Atomi con un elettrone
|
|
- Nicoletta Valle
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Chapter 5 Atomi con un elettrone 5. Equazione di Schrödinger in un campo centrale Consideriamo un sistema quantistico costituito da due particelle di masse m e m 2 interagenti tra loro, e in assenza di campi esterni. Supponiamo per il momento che il potenziale di interazione V r sia arbitrario, anche se sappiamo che nel caso dell atomo di idrogeno l interazione è coulombiana. Vogliamo trovare prima i risultati generali del problema che non dipendono dalla natura specifica del potenziale. Il potenziale V non può comunque dipendere che dalla sola distanza r 2 r tra le due particelle, e l hamiltoniano sarà H = p2 2m + p2 2 2m 2 + V r 2 r 5. Come in meccanica classica, si può effettuare un cambiamento di variabili e passare alle due nuove variabili R = m r + m 2 r 2 m + m r = r 2 r 5.3 corrispondenti alla posizione del centro di massa e alla posizione relativa. conveniente anche definire È M = m + m m = m m 2 m + m dove m è detta massa ridotta. Si può facilmente vedere che, definendo anche i nuovi operatori corrispondenti P = i h R e p = i h r, l hamiltoniano diventa H = P 2 2M + p2 + V r 5.6 2m da cui si vede immediatamente che le variabili si separano. Il moto del centro di massa è quello di una particella libera di massa M; la soluzione è un onda piana. 45
2 La parte interessante è ovviamente quella relativa. L equazione di Schrödinger corrispondente è la stessa che avrebbe una massa m immersa in un campo di forze centrali V r, con simmetria sferica rispetto all origine. Nel caso degli atomi con un elettrone, l interazione è fra il protone o un nucleo più pesante e l elettrone, e quindi il rapporto fra le masse è pari ad almeno 836. La massa ridotta sarà quindi appena più piccola di quella dell elettrone, m e = Kg. L equazione di Schrödinger che studieremo in questo capitolo è allora: [ ] Hψr h2 2 + V r ψr = Eψr 5.7 2m e 5.2 Il momento angolare La soluzione classica del problema di una particella in un campo centrale ossia soggetta ad un potenziale V r dipendente solo dalla distanza rispetto a un punto fisso passa attraverso l introduzione di una quantità, il momento angolare o momento della quantità di moto, definita come L = r p 5.8 dove r è il vettore posizione e p il vettore quantità di moto. In meccanica classica si trova che L è una quantità conservata, con importanti conseguenze tra cui la planarità dell orbita. Ci aspettiamo che anche il corrispondente operatore quantistico giochi un ruolo importante, ed infatti così è. Possiamo immediatamente dire qualcosa sulle sue proprietà di commutazione, facendo uso delle e utilizzando la proprietà generale immediatamente dimostrata Si trova e [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B 5.9 [L x, x] = 0, [L x, y] = i hz, [L x, z] = i hy 5.0 [L x, p x ] = 0, [L x, p y ] = i hp z, [L x, p z ] = i hp y 5. e proprietà analoghe ottenute ciclando gli indici per L y e L z. Si può far vedere che analoghe proprietà valgono per i commutatori fra componenti di L: [L x, L x ] = 0, [L x, L y ] = i hl z, [L x, L z ] = i hl y 5.2 e in realtà è vero per qualsiasi grandezza vettoriale A, funzione arbitraria di coordinate e quantità di moto: [L x, A x ] = 0, [L x, A y ] = i ha z, [L x, A z ] = i ha y 5.3 Inoltre, dati due vettori A e B sempre corrispondenti ad operatori quantistici, si può costruire l operatore prodotto scalare A B = A x B x + A y B y + A z B z
3 e risulta [L x, A B] = [L y, A B] = [L z, A B] = come si dimostra subito usando le 5.3. In particolare, facendo coincidere A e B con L stesso, abbiamo anche [L x, L 2 ] = [L y, L 2 ] = [L z, L 2 ] = Come si vedrà nella sezione 5.4, e come intuibile dal risultato classico, per una particella in un campo centrale L 2 commuta con H, ed è quindi una quantità conservata che dà origine a un buon numero quantico. Anche ogni singola componente di L commuta con H. Però, le 5.2 mostrano che due diverse componenti di L non commutano fra loro, e non sono pertanto misurabili simultaneamente. 5.3 Autofunzioni del momento angolare Esprimiamo il momento angolare nella rappresentazione delle coordinate: L = i hr 5.7 Consideriamo un sistema di riferimento polare r, θ, φ, dove l asse polare coincide con l asse cartesiano z, θ è l angolo polare e φ quello azimutale. Siano u r, u θ e u φ i versori che costituiscono una terna ortonormale destrorsa associati a spostamenti in cui varia solo r, θ o φ rispettivamente. Si ha Applicando la 5.7, = u r r + u θ r θ + u φ r sin θ φ L = i h u φ θ u θ sin θ φ Esprimendo i versori della terna polare in funzione di quelli della terna cartesiana u r = sin θ cos φ u x + sin θ sin φ u y + cos θ u z 5.20 u θ = cos θ cos φ u x + cos θ sin φ u y sin θ u z 5.2 u φ = sin φ u x + cos φ u y 5.22 possiamo calcolare le componenti cartesiane di L nello spazio polare. In particolare risulta L z = i h 5.23 φ e L 2 = h 2 [ sin θ sin θ + θ θ sin 2 θ 2 ] φ
