Unioni finite e numerabili di intervalli, il volume degli insiemi aperti

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1 ed Unioni finite e numerbili di intervlli, il volume degli insiemi erti In quest esosizione chimeremo brevemente intervllo in R ogni insieme del tio, b = { x R ; x < b dove, b sono numeri reli ovvimente,, b < b in R n ogni insieme del tio numeri reli j, b j dove j, b j, j n, sono Rimrchimo che l intersezione di due intervlli I = j, b j e I = j, b j è ure un intervllo : I I = mx j, j, minb j, b j Le estremità di I =, b srnno indicti con I = e bi = b Se I = j, b j e b = = b n n llor diremo che I è un cubo Se I = j, b j e le estremità j e b j sono numeri rzionli dell form q con q Z e k 0 intero llor diremo che I è un intervllo didico 2k Il volume di I = j, b j è er definizione Dimostrimo l seguente vi = b j j Formul er il volume degli intervlli Per ogni intervllo I R n vle vi = lim I q q crd q n Zn *

2 Dimostrzione Useremo induzione risetto ll dimensione n Per n = : Sino I =, b e q Elenchimo gli elementi di I Z in ordine q crescente : Allor q < + q < < 2 q q, 2 I q q, 2 + q e risult 2 vi q q q cioè I q crd q Z q vi q I crd q Z + q Di conseguenz vi I q crd q Z q e risult * er n = Il sso di induzione : Suonimo che n 2 e che * vle er n l osto di n Si or I = j, b j un qulsisi intervllo n-dimensionle Allor I = I I 2 con I =, b un intervllo in R e I 2 = j, b j un intervllo n -dimensionle j=2 2

3 Per l rim rte dell dimostrzione e er l iotesi di induzione bbimo vi = lim I q q crd q Z, vi 2 = lim crd I q qn 2 q Zn, erciò vi = vi vi 2 = lim I q q crd n q Z crd I 2 q Zn = lim q q crd I n q Z I 2 q Zn = lim I q q crd q n Zn Lemm Se I R n è un intervllo e I j è un fmigli finit j k di intervlli in R n che ricorono I llor vi vi j j k Dimostrzione usndo l formul * Per ogni q bbimo I q Zn I j q Zn e quindi j k crd I q Zn j k Usndo * risult : vi = lim I q q crd q n Zn j k lim q q n crd crd I j q Zn I j q Zn = vi j 3 j k

4 Dimostrzione usndo rtizioni rodotto Poiché I I j I = I Ij, j k j k ossimo ssumere senz minore generlità che I = j k Possimo nche ssumere che nessuno degli intervlli I, I,, I k vuoto, cioè che, con I =, b, bbimo I j = = = < b er ogni n Mettimo gli elementi di in ordine crescente : Allor j k j { j e j, b j, j k, < b j, j k,, b j, n x 0 < x < < x m x 0 = e x m = b, n I j si ed, indicndo er ogni 0 < l m,, 0 < l n m n bbimo I = I j = J l,,l n := x l, x l 0<l m J l,,l n, j <x l b j j n <x n ln b n j J l,,l n = x l n J l,,ln I j n, x n ln, J l,,l n, j k, 4

5 quindi vi = vj l,,l n, vi j = 0<l m vj l,,l n, j k Or imlic vi j = j k J l,,ln I j j k J l,,ln I j = 0<l m vj l,,l n crd { j k ; J l,,l n I j vjl,,l n Poiché vi = vj l,,l n, 0<l m er dimostrre l disuguglinz vi er ogni J l,,l n M j k crd { j k ; J l,,l n I j 0<l m J l,,l n = I = vi j bst verificre che j k imlic che ogni J l,,l n intersec un I jl,,l n con jl,, l n k ed llor J l,,l n I jl,,l n : I j 5

6 Inftti, se esiste x,, x n J l,,l n I jl,,l n llor bbimo mx x l, jl,,l n Per ogni n risultno < min x l, b jl,,l n, n jl,,l n x l < x l < b jl,,l n = jl,,l n = x l x l, b jl,,l n e quindi Cosicché x l, x l J l,,l n = x l, x l jl,,l n jl,,l n, b jl,,l n = I jl,,l n x l n, x ln n, b jl,,l n n jl,,l n n, b jl,,l n n Si otrebbe chiedere: erché dre l second dimostrzione di Lemm qundo l rim è molto iù semlice e breve? L risost è che l second dimostrzione funzion nche in un mbito iù generle Inftti, se g j : R R, j n sono funzioni crescenti, continue sinistr, llor ossimo definire il volume di Stieltjes di I = j, b j corrisondente queste funzioni trmite v g,,g n I = gj b j g j j e l second dimostrzione di Lemm funzion er dimostrre Lemm nche er v g,,g n l osto di v Lemm 2 Se I R n è un intervllo e I j è un fmigli numerbile j di intervlli in R n che ricorono I, llor vi j vi j 6

