Costruzione di Macchine

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1 Giuseppe Giudice Appunti di Costruzione di Macchine 2014

2 Ringraziamenti Questi appunti sono stati riprodotti per molti anni a cura e spese del Dipartimento di Progettazione e Gestione Industriale (fondi didattici prof. Giudice); poi, scomparsi i fondi medesimi, gli studenti hanno dovuto arrangiarsi. Per questo si ringrazia il Libero Mercato. Ringrazio il sig. Paolo Mazza per l assistenza alla stampa di parecchie edizioni. Ringrazio il Dipartimento di Progettazione Aeronautiche, e in particolare il carissimo prof. Renato Tognaccini, per la stampa di molte edizioni precedenti. Ringrazio gli allievi degli anni scorsi per gli utilissimi suggerimenti. Dove trovarmi Ufficio: (dall interno del Politecnico solo 82471) Telefonino: (meglio lasciare il numero alla tradizione orale, comunque lo uso solo per chiamare, quindi di solito risponde la segreteria...; in compenso richiamo io appena posso.) Posta elettronica: [email protected] Figura 1: L autore sulla spiaggia di Montecito, California, il 18 III i

3 Presentazione Questi appunto nascono dalla mia esperenza didattica nei corsi di Costruzione di Macchine per i Corsi di Laurea di Ingegneria Chimica e, più di recente, di Ingegneria dei Materiali e di Ingegneria navale. Sono stati concepiti solo a servizio e non come sostitutivi della lezione; di fatto, l esposizione in aula degli argomenti è sempre molto più ampia di quanto qui riportato (per non parlare dei miei intermezzi culturali); ciò nasce sia dalla mancanza di tempo per la redazione di dispense più complete, sia dalla difficoltà di procurarsi materiale iconografico, tabelle e dati tecnici, sia dalla necessità di contenere i costi di stampa, e quindi di non produrre troppe pagine. Le parti scritte in carattere piccolo sono complementari e vengono di solito tralasciate; lo svolgimento del corso suggerirà delle integrazioni, e magari di trattare più sinteticamente alcune parti. Il capitolo sull analisi dinamica, e sulle sue applicazione (analisi sismica di serbatoi alti) è ancora allo stato di abbozzo. Conto di apportare altre modifiche nel prossimo futuro, sia ampliando alcuni argomenti, sia trattandone altri più sinteticamente, man mano che se ne presenterà l esigenza. In particolare sto preparando del materiale sulla termodinamica della deformazione e sull applicazione della meccanica dei continui alle problematiche della Costruzione di Macchine. Anche la parte calcolativaprogettuale merita di essere ampliata, compatibilmente con il ridotto numero di ore di quelle che è pur sempre un corso complementare. Forse già da quest anno presenterò in maniera più organica l instabilità dell equilibrio elastico. ii

4 Indice 1 Prove sui materiali Prova di trazione Diagramma σ-ɛ La tensione ammissibile Altre prove Prova di flessione Prova di resilienza Prova di durezza Macchine di prova Deformazione Teoria della deformazione Misura della deformazione Estensimetri elettrici Fotoelasticità Richiami di Resistenza dei Materiali Analisi della tensione Legame tensione-deformazione Termodinamica della deformazione Criteri di resistenza Formule di verifica e di progetto Solido del De Saint Venant Deformazioni laterali di travi inflesse Metodo degli elementi finiti Il problema generale dell equilibrio elastico Spostamento e sua approssimazione Lineamenti generali Proprietà e significato fisico della matrice K Complementi e complicazioni Analisi dinamica Effetto d intaglio Introduzione Analogia idrodinamica Soluzione del Neuber Foro circolare in lastra di larghezza finita, in trazione Piastra di larghezza finita con intagli laterali semicircolari, in trazione Piastra di larghezza finita con intagli laterali generici, in trazione Aste a sezione circolare Instabilità dell equilibrio elastico Introduzione Definizione di instabilità Un semplice esempio Postulato fondamentale Metodi per lo studio della stabilità Metodo statico iii

5 6.2.2 Metodo energetico Applicazioni Travi snelle caricate di punta Travi tozze caricate di punta Metodo omega Altre applicazioni Plasticità Fenomenologia della plasticità Cause della plasticità Teorie matematiche della plasticità Tensioni residue Scorrimento viscoso Definizioni Prove di creep Meccanismi del creep Estrapolazione dei dati sperimentali Parametro di Larson-Miller Calcolo di strutture soggette a scorrimento viscoso Altri parametri per l estrapolazione dei dati sperimentali Tempo compensato Parametri di Dorn Parametro di Manson-Haferd Meccanica della frattura Trattazione energetica Prove di tenacità alla frattura Tipi e proporzioni dei provini Appoggi e afferraggi Dimensioni dei provini Formazione a fatica della cricca Strumentazione Interpretazione della prova Calcolo di K Ic Materiali per basse temperature La rilevazione delle cricche Liquidi penetranti Raggi X e gamma Ultrasuoni Metodi elettromagnetici Fatica dei materiali Generalità Prove di fatica Aspetto della rottura per fatica Studio del comportamento a fatica Metodo Staircase Fattori che influenzano la fatica Trattamenti di rullatura e di pallinatura Resistenza a limite di fatica iv

6 Determinazione del coefficiente di sicurezza Osservazioni critiche Resistenza a fatica (vita finita) Determinazione dl numero di cicli a rottura Esercizio: albero in flessione rotante Fatica cumulativa Propagazione delle cricche di fatica Recipienti a parete sottile L elemento di membrana Geometria dei recipienti di rivoluzione Equazioni di equilibrio Prima equazione di equilibrio (equilibrio locale) Seconda equazione di equilibrio (equilibrio globale) Applicazioni Recipienti per gas Sfera di raggio R Cilindro di raggio R con fondi di pezzo Recipente torico Serbatoio conico per liquidi Recipienti a parete spessa Equazioni di Lamé Equazione di equilibrio Equazioni di congruenza Equazioni di Navier (legame tensione-deformazione) Equazione differenziale della tensione Formule di progetto e di verifica Appendice al capitolo Recipienti per altissime pressioni Recipienti cerchiati Recipienti nastrati Recipienti autocerchiati La costruzione dei recipienti Spessori minimi delle pareti Recipienti sferici Cilindri soggetti a pressione interna Cilindri soggetti a pressione esterna Cilindri verticali snelli Pressione Carichi statici Spinta del vento Carico sismico Cilindri orizzontali snelli Fondi Fondi sferici Fondi ellittici Fondi torosferici Costruzioni grafiche per fondi torosferici v

7 Aspetti normativi Serbatoi di stoccaggio Serbatoi per liquidi Serbatoi per gas Strutture di sostegno Fondazioni Sostegni Tecnologie per la costruzione dei recipienti Collegamenti filettati, flange e guarnizioni Chiusura dei coperchi Formule per le rigidezze Collegamento a flangia per attrito Momento di serraggio Verifica della vite Distanze tra i bulloni Tabelle dell unificazione Guarnizioni Guarnizioni tra superfici fisse Guarnizioni tra superfici mobili Flange Trasmissioni Generalità Ruote di frizione Ruote dentate Generalità Classificazione Profili dei denti Profilo cicloidale Profilo ad evolvente La forma della dentatura Ruote a denti diritti Ruote a denti elicoidali Angolo di spinta La costruzione delle ruote dentate ad evolvente Verifica delle ruote dentate Simboli Condizione di resistenza al pitting Condizione di resistenza alla fatica Progetto a flessione del dente Cuscinetti a strisciamento Generalità Lubrificanti e viscosità Teoria della lubrificazione perfetta Progettazione speditiva dei cuscinetti a strisciamento Verifica e progettazione dei cuscinetti a strisciamento Un esempio Materiali per cuscinetti a strisciamento vi

8 A Bibliografia A-1 A.1 Manuali ed enciclopedie A-1 A.2 Opere generali A-1 A.3 Articoli A-2 A.4 Opere su comportamento meccanico e scelta dei materiali A-2 A.5 Periodici A-3 A.6 Norme A-3 A.6.1 Norme per progetto ed il calcolo di componenti a strutture A-3 A.6.2 Principali norme circa le prove sui materiali metallici A-4 A.6.3 Principali norme circa le prove sui materiali non metallici A-4 A.6.4 Raccolte di norme tecniche europee A-5 A.6.5 Manuali UNI A-6 A.6.6 ISO Standards Handbooks A-6 A.6.7 Altre pubblicazioni A-6 B Alfabeto greco B-1 vii

9 1.1 Prova di trazione 1. Prove sui materiali La più comune prova sui materiali è quella di trazione. Un provino, di forma e diminsioni unificate (ma talvolta si deroga alle dimensioni, ferma restando la forma) viene ammorsato tra le ganasce della macchina di prova e sottoposta ad un carico crescente. Per i prodotti in lastre, fogli o lamine il provino viene ritagliato dal grezzo e ha perciò sezione rettangolare; per gli altri prodotti (getti, trafilati, fucinati) il provino è a sezione circolare (vedi fig. 1.1). Figura 1.1: Provini per prove di trazione: a) sezione circolare; b) sezione rettangolare Le parti estreme espanse servono per l ammorsamento alla macchina di prova; la parte centrale è quella su cui vengono effettuate le misure vere e proprie; le due parti devono essere opportunamente raccordate per evitare effetti d intaglio. Le caratteristiche geometriche fondamentali del provino sono l area S 0 della sezione ristretta e la lunghezza L 0 del tratto di misura. Tra esse intercorrono precise condizioni geometriche: si hanno così provette lunghe, corte, proporzionali lunghe e proporzionali corte. Durante la prova vengono rilevati istante per istante la forza P agente sul provino e la lunghezza L del tratto di riferimeno, dai quali si risale alle seguenti grandezze convenzionali: tensione σ: σ = P S 0 deformazione ɛ: ɛ = L L 0 L 0 1-1

10 Come si vede le grandezze convenzionali così definite possono confondersi con quelle analoghe definite dalla Scienza delle Costruzioni solo se i carichi e gli allungamenti sono sufficientemente piccoli, tali da garantire che il provino deformato non sia geometricamente troppo discosto da quello indeformato; però le definizioni convenzionali sopra ricordate fanno fede ai fini dell accettazione del materiale anche in caso di grandi deformazioni Diagramma σ-ɛ Nel seguito si farà riferimento al diagramma σ-ɛ 1 per il più caratteristico dei materiali, ossia per l acciaio a basso tenore di carbonio. Figura 1.2: Tipico diagramma σ-ɛ per un acciaio a basso tenore di carbonio Questo diagramma (fig. 1.2) riporta in ascisse la deformazione 2 e in ordinate la tensione. Il diagramma presenta un primo tratto rettilineo, durante il quale il provino ha comportamento elastico, vale a dire che se scaricato ritorna esattamente alla forma e dimensione iniziali; un tratto curvo (la concavità verso il basso) in cui il comportamento è ancora elastico; si parla di elasticità non lineare, ma questo tratto è difficilmente rilevabile e non ha importanza ai fini dell accettazione del materiale; lo snervamento, ossia una rapida riduzione del carico, che, giunto alla tensione di snervamento superiore bruscamente cade alla tensione di snervamento inferiore, e successivamente rimane quasi stazionario attorno a questo valore, mentre la deformazione cresce notevolmente; l incrudimento ossia una forte risalita del carico, ma con pendenza minore di quella del tratto elastico, 1 Gli ingegneri indicano un diagramma con la successione ordinata-ascissa, come in questo caso, mentre i fisici fanno il contrario. 2 convenzionale, ma d ora in poi ometteremo questo aggettivo per tutto questo capitolo, salvo il caso di possibile confusione 1-2

11 la zona delle grandi deformazioni, ossia quella in cui il carico raggiunge un massimo e poi decresce fino alla rottura finale. In corrispondenza della zona delle grandi deformazioni il provino presenta il fenomeno della strizione, ossia si restringe vistosamente in una zona limitata del tratto di misura; è evidente che da questo momento in poi la sezione effettiva non ha niente a che fare con la sezione nominale e ciò spiega come mai il carico diminuisca proprio mentre il materiale raggiunge la massima tensione vera (cioè riferita all area istantanea). Dal diagramma σ-ɛ si ricavano i seguenti valori caratteristici della tensione: tensione al limite di proporzionalità σ Ep tensione al limite di elasticità σ E tensione di snervamento superiore o inferiore (la tensione di snervamento simpliciter 3 σ s è quella inferiore) tensione di rottura σ R, che è quella in corrispondenza del massimo del diagramma. tensione ultima σ u, che è quella in corrispondenza dell effettiva rottura del provino 4 La tensione al limite di elasticità viene di solito stabilita in maniera convenzionale come quella che lascia, dopo lo scarico, una deformazione residua di 0.002%. Nel caso in cui lo snervamento non sia chiaramente visibile si definisce una tensione di snervamento convenzionale, come quella che lascia, dopo lo scarico, una deformazione residua dello 0.2%. Nella figura 1.3 sono riportati i diagrammi tensione-deformazione per un certo numero di acciai. 1.2 La tensione ammissibile Molto spesso, specie nelle norme tecniche, le capacità di resistenza di un materiale sono espresse dalla tensione ammissibile, ossia una tensione tale da garantire la resistenza degli organi di macchine (e anche da garantire il progettista contro eventuali conseguenze legali). Il calcolo della tensione ammissibile non è di pertinenza del progettista, ma degli enti di normazione (in base al principio oggi in Italia obsoleto che il controllore deve essere diverso dal controllato ), e tiene conto sia delle caratteristiche di resistenza del materiale (tensione di rottura e/o di snervamento) sia della variabilità delle stesse sia delle approssimazioni introdotte dai metodi usuali di calcolo. Dal punto di vista concettuale essa viene ottenuta dividendo una delle caratteristiche di resistenza per un coefficiente di sicurezza (variabile a seconda dei casi da 2 a 5 o anche di più). Ciò che importa in questa sede è sottolineare quale caratteristica di resistenza venga scelta come riferimento. Una lunga tradizione sceglieva il carico di snervamento, in base al consolidato principio che mai e poi mai il materiale dovesse uscire dall ambito elastico. A tale scapo ci si dovette inventare un carico di snervamento (cosiddetto convenzionale: vedi sopra) anche per materiali che non presentassero lo snervamento come fenomeno constatabile. La tendenza attuale è invece di usare il carico di rottura (che ovviamente è una caratteristica fisica di tutti i materiali), magari al costo di ritoccare un po verso l alto i coefficienti di sicurezza. 3 o tout court. 4 Questa denominazione mi sembra francamente da evitarsi, visto che si può facilmente confondere con l anglosassone ultimate tension, anch essa indicata con σ u e che corrisponde invece alla nostra tensione di rottura σ R. 1-3

12 Figura 1.3: Diagrammi σ-ɛ per acciai. In mancanza di ogni altra indicazione, dividere il carico di rottura per 3 (che corrisponde circa a dividere il carico di snervamento più o meno convenzionale per 2.5 o per 2) dovrebbe essere una norma di larga massima. In caso di tensione variabile nel tempo il coefficiente dovrebbe essere aumentato e, al limite, raddoppiato; ma tali casi vanno meglio trattati con riferimento alle specifiche prove di fatica (ossia con carichi variabili). 1.3 Altre prove Si darà qui un cenno sommario di alcune prove per la caratterizzazione meccanica dei materiali. Le prove di creep, di tenacità alla frattura e di fatica verranno trattate più tardi, nei rispettivi capitoli. Prova di compressione Si distingue la prova tecnologica di schiacciamento, che serve solo per determinare la modalità di rottura, da quella di compressione che serve a determinare quantitativamente le caratteristiche meccaniche di un materiale. In quest ultimo caso le provette devono avere forma cilindrica, con diametro d 0 20 mm, ed altezza L 0 = 3d 0. Tuttavia questa prova è usata raramente per materiali metallici e più spesso per materiali non metallici da costruzione, per i quali la forma dei provini è fissata da apposite norme. è ben noto il caso dei provini cubici ( cubetti ) di calcestruzzo. 1-4

13 1.3.1 Prova di flessione Il provino è una barretta parallelepipeda o cilindrica appoggiata alle esteremità e caricata in mezzeria perpendicolarmente al suo asse (flessione a tre punti) o in due punti simmetrici rispetto agli appoggi (flessione su quattro punti); in quest ultimo caso la sezione centrale del provino è soggetto ad un momento flettente uniforme Prova di resilienza Permette di stabilire la resistenza all urto degli acciai. La più usata è la prova Charpy. Consiste nel rompere a flessione per urto, con una massa imperniata a pendolo, un provino di forma intagliata appoggiato orizzontalmente su due sostegni. La parte del pendolo che urta il provino è sagomato a forma di coltello e urta il provino dalla parte non intagliata in modo da indurre tensioni di trazione, quindi più pericolose, sulla parte intagliata. Il pendolo viene portato ad una certa altezza e poi lasciato andare; nel suo punto più basso trancia il provino e poi prosegue la sua corsa risalendo fino ad una certa altezza. La perdita di energia potenziale corrisponde all energia assorbita dal provino. Questa fornisce la resilienza del materiale, misurata in J. Non è possibile comparare la resilienza misurata su provini di dimensioni diverse. Vedi UNI EN Vedi fig. 1.4 Figura 1.4: Provini per prove di resilienza Prova di durezza Consiste le comprimere la superficie del pezzo in esame con una punta di materiale più duro, in modo da determinarne una locale plasticizzazione. La misura consiste nel determinare l area dell impronta (nelle prove Brinell e Vickers) o la profondità di penetrazione dell indentatore (prova 1-5

14 Rockwell).Per gli elastomeri si usa la prova Shore, per materiali duri e fragili, come il vetro, si usa la prova Knoops (talvolta usata anche per metalli), con penetratore di diamante. Nell ambito di ciascuna classe di prove esistono parecchie varietà, e se ne usa l una o l altra a seconda della durezza presunta del materiale e anche della grandezza e soprattutto dello spessore del pezzo da misurare. Infatti in questi casi non si usano provini, ma si effettua la prova direttamente sul pezzo finito, a meno che questo non sia eccessivamente ingombrante. Per le prove di durezza non si usano le macchine universali, ma macchine dedicate, dette durometri. Prova Brinell 5 Il penetratore è una sfera di acciaio extraduro di diametro D normalizzato. Dopo la prova si misura il diametro d dell impronta, e se ne calcola la superficie, considerandola una calotta sferica di diametro D. La durezza Brinell (HBS) si ottiene dividendo il carico applicato espresso in kg f per l area trovata espressa in millimetri quadrati. La ragione del permanere di queste unità superate sta nel fatto di non voler cambiare i valori della durezza ben noti per i vari materiali. La formula unificata, con la forza F espressa in newton e i diametri in millimetri, è: F HBS = πd(d D 2 d 2 Per un incredibile miracolo la stessa formula è usata anche in America, che questa volta ci ha risparmiato le libbre e i pollici; quindi i valori di HBS da testi americani non hanno bisogno di conversione. La durezza Brinell si indica con HBW quando si usa una sfera di metallo duro, invece che di acciaio. è ancora usata peraltro la vecchia indicazione HB. Il simbolo HBS o HBW è preceduto dal valore della durezza e seguito da un indicazione numerica che riporta il diametro della sfera e il valore della forza applicata. Ovviamente questi valori sono unificati e ciò dà luogo ad una trentina di varietà di questa prova. Il valore del carico deve essere scelto in modo che 0.24D d 0.6D Inoltre il rapporto 0.102F/D 2 deve essere scelto in funzione del materiale secondo la tabella 1.1. Lo spessore del pezzo in prova deve essere maggiore di 8 volte la profondità dell impronta. quando lo spessore del pezzo lo permette è opportuno usare la sfera di diamtreo 10 mm. Prova Vickers 6 Il penetratore è di diamante, a forma di piramide retta a base quadrata, con angolo al vertice di 136 tra facce opposte. La durezza si ottiene misurando la diagonale d dell impronta e applicando la formula HV = F d 2 in cui la forza F è in newton e la diagonale d in millimetri. Nella designazione, il simbolo HV è preceduto dal valore della durezza e seguito dall indicazione numerica del carico di prova. Anche qui il carico di prova viene scelto in funzione della durezza e dello spessore del pezzo. 5 dal nome del suo inventore, Johann August Brinell (Bringetofta, Svezia merid., 1849-Stoccolma 1925), ingegnere, metallurgo e metallografo 6 dal nome dell industriale inglese Edward Vickers ( ) 1-6

15 Tabella 1.1: Durezza Brinell: Rapporto 0.102F/D 2 in funzione del materiale di prova Prova Rockwell La prova consiste nel far penetrare nel pezzo un indentatore conico o sferico misurando la profondità di penetrazione in due tempi: in una prima fase si usa un carico F 0, successivamente si aggiunge un carico addizionale F 1. Quello che conta è la differenza tra le profondità di penetrazione sotto il carico totale F 0 + F 1 e sotto il carico iniziale F 0, misurata in micrometri. Questa a sua volta viene sottratta da un numero fisso (100 o 130 a seconda dei metodi). Come penetratore si usa una sfera di acciaio o un cono di diamante. Le scale Rockwell più usate sono la Rockwell B (simbolo: HRB) e la Rockwell C (simbolo: HRC). Per i particolari si rimanda alla normativa. Correlazioni tra le scale di durezza Tra le varie scale di durezza esiste una correlazione empirica; inoltre la durezza è correlata anche con il carico di rottura del materiale. Vedi la tab. 1.2 e la fig Macchine di prova Le prove di trazione, di compressione, di flessione e talvolta quelle di fatica vengono effettuate per mezzo delle macchine di prova universali, suddivise in due categorie principali, quelle ad azionamento meccanico e quelle ad azionamento idraulico (oleodinamico). Entrambi i tipi sono composti da due montanti, una traversa superiore e una traversa inferiore (figg. 1.6 e 1.7). Nelle macchine di prova meccaniche la ganascia inferiore è fissa e quella superiore viene fatta salire o scendere grazie ad un dispositivo vite-chiocciola (la rotazione della vite, azionata da un motore elettrico passo-passo, induce una traslazione della chiocciola e quindi della traversa). Nelle macchine ad azionamento oleodinamico la traversa superiore è fissa, e ad essa è solidale la ganascia superiore, mentre la ganascia inferiore è solidale all asta del pistone del cilindro oleodinamico, il cui mantello è collegato alla traversa inferiore. Entrambe le macchine possono effettuare sia prove a deformazione imposta che prove a carico imposto. Sulle macchine ad azionamento oleodinamico (le più diffuse) le prove a carico imposto vengono effettuate controllando semplicemente la pressione nel cilindro, mentre quelle a spostamento o 1-7

16 Tabella 1.2: Correlazione tra varie scale di durezza e il carico di rottura degli acciai. deformazione imposta richiedono un controllo a retroazione, che faccia variare la pressione nel cilindro con una legge dipendente dalla forma d onda che si vuole realizzare e dalla risposta del sistema macchina + provino. Nelle macchine ad azionamento meccanico le prove a spostamento o deformazione imposta si ottengono semplicemente facendo ruotare la vite con una certa legge temporale, mentre quelle a carico imposto richiedono un controllo a retroazione, in quanto la rotazione della vite deve tener conto anche della risposta del sistema. Oggi, con un po di elettronica di controllo, entrambi i tipi di azionamento riescono altrettanto bene in entrambi i tipi di prova. La misura del carico avviene con le cosiddette celle di carico che sono in effetti l evoluzione concettuale dei vecchi dinamometri a molla. Un elemento deformabile (ma sufficientemente rigido), di solito a forma di anello, viene deformato dalla forza da misurare. La deformazione, a sua volta, viene misurata con dispositivi estensimetrici. La misura dell allungamento avviene misurando la rotazione della vite nelle macchine ad azio- 1-8

17 Figura 1.5: Durezze rappresentative di alcune classi di materiali, in varie scale di durezza. La scala segnata sull estrema destra come Brinell, è in realtà una contaminazione delle scale Brinell (per valori fino a circa 300), Vickers (per valori fino a 1500) e Knoops (per valori superiori) namento meccanico, o la traslazione dell asta del pistone in quelle ad azionamento oleodinamico, o anche misurando direttamente la deformazione del provino a mezzo dei cosiddetti estensometri. Nei primi due casi, quando cioè si misura lo spostamento relativo di due parti della macchina, occorre tenere conto della deformabilità di tutta la catena di trasmissione della forza, che comprende non solo il provino, ma tutta una serie di elementi deformabili, ossia il telaio della macchina e soprattutto la cella di carico, la cui deformabilità, pur più piccola di quella del provino, non è affatto trascurabile. L estensometro è un dispositivo dotato di due terminali tenuti solidali al provino dall attrito e che quindi si spostano l uno rispetto all altro man mano che il provino si deforma. Le figg. 1.9 e 1.10 mostrano un estensometro per prove ad alta temperatura; in questo caso i terminali sono due barrette ceramiche. 1-9

