Costruzione della matrice di rotazione noti 3 suoi elementi

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1 Univesità Politecnic delle Mche PRIN5 Sistemi mini-obotici pe ppliczioni tecnologiche vnzte UNIT OPERTIV DI NCON Dispositivi di oientmento pe stzioni di ssemblggio minituizzte Rppoto scientifico n Costuzione dell mtice di otzione noti 3 suoi elementi Pof. Mssimo Cllegi Ing. nde Gbielli 15//7 1

2 Intoduzione Nello studio dell cinemtic dei dispositivi di oientmento può cpite di dove detemine l inte mtice di otzione un volt che sino noti 3 suoi elementi: tle poblem si incont ddiittu fequentemente nell nlisi cinemtic diett dei polsi sfeici con chitettu pllel. In pticole questo è il cso del meccnismo 3-CRU descitto nel ppoto [CG7], in cui si vengono detemine gli elementi, e dell mtice di otzione R ed occoe icostuie l mtice complessiv. gli utoi non isult che tle poblem si stto pecedentemente tttto in lettetu, se non in fom esclusivmente numeic pe l icostuzione dell oientmento di un copo d misue speimentli idondnti o pzili: in tl cso, tuttvi, ttveso un pocedu nomlmente itetiv si giunge ll deteminzione di un solo oientmento, mente come mostto nel seguito il poblem mmette nell su genelità fino d 8 soluzioni distinte. Nel seguito si descive l pocedu seguit pe l soluzione del cso pecedentemente citto (conoscenz di, e, che pelto isult il più complesso f le possibili combinzioni di elementi: gli lti csi si isolvono in mnie nlog o ddiittu in modo bnle (nel cso dei 3 elementi si tovino sull stess ig o sull stess colonn. Sviluppo dell soluzione Noti i te elementi, e dell mtice di otzione R R (1 si vuole icve l inte mtice, ovveo il vloe dei 6 elementi mncnti in funzione dei 3 noti. Ovvimente è possibile imposte un sistem di 6 equzioni isolventi imponendo le 3 condizioni di otogonlità dei vesoi degli ssi e le 3 condizioni di modulo unitio. Tuttvi il metodo più semplice è quello che pss ttveso l pmetizzzione degli ngoli di Cdno. Supponimo di descivee l oientmento fcendo ifeimento te successive otzioni ( α, β, γ ttono gli ssi copo x, y e z ispettivmente. R sαsβ cαsβ sβ cγ sγ cα sα 1 sγ cγ sα cα sβ 1 sβ cγ sγ cγ sγ cα sα sγ cγ sαsβ cγ + cαsγ sαsβ sγ + cαcγ sα cα 1 cαsβ cγ cαsβ sγ + sαcγ sβ sα cα ( con α β γ

3 Se si intendono icve le elzioni invese, ovveo detemine gli ngoli di Cdno ( α, β, γ che coispondono d un ssegnt mtice di otzione, l ppesentzione scelt isult degenee qundo cos β, cso in cui non è possibile detemine tutti e 3 gli ngoli, m solo il vloe di β e l somm o l diffeenz degli lti due ngoli. Uguglindo i temini ssegnti dell mtice di otzione con le coispondenti espessioni in funzione degli ngoli di Cdno, si ottengono le seguenti elzioni: sγ sα cαsβcγ (3 Siccome, e sono temini noti, ci simo icondotti isolvee un sistem di 3 equzioni lgebiche non linei (3 nelle 3 incognite α, β, γ. Combinndo l (3.1 con l (3. ottenimo che: sα sγ (4 con (l tttzione del cso è ipott ll fine del documento nel pimo, secondo, tezo e quinto cso pticole. Mente, dto che c β + s β 1, combinndo l (3.1 con l (3.3 si h + s γ + s αs γ c αc γ sαsγ 1 (5 con s γ sγ γ + k ( 1 α ( 1 s γ s ( 1 s ( 1 s e dll (4 s α α α cα α ± γ cγ γ ± (l tttzione del cso s γ è ipott ll fine del documento nel quinto cso pticole, quell di c α nel sesto cso pticole, mente quell di c γ nel settimo cso Volendo espimee tutto in funzione dei seni degli ngoli, si ottiene: + s γ + s αs γ ( 1 s α ( 1 s γ sαsγ 1 ( 1 s γ s α + s αs γ + s γ ( + s αs γ sαsγ s γ ( s γ s α s αs γ + 1 Ricodndo l elzione (4 si può peciò scivee: (6 3