7 Dimostrzione Per j vi j = + e er vi = 0 l disuguglinz dimostrre è bnle, erciò ssumeremo nel seguito che j vi > 0 Sino = I = I j =, b, = = j, b j, j = vi j < + e Si 0 < ε < min b qulsisi e sceglimo er ogni j un εj > 0 n tle che n b j j + ε j b j j ε + 2 j Poiché I j I j, gli insiemi erti = j ε j, b j Ij, j ricorono l insieme comtto, b ε ] I = Perciò esiste kε diendente d ε! tle che, b ε, b ε ] = = j kε = j ε j, b j j kε = j ε j, b j e Lemm imlic che b ε n = v, b ε = = 7

8 v = j kε = j kε = j kε j n = ε + j Pssndo l limite er ε 0 si ottiene vi = lim ε 0 = = n b j = b j vi j j b j b ε lim ε + ε 0 j ε j, b j j + ε j j ε + 2 j j ε + 2 j vi j = j vi j Lemm 3 Se I R n è un intervllo e I j è un fmigli finit j k di intervlli due due disgiunti in R n che sono contenuti in I, llor vi j vi j k Dimostrzione usndo l formul * Per ogni q bbimo I j q Zn I q Zn j k e, oiché gli insiemi I j q Zn, j k, sono due due disgiunti, risult j k crd I j q Zn = crd j k crd I q Zn I j q Zn 8

9 Usndo * concludimo : j k vi j = j k lim q lim q q crd n = vi I q crd n j q Zn I q Zn Dimostrzione usndo rtizioni rodotto Possimo suorre senz minore generlità che nessuno degli intervlli I, I,, I k si vuoto, cioè che, con I =, b, bbimo er ogni n I j = = = < b j Mettimo gli elementi di {, b b in ordine crescente : Allor j k e j, b j, j k, { j < b j, j k,, b j, n x 0 < x < < x m x 0 = e x m = b, n ed, indicndo er ogni 0 < l m,, 0 < l n m n bbimo I = J l,,l n := x l, x l J l,,l n, x l n n, x n ln, 0<l m 9

10 quindi I j = j <x l b j j n <x n ln b n j vi = J l,,l n = J l,,ln I j vj l,,l n, J l,,l n, j k, vi j = 0<l m vj l,,l n, j k 2 Or 2 imlic vi j = j k J l,,ln I j j k J l,,ln I j = 0<l m vj l,,l n crd { j k ; J l,,l n I j vjl,,l n M oiché gli intervlli I j, j k, sono due due disgiunti, e risult j k crd { j k ; J l,,l n I j = 0 oure vi j = 0<l m 0<l m = vi crd { j k ; J l,,l n I j vjl,,l n vj l,,l n 0

11 Lemm 4 Se I R n è un intervllo e I j è un fmigli numerbile j di intervlli due due disgiunti in R n che sono contenuti in I, llor vi j vi j Dimostrzione Lemm 3 imlic k vi j vi er ogni k e risult : j vi j = lim k k vi j vi Teorem sul volume di unioni numerbili di intervlli Sino Ij j e J k fmiglie numerbili di intervlli in k Rn e suonimo che I j, Allor k J k j J k, k, sono due due disgiunti vj k vi j j k Dimostrzione Definimo gli intervlli Per Lemm 2 J k = j I kj := J k I j, k, j I kj = vj k vi kj, k j e er Lemm 4 erciò k I kj I j = k vi kj vi j, j,