18 Figura 1.6: Telaio di macchina di prova a due montanti (INSTRON Ltd.) Figura 1.7: Telaio di macchina di prova a quattro montanti (INSTRON Ltd.) 1-10

19 Figura 1.8: Schema di principio di una macchina di prova ad azionamento oleodinamico e controllo elettronico (INSTRON Ltd.) 1-11

20 Figura 1.9: Estensometro per prove ad alta temperatura: vista assonometrica (INSTRON Ltd.) Figura 1.10: Estensometro per prove ad alta temperatura: vista laterale (INSTRON Ltd.) 1-12

21 2.1 Teoria della deformazione 2. Deformazione Spostamento Dato un punto P che dopo la deformazione si sposta in P, si definisce spostamento il vettore P -P. Se in ogni punto del corpo si applica il vettore spostamento si definisce una funzione vettoriale spostamento s equivalente a tre funzioni scalari del punto u, v, w. Se queste si sviluppano in serie di Taylor nelle vicinanze di un punto O, assunto come origine, per l ipotesi di piccolezza degli spostamenti ci si limita al termine lineare e si ottiene u v = w u O v O w O + u x v x w x u y v y w y u z v z w z La matrice è la somma di una parte antisimmetrica (che rappresenta una rotazione rigida) e in una parte simmetrica (deformazione pura). Lo spostamento dovuto alla deformazione pura, le cui componenti sono indicate con apice, è: u v w = u x 1 2 ( v x + u y ) 1 2 ( u y + v v y 1 2 ( w x + u z ) 1 2 ( w y + v z ) x y z x ) 1 2 ( u z + w x ) 1 2 ( v z + w w z y ) La matrice ɛ delle componenti speciali di deformazione appare come un operatore che trasforma i vettori posizione nei corrispondenti vettori spostamento. Se si definisce ɛ i l allungamento nella direzione i e γ ij la variazione dell angolo tra le direzioni i e j, inizialmente ortogonali, si dimostra che è: x y z Quindi la matrice ɛ si scrive ɛ x = u x ɛ y = v y ɛ z = w z γ xy = u y + v x γ xz = u z + w x γ yz = v z + w y 1 ɛ x 2 γ 1 xy ɛ = 1 2 γ 1 yx ɛ y 1 2 γ zx 2 γ xz 2 γ yz 1 2 γ zy ɛ z. 2-1

22 Si noti che, per i j, risulta ɛ ij = (1/2)γ ij. Direzioni principali Un punto P nell intorno di O individua una direzione principale OP se dopo la deformazione pura si porta in P* tale da essere allineato con O e P. Ciò significa che il vettore spostamento è parallelo al vettore posizione e quindi le direzioni principali sono gli autovettori dell operatore ɛ. 2.2 Misura della deformazione Estensimetri elettrici I più usati estensimetri elettrici sono quelli a resistenza nei quali la misura della deformazione è ricondotta alla misura di una variazione di resistenza. Sono costituiti da una griglia di materiale resistivo, generalmente una lega di nichel, fissata ad una base di materiale plastico che a sua volta viene incollata al pezzo con resina epossidica o cianoacrilato. Lo spessore complessivo di griglia, base e collante non supera i 50 µm. La deformazione del pezzo induce una deformazione della griglia, che a sua volta fa variare la resistenza elettrica letta tra i due terminali. La variazione di resistenza è dovuta in parte alla variazione di sezione e di lunghezza dei tratti della griglia in parte alla variazione di resistività del materiale di cui essa è fatta. Infatti la resistenza di un conduttore di sezione A e lunghezza l è R = ρ l A in cui ρ è la resistività del materiale. La derivata logaritmica di questa espresione dà: R R = ρ ρ + l l A A. Dalla teoria dell elasticità l A = ɛ l A = 2ν. Il fenomeno della piezoresistività è la dipendenza della ρ/ρ dalla deformazione; questa per piccoli valori di ɛ si assume lineare ρ ρ = k ɛ con k 0.5 per molti materiali. Quindi R R = ɛ(k ν) 2.1ɛ e in generale R R = kɛ dove la deformazione ɛ è misurata parallelamente ai tratti della griglia. Il valore di k è di circa per i tipi più diffusi di estensimetri. Il valore nominale di R è di 120 Ω e l isolamento rispetto al substrato deve superare i 1000 MΩ. La misura di R viene fatto con un ponte di Wheatstone; con opportuna disposizione è possibile ottenere la compensazione per le variazioni di temperatura. L applicazione (incollaggio) degli estensimetri è preceduta da accuratissima pulizia della superficie e deve essere fatta da un operatore esperto; inoltre l estensimetro non può essere riutilizzato perché non è possibile staccarlo senza rovinarlo. La precisione ottenibile è dell ordine di poche unità per milione (pochi microepsilon (µɛ) come si dice in gergo). 2-2

23 2.2.2 Fotoelasticità La luce, e in generale la radiazione elettromagnetica, è costituita da onde trasversali: i campi elettrico e magnetico sono diretti in senso perpendicolare alla direzione di propagazione. La velocità di propagazione è per i materiali monorifrangenti, data da c/n, essendo c la velocità della luce nel vuoto e n l indice di rifrazione. Nei materiali birifrangenti la velocità dell onda varia aseconda dell orientazione dei campi elettrico e magnetico dell onda rispetto a certi assi del materiale. Alcuni materiali presentano il fenomeno della birifrangenza artificiale meccanica: essi, se investiti da un fascio di luce polarizzata, trasmettono con velocità diverse le due componenti parallele alle due direzioni principali di deformazione. In altri termini per essi gli assi di birifrangenza coincidono con quelli principali di deformazione (fenomeno della fotoelasticità), e quindi non sono fissati a priori ma dipendono dallo stato di sforzo. In un materiale fotoelastico soggetto a deformazione, gli indici di rifrazione n 1 e n 2 nelle direzioni principali sono correlati con le deformazioni principali dalla seguente legge n 1 n 2 = K(ɛ 1 ɛ 2 ) in cui K è una costante adimensionale detta costante fotoelastica (strain-optical coefficient) del materiale (tab 2.1). Misure relative a questo fenomeno ottico permettono quindi di risalire allo stato di deformazione nel materiale. Sono possibili due applicazioni: o si costruisce un modello dell organo sotto sforzo e si risale dalle deformazioni del modello a quelle della struttura 1 o si incolla sull organo in studio uno strato di materiale fotoelastico, che si deformerà come gli strati superficiali di quello. Nel seguito parlerò esclusivamente della tecnica del modello, che fornisce risultati quantitativamente più accurati. Inoltre ci si riferirà a modelli piani, ritagliati in una lastra di spessore costante s, in quanto di più facile realizzazione e studio. Si disponga una lamina di materiale fotoelastico tra due polarizzatori incrociati, cioè con gli assi ottici a 90, detti polarizzatore e analizzatore; se essa è scarica non modifica la polarizzazione della luce, che non viene trasmessa; se invece viene caricata fa ruotare in generale l angolo di polarizzazione, per cui la luce viene trasmessa. Sia α l angolo tra la direzione di polarizzazione della luce e uno degli assi principali di tensione, diciamo l asse x. La vibrazione della luce può essere rappresentata dallo spostamento 2 s = a cos ωt nella direzione OA, dove ω è 2π volte la frequenza, dipendente dal colore della luce (qui supposta monocromatica) 3. Le proiezioni di questa vibrazione sugli assi principali, all ingresso della luce nel modello fotoelastico, sono x im = a cos α cos ωt y im = a sin α cos ωt. L effetto della lamina fotoelastica è di introdurre un certo ritardo temporale nella trasmissione della luce, visto che la velocità di propagazione è più piccola che nell aria, ma questo ritardo dipende dalla direzione della vibrazione; infatti il raggio che vibra nella direzione x incontrerà un 1 famosi furono i modelli fotoelastici di cattedrali gotiche, realizzati negli anni sessanta del XX secolo 2 Ciò che vibra nel piano di polarizzazione OA è il vettore induzione magnetica B. Ciò che vibra nel piano di vibrazione, normale al piano di polarizzazione, è il campo elettrico E. 3 Si riportano le relazioni tra la pulsazione ω, la frequenza ν, la lunghezza d onda λ e la velocità c: ω = 2πν; ν = c/λ. 2-3

24 Figura 2.1: Fotoelasticità indice di rifrazione n 1 e quindi si propagherà con velocità c/n 1, mentre il raggio che vibra nella direzione y incontrerà un indice di rifrazione n 2 e quindi si propagherà con velocità c/n 2. Il tempo impiegato dalla luce per attraversare lo spessore s del provino, vibrando nella direzione x, è t 1 = sn 1 c. Se invece vibra nella direzione y impiegherà un tempo All uscita del modello si avrà t 2 = sn 2 c. x um = a cos α cos ω(t t 1 ) y um = a sin α cos ω(t t 2 ). Si è cioè introdotto un ritardo di fase = ω(t 2 t 1 ), per cui si può scrivere, con opportuna posizione, per la luce che arriva all analizzatore, x um = a cos α cos ψ y um = a sin α cos(ψ ). Il piano di polarizzazione dell analizzatore, che è a 90 con quello del polarizzatore, è rappresentato in figura dal piano OM; le componenti lungo esso sono x um sin α = 1 a sin 2α cos ψ 2 y um cos α = 1 a sin 2α cos(ψ ). 2 La vibrazione che attraversa l analizzatore è quindi 1 2 a sin 2α[cos ψ cos(ψ )] = a sin 2α sin ( 2 sin ψ ) 2 2-4

25 la cui ampiezza è a sin 2α sin 2 ; essa è diversa da zero a meno che sin 2α = 0 o sin( /2) = 0. Si hanno così due famiglie di fasce scure, rispettivamente le isocline e le isocromatiche. Le prime sono il luogo dei punti in cui le direzioni principali di deformazione sono contenute nei piani di simmetria del polarizzatore e dell analizzatore; le seconde sono il luogo dei punti in cui è = 2Nπ essendo N un intero relativo, detto ordine di frangia. Risalendo alla definizione del ritardo di fase si ha: = ω(t 2 t 1 ) = 2πs λ (n 2 n 1 ) = 2πsK λ (ɛ 2 ɛ 1 ) e quindi ɛ 2 ɛ 1 = Nλ sk in cui λ è la lunghezza d onda della luce, N è l ordine di frangia, s è lo spessore del modello e K è la costante fotoelastica (strain-optical coefficient) del materiale (tab. 2.1). Tabella 2.1: Costante fotoelastica K per vari materiali Materiale K Vetro 0.14 Resina epossidica Resina espossidica plasticizzata Poliestere allilico 0.06 Policarbonato 0.15 Poliuretano Per i materiali isotropi le direzioni principali delle deformazioni e delle tensioni coincidono e per i materiali elastici tra tensioni e deformazioni c è proporzionalità; perciò per materiali isotropi elastici le isocromatiche sono anche il luogo dei punti in cui è costante la differenza tra le tensioni principali. Di fatto il valore di una frangia F è espresso in termini di tensione, cioè è la quantità di cui varia la differenza tra tensioni principali quando si passa da una frangia alla successiva. σ 2 σ 1 = NF s essendo F = Eλ/K, per cui in F rientrano non solo le caratteristiche del materiale ma anche la lunghezza d onda della luce. è chiaro che ci interessa che F sia il minimo possibile per poter rilevare le minime differenza di tensione. Come si vede nella fig. 2.2 ruotando gli assi principali del polariscopio le isocline ruotano, mentre le isostatiche rimangono fisse. Le isocromatiche possono essere osservare da sole facendo ruotare rapidamente polarizzatore e analizzatore purchè si mantengano sempre incrociati: le isocline ruotano anch esse per cui si rendono invisibili. Lo stesso risultato è conseguito con mezzi puramente ottici impiegando due polarizzatori circolari, che fanno ruotare rapidamente il piano di polarizzazione della luce. Le direzioni principali di deformazione (e di tensione) possono essere individuate ruotando in diverse posizioni polarizzatore e analizzatore, sempre con gli assi rigorosamente incrociati, determinando così i luoghi dei punti in cui le deformazioni principali sono inclinati dello stessio angolo 2-5

26 Figura 2.2: Frange isocromatiche e isocline in un disco caricato agli estremi osservato al polariscopio in luce monocromatica. rispetto agli assi di riferimento. E possibile quindi, con un numero sufficiente di rilievi, tracciare l andamento delle isostatiche. La numerazione dell ordine delle isocromatiche è facile osservando che, in luce monocromatica, essa segue l ordine di apparizione delle frange all aumentare del carico, mentre, in luce bianca, l ordine zero è nero, mentre gli altri sono colorati in maniera caratteristica. Una volta nota la differenza delle deformazioni o delle tensioni principali basterà determinarne la somma per poter calcolare, per addizione e sottrazione, separatamente ciascun valore di esse. Per questa determinazione sono possibili vari metodi sia sperimentali che teorici. Uno dei più antichi, ma anche dei meno precisi, è quello dovuto a Mesnager, che consiste nel misurare in vari punti del modello la variazione dello spessore conseguente all applicazione dei carichi; essa è infatti legata, per il fenomeno della contrazione laterale, alla somma delle tensioni principali. Le linee di uguale variazione di spessore sono dette isopachiche e si possono determinare direttamente con metodi interferometrici. Altri metodi suggeriscono l integrazione grafica delle equazioni di Lamé-Maxwell o l impiego di analogie reoelettriche. Si noti che lungo il contorno, dove di solito sono i punti più sollecitati, una delle tensioni principali è nulla, per cui la differenza coincide in modulo con il valore dell unica tensione principale diversa da zero. 2-6

27 3. Richiami di Resistenza dei Materiali 3.1 Analisi della tensione Si ammette come postulato che se un corpo è sezionato lungo una qualsiasi superficie, esso rimane in equilibrio applicando alla superficie di taglio delle opportune forze df distribuite. In ogni punto la tensione t è data da df t = lim da 0 da dove da è un elementino di superficie nell intorno di P e df è la forza su di esso agente. Le componenti di t rispetto alla terna ortogonale n, m, l dove n è la normale a da sono dette componenti speciali di tensione e si indicano con t n = σ n t l = τ nl t m = τ nm In particolare è utile considerare le componenti speciali quando le direzioni di n, m, l coincidono (non necessariamente in quest ordine) con quelle degli assi x, y, z Equazioni di Cauchy 1 Rispondono alla domanda: Qual è la tensione su un piano di giacitura n x, n y, n z (questi sono i coseni direttori della normale alla giacitura, ovvero le componenti cartesiane del versore normale alla giacitura) se sono note le componenti speciali di tensione? Si scrivono in forma matriciale: ovvero e in notazione di Einstein t nx t ny t nz = σ x τ xy τ yz τ yx σ y τ yz τ xy τ zy σ z t n = σn t ni = σ ij n j. n x n y n z La matrice delle componenti speciali di tensione appare come un operatore σ che trasforma vettori giaciture in vettori tensione. Equazioni ai limiti Basta scrivere le equazioni di Cauchy con riferimento alla pressione esterna. In questo caso α x, α y, α z sono i coseni direttori della normale alla superficie esterna. Proprietà di simmetria delle tensioni tangenziali Equazioni indefinite dell equilibrio τ ij = τ ji 1 Augustine-Louis Cauchy (Parigi Sceaux, Seine, 1857), matematico. 3-1

28 eccetera, che si possono anche scrivere come Direzioni principali di tensione. σ x x + τ xy y + τ xz z + X = 0 div σ + F = 0 Principale è quella direzione tale che sulla giacitura ad essa normale non siano presenti tensioni tangenziali, ma al massimo tensioni normali. Ciò significa che il vettore tensione è parallelo al vettore giacitura, e quindi le direzioni principali sono gli autovettori dell operatore σ. Le tensioni principali sono i relativi autovalori. Stati piani di tensione 1) uno stato di tensione è piano quando al variare della giacitura il vettore tensione giace sempre in un piano (piano delle tensioni) 2) uno stato di tensione è piano quando esiste una giacitura sulla quale non vi è tensione nè normale nè tangenziale. Questo piano coincide col piano delle tensioni sopra definito. Le due definizioni qui date sono equivalenti. I due casi più importanti di stato piano di tensione sono: lastra o membrana di piccolo spessore, in cui il piano delle tensioni coincide punto per punto col piano tangente. solido di de Saint Venant 2 in cui il piano scarico è parallelo all asse del solido e alla direzione punto per punto della τ sulla sezione normale. Cerchi di Mohr 3 Se sul piano σ, τ si rappresentano, con le convenzioni seguenti, le tensioni agenti su tutte le giaciture di un certo fascio i punti rappresentativi giacciono su archi di circonferenza. Particolare importanza hanno i cerchi di Mohr per fasci di giaciture aventi per sostegno una direzione principale di tensione (cerchi principali di Mohr). Convenzioni: 1) Le σ di trazione sono positive, quelle di compressione negative. 2) Le τ che inducono una rotazione oraria del cubetto sono positive. Ricerca delle tensioni principali su un cerchio principale di Mohr: posto che z sia una direzione principale e che siano note σ x, σ y e τ xy, σ 1 = σ x + σ y + ( σ x σ y ) τxy 2 σ 2 = σ x + σ y 2 ( σ x σ y ) τxy 2 2 Adhemar-Jean-Claude Barré de Saint Venant (Villiers-en-Brie Saint Ouen, Loir-et-Cher 1886), ingegnere e matematico. 3 Christian Otto Mohr (Wesselburen, Holstein Dresda 1918), ingegnere, costruttore di ponti. 3-2

29 3.2 Legame tensione-deformazione Ci si limita al campo elastico per materiali omogenei e isotropi. Nel caso più semplice di solido prismatico di materiale omogeneo e isotropo soggetto a sforzo assiale si constata che si ha allungamento lungo l asse e contrazione nelle dimensioni perpendicolari all asse. Inoltre l allungamento e l accorciamento sono proporzionali alla tensione e le costanti di proporzionalità sono caratteristiche del materiale. Questa relazione di proporzionalità venne scoperta per la prima volta da Hooke 4 (1676) nelle sue ricerche sulle molle da orologio. In formula, se z è la direzione della forza, si ha ɛ z = 1 E σ z ɛ x = ɛ y = ν E σ z. E è detto modulo di elasticità longitudinale o semplicemente modulo di elasticità o anche modulo di Young; ν è detto modulo di Poisson o coefficiente di contrazione laterale. Equazioni di Navier 5 Se agiscono contemporaneamente tensioni lungo i tre assi, per il principio di sovrapposizione degli effetti si ha: ɛ x = 1 E (σ x ν(σ y + σ z )) ɛ y = 1 E (σ y ν(σ x + σ z )) ɛ z = 1 E (σ x ν(σ x + σ y )) γ xy = 1 G τ xy γ xz = 1 G τ xz in cui γ yz = 1 G τ yz G = E 2(1 + ν) è detta modulo elastico trasversale o prima costante di Lamé 6 (in questo caso spesso indicata con µ). Equazioni inverse di Navier Le ultime tre si invertono in modo ovvio. Le prime tre, invece, sommate danno E(ɛ x + ɛ y + ɛ z ) = (1 2ν)(σ x + σ y + σ z ). (1) 4 Robert Hooke (Freshwater, Isola di Wight Londra 1703), fisico, matematico e naturalista. 5 Louis-Marie-Henry Navier (Digione Parigi 1836), ingegnere. 6 Gabriel Lamé (Tours Parigi 1870), fisico matematico 3-3

30 La prima eq. di Navier si riscrive, aggiungendo e sottraendo νσ x, da cui che si scrive essendo Eɛ x = (1 ν)σ x ν(σ x + σ y + σ z ) = (1 + ν)σ x σ x = E ( ɛ x + ν ) 1 + ν 1 2ν (ɛ x + ɛ y + ɛ z ) σ x = 2G ( ɛ x + G = E 2(1 + ν) ν 1 2ν e) νe 1 2ν (ɛ x + ɛ y + ɛ z ) e = ɛ x + ɛ y + ɛ z La forma più comune in cui vengono scritte le equazioni inverse di Navier è la seguente: σ x = 2µɛ x + λe σ y = 2µɛ y + λe σ z = 2µɛ z + λe τ xy = µγ xy τ xz = µγ xz τ yz = µγ yz in cui µ, prima costante di Lamé, non è altro che il modulo elastico trasversale G e λ, seconda costante di Lamé, è data da νe λ = (1 + ν)(1 2ν). Equazioni di Navier in notazione di Einstein è opportuno a questo punto porre le equazioni di Navier in una forma più sintetica, utilizzando la notazione di Einstein per i tensori, che sarà utilizzata anche nelle sezioni successive, dedicate ai deviatori degli sforzi e delle deformazioni e alla termodinamica della deformazione. 1) gli indici x,y,z sono sostituiti da 1,2,3 rispettivamente 2) viene posto σ x = σ 11 ; σ y = σ 22 ; σ z = σ 33 3) viene posto ɛ x = ɛ 11 ; ɛ y = ɛ 22 ; ɛ z = ɛ 33 ; (1/2)γ xy = ɛ 12 eccetera. In questo modo il tensore degli sforzi viene indicato con σ ij e il tensore delle deformazioni con ɛ ij. 4) la somma ɛ 11 + ɛ 22 + ɛ 33, già indicata con e viene indicata con ɛ ii sottintendendo il simbolo di sommatoria. In generale, ogni volta che un indice è ripetuto si sottintende che viene eseguita la sommatoria facendo variare quell indice da 1 a 3. 5) Si introduce il tensore unitario δ ij =

31 detto delta di Kronecker 7 Con queste notazioni le equazioni inverse di Navier si scrivono σ ij = 2µɛ ij + λδ ij ɛ kk (notare l uso di un indice muto diverso da i e da j). Deviatore degli sforzi e delle deformazioni La relazione tra sforzi e deformazioni per materiali elastici omogenei e isotropi (legge di Hooke o equazioni di Navier) può essere posta in forma assai espressiva (e assai più mnemonica) suddividendo i tensori degli sforzi e delle deformazione in parte sferica e parte deviatorica. La parte sferica è un tensore isotropo, mentre la parte deviatorica è un tensore a traccia nulla (il che non significa che sono nulli i termini della diagonale principale ma solo che è nulla la loro somma). Si definisce ora un deviatore degli sforzi e analogamente un deviatore delle deformazioni σ ij = σ ij δ ijσ kk 3 ɛ ij = ɛ ij δ ijɛ kk. 3 Le parti sferiche sono date rispettivamente da σ ij = δ ij σ kk /3 e da ɛ ij = δ ij ɛ kk /3. Sostituendo le eq. inv. di Navier nella definizione del deviatore degli sforzi σ ij = 2µɛ ij + λδ ij ɛ kk δ ijσ kk 3 e sostituendo l espressione del deviatore delle deformazioni σ ij = 2µɛ ij + 2µ 3 δ ijɛ kk + λδ ij ɛ kk δ ijσ kk 3 ovvero σ ij = 2µɛ ij + δ 2µ ij( 3 ɛ kk + λɛ kk σ kk 3 ). Quando i j si ha δ ij = 0 e quindi σ ij = 2µɛ ij. Quando invece i = j si ha, sommando le tre equazioni e ricordando che σ ii = 0 e ɛ ii = 0, Di solito si pone σ kk = ɛ kk (2µ + 3λ). (1 ) 2µ + 3λ = 3K dove K è il modulo di elasticità di volume o modulo di compressione uniforme; µ è anche detto modulo di scorrimento. Come si vede la (1 ) è identica alla (1) di pag Scritta in questo modo la legge di Hooke, si può dire che un corpo reagisce alla deformazione in due modi: se la deformazione implica una variazione di volume, il corpo reagisce aumentando o diminuendo la sua pressione (parte sferica del tensore degli sforzi); se invece la deformazione implica una variazione di forma il corpo reagisce con la corrispondente componente del deviatore degli sforzi. Così la variazione di volume non coinvolge la variazione di forma e le singole componenti del tensore degli sforzi sono disaccoppiate tra loro. Tale conclusione è però vera solo per i corpi isotropi. Si dimostra facilmente che il lavoro compiuto da una tensione idrostatica per effetto del deviatore delle deformazioni è nullo e che tale è anche il lavoro compiuto da una tensione deviatorica per effetto di una deformazione sferica. Infatti σ ijɛ ij = σ ijδ ij ɛ kk /3 = σ iiɛ kk /3 = 0 7 Leopold Kronecker (Liegnitz Berlino 1894), matematico. famoso presso il popolino per il detto Dio creò i numeri interi, tutto il resto è opera dell uomo 3-5