4 Cerchiamo ora le autofunzioni dell operatore L 2, che torneranno utili in seguito risolvendo l equazione di Schrödinger per una particella in un campo centrale: L 2 Y θ, φ = h 2 ll + Y θ, φ 5.25 dove abbiamo espresso in questo modo per futura convenienza l autovalore. Notiamo che, moltiplicando i due membri per sin 2 θ/ h 2, l equazione agli autovalori diventa sin θ θ sin θ Y θ, φ + 2 Y θ, φ θ φ 2 = ll + sin 2 θ Y θ, φ 5.26 Supponiamo che la soluzione sia separabile in una funzione di solo θ e una di solo φ: Y θ, φ = ΘθΦφ 5.27 e dividiamo il risultato per ΘΦ: Θ sin θ θ sin θ Θ θ + ll + sin 2 θ = 2 Φ Φ φ Il primo membro è funzione solo di θ, e il secondo solo di φ. Entrambi devono allora essere uguali a una costante positiva, che indichiamo con m 2. Abbiamo allora ottenuto due equazioni: sin θ d dθ sin θ dθ dθ La seconda ci dice che deve essere [ + ll + m2 sin 2 θ ] Θ = d 2 Φ dφ 2 + m2 Φ = Φφ = Ce ±imφ 5.3 Poichè φ è un angolo azimutale, è necessario che m sia intero affinchè la funzione sia ad un solo valore. La 5.29, usando cos θ come variabile, è nota in fisica matematica come equazione di Legendre. Si può risolvere in modo analogo a quanto fatto per l oscillatore armonico: esprimendo cioè la soluzione in forma di una serie di potenze di cos θ, e richiedendo che non diverga per alcun valore di cos θ. Risulta che una divergenza a cos θ = può essere evitata solo se si assume che la serie sia in realtà un polinomio di grado finito, ossia che tutti i coefficienti da un certo grado in poi siano nulli. Si può vedere che questo implica l intero, e l m. Le funzioni risultanti sono indicate con Pl m cos θ e si chiamano funzioni associate ai polinomi di Legendre. I polinomi di Legendre P l cos θ sono le soluzioni dell equazione di Legendre per m = 0, e le funzioni associate sono ad essi connesse da Pl m w = w 2 m/2 d m dw m P lw Si può verificare che un valore negativo porterebbe a soluzioni esponenziali non accettabili 48
5 Le autofunzioni dell operatore L 2 hanno dunque la forma Y lm θ, φ = C lm P m l cos θe imφ 5.33 dove C lm è una costante di normalizzazione, e sono dette armoniche sferiche. Poiche L z, dato dalla 5.23, opera solo su φ, queste sono anche autofunzioni di questo operatore: L z Y lm θ, φ = hmy lm θ, φ 5.34 In sostanza, h 2 ll + rappresenta il modulo quadrato del momento angolare, e hm la sua proiezione lungo l asse z. l dev essere un intero positivo o nullo, e m un intero compreso fra l e l. Per un dato l ci sono dunque 2l + valori permessi per m. 5.4 Separazione in parte radiale e angolare Torniamo al nostro problema di una particella in un campo centrale. Introduciamo, analogamente a quanto fatto nella sezione 5.2, un sistema di riferimento polare r, θ, φ, dove l operatore gradiente è dato dalla 5.8, e l operatore laplaciano come si può far vedere con un po di pazienza da 2 = r 2 r 2 + r r r 2 sin θ sin θ + θ θ r 2 sin 2 θ Confrontando con la 5.24, si vede che questo si può scrivere 2 φ = r 2 r 2 L2 r r r 2 h dove L 2 dato dalla 5.24 contiene esclusivamente termini dipendenti dagli angoli. Possiamo allora scrivere l hamiltoniano come H = h2 2m r 2 r r 2 + L2 + V r 5.37 r 2mr2 Un termine L 2 /2mr 2 appare anche nell analogo problema classico: altri non è che il potenziale centrifugo, ossia un potenziale fittizio che genera una forza che tende ad allontanare la massa dall origine, e che discende dal fatto che il sistema è in rotazione se L 2 > 0, e che noi stiamo osservando la sola variabile radiale. Classicamente si può dunque tener conto dell effetto della rotazione considerando un potenziale efficace ˆV r = V r + L 2 /2mr 2, dove il secondo termine tende a spingere la massa verso gli r crescenti. Vediamo ora la situazione nel caso quantistico. Un ispezione della forma 5.37 ci mostra subito che [L 2, H] = che ci garantisce che L 2 è conservato, ossia i suoi autovalori non dipendono dal tempo e i due operatori hanno un insieme di autofunzioni in comune. Già 49
6 sappiamo quindi che gli autovalori di L 2 potranno essere usati per classificare gli stati. L espressione 5.23 per L z e la regola 5.6 ci dicono anche che [L z, H] = e quindi anche gli autovalori di L z saranno conservati e potranno essere usati per classificare gli stati. Procediamo ora alla separazione della variabile radiale da quelle angolari, la cui possibilità è fortemente suggerita sia da questi risultati che dall osservazione della Poniamo ψr, θ, φ = RrY θ, φ 5.40 quindi riscriviamo l equazione di Schrödinger 5.7, dividendola per RY : h2 2m r 2 Rr r r 2 R r + o ancora moltiplicando per 2mr 2 / h 2 e riarrangiando, Rr r r 2 R r 2mr 2 Y L2 Y + V r = E 5.4 2mr2 h 2 [V r E] = h 2 Y L2 Y 5.42 Il membro sinistro dipende solo da r, quello destro solo da θ e φ, e quindi entrambi devono essere uguali ad una costante. Abbiamo già [vedi 5.25] indicato questa costante con ll +, e trovato che l deve essere un intero affinchè la soluzione non diverga. Le soluzioni per la parte angolare sono le armoniche sferiche Y lm θ, φ date dalla Dovrà quindi essere Rr r r 2 R r 2mr2 h 2 [V r E] = ll ovvero l equazione di Schrödinger per la parte radiale è h2 2m r 2 r r 2 R nl r [ ] + V r + h2 ll + 2mr 2 R nl r = E nl R nl r 5.44 Ci aspettiamo che in generale le energie dipendano da l perchè il potenziale efficace dipende da l; inoltre per un dato l ci aspettiamo per gli stati legati se ve ne sono! una quantizzazione dei livelli energetici, e abbiamo indicato con n il corrispondente indice. La funzione d onda totale sarà allora ψ nlm r, θ, φ = R nl ry lm θ, φ 5.45 L energia non dipende da m. Come già osservato, m rappresenta la proiezione del momento angolare su un asse scelto arbitrariamente. A causa della simmetria sferica del problema, l energia non può dipendere dall orientamento del vettore L, ma solo dal suo modulo. All energia E nl sarà dunque associata una degenerazione 2l + o maggiore, se esistono altri osservabili commutanti che non abbiamo considerato!. 50
