico ostra chiaraente che, pria di ω, la reattanza capacitiva è aggiore di quella induttiva, per cui la reattanza coplessiva è negativa, entre, dopo ω, accade il contrario, per cui X è positiva. n ω, le due reattanze sono identiche e quindi la reattanza coplessiva X si annulla. attore di qualità serie onsideriao sepre il circuito serie esainato pria e supponiao che esso venga alientato da una tensione avente pulsazione pari alla pulsazione di risonanza ω. Abbiao visto che, in queste condizioni, l ipedenza del circuito vale sepliceente (cioè il circuito si coporta in odo puraente resistivo) e che il fasore associato alla corrente i(t) è. Questa è anche la corrente che scorre nel condensatore e nell induttore, per cui possiao calcolarci i fasori delle rispettive tensioni: ω z& 9 z& 9 ω Tenendo conto che ω, le due tensioni risultano essere z& 9 z& 9 Si osserva cioè che, in condizioni di risonanza, le tensioni sul condensatore e sull induttore risultano essere in opposizione di fase (cioè sfasate di 8 ), a con valori efficaci uguali. n altre parole, in condizioni di risonanza serie, la tensione di alientazione si ritrova interaente ai capi della resistenza, entre le tensioni ai capi del condensatore e dell induttore sono uguali ed in opposizione di fase. Prende allora il noe di fattore di qualità serie il rapporto tra il valore efficace della tensione ai capi del condensatore (o dell induttore in base a quanto appena visto) e la tensione di alientazione, quando il circuito è in condizioni di risonanza:

22 Appunti di ounicazioni Elettriche Appendice Q iportanza ingegneristica di questo fattore Q è notevole e può essere spiegata nel odo seguente: dato sepre il circuito serie visto pria, supponiao di alientarlo con una tensione sinusoidale avente valore efficace di e frequenza angolare ωω ; in base a quanto visto pria, la condizione di funzionaento del circuito (cioè la risonanza serie) è tale che ai capi della resistenza si localizzi una tensione con valore efficace di e che le tensioni ai capi di ed siano uguali ed in opposizione di fase. Quanto vale il valore efficace della tensione ai capi di questi eleenti? n base a coe abbiao definito Q, essa vale Q, ossia è pari a oltiplicato per il fattore di qualità serie; è iportante allora conoscere il valore di Q: per esepio, supponiao che i valori di, e siano tali che risulti Q; in questo caso, condensatore e induttore hanno ai loro capi una tensione di valore efficace pari a e, presuibilente, si tratta di un valore che distrugge entrabi gli eleenti. onsiderando che Q è inversaente proporzionale ad e che, nella aggior parte dei circuiti, si tende a rendere quanto più piccola è possibile, è chiara l iportanza che assue Q: dovendo decidere coe alientare il circuito, bisogna stare attenti alla pulsazione ω ed al valore di Q, in quanto, se la pulsazione è vicina o addirittura uguale a quella di risonanza e se Q è elevato, è olto probabile che le tensioni ai capi di ed siano tali di distruggere il circuito stesso. D altra parte, è anche possibile fare un discorso inverso a quello appena esposto: considerato sepre lo stesso circuito, supponiao che esso venga alientato dal solito segnale sinusoidale v( t) M cos( ω t) ; supponiao anche che l apiezza M di questo segnale (o, ciò che è lo stesso, il suo valore efficace), sia particolarente debole, per cui è nostra intenzione aplificarlo; per fare questo, possiao sfruttare proprio il concetto di risonanza, in quanto abbiao visto che quanto più la pulsazione di alientazione si approssia alla pulsazione di risonanza, tanto più la tensione che possiao raccogliere ai capi della resistenza tende a crescere: considerando che la ω di ingresso è fissa, l unica cosa che possiao fare è quella di variare la pulsazione di risonanza ω del circuito in odo che si avvicini quanto più è possibile a ω; ovviaente, per variare ω, dobbiao variare il valore di o ; generalente, si opera sul valore di, che può essere odificato utilizzando i cosiddetti condensatori a capacità variabile, ottenibili traite diodi a giunzione. e variazioni di provocano ovviaente variazioni di Q e potreo scegliere quel valore di (e quindi di ω e di Q) che ci fornisce l aplificazione voluta del segnale in ingresso. SONANZA PAAEO Nei paragrafi precedenti abbiao esainato cosa succede alla corrente di un circuito serie quando si fa variare la pulsazione ω della tensione sinusoidale di alientazione. Qualcosa di siile vogliao vedere adesso a proposito di un circuito onoporta costituito da un collegaento in parallelo di un induttore di induttanza ed un condensatore di capacità :