4 s γ s γ + s γ s γ + s γ s γ s γ 1 s γ s γ + s s γ s γ + s γ + s γ + s γ s γ s γ s γ s γ + s γ (7 Rccogliendo le costnti bbimo: γ s γ B C ( 1 s γ + { (8 4 s γ + B s γ + C con > B 1 C Si noti che è sempe positivo e non può mi essee nullo. Le soluzioni dell (8 sono: s 1, γ B ± B 4C e quindi si ottengono 4 vloi pe il seno di γ: B + B 4C γ 1 (9 ( s ( sγ ( sγ 3 ( sγ 4 B B 4C B + B 4C B B 4C Si ossevi che, lddove è veifict l condizione B 4C, isult sempe: B + B 4C 1. B B 4C. pe cui si icvno sempe 4 vloi eli pe sen(γ e quindi 8 vloi pe l ngolo γ stesso. 4

5 I vloi dei te pmeti, e che potno vloi negtivi del disciminnte pecedente, e cioè: B 4C < coispondono mtici di iflessione (nziché di otzione; nche in questo cso, inftti, esiste un mtice R che veific le 6 condizioni: modulo unitio dei vesoi: i1 + i + i 3 1 otogonlità dei vesoi: 1 i 1 j + i j + 3 i 3 j m il suo deteminnte è -1 (nziché +1: tuttvi, tle mtice non può essee detemint pssndo ttveso l pmetizzzione degli ngoli di Cdno, in qunto l elzione ( gntisce l ottenimento di un mtice di otzione. Pe tle motivo le soluzioni pecedenti diventno in questo cso complesse o immginie. questo punto l eq. (3.1 pemette di icve il vloe di c β, cui coispondono vloi dell ngolo β: sγ Si noti che pe l pmetizzzione scelt degli ngoli di Cdno l ngolo β v istetto t -9 e 9 : poiché 4 degli 8 vloi di γ già ottenuti si tovno sicumente nel 1 o nel 4 qudnte mente gli lti 4 si tovno nel o nel 3 qudnte, ci snno in coispondenz 4 vloi di cosβ positivi (e quindi ccettbili e 4 vloi negtivi, che non sono d considee olte. In totle, quindi, sono stte fino tovte 8 soluzioni ccettbili pe l coppi di ngoli (γ, β. Pe tove il vloe di α si consideino infine le ultime equzioni del sistem (3, in cui questo punto isultno incogniti i soli temini cos(α e sen(α: sα (1 β + γ c s cα sβcγ (l tttzione del cso s β è ipott ll fine del documento nell ottvo cso pticole L funzione TN fonisce un solo vloe di α in coispondenz di ognun delle coppie (γ, β pecedentemente deteminte. Petnto le soluzioni l poblem posto, e quindi nche le soluzioni dell cinemtic diett del meccnismo 3-CRU, sono pi d un mssimo di 8, in ccodo con [InP93]. Csi pticoli ndimo o studie i csi pticoli pecedentemente intodotti. Pimo Cso sγ sα cαsβcγ (11 5

6 L (11.1 si nnull pe c β o s γ Qundo c β β ± Dll (11.3 pe: β β c αcγ c( α + γ c αcγ c( α γ α + γ ± α γ ± Qundo s γ γ Pe: γ sα cαsβ Pe: γ questo sistem h le seguenti soluzioni: 1 α β α β vendo escluso i csi con β ± già tttti sα cαsβ questo sistem h le stesse soluzioni del pecedente In definitiv le soluzioni pe il cso sono: 1 α α α α 3 α α 4 α α Con α pmeto pe il qule l ispettiv mtice di otzione è invinte (singolità di ppesentzione. 6