7 5.4. Funzioni d onda angolari Le funzioni d onda angolari per un problema a simmetria sferica non dipendono dunque dalla natura del potenziale, e sono date dalle armoniche sferiche Y lm θ, φ Il loro aspetto per diversi valori di l e m può essere esaminato ad esempio nella galleria dell università di Oviedo 2, oppure esplorato attivamente usando l applet Java al Davidson College 3. Si noti che m rappresenta la proiezione del momento angolare sull asse z. Pertanto, le funzioni con m = 0 tenderanno a essere disposte lungo tale asse; quelle con m = l tenderanno a localizzarsi prevalentemente sul piano xy. Le armoniche sferiche di ordine più basso sono le seguenti: Y 00 θ, φ = Y θ, φ = Y 0 θ, φ = Y 22 θ, φ = Y 2 θ, φ = Y 20 θ, φ = /4π /8π sin θ e iφ /4π cos θ /32π sin 2 θ e 2iφ /8π sin θ cos θ e iφ /6π 3 cos 2 θ. 5.5 Si sono assunte funzioni normalizzate secondo la normalizzazione tradizionale: Y lmθ, φy lm θ, φdω = δ ll δ mm 5.52 dove Ω è l angolo solido. L ortogonalità delle armoniche sferiche è una naturale conseguenza del loro carattere di autofunzioni del momento angolare nonché dell equazione che soddisfano. Considerare m al posto di m significa cambiare il segno all esponente del termine expimφ ossia, in pratica, a prendere la funzione complessa coniugata. E però da notare che la fase delle armoniche sferiche è arbitraria e che esistono diverse convenzioni Per identificare il valore di l viene spesso usata la notazione spettroscopica: si indicano con s, p, d, f, g,... rispettivamente gli stati con l = 0,, 2, 3, 4, Il potenziale coulombiano Il caso più importante e famoso è quello in cui V r è il potenziale coulombiano: V r = Ze2 4πɛ 0 r, 5.53 dove e = C è la carica dell elettrone, Z è il numero atomico numero di protoni nel nucleo, ɛ 0 = in unità MKSA. In
8 fisica si usa ancora molto il sistema CGS, nel quale il potenziale coulombiano ha la forma:: V r = Zq 2 e/r Nel seguito si userà qe 2 = e 2 /4πɛ 0 in modo da ricondursi alla più semplice forma CGS. È spesso comodo lavorare in unità atomiche a.u.: le unità di lunghezza sono espresse in raggi di Bohr o semplicemente bohr, a 0 : a 0 = h2 m e q 2 e = Å = m, 5.55 mentre le energie sono espresse in Rydberg Ry: Ry = m eq 4 e h 2 = eV dove m e è la massa dell elettrone, non la massa ridotta. E immediato verificare che in tali unità, h =, m e = /2, q 2 e = 2. Se invece del Ry si prende l Hartree Ha: Ha = 2 Ry = m eq 4 e h 2 = ev 5.57 come unità di energia, si ottiene un altro set di unità atomiche, nelle quali h =, m e =, q e =. Attenzione alla confusione! Mai parlare di unità atomiche senza specificare chiaramente quali. Nel seguito si useranno occasionalmente le prime unità atomiche Rydberg. 5.6 La funzione d onda radiale per atomi idrogenoidi È conveniente porre χr = rrr 5.58 e scrivere l equazione radiale per χr anzichè Rr. Si vede facilmente che la 5.44 diventa h 2 d 2 [ χ 2m e dr 2 + E + Zq2 e r ] h2 ll + 2m e r 2 χr = Notiamo come questa equazione sia del tutto analoga all equazione di Schrödinger in una dimensione 2.4, per una particella soggetta ad un potenziale efficace ˆV r = Zq2 e r + h2 ll + 2m e r Come già sottolineato, il secondo termine è il potenziale centrifugo. Gli stessi metodi utilizzati per trovare la soluzione della 2.4 e in particolare il metodo numerico di Numerov possono quindi essere utilizzati per trovare le autofunzioni radiali dell energia. 52
9 Notiamo innanzitutto che per piccoli r il potenziale centrifugo è il termine dominante del potenziale. L andamento delle soluzioni per r 0 sarà allora determinato da d 2 χ ll + dr2 r 2 χr 5.6 che dà χr r l+, oppure χr r l. La seconda possibilità va scartata, perchè χr non può divergere. Per grandi r invece, notiamo che avremo stati legati se E < 0 in quanto esisterà un punto di inversione classico al di là del quale l energia cinetica diventa negativa, e quindi la funzione d onda decade esponenzialmente, e quindi solo alcune energie potranno dare luogo a soluzioni valide, e liberi se E > 0. Il caso E > 0 corrisponde a un problema di scattering elettrone-nucleo con uno spettro continuo di energie, e non ce ne occupiamo. L andamento delle soluzioni per r sarà allora determinato da d 2 χ dr 2 2m e 2 Eχr 5.62 h che dà χr exp±kr, dove k = 2m e E/ h. Il segno + va però scartato perchè comporta una divergenza indesiderata. Sembra allora sensato assumere per la soluzione una forma χr = r l+ e kr n=0 A n r n 5.63 che garantisce un comportamento corretto in entrambi i casi limite, purchè la serie non diverga esponenzialmente. L equazione per l atomo idrogenoide può essere risolta seguendo lo stesso procedimento utilizzato per l oscillatore armonico nella sezione 3.. Ossia, si inserisce lo sviluppo 5.63 nella 5.59, si trova una formula di ricorrenza per i coefficienti A n, si fa vedere che la serie in generale diverge come exp2kr a meno che non si interrompa dando origine a un polinomio, e si fa infine vedere che questo accade solo in corrispondenza a particolari valori di E. In particolare questo accade per E n = Z2 m e qe 4 n 2 2 h 2 = Z2 Ry 5.64 n2 dove n l + è un intero detto numero quantico principale. Per un dato l si avranno quindi soluzioni per n = l +, l + 2,...; oppure, pensando fissato n, i valori possibili per l sono l = 0,,..., n. La soluzione per la funzione d onda radiale si scrive χ nl r = n l!z n 2 [n + l!] 3 a 3 0 x l+ e x/2 L 2l+ n+ x 5.65 dove si è posto x 2Z n r = 2 2m ee n a 0 h 2 r
10 dove gli L 2l+ n+ x sono i polinomi di Laguerre, di grado n l. Il coefficiente è stato scelto in modo da ortonormalizzare l insieme di funzioni: χ nl rχ n lrdr = δ nn Abbiamo già dimostrato che l ortogonalità è garantita per le autofunzioni di un hamiltoniano a cui corrispondono autovalori diversi dell energia [vedi 4.3]. Sottolineiamo alcuni risultati rilevanti: 5.6. Densità radiale La probabilità di trovare la particella a una distanza compresa tra r e r + dr dal centro è ottenuta integrando sulle variabili angolari: dr ψ nlm r, θ, φ 2 rdθ r sin θ dφ = R nl 2 r 2 dr = χ nl 2 dr 5.68 avendo sfruttato la proprietà di normalizzazione delle armoniche sferiche Y lm θ, φ 2 dθ sin θ dφ = 5.69 dove l integrazione è estesa a tutti i possibili angoli. Ne segue anche che la condizione di normalizzazione in termini di χ è χ nl r 2 dr = La funzione χr 2 può essere dunque direttamente interpretata come una densità radiale Stato fondamentale Lo stato fondamentale ha n =, e quindi l = 0. Si tratta dunque del caso in cui il momento angolare è nullo, e la corrispondente armonica sferica è costante: l autofunzione è quindi a simmetria sferica. L energia dello stato per l atomo di idrogeno Z = è pari a, ossia l energia di legame dell elettrone è pari ad un Rydberg a parte la piccola correzione legata alla massa ridotta. La funzione d onda dello stato fondamentale è, con la normalizzazione esatta, un semplice esponenziale: ψ 00 r, θ, φ = Z3/2 π e Zr/a Comportamento vicino al nucleo Il termine dominante vicino al nucleo è quello corrispondente al primo termine della serie, ossia χ nl r r l+. Quindi più l è grande, più rapidamente la funzione tende a zero avvicinandosi al nucleo. Questo corrisponde al fatto che la funzione è spinta via dal potenziale centrifugo. Quindi le funzioni radiali con grande l non penetrano vicino al nucleo. 54