12 vj k k k vi kj = j j vi kj vi j j k Risult subito che l somm dei volumi di un successione di intervlli due due disgiunti diende solo dll unione degli intervlli dell successione In ltre role, se due successioni di intervlli due due disgiunti hnno l stess unione, llor hnno nche l stess somm di volumi di intervlli : Corollrio Sino I j e J j k fmiglie numerbili di intervlli in k R n e suonimo che I j, Allor k J k = j J k, k, sono due due disgiunti, I j, j, sono due due disgiunti vj k = vi j j k Teorem sull decomosizione di insiemi erti in intervlli Per ogni insieme erto U R n ed ogni ε > 0 esiste un successione I j j di cubi didici due due disgiunti e di dimetro < ε tle che U = j I j = j I j Dimostrzione Indichimo er ogni intero k { q J k := 2, q + qn 2, q n +, q,, q n Z { U k := I J k ; I U, Gli intervlli rtenenti d ogni J k quindi nche gli intervlli rtenenti d ogni U k sono cubi didici due due disgiunti Ogni I J k è unione di 2 n cubi rtenenti I J k+ : se 2

13 llor Risult I = q I = 2, q + qn 2, q n + 2q r 2q + 2q n r n 2q n+ Mostrimo or che I U I L inclusione è ovvi, r 2, r + rn k+ 2 k+ 2, r n + k+ 2 k+ I U 2 I I U k I 3 U = I : 4 k I U k Si desso x,, x n U rbitrrio Poiché U è erto, esiste δ > 0 tle che x δ, x + δ x n δ, x n + δ U Scelto un intero k con < δ, indichimo, er ogni j n, 2k con q j l rte inter di 2 k x j, cioè l intero definito dll condizione Allor q j 2 k x j < q j + q j 2 k x j < q j + 2 k I x,,x n := q 2, q + qn 2, q n + J k contiene x,, x n e risulterà x,, x n Ix,,x n k se mostrimo che I x,,x n = I U k I q 2, q ] + qn 2, q ] n + x δ, x + δ x n δ, x n + δ, 3

14 cioè che x j δ < q j 2 x k j < q j 2 + δ e k q j + < x 2 k j + δ q j δ 2 2 < x k k j er ogni j n M x j < q j + e 2 k 2 < δ imlicno x k j < q j 2 + δ, k mentre d q j 2 x k j e 2 < δ risult q j δ k 2 2 < x k k j n Si k ε un intero soddisfcente < ε Poiché il dimetro = il digonle di ogno cubo rtenente U k con k k ε è < ε, 3 e 4 imlicno U = I 5 k k ε I U k dove il dimetro di ogni cubo rtenente I è < ε k k ε I U k Indichimo er ogni k > { D k := I U k ; I J = J U k Allor I = I, k > : 6 I U k I U k D k L inclusione risult dl ftto che ogni I U k è l unione di 2 n cubi rtenenti U k Si or I o U k rbitrrio Se I o J = llor I o D k e risult J U k I o I I U k D k Se invece I o J llor esiste un J o U k con I o J o e J U k risult I o J o I : I U k D k k ε 4

15 Sino I o = J o = = q 2, q + qn 2, q n +, k 2 k r 2, r + rn k 2 k 2, r n + k 2 k 2r 2, 2r + 2rn 2, 2r n + 2 e x,, x n Io J o Per ogni j n, oiché qj mx 2, 2r j qj + x j < min, 2r j e quindi bbimo mx q j, 2r j < min qj +, 2r j + 2, 2r j < q j + = 2r j q j e Risult = r j 2 k = 2r j 2 k q j 2 k q j < 2r j + 2 = q j + 2r j + 2 = q j + 2 k 2r j k = r j + 2 k qj 2, q j + rj 2, r j +, j n k 2 k e di conseguenz I o J o Usndo 6 si ottiene er induzione I = I, I U k I U kε D kε+ D k k > k ε 5

16 dove i cubi rtenenti U kε D kε+ D k sono due due disgiunti Or er 5 concludimo che U = I = I I U k I U kε D kε+ D kε+2 k k ε con i cubi rtenenti U kε D kε+ D kε+2 due due disgiunti Si U R n un insieme erto Se U = j I j è un decomosizione di U in intervlli due due disgiunti ossibile er il teorem recedente llor ossimo definire il volume di U trmite vu := j vi k Per il Corollrio del Teorem sul volume di unioni numerbili di intervlli il vlore vu ottenuto non diende dll scelt dell decomosizione Usndo or il Teorem sull decomosizione di insiemi erti in intervlli ed il Teorem sul volume di unioni numerbili di intervlli si uò fcilmente verificre esercizio!: U V erti in R n = vu vv ; U j R n, j, erti due due disgiunti = v U j = vu j ; j j U U 2 erti in R n = v U j = lim vu j j j 6