7 Secondo Cso ( e sγ sα cαsβcγ ( L (.1 si nnull pe c β o s γ Qundo c β β ± Dll (.3 pe: Pe: cα cγ Le soluzioni sono: 1 α + γ cos( α + γ cos β c( α + γ β ( c α cγ c( α γ Le soluzioni sono: 1 α γ cos( α γ cos ( Qundo s γ γ Pe: γ sα cαsβ Pe: γ questo sistem h le seguenti soluzioni: 1 α β sin( α β sin( vendo escluso i csi con β ± già tttti sα cαsβ questo sistem h le seguenti soluzioni: 1 α β sin( α β sin( vendo escluso i csi con β ± già tttti 7

8 In definitiv le soluzioni pe il cso e sono: 1 α cos α cos 3 α α cos 4 α α + cos ( α ( α ( ( 5 sin( 6 sin( 7 sin( 8 sin( Con α pmeto pe il qule l ispettiv mtice di otzione è invinte (singolità di ppesentzione. Tezo Cso e sγ sα cαsβcγ (13 L (13.1 si nnull solo pe s γ (l condizione c β endeebbe nullo Qundo s γ γ sα cαsβ L second equzione è veifict pe: s β 1 oppue pe: c α 3 4 β α sin( β α ( sin α ± ( α ( In definitiv le soluzioni pe il cso e sono: β cos se < β ± cos se > 8

9 Pe < 1 sin( sin( 3 cos( 4 cos( 5 sin( 6 ( sin 7 8 cos( ( cos Pe > 1 sin( sin( 3 cos( 4 cos( 5 sin( 6 ( sin 7 8 cos( ( cos Quto Cso (sα e sγ sα cαsβcγ (14 L (14. si nnull solo pe s α (l condizione c β endeebbe nullo Qundo s α α sγ sβcγ L second equzione è veifict pe: s β 9

10 1 O pe: c γ β α sin( β α ( sin 3 4 γ γ ± ( ( β cos se < β ± cos se > In definitiv le soluzioni pe il cso e sono: Pe < Pe > 1 sin( sin 3 cos( 4 cos( 5 sin( sin 7 cos( 8 cos( ( 6 ( 1 sin( sin 3 cos( 4 cos( 5 sin( sin 7 cos( ( 6 ( 8 ( cos 1

11 Quinto Cso (sγ, e sγ sα cαsβcγ (15 L (15.1 si nnull solo pe s γ (l condizione c β endeebbe nullo Qundo s γ γ Pe γ sα cαsβ s s ( α + β ( α β + Se chimo: sin( K sin( + K1 bbimo 4 csi α + β K1 α β K α + β K1 α β K α + β K1 α β K α + β K1 α β K Sommndo e sottendo le equzioni di ciscun sistem bbimo le seguenti soluzioni: K 1+ K α K + K1 α K 1+ K α K1 K α K1 K β + K + K1 β K1 K β β K 1+ K Pe γ sα cαsβ s s ( α + β ( α β + 11

12 Seguendo il medesimo pocedimento usto pe γ bbimo le seguenti soluzioni: K + K1 α K 1+ K α K + K1 α K K1 α K K1 β + K 1+ K β K K1 β K + K1 β In definitiv le soluzioni pe il cso, e sono: 1 K 1+ K K1 K K + K1 + K + K1 3 K 1+ K K1 K 4 K1 K K 1+ K 5 K + K1 K K1 6 K 1+ K + K 1+ K 7 K + K1 K K1 8 K K1 K + K1 Con K1 sin( K sin( + Sesto Cso (cα Se, e ci itovimo nel Pimo Cso Se, e ci tovimo nel Secondo Cso Se, e ci tovimo nel Tezo Cso Se, e

13 sγ sα cαsβcγ (16 sα ( cαsβcγ sγ c αsαsβcγ s αsγ + sγ αsαsβcγ + c αsγ c c α ( sαsβcγ + cαsγ Se c β icdimo nel Secondo Cso Mente se c β l equzione si nnull con c α e s αsβcγ + cαsγ Pe c α Pe: Pe: α ± α α sγ sγ Dll second e dll tez: con < 1 β ± cos( γ sin( β ± ( γ ( sγ sγ cos Dll second e dll tez: con > sin 1 β ± cos( γ sin( β ± cos( γ sin( Dllo studio di c α si sono icvte 4 soluzioni: 13