11 5.6.4 Comportamento lontano dal nucleo A grandi valori di r il comportamento è dominato dall ultimo termine della serie, ossia va come χr r n exp Zr/na 0. Questo significa che trascurando gli altri termini χ nl r 2 ha un massimo attorno a r = n 2 a 0 /Z. Questo fornisce una stima grossolana della dimensione dell autofunzione. La dimensione globale è dunque determinata soprattutto da n Numero di nodi Poichè nella 5.65 compare un polinomio di grado n l, questo è anche il numero di nodi della funzione. In particolare, le autofunzioni con l = 0 hanno n nodi; e tutte quelle con l = n non hanno nodi. L aspetto delle funzioni radiali può essere esaminato ad esempio sul sito di Wolfram Research 4 o esplorato attraverso l eccellente applet Java al Davidson College Degenerazione accidentale e simmetria dinamica Nonostante il potenziale efficace che appare nella 5.59 dipenda da l, e la parte angolare delle autofunzioni pure dipenda assai fortemente da l, l espressione 5.64 dipende solo da n. Abbiamo dunque una degenerazione delle energie sugli n possibili valori per l, che si aggiunge a quella di ordine 2l + legata ai possibili valori del numero quantico m [implicata dalla 5.44 in cui m non appare]. La degenerazione complessiva 6 associata a n è n l=0 2l + = n La degenerazione delle energie per diversi valori di l è una situazione molto particolare che si verifica soltanto quando il potenziale di interazione è coulombiano. Si tratta di cioè di una degenerazione accidentale, che scompare appena il potenziale non è più puramente coulombiano. Una degenerazione indica generalmente la presenza di una simmetria, e quindi di una quantità conservata. Ad esempio la degenerazione in m è legata alla simmetria sferica e alla conservazione del momento angolare. Si può far vedere che il corrispondente classico della degenerazione accidentale negli atomi idrogenoidi è la conservazione del vettore di Runge-Lenz verificata per una hamiltoniana classica M = p L m α r r 5.73 H = p2 2m α r Come si vedrà in seguito, in realtà c è ancora un fattore 2 dovuto allo spin. 55
LA STRUTTURA ELETTRONICA DEGLI ATOMI
LA STRUTTURA ELETTRONICA DEGLI ATOMI 127 Possiamo trattare insieme l atomo di idrogeno e gli atomi idrogenoidi He +, Li 2+, ecc., in quanto differiscono l uno dall altro solo per la carica nucleare. Protone
DettagliL atomo di idrogeno (1) H T = p2 1 2m 1. + p2 2 2m 2. + V ( r 1 r 2 ) (2) Definiamo le nuove variabili: 1. La massa totale M M = m 1 + m 2 (3)
L atomo di idrogeno Il problema dell atomo di idrogeno é un problema esattamente risolubili ed i suoi risultati possono essere estesi agli atomi idrogenoidi, in cui solo c é solo un elettrone sottoposto
DettagliStruttura fine dei livelli dell idrogeno
Struttura fine dei livelli dell idrogeno. Introduzione Consideriamo un atomo idrogenoide di massa m N e carica atomica Z. Dall equazione di Schrödinger si ottengono per gli stati legati i seguenti autovalori
DettagliComune ordine di riempimento degli orbitali di un atomo
Comune ordine di riempimento degli orbitali di un atomo Le energie relative sono diverse per differenti elementi ma si possono notare le seguenti caratteristiche: (1) La maggior differenza di energia si
DettagliEffetto Stark (1) H 0 nlm > = E n nlm > (4) Ricordiamo che. E n = me4 2 h 2 n 2 = E 1
Effetto Stark Studiamo l equazione di Schrödinger per l atomo di idrogeno in presenza di un campo elettrico costante e diretto lungo l asse z, E = E k. La hamiltoniana di Schrödinger per l atomo di idrogeno
DettagliMetodo variazionale e applicazione all atomo di elio
Metodo variazionale e applicazione all atomo di elio Descrizione del metodo Il metodo detto variazionale è un metodo approssimato che si usa per ottenere una stima dell energia dello stato fondamentale
DettagliNon c è alcuna possibilità che gli uomini un giorno accedano all energia. Robert Millikan Premio Nobel per la Fisica 1923
Capitolo 3 Atomi Non c è alcuna possibilità che gli uomini un giorno accedano all energia atomica. Robert Millikan Premio Nobel per la Fisica 1923 3.1 Potenziali a simmetria sferica In problemi a simmetria
DettagliLe coordinate e l equazione di Schrödinger
ATOMO DI IDROGENO Le coordinate e l equazione di Schrödinger Non è necessario dilungarsi sull importanza dell atomo idrogenoide come base per lo studio della struttura di tutti gli atomi. Il sistema è
DettagliElementi di struttura della materia
Elementi di struttura della materia Luigi Sangaletti Università Cattolica del Sacro Cuore Dipartimento di Matematica e Fisica a.a. 2004-2005 Quantizzazione delle energie Tracciare ed identificare i primi
DettagliLa struttura elettronica degli atomi
1 In unità atomiche: a 0 me 0,59A unità di lunghezza e H 7, ev a H=Hartree unità di energia L energia dell atomo di idrogeno nello stato fondamentale espresso in unità atomiche è: 4 0 me 1 e 1 E H 13,
DettagliOscillatore armonico tridimensionale
Oscillatore armonico isotropo Oscillatore armonico tridimensionale L oscillatore armonico isotropo in 3 dimensioni é descritto dall hamiltoniana con H = m p + m ω r = h m + m ω r ) [ p, H ] 0 [ L, H ]
