ESEMPI DI REDAZIONE DEGLI ELABORATI D ESAME Versione 09.12
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- Casimiro Locatelli
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1 Politecnico di Milano orso di Studi in rchitettura mbientale orso di Scienza delle ostruzioni Prof. dolfo Zavelani Rossi Prof. ldo Ghisi ESEMPI I REZIONE EGLI ELORTI ESME Versione 9.12 Le applicazioni allegate forniscono il quadro essenziale dei risultati atti a individuare la correttezza delle soluzioni. Pochi passaggi intermedi del calcolo possono integrare l illustrazione del procedimento adottato. Semplici errori di calcolo, che non invalidano la corretta impostazione della soluzione, possono in tal modo essere individuati.
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3 Problemi isostatici con PLV Guida3.31 EORMT E ZIONI INTERNE Nome: Guida3.31 y,v,v,q 2q b -2 b E E 2 b 3 /EJ ϕ,w b b x,u,h,p H = q = -2q = -2/b u =? EJ EJ EJ EJ E SPOSTMENTO SU SHEM ISOSTTO ON LVORI VIRTULI 1 testo del problema 2 deformata e azioni interne quotate 3 azioni flettenti per calcolo spostamento M s 4 quadro lavori virtuali da azioni M s -M arichi e deformazioni date hanno verso efficace in disegno. Tracciare i diagrammi quotati delle azioni interne nelle aste. J YZ - x YZ - θ YZ riferimento locale asta YZ con origine in Y. alcolare lo spostamento orizzont. del dolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers dolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers
4 PROEIMENTO E RISULTTI Nome: Guida3.31 PROEIMENTO E RISULTTI Nome: Guida Quadro contributi PLV per spostamento u (x) M(x) M M/EJdx b -2b -b 2b 2 2b 3 /EJ b -2b -b 2b 2 2b 3 /EJ b -2b -b-qx 2 2b 2 +2x 2 8/ 3 /EJ E 2b -2b+x -2b+x 4b 2-4bx+x 2 8/ 3 /EJ spostamento u u = 28/3(b 3 /EJ) 28/ 3 /EJ E Schema di calcolo spostamenti M s flessione da forza x=1 dolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers dolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers
5 Problemi isostatici con PLV Guida3.32 EORMT E ZIONI INTERNE Nome: Guida3.32 y,v,v,q q b 1.5 b 3 /EJ ϕ,w b b b x,u,h,p -5/2-5/2-5/2 V = q = -q = -/b θ = 2θ = 2αT/b = 2b/EJ v =? EJ EJ EJ -7 2/ /4 SPOSTMENTO SU SHEM ISOSTTO ON LVORI VIRTULI 1 testo del problema 2 deformata e azioni interne quotate 3 azioni flettenti per calcolo spostamento M s 4 quadro lavori virtuali da azioni M s -M arichi e deformazioni date hanno verso efficace in disegno. Tracciare i diagrammi quotati delle azioni interne nelle aste. J YZ - x YZ - θ YZ riferimento locale asta YZ con origine in Y. urvatura θ asta positiva se convessa a destra con inizio. alcolare lo spostamento verticale del dolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers b dolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers
6 PROEIMENTO E RISULTTI Nome: Guida3.32 PROEIMENTO E RISULTTI Nome: Guida3.32 Quadro contributi PLV per spostamento v 1 (x) M(x) θ M θ (M/EJ+θ)dx 2b - 2/2x -3 2/4x 2b/EJ 3/8x 2-2xb/EJ - 2/2b 3 /EJ b -b -3/2b+x-1/2qx 2 3/2b 2 -bx+1/2x 2 7/6b 3 /EJ b -b+x -b+x b 2-2bx+x 2 1/ 3 /EJ spostamento v (3-2)/2b 3 /EJ v = (3-2)/2(b 3 /EJ) Schema di calcolo spostamenti M s flessione da forza y=1 dolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers dolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers
7 Problemi isostatici con PLV Guida3.33 EORMT E ZIONI INTERNE Nome: Guida3.33 y,v,v,q 3q 4b -19/15-89/12 ϕ,w H = q = -3q = -3/b θ = 2θ = 2αT/b = 2b/EJ u =? EJ EJ EJ x,u,h,p 12 b 3 /EJ SPOSTMENTO SU SHEM ISOSTTO ON LVORI VIRTULI 1 testo del problema 2 deformata e azioni interne quotate 3 azioni flettenti per calcolo spostamento M s 4 quadro lavori virtuali da azioni M s -M arichi e deformazioni date hanno verso efficace in disegno. Tracciare i diagrammi quotati delle azioni interne nelle aste. J YZ - x YZ - θ YZ riferimento locale asta YZ con origine in Y. urvatura θ asta positiva se convessa a destra con inizio. alcolare lo spostamento orizzont. del dolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers /2 19/12 19/4-89/12-4 b 1-4 dolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers
8 PROEIMENTO E RISULTTI Nome: Guida Schema di calcolo spostamenti M s flessione da forza x=1 dolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers PROEIMENTO E RISULTTI Nome: Guida3.33 Quadro contributi PLV per spostamento u M1 (x) M(x) θ M M M θ M (M/EJ+θ)dx b -2/5x 19/2x 2b/EJ -19/5x 2-4/5xb/EJ -155/6b 3 /EJ -2b-2/3x 19/4b+19/12x-3/2qx 2-19/2b 2-19/x+35/18x 2 +qx 3-77/4b 3 /EJ 4b -4b+x -4b+x 16b 2-8bx+x 2 64/ 3 /EJ spostamento u -95/4b 3 /EJ u = -95/4(b 3 dolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers
9 2W Problemi iperstatici con PLV Guida4.41 EORMT E ZIONI INTERNE Nome: Guida4.41 y,v,v,q q 2b -183/88-183/88-3 ϕ,w x,u,h,p W = -2W = -2b q = -q = -/b u = 1/2δ = 1/2b 3 /EJ EJ EJ 15 b 3 /EJ 3-183/44-95/44 13/44-183/88 SOLUZIONE I SHEM IPERSTTO ON LVORI VIRTULI 1 testo del problema e scelta reazione iperstatica 2 deformata e azioni interne finali quotate 3 schema principale equivalente e azioni flettenti M 4 quadro lavori virtuali da azioni - e -M o 4 valore della reazione iperstatica Reazioni iperstatiche in soluzione: X=W arichi e deformazioni date hanno verso efficace in disegno. Tracciare i diagrammi quotati delle azioni interne nelle aste. J YZ - x YZ - θ YZ riferimento locale asta YZ con origine in Y. Spostamento orizzontale assoluto u imposto al dolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers dolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers
10 PROEIMENTO E RISULTTI Nome: Guida4.41 PROEIMENTO E RISULTTI Nome: Guida4.41 q Quadro contributi PLV per iperstatica X=W 2W X X (x) M o (x) M o M /EJdx X /EJdx 2b -1/2x/b -x 1/2x 2 /b 1/4x 2 /b 2 4/ 2 /EJ 2/3Xb/EJ 9/ x-1/2qx 2-3x+1/2x 2 /b 1-9b 2 /EJ 3Xb/EJ cedimento nodo -H 1 u -1/4b 2 /EJ totali -95/12b 2 /EJ 11/3Xb/EJ iperstatica X=W 95/44b Schema di calcolo iperstatico M o flessione da carichi assegnati flessione da iperstatica dolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers dolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers
11 Problemi iperstatici con PLV Guida4.42 EORMT E ZIONI INTERNE Nome: Guida4.42 y,v,v,q q 2b 2 25 b 3 /EJ ϕ,w V = -2 q = -q = -/b EJ EJ EJ x,u,h,p -53/8 53/8-187/8 213/8 SOLUZIONE I SHEM IPERSTTO ON LVORI VIRTULI 1 testo del problema e scelta reazione iperstatica 2 deformata e azioni interne finali quotate 3 schema principale equivalente e azioni flettenti M 4 quadro lavori virtuali da azioni - e -M o 4 valore della reazione iperstatica Reazioni iperstatiche in soluzione: X=W arichi e deformazioni date hanno verso efficace in disegno. Tracciare i diagrammi quotati delle azioni interne nelle aste. J YZ - x YZ - θ YZ riferimento locale asta YZ con origine in dolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers /4 b dolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers /8 21/8 21/8
12 PROEIMENTO E RISULTTI Nome: Guida4.42 q X 2 Schema di calcolo iperstatico 21/4 21/4 21/4-1/2-1/2-1/2 21/4 M o flessione da carichi assegnati -1-1/2 flessione da iperstatica dolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers PROEIMENTO E RISULTTI Nome: Guida4.42 Quadro contributi PLV per iperstatica X=W M1 (x) M (x) M M o 1 o M1 M1 M /EJdx XM M /EJdx /6x/b 7/4x -7/4x+7/24x 2 /b 1-1/3x/b+1/36x 2 /b 2-21/4b 2 /EJ 7/4Xb/EJ 2b -1/2 21/4b -21/8b 1/4-21/4b 2 /EJ 1/2Xb/EJ -1/2+1/6x/b 21/4b-1/4x-1/2qx 2-21/8b+x+5/24x 2 /b-1/12qx 3 /b 1/4-1/6x/b+1/36x 2 /b 2-51/16b 2 /EJ 1/4Xb/EJ totali -219/16b 2 /EJ 5/2Xb/EJ iperstatica X=W dolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers
13 Problemi iperstatici con PLV Guida4.43 EORMT E ZIONI INTERNE Nome: Guida4.43 y,v,v,q 2b 4 αtb ϕ,w θ = -θ = -αt/b = -b/ej k /b EJ EJ EJ x,u,h,p 1/28 αtej/b 2-1/28-1/28 αtej/b 2 SOLUZIONE I SHEM IPERSTTO ON LVORI VIRTULI 1 testo del problema e scelta reazione iperstatica 2 deformata e azioni interne finali quotate 3 schema principale equivalente e azioni flettenti M 4 quadro lavori virtuali da azioni - e -M o 4 valore della reazione iperstatica Reazioni iperstatiche in soluzione: X=W arichi e deformazioni date hanno verso efficace in disegno. Tracciare i diagrammi quotati delle azioni interne nelle aste. J YZ - x YZ - θ YZ riferimento locale asta YZ con origine in Y. urvatura θ asta positiva se convessa a destra con dolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers αtej/b 3/14 dolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers /28 3/28 3/28
14 -1/2-1/2-1/2 PROEIMENTO E RISULTTI Nome: Guida4.43 X Schema di calcolo iperstatico -1-1/2 flessione da iperstatica dolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers PROEIMENTO E RISULTTI Nome: Guida4.43 Quadro contributi PLV per iperstatica X=W M1 (x) M (x) θ M M o 1 o M1 θ M 1 M1 (M /EJ+θ)dx XM M /EJdx /6x/b 1-1/3x/b+1/36x 2 /b 2 7/4Xb/EJ 2b -1/2 1/4 1/2Xb/EJ -1/2+1/6x/b -αt/b 1/2αT/b-1/6αTx/b 2 1/4-1/6x/b+1/36x 2 /b 2 3/4αT 1/4Xb/EJ molla nodo -W1 (W +XW )/k o 1 Xb/EJ totali 3/4αT 7/2Xb/EJ iperstatica X=W dolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers
15 Spostamenti iperstatici con PLV Guida5.51 EORMT E ZIONI INTERNE Nome: Guida5.51 y,v,v,q 1/5q W 2b -129/22-129/22-3/5 ϕ,w x,u,h,p W = -W = -b q = -1/5q = -1/5/b u = -δ = -b 3 /EJ ϕ =? EJ EJ 5 b 3 /EJ SPOSTMENTO SU SHEM IPERSTTO ON LVORI VIRTULI 1 testo del problema e scelta reazione iperstatica 2 deformata e azioni interne finali quotate 3 principale equivalente e azioni flettenti M M s 4 quadro lavori virtuali da azioni - e -M o 4 valore della reazione iperstatica 4 quadro lavori virtuali da azioni M s -M 4 valore dello spostamento richiesto Reazioni iperstatiche in soluzione: X=W arichi e deformazioni date hanno verso efficace in disegno. Tracciare i diagrammi quotati delle azioni interne nelle aste. arichi di aste curve misurati in proiezione sugli assi x,y. J YZ - x YZ - θ YZ riferimento locale asta YZ con origine in Y. Spostamento orizzontale assoluto u imposto al nodo. alcolare la rotazione assoluta del nodo su dolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers /5 8/11-129/11-19/11-129/22 dolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers
16 PROEIMENTO E RISULTTI Nome: Guida5.51 PROEIMENTO E RISULTTI Nome: Guida5.51 1/5q W Quadro contributi PLV per iperstatica X=W X (x) M o (x) M o M /EJdx X /EJdx 2b 1/2x/b -19/2x -19/4x 2 /b 1/4x 2 /b 2-19/15b 2 /EJ 2/3Xb/EJ -19/1-9/1 1-9/1b+3/5x-1/1qx 2-9/1b+3/5x-1/1x 2 /b 1-9/1b 2 /EJ 3Xb/EJ cedimento nodo -H 1 u -1/2b 2 /EJ totali -8/ 2 /EJ 11/3Xb/EJ iperstatica X=W 8/11b Quadro contributi PLV per spostamento ϕ (x) M(x) M M/EJdx 2b -1+1/2x/b -129/22x 129/22x-129/44x 2 /b 43/11b 2 /EJ -19/11b+3/5x-1/1qx 2 cedimento nodo -H 1 u -1/2b 2 /EJ spostamento ϕ -6/55b 2 /EJ Schema di calcolo iperstatico M o flessione da carichi assegnati ϕ = -6/55(b 2 /EJ) flessione da iperstatica X=1 M s flessione da forza W=1 dolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers dolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers
17 Spostamenti iperstatici con PLV Guida5.52 EORMT E ZIONI INTERNE Nome: Guida5.52 y,v,v,q q 2b 2 25 b 3 /EJ ϕ,w x,u,h,p V = -2 q = -q = -/b ϕ =? EJ EJ EJ -53/8 53/8-187/8 213/8 SPOSTMENTO SU SHEM IPERSTTO ON LVORI VIRTULI 1 testo del problema e scelta reazione iperstatica 2 deformata e azioni interne finali quotate 3 principale equivalente e azioni flettenti M M s 4 quadro lavori virtuali da azioni - e -M o 4 valore della reazione iperstatica 4 quadro lavori virtuali da azioni M s -M 4 valore dello spostamento richiesto Reazioni iperstatiche in soluzione: X=W arichi e deformazioni date hanno verso efficace in disegno. Tracciare i diagrammi quotati delle azioni interne nelle aste. J YZ - x YZ - θ YZ riferimento locale asta YZ con origine in Y. alcolare la rotazione assoluta del nodo su dolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers /4 b dolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers /8 21/8 21/8