14 Pe < 1 cos( sin( cos( sin( 3 cos( sin 4 cos( sin ( ( Pe > 1 cos( sin( cos( sin( 3 cos( sin 4 cos( sin ( ( Le lte 4 soluzioni si ottengono dllo studio di s αsβcγ + cαsγ. Poiché sγ e sα ( c β l equzione s αsβcγ + cαsγ divent ± sβ 1 ± c β 1 c β espess tutt in funzione di β Moltiplicndo i membi pe c β ottenimo: ± sβ c β ± c β s β c β c β Elevndo i membi l qudto: ( ( s c β s β c β 4 c β + c β 4 β c β + c β c β c β ( c β [ c β + ( ] vendo escluso il cso in cui β ( c imne d ttte il cso c β + ( c β + c ± E con + + > + + β con sempe, dto che, sostituendo si h 4 ( > Poiché < β < + + l unic soluzione ccettbile è + 14

15 + + D cui β ± cos γ sin sin e γ sin sin + + α sin sin e α sin sin Quindi pe s αsβcγ + cαsγ bbimo 8 soluzioni di cui solo 4 veificte un volt noto il segno di : + + Definendo Pe > 1 sin( cos ( sin( sin( cos( sin( 3 sin( cos ( sin( sin cos sin Pe < 4 ( ( ( 1 sin( cos ( sin( sin( cos( sin 3 sin( ( sin sin cos sin ( cos ( 4 ( ( ( In definitiv le soluzioni pe il cso con, e sono: Pe >, < e < 1 cos( sin( cos( sin( 3 cos( sin( 4 cos( sin( 5 sin( cos ( sin( 6 sin( cos( sin 7 sin( ( sin sin cos sin ( cos ( 8 ( ( ( 15

16 + + Dove Pe <, < e > Pe <, > e < Pe >, > e > 1 cos( sin( cos( sin( 3 cos( sin( 4 cos( sin( 5 sin( ( sin 6 sin( cos( sin( 7 sin( cos ( sin( sin cos sin cos ( 8 ( ( ( 1 cos( sin( cos( sin( 3 cos( sin( 4 cos( sin( 5 sin( cos ( sin( 6 sin( cos( sin 7 sin( ( sin sin cos sin ( cos ( 8 ( ( ( 1 cos( sin( cos( sin( 3 cos( sin( 4 cos( sin( 5 sin( ( sin 6 sin( cos( sin( 7 sin( cos ( sin( sin cos sin cos ( 8 ( ( ( 16

17 Settimo Cso (cγ Se, e ci itovimo nel Pimo Cso Se, e ci tovimo nel Secondo Cso Se, e ci tovimo nel Quto Cso Se, e sγ sα cαsβcγ (17 sγ ( cαsβcγ sα c αsβcγsγ sαs γ + sα αsβcγsγ + sαc γ c c βcγ ( cαsβsγ + sαcγ Se c β icdimo nel Secondo Cso Mente se c β l equzione si nnull con c γ e c αsβsγ + sαcγ Pe c γ Pe: Pe: γ ± γ γ sα sα Dll pim e dll tez: con < 1 α sin( β ± cos( α ( β ± ( sα sα sin Dll pim e dll tez: cos 17

18 con > Dllo studio di c γ si sono icvte 4 soluzioni: Pe < Pe > 1 α sin( β ± cos( α ( β ( sin ± cos 1 sin( cos( sin( cos( 3 sin( cos( 4 sin( cos( 1 sin( cos( sin( cos( 3 sin( cos( 4 sin( cos( Le lte 4 soluzioni si ottengono dllo studio di c αsβsγ + sαcγ : Poiché sγ e sα ( c β l equzione c αsβsγ + sαcγ divent ± 1 sβ ± 1 c β c β espess tutt in funzione di β Moltiplicndo i membi pe c β ottenimo: ± sβ c β ± c β s β c β c β Elevndo i membi l qudto: ( ( s c β s β c β 4 c β + c β 4 β c β c β c β + c β ( c β [ c β + ( ] vendo escluso il cso in cui β ( c imne d ttte il cso c β + ( c β + c ± + + β con 18