32 in quanto σ ii = 0 Così anche l energia elastica si suddivide tra un aliquota relativa alla variazione di volume e un aliquota relativa alla variazione di forma. φ v = 1 2 σ iiɛ ii φ f = 1 2 σ ikɛ ik. Si noti infine che il coefficiente K = E/(3(1 2ν)) è il reciproco del coefficiente di comprimibilità isoterma che vale m 2 /N per il ferro e m 2 /N per l acqua. Propagazione delle onde Si ricorda che nei solidi sono possibili due tipi di onde elastiche: onde rotazionali o di distorsione, caratteristiche dei solidi, che si propagano con velocità µ v S = ρ onde irrotazionali o di dilatazione, presenti anche nei fluidi, che si propagano con velocità K + (4/3)µ λ + 2µ v P = =. ρ ρ 3.3 Termodinamica della deformazione L aumento dell energia interna di un sistema è dato dalla differenza tra il calore ricevuto dal sistema e il lavoro compiuto dal sistema 8. Nel nostro caso il sistema è un cubetto prelevato dal corpo in tensione. Su una coppia di facce opposte agiscono dall esterno le forze σ ij da, quindi il sistema reagisce sull ambiente con le forze σ ijda. Queste compiono lavoro per effetto dello spostamento dɛ ijdl dove dl è la dimensione del cubetto normale alla faccia di area da. Il lavoro totale è dato dalla somma dei lavori compiuti dalle forze agenti su tutte le coppie di facce, che si può esprimere con σ ij dɛ ij dlda = σ ij dɛ ij dv dove V è il volume del cubetto. Il lavoro per unità di volume è quindi dr = σ ij dɛ ij Nella meccanica dei solidi è usuale riferire le grandezze termodinamiche all unità di volume invece che all unità di massa, per cui la variazione di energia interna si scrive du = T ds + σ ijdɛ ij in cui le maiuscole indicano appunto grandezze riferite all unità di volume. Introducendo l energia libera di Helmholtz F = U T S si ha per cui si può scrivere df = SdT + σ ij dɛ ij, ( U σ ij = ɛ ij )S ( F = ɛ ij )T L espressione dell energia libera in funzione del tensore di deformazione si trova facilmente per piccoli valori della deformazione, perché basta allora uno sviluppo in serie limitata ai termini di grado più basso. Ci si limita qui al caso dei corpi isotropi. Dato un corpo ad una certa temperatura, si considera non deformato lo stesso corpo in assenza di forze esterne per la stessa temperatura, per escludere dal conto quelle deformazioni (dilatazioni termiche) che non sono dovute a tensioni. Ora, per ɛ ij = 0 si ha per definizione σ ij = 0, quindi nella espressione di F non compaiono termini lineari in ɛ ij = 0. Quindi nella espressione di F compaiono solo termini quadratici. 8 Più precisamente il lavoro compiuto dalle forze che il sistema esercita sull ambiente 3-6

33 Dato che l energia libera F è uno scalare, ogni termine dello sviluppo sarà uno scalare. Con un tensore simmetrico u ij si possono costruire due scalari indipendenti di secondo grado; si possono assumere come tali u 2 ii, il quadrato della somma delle componenti diagonali, e u 2 ik, la somma dei quadrati delle componenti. Landau - Lifšits, Vol VII pag. 20 Nel nostro caso, ricordando l espressione della legge dell elasticità in funzione delle parti sferiche e deviatoriche dei tensori, non può essere che F = F 0 + λ 2 ɛ2 ll + µɛ 2 ij in cui compaiono le costanti di Lamé. Scrivendo il differenziale totale si ha df = df 0 + λɛ ll dɛ ll + 2µɛ ijdɛ ij = ) = (λɛ ll δ ij + 2µɛ ij dɛ ij da cui, poiché df 0 dipende anche dalla temperatura, ( F ɛ ij )T = λɛ ll δ ij + 2µɛ ij. In questo modo si sono riottenute le equazioni di Navier. 3.4 Criteri di resistenza Sono in uso vari criteri di resistenza, ciascuno basato su una ipotesi di rottura: 1) Criterio della massima tensione (o di Rankine 9 -Navier): La rottura è causata dal superamento della massima tensione normale σ a trazione o a compressione 2) Criterio della massima deformazione o di Grashof 10 : La rottura è causata dal superamento della massima deformazione ɛ a dilatazione o a compressione. 3) Criterio della massima tensione tangenziale (o di Guest 11 o di de Saint Venant o di Tresca 12 ): La rottura è causata dal superamento della massima tensione tangenziale τ 4) Criterio di Hencky-von Mises: La rottura è causata dal superamento della massima tensione tangenziale ottaedrale (Roš- Eichinger 13 ) o dello sforzo tangenziale composto (von Mises 14 ) o della massima energia associata a variazione di forma (Huber 15 -Hencky 16 ). Le tre ipotesi sono equivalenti. 5) Criterio di Coulomb 17 e criterio della curva intrinseca: La rottura è causata dal superamento dell attrito interno tra piani adiacenti. 9 William John Macquorn Rankine (Edimburgo Glasgow 1872), ingegnere e fisico 10 Franz Grashof (Düsseldorf Karlsruhe 1893), ingegnere. 11 J. J. Guest, fine XIX - inizio XX sec. 12 Henri-édouard Tresca (Dunkerque Parigi 1885), ingegnere. 13 di loro so solo che lavorarono al Politecnico di Zurigo nella prime metà del XX secolo. 14 Richard von Mises (Leopoli Boston 1953), matematico e filosofo. Vedi biografia in appendice. 15 M. T. Huber, ingegnere polacco, prima metà del XX secolo. 16 H. Hencky, prima metà del XX secolo. 17 Charles-Augustin de Coulomb (Angoulême Parigi 1806), fisico. 3-7

34 3.5 Formule di verifica e di progetto Una formula è di verifica se fornisce un valore di tensione in funzione dei carichi e della geometria; è di progetto se fornisce un valore dimensionale, in funzione dei carichi, delle caratteristiche del materiale e di altri valori dimensionali che si suppongono dati a priori o che comunque costituiscono vincoli al progetto. In quanto segue si userà una definizione più larga, intendendo come formula di verifica quella che fornisce direttamente il coefficiente di sicurezza (prima colonna) e come formula di progetto quella che pone un vincolo alle tensioni principali in funzione della σ amm (seconda colonna). Nel seguito, σ 1, σ 2 e σ 3 sono le tre tensioni principali in ordine decrescente, σ R è la tensione di rottura e s è il grado di sicurezza, σ amm è la tensione ammissibile 1) Criterio della massima tensione s = σ R σ 1 ; 2) Criterio della massima deformazione σ 1 σ amm s = σ R σ 1 ν(σ 2 + σ 3 ) ; 3) Criterio della massima tensione tangenziale σ 1 ν(σ 2 + σ 3 ) σ amm s = s = 4) Criterio di Hencky- von Mises σ R σ 1 σ 3 ; σ R σ σ σ2 3 σ 1σ 1 σ 2 σ 3 σ 1 σ 3 ; σ 1 σ 3 σ amm σ σ2 2 + σ2 3 σ 1σ 1 σ 2 σ 3 σ 1 σ 3 σ amm 5) Criterio di Coulomb e criterio della curva intrinseca: Il grado di sicurezza si ottiene per via grafica come il rapporto di omotetia che rende il massimo cerchio di Mohr tangente alla curva intrinseca. 3.6 Solido del De Saint Venant Problema di de Saint Venant Determinare lo stato di equilibrio di un solido cilindrico o prismatico sollecitato solo sulle due basi. Tale solido è detto solido di de Saint Venant. De Saint Venant risolse questo problema con l ausilio del seguente Postulato di de Saint Venant In un solido di de Saint Venant le tensioni e le deformazioni non variano, se non in una zona adiacente alle due basi, se si sostituisce la sollecitazione agente su di esse con un altra avente la stessa risultante e lo stesso momento risultante. Più tardi i risultati vennero estesi a solidi caricati anche sulla superficie laterale, o con asse non rettilineo, o con sezione variabile con gradualità. Riassumo qui alcune formule che si suppongono note dalla Scienza delle Costruzioni. Sforzo normale σ = N A Flessione retta σ = M x I x y σ max = M x W fx 3-8

35 I x è il momento quadratico di area, popolarmente detto momento d inerzia, della sezione rispetto all asse baricentrico x ed è definito I x = y 2 da Il modulo di resistenza a flessione W fx è definito W fx = I x /y max. Raggio di curvatura di una trave inflessa: A Linea elastica: R = y ɛ = EI x M y = M EI x Proprietà delle sezioni più comuni: Cerchio (rispetto ad un diametro): I x = I y = πd4 64 Corona circolare (rispetto ad un diametro): W fx = W fy = πd3 32 I x = I y = π(d4 e D 4 i ) 64 W fx = W fy = π(d4 e D 4 i ) 32D e Corona circolare sottile di spessore s (rispetto ad un diametro): I x = I y = πd3 8 s W fx = W fy = πd2 4 s Rettangolo (rispetto ad un asse baricentrico x parallelo al lato b e perpendicolare al lato h): I x = b h3 12 W fx = b h2 6 Flessione deviata e flessione composta Per i materiali con comportamento simmetrico a trazione e a compressione (ossia per tutti i metalli eccetto la ghisa) si applica il principio di sovrapposizione degli effetti Taglio σ = N A + M x I x y + M y I y x τ = T S b I dove S è il momento statico di una delle parti della sezione casi particolari: sezione rettangolare sezione circolare τ max = 3 T 2 b h 3-9

36 Tabella 3.1: Coefficienti per il calcolo della torsione in travi rettangolari b/c α β τ max = 4 T 3 A Torsione 1) sezione circolare o a corona circolare τ max = M t D e I p 2 θ = M t l G I p I p è il momento polare di area, popolarmente detto momento d inerzia polare che vale I p = π (D4 e D 4 i ) 32 2) sezione rettangolare La massima tensione tangenziale si ha nel punto medio dei lati più lunghi della sezione e vale τ max = M t α b c 2 dove b è il lato più lungo e c è il lato più corto della sezione e α è data dalla tabella I. L angolo totale di torsione in radianti è θ = M tl β b c 3 G dove L è la lunghezza del tratto soggetto al momento M t e β è data dalla tabella 3.1. Casi composti Si applica il principio di sovrapposizione degli effetti. Le σ da sf. normale e da mom. flett. si sommano algebricamente, mentre le τ da taglio e torsione si sommano vettorialmente, visto che in generale hanno direzioni diverse. Dette σ e τ le quantità così ottenute e visto che il solido di de Saint Venant è in stato piano di tensione, si ha: σ 1 = σ 2 + ( σ 2 )2 + τ 2 σ 2 = σ 2 ( σ 2 )2 + τ

37 3.7 Deformazioni laterali di travi inflesse Si ottengono tramite doppia integrazione del diagramma del momento flettente; infatti l equazione che connette il momento flettente alla curvatura è: y = M EI. L integrazione può avvenire per via analitica o numerica o per via grafica (col metodo del poligono funicolare); quest ultima è ovviamente meno precisa, ma dà un idea rapida dell andamento della deformata e perciò può essere adottata o come primo tentativo, per una conoscenza preliminare della linea elastica o per la successiva applicazione del metodo di Mohr. Quest ultimo, detto anche metodo dell area dei momenti, parte dalla constatazione che l angolo tra le tangenti alla linea elastica nei punti A e B è dato dall integrale dφ = B A M EI dx. Si dimostra che la distanza δ (misurata normalmente alla trave) tra la deformata in un punto P e la tangente alla deformata in un altro punto T è data dal momento statico dell area del diagramma dei momenti tra il punto di tangenza T e il punto in studio P δ = P T M EI xdx. Figura 3.1: Deformazione laterale di travi inflesse 3-11

38 4. Metodo degli elementi finiti 4.1 Il problema generale dell equilibrio elastico Il problema dell equilibrio elastico si propone di trovare le soluzioni di un complesso sistema di equazioni differenziali e algebriche: 3 equazioni indefinite dell equilibrio 6 equazioni di congruenza (di cui solo tre differenzialmente indipendenti) 6 equazioni di Navier (esprimenti la legge di Hooke) assieme con le relative condizioni ai limiti (equazioni di Cauchy) e di vincolo. Si tratta di 12 equazioni nelle dodici incognite costituite dalle componenti speciali di tensione e di deformazione. La difficoltà del problema sta soprattutto nella forma del dominio elastico, cioè del corpo in cui si cerca di risolvere il problema; e infatti soluzioni analitiche sono note solo per domini molto semplici (semispazio, disco, eccetera). Qualche semplificazione del problema è possibile, ma la tendenza attuale è di risolverlo attraverso l applicazione del principio dei lavori virtuali, calcolando però lo spostamento in modo approssimato. Tale approccio dà luogo al metodo degli elemeti finiti. 4.2 Spostamento e sua approssimazione Lo spostamento di un punto P del corpo elastico è dato dalla funzione vettoriale s di componenti u, v, w, che viene rappresentato con un vettore algebrico (vettore colonna) u(x, y, z) s = v(x, y, z) w(x, y, z) essendo u, v, w funzioni delle coordinate x, y, z del punto P. Tutto il metodo degli elementi finiti riposa su opportuni postulati utilizzati per approssimare la funzione s. Il primo postulato è che lo spostamento sia funzione di x, y, z ma anche dagli spostamenti di un certo numero di punti scelti detti nodi. Quindi u = u(x, y, z, u 1, v 1, w 1, u 2, v 2, w 2,, u n, v n, w n ) e lo stesso vale per v e w. Si postula inoltre che la dipendenza dai parametri u 1, v 1, w 1, u 2, v 2, w 2,, u n, v n, w n sia lineare, e che quindi si possa mettere nella forma s = Nq in cui q è il vettore colonna le cui componenti sono u 1, v 1, w 1, u 2, v 2, w 2,, u n, v n, w n. Come ultimo postulato si ammette che la dipendenza lineare di u, v, w dalle componenti di q sia effettiva (cioè abbia coefficiente diverso da zero) solo per i nodi sufficientemente vicini al punto P; tali sono i nodi che appartengono allo stesso sottodominio (elemento) cui appartiene il punto P. 4-1

39 4.3 Lineamenti generali Il metodo degli elementi finiti può essere quindi così schematizzato: 1. Si suddivide la struttura in elementi di forma opportuna, collegati tra loro in punti detti nodi; gli elementi possono avere la stessa dimensionalità della struttura o anche una dimensionalità inferiore, per esempio si possono usare elementi monodimensionali per costruire una struttura tridimensionale; però questo caso sarà visto più oltre, per cui per il momento si considereranno solo strutture tridimensionali composti da elementi anch essi tridimensionali. 2. Si adotta un opportuno modello di spostamento, cioè si ipotizza che lo spostamento s(p ) in ogni punto P di un elemento sia funzione lineare dei soli spostamenti dei nodi appartenenti all elemento e che quindi non dipenda nè dagli spostamenti di nodi non appartenenti all elemento nè dagli spostamenti di altri punti. Lo spostamento s(p ) comunque dipende anche dalle coordinate dei nodi dell elemento, e questa dipendenza può essere non lineare. Lo spostamento, come si è detto, è una funzione vettoriale s(x, y, z) (equivalente a tre funzioni scalari u, v, w). Nel caso tridimensionale si pone u(x, y, z) s(x, y, z) = v(x, y, z) = N(x, y, z)q w(x, y, z) in cui la matrice N è una matrice di funzioni di forma 1 e q è il vettore degli spostamenti nodali, ossia u 1 v 1 q = Il numero n è il numero di nodi dell intera struttura; il vettore q ha una dimensione molto grande (n può facilmente superare 2000 per cui la dimensione di q supera 6000) e quasi tutti gli elementi della matrice N 2 (cioè quelli che sono in colonne relative a nodi estranei ) sono nulli. Impostando così il problema non si ha alcuna difficoltà nè concettuale nè di spazio di memoria, perché ovviamente vengono immagazzinati in memoria solo gli elementi diversi da zero, con i loro indici. Spesso, tuttavia, il vettore q e le matrici N e B vengono riferite ai soli gradi di libertà dell elemento: si tratta di una proiezione su un sottospazio, analogo al caso in cui una figura piana viene studiata in due dimensioni invece che in tre. Ciò semplifica la scrittura su carta delle equazioni ed in parte anche la programmazione ma presenta per il principiante qualche complicazione, per esempio quando si scrive l equazione (3). w 1.. u n v n w n Per il calcolo delle funzioni di forma si veda appresso. 3. Si scrivono per ciascun elemento le espressioni delle deformazioni e delle tensioni in funzione 1 Nelle funzioni di forma entrano le coordinate del punto e quelle dei nodi; questa dipendenza può essere non lineare. Di solito la lorma di tali funzioni è polinomiale, con le coordinate del punto a fungere da indeterminate e le coordinate dei nodi a formare i coefficienti. 2 e della matrice B che sarà introdotta più sotto 4-2

40 degli spostamenti. Posto si ha: ɛ = ɛ = ɛ x ɛ y ɛ z γ yz γ xz γ xy x y z 0 z y z 0 x y x 0 in cui è implicitamente definita la matrice per cui u v w = s ɛ = Nq = Bq (1) Le componenti di B = N sono le derivate parziali delle funzioni di forma. Per la legge di Hooke σ = Dɛ in cui D contiene le costanti elastiche del materiale 3, quindi σ = DBq. (2) Le espressioni (1) e (2), anche se formalmente sono scritte per tutto il dominio della struttura in studio (anzi addirittura per tutto lo spazio) sono valide solo nell ambito dell elemento considerato perché solo lì le funzioni di forma danno un approssimazione sufficiente. 4. Si scrive l espressione dell energia W di deformazione elastica, che è uguale al lavoro delle forze esterne nodali f W = 1 ɛ T σdv = 1 2 V e 2 qt f e (dove la sommatoria è estesa a tutti gli elementi e l integrale è fatto all interno di ciascun elemento, per l avvertenza data alla fine del numero precedente) da cui q T B T DBqdV = q T f V e e 5. Al primo membro i vettori q T e q si possono portare fuori sia del segno di integrale che del segno di sommatoria, per cui ( ) q T B T DBdV q = q T f e V e 3 La matrice D, nel caso di un problema elastico tridimensionale riguardante un materiale omogeneo e isotropo vale: 1 ν ν ν ν 1 ν ν E ν ν 1 ν D = 1 2ν (1 + ν)(1 2ν) ν ν Essa esprime in forma matriciale le equazioni inverse di Navier. 4-3

41 che, con la posizione, K = e V e B T DBdV, (3) e con ovvia semplificazione restituisce l equazione fondamentale del metodo degli elementi finiti Kq = f (4) in cui il vettore q degli spostamenti nodali è incognito e il vettore f delle forze nodali è noto. La matrice K che compare nella (2) è detta matrice di rigidezza ed ha una notevolissima interpretazione: se tutti i gradi di libertà vengono bloccati tranne quello i-esimo e a quest unico si impone uno spostamento unitario, la reazione del vincolo j-esimo è proprio K ij (a parte il segno). 6. Si impongono gli opportuni vincoli cancellando quelle righe e quelle colonne della matrice K e quegli elementi dei vettori f e q che corrispondono a gradi di libertà soppressi. 7. Si risolve la (2) con i consueti metodi dell algebra lineare. 4.4 Proprietà e significato fisico della matrice K. La matrice K è simmetrica, data la simmetria della matrice D. Infatti la sua trasposta si scrive K T = B T D T BdV, e V e e tale espressione, per la (3) e per la simmetria di D è evidentemente uguale a K. Per quanto riguarda il suo significato fisico, si ricordi che 1 2 qt Kq è il lavoro delle forze interne, quindi si può interpretare Kq come la forza interna che postmoltiplicata per q T restituisce il lavoro, salvo il fattore 1/2 dovuto al teorema di Clapeyron. Ora, un elemento del vettore Kq è dato da K i1 q 1 + K i2 q Ki, 3nq 3n Tale elemento produce lavoro per effetto dello spostamento q i, quindi si interpreta come la forza interna corrispondente al grado di libertà i-esimo; ed in definitiva K ij è la forza interna che agisce sul grado di libertà i-esimo per effetto dello spostamento unitario q j = 1 essendo stati fissati a zero tutti gli altri spostementi degli altri gradi di libertà. O ancora, K ij è il lavoro mutuo che si ha per uno spostemento unitario del grado di libertà i-esimo e del grado di libertà j-esimo. 4.5 Complementi e complicazioni 1. L espressione K (e) = B T DBdV, (5) V e dove l integrale è esteso al solo volume dell elemento e, è detta matrice di rigidezza dell elemento e. In questo modo la (3) si scrive K = K (e) (3 ) e 4-4

42 e questa espressione è quella comunemente usata, sempre per ragioni di occupazione di memoria. La matrice K (e) viene di solito scritta eliminando tutte le righe e le colonne che si riferiscono a gradi di libertà estranei all elemento considerato. Le matrici così scritte non possono essere direttamente sommate tra loro (ovviamente al momento di fare la somma le righe e le colonne provvisoriamente cancellate devono essere in qualche modo ripristinate: esistono dei semplici algoritmi che si incaricano della bisogna) ma sono di dimensioni maneggevoli e oltretutto dipendenti non dalla intera struttura ma solo dal tipo di elemento al quale si riferiscono: se ne vedranno degli esempi più sotto. 2. L ordine in cui sono elencati i gradi di libertà nel vettore q determina la scrittura di tutte le matrici e può in generale essere qualsiasi, purché fissato una volta per tutte in ogni singolo problema. Per ragioni di spazio di memoria si preferisce procedere così: a) si numerano i nodi in modo che la massima differenza (in valore assoluto) tra i nodi di uno stesso elemento sia quanto più piccola possibile. b) si ordinano i gradi di libertà prendendo nell ordine lo spostamento u del primo nodo, lo spostamento v del primo nodo, lo spostamento w del primo nodo, lo spostamento u del secondo nodo e così via fino allo spostamento w dell ultimo nodo. In questo modo si ottiene una matrice di rigidezza a banda, ossia tale da avere diversi da zero solo gli elementi della diagonale principale e di poche diagonali ad essa adiacenti. 3. Calcolo completo di una matrice di rigidezza: l elemento tetraedrico a quattro nodi. Per il caso di un tetraedro con quattro nodi (il più semplice elemento tridimensionale) la matrice N, riferita agli spostamenti dei soli nodi dell elemento, si scrive: N = N i 0 0 N j 0 0 N k 0 0 N l N i 0 0 N j 0 0 N k 0 0 N l N i 0 0 N j 0 0 N k 0 0 N l dove le N i, N j ecc. sono funzioni interpolanti lineari; in particolare la N i vale 0 sulla faccia jkl e vale 1 nel nodo i ed è proporzionale alla distanza del punto considerato dalla faccia jkl. Le funzioni di forma (vedi Rao pag. 123) sono le seguenti: N i = 1 6V (e) (a i + b i x + c i y + d i z) N j = 1 6V (a (e) j + b j x + c j y + d j z) e le analoghe per N k ed N l ; nelle precedenti espressioni vale: x j y j z j a i = x k y k z k x l y l z l 1 y j z j b i = 1 y k z k 1 y l z l x j 1 z j c i = x k 1 z k x l 1 z l x j y j 1 d i = x k y k 1 x l y l 1 4-5