DettagliL equazione di Schrödinger unidimensionale: soluzione analitica e numerica
Chapter 3 L equazione di Schrödinger unidimensionale: soluzione analitica e numerica In questo capitolo verrà descritta una metodologia per risolvere sia analiticamente che numericamente l equazione di
DettagliL atomo di idrogeno. R. Dovesi, M. De La Pierre, C. Murace. Chimica Fisica II. Corso di Laurea in Chimica A.A. 2012/2013
L atomo di idrogeno R. Dovesi, M. De La Pierre, C. Murace Corso di Laurea in Chimica A.A. 2012/2013 Chimica Fisica II Modello per l atomo di idrogeno Modello: protone fisso nell origine ed elettrone in
DettagliEquazioni differenziali - Applicazioni
Equazioni differenziali - Applicazioni Antonino Polimeno Università degli Studi di Padova Equazione di Schrödinger 1D - 1 Equazione di Schrödinger i ψ(x, t) = Ĥ ψ(x, t) t al tempo t = 0 la funzione è definita
DettagliProgramma della I parte
Programma della I parte Cenni alla meccanica quantistica: il modello dell atomo Dall atomo ai cristalli: statistica di Fermi-Dirac il modello a bande di energia popolazione delle bande livello di Fermi
DettagliGLI ORBITALI ATOMICI
GLI ORBITALI ATOMICI Orbitali atomici e loro rappresentazione Le funzioni d onda Ψ n che derivano dalla risoluzione dell equazione d onda e descrivono il moto degli elettroni nell atomo si dicono orbitali
DettagliFunzione d onda dello stato fondamentale (trascurando l interazione elettrone-elettrone)
-e -e +2e ATOMO DI ELIO. Considero il nucleo fisso (sistema di riferimento del centro di massa, circa coincidente col nucleo). I due elettroni vanno trattati come indistinguibili. -e -e +2e SENZA il termine
DettagliVALORI E DISTRIBUZIONI DI VALORI DI UNA GRANDEZZA GENERICA
3/7 GENERALIZZAZIONI E SVILUPPI 09/10 1 VALORI E DISTRIBUZIONI DI VALORI DI UNA GRANDEZZA GENERICA Forma unificata dei risultati già ottenuti I risultati ottenuti nei fascicoli 3/3, 3/5 e 3/6 sulle grandezze
DettagliVALORI E DISTRIBUZIONI DI VALORI DI UNA GRANDEZZA GENERICA
3/7 GENERALIZZAZIONI E SVILUPPI 11/12 1 VALORI E DISTRIBUZIONI DI VALORI DI UNA GRANDEZZA GENERICA Forma unificata dei risultati già ottenuti I risultati ottenuti nei fascicoli 3/3, 3/5 e 3/6 sulle grandezze
DettagliI POSTULATI DELLA MECCANICA QUANTISTICA
68 I POSTULATI DELLA MECCANICA QUANTISTICA Si intende per postulato una assunzione da accettarsi a priori e non contraddetta dall esperienza. I postulati trovano la loro unica giustificazione nella loro
DettagliFondamenti di Meccanica Quantistica (Prof. Tarantelli)
Fondamenti di Meccanica Quantistica (Prof. Tarantelli) 1 MOTO LINEARE E L OSCILLATORE ARMONICO 2 EQUAZIONE DI SCHRODINGER Equazione di Schrödinger: descrive il comportamento di un insieme di particelle:
DettagliOscillatore Armonico in M.Q.
Oscillatore Armonico in M.Q. Oscillatore Armonico Unidimensionale Risoluzione in coordinate cartesiane L oscillatore armonico unidimensionale è un sistema che ha la seguente Hamiltoniana: H = P M + Mω
DettagliL ATOMO SECONDO LA MECCANICA ONDULATORIA IL DUALISMO ONDA-PARTICELLA. (Plank Einstein)
L ATOMO SECONDO LA MECCANICA ONDULATORIA IL DUALISMO ONDA-PARTICELLA POSTULATO DI DE BROGLIÈ Se alla luce, che è un fenomeno ondulatorio, sono associate anche le caratteristiche corpuscolari della materia
DettagliEsercizi svolti. Geometria analitica: rette e piani
Esercizi svolti. Sistemi di riferimento e vettori. Dati i vettori v = i + j k, u =i + j + k determinare:. il vettore v + u ;. gli angoli formati da v e u;. i vettore paralleli alle bisettrici di tali angoli;
DettagliMeccanica quantistica (5)
Meccanica quantistica (5) 0/7/14 1-MQ-5.doc 0 Oscillatore armonico Se una massa è sottoposta ad una forza di richiamo proporzionale allo spostamento da un posizione di equilibrio F = kx il potenziale (
DettagliIntroduciamo il sistema di riferimento indicato in figura b) con F 1 = ( f, 0) ed F 2 = (f, 0). Se P = (x, y) la condizione (1) fornisce
1 L ellisse 1.1 Definizione Consideriamo due punti F 1 ed F 2 e sia 2f la loro distanza. L ellisse è il luogo dei punti P tali che la somma delle distanze PF 1 e PF 2 da F 1 ed F 2 è costante. Se indichiamo
DettagliMomento angolare. l = i h ( x ) li = i h ε ijk x j x k. Calcoliamo le relazioni di commutazione tra due componenti del momento angolare
1 Momento angolare. Il momento della quantitá di moto (momento angolare) é definito in fisica classica dal vettore (nel seguito usiamo la convenzione che gli indici ripetuti vanno intesi sommati) l = x
DettagliLa Teoria dell Atomo di Bohr Modello di Bohr dell atomo di idrogeno:
La Teoria dell Atomo di Bohr Modello di Bohr dell atomo di idrogeno: Vedi documento Atomo di Bohr.pdf sul materiale didattico per la derivazione di queste equazioni Livelli Energetici dell Atomo di Idrogeno
DettagliLo spin dell elettrone
Lo spin dell elettrone Abbiamo visto che un elettrone che ruota intorno al nucleo possiede un momento angolare orbitale, con il quale è associato anche un momento magnetico. Ci sono evidenze sperimentali
DettagliAppunti ed esercizi sulle coniche
1 LA CIRCONFERENZA 1 Appunti ed esercizi sulle coniche Versione del 1 Marzo 011 1 La circonferenza Nel piano R, fissati un punto O = (a, b) e un numero r > 0, la circonferenza (o cerchio) C di centro O
DettagliIntroduzione alla Fisica Moderna - a.a
Introduzione alla Fisica Moderna - a.a. 2016-17 18/12/2017 Nome Cognome Matricola: 1) Si consideri il sistema dinamico nonlineare ẋ = y x 2, ẏ = x + y 2, Si determinino i punti di equilibrio, si caratterizzi
DettagliINTRODUZIONE ALLA FISICA PROF. FRANCESCO DE PALMA
INTRODUZIONE ALLA FISICA PROF. FRANCESCO DE PALMA Sommario GRANDEZZE FISICHE... 3 UNITÀ DI MISURA... 3 PREFISSI... 5 ANALISI DIMENSIONALE... 5 CONVERSIONI DI UNITÀ... 6 SISTEMI DI COORDINATE... 7 I VETTORI...
