Elementi di matematica finanziaria

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1 Valutazioe ecoomica del progetto AA 2016/17 Elemeti di matematica fiaziaria Doceti Collaboratore prof. Stefao Staghellii prof. Sergio Copiello arch. Pietro Boifaci Spostameto di capitali el tempo No è possibile addizioare, sottrarre o cofrotare tra loro valori differiti el tempo, se prima o soo resi omogeei, ovvero riferiti allo stesso mometo temporale Pertato, è ecessario idividuare le formule che cosetoo di aticipare o di posticipare ciascua prestazioe fiaziaria U capitale Spostato i avati el tempo si trasforma i motate Spostato idietro el tempo si trasforma i valore scotato fiaziaria Defiizioi Iteresse Iteresse Aticipazioe e posticipazioe

2 Iteresse L iteresse è il prezzo d uso del capitale Il saggio o tasso d iteresse (r) può essere espresso i termii percetuali (r = 5%) o i termii uitari (r = 0,05) L iteresse uitario è l iteresse maturato da u euro i u ao Il saggio di iteresse è direttamete proporzioale Al rischio (a rischio maggiore corrispode u maggiore tasso di iteresse) Alla durata dell ivestimeto (a durata maggiore corrispode u maggiore tasso di iteresse) fiaziaria Defiizioi Iteresse Iteresse Aticipazioe e posticipazioe Motate fiaziaria Defiizioi Iteresse Iteresse Aticipazioe e posticipazioe Il motate è la somma del capitale e dei relativi iteressi Il motate uitario (q) è la somma del capitale uitario (u euro) e degli iteressi maturati i u ao I = C 0 * r M = C 0 + C 0 * r = C 0 * (1 + r ) (1 + r) = q (es. r = 0,05 q = 1,05)

3 Iteresse e Iteresse Quado gli iteressi maturati o geerao a loro volta altri iteressi Si usa quado si cosidera u periodo di tempo uguale o iferiore ad 1 ao Iteresse Quado gli iteressi maturati geerao a loro volta altri iteressi Si usa quado si cosidera u periodo di tempo superiore ad 1 ao fiaziaria Defiizioi Iteresse Iteresse Aticipazioe e posticipazioe Iteresse Per u periodo pari ad u ao Motate M = C 0 + I = C 0 + C 0 * r = C 0 * (1 + r) Valore scotato C 0 = M / q Esempio La somma di euro viee depositata i baca all iteresse del 5% Si vuol cooscere l ammotare a) degli iteressi dopo u ao; b) del motate dopo u ao a) I = C 0 * r = * 0,05 = 50 euro b) M = C 0 + I = C 0 * (1 + r) = * 1.05 = euro fiaziaria Defiizioi Iteresse Iteresse Aticipazioe e posticipazioe

4 Iteresse Per u periodo iferiore ad u ao La durata () viee idicata come frazioe di ao = periodo/365 (oppure periodo/360) Es. per u periodo di u mese (30 gg), = 30/360 Iteresse I = C 0 * r * Motate M = C 0 * (1 + r ) Valore scotato C 0 = M / (1 + r ) Esempio La somma di euro viee depositata i baca all iteresse del 5% Si vuol cooscere l ammotare a) degli iteressi; b) del motate dopo 90 giori a) I = C 0 * r * = * 0,05 * (90/360) = 12,50 euro b) M = C 0 + C 0 * r * = C 0 * (1 + r * ) = 1.012,50 euro fiaziaria Defiizioi Iteresse Iteresse Aticipazioe e posticipazioe Aticipazioe e posticipazioe Per periodi di durata pari o iferiore ad u ao Coefficiete di posticipazioe (1 + r * ) Coefficiete di aticipazioe 1 / (1 + r * ) fiaziaria Defiizioi Iteresse Iteresse Aticipazioe e posticipazioe Posticipo C 0 (1 + r ) M 0 1 / (1 + r ) Aticipo

5 Iteresse Determiazioe del motate dopo ai Dopo 1 ao C 1 = C 0 + C 0 * r = C 0 * (1 + r) Dopo 2 ai C 2 = C 1 + C 1 * r = C 1 * (1 + r) C 2 = C 0 * (1 + r) * (1 + r) C 2 = C 0 * q 2 I geerale C = C 0 * q fiaziaria Defiizioi Iteresse Iteresse Aticipazioe e posticipazioe Esempio A quato ammoterà, tra 10 ai, il capitale di euro ivestito i titoli al saggio del 5%? M = C 0 * q M = * 1,0510 = 1.629,00 euro (se l iteresse o fosse, cioè se gli iteressi o maturassero altri iteressi, il motate sarebbe iferiore: 1.500,00 euro) Aticipazioe e posticipazioe Per periodi di durata superiore ad u ao Coefficiete di posticipazioe (1 + r) = q Coefficiete di aticipazioe 1 / (1 + r) = 1 / q fiaziaria Defiizioi Iteresse Iteresse Aticipazioe e posticipazioe Posticipo C 0 q M 0 1 / q Aticipo

6 Aticipazioe: u esempio Mille euro, i valore attuale, al variare del tempo e del tasso di iteresse All aumetare del tempo dimiuisce il valore attuale Al crescere del saggio dimiuisce il valore attuale fiaziaria Defiizioi Iteresse Iteresse Aticipazioe e posticipazioe Tasso di iteresse 1 ao 2 ai 3 ai 10 ai 20 ai 1% % % % % % % % % % Aticipazioe e posticipazioe fiaziaria Coefficiete di posticipazioe Coefficiete di aticipazioe Defiizioi Iteresse Iteresse Periodo di durata pari o iferiore all ao (1 + r * ) 1 / (1 + r * ) Aticipazioe e posticipazioe Periodo di durata superiore all ao (1 + r) q 1 / (1 + r) 1 / q

7 Per approfodimeti Realfozo A. (1994), Teoria e metodo dell estimo urbao, Nis, Roma Forte F. e De Rossi B. (1974), Pricipi di ecoomia ed estimo, Etas, Milao