43 e le altre costanti si ottengono dalle precedenti permutando circolarmente i pedici i, j, k, l. I valori x i, y i, z i sono poi le coordinate del primo vertice del tetraedro e così via. Essendo B = N si ha eccetera, per cui B = 1 6V e B 11 = x N i = b i 6V e b i 0 0 b j 0 0 b k 0 0 b l c i 0 0 c j 0 0 c k 0 0 c l d i 0 0 d j 0 0 d k 0 0 d l c i b i 0 c j b j 0 c k b k 0 c l b l 0 0 d i c i 0 d j c j 0 d k c k 0 d l c l d i 0 b i d j 0 b j d k 0 b k d l 0 b l Poiché B e D sono indipendenti dalla posizione x, y, z, si ha K (e) = V e B T DB in cui V e è il volume dell elemento. 6. Per elementi tridimensionali non lineari e per elementi bi- e momodimensionali facenti parte di una struttura tridimensionale conviene scrivere le matrici N e B in coordinate locali, in modo da semplificare i calcoli, riconducendosi poi a coordinate globali. 7. L elemento isoparametrico triangolare a sei nodi di secondo grado in stato piano di tensione o di deformazione. Gli elementi isoparametrici sono caratterizzati da maggiore flessibilità perché possono avere lati curvi. Le funzioni di forma vengono scritte in funzione di coordinate interne, che in questo caso sono L 1, L 2, L 3 (vedi figura) con L 1 + L 2 + L 3 = 1. I nodi posti sui lati permettono di ottenere contorni curvi. Risulta ( ) u(x, y) = Nq v(x, y) con ed essendo Eliminando L 3 si ha: e gli altri N i rimangono invariati q = u 1 v 1 u 2 v 2.. u 6 v 6 ( ) N1 0 N N = N N 1 0 N n 6 N i = L i (2L i 1) i = 1, 2, 3 N 4 = 4L 1 L 2 N 5 = 4L 2 L 3 N 6 = 4L 3 L 1. N 3 = 1 3(L 1 + L 2 ) + 2(L 1 + L 2 ) 2 4-6

44 Per permettere l esistenza di lati curvi si pone (condizione di isoparametricità) ( ) x = Nx y essendo ed N è definito come sopra. Sappiamo che è con in cui in questo caso Risulta quindi B = N 1 x N 1 y N 2 ɛ = x = ɛ xx ɛ yy ɛ xy x 1 y 1 x 2 y 2.. x 6 y 6 B = N = Bq x 0 = 0 y N 6 y x x... x N N 2 N y y... 6 y N 2 N y... 6 N 1 N 2 N y x x... 6 x in cui le funzioni di forma N i sono espresse in funzione delle coordinate naturali L 1 ed L 2. Per valutare K e il vettore delle forze esterne sono necessarie due trasformazioni. Innanzitutto la matrice K deve essere espressa in termini di derivate delle funzioni di forma rispetto alle variabili naturali e non rispetto alle x ed y. Successivamente gli integrali di superficie e di volume devono essere espressi in termini delle coordinate naturali con un opportuno cambio degli estremi di integrazione. Per la prima trasformazione si fa uso della matrice jacobiana ) che vale (vedi Rao p. 235) cosicché J = ( x L 1 x L 2 N i y L 1 y L 2 ( 6 6 i=1 L J = 1 x i i=1 6 N i 6 i=1 L 1 x i i=1 ( Ni x N i y Per la seconda trasformazione vedi Rao pag N i L 1 y i N i L 2 y i ) ( Ni ) = J 1 L 1 N i. L 1 ) 4-7

45 4.6 Analisi dinamica Per scrivere l equazione fondamentale del metodo degli elementi finiti nel caso dinamico (ossia con forze esterne variabili nel tempo), applicheremo il principio di d Alembert, che impone di sommare alle forze agenti le forze d inerzia. Calcoliamo preliminarmente la forza d inerzia di un elementino di densità ρ e volume dv. Se s(t) è lo spostamento di tale elementino, la forza d inerzia è di = ρ sdv Se per lo spostamento si adotta la stessa espressione usata nel caso statico risulta s(t) = N(x, y, z)q(t) di = ρn qdv. Integrando su tutta la struttura (quindi su tutto il volume V ), si ha I = V ρndv q = M q con opportuno significato della matrice M. tale termine va aggiunto al secondo membro dell equazione generale (4) degli Elementi Finiti, che quindi risulta: M q + Kq = f(t) (6) Alla stessa equazione si arriva sfruttando le equazioni di Lagrange, con opportune ipotesi sulla natura delle forze agenti. Nella (6) viene talvolta fatto comparire un termine riguardante lo smorzamento, ma esso non è eccessivamente importante per le applicazioni e verrà quindi trascurato. Va detto infine che la matrice M così ottenuta prende il nome di matrice compatibile delle masse, e risulta una matrice a banda, con larghezza di banda molto piccola, mentre in altri casi si utilizza una matrice concentrata delle masse, che risulta addirittura diagonale. Una volta trovata l equazione generale (6) per la dinamica dei sistemi schematizzati col metodo degli elementi finiti, occorre passare alla risoluzione. La grande varietà del vettore delle forze esterne, in cui evidentemente tutti gli elementi sono funzioni del tempo, impone però dei trattamenti standardizzati e molto schematici. Tra essi prevale per importanza quello dell analisi modale. Questo consiste innanzitutto nel trascurare lo smorzamento, e quindi nel cercare la soluzione dell equazione omogenea associata alla (6) M q + Kq = 0 (6 ) in modo che sia Derivando e sostituendo nella (6 ) si ha e quindi q = x sin ωt [ Mω 2 + K] sin ωt = 0 Mω 2 + K = 0 che va sotto il nome di problema generalizzato degli autovettori, che si risolve con tecniche standard. 4 Questo problema fornisce tanti autovalori ω 2 e tanti autovettori x quanti sono i gradi di libertà del sistema, ma, e questo è il bello, se ne prendono in considerazioni solo pochissimi, cioè i primi tre, o, per dire, i primi 4 Nota psicologica: Spesso ho trovato difficoltà a seguire dei passaggi matematici se non avevo un idea precisa dell algoritmo che fornisse una soluzione effettiva (numerica) del problema proposto. Ancora meglio se l algoritmo è effettivamente disponibile su una macchina da calcolo fisicamente esistente e non troppo dispendiosa. Per esempio, calcolare un seno o un coseno era discretamente difficile trent anni fa, ed è diventato incredibilmente facile con le macchinette tascabili. Allo stesso modo, non tratterei in questo corso il metodo degli elementi finiti se non avessi a disposizione più codici (alcuni dei quali aperti ) per l effettiva risoluzione del problema. Programmi per la manipolazione di matrici e quindi anche per il problema degli autovettori si trovano in tutti i pacchetti standard, tra cui il NAG, Numerical Recipes, Matlab e credo anche Mathematica. 4-8

46 venti, e gli altri non si calcolano neppure 5. Gli autovalori più alti infatti hanno una importanza via via più piccola in quanto eccitano solo una parte via via più piccola della struttura, stante il moltiplicarsi di punti nodali, in numero pari all ordine dell autovettore, in cui la materia è ferma. Riassumendo: gli autovettori sono le ampiezze delle soluzioni non banali della (6 ) e si possono ottenere solo se la soluzione è sinusoidale nel tempo e con pulsazione apposita (il corrispondente autovalore). Per ottenere correttamente la soluzione del problema degli autovalori occorre eliminare i gradi di libertà di corpo rigido, che introdurrebbero degli autovalori spuri ω 2 = 0. Inoltre, gli autovalori sono determinati a meno di una costante arbitraria, cosa che permette di normalizzarli in modo opportuno. Gli autovettori possono essere utilizzati per disaccoppiare le equazioni del moto attraverso un opportuno cambiamento di variabili (le q sono coordinate lagrangiane e quindi possono essere cambiate ogni volta che fa comodo, purché la corrispondenza tra vecchie e nuove coordinate sia biunivoca). In questo caso si pone q = Xp (7) in cui la matrice X è formata giustapponendo tutti e soli gli autovettori (che sono ovviamente dei vettori colonna) che sono stati presi in considerazione. Si tratta evidentemente di una matrice alta e stretta, visto che ha tante righe quanto il numero di gradi di libertà del sistema originario, e solo pochissime colonne (tre è il minimo di legge per l analisi sismica). Le coordinate p si chiamano coordinate principali. Sostituendo la (7) nella (6) e manipolando (parecchio) il risultato ottenuto si ha: p + Lp = Uf (8) in cui L è la matrice diagonale degli autovettori ω 2 i ; il fatto che questa matrice sia diagonale assicura che il sistema (8), che ha ormai poche (tre è il minimo) equazioni in altrettante incognite, è disaccoppiato (ossia, in ogni equazione compare una sola incognita). Per quanto riguarda il secondo membro della (8), tutto naturalmente dipende dalla forma delle funzione f i (t). Se si deve effettuare un analisi sismica, esse hanno tre caratteristiche: sono di durata limitata, sono molto ricche di armoniche e sono inoltre proporzionali alla massa, in quanto forze d inerzia. Si suole quindi scrivere il secondo membro come in cui, a conti fatti g i = gü g (t) n k=1 m kp (i) n k=1 m k (p (i) k essendo p (i) k gli elementi dell autovettore i-esimo e m k delle opportune masse associate a ciascun grado di libertà e che possono essere identificate con gli elementi della diagonale principale della metrice concentrata delle masse o ricavate facilmente dagli elementi non nulli della matrice compatibile delle masse. Rimangono da trovare gli effetti dell eccitazione dei vari modi di vibrare sulle coordinate q i. A tale scopo si immagina di eseguire l integrazione di ciascuna delle equazioni disaccoppiate, trovando un valore massimo per ciascuna delle p i e delle sue derivate: ( p i) max = g i (S a) i k ) 2 (ṗ i ) max = g i (S v ) i (p i ) max = g i (S d ) i essendo (S d ) i, (S v) i e (S a) i delle opportune funzioni della eccitazione. In pratica la normativa fornisce (S a ) i in funzione della pulsazione ω i del modo i-esimo, mentre le altre due si ottengono dividendo la prima rispettivamente per ω i e ωi 2. Per quanto riguarda il comportamento del vettore q per effetto del modo di vibrare i-esimo, di esso importa soprattutto il massimo valore che assume ognuna delle sue componenti e le rispettive derivate. Si ha quindi ( ) q (i) k = x (i) ( p i ) max = x (i) g i (S a ) i max 5 I citati programmi standard forniscono delle routine che calcolano solo i primi autovalori, con incredibile risparmio di tempo macchina 4-9

47 ( ) q (i) k ( ) q (i) k max max = x (i) (ṗ i ) max = x (i) g i (S v ) i = x (i) (p i ) max = x (i) g i (S d ) i In un buon codice ad elementi finiti, tuttavia, non è ancora questa la fine del gioco, occorre infatti calcolare le caratteristiche di sollecitazione (per esempio i momenti) e addirittura le tensioni e deformazioni in ogni punto. A tale scopo occorrerebbe combinare i modi eccitati nella peggior maniera possibile. per brevità il trattamento standard di questi dati avviene però in maniera diversa, ipotizzando che i modi eccitino la struttura in maniera statisticamente indipendente (p.e. che durante il massimo indotto da un modo su una delle caratteristiche delal sollecitazione tutti gli altri modi siano abbastanza lontani dal massimo). Questa ipotesi conduce immediatamente alla formula σ(p ) = n (σ (i) (P )) 2 i=1 in cui si è preso come esempio di calcolo il valore di una σ (non importa specificare quale) in un punto P (ma lo stesso vale per le deformazioni, per i momenti eccetera). I valori σ (i) (P ) sono quelli che la componente in studio della tensione assume in quel punto P per effetto del modo i-esimo. 4-10

48 5. Effetto d intaglio 5.1 Introduzione Intaglio: nelle costruzioni meccaniche, soluzione di continuità, feritoia di piccole dimensioni o anche brusca variazione di sezione di un pezzo meccanico (La Piccola Treccani, 1995). La distribuzione delle tensioni in prossimità di un intaglio è notevolmente diversa da quella teorica del de Saint Venant. In particolare, nella zona di gola dell intaglio si hanno punte di tensione notevolmente elevate. Il massimo valore di tale tensione, σ max, è particolarmente importante nello studio della resistenza a fatica. In questo capitolo l effetto d intaglio sarà studiato con riferimento ad un materiale idealmente elastico, ossia con comportamento sempre lineare (addirittura non passibile di rottura, quindi assoggettabile a carichi grandi quanto si voglia). Si definisce coefficiente teorico di intaglio K t il rapporto K t = σ max σ n dove σ n è una opportuna tensione di riferimento. Per il caso di sforzo normale in pezzi prismatici si pone quasi sempre σ n = N A min dove A min è quella al netto dell intaglio, ossia la sezione più ristretta. I valori di K t, per moltissimi casi di impiego pratico, si rilevano dalla letteratura, in particolare da Peterson (1973). Essi sono stati ottenuti raramente per via analitica, alcune volte per via numerica (elementi finiti) e il più delle volte per via sperimentale (estensimetrica o fotoelastica). Tra le soluzioni analitiche vi sono: 1. Quella del Kirsch del foro circolare in una piastra di larghezza infinita in sforzo normale: K t = 3 2. Quella di Kolosov (1909) ed Inglis (1913) del foro ellittico in piastra di larghezza infinita in sforzo normale: a K t = r = 1 + 2a (1) b dove (fig 5.1) a è il semiasse perpendicolare al carico, b è il semiasse parallelo al carico (notare l uso non standard di questi simboli) e r = b 2 /a è il raggio di gola dell intaglio. 3. Quella di Neuber per due intagli iperbolici laterali ad una piastra infinita in trazione e flessione e ad un solido di rivoluzione in trazione, flessione e torsione. 5-1

49 5.2 Analogia idrodinamica Figura 5.1: Definizioni geometriche dell intaglio ellittico Prima di riportare alcune soluzioni analitiche, numeriche o sperimentali del problema dell effetto di intaglio presenterò un metodo intuitivo che in molti casi può aiutare a determinare i punti più soggetti ad intaglio o addirittura a ridurne l incidenza tramite opportune modifiche della forma del pezzo (in altri casi, pochi per fortuna, questo metodo può condurre anche a risultati grossolanamente errati, per cui va usato sempre con cautela). Il metodo è quello dell analogia idrodinamica (figg. 5.2 e 5.3). Figura 5.2: Analogia idrodinamica in un asta con gola torica Si supponga che il pezzo sia sostutuito da un tubo avente la sua stessa sezione trasversale, ed in questo sia fatto scorrere un fluido pochissimo viscoso, tanto che la sua velocità sia sensibilmente uniforme in tutti i punti della sezione purché lontani da singolarità. Allora, le linee di flusso del fluido si addenseranno in corrispondenza di spigoli rientranti e si diraderanno in corrispondenza di spigoli sporgenti, con rispettivo aumento o diminuzione della velocità del fluido; l analogia fa corrispondere alla velocità del fluido punto per punto la tensione elastica nel punto corrispondente; perciò dove si hanno aumenti della velocità ci saranno aumenti di tensione. L analogia idrodinamica aiuta a discutere il caso degli intagli in serie e in parallelo: due intagli 5-2

50 Figura 5.3: Analogia idrodinamica in una lastra con raccordo tra due larghezze (o in un asta con spallamento) si dicono in serie se il flusso di tensione li investe l uno dopo l altro, sono in parallelo se li investe contemporaneamente. Ovviamente nel caso degli intagli in parallelo si ha un doppio restringimento della sezione con temuto aumento dell effetto d intaglio rispetto a quello dell intaglio singolo. Invece nel caso degli intagli in serie uno dei due intagli funge da protezione per l altro, per cui il coefficiente d intaglio complessivo può essere minore di quello dei due singoli intagli se fossero isolati. Tale fatto conduce all introduzione degli intagli di scarico. 5.3 Soluzione del Neuber (formule tratte dal Manna) 1) Piastra infinita con due intagli iperbolici di profondità infinita; t è la semilarghezza della piastra nel punto più stretto, r è il raggio di curvatura in gola; δ = t/r (fig 5.4); caso della trazione. 2(1 + δ) δ K t = (1 + δ)arctg δ + δ 2) Piastra infinita come sopra, in flessione nel proprio piano. 4δ δ K t = 3[ δ (1 δ)arctg δ] 3) Solido di rotazione infinito con scanalatura circonferenziale a sezione iperbolica (ottenibile dalla rotazione della piastra dei casi 1 e 2). r e è il raggio della sezione di gola, r è il raggio del meridiano nella sezione ristretta; δ = r e /r; ν è il modulo di Poisson; σ m e σ t sono la tensione meridiana e circonferenziale rispettivamente. Caso della trazione. σ m,max σ n = 1 A (1 + ν + B 1 + δ) dove σ t,max σ n = δ A (1 2 + ν 1 + δ) A = δ + 2(1 + ν 1 + δ) B = ν + δ 5-3

51 Figura 5.4: Geometria dell intaglio iperbolico dove 4) Solido del caso precedente, in flessione. σ m,max σ n = 3 4A (B + C 1 + δ) σ t,max σ n = 3δ 4A (1 + ν + 3ν 1 + δ) A = (1 + ν)(5 + 4δ) + [4(1 + ν) + 3δ] 1 + δ δ B = (1 + ν)(3 + 2δ) C = 3(1 + ν + δ) 5) solido dei casi precedenti, in torsione. τ max = 3( δ) 2 τ n 4( δ) 5.4 Foro circolare in lastra di larghezza finita, in trazione E stato studiato da Howland, i cui risultati sono riportati in fig Se il raggio del foro è molto minore della larghezza della piastra vale la soluzione per piastra di larghezza infinita (K t = 3) purchè come tensione nominale si scelga quella a grande distanza a monte o a valle del foro, ottenuta dividendo la forza agente per la sezione lorda; il relativo valore del fattore d intaglio è chiamato K tg in figura. Se il coefficiente di intaglio è definito in base alla tensione nella sezione ristretta (K tn in figura) si ha K tn = K tg w a w 5-4

52 Figura 5.5: Coefficiente teorico di intaglio K t per una lastra di larghezza 2w con foro di diametro 2a, sottoposta a trazione: caso di a/w < 0.5 Per il caso limite a = w molti autori trovano K tn = 2. La curva inferiore di fig. 5.5 è approssimata da Heywood con la formula ( K tn = a ) 3 w che è in buon accordo coi risultati di Howland per a/w < 0, 3 ed è solo dell 1,5 per cento più bassa per a/w = 0, 5 (dà K t = invece che K t = 2.16). Per valori di a/w > 0.4 vale la trattazione di Van Riesen e Spiering (fig. 5.6). 5.5 Piastra di larghezza finita con intagli laterali semicircolari, in trazione Nel caso delle piastre con foro o con intaglio si usano due forme del fattore d intaglio: 1) K tn, che riferisce la tensione nominale all area ristretta 2) K tg, che riferisce la tensione nominale all area lorda. La prima corrisponde alla definizione generale di effetto di integlio, ma la seconda è più usata nelle trattazioni teoriche, perché conduce a sviluppi più semplici. Se si hanno intagli laterali semicircolari (fig. 5.7) la cui profondità è trascurabile rispetto alla larghezza della sezione ristretta si può usare, guidati dall analogia idrodinamica, la formula del foro circolare prendendo K tg = 3. Questa comunque è un approssimazione, visto che molti autori trovano K tg = La discrepanza col caso del foro circolare si accentua al crescere di a/w; in particolare, per a/w = 1 5-5

53 Figura 5.6: Coefficiente teorico di intaglio K t per una lastra di larghezza 2w con foro di diametro 2a, sottoposta a trazione: caso di a/w > 0.4 si ha K tn = 1, perché in questo caso mancano effetti di flessione. Per il resto si può guardare al paragrafo seguente, particolarizzandone le formule al caso circolare. Figura 5.7: Geometria degli intagli laterali semicircolari 5.6 Piastra di larghezza finita con intagli laterali generici, in trazione Nel caso della piastra tesa con due intagli laterali simmetrici ad U o a V, si può usare approssimativamente la soluzione per il foro ellittico avente lo stesso rapporto a/r, quindi ( K tn = 1 a )( a ) w r 5-6

54 Questa formula vale comunque solo per piccoli valori di a/w. Per alti valori di questo rapporto vale la soluzione di Neuber con lo stesso valore di r/t, dove t è la semilarghezza nella sezione ristretta. Per valori intermedi del rapporto a/w si calcolano il K th relativo al caso iperbolico con lo stesso valore di r/d e il K te relativo al caso ellittico con lo stesso valore di a/r e poi si ottiene un valore approssimato di K t con la formula di interpolazione (anch essa dovuta a Neuber) (K th 1) K t = (K te 1) 2 (K th 1) 2 + (K te 1) 2 I dati risultanti dalla formula sono alquanto minori del vero; sono riportati nella tabella allegata insieme ai valori di altre formule di interpolazione. Un altra formula è quella di Heywood [ ] n t/r K tn = (w/d) 1.3 dove n = w/d a/r w/d 1 + a/r dove d = 2t è la larghezza della zona ristretta. Nella presentazione dei dati conviene riportare K t in ordinate e a/r in ascisse. Questa rappresentazione ha il vantaggio che per valori grandi delle ascisse le linee del diagramma tendono a rette la cui pendenza è lim a/r dk t d a/r = 2K I σ n πa in cui K I è il fattore di intensità delle tensioni e σ n è la tensione sulla sezione netta. Questa preziosa formula consente di sfruttare per il calcolo della K t le formule per il K I e viceversa. Per esempio, nel caso della piastra con intagli laterali, se questi sono acuti in modo da dare luogo a due cricche contrapposte, si ha d K I = F 1 σ g πa = F1 σ n πa w essendo F 1 un fattore di forma che tiene conto della larghezza finita della piastra. Per la determinazione di F 1 vi sono varie espressioni tra cui quella di Nisitani (1975) ( 2a ) ( 2a ) 2 ( 2a ) 3 ( 2a ) 4 F 1 = w w w w valida per 2a/w 0.8 e quella di Benthem e Koiter (1972) ( ) ( F 1 = cos 2( πα )) tan πα/2 ( ) 2 πα/2 in cui α = 2a/w. La formula di Nisitani fornisce valori sistematicamente più bassi di quelli di Benthem e Koiter; una formula che dà valori intermedi è quella di Tada, Paris e Irwin (1973); F 1 = ( ) a/w ( 0.82 ) 2 ( ) 3 ( a/w a/w 3.04 a/w 1 2a/w ) 4 5-7

55 probabilmente la realtà è intermedia tra questa formula e quella di Nisitani. A questi ragionamenti si riconduce la formula di interpolazione di Barrata e Neal ( )[ ( a K tn = r ) ( 2a w ) 2 2a ( w ) 3 ]( ) 2a 1 2a w w che si può anche scrivere ossia essendo ( a ) d K t = r w F 2 dk t lim a/r d a/r = d w F 2 ( 2a ) F 2 = w A conti fatti risulta 2.243F 2 = 2F 1 (nel campo di validità della formula si può adottare una qualsiasi espressione di F 1 ) e questo rafforza la validità della formula di Barrata e Neal, che va bene per valori intermedi di d/w (per i valori più alti è preferibile la formula dell ellisse). Allo stessa linea di pensiero si riallaccia la formula di Shin K t = 1 + 2F 1 a r dove come al solito è abbastanza arbitraria la scelta dell una o dell altra espressione per F 1. La formula di Barrata e Neal dà, però, dei valori di K t anche inferiori ad 1 per bassi valori di 2a/W. Per evitare questo inconveniente si può pensare ad una formula che abbia gli stessi pregi, ma che tenda ad 1 al tendere di 2a/W a zero. Una tale formula può essere la seguente (Giudice): ( )( ) K t = F a r log( a/r ) 1 2a w in cui la parte logaritmica serve appunto ad assicurare il raccordo tra il comportamento di K t costante a basso a/r e quello proporzionale a a/r. Ad alti valori di 2a/w questa formula dà valori troppo bassi di K t, inferiori a quelli della formula di Neuber per intagli iperbolici, alla quale conviene dunque passare. 5.7 Aste a sezione circolare Nelle figure seguenti sono riportati i casi, importantissimi per le applicazioni, di aste a sezione circolare con gola a sezione semicircolare o con spallamento, rispettivamente soggette a sforzo normale (figura 5.8), momento flettente (figura 5.9) e momento torcente (figura 5.10). 5-8

56 Figura 5.8: Coefficiente teorico di intaglio K t per un asta rettilinea a sezione circolare soggetta a sforzo normale Figura 5.9: Coefficiente teorico di intaglio K t per un asta rettilinea a sezione circolare soggetta a momento flettente 5-9

57 Figura 5.10: Coefficiente teorico di intaglio K t per un asta rettilinea a sezione circolare soggetta a momento torcente 5-10