DettagliEQUAZIONE DI SCHRÖDINGER STAZIONARIA: Buche di Potenziale
Capitolo 6 EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER STAZIONARIA: Buche di Potenziale Consideriamo lo studio di stati stazionari di sistemi elementari. Il sistema più semplice è quello di una particella libera, la cui
DettagliIl momento angolare e l atomo di Idrogeno
Il momento angolare e l atomo di Idrogeno Corso di Fisica Matematica 3, a.a. 2017-2018 Dipartimento di Matematica, Università di Milano 10/4/2018 Il testo (di L. Picasso) che stiamo seguendo discute in
DettagliOscillatore armonico in più dimensioni
Oscillatore armonico in più dimensioni 1 Oscillatore in D dimensioni La teoria dell oscillatore armonico si può generalizzare facilmente da una a più dimensioni. Infatti la hamiltoniana di un oscillatore
DettagliL equazione di Schrödinger
1 Forma dell equazione L equazione di Schrödinger Postulato - ψ r, t 0 ) definisce completamente lo stato dinamico del sistema al tempo t 0. L equazione che regola l evoluzione di ψ r, t) deve essere:
DettagliLOGARITMI. Corso di laurea: BIOLOGIA Tutor: Floris Marta; Max Artizzu PRECORSI DI MATEMATICA. L uguaglianza: a x = b
Corso di laurea: BIOLOGIA Tutor: Floris Marta; Max Artizzu PRECORSI DI MATEMATICA LOGARITMI L uguaglianza: a x = b nella quale a e b rappresentano due numeri reali noti ed x un incognita, è un equazione
DettagliNote sull algoritmo di Gauss
Note sull algoritmo di Gauss 29 settembre 2009 Generalità Un sistema lineare di m equazioni in n incognite x,..., x n è un espressione del tipo: a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n
DettagliSulle osservabili compatibili...
Sulle osservabili compatibili... Due operatori hermitiani  e Ĉ commutano ([Â,Ĉ]=0) sse possiedono un sonc di autovettori comuni:!  rs (x)=a r rs (x); Ĉ rs (x)=c s rs (x); dove r ed s sono indici interi.
DettagliSOMMERFELD ORBITE ELLITTICHE NEL CASO DELL IDROGENO. e l energia potenziale diventa (indichiamo con E la carica del nucleo)
SOMMERFELD ORBITE ELLITTICHE NEL CASO DELL IDROGENO Il nostro obbiettivo è di selezionare tra tutte le orbite ellittiche meccanicamente possibili quelle possibili anche secondo la teoria quantistica. Il
DettagliSoluzione ragionata dell esercizio di Fisica Atomica del 20/6/2016
Soluzione ragionata dell esercizio di Fisica Atomica del 0/6/016 1.1 prima parte: niente campo magnetico Un atomo alcalino neutro consiste di un core di gas raro (elettroni che occupano shell completi
DettagliConsideriamo un sistema composto da due particelle identiche. Due particelle sono identiche se hanno le stesse proprietà intrinseche (massa, carica,
Consideriamo un sistema composto da due particelle identiche. Due particelle sono identiche se hanno le stesse proprietà intrinseche (massa, carica, spin, ). Esempi: due elettroni, due protoni, due neutroni,
DettagliCompito Scritto Meccanica Quantistica, 30/01/2018
Compito Scritto Meccanica Quantistica, 30/01/2018 Esercizio 1. Si considerino due particelle indistinguibili, A e B, di spin 1/2, soggette alla Hamiltoniana H = H 0 (p A, r A )+H 0 (p B, r B )+ h L zs
DettagliElettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n
Elettromagnetismo Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano Lezione n. 09 27.10.2017 Soluzioni dell'equazione di Laplace Metodo separazione delle variabili Anno Accademico 2017/2018 Separazione
DettagliTrigonometria angoli e misure
Trigonometria angoli e misure ITIS Feltrinelli anno scolastico 27-28 R. Folgieri 27-28 1 Angoli e gradi Due semirette che condividono la stessa origine danno luogo ad un angolo. Le due semirette (che si
DettagliLezione n. 19. L equazione. di Schrodinger L atomo. di idrogeno Orbitali atomici. 02/03/2008 Antonino Polimeno 1
Chimica Fisica - Chimica e Tecnologia Farmaceutiche Lezione n. 19 L equazione di Schrodinger L atomo di idrogeno Orbitali atomici 02/03/2008 Antonino Polimeno 1 Dai modelli primitivi alla meccanica quantistica
DettagliProblema (tratto dal 7.42 del Mazzoldi 2)
Problema (tratto dal 7.4 del azzoldi Un disco di massa m D e raggio R ruota attorno all asse verticale passante per il centro con velocità angolare costante ω. ll istante t 0 viene delicatamente appoggiata
Dettagli23.2 Il campo elettrico
N.Giglietto A.A. 2005/06-23.3-Linee di forza del campo elettrico - 1 Cap 23- Campi Se mettiamo una carica in una regione dove c è un altra carica essa risentirà della sua presenza manifestando una forza
DettagliMicrofisica Quantistica Esonero n Aprile 2011
Microfisica Quantistica Esonero n. 1 9 Aprile 11 Soluzioni. Esercizio 1: Tenendo conto delle correzioni relativistiche e dell interazione spin-orbita, i livelli energetici di un atomo idrogenoide sono
DettagliFISICA QUANTISTICA CON ESERCITAZIONI - MOD. 2 (2016/17)
FISICA QUANTISTICA CON ESERCITAZIONI - MOD. 2 (2016/17) Scopo del corso Il corso si propone di completare le conoscenze dello studente nell ambito della meccanica quantistica non relativistica, applicata
DettagliFISICA QUANTISTICA CON ESERCITAZIONI - MOD. 2 (2015/16)
FISICA QUANTISTICA CON ESERCITAZIONI - MOD. 2 (2015/16) Scopo del corso Il corso si propone di completare le conoscenze dello studente nell ambito della meccanica quantistica non relativistica, applicata
DettagliEsercizio III Data una particella di massa m in due dimensioni soggetta a un potenziale armonico
Tema d esame di Elementi di MQ. Prova I Dato il potenziale monodimensionale V (x) = 2 γδ(x), con γ positivo, trovare l energia dello stato fondamentale la probabilità che una particella nello stato fondamentale
Dettagliax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0.
. Rette in R ; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R. Ci sono due modi per descrivere una retta in R : mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione
DettagliStruttura Elettronica degli Atomi Meccanica quantistica
Prof. A. Martinelli Struttura Elettronica degli Atomi Meccanica quantistica Dipartimento di Farmacia 1 Il comportamento ondulatorio della materia 2 1 Il comportamento ondulatorio della materia La diffrazione
DettagliOSCILLATORE ARMONICO UNIDIMENSIONALE. Consideriamo una particella sottoposta a una forza armonica di costante mω 2.