18 PROEIMENTO E RISULTTI Nome: Guida5.52 q X 2 Schema di calcolo iperstatico 21/4 21/4 21/4-1/2-1/2-1/2 21/4 M o flessione da carichi assegnati -1-1/2 flessione da iperstatica X=1 1/2 1 1/2 1/2 1/2 M s flessione da forza W=1 dolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers PROEIMENTO E RISULTTI Nome: Guida5.52 Quadro contributi PLV per iperstatica X=W Quadro contributi PLV per spostamento ϕ M1 (x) M (x) M M o 1 o M1 M1 M /EJdx XM M /EJdx /6x/b 7/4x -7/4x+7/24x 2 /b 1-1/3x/b+1/36x 2 /b 2-21/4b 2 /EJ 7/4Xb/EJ 2b -1/2 21/4b -21/8b 1/4-21/4b 2 /EJ 1/2Xb/EJ -1/2+1/6x/b 21/4b-1/4x-1/2qx 2-21/8b+x+5/24x 2 /b-1/12qx 3 /b 1/4-1/6x/b+1/36x 2 /b 2-51/16b 2 /EJ 1/4Xb/EJ totali -219/16b 2 /EJ 5/2Xb/EJ iperstatica X=W 219/4b M1 (x) M(x) M M M M/EJdx 1 1 1/6x/b -219/4b+213/8x -73/8x+71/16x 2 /b -9/8b 2 /EJ 2b 1/2 21/8b 21/16b 21/8b 2 /EJ 1/2+1/6x/b 21/8b+53/8x-1/2qx 2 21/16b+3/4x-67/48x 2 /b-1/12qx 3 /b 21/5b 2 /EJ spostamento ϕ 33/5b 2 dolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers
19 Spostamenti iperstatici con PLV Guida5.53 EORMT E ZIONI INTERNE Nome: Guida5.53 y,v,v,q 8/9q 4b -28/95-131/57 ϕ,w H = q = -8/9q = -8/9/b θ = 2θ = 2αT/b = 2b/EJ ϕ =? EJ EJ EJ x,u,h,p 8 b 3 /EJ SPOSTMENTO SU SHEM IPERSTTO ON LVORI VIRTULI 1 testo del problema e scelta reazione iperstatica 2 deformata e azioni interne finali quotate 3 principale equivalente e azioni flettenti M M s 4 quadro lavori virtuali da azioni - e -M o 4 valore della reazione iperstatica 4 quadro lavori virtuali da azioni M s -M 4 valore dello spostamento richiesto Reazioni iperstatiche in soluzione: X=W arichi e deformazioni date hanno verso efficace in disegno. Tracciare i diagrammi quotati delle azioni interne nelle aste. iagrammi di carico con valori riferiti ad asse della trave. omponenti di carico distribuito riferiti ad assi ortogonali. J YZ - x YZ - θ YZ riferimento locale asta YZ con origine in Y. urvatura θ asta positiva se convessa a destra con inizio. alcolare la rotazione assoluta del dolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers /95 7/19-131/57 b 1-4 dolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers
20 PROEIMENTO E RISULTTI Nome: Guida5.53 8/9q -4-4 X Schema di calcolo iperstatico M o flessione da carichi assegnati 1/ /2-1/2 1/2 flessione da iperstatica X=1 M s flessione da forza W=1 dolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers PROEIMENTO E RISULTTI Nome: Guida5.53 Quadro contributi PLV per iperstatica X=W Quadro contributi PLV per spostamento ϕ M1 (x) M (x) θ M M o 1 o M1 θ M 1 M1 (M /EJ+θ)dx XM M /EJdx 1 1 5b -1+1/1x/b 2b/EJ -2b/EJ+1/5x/EJ 1-1/5x/b+1/1x 2 /b 2-15/2b 2 /EJ 35/12Xb/EJ -1/2+1/6x/b -4/9qx 2 2/9x 2 /b-2/27qx 3 /b 1/4-1/6x/b+1/36x 2 /b 2 1/2b 2 /EJ 1/4Xb/EJ 4b -4b+x totali -7b 2 /EJ 19/6Xb/EJ iperstatica X=W 42/19b M1 (x) M(x) θ M M M θ M (M/EJ+θ)dx b 1/1x/b -42/19b+21/95x 2b/EJ -21/95x+21/95x 2 /b 1/5x/EJ 25/38b 2 /EJ 1/2+1/6x/b -21/19b+7/19x-4/9qx 2-21/38b-55/342x 2 /b-2/27qx 3 /b -175/38b 2 /EJ 4b -4b+x spostamento ϕ -75/19b 2 dolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers
IPER SUPPORTO DIAGRAMMI Nome: IPER Esercizio Adolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers
Esercizio FMS IPER71,v,V,q E 2W q b F A C q b ϕ,w b b,u,h,p H C = F W EC = 2W = 2Fb q C = q = F/b p E = q = F/b θ A = -θ = -αt/b = -bf/ej ε = αt = b 2 F/EJ k A = EJ/b EJ A = EJ Nell ipotesi di trascurare
SUPPORTO DIAGRAMMI Nome: Strutture iperst (LE - PLV) - SdC ing. C. y,v,v,q. Indicare il verso del riferimento locale AB oppure BA.