58 6. Instabilità dell equilibrio elastico 6.1 Introduzione Definizione di instabilità La Resistenza dei Materiali e la Teoria dell Elasticità studiano l equilibrio tra forze esterne e forze interne agenti su un corpo elastico. Tale equilibrio può però risultare instabile. Esempi di possibili instabilità sono Pilastri soggetti a compressione (possibilità di inflessione laterale cioè sfiancamento, o di avvitamento o di instabilità flesso-torsionale); Travi inflesse a sezione molto alta e stretta (possibilità di svergolamento laterale); Recipienti premuti dall esterno (possibilità di imbozzamento verso l interno); o anche, raccordi torici dei fondi dei recipienti premuti dall interno; Lastre soggette a compressione nel proprio piano (possibilità di imbozzamenti). Si richiamano le definizioni fondamentali: una configurazione di equilibrio di un sistema è stabile se un piccolo allontanamento da essa genera delle forze tendenti a riportare il sistema verso l equilibrio; una configurazione di equilibrio di un sistema è instabile se un piccolo allontanamento da essa genera delle forze tendenti ad allontanare ulteriormente il sistema dall equilibrio; una configurazione di equilibrio di un sistema è indifferente se un piccolo allontanamento da essa non genera delle forze aggiuntive, per cui anche la nuova configurazione è di equilibrio. Dal punto di vista energetico: una configurazione di equilibrio di un sistema è stabile se un piccolo allontanamento da essa genera un aumento dell energia totale del sistema; una configurazione di equilibrio di un sistema è instabile se un piccolo allontanamento da essa genera una diminuzione dell energia totale del sistema; una configurazione di equilibrio di un sistema è indifferente se un piccolo allontanamento da essa non varia l energia rispetto a quella iniziale. Si sottolinea che tutte le considerazioni precedenti valgono per piccoli scostamenti da una configurazione iniziale di equlibrio. Si noti inoltre che le configurazioni contigue a quella di equilibrio indifferente risultano anch esse di equilibrio, cosa che non avviene nel caso di equilibrio stabile o instabile Un semplice esempio Come esempio iniziale, si consideri il caso di una barretta rigida, di lunghezza l, incernierata al piede e tenuta verticale dall azione di una molla a spirale (fig. 6.1); in cima alla barretta, di massa trascurabile, vi sia una forza peso F. La retta di azione della forza peso passa per la cerniera, per cui la posizione verticale è di equilibrio. 6-1

59 Figura 6.1: Sistema ad un solo grado di libertà soggetto a carico di punta. Se per azione di una forza esterna transitoria, di direzione orizzontale, la barretta viene mossa dalla posizione iniziale di equilibrio fino alla posizione 1, spostata da quella iniziale di un angolo θ, supposto piccolissimo, in direzione antioraria, nascono in generale dei nuovi momenti, per cui non è assicurata la conservazione dell equilibrio. I momenti agenti sono quello antiorario della molla, tendente a riportare la barretta nella posizione iniziale, e quello antiorario della forza peso. Il momento agente sarà quindi M = kθ + F l sin θ per cui il segno del momento dipende dal valore di F ; se F è piccolissima, M è negativo per θ positivo, per cui la tendenza del sistema è quella di ritornare alla posizione iniziale e quindi il sistema è stabile; se F è grandissima il comportamento è opposto, per cui il sistema è instabile; il caso limite tra i due è quello in cui F = k l F crit. è La stessa cosa si può vedere con considerazioni energetiche; l energia immagazzinata nella molla U = 1 2 kθ2, mentre l energia potenziale del peso è W = F l(1 cos θ), nella quale è stata presa come quota di riferimento la quota del peso nella posizione di partenza. L energia totale è quindi che per angoli piccoli (1 cos θ θ 2 /2) diventa E = 1 2 kθ2 F l(1 cos θ) E = 1 2 θ2 (k F l) 6-2

60 per cui se F è piccola si ha una E positiva per ogni valore di θ, per cui l equilibrio è stabile, se F è grande si ha una E negativa per ogni valore di θ, per cui l equilibrio è instabile, mentre il caso limite (energia totale nulla) si ha per come nel caso precedente Postulato fondamentale F = k l F crit. Lo studio del precedente esempio ci induce ad ammettere il seguente Postulato Se un sistema è soggetto a forze di compressione l equilibrio risulta instabile per valori della forza di compressione al di sopra di quello a cui corrisponde l equilibrio indifferente. 6.2 Metodi per lo studio della stabilità Sono a disposizione due metodi: metodo statico metodo energetico Metodo statico 1. Si sposta di pochissimo il corpo dalla condizione di equilibrio, purché la nuova configurazione sia compatibile con i vincoli. 2. Si impone che la nuova configurazione sia di equilibrio. Ciò equivale a dire che la configurazione di partenza era di equilibrio indifferente. L equilibrio indifferente è il caso limite tra equilibrio stabile e instabile, per cui la forza esterna che rende indifferente l equilibrio è quella critica. Valori inferiori della forza conducono infatti all equilibrio stabile, mentre valori superiori portano all equilibrio instabile. 3. Si scrive il bilancio dei momenti e si introduce nell equazione differenziale della linea elastica. 4. Si risolve l equazione differenziale e ci si accorge che le condizioni al contorno sono soddisfatte per un ben determinato valore (autovalore) della forza esterna, per il quale il corpo risulta in equilibrio indifferente; esso è il carico critico. Primo esempio Si consideri una trave di lunghezza l, incastrata al piede e libera alla sommità, dove è caricata con una forza di compressione F (fig. 6.3). Si dia alla trave una configurazione deformata spostando lateralmente l estremo libero. Si supponga che la nuova configurazione sia di equilibrio. Ciò equivale a postulare che la configurazione iniziale fosse di equilibrio indifferente e quindi che la forza F sia proprio quella critica F cr. Si adotta il sistema di riferimento e la convenzione di positività dei momenti schematizzata in figura 6.2; come si vede, la convenzione classica che siano positivi i momenti che tendono le fibre inferiori si traduce nel fatto che all estremo sinistro del concio di trave (cioè dal lato dell origine) sia 6-3

61 Figura 6.2: Sistema di riferimento adottato e convenzione positiva per i momenti. positivo il momento orario. Inoltre, per il sistema di riferimento scelto, che vede l asse y orientato nel verso opposto a quello usuale della Scienza delle Costruzioni, l equazione della linea elastica è y = M EI, (1) in cui M è il momento flettente, e al secondo membro compare il segno + anziché l usuale segno. Figura 6.3: Pilastro soggetto a carico di punta (Column-Beam): caso dell estremo superiore libero. Dalla figura 6.3 si vede che M = F cr (f y(x)), quindi ossia che si scrive e, ponendo si ha y = F cr(f y) EI E I y + F cr y = F cr f y + F cr E I y = F cr E I f α 2 = F cr E I, (2) y + α 2 y = α 2 f. 6-4

62 Tale equazione differenziale, essendo lineare, ha per soluzione la somma di un integrale particolare della completa, p.e. y = f, e dell integrale generale dell omogenea associata 1 che è Perciò y 0 = C 1 sin α x + C 2 cos α x. y = C 1 sin α x + C 2 cos α x + f. Per le condizioni al contorno deve essere y = 0 e y = 0 per x = 0 e y = f e y = 0 per x = l. Dalle prime due, relative all estremo incastrato, si deduce che C 1 = 0 e C 2 = f. Dall altra si ottiene cos αl = 0 per cui α = π 2l F cr = π2 EI 4l 2. Questa espressione è detta carico critico euleriano (per la trave considerata). Notare che in questo esempio e nei successivi l equazione si scrive sempre y + α 2 y = g(x) in cui g(x) è spesso costante (come in questo caso). Si nota che il segno del termine in y è sempre positivo, e questo vale come controllo. 2 Secondo esempio Si consideri una trave di lunghezza l, incernierata al piede e appoggiata ad un carrello alla sommità, dove è caricata con una forza di compressione F (fig. 6.4). Si dia alla trave una configurazione deformata spostando lateralmente la parte centrale della trave (tanto per fissare le idee sia f la freccia massima al centro). Si supponga che la nuova configurazione sia di equilibrio. Ciò equivale a postulare che la configurazione iniziale fosse di equilibrio indifferente e quindi che la forza F sia proprio quella critica F cr. Dalla figura 6.4 si vede che M = F cr y(x), quindi ossia e, con la posizione (2) si ha Tale equazione differenziale ha per soluzione y = F cry EI y + F cr E I y = 0 y + α 2 y = 0. y = C 1 sin α x + C 2 cos α x. Per le condizioni al contorno deve essere y = 0 per x = 0 e per x = l e y = f per x = l/2. Dalla prima si deduce che C 1 = 0, dalla seconda che αl = π e dall ultima, si ottiene C 2 cos α l 2 = f, 1 l equazione y + α 2 y = 0 si integra con la posizione y = e kαx che fornisce l equazione caratteristica k = 0 ossia k = ±i 2 In altri termini, si può far ricorso al principio fondamentale della matematica: If you get the wrong sign, change it. 6-5

63 Figura 6.4: Pilastro soggetto a carico di punta (Column-Beam): caso delle due estremità appoggiate. da cui C 2 = f. Dalla seconda condizione al contorno si ricava il valore di α e, sostituendo nella (2), che è il carico critico euleriano in questo caso. F cr = π2 EI l 2, Terzo esempio Si consideri una trave di lunghezza l, incastrata al piede e appoggiata ad un carrello alla sommità, dove è caricata con una forza di compressione F (fig. 6.5). Si dia alla trave una configurazione deformata spostando lateralmente la parte centrale della trave. Si supponga che la nuova configurazione sia di equilibrio. Ciò equivale a postulare che la configurazione iniziale fosse di equilibrio indifferente e quindi che la forza F sia proprio quella critica F cr. Dalla figura 6.5 a sinistra, anche se tracciata a sentimento, si vede che esiste un punto di flesso in B; ivi il momento delle forze interne è nullo, per cui deve essere nullo anche il momento delle forze esterne, per cui la retta AB è la retta d azione delle forze esterne, date dalla F cr e dalla reazione Q del carrello A. Sostituendo il carrello con la sua reazione, si ottiene lo schema indicato nella figura 6.5 al centro. Osservando la figura 6.5 a destra, in cui è indicato convenzionalmente il momento positivo, si vede che M F cr y + Q(l x) = 0 ossia M = F cr y + Q(l x). È chiaro che nel tratto AB prevele il primo addendo a secondo membro e nel tratto BC prevale il secondo, ma l equazione rimane la stessa. 6-6

64 Figura 6.5: Pilastro soggetto a carico di punta (Column-Beam): una delle estremità incastrata e l altra appoggiata. ovvero Quindi, introducendo nella (1) si ha e, con la solita posizione (2), y = F cr EI y + Q (l x) EI y + F cr EI y = Q (l x) EI y + α 2 y = α 2 Q F cr (l x). La soluzione è data dalla somma della soluzione generale dell omogenea associata, ben nota, e da un integrale particolare della completa; come integrale particolare si può scegliere ȳ = k(l x), con k costante da determinarsi, e non ci vuole molto per capire che è ȳ = Q F cr (l x). (Notare che questa è l equazione della retta di azione del risultante tra F cr e Q.) La soluzione generale è perciò y = C 1 cos α x + C 2 sin α x + Q F cr (l x). Per le condizioni al contorno deve essere y = 0 per x = 0 e per x = l e y = 0 per x = 0. Dalla prima si deduce che C 1 = Q F cr l, dalla seconda che e dalla terza che C 1 cos α l + C 2 sin α l = 0 (3) αc 2 = Q F cr. 6-7

65 Sostituendo i valori di C 1 e C 2 nella (3) si ha cioè e infine Q l cos α l + 1 Q sin α l = 0 F cr α F cr αl cos α l sin α l = 0 αl = tan αl che si risolve per via numerica o grafica e la cui soluzione più piccola, a parte quella banale α = 0, è αl = Sostituendo nell espressione di α 2 si ha: F cr = EI l 2 e, volendo, per uniformità con i casi precedenti, far comparire al numeratore il π 2, si ottiene F cr = π 2 EI π 2 EI π 2 l 2 = l 2 π 2 / per cui il coefficiente di l che compare al denominatore è π/4.493 = Questo esempio è stato introdotto al solo scopo di evidenziare che nel caso della trave appoggiataappoggiata (secondo esempio) i carrelli non reagiscono, e ciò si vede per il fatto che la retta che congiunge i due punti di flesso è verticale (passa per i due appoggi) anziché inclinata. Si noti tuttavia che questa trattazione non permette di trovare il valore della reazione del carrello nel caso qui esposto. Quarto esempio Si consideri una trave di lunghezza l, incastrata al piede e appoggiata ad un doppio pendolo alla sommità, dove è caricata con una forza di compressione F (fig. 6.6). Si dia alla trave una configurazione deformata spostando lateralmente la parte centrale della trave. Il doppio pendolo reagisce in generale con un momento M 0, qui raffigurato positivo, ma non c è una forza vincolare in quanto la congiungente dei due punti di flesso è verticale. Il momento M all ascissa x (vedi la figura 6.6, a destra) si ricava dall equilibrio M F cr y + M 0 = 0 e quindi vale e, sostituendo nella (1) cioè e ancora, con la solita posizione (2), M = F cr y + M 0 y = F cr EI y + M 0 EI y + F cr EI y = M 0 EI y + α 2 y = α 2 M 0 F cr La soluzione è data dalla somma della soluzione generale dell omogenea associata, ben nota, e da un integrale particolare della completa; come integrale particolare si può scegliere ȳ = M 0 F cr. 6-8

66 Figura 6.6: Pilastro soggetto a carico di punta (Column-Beam): una delle estremità incastrata e l altra vincolata con doppio pendolo. (Notare che questa è l equazione della congiungente i due punti di flesso della deformata.) La soluzione generale è perciò y = C 1 cos α x + C 2 sin α x + M 0 F cr. Per le condizioni al contorno deve essere y = 0 per x = 0 e per x = l e y = 0 per x = 0. Dalla prima si deduce che dalla terza che C 1 = M 0 F cr, C 2 = 0, e dalla seconda che C 1 cos α l + M 0 = 0. (3 ) F cr Sostituendo i valori di C 1 e C 2 nella (3 ) si ha cioè e ancora e infine Sostituendo nell espressione di α 2 si ha: M 0 F cr cos α l + M 0 F cr = 0 cos α l = 1 αl = 2π α 2 l = 4π2 l 2 F cr = 4π2 EI l

67 6.2.2 Metodo energetico Quando il corpo si sposta dalla condizione di equilibrio si verifica una variazione, che di solito è un aumento, dell energia di deformazione elastica e una variazione, che di solito è una diminuzione, dell energia potenziale di posizione delle forze esterne. L equilibrio risulta stabile, instabile o indifferente secondo che l energia totale è aumentata, diminuita o invariata. Infatti se il sistema corpo deformato + forze esterne viene spostato di poco dalla configurazione di equilibrio (per esempio per l urto accidentale di un corpo esterno) e nella nuova configurazione possiede un energia maggiore, tende a liberarsi di questa energia tornando alla posizione iniziale, per cui in essa l equilibrio è stabile; se invece possiede nella nuova configurazione un energia minore tende ad allontanarsi ancora di più dalla configurazione di equilibrio per cui questa risulta instabile. Per bassi valori delle forze esterne, la diminuzione della loro energia di posizione non basta a compensare l aumento di energia interna, dovuta alla deformazione imposta, per cui l equilibrio risulta stabile; Per alti valori delle forze esterne la diminuzione della loro energia potenziale è più che sufficiente a compensare l aumento dell energia di deformazione, per cui l energia totale del sistema diminuisce e quindi vi è un surplus di energia liberata che può servire a deformare ulteriormente il corpo, allontanandolo così dall equilibrio, che perciò risulta instabile. Il caso dell equilibrio indifferente è quello che costituisce il confine tra i due casi, per cui la forza esterna corrispondente è proprio quella critica. Riprendendo l esempio della trave a mensola soggetta a carico di punta, si ha che l energia elastica du immagazzinata in un concio di lunghezza dx, uguale al lavoro delle forze interne, vale quindi, per l intera trave, du = 1 2 M M E I dx, U = 1 2 l 0 M 2 E I dx. Questo integrale può essere riscritto in due modi. Ricordando che esso vale mentre, scrivendo vale M EI = y U = 1 l 2 EI (y ) 2 dx (1) U = 1 2 EI 0 M = F (f y) F 2 l 0 (f y) 2 dx. (2) Il lavoro della forza esterna F è dato dal prodotto della forza per dallo spostamento del suo punto di applicazione nella direzione della forza. Lo spostamento detto è dovuto alla rotazione del concio, che rimane non più verticale pur rimanendo della stessa lunghezza (essa è minore della lunghezza a riposo dell aliquota dovuta alla compressione, che è identica sia che la trave rimanga verticale sia che si deformi). Per un concio dx (fig. 6.7), inclinato di θ rispetto alla condizione indeformata (verticale), la variazione di altezza vale dδ = (1 cos θ)dx = θ2 2 dx = (y ) 2 2 dx 6-10

68 e, per tutta la trave δ = l 0 (y ) 2 2 dx. Figura 6.7: Rotazione di un concio nel pilastro soggetto a carico di punta Il lavoro della forza esterna è perciò W = F l 0 (y ) 2 2 dx. Se i due lavori sono uguali significa che siamo in condizioni di equilibrio indifferente e quindi la forza esterna è quella critica. Perciò, se l energia interna è scritta nella forma (1) si ha F cr = EI l 0 (y ) 2 dx l 0 (y ) 2 dx (3) ovvero, se l energia interna è scritta nella forma (2) l 0 F cr = EI (y ) 2 dx l 0 (f y)2 dx (4) Queste formule sono esatte solo se la y(x) è la deformata effettiva. Tuttavia si dimostra che il funzionale F cr è minimo quando la y(x) è quella effettiva; per cui se si da ad y(x) una forma simile a quella effettiva si ottiene una F cr senz altro maggiore di quella vera ma non molto discosta da essa. L esperienza dimostra che in questo caso la (4) è più accurata della (3). Per esempio, la trave-colonna incastrata alla base e libera in sommità, già vista nell applicazione del metodo statico, ha una deformata sinusoidale ossia y = f(1 cos πx 2l ) Sostituendo questa espressione nelle (3) e (4) si ottiene in entrambi i casi F cr = π2 EI 4l 2 che è ovviamente lo stesso risultato ottenuto col metodo statico. Se invece si ipotizza una deformata parabolica y = cx 2, che all estremo libero diventa f = cl 2 da cui si ricava c, per cui in definitiva 6-11

69 si ottiene, sostituendo nella (3) y = f l 2 x2 F cr = 3 EI l 2 con un errore del 21.6 per cento e, sostituendo nella (4) con un errore di 1.32 per cento. Se si ipotizza una deformata di terzo grado e si sostituisce nella (3) si ha F cr = 2.5 EI l 2 y = f 2l 3 (3lx2 x 3 ) F cr = 2.5 EI l 2 con un errore di 1.32 per cento. Per i tre casi precedenti si veda Belluzzi, vol 4 pag 36-37, mentre il caso della deformata cubica sostituita nella (4) viene lasciata allo studioso lettore 3. 3 la soluzione è con un errore di per cento F cr = EI l

70 6.3 Applicazioni Travi snelle caricate di punta Se la trave è sufficientemente lunga e sottile (questa nozione sarà chiarita nel paragrafo seguente) il carico critico è F cr = C π2 E I l 2 dove I è il momento d inerzia della sezione rispetto all asse lungo il quale si prevede avvenga l inflessione (tranne casi particolari di vincolo si prende il valore minimo di I). con 1/4 per trave incastrata a un estremo e libera all altro 1 per trave incernierata - incernierata C = 4 per trave incastrata - incastrata 2 per trave incernierata - incastrata In caso di incertezza è bene prendere C il più piccolo possibile, e comunque di non salire al disopra di C = 1. In alternativa all approccio precedente si può definire una lunghezza libera di inflessione l 0, cioè la distanza tra due punti di flesso della deformata, la quale, nella notazione precedente è l 0 = l/ C e riscrivere la tabella precedente in questo modo: F cr = π2 E I l0 2 2l per trave incastrata a un estremo e libera all altro l per trave incernierata - incernierata l 0 = l/2 per trave incastrata da un lato e con doppio pendolo dall altro l/2 per trave incastrata - incastrata 0.7l per trave incernierata - incastrata. Inoltre, se la trave è incernierata ad entrambe le estremità ed ha n appoggi intermedi equidistanti, la lunghezza libera è l 0 = l/n. Secondo L. F. Donato, Lezioni di Scienza delle Costruzioni, Cursi, Pisa, quinta edizione, 1968, nei casi di trave incastrata - incernierata e incastrata - incastrata è opportuno non fidarsi troppo della saldezza dei vincoli e prendere rispettivamente l 0 = 0.8l (invece di l 0 = 0.7l) e l 0 = 0.75l (invece di l 0 = 0.5l). 6-13

71 6.3.2 Travi tozze caricate di punta Per travi tozze, ossia travi che hanno bassa snellezza, il carico critico euleriano tende all infinito; tuttavia è evidente che in questo caso il collasso avviene per un meccanismo diverso, ossia per schiacciamento, ossia per il raggiungimento del carico di rottura a compressione. Per travi tozze di deve quindi porre un diverso valore della forza massima che provoca il collasso, ossia il prodotto dell area per la tensione di rottura a compressione σ R. Il valore della snellezza per i quali le due forze limite si eguagliano può essere presa come confine fra travi tozze e snelle. Tale snellezza limite λ lim si ottiene dall equazione π 2 E A λ 2 lim = σ R A e quindi vale λ lim = π E σ R In realtà la schematizzazione adottata è troppo rozza, per cui nella zona di transizione fra travi tozze e snelle il carico assiale limite è definito da formule empiriche, come la seguente di J.B. Johnson: 4 ( F cr = σ y A 1 σ ) y 4 (l/ρ)2 Cπ 2 E con ρ raggio d inerzia minimo della sezione. Questa formula è valida per valori di l/ρ minori di 2π (l/ρ) lim = 2 CE (5) σ y Al di sopra si deve usare la formula di Eulero. La parabola di Johnson può essere vista come un puro trucco matematico per interpolare tra l iperbole di Eulero e la tensione di snervamento. Si ponga: in modo da poter scrivere l 2 Cπ 2 Eρ 2 = l2 0 π 2 Eρ 2 Λ σ cr = Fcr A = 1 Λ, che, nel piano σ-λ rappresenta una iperbole, e si trovi una retta tangente a tale iperbole e che passi per il punto (0, σ y). Chiamando, per semplificare, x e y le coordinate, la retta è della forma y = σ y ax con a da determinare, e la richiesta è che l intersezione tra retta e iperbole sia un punto doppio, cioè che sia nullo il discriminante dell equazione che si riscrive e il suo discriminante è da cui 4 risalente all inizio del XX secolo. σ y ax = 1 x, ax 2 σ y x + 1 = 0 σ 2 y 4a = 0, a = σ2 y 4, 6-14

72 σ cr = σ y σ2 y 4 Λ, e, tornando alle unità fisiche, si ritrova l equazione della parabola di Johnson. La stessa parabola si ritrova, in base a considerazioni più fisiche, considerando che, a valori vicini allo snervamento, la sezione, compressa e inflessa, comincia a snervarsi in corrispondenza delle fibre più compresse, in modo che l ulteriore deformazione avviene, nel piano σ-ɛ secondo una direzione più vicina all orizzontale (il cosiddetto modulo tangente), per cui il punto rappresentativo sul piano σ-λ risulta più basso di quanto previsto dalla iperbole di Eulero. Rendendo quantitative queste considerazioni si arriva alla parabola di Johnson o anche, in base alle ipotesi concretamente fatte, ad altre curve che hanno tutte lo stesso andamento qualitativo. 5 Tanto per fissare le idee, vecchie norme (DIN 1050, edizione 1943) consideravano la tensione limite pari a 235 MPa per acciaio ordinario (Fe 360) se la snellezza era minore di 60, e uguale a quella di Eulero (σ cr /MPa = ( /λ 2 )) per λ 100, mentre interpolavano linearmente tra i due casi, con la formula σ cr /MPa = λ per i casi intermedi. Ciò viene citato per affermare che per snellezze minore di 50 conviene non tener conto in prima approssimazione della instabilità Metodo omega Per spiegare il metodo omega si può, con l aiuto della fig. 6.8, definire il grado di sicurezza per travi tozze e per travi snelle. Per travi tozze sarà che corrisponde alla ben nota s = O 1B 1 O 1 P 1 s = σ R N/A in cui N è lo sforzo normale e A l area della sezione resistente; per travi snelle, invece s = O 2B 2 O 2 P 2 5 Un approccio diverso, desunto dagli appunti di Strutture Off-Shore, dalle lezioni di Antonio Campanile, prevede che nell asta vi siano delle tensioni residue di compressione, tali da provocare l inizio dello snervamento ben prima che la tensione nominale raggiunga la σ y. Se infatti è presente una tensione di compressione residua pari a σ r, la plasicizzazione inizia quando la tensione nominale raggiunge quella che è chiamata la tensione di proporzionalità strutturale σ ps = σ y σ r. Da questo punto in poi la derivata della curva σ-ɛ è minore di E ed è data dal cosiddetto modulo tangente E ts, dato sperimentalmente dalla formula di Oostenfeld-Bleich: E ts E = σs(σy σs) σ ps (σ y σ ps ), in cui σ s = P/A. Corrispondentemente, nella formula del carico critico, occorre sostituire la E con la E ts, e la formula diventa, scritta in termini di tensione σ cr σ y = 1 σ s (σ y σ s ) Λ σ ps(σ y σ. ps) Ponendo in essa σ s = σ cr si ottiene un equazione di primo grado in σ cr che, risolta, porge ( ) σ cr = 1 σps 1 σps Λ, σ y σ y σ y che, per σ ps /σ y = 1/2 restituisce la formula di Johnson (che, nel piano σ cr -Λ è rappresentata da una retta) e, per σ ps /σ y = 1 restituisce la retta orizzontale passante per σ y. Che poi 1/2 e 1 siano effettivamente i valori estremi per σ ps/σ y è chiaro dal fatto che σ ps non può superare σ y, valore limite per tutte le tensioni, e che al di sotto del valore 1/2 la retta che rappresenta la σ cr/σ y non interseca più l iperbole di Eulero, ma ne rimane sempre al di sotto. 6-15