4/7 OSCILLATORE ARMONICO 09/10 1 OSCILLATORE ARMONICO UNIDIMENSIONALE Lo spazio di Hilbert e l operatore hamiltoniano Consideriamo una particella sottoposta a una forza armonica di costante mω 2. Nello
DettagliANCORA SUL MOMENTO ANGOLARE
Capitolo 15 ANCORA SUL MOMENTO ANGOLARE 15.1 Composizione di momenti angolari Per un sistema quantico costituito da N componenti, ciascuno di momento angolare l i (i=1,n), spesso è il momento angolare
DettagliI RADICALI QUADRATICI
I RADICALI QUADRATICI 1. Radici quadrate Definizione di radice quadrata: Si dice radice quadrata di un numero reale positivo o nullo a, e si indica con a, il numero reale positivo o nullo (se esiste) che,
DettagliEquazioni differenziali Problema di Cauchy
Equazioni differenziali Problema di Cauch Primo esempio - Risolvere l equazione '( ) = g( ) con g( ) :[ a, b] R continua Teor. fondamentale del calcolo integrale ( ) = + g ( t )dt Primo esempio - Osserviamo
DettagliIl vettore velocità angolare (avendo scelto θ come in Figura) si scrive come:
9 Moti rigidi notevoli In questo capitolo consideriamo alcuni esempi particolarmente significativi di moto di un sistema rigido. Quelle che seguono sono applicazioni delle equazioni cardinali di un sistema
DettagliFunzioni vettoriali di variabile scalare
Capitolo 11 Funzioni vettoriali di variabile scalare 11.1 Curve in R n Abbiamo visto (capitolo 2) come la posizione di un punto in uno spazio R n sia individuata mediante le n coordinate di quel punto.
DettagliProblemi di Meccanica Quantistica. Capitolo IX. Spin. a cura di Fedele Lizzi, Gennaro Miele e Francesco Nicodemi
Problemi di Meccanica Quantistica Capitolo IX Spin a cura di Fedele Lizzi, Gennaro Miele e Francesco Nicodemi http://people.na.infn.it/%7epq-qp Problema IX.1 Un sistema consiste di due particelle distinguibili
DettagliFisica Moderna: Corso di Laurea Scienze dei Materiali Prova scritta: 16/06/2017
Fisica Moderna: Corso di aurea Scienze dei Materiali Prova scritta: 16/6/17 Problema 1 Una particella di spin 1/ è soggetta ad un campo magnetico uniforme B = B ẑ diretto lungo l asse delle z. operatore
Dettagli04 - Numeri Complessi
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Statistica per l Analisi dei Dati Appunti del corso di Matematica 04 - Numeri Complessi Anno Accademico 2013/2014 M. Tumminello, V. Lacagnina e
DettagliPARITA. Parità Parità intrinseca Conservazione della Parità
PARITA Parità Parità intrinseca Conservazione della Parità PARITÀ L operatore di inversione spaziale è una trasformazione discreta che inverte il segno delle tre coordinate spaziali: P x, y, z -x, -y,
DettagliEsame Scritto di Meccanica Quantistica Traccia di soluzione
Esame Scritto di Meccanica Quantistica Traccia di soluzione 7 Giugno 7. Per esprimere la hamiltoniana data H = P 4m + p m + mω X + x ) in termini di x e x si esegue il cambiamento di coordinate ) X = x
Dettagli1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee
1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee Vogliamo dare una idea, senza molte pretese, dei concetti che stanno alla base di alcuni calcoli svolti nella classificazione delle coniche. Supponiamo di
DettagliAtomi a più elettroni
Chapter 7 Atomi a più elettroni 7.1 Lo spin Gli esperimenti indicano che alle particelle si deve associare un momento angolare intrinseco, o spin, indipendentemente dalla loro natura (particelle elementari
Dettagli1.3 L effetto tunnel (trattazione semplificata)
1.3 L effetto tunnel (trattazione semplificata) Se la parete di energia potenziale non ha altezza infinita e E < V, la funzione d onda non va rapidamente a zero all interno della parete stessa. Di conseguenza,
DettagliLe molecole ed il legame chimico
La meccanica quantistica è in grado di determinare esattamente i livelli energetici dell atomo di idrogeno e con tecniche matematiche più complesse è anche in grado di descrivere l atomo di elio trovando
DettagliCapitolo 2. Cenni di geometria analitica nel piano
Capitolo Cenni di geometria analitica nel piano 1 Il piano cartesiano Il piano cartesiano è una rappresentazione grafica del prodotto cartesiano R = R R La rappresentazione grafica è possibile se si crea
DettagliCorso di Laurea in Chimica e Tecnologie Chimiche - A.A Chimica Fisica II. Esame scritto del 25 Febbraio P = i.
1 Corso di Laurea in Chimica e Tecnologie Chimiche - A.A. 212-213 Chimica Fisica II Esame scritto del 25 Febbraio 213 Quesiti d esame: 1. Definire gli operatori componente del momento cinetico P x e del
DettagliCompito di recupero del giorno 27/11/2015
Compito di recupero del giorno 27/11/2015 Esercizio n. 1 Una particella di massa m e spin 1/2 si muove in due dimensioni nel piano xy ed è soggetta alla seguente Hamiltoniana: H = 1 2m (p2 x + p 2 y) +
Dettagli1 IL LINGUAGGIO MATEMATICO
1 IL LINGUAGGIO MATEMATICO Il linguaggio matematico moderno è basato su due concetti fondamentali: la teoria degli insiemi e la logica delle proposizioni. La teoria degli insiemi ci assicura che gli oggetti
DettagliLezione 13: I sistemi di riferimento
Lezione 13: I sistemi di riferimento Cambiamenti di coordinate In questa lezione proveremo a vedere le trasformazioni lineari sotto un altra luce Quando abbiamo visto l esempio di un oggetto che, soggetto
DettagliMa se dobbiamo trattare l elettrone come un onda occorre una funzione (che dobbiamo trovare) che ne descriva esaurientemente queste proprietà.