Strutture iperst (L - PLV) - Sd ing. IPΣPR2017.001 IPΣPR2017.001 Indicare il verso del riferimento locale oppure y(x)j= y(x)j= y(x)j= y(x)j= y(x)j= ϕ,w V = - p = - = -/ θ = -θ = -αt/ = -/J ε = -αt = -
250612ENE.001. SUPPORTO DIAGRAMMI Nome: ENE.001. Appello 25 Giugno Adolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers
ppello 25 iugno 2 256N.1 y,v,v, W H = - W = -W = - J J J J J J J ϕ,w 2 x,u,h,p RIONSNR SOLO QUSTO OLIO. alcolare le reazioni vincolari dei vincoli esterni. Tracciare i diagrammi uotati delle azioni interne.
A SUPPORTO DIAGRAMMI Nome: A Appello 25 Settembre Adolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers
Appello 25 Settemre 213 A1.1 H I = - W D = -W = - q HI = -q = -/ x AB x BC x CD x DE x E x G x BH x HI x I y,v,v,q A H B q G C D E ϕ,w x,u,h,p I W RICONSEGNARE SOLO QUESTO OGLIO. Calcolare le reazioni
Esercizi su strutture isostatiche
sercizi su strutture isostatiche sercizio No. y,v,v, 4 2W 3 3 ϕ,w x,u,h,p H = -3 W = 2W = 2 = 3 = 3/ p = -4 = -/ seguire l analisi cinematica. alcolare le reazioni vincolari esterne ed interne. seguire
Politecnico di Milano (Sede di Mantova) TePCeS *001 Allievo: TePCeS *001 y,v,v,q D 3b 3b A B C 4F 2F E F G F ϕ,w 4b 4b 4b 4b 4b 4b x
Politecnico di Milano (Sede di Mantova) TePCeS2 09.09.05*001 Allievo: TePCeS2 09.09.05*001 y,v,v,q D 3b 3b A B C 4 E G ϕ,w x,u,h,p H D = - V C = -4 V E = - x AB x AC x BC x CD x CE x DE x E x EG x G Verso
Politecnico di Milano (sede di Mantova) ME=TePCeS2 1.07.05001 REAZIONI VINCOLARI ME=TePCeS2 1.07.05001 y,v,v,q H I K 5F J L 11F 11F 15F 15F 5F 5F 11F 11F 11F 26F 26F 15F F G 2F 5F 11F 5F 5F 15F 26F C 3W
IPER SUPPORTO DIAGRAMMI Nome: IPER Esercizio Adolfo Zavelani Rossi, Politecnico di Milano, vers = σ m.
sercizi MS,v,V,q 4W ϕ,w,u,h,p W = 4W = 4 ε = -αt = - /J ϕ =? J J J J J Nell iptesi di trascurare la defrmailità assiale e tagliante dvuta ai sli effetti elastici, tracciare i diagrammi delle azini interne
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