73 Figura 6.8: Definizione del grado di sicurezza per travi tozze e travi snelle. ossia s = F cr N = π2 EAρ 2 /l0 2 N = π2 E λ 2 (N/A) Si adottano ora due artifici semplicissimi, ma di non evidente utilità, e perciò difficili da memorizzare, ossia si moltiplica numeratore e denominatore per σ R, ottenendosi s = σ R N/A π 2 E λ 2 σ R e poi si indica la seconda delle due frazioni a secondo membro con la notazione 1/ω, per cui si ha s = σ R ωn/a. Il significato di questa espressione è che, nel caso più generale di carico di punta si scrive la stessa espressione adottata nel caso di travi tozze, ma moltiplicando lo sforzo normale per un coefficiente maggiorativo ω, che è funzione della snellezza e che viene posto uguale ad 1 per travi tozze. Naturalmente conviene riordinare la precedente espressione scrivendo ωn A = σ R s = σ amm in cui si ritrova la classica formula di verifica per lo sforzo normale, in cui però lo sforzo effettivo agente N deve essere moltiplicato per il coefficiente maggiorativo ω. Poiché l andamento della curva limite è più complesso di quanto mostrato in fig. 6.8, i valori di ω si prendono da tabelle della normativa. Ribadendo sempre che l unica normativa giuridicamente valida è data dalla sua ultima edizione, riporto un estratto da due tabelle, uno dal Santarella, Manuale del Cemento Armato (gli stessi dati stanno sul Colombo. Manuale dell Ingegnere, 80.a edizione), e l altro dal Manuale dell Ingegnere Meccanico, solo per dare un idea degli ordini di grandezza. La prima, per pilastri in C.A., fornisce: λ ω λ ω

74 La seconda è relative ad aste di grosso spessore (t 40 mm), per acciaio Fe 510: λ ω λ ω λ ω λ ω Riporto qui di seguito in nota il testo di questo paragrafo nella precedente versione, sperando che possa essere di qualche utilità. 6 6 Nella formula di Eulero si può mettere l area A in evidenza scrivendo F cr = Cπ 2 EA ρ2 l 2 dove ρ è il raggio giratore ed l/ρ si chiama snellezza e si indica con λ. Dividendo per A si ottiene σ cr = Cπ2 E λ 2. Per la stabilità dell equilibrio deve essere, tenuto conto di un coefficiente di sicurezza s, Moltiplicando per risulta essendo σ y/s = σ amm, si può scrivere σ = N A σ cr s ω = σy σ cr ωσ = ω N A σy s ω N A σ amm il che significa che, quando si teme l instabilità il carico assiale di compressione N deve essere moltiplicato per un coefficiente ω maggiore di 1. La verifica di sytabilità è identica a quella classica a sforzo normale, purché si tenga conto di un carico assiale maggiorato. Il valore di ω può essere ottenuto rielaborando le formule precedenti; per esempio la formula di Eulero fornisce ω = λ2 σ y Cπ 2 E e la formula di Johnson 1 ω = (6 ) 1 λ2 σ y 4Cπ 2 E Il valore di λ per cui si passa dalla (6) alla (6 ) è dato dalla (5). Però di solito il valore di ω in funzione di λ è dato da tabelle della normativa. (6) 6-17

75 6.3.4 Altre applicazioni Cilindri compressi uniformemente dall esterno Si usa la seguente formula dovuta a Von Mises, 1914: [ 1 t ) 3 ( p cr (n) = E 12(1 ν )( 2 r n n2 1 ν ( n l π r )2 + 1 ) + ] t/r [( ) 2 ] 2 (n 2 1) + 1 in cui n è il numero di lobi della deformata t è lo spessore r è il raggio ed l la lunghezza. Se l è notevolmente maggiore di r si pone (formula di Southwell): [ ] 1 t ) 3 p cr (n) = E (n 12(1 ν )( 2 t/r 2 1) + ( ) r 4 (n 2 1) Per entrambe queste formule occorre trovare per tentativi il valore di n che rende minimo p cr. Se il tubo è di lunghezza molto grande si può usare l approssimazione per L =, cioè In questo caso è n = 2. Cilindri compressi in senso assiale p cr = Et 3 4(1 ν 2 )r 3. n l π r n l π r Deformata a soffietto σ cr = 1 3(1 ν2 ) Et r = 0.605Et r Lastre rettangolari appoggiate lungo il bordo Se a è l altezza della lastra (dimensione parallela alla forza instabilizzante) e b è la larghezza (dimensione perpendicolare alla forza instabilizzante), la tensione critica è ( nb σ cr = a + a ) 2 π 2 E ( t 3 ) nb 12 1 ν 2 b 3 I bordi della piastra instabilizzata rimangono fermi, mentre la parte centrale presenta n imbozzamenti, alternativamente verso l interno e verso l esterno. Il numero n deve essere determinato per tentativi con la condizione di prendere il valore di n che rende minimo σ cr. Come valore di orientamento si prende n circa uguale alla parte intera di a/b. Tubi cilindrici di raggio r e spessore t soggetti a torsione π 2 (M t ) cr = E 3(1 ν 2 ) t2 rt = Et5/2 r 1/2 3/4 (1 ν 2 ) 3/4 Sfera di raggio r e spessore t premuta dall esterno 2Et 2 p cr = r 2 3(1 ν 2 ) 6-18

76 7. Plasticità Deformazioni plastiche sono quelle che permangono anche dopo che è stata rimossa la forza che le ha generate. Il comportamento plastico è evidente e.g. nella prova di trazione di molti materiali metallici; se la tensione supera un certo valore di soglia (snervamento) allo scarico rimane un allungamento residuo. I materiali che presentano un comportamento plastico più o meno accentuato sono detti materiali duttili; quelli che si rompono prima di subire apprezzabili deformazioni plastiche sono detti materiali fragili. 7.1 Fenomenologia della plasticità Nella prova di trazione di materiali duttili appare chiara la zona delle forte deformazioni (cammino OAR della fig. 7.1) Figura 7.1: Fenomenologia della plasticità Se il provino viene scaricato si ha un parziale recupero, ma la maggior parte della deformazione è permanente (o irreversibile che dir si voglia). La fase di scarico (AB) è sostanzialmente rettilinea e la sua pendenza è praticamente uguale a quella del tratto elastico iniziale (è alquanto minore solo per altissime deformazioni, quando si è già avuto un sostanziale danneggiamento del materiale). Se si ricarica il provino deformato plasticamente e scaricato esso ripercorre il cammino elastico dello scarico e poi riprende la curva plastica, quasi come se la prova non fosse stata interrotta (BA R ). Se invece dopo lo scarico il provino viene assoggettato ad un carico di verso opposto (cioè di compressione, se la prima sollecitazione era di trazione), esso segue ancora un cammino elastico (BC ) sul prolungamento della retta di scarico, e poi devia (C D ) plasticizzandosi in senso opposto 7-1

77 ma ad un valore della tensione minore di quello di snervamento in compressione del materiale vergine (C invece di C). Questa anticipazione dello snervamento va sotto il nome di effetto Bauschinger. 1 Lo stesso fenomeno di riscontra in senso opposto, se si inverte ancora il carico (D E ). Al limite, il materiale può percorrere il ciclo plastico ABD E A). Disgraziatamente esso, se percorso più e pi volte, non rimane stazionario, ma si deforma d iventando più verticale (incrudimento ciclico) o più orizzontale (addolcimento ciclico). Questa fenomenologia si incontra nella fatica oligociclica. 7.2 Cause della plasticità La plasticità è dovuta alla deformazione permanente del reticolo cristallino; per spiegarla si deve perciò abbandonare la descrizione continua del materiale. I metalli sono formati da un reticolo di ioni circondati da un gas di elettroni di conduzione. Gli ioni sono di solito sistemati in un reticolo a massimo impaccamento, ossia cubico a facce centrate o esagonale compatto; talvolta è presente il reticolo cubico a corpo centrato. Nella deformazione permanente si può supporre che i piani atomici slittino l uno rispetto all altro. Questo comunque è possibile solo per i piani a massima densità di atomi. Una deformazione permanente è anche irreversibile, quindi si ha aumento dell entropia del metallo o dell ambiente o di entrambi. La forza necessaria per spostare un piano di atomi rispetto a quello adiacente è notevole. E chiaro infatti che si ha bisogno di deformazioni tangenziali dell ordine di 1, per cui la forza tangenziale deve essere dell ordine di G. Figura 7.2: Determinazione teorica della tensione di plasticizzazione in un cristallo perfetto. Più precisamente si consideri la situazione di fig. 7.2, nella quale vi sono due file di atomi contrapposti. Se la fila superiore viene spostata verso destra di una quantità x, nasce una tensione tangenziale τ esprimibile secondo una legge periodica di periodo b, che in prima approssimazione si può considerare sinusoidale τ = τ m sin(2πx/b). Questa, per piccoli valori di x diventa τ = τ m (2πx/b). Poiché vale anche la legge di Hooke τ = Gγ = Gx/a 1 Johann Bauschinger, ingegnere (Norimberga, Monaco di Baviera 1893), ricordato per un monumentale Trattato di statica grafica (trad. it. 1871). 7-2

78 risulta che, per a = b diventa τ m = G 2π b a, τ m = G 2π Il valore così ottenuto è circa cento volte maggiore di quello effettivo, per cui occorre trovare una diversa spiegazione, che è data dalla presenza di difetti nel reticolo cristallino. I difetti reticolari possono essere puntiformi (vacanze, atomi interstiziali e atomi sostituzionali), lineari (dislocazioni), superficiali (bordi dei grani) o tridimensionali (inclusioni). Le vacanze sono siti del reticolo non occupati da un atomo; gli atomi interstiziali sono atomi presenti in posizioni che dovrebbero essere vuote, mentre gli atomi sostituzionali sono atomi di specie estranea che prendono il posto di quelli che costituiscono il reticolo. Nei metalli vi è sempre un certo numero di vacanze, in equilibrio termodinamico; gli interstiziali sono senz altro meno numerosi e gli atomi sostituzionali sono importanti soprattutto nelle leghe. Le dislocazioni sono date da una distorsione del reticolo che si può caratterizzare nel seguente modo: si descriva un cammino su un piano cristallino in modo da avanzare in una direzione di un certo numero di passi, poi si gira a destra ad angolo retto e si avanza di altrettanti passi, poi ancora a destra eccetera, per quattro volte; se il cammino è molto piccolo (pochi passi reticolari per lato) e si chiude su se stesso, vuol dire che nell areola percorsa non vi sono dislocazioni; altrimenti la quantità necessaria a chiudere il circuito dà il vettore di Burgers 2 della dislocazione concatenata col circuito. La dislocazione all interno del cristallo è sempre una linea chiusa e il vettore di Burgers è costante su di essa; essa può terminare solo sulla faccia del cristallo o su una superficie di separazione tra cristalli contigui. Se il vettore di Burgers è parallelo alla dislocazione si ha la dislocazione a vite; se è perpendicolare si ha la dislocazione a spigolo; in quest ultimo caso il piano formato dalla dislocazione e dal vettore di Burgers è detto piano di scorrimento in quanto su di esso il moto della dislocazione è favorito. La plasticità è in gran parte causata dal moto delle dislocazioni a spigolo sul proprio piano di scorrimento. In un cristallo le dislocazioni provocano una tensione perché i legami cristallini sono distorti; lo stato tensionale attorno ad una dislocazione è identico a quello intorno ad una distorsione di Volterra. In particolare, attorno alle dislocazioni a spigolo, vi è un semispazio teso e un semispazio compresso; in quest ultimo tendono ad addensarsi le vacanze, mentre nel primo tendono ad addensarsi gli eventuali interstiziali; gli atomi sostituzionali possono andare in questo o quel semispazio a seconda che il loro diametro sia maggiore o minore di quello degli atomi costituenti il reticolo; in questo modo le dislocazioni a spigolo sono circondate da una nube di difetti puntuali che non possono abbandonare a meno che non venga fornita energia dall esterno. Se le forze esterne sono inferiori ad un certo valore le dislocazioni non si muovono e quindi si ha comportamento elastico, al di sopra di un certo valore le dislocazioni diventano libere di muoversi, e ciò spiega il fenomeno dello snervamento. Al crescere della deformazione il numero di dislocazioni aumenta per l azione delle sorgenti di dislocazioni, la più celebre delle quali è quella di Frank-Read (fig. 7.3). Le dislocazioni generate da una sorgente di Frank-Read si muovono lungo lo stesso piano di scorrimento e terminano la loro corsa lungo un ostacolo che tipicamente è il bordo del grano, L affollarsi delle dislocazioni molto vicine tra loro genera una forza di repulsione che ostacola l ulteriore moto (fenomeno dell incrudimento). 2 Johannes Martinus Burgers fisico olandese poi trasferitosi negli USA (n. Arnhem 1895, m. 1981). Ha svolto ricerche di aerodinamica, di reologia e di fisica dei solidi. 7-3

79 Figura 7.3: Sorgente di Frank-Read La stessa repulsione, in caso di cambiamento di segno dello sforzo, provoca un moto anticipato delle dislocazioni e quindi uno snervamento ad una tensione più bassa in valore assoluto (effetto Bauschinger). 7.3 Teorie matematiche della plasticità La deformazione plastica dipende non solo dal valore degli sforzi attuali, ma anche dal cammino percorso; ciò rende formidabilmente difficile una teoria matematica della plasticità. Le trattazioni possono essere divise in due classi: Teorie di flusso che mettono in relazione lo sforzo con la velocità di deformazione e teorie deformative che mettono in relazione la deformazione con la tensione; queste ultime ovviamente possono funzionare solo se si ipotizza un particolare cammino, per esempio che tutte le componenti della tensione si incrementano proporzionalmente. Tutte le teorie della plasticità si basano sui seguenti postulati: 1. la parte sferica della deformazione plastica è nulla, quindi la deformazione plastica avviene senza variazione di volume; 2. la deformazione (o l incremento della deformazione, a seconda della teoria usata) dipende solo dalla parte deviatorica dello sforzo; 3. gli assi principali della tensione e della deformazione plastica sono coincidenti (questo fatto fu scoperto da de Saint Venant); 4. la deformazione plastica è irreversibile; 5. lo scarico avviene elasticamente. Teoria di Levy-von Mises Si basa sul postulato che le deformazioni plastiche sono trascurabili e che il materiale non subisce incrudimento (materiale rigido-plastico). Teoria di Prandtl-Reuss Si basa sul postulato che il materiale è perfettamente elastico fino allo snervamento e non subisce incrudimento (materiale elastico-perfettamente plastico). 7-4

80 Teorie deformative Tra esse cito solo quella di Hencky, secondo la quale il deviatore degli sforzi è proporzionale al deviatore delle deformazioni plastiche. 7.4 Tensioni residue Trave rettangolare inflessa Il classico esempio della trave rettangolare inflessa viene qui svolto con riferimento ad un materiale con comportamento simmetrico a trazione e a compressione. Per la trattazione più generale si veda il Timoshenko. Nella deformazione plastica delle travi si fanno alcune assunzioni semplificative, cioè che le sezioni inizialmente piane rimangano piane e che non ci siano sforzi secondari dovuti alla congruenza tra parte plasticizzata e parte elastica della trave. Nel caso qui studiato si suppone che la sollecitazione esterna sia di puro momento flettente, che corrisponde ad una deformazione dell asse della trave ad arco di circonferenza. Si suppone assegnata una relazione sforzo-deformazione σ = σ(ɛ), simmetrica come si è detto, e che il carico iniziale sia applicato in maniera monotona. Si ragioni in termini di deformazione iniziale imposta, con una graduale crescita della curvatura dell asse della trave. Se la trave, inizialmente rettilinea, è deformata con un raggio di curvatura R i la deformazione è ɛ = y R. Facendo intervenire la σ = σ(ɛ) si trova la relazione σ = σ(ɛ(y)) = σ(y) tra tensione e dimensione trasversale della trave. Se la deformazione massima ɛ max = h/r > ɛ is = σ y /E, dove h è la semialtezza della trave e ɛ is è la deformazione che corrisponde all inizio dello snervamento, una parte della trave, cioè quella con y > h y, essendo h y la distanza dall asse neutro della fibra in snervamento, è plasticizzata. In ogni caso il momento flettente, se b è la larghezza, è M = h Nel caso puramente elastico σ = Eɛ = Ey/R i, per cui M = h h h σbydy. (1) Ey R i bydy cioè M = EI. (2) R i Nel caso plastico conviene elaborare la (1) sostituendo alla variabile muta y la ɛ. Si trova allora M = h/ri h/r i σb ɛr i R i dɛ = br 2 i h/ri h/r i σɛdɛ che formalmente può essere posta in una forma identica alla (2), ossia con la posizione E Ri M = E R i I R i. (2 ) = 3R3 h/rpl 2h 3 σɛdɛ h/r pl 7-5

81 Non è difficile vedere che vale E Ri E, valendo il segno di uguaglianza solo nel caso elastico. Se si scarica la trave applicando un momento M il comportamento allo scarico è elastico (a meno che il momento non sia molto alto, nel qual caso interviene l effetto Bauschinger). La curvatura residua è data dalla somma di quella iniziale e quella della fase di scarico elastico 1 = 1 M R i EI = M ( 1 1 ) I E R f E Ri Per le tensioni conviene procedere per via grafica (fig. 7.4). Figura 7.4: Determinazione grafica delle tensioni residue in una trave inflessa ad asse verticale Lo studio della figura suggerisce la regola pratica che, nella fibra più sollecitata la tensione residua è di segno opposto a quella della tensione iniziale che ne ha provocato lo snervamento. Si noti che le tensioni residue non hanno in generale alcuna relazione con le deformazioni residue, in quanto in generale le une e le altre dipendono dal percorso di carico e scarico. 7-6

82 8.1 Definizioni 8. Scorrimento viscoso I materiali esposti ad alte temperature presentano deformazioni crescenti nel tempo anche se la tensione rimane costante. Questo fenomeno è detto scorrimento viscoso o creep. Per alta temperatura si intende una temperatura T > 1 3 T f dove T f è la temperatura di fusione; queste temperature sono temperature assolute e vanno espresse in gradi Kelvin. Reciprocamente, alle stesse temperature, se un elemento di macchina è soggetto ad una deformazione costante (si pensi al gambo di un bullone) la sua tensione diminuisce col tempo. Questo fenomeno si chiama rilassamento; nel caso del bullone esso conduce dopo un certo tempo all allentamento. 8.2 Prove di creep Le prove di creep vengono fatte ponendo il provino, in una fornace a temperatura controllata e tirato da un peso. L allungamento viene misurato con un comparatore. Dalla forza e dall allungamento, tenendo conto della sezione e dell allungamento, si calcolano la tensione e la deformazione. Le proporzioni del provino sono identiche a quelle delle prova di trazione, ma la sezione è più piccola; è prescritto comunque dalla UNI 5111 che la sezione del provino circolare non sia minore di 4 mm 2 e che la sezione del provino rettangolare abbia rapporto tra i lati non più di 4:1 e con il lato minore non più piccolo di 2 mm. La prova può essere fatta a carico costante o a tensione (vera) 1 costante; in quest ultimo caso il carico deve diminuire man mano che la sezione del provino diminuisce (come al solito nel caso di grandi deformazioni si può ammettere che il suo volume resti costante). La prova viene riassunta in un grafico della deformazione in funzione del tempo (fig. 8.1). Nel grafico si distinguono tre fasi: inizialmente il creep primario (tratto AB), in cui la velocità di deformazione diminuisce col tempo; poi il creep secondario (tratto BC), in cui la velocità di deformazione è costante; poi il creep terziario (tratto CD), in cui la velocità di deformazione aumenta fino a rottura. Nelle prove a tensione costante non compare il creep terziario, che quindi è un artefatto dovuto alla strizione del provino in fase di rottura. Di fatto, uno dei modi per misurare la strizione in fase di creep è quello di studiare la velocità di deformazione per creep terziario. Nel creep peraltro la strizione non sempre si verifica, ma spesso compaiono delle cavità interne che comunque riducono la sezione resistente effettiva. Per ovvie ragioni di spazio si riportano sullo stesso grafico più curve relative alla stessa temperatura e a carichi (o tensioni) diverse (fig. 8.2); modi ancora più sintetici di riportare i dati sono quelli delle figure 8.3 e 8.4. La velocità di deformazione ɛ = dɛ/dt è minima nella fase del creep secondario ed è ivi correlata con la tensione dalla legge di Bayley: ɛ = Bσ n dove B ed n sono caratteristiche del materiale. 1 Si ricorda che la tensione vera si ottiene dividendo il carico per la sezione effettiva (nell istante considerato) mentre la tensione nominale, che di solito è la più usata, si ottiene dividendo il carico per la sezione iniziale. 8-1

83 Figura 8.1: Tipica curva di creep Figura 8.2: Curve sperimentali di creep alla stessa temperatura e per diverse tensioni. Il materiale qui studiato è il piombo a 17 C. Da Andrade, E. M. da C., 1914, The Flow in Metals under Large Constant Stresses Proc. Royal Soc., Series A, 90,

84 Figura 8.3: Velocità di deformazione stazionaria (ossia in fase di creep secondario) in funzione della σ vera per un acciaio al carbonio usato per recipienti in pressione. Da Randall, P.N., 1957, Constant-Stress Creep Rupture Tests of a Killed Carbon Steel, Proc. of the Am. Soc. for Testing and Materials, 57, Figura 8.4: Tempo di rottura in funzione della σ nominale per la lega resistente ad alte temperature S-590. Da Dowling, Dati da Goldhoff, R. M., 1959, Which Method for Extrapolating Stress- Rupture Data?, Materials in Design Engineering, 49,