19 e con + + sempe, dto che, sostituendo si h > 4 ( > Poiché < β < + + l unic soluzione ccettbile è D cui β ± cos γ sin sin e γ sin sin α sin sin e α sin sin Quindi pe c αsβsγ + sαcγ bbimo 8 soluzioni di cui solo 4 veificte un volt noto il segno + +. Definendo di Pe < Pe > sin 1 sin( cos ( ( sin( cos( sin( 3 sin( cos ( sin( 4 sin( cos( sin( sin 1 sin( cos ( ( sin( cos( sin( 3 sin( cos ( sin( 4 sin( cos( sin( In definitiv le soluzioni pe il cso con, e sono: Pe >, < e < 1 sin( cos( sin( cos( 3 sin( cos( 4 sin( cos( 19

20 5 sin( cos ( sin( 6 sin( cos( sin( 7 sin( cos ( sin( 8 sin( cos( sin( + + Dove Pe < e > 1 sin( cos( sin( cos( 3 sin( cos( 4 sin( cos( 5 sin( cos ( sin( 6 sin( cos( sin( 7 sin( cos ( sin( 8 sin( cos( sin( Pe > e < 1 sin( cos( sin( cos( 3 sin( cos( 4 sin( cos( 5 sin( cos ( sin( 6 sin( cos( sin( 7 sin( cos ( sin( 8 sin( cos( sin( Pe > e > 1 sin( cos( sin( cos( 3 sin( cos( 4 sin( cos( 5 sin( cos ( sin( 6 sin( cos( sin( 7 sin( cos ( sin( 8 sin( cos( sin(

21 Ottvo Cso (sβ Se, e ci itovimo nel Pimo Cso Se, e ci tovimo nel Tezo Cso Se, e ci tovimo nel Quto Cso Se, e sγ sα cαsβcγ (18 c βsγ ( sα cαsβcγ s αc βsγ cαsβcγ αs βsγ cαsβcγ s s β ( sαsβsγ cαcγ L equzione si nnull con s β e s αsβsγ cαcγ Pe s β β sγ sα sαsγ Dll pim e dll second vedimo che: α sin( o α sin( γ ( o γ ( sin Dllo studio di s β si sono icvte 4 soluzioni: sin 1 sin( sin( sin( sin 3 sin( sin( 4 sin( sin ( ( Le lte 4 soluzioni si ottengono dllo studio di s αsβsγ cαcγ : Poiché sγ e sα ( c β l equzione s αsβsγ cαcγ divent 1

22 ± sβ ± 1 1 c β c β espess tutt in funzione di β Moltiplicndo i membi pe c β ottenimo: ± β sβ ± c β c s β c β c β Elevndo i membi l qudto: ( ( 4 β + c β c β + c β c β 4 s c β c β c β c β ( c β + vendo escluso il cso in cui c β imne d ttte il cso c β + c β + ± + E con + sempe, dto che si h > ( > Dto che < β < l unic soluzione ccettbile è + + D cui β ± cos + γ sin sin e γ + α sin sin e α + sin sin + sin sin + Quindi pe s αsβsγ cαcγ bbimo 8 soluzioni di cui solo 4 veificte un volt noto il segno di : Definendo Pe < + sin 1 sin( cos ( ( sin( cos( sin( 3 sin( cos ( sin( 4 sin( cos( sin(

23 Pe > sin 1 sin( cos ( ( sin( cos( sin( 3 sin( cos ( sin( 4 sin( cos( sin( In definitiv le soluzioni pe il cso con, e sono: Pe < 1 sin( sin( sin( sin( 3 sin( sin( 4 sin( sin( 5 sin( ( sin 6 sin( cos( sin( 7 sin( cos ( sin( sin cos sin cos ( 8 ( ( ( Dove + Pe > 1 sin( sin( sin( sin( 3 sin( sin( 4 sin( sin( 5 sin( cos ( sin( 6 sin( cos( sin 7 sin( ( sin sin cos sin ( cos ( 8 ( ( ( Rifeimenti bibliogfici [CG7] Cllegi, M. e. Gbielli (7. Cinemtic del meccnismo 3-CRU di pu otzione. Rppoto Inteno, Diptimento di Meccnic, Univesità Politecnic delle Mche. [InP93] Innocenti, C. nd V. Penti-Cstelli (1993. Echelon Fom Solution of Diect Kinemtics fo the Genel Fully-Pllel Spheicl Wist. Mechnism nd Mchine Theoy, 8,