Ma se dobbiamo trattare l elettrone come un onda occorre una funzione (che dobbiamo trovare) che ne descriva esaurientemente queste proprietà. Nell atomo l energia associata ad un elettrone (trascurando
DettagliGeneralità delle onde elettromagnetiche
Generalità delle onde elettromagnetiche Ampiezza massima: E max (B max ) Lunghezza d onda: (m) E max (B max ) Periodo: (s) Frequenza: = 1 (s-1 ) Numero d onda: = 1 (m-1 ) = v Velocità della luce nel vuoto
DettagliElettronica II L equazione di Schrödinger p. 2
Elettronica II L equazione di Schrödinger Valentino Liberali Dipartimento di Tecnologie dell Informazione Università di Milano, 26013 Crema e-mail: liberali@dti.unimi.it http://www.dti.unimi.it/ liberali
DettagliALGEBRA VETTORIALE Corso di Fisica per la Facoltà di Farmacia, Università Gabriele D Annunzio, Chieti-Pescara, Cosimo Del Gratta 2008
LGER VETTORILE DEFINIZIONE DI VETTORE (1) Sia E lo spazio tridimensionale della geometria euclidea. Consideriamo due punti e appartenenti a E Si chiama segmento orientato, e si indica con (,) il segmento
DettagliLavoro ed Energia. r A. < 0 --> lavoro resistente
Lavoro ed Energia Lavoro di una forza 1) forza f indipendente dal punto di applicazione e dal tempo. Se il suo punto di applicazione effettua uno spostamento AB, si definisce lavoro della forza f = f AB
DettagliAppello di Meccanica Quantistica I
Appello di Meccanica Quantistica I Facoltà di Scienze M.F.N. Università degli Studi di Pisa gennaio 007 (A.A. 06/07) Tempo a disposizione: 3 ore. Problemi e per il recupero Compitino I; problemi e 3 per
DettagliCapitolo 4: CAMBIAMENTO DI SISTEMA DI UNITÀ
Capitolo 4: CAMBIAMENTO DI SISTEMA DI UNITÀ 4.1 Grandezze fondamentali e derivate Come abbiamo già osservato la scelta di un Sistema di unità di misura è largamente arbitraria e dettata in gran parte da
DettagliATOMI MONOELETTRONICI
ATOMI MONOELETTRONICI L equazione di Schrödinger per gli atomi contenenti un solo elettrone (atomo di idrogeno, ioni He +, Li 2+ ) può essere risolta in maniera esatta e le soluzioni ottenute permettono
DettagliDEDUZIONE DEL TEOREMA DELL'ENERGIA CINETICA DELL EQUAZIONE SIMBOLICA DELLA DINAMICA
DEDUZIONE DEL TEOREMA DELL'ENERGIA CINETICA DELL EQUAZIONE SIMBOLICA DELLA DINAMICA Sia dato un sistema con vincoli lisci, bilaterali e FISSI. Ricaviamo, dall equazione simbolica della dinamica, il teorema
DettagliPROBLEMI DI FISICA MODERNA E MECCANICA QUANTISTICA. MECCANICA QUANTISTICA anno accademico
PROBLEMI DI FISICA MODERNA E MECCANICA QUANTISTICA MECCANICA QUANTISTICA anno accademico 2012-2013 (1) Per un sistema n-dimensionale si scrivano: (a) gli elementi di matrice dell operatore posizione x
DettagliATOMO. Avogadro (1811) Volumi uguali di gas diversi contengono un ugual numero di MOLECOLE (N A =6,022*10 23 )
ATOMO Democrito IV secolo A.C. (atomos = indivisibile) Lavoisier (1770) Legge della conservazione della massa in una trasf. chimica es. C + O 2 CO 2 Dalton (1808) Teoria atomica E=mc 2 Avogadro (1811)
DettagliCAPITOLO 7: ESEMPI PRATICI: 7.1 Esempi di dinamica.
CAPITOLO 7: ESEMPI PRATICI: 7.1 Esempi di dinamica. Questo capitolo vuole fornire una serie di esempi pratici dei concetti illustrati nei capitoli precedenti con qualche approfondimento. Vediamo subito
DettagliParticella in un campo elettromagnetico
Particella in un campo elettromagnetico Vogliamo descrivere dal punto di vista quantistico una particella carica posta in un campo elettromagnetico. Momento di una particella Dal punto di vista classico
DettagliLezione 6 Richiami di Geometria Analitica
1 Piano cartesiano Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica Consideriamo nel piano due rette perpendicolari che si intersecano in un punto O Consideriamo ciascuna di queste rette come retta orientata
DettagliEsercitazioni di Meccanica Quantistica I
Esercitazioni di Meccanica Quantistica I Sistema a due stati Consideriamo come esempio di sistema a due stati l ammoniaca. La struttura del composto è tetraedrico : alla sommità di una piramide con base
DettagliQUANTITA DI MOTO Corso di Fisica per Farmacia, Facoltà di Farmacia, Università G. D Annunzio, Cosimo Del Gratta 2006
QUANTITA DI MOTO DEFINIZIONE(1) m v Si chiama quantità di moto di un punto materiale il prodotto della sua massa per la sua velocità p = m v La quantità di moto è una grandezza vettoriale La dimensione
DettagliUNITÀ DIDATTICA 5 LA RETTA
UNITÀ DIDATTICA 5 LA RETTA 5.1 - La retta Equazione generica della retta Dalle considerazioni emerse nel precedente capitolo abbiamo compreso come una funzione possa essere rappresentata da un insieme
DettagliEs. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Teoria. Punteggi degli esercizi: Es.1: 8 punti; Es.2: 8 punti; Es.3: 8 punti; Es.4: 8 punti.
Es. Es. Es. 3 Es. 4 Totale Teoria Analisi e Geometria Terzo appello 8 Settembre 4 Compito B Docente: Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Cognome: Nome: Matricola: Punteggi degli esercizi: Es.:
DettagliCampo elettromagnetico
Campo elettromagnetico z y Classicamente, è formato da un campo elettrico E e da un campo magnetico B oscillanti B E λ E = E 0 cos 2π(νt x/λ) B = B 0 cos 2π(νt x/λ) νλ = c ν, frequenza x λ, lunghezza d
DettagliStati Coerenti. Definizione di stato coerente Consideriamo un oscillatore 1-dimensionale descritto dalla hamiltoniana. p = i d.
1 Stati Coerenti Definizione di stato coerente Consideriamo un oscillatore 1-dimensionale descritto dalla hamiltoniana H = 1 m p + 1 m ω x (1) Per semplicitá introduciamo gli operatori autoaggiunti adimensionali
DettagliEsercizi terzo principio
Esercizi terzo principio Esercitazioni di Fisica LA per ingegneri - A.A. 4-5 Esercizio 1 Una ruota di massa m = 1 kg e raggio R = 1 m viene tirata contro un gradino di altezza h = 3 cm con una velocità
Dettagli1 Cambiamenti di riferimento nel piano
1 Cambiamenti di riferimento nel piano Siano date due basi ortonormali ordinate di V : B = ( i, j) e B = ( i, j ) e supponiamo che i = a i + b j j = c i + d j allora per un generico vettore v V abbiamo
Dettaglim = a k n k + + a 1 n + a 0 Tale scrittura si chiama rappresentazione del numero m in base n e si indica
G. Pareschi COMPLEMENTI ED ESEMPI SUI NUMERI INTERI. 1. Divisione con resto di numeri interi 1.1. Divisione con resto. Per evitare fraintendimenti nel caso in cui il numero a del Teorema 0.4 sia negativo,
DettagliPROPRIETÀ GENERALI. L equazione di Schrödinger, per una particella che si muove in un campo di forze corrispondente all energia potenziale V (x, t),
1/3 STUDIO PRELIMINARE DELL EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER 10/11 1 PROPRIETÀ GENERALI L equazione di Schrödinger, per una particella che si muove in un campo di forze corrispondente all energia potenziale V
Dettagli