85 Una caratteristica del fenomeno del creep è che esso in opera si produce in tempi lunghissimi (anni o anche decine di anni), per cui le prove vengono condotte in tempi brevi rispetto al fenomeno (settimane o mesi), ma pur sempre lunghe dal punto di vista tecnico, e poi i risultati vengono estrapolati. Per questa ragione si hanno due tipi di prove: se si è interessati alla resistenza a rottura per creep si effettuano prove a tensione molto alta, vicina a quella di rottura, per poter rompere il provino in tempi ragionevoli; se invece si è interessati all andamento delle deformazioni si effettuano prove a tensione più bassa in modo da avere uno sviluppo più graduale del fenomeno. Le prime sono dette prove di rottura a caldo, le seconde, prove di deformazione a caldo. Esse permettono la determinazione dei seguenti parametri caratteristici dei materiali: tensione di rottura per scorrimento σ R/h/T in cui h è la durata in ore e T è la temperatura di prova. Esempio: la tensione di rottura a 500 gradi centigradi dopo ore è indicata con σ R/100000/500. tensione limite di scorrimento σ A/h/T in cui A è l allungamento percentuale che si raggiunge dopo h ore e T è la temperatura di prova. Esempio: la tensione che produce l allungamento dello 0.2 per cento dopo ore è indicata con σ 0.2/10000/500. Si tenga ben presente che i tempi indicati non corrispondono alla durata della prova (infatti ore sono 14 mesi e ore sono 11 anni) ma ad una estrapolazione di risultati di prove molto più brevi. Per effettuare tali estrapolazioni, come anche nella pratica progettuale per ricavare i dati di resistenza e allungamento per temperature diverse da quelle tabellate, si effettuano correlazioni di dati con parametri empirici tra cui quello di Larson-Miller. 8.3 Meccanismi del creep I meccanismi del creep sono vari a seconda dei materiali e delle condizioni di tensione e di temperatura. Grossolanamente si possono tutti considerare causati da moti di atomi, che provocano un riassestamento del reticolo cristallino. La dipendenza del fenomeno dalla temperatura è data da una legge tipo Arrhenius, cioè da ɛ = A exp ( E ) (1) RT in cui A è un parametro la cui dipendenza funzionale varia a seconda del meccanismo, E è l energia di attivazione e R è la costante dei gas. Si interpreta questa dipendenza dicendo che gli atomi si trovano in posizioni ben definite e che per far saltare un atomo da una posizione all altra occorre fornirgli dell energia, cioè appunto l energia di attivazione. Per un solido amorfo si ha il creep viscoso, analogo alla viscosità dei liquidi, e la velocità di deformazione è data da ɛ = A 1 σ exp ( E ) RT Per i solidi cristallini si hanno due meccanismi diversi: il flusso diffusionale e il creep da dislocazioni. Il primo, che si presenta ad alte temperature e tensioni relativamente basse, è legato al moto delle vacanze; il secondo, che si presenta a tensioni alte, è legato al moto delle dislocazioni. La prevalenza dell uno o dell altro meccanismo è illustrato in coordinate adimensionali in grafici simili a quello di fig

86 Figura 8.5: Mappa di deformazione per l argento puro con dimensione del grano 32µm. Da Dowling, Adattato da Ashby, M.F., 1972, A First Report on Deformation Mechanism Maps, Acta Metallurgica, 20, Nel flusso diffusionale, se le vacanze si muovono all interno del reticolo si ha il creep di Nabarro- Herring ɛ = A 2σ d 2 T exp( E v ) RT se le vacanze si muovono lungo il bordo dei grani si ha il creep di Coble ɛ = A 2σ d 3 T exp( E b ). RT In queste espressioni d è il diametro medio dei grani. Il moto delle dislocazioni può avvenire in due modi: moto di scivolamento (glide), ossia spostamento sul proprio piano di scorrimento, e moto di risalita (climb), ossia perdita o aggiunta di una fila di atomi al semipiano soprannumerario. Il moto di scivolamento presenta un energia di attivazione assai bassa, per non dire nulla, è determinato dalla sola tensione, purché sufficientemente alta, e conduce a deformazioni plastiche. Il moto di risalita dà invece luogo al creep da dislocazioni, che si caratterizza per una forte dipendenza dalla tensione ɛ = A 2σ n exp ( E ). T RT in cui n è dell ordine di 5. Questo è il modo tecnicamente più importante e giustifica la legge di Bayley, alla quale si riconduce per T costante. 8.4 Estrapolazione dei dati sperimentali Vi sono due modi, in linea di principio, per estrapolare i dati sperimentali: o si estrapola a temperatura costante, prolungando le linee delle figg. 8.3 e 8.4 o si cerca una correlazione tra tempo e temperatura, ossia i due fattori che influenzano il fenomeno. 8-5

87 Il primo modo è considerato inaffidabile, in quanto le linee di figg. 8.3 e 8.4 presentano cambi di pendenza (ginocchi) se cambia il meccanismo di creep, quindi si procede sempre nel secondo modo, con l introduzione di opportuni parametri. 8.5 Parametro di Larson-Miller Prendendo il logaritmo decimale delle (1) si ha log ɛ = log A 0.43 E RT (2) in cui 0.43 è il logaritmo decimale di e. Dalla (2), considerando A costante ed E funzione solo della tensione, moltiplicando per T e riordinando T (C ɛ log ɛ) = 0.43 E R il primo membro è il parametro di Larson-Miller e il secondo è dipendente solo da σ e precisamente decrescente con legge quasi lineare. Un altra relazione da tener presente è quella tra velocità media di deformazione (che tende a regime alla velocità del creep secondario) e tempo di rottura. Infatti ɛ = ɛ R t R Perciò t R ɛ = ɛ R = K in cui t R è il tempo a rottura e K è una costante. Passando ai logaritmi: log t R = logɛ R log ɛ log ɛ (3) in cui l ultimo passaggio si giustifica per la trascurabilità del termine omesso rispetto all altro. Il parametro di Larson-Miller può essere quindi definito in funzione del tempo di rottura facendo uso della (3) P LM = T (C t + log t R ). I valori di C t e di C ɛ sono dipendenti solo dal materiale; in particolare per materiali metallici C t = 20 e per acciai C ɛ = 18.5 Valori del parametro di Larson-Miller in funzione della tensione sono dati in figg. 8.6 e Calcolo di strutture soggette a scorrimento viscoso Si distiguono due casi: se la struttura è isostatica (per esempio una struttura reticolare) non vi sono differenze rispetto al calcolo statico, in quanto la distribuzione delle tensioni non è influenzata dalla deformazione; si calcolano quindi le tensioni punto per punto e poi le deformazioni, che risultano ovviamente variabili nel tempo. Una applicazione notevole si ha nel caso delle palette per turbine, che possono essere considerate mensole incastrate. Se la struttura è iperstatica occorre calcolare la distribuzione delle tensioni tenendo conto della presenza del creep. Si applica in questo caso la legge di Bayley i cui coefficienti per fortuna non dipendono dal tempo. Calcolata quindi la tensione punto per punto si calcolano le relative deformazioni che sono variabili nel tempo. 8-6

88 Figura 8.6: Parametro di Larson-Miller per diversi metalli. Da Dowling, Adattato da Larson, F.R. and Miller, J., 1952, A Time-Temperature Relationship for Rupture and Creep Stresses, Trans. of the Am. Soc. of Mechanical Engineers, 74, Esempio: sia data la semplice struttura della figura 8.8, a sinistra. Si fa l ipotesi cruciale che la deformazione da scorrimento viscoso sia prevalente rispetto a quelle elastiche e plastiche, che quindi si trascurano. L asta 1 è soggetta ad una tensione σ 1, per la quale si allunga della quantità ɛ 1 = ɛdt = Bσ1 n t Allo stesso modo le aste 2 si allungano di ɛ 2 = Bσ n 2 t. Per la congruenza deve essere (vedi fig. 8.8, a destra) inoltre (vedi la fig. 8.8, a destra) l 2 = l 1 cos θ (1) l 2 = l 1 / cos θ. (2) Dividendo la (1) e la (2) (si suppone che le deformazioni rimangano comunque piccole) si ha Applicando la (3) si ha facendo uso della relazione di equilibrio ɛ 2 = ɛ 1 cos 2 θ. (3) σ n 2 = σ n 1 cos θ σ 2 = σ 1 (cos θ) 2/n 8-7

89 Figura 8.7: Tensione di rottura per creep in funzione del parametro di Larson-Miller per diversi metalli 8-8

90 Figura 8.8: Esempio di struttura iperstatica soggetta a creep (a sinistra) e relazione di congruenza per l abbassamento della sua cerniera (a destra). σ 1 A 1 + σ 2 A 2 cos θ = Q in cui A 2 indica la somma delle aree delle aste 2, si ha σ 1 = Q A A2 A 1 (cos θ) 2/n. Per confronto si studiano i casi elastico e plastico. Nel caso elastico σ 1 = Eɛ 1 σ 2 = Eɛ 2 da cui, facendo intervenire la relazione di congruenza (3) sostituendo nell equazione di equilibrio σ 2 = σ 1 cos 2 θ. σ 1 = Q A A 2 A 1 (cos θ) 3. In questo caso l asta 1 è chiamata in causa più fortemente che nel caso del creep. Osservando che nel caso elastico l asta più sollecitata è la 1, non è difficile capire che in essa si avrà per prima lo snervamento. Immaginando un comportamento idealmente plastico (σ = σ s sempre, dopo lo snervamneto) si ha σ 1 = σ s e, applicando la relazione di equilibrio Q = σ s A 1 + σ 2 A 2 cos θ si ha purché risulti σ 2 = Q σ sa 1 a 2 cosθ σ 2 σ s. 8-9

91 8.7 Altri parametri per l estrapolazione dei dati sperimentali Altri parametri per l estrapolazione dei dati sperimentali sono i seguenti: Tempo compensato Il tempo compensato 2 viene introdotto nel seguente modo: Integrando la (1) a temperatura costante e trascurando la costante di integrazione, cioè la deformazione dovuta alla fase primaria del creep, si ha ɛ = At exp ( E RT Poichè E dipende solo debolmente, o addirittura niente affatto, da σ, si può scrivere ɛ = A(σ)θ ) con ( θ = t exp E ) RT (4) detta tempo compensato. Come si vede in fig. 8.9, esso permette di eliminare o quasi l influenza della temperatura, ma non della σ (infatti in fig. 8.9 le prove sono state fatte alla stessa tensione). Viceversa è possibile sperimentare ad una temperatura elevata in tempi brevi estrapolando i risultati a temperature molto più basse. Figura 8.9: Deformazione totale per creep in funzione del tempo compensato per varie leghe di alluminio provate a σ = 27.6 MPa a varie temperature. Da Orr, R. L., Sherby, O. D., and Dorn, J. E., 1954, Correlations of Rupture Data for Metals at Elevated Temperature, Trans. of. the Am. Soc. for Metals, 46, Parametri di Dorn Particolarizzando la (4) per t = t r si ha ( θ r = t r exp E ) RT (5) 2 Proposto da Zener e Holloman ma fatto proprio da Dorn 8-10

92 il cui secondo membro si chiama parametro di Dorn ed è funzione della tensione e del materiale. Prendendo il logaritmo decimale della (5) si ha log θ r = log t r 0.43 E (6) RT e il primo membro prende il nome di parametro di Sherby-Dorn. Una forma semplificata della (6) è la seguente: log θ r = log t r C T (6) che prende il nome di formula di Fisher-Dorn. Le stesse formule possono essere espresse facendo comparire la ɛ invece del t r. Per esempio, per il parametro di Sherby-Dorn, detto P SD quello relativo alla rottura e P SD quello relativo alla velocità di deformazione, si ha P SD = log ɛ 0.43 E RT P SD = log t R 0.43 E RT. La relazione tra i due è P SD = P SD + log ɛ R. ɛ R vale in genere , per cui log ɛ R = e quindi risulta abbastanza piccolo rispetto a P SD, che è dell ordine di 20 12, quindi in definitiva P SD P SD Parametro di Manson-Haferd Viene definito, solo in funzione del tempo di rottura, con la posizione P MH T T a = log t R log t a dove T a e log t a sono caratteristiche del materiale. Per i tre parametri sopra definiti, relativi alla rottura, si trovano alcuni dati in tab Tabella 8.1: Alcuni valori di parametri di correlazione del creep 8-11

93 Tabella 8.2: Valori di alcune caratteristiche meccaniche per diversi materiali metallici a varie temperature. Da dati di diversi autori, riportati in Odquist, Mathematical Theory of Creep and Creep Rupture, Oxford Univ. Press,

94 Tabella 8.3: Tensioni (in ksi) che provocano un dato scorrimento (creep rate) ad una data temperatura (in F. Da Creep Data, ASME e ASTM; basata su prove di 1000 ore. 8-13

95 9. Meccanica della frattura Vi sono dei casi in cui strutture anche di grandi dimensioni cedono istantaneamente dividendosi in due parti per propagazione istantanea di una frattura preesistente. Questo tipo di cedimento si evidenziò quando si diffusero le costruzioni saldate in campo navale (anni 20-30). vedi le figg. 9.1 e 9.2 Figura 9.1: Rottura di schianto della petroliera Schenechtady (ma secondo altri era una nave da trasporto), causata da una frattura innescatasi in corrispondenza della giunzione con il corso di cinta di una piastra irrigidente a dritta il ponte di coperta. Portland, Oregon, 16 gennaio Da F. Manna, Storia della saldatura. Figura 9.2: Nave da carico spaccatasi in due appena rientrata in bacino. Da F. Manna, Storia della saldatura. L aspetto delle due superfici di frattura è netto, di tipo fragile, senza traccia di grandi deformazioni nè di strizione. Il difetto da cui simili catastrofi traggono origine è un difetto di saldatura o anche causato dall azione di un carico ripetuto (fatica) e si presenta come una lesione capillare, al cui apice il raggio di curvatura è piccolissimo. Tale difetto non si presta ad essere trattato con la teoria dell elasticità; infatti questa predice all apice della cricca una tensione infinita, che quindi dovrebbe produrre la frattura in ogni caso; 9-1

96 invece si constata che una cricca può rimanere dormiente anche sotto sollecitazioni non trascurabili per poi attivarsi improvvisamente. 9.1 Trattazione energetica La propagazione di una cricca richiede energia per la creazione delle nuove superfici di frattura; l energia richiesta è proporzionale all area delle nuove superfici e dipende dal materiale. Durante la propagazione c è però una liberazione di energia dovuta al fatto che le zone immediatamente a monte e a valle della cricca sono scariche; nella propagazione man mano che la cricca avanza cresce la zona scarica per cui l energia che in essa era immagazzinata si rende disponibile. Figura 9.3: Geometria della propagazione di una cricca in una lastra infinita Si guardi la fig. 9.3: nell esempio di una fessura passante in una lastra di spessore t, sottoposta ad una tensione σ, per effetto di un allungamento da da ciascuna delle due parti si ha un assorbimento di energia du = 4Rtda, in cui R è l energia necessaria per creare una superficie di area unitaria, per effetto della creazione di 4 nuove superfici, mentre si ha una liberazione di energia che si può grossolanamente stimare ipotizzando che la parte scaricata sia una corona circolare di raggio interno a e spessore da e che in essa ci fosse solo sforzo normale, quindi dw = 1 2 σɛ2πtada = 1 2E σ2 2πtada. Se dw < du un aumento istantaneo da della lunghezza della cricca, causato per esempio da un azione esterna, sarebbe sfavorito energeticamente, per cui si richiuderebbe istantaneamente. Se invece dw > du la crescita della frattura sarebbe favorita, per cui proseguirebbe fino alla divisione del pezzo in due parti. Quest ultima condizione si scrive: σ 2 a > cost. La costante che qui compare dipende solo dal materiale. 9-2

97 Per ragioni storiche questa espressione viene scritta prendendo la radice quadrata di entrambi i membri e facendo comparire un fattore numerico σ πa > K Ic La quantità a primo membro si chiama fattore di intensità degli sforzi K I relativa all organo considerato; essa si presenta, a parte fattori numerici, come il prodotto di una tensione caratteristica della situazione considerata per la radice di un fattore geometrico che è una dimensione caratteristica del pezzo. Per il calcolo del fattore di intensità degli sforzi in vari casi si veda la figura 9.5. Il fattore K Ic a secondo membro si chiama tenacità alla frattura ed è caratteristico del materiale. Varie tenacità alla frattura sono riportate in tabella. Il pedice I che compare nel simbolo del fattore di intensità degli sforzi e nella tenacità alla frattura si riferisce al primo modo di frattura. Si distinguono il modo primo (quello dell esempio) in cui la forza agente sull apice della frattura è normale sia al piano della frattura che all apice, il modo secondo in cui la forza agente sull apice della frattura è parallela al piano della frattura ma normale all apice e il modo terzo in cui la forza agente sull apice della frattura è parallela all apice. Vedasi la figura 9.4. Figura 9.4: Modi di frattura 9-3

98 Figura 9.5: Formule di K I e K II in alcuni casi tipici 9-4

99 Tabella 9.1: Resistenza a frattura. Si ricorda che 1 ksi = MPa e 1 ksi in = MPa m. Materiale Tensione di rottura Tenacitá alla frattura σ u /ksi K Ic /ksi in A517 Steel (AM) AISI 4130 Steel (AM) AISI 4340 Steel (VAR) AISI 4340 Steel (VAR) AISI 4340 Steel (VAR) AISI 4340 Steel (VAR) AISI 4340 Steel (VAR) M Steel (VAR) M Steel (VAR) M Steel (VAR) M Steel (VAR) M Steel (VAR) B6AC Steel (VAR) N-11 Steel (VAR) N-11 Steel (VAR) N-11 Steel (VAR) Ni - 5 Cr - 3M0 Steel (VAR) Ni (300) Maraging Steel (VAR) Ni (250) Maraging Steel (VAR) Ni (200) Maraging Steel (VAR) Ni (180) Maraging Steel (VAR) Ni - 4Co - 0.3C Steel (VAR) Al T Al T Al T Al T Al T Al T Al T Al T

100 Figura 9.6: Valori di K Ic a temperatura ambiente per alcuni materiali strutturali. Da Rapid Inexpensive Tests for Determining Fracture Toughness, National Academy of Sciences, Washington D.C.,

101 9.2 Prove di tenacità alla frattura Figura 9.7: Provino di flessione Tipi e proporzioni dei provini Visto che i risultati della prova sono poco influenzati dalla forma del provino, le norme raccomandano due tipi di provino, molto diversi tra loro: 1. provini a flessione (a tre e quattro punti) 2. provini C. T. (compact tension) Entrambi i tipi sono caratterizzati da un intaglio molto acuto, che funge da innesco per una cricca di fatica, che viene fatta crescere in condizioni controllate di carico. Quando la lunghezza della cricca è quella desiderata il provino può essere sottoposto alla prova. I provini a flessione (vedi figg. 9.7 e 9.9) sono grossolanamente simili ai provini per prova di resilienza; ma hanno due caratteristiche geometriche che li rendono inconfondibili: innanzitutto la presenza dell intaglio acuto (mentre nei provini di resilienza è arrotondato) e soprattutto la presenza della cricca di fatica la cui profondità, rispetto alla faccia intagliata del provino, è indicata con a. I provini C. T. (vedi fig. 9.8 e 9.9) hanno forma di parallelepipedo. Richiede meno materiale del provino di flessione, ma è più costoso per la necessità di lavorare i fori con precisione Appoggi e afferraggi Per ridurre al minimo l attrito, le prove di flessione sono eseguite usando come appoggi rulli con o senza assi fissi. I diametri dei rulli e del punzone centrale dovrebbero essere compresi tra W/2 e W. Per le prove a trazione si usa un afferraggio a forcella chiudibile con un perno passante. Tra perno e fori occorre accoppiamento libero preciso Dimensioni dei provini Il risultato della prova di K Ic è considerato valido solo se la zona plastica all apice della cricca sia molto piccola e se le condizioni sono prossime a quelle di deformazione piana. La mancanza di 9-7

102 tale condizione è denunciata dalla configurazione obliqua delle superfici di frattura; se però queste si presentano ben piane eperpendicolari al carico, non è detto che la condizione di deformazione piana sia soddisfatta. Vari autori hanno cercato una condizione sufficiente per la validità della prova. I risultati di queste ricerche sono stati condensati nelle prescrizioni delle norme ASTM E399 e BS Entrambe prescrivono che la lunghezza della cricca deve essere a 2.5 ( ) 2 KIc affinché vicino al vertice della cricca lo stato tensionale sia sufficientemente prossimo a quello che si avrebbe in un materiale a comportamento lineare elestico. D altronde sono sconsigliati valori di a/w maggiori di 0.55, perché oltre questo valore piccoli errori nella misura di a si traducono in forti errori di K Ic. Il combinato disposto di queste due prescrizioni equivale a fissare un valore minimo di W. Anche lo spessore B del provino deve essere B 2.5 σ s ( ) 2 KIc per assicurare che lo stato di deformazione all apice della cricca sia piano Formazione a fatica della cricca La formazione a fatica della cricca iniziale, fase essenziale nella preparazione del provino, deve seguire una ben precisa ricetta, per evitare che vi siano tensioni residue o plasticizzazioni all apice σ s Figura 9.8: Provino C. T. 9-8

103 Figura 9.9: Particolari dell intaglio nei provini di flessione e C.T. della cricca. 1. la lunghezza della cricca per fatica non deve essere minore di 1.25 mm fermo restando il valore di a/w ; 2. la cricca deve essere piana, parallela al piano dell intaglio e deve avere fronte rettilineo e parallelo al piano dell intaglio (sono ammesse deviazioni non superiori a 5 ). Purtroppo questa condizione può essere accertata solo dopo la rottura del provino. 3. il valore di K durante la propagazione non deve essere minore di 0.9 K max. Ciò significa che la sollecitazione di fatica deve essere molto vicina alla condizione dallo zero o addirittura alternata. 4. Il valore di K max durante ilprimo stadio della propagazione della cricca può porsi uguale a 0.75 K Ic. Durante lo stadio finale, intendendo per questo gli ultimi 1.25 mm di crescita della cricca, deve essere K max 0.6K Ic (secondo la norma ASTM) 9-9

104 Tipicamente la formazione della cricca richiede almeno cicli di carico Strumentazione La prova di frattura fragile è condotta in maniera molto simile alla prova di trazione. Per la misura degli spostamenti si usa un trasduttore, che concettualmente è un estensometro, posto a cavallo dell intaglio (fig. 9.10) Il carico viene fatto aumentare gradualmente in modo che K I cresca di MN m 3/2 al minuto, che corrisponde ad una durata della prova tra 1 e 5 minuti. Figura 9.10: Trasduttore di spostamento Interpretazione della prova Durante la conduzione della prova si registrano istante per istante i valori del carico Q e dello spostamento s, fino alla rottura del provino. L andamento del diagramma carico - spostamento può presentare un punto di discontinuità più o meno accentuato al momento della propagazione instabile; il caso più favorevole è quello del quarto diagramma della fig. 9.11, mentre il più dubbio è quello del primo diagramma. Per differenziare i vari casi si traccia una retta A sul prolungamento del primo tratto rettilineo e successivamente una seconda retta il cui coefficiente angolare sia il 95% del precedente. Come valore Q q da usare nel calcolo di K Ic si usa l intercetta con la seconda retta o il massimo (se c è) compreso tra le due rette. La prova non è valida se lo scostamento del diagramma dalla prima retta è troppo dolce come nel primo diagramma di fig. 9.11, in cui il segmento q i, in corrispondenza dell ordinata 0.8Q q, è maggiore di 1/4 del segmento q, misurato in corrispondenza di Q q Calcolo di K Ic Per il calcolo di K Ic, il valore di Q q si introduce nella formula K Ic = QY B W in cui il valore della cedevolezza Y è dato da uno sviluppo in serie di potenze di a/w, ma più comodamente dalle tabelle 9.2 e 9.3, rispettivamente per i provini a flessione e C.T. 9-10

105 Figura 9.11: Principali tipi di diagrammi carico-spostamento per prove di K Ic Tabella 9.2: Valori di Y al variare di a/w per provini di flessione a tre punti Tabella 9.3: Valori di Y al variare di a/w per provini C.T. 9-11

106 9.3 Materiali per basse temperature Premetto che c è una notevole correlazione tra il comportamento di un materiale alla prova di resilienza e alla prova di tenacità alla frattura. Innanzitutto il tipo di frattura, duttile o fragile, dipende fortemente dallo spessore del provino; per conseguenza, se si usa un provino di sezione insufficiente, il risultato della prova risulta anormalmente alto per effetto della deformazione plastica. In secondo luogo, la tenacità alla frattura e la resilienza mostrano un comportamento analogo al variare della temperatura, e in particolare, al decrescere della temperatura possono presentare una marcata diminuzione. In terzo luogo, i fattori che influenzano la resilienza influenzano allo stesso modo anche la tenacità alla frattura; per esempio alti spessori, forti velocità di applicazione del carico, bombardamento neutronico, vanno tutti nel verso di un infragilimento del materiale. Non meraviglia allora che vi siano delle correlazioni tra resilienza e tenacità alla frattura, e spesso si possono usare le prime, più comuni, per prevedere le altre, più difficili a reperirsi in letteratura. Riporto qui tre correlazioni, Reperibili in Sailor e Corten, 1972: Relazione di Rolfe e Novak (1970) ( KIc /(MPa m) σ y /MPa Relazione di Barson e Rolfe (1970) ) 2 ( ) Cv /J = σ y /MPa (K Ic /(MPa m)) 2 E/MPa = (C v /J) 3/2 Relazione di Sailor e Corten (1972) (K Ic /(MPa m) = (C v /J) 1/2 L andamento delle proprietà meccaniche per i materiali strutturali, al diminuire della temperatura, evidenzia generalmente un incremento del modulo di elasticità, del carico di rottura, del limite di snervamento e del limite di fatica. La resilienza e la duttilità sono invece legate alla struttura cristallina. Per materiali caratterizzati da reticolo cubico a corpo centrato queste due proprietà tendono ad abbassarsi, presentando talvolta variazioni brusche con la temperatura; per materiali con reticolo cubico a facce centrate o esagonale esse tendono invece a rimenere costanti, o addirittura ad aumentare leggermente. Si vedano le figg e La caratteristica più limitante nell impiego di materiali a bassa temperatura è la diminuzione della resilienza, e la conseguente diminuzione della tenacità alla frattura. Una delle caratteristiche alle quali occorre fare attenzione è la dimensione del grano cristallino, in quanto ad un ingrossamento del grano corrisponde un andamento più sfavorevole della resilienza. Comunque in generale tutti gli aspetti microstrutturali vanno presi in considerazione. Tra i metalli utilizzati in applicazioni criogeniche rimangono il rame e alcune sue leghe, l alluminio e alcune sue leghe, gli acciai al nichel e inossidabili, la lega monel, il nichel, il titanio. I moderni metodi di saldatura in atmosfera inerte hanno molto favorito l impiego delle leghe di alluminio e ddell acciaio inox 18/8. Le prime, contenenti magnesio e piccole quantità di cromo e manganese, permettono una certa economia e una notevole leggerezza; esse perciò hanno una discreta diffusione per apparecchiature a media e bassa pressione fino a L acciaio inox, per le sue caratteristiche meccaniche migliori, si impone invece per le condizioni di esercizio più severe, ossia più alte pressioni e più basse temperature. 9-12