23 ichiai vari Supponiao di alientare il collegaento ediante una tensione sinusoidale, la cui fora d onda sia ( t) M cos( ω t). Sappiao orai bene che la risposta del onoporta è una corrente in ingresso del tipo ( t) M cos( ωt ϕ ), dove ϕ è ancora una volta l angolo di sfasaento, ossia l argoento dell ipedenza totale del circuito considerato. osì coe abbiao fatto per la risonanza serie, vogliao esainare l andaento della corrente i(t) al variare della pulsazione ω con cui alientiao il circuito. E abbastanza intuitivo coprendere coe il ragionaento che ci accingiao a fare sia sepliceente il duale di quello fatto per la risonanza serie. Sappiao intanto che corrente e tensione sono legate dalla legge y&, dove &y è l aettenza del circuito (pari al reciproco dell ipedenza). Tale aettenza, per un collegaento in parallelo, è la soa delle aettenze: le singole aettenze sono y& z& jω j ω y& z& jω per cui l aettenza globale (detta anche aettenza di porta ) è &y j ω Allora, la corrente è sepliceente ( ω) ω ω Questa funzione nella variabile ω aette un inio in corrispondenza del valore di ω tale che ω, e si tratta evidenteente del valore ω. Questo valore della pulsazione ω ω prende il noe di pulsazione di antirisonanza : l uso del prefisso anti deriva dal fatto che, entre, nella risonanza serie, la corrente che si ottiene per ωω è la assia possibile, nella risonanza parallelo (o antirisonanza ) esso è nulla, ossia assue il valore inio: ( ω ) Naturalente, entre è nulla la corrente in ingresso, non sono certaente nulle le correnti che attraversano i due eleenti: si ha infatti che ω. y& j j y& ω jω j oe era prevedibile, si tratta di corrente uguali ed opposte, che è la condizione necessaria affinché la corrente coplessiva sia nulla (coe iposto dalla K). n pratica, alientando il circuito con una tensione sinusoidale di pulsazione pari alla pulsazione di antirisonanza ω, si realizza un oscillatore puro : la corrente risulta ingabbiata tra il condensatore e l induttore. Naturalente, ciò è possibile solo ritenendo ideali l induttore ed il condensatore e, soprattutto, quando ancano eleenti dissipativi. Al contrario, nella realtà, l induttore e il condensatore presentano una certa dissipazione di potenza: per tenere conto di questa dissipazione e vedere coe cabiano le cose, possiao inserire in parallelo anche un resistore di aettenza generica y& G. aettenza di porta diventa allora &y G j ω, e quindi la corrente, in z& ω terini di fasori, è 3

24 Appunti di ounicazioni Elettriche Appendice y G & j ω ω Per una pulsazione pari a ω, la parte iaginaria si annulla e otteniao perciò G. Quindi, anche in condizioni di antirisonanza, la corrente in ingresso al circuito non è più nulla. e correnti nell induttore e nel condensatore continuano ad essere le stesse di pria, ossia uguali ed opposte, per cui è coe se tutta la corrente in ingresso passi per il resistore e dissipi energia. Possiao cioè dire che, anche in presenza di fenoeni dissipativi, è realente possibile realizzare un fenoeno periodico nel parallelo tra condensatore e induttore. Tuttavia, entre nel caso ideale questo era possibile senza alcun apporto energetico dall esterno, nel caso reale è necessario fornire energia dall esterno, proprio in odo da copensare gli effetti dissipativi sul resistore. attore di qualità parallelo osì coe, nel caso del circuito serie, in condizioni di risonanza, avevao la tensione sul condensatore e quella sull induttore con valori efficaci uguali, a in opposizione di fase, abbiao poco fa visto che lo stesso accade nel circuito parallelo, in condizioni di antirisonanza, per quanto riguarda le correnti nel condensatore e nell induttore: y& j j y& ω jω j Prende allora il noe di fattore di qualità parallelo il rapporto tra la corrente nel condensatore (o dell induttore in base a quanto appena visto) e la corrente in ingresso al circuito, quando il circuito è in condizioni di antirisonanza: Q E iediato verificare che questo fattore di qualità parallelo è pari esattaente al reciproco del fattore di qualità serie trovato pria. Autore: SANDO PETZZE eail: sandry@iol.it sito personale: succursale: 4