107 Figura 9.12: Andamento del carico di rottura di alcuni materiali alle basse temperature: a) alluminio; b) rame legato; c) monel; d) titanio; e) acciaio inox; f) acciaio al carbonio; g) acciaio al nichel; h) teflon. Figura 9.13: Andamento della resilienza di alcuni materiali alle basse temperature: a) alluminio; b) rame legato; c) monel; d) titanio; e) acciaio inox; f) acciaio al carbonio; g) acciaio al nichel. 9-13

108 10. La rilevazione delle cricche Una frattura o una cricca di solito non è visibile ad occhio nudo, e nemmeno con una lente, sia perché può non aprirsi alla superficie sia perché può essere molto sottile, capillare, di spessore anche inferiore ad un micromètro 1. I metodi per la rilevazione delle cricche e di altri difetti, quali bolle o soffiature di fusione, difetti di saldatura, inclusioni di scaglie di ossido eccetera, vanno sotto il nome di controlli non distruttivi. essi si distringuono in: liquidi penetranti raggi X e gamma ultrasuoni metodi elettromagnetici. Il confronto tra metodi è illustrato in fig Figura 10.1: Confronto di sensibilità tra metodi non distruttivi 10.1 Liquidi penetranti I liquidi penetranti sono dei liquidi a viscosità alquanto bassa nei quali è sciolta una sostanza colorante e fluorescente. Anticamente i liquidi penetranti fluorescenti richiedevano l uso della lampada di Wood (luce ultravioletta), ma oggi la fluorescenza può essere benissimo eccitata anche dalla luce visibile. 1 si ricorda che il micròmetro è uno strumento per misurare piccole lunghezze, mentre la parola micron, sinonima di micromètro, non va più utilizzata. 10-1

109 L applicazione dei liquidi penetranti avviene attraverso le seguenti fasi: 1) Pulizia e sgrassaggio del pezzo 2) Immersione nel liquido o spruzzamento del medesimo 3) asportazione del liquido in eccesso 4) Immersione del pezzo in polvere assorbente, detta sviluppatore o mezzo di contrasto. Durante l immersione il liquido penetra nelle fessure aperte sulla superficie e per effetto del potere assorbente del mezzo di contrasto viene richiamato fuori dalle fessure formando delle macchie ben visibili. Questo metodo ha il vantaggio di essere economico, abbastanza ecologico, rapido e di fornire anche una valutazione quantitativa delle cricche, in quanto se ne può misurare la lunghezza. Lo svantaggio sta nel fatto che non può rilevare cricche non aperte né soffiature o cavità varie Raggi X e gamma I raggi X e gamma sono radiazioni elettromagnetiche di ben definita lunghezza d onda. Tecnicamente i raggi X sono prodotti da apparecchi radiografici, affini a quelli usati in diagnostica medica, mentre i raggi gamma sono prodotti da isotopi radioattivi naturali. Il controllo radiografico e gammagrafico viene effettuato ponendo il pezzo sotto l azione dei raggi, i quali vanno ad annerire una lastra fotografica; l annerimento è inversamente proporzionale allo spessore attraversato, per cui si rendono visibili eventuali cavità chiuse, come ad esempio porosità o soffiature prodotte durante la fusione o la saldatura. Questi metodi sono quasi indispensabili per rilevare cavità chiuse, ma hanno lo svantaggio di essere costosi e di richiedere tutta una serie di metodi di protezione per l operatore Ultrasuoni Gli ultrasuoni sono vibrazioni meccaniche di frequenza superiore a Hz e quindi non udibili dall orecchio umano. Essi vengono generati per azione di un trasduttore piezoelettrico, che può fungere anche da ricevitore. La piezoelettricità è la proprietà di alcune sostanze, tra cui il quarzo, di deformarsi se vengono polarizzate elettricamente, ossia se sono sottoposte ad un campo elettrico; viceversa, se queste sostanze vengono deformate si polarizzano, ossia diventano sedi di cariche elettriche di segno opposto su facce opposte. Il trasduttore piezoelettrico è quindi un cristallo di quarzo posto tra le armature di un condensatore; se le armature vengono caricate il cristallo si deforma; se nel condensatore vi è un campo elettrico oscillante il cristallo vibra; diviene così una sorgente di ultrasuoni. Se viceversa il cristallo vibra diventa sede di un campo elettrico oscillante che può essre rilevato dal condensatore e poi amplificato; così il cristallo funge da ricevitore. Le onde ultrasonore si propagano nel solido da studiare e vengono riflesse dalla superficie opporta al ricevitore; il ritardo del eco di ritorno misura la dimensione del pezzo; eventuali altri segnali di eco segnalano la presenza di discontinuità o di cavità. Questo metodo è adatto alla rilevazione di cavità sia chiuse che affioranti purché di dimensioni sufficienti; non richiede protezione dell operatore ed è abbastanza economico, anche se, al contrario dei liquidi penetranti richiede apparecchiature di costo non trascurabile Metodi elettromagnetici Si dà un cenno del solo metodo magnetico, trascurando quello delle correnti parassite. Se un pezzo di materiale ferromagnetico viene posto in un campo magnetico esso si magnetizza (ossia diviene sede di un campo magnetico molto forte); le linee di flusso del campo sono parallele e regolari entrando nel pezzo in corrispondenza del polo nord e uscendone al polo sud. Se il pezzo possiede delle discontinuità superficiali perpendicolari al campo magnetico l andamento delle linee di flusso 10-2

110 è perturbato e da luogo alla presenza di un altra coppia di poli magnetici sulla superficie del pezzo in corrispondenza della discontinuità. Questi poli magnetici spuri possono essere rilevati cospargendo il pezzo con limatura di ferro. Per evidenziare difetti comunque orientati l esame va ripetuto almeno due volte a campi magnetici perpendicolari; alla fine di ogni esame occorre smagnetizzare il pezzo per privarlo dell eventuale magnetismo residuo. 10-3

111 11.1 Generalità 11. Fatica dei materiali Il fenomeno della fatica consiste nella rottura di pezzi sottoposti a sollecitazioni cicliche, anche se in nessun momento del ciclo si è raggiunta la tensione di rottura Prove di fatica Definizioni: Prove statiche sono quelle in cui il carico aumenta gradualmente con bassa velocità (circa 1 Mpa s 1 ) fino a rottura; Prove dinamiche sono quelle in cui l aumento del carico è molto veloce (circa 10 5 Mpa s 1 ), per esempio prove di resilienza; Prove di fatica sono quelle in cui il carico, variando con velocità medio-alta (circa 10 3 Mpa s 1 ) ha un andamento oscillante tra un massimo e un minimo. Per caratterizzare un carico di fatica importa indicare il carico massimo, quello minimo e il numero di alternanze. Ragionando in termini di tensione 1, si possono assegnare due dei seguenti cinque parametri: 1) e 2) σ max e σ min 3) e 4) Il valor medio σ m e l ampiezza σ a 2 dell onda di tensione σ m = σ max + σ min 2 σ a = σ max σ min 2 5) Il rapporto di tensione R R = σ min σ max In base ai valori dei precedenti parametri si distinguono prove: alterno simmetriche se σ min = σ max e quindi σ m = 0 ed R = 1; alterno asimmetriche se σ min σ max ; in questo caso si ha 1 < R < 0 se il carico prevalente è di trazione e R < 1 se il carico prevalente è di compressione (tali ultime prove sono però poco usate). dallo zero se σ min = 0 e quindi R = 0 (poco usato il caso a compressione σ max = 0, R = ), pulsanti se σ min e σ max hanno lo stesso segno (quasi sempre si effettuano prove in trazione per cui essi sono positivi); si ha 0 < R < 1 se sono di trazione e r > 1 se sono di compressione. 1 la tensione di cui qui si parla è quella nominale, ossia non si tiene conto dell effetto di intaglio né tanto meno della contrazione laterale. 2 L ampiezza viene indicata in alcuni testi italiani (tra cui il Manna) con σ. Tale uso non è raccomandabile visto che di solito l operatore indica una differenza e non una semidifferenza: se ne veda l uso corretto più avanti in questo capitolo. 11-1

112 Lo stesso dicasi mutatis mutandis 3 se la tensione variabile è una tensione tangenziale. La forma d onda non ha importanza, per cui di solito essa viene scelta secondo l opportunità (sinusoidale o a onda trapezia o triangolare o altro); neppure la frequenza è importante per cui si utilizza la frequenza più alta permessa dalla macchina. In base al tipo di sollecitazione si distinguono prove a trazione-compressione, a flessione statica, a flessione rotante e a torsione alternata. Le macchine utilizzate sono delle normali macchine di prova universali (in questo caso la frequenza delle alternanze è al massimo sui 10 Hz) o macchine speciali dette vibrofori, fondate sulla risonanza di un sistema massa-molla (frequenza fino a 500 Hz). Per le prove di flessione rotante basta un semplice asse in rotazione, mosso da un motore elettrico, facendo eventualmente uso di un moltiplicatore di giri (tanto, la potenza assorbita è trascurabile) Aspetto della rottura per fatica La rottura per fatica si presenta suddivisa in due parti, l una liscia, di forma semicircolare, quasi sempre dotata di striature concentriche e l altra irregolare come una rottura fragile. La prima corrisponde all avanzamento stabile della cricca, la seconda alla rottura finale di schianto (avanzamento instabile). Non vi sono mai segni evidenti di strizione, nemmeno nei materiali più duttili. L innesco è sempre sulla superficie libera; in genere quella esterna, ma anche sulla superficie di porosità o soffiature interne, mai vi è innesco da un punto interno non precedentemente lesionato Studio del comportamento a fatica Si riassume nel diagramma del Wöhler 4 (fig. 11.1), che porta in ascisse il logaritmo del numero dei cicli a rottura e in ordinate il logaritmo della σ a. Ogni diagramma è tracciato per un valore particolare di σ m ma in pratica quello più usato è quello con σ m = 0. Ogni punto del diagramma rappresenta un provino. I punti si trovano sparpagliati su due fasce, una decrescente e l altra orizzontale posta sul proseguimento della prima per alti valori del numero di cicli. La notevole dispersione è dovuta al fatto che la fase di nucleazione della cricca dipende da molti fattori oltre che dal carico; la fase di propagazione è invece assai più deterministica ma incide poco sulla durata totale. Con metodi statistici si tracciano sul diagramma due linee, una inclinata e l altra orizzontale, corrispondenti alla mediana delle due fasce; la prima è relativa alla resistenza a fatica finita e la seconda alla resistenza a fatica infinita (limite di fatica). Talvolta si traccia anche una terza retta per bassi valori del numero di cicli, corrispondente alla fatica oligociclica, che non tratteremo. L ordinata della retta orizzontale viene detto limite di fatica indicato con σ L (σ m ). se σ m = 0 il limite si indica con σ La. Per alcuni materiali, in particolare per le leghe leggere (leghe di alluminio) il limite di fatica è molto basso e viene raggiunto per valori altissimi di N, cioè di Il diagramma di σ L in funzione di σ m si chiama diagramma di Haigh-Soderberg. Esso si presenta con la concavità rivolta verso il basso. Nel primo quadrante si approssima con una retta passante per i punti A(0, σ La ) ed R(σ R, 0). La costruzione del diagramma di Haigh-Soderberg a partire da una serie di diagrammi di Wöhler, ottenuti a diversi valori del precarico, è mostrata in fig Nella succesiva fig 11.3 si vede il passaggio dai punti sperimentali (ciascuno rappresentante il limite di fatica per un diagramma di Wöhler) ad una serie di curve approssimanti. Quella da noi usata sarà la retta di Goodman (linea 1 del diagramma) 3 absit iniuria verbis 4 A. Wöhler (Soltau Hannover 1914), della provincia di Hannover, ingegnere ferroviario, pioniere degli studi sulla fatica. 11-2

113 Figura 11.1: Diagramma del Wöhler per leghe Fe-Ni. A - Strutture cubiche a corpo centrato. B - Strutture cubiche a facce centrate 1 - Fe-10% Ni, temprato 2 - Fe-3% Ni-0.5% Ti 3 - Ni 4 - Ni-15% Fe. Da Ferro e Montalenti, Lo stesso contenuto di informazione è presente nel diagramma di Goodman-Smith (fig. 11.4), nel quale sono tracciate le linee di σ max limite = σ m + σ L (σ m ) e σ min limite = σ m σ L (σ m ) in funzione di σ m. Questo diagramma è però più complesso per cui non sarà utilizzato in questo corso. Nel diagramma di Haigh-Soderberg si rappresenta un carico di fatica mediante un punto; se questo cade al disotto della linea di resistenza a fatica vuol dire che l organo sottoposto a quel carico non si rompe per fatica. Nel seguito, lo studio della fatica sarà suddiviso in tre capitoli che seguono l evoluzione storica dell argomento: dapprima considereremo il caso della resistenza a limite di fatica, che ipotizza una durata infinita del pezzo; nel secondo il caso della resistenza a fatica, che tollera una durata finita e se ne sforza di calcolare i parametri; nel terzo la propagazione della cricca di fatica, che ammette che un pezzo possa essere originariamente difettato, ma che sia ancora conservato in opera. 11-3

114 Figura 11.2: Costruzione del diagramma di Haigh-Soderberg. Qui è mostrata la costruzione della linea N = cost. = 10 5, ma ovviamente il procedimento è lo stesso anche per la curva limite di fatica. Figura 11.3: Diagramma di Haigh-Soderberg semplificato secondo varie procedure: 1 - retta di Goodman; 2 - retta di Soderberg; 3 - parabola di Gerber; 4 - curva di Smith, usata per materiali fragili 11-4

115 Figura 11.4: Diagramma di Goodman-Smith 11-5

116 Figura 11.5: Esempio del metodo Staircase Metodo Staircase Il metodo Staircase per la determinazione del limite di fatica prevede di avere a disposizione un certo numero di provini (minimo 15), provenienti dallo stesso lotto (stesso materiale, stessa lavorazione, eccetera), da provare uno dopo l altro. Un provino si considera sopravvissuto se supera senza rompersi un certo numero di cicli previamente stabilito N, diciamo N = L intervallo di tensione 5 in cui presumibilmente cade il limite di fatica viene suddiviso in un certo numero di livelli; nella figura 11.5 il passo, o differenza tra i livelli σ vale 23 MPa, per cui i valori ai quali si effettuano le prove sono 617, 640, 663 e 686 MPa. Nella figura 11.5, che è chiaramente un esempio, sono stati provati solo 10 provini. Il primo, provato a 286 MPa, si rompe prima di N, per cui la prova successiva scende di un passo; il secondo e il terzo pure si rompono prima di N, per cui sempre si scende di un passo; il quarto supera N, per cui il successivo (il quinto) sarà provato ad una tensione più alta di un passo, e così via, con la regola generale: Se il provino n-esimo, provato alla tensione σ n sopravvive, il provino n + 1-esimo sarà provato ad una tensione più alta di un passo, ossia a σ n + σ; se il provino n-esimo si rompe, il provino n + 1-esimo sarà provato ad una tensione più bassa di un passo, ossia a σ n σ. Terminate le prove inizia l elaborazione statistica dei risultati, che seguiremo in riferimento all esempio visto. Si costruisce innanzitutto la tabella dei valori di tensione e per ciascuno di essi il numero di provini rotti e sopravvissuti, e se ne fa la somma tensione rotti sopravvissuti Totale 6 4 Siccome il gruppo in minoranza è quello dei sopravvissuti, l analisi viene effettuata con riferimento ad essi. Il loro totale è indicato con N, quindi in questo caso N = 4. Si numerano i passi in ordine crescente, tramite la variabile i, che è posta obbligatoriamente uguale a zero per il passo più basso, ad 1 per quello successivo, eccetera. Si moltiplica il numero di provini per i (e, somamndo, si ottiene la variabile A) e per i 2 (e, sommando, si ottiene la variabile B), per cui si ottiene la tabella seguente: 5 trattandosi di prove di fatica, si intende qui per tensione la σ a, mentre la σ m rimane la stessa per tutti i provini. 11-6

117 Il valore del limite di fatica è: tensione sopravvissuti i ni ni Totale N = 4 A = 4 B = 6 ( ) A σ L = σ 0 + σ N ± 0.5 in cui si sceglie il segno + se gli eventi meno frequenti sono le sopravvivenze, come in questo esempio, e il segno se gli eventi meno frequente sono le rotture. Il valore numerico per questo esempio è ( ) 4 σ L = = 651.5; la stima della deviazione standard è ( ) NB A 2 Dev Stand(σ L ) = 1.62 σ N ; l inusuale notazione Dev Stand per indicare la deviazione standard, invece della consueta σ, è dovuta al fatto che la lettera σ in queste dispense indica la tensione. Il suo valore numerico per questo esempio è ( ) Dev Stand(σ L ) = = L incertezza media (deviazione standard della media) dovrebbe essere il valore precedente diviso per N, ma Dixon e Mood, autori del metodo, assegnano la formula Err(σ L ) = G Dev Stand(σ L) N0 in cui N 0 è il numero totale dei provini ed il fattore correttivo G va preso da una figura del lavoro originale, che qui non viene riportata, in quanto ci si accontenterà di porre G = 1. Nel nostro esempio Err(σ L ) = = 6.2 Il valore del limite di fatica sarà quindi scritto: σ L = 652 ±

118 Fattori che influenzano la fatica Sono l effetto d intaglio, l effetto finitura superficiale e l effetto grandezza. L effetto d intaglio si riassume nel fatto che il comportamento a fatica di provini intagliati è peggiore di quello dei corrispondenti provini non intagliati, ovviamente a parità di forze applicate e di sezione minima. Si ha infatti un abbassamento del limite di fatica anche se il carico di rottura non varia (per materiali duttili). Il rapporto K f = σ La(non intagliato) σ La (intagliato) prende il nome di fattore d intaglio a fatica e si può ovviamente ricavare sperimentalmente, anche se di solito si determina con la formula (1 K f ) = q(1 K t ) in cui K t è il fattore teorico d intaglio, ed è un fattore solo geometrico, per il quale si veda l apposito capitolo, e q è la sensibilità all intaglio, che è una caratteristica del materiale. La sensibilità all intaglio si trova nell apposito abaco (fig. 11.6) in funzione della σ R, o meglio della durezza Brinell HB che ad essa è proporzionale, e del raggio ρ in gola all intaglio. Figura 11.6: Sensibilità all intaglio q in funzione del raggio ρ di gola dell intaglio per acciai con varie durezze Brinell (HB), secondo il metodo di Neuber-Kuhn. Questo abaco, che essenzialmente deve essere ritenuto sperimentale, può essere interpretato in termini della teoria di Neuber dell intaglio limite, secondo la quale 1 q = 1 + ρ /ρ essendo ρ una proprietà del materiale a sua volta funzione del carico di rottura (fig 11.7). Il significato fisico della teoria di Neuber è che un intaglio di raggio inferiore a ρ viene visto dal materiale come uno spigolo acuto (di raggio nullo), per cui per esso cade in difetto la consueta 11-8

119 Figura 11.7: Parametro di Neuber ρ in funzione della tensione di rottura di acciai. trattazione della teoria elastica e occorre procedere a considerazioni energetiche, come si era fatto per la meccanica della frattura. Gli altri due effetti che influenzano la fatica, effetto grandezza ed effetto finitura superficiale, sono espressi da appositi fattori, indicati rispettivamente con C D e C S, che si ricavano da appositi abachi (figg 11.8 e Questi ultimi sono solo sperimentali e non se ne conoscono formule interpolanti. L effetto finitura superficiale è legato alla rugosità 6 della superficie e si ritiene originato dai microintagli che gli utensili lasciano alla superficie del pezzo. L effetto grandezza è invece probabilmente dovuto al fatto che ad un pezzo più grande corrisponde una maggiore superficie e questa ad una maggiore probabilità che vi sia già presente un microintaglio o un difetto superficiale. 6 Dicesi rugosità (qualche volta scabrosità) l insieme degli scostamenti tra superficie reale di un pezzo e la superficie matematica definita dal suo disegno. Dal punto di vista tecnico la rugosità si misura in base agli scostamenti tra superficie rilevata (ossia misurata con un palpatore di raggio mm) e superficie tecnica (misurata con un palpatore di raggio 25 mm). I palpatori devono scorrere su una linea il più posibile perpendicolare alla direzione prevalente dei solchi e delle creste della superficie reale. Si definisce linea media la linea di compenso tra sporgenze e rientranze della superficie rilevata (misurata parallelamente alla superficie tecnica), mentre la rugosità è la media degli scostamenti in modulo rispetto alla linea media: L R a = 1 L 0 y dx. 11-9

120 Figura 11.8: Coefficiente C S di finitura superficiale 11-10

121 Figura 11.9: Coefficiente C D di effetto grandezza Trattamenti di rullatura e di pallinatura Sono due trattamenti superficiali volti a innalzare il limite di fatica, ma usati anche nel campo della durata finita per migliorare la resistenza a fatica. Il trattamento di rullatura consiste nel lisciare la superficie dei pezzi cilindrici tramite la forte pressione esercitata da tre rulli disposti simmetricamente. L effetto benefico è dovuto soprattutto al fatto che si generano in superficie delle tensioni residue di compressione che tendono a chiudere le eventuali cricche di fatica che si dovessero formare, o perlomeno ad ostacolarne la propagazione. Il trattamento di pallinatura consiste nel colpire la superficie del pezzo, in questo caso di forma qualsiasi, con una pioggia di palline di acciaio indurito, in genere trascinate da un getto di aria compressa. Anche in questo caso si fa affidamento sulle tensioni residue generate nei microcrateri di impatto; gli incrementi della resistenza a fatica possono essere anche del 100%, nel caso delle molle. I pallini hanno diametro da 0.2 a 2 mm e sono di acciaio per i pezzi di acciaio e di ghisa per quelli di lega leggera. A differenza della rullatura non è limitata a pezzi di forma cilindrica, per cui, oltre che per le molle è molto usata per i denti degli ingranaggi e per i cordoni di saldatura Resistenza a limite di fatica Determinazione del coefficiente di sicurezza Il progetto e la verifica per una durata infinita del pezzo riguardano solo i materiali per i quali esiste un chiaro limite di fatica. Lo scopo è verificare che sotto il dato carico il pezzo non si rompa, e determinare un coefficiente di sicurezza contro il raggiungimento del limite di fatica. Tale determinazione si fa, per mezzo del diagramma di Haigh-Soderberg semplificato, in questo modo (fig ): detto P il punto rappresentativo del carico, O l origine e B l intersezione tra la 11-11

122 Figura 11.10: Determinazione del coefficiente di sicurezza in un diagramma di Haigh-Soderberg semplificato retta OB e la linea del limite di fatica il coefficiente di sicurezza s è dato da s = OB OP. Se poi la linea del limite di fatica è la retta AR si può scrivere la sua equazione segmentaria prendendo per punto generico proprio il punto B che per la definizione data di coefficiente di sicurezza ha per coordinate (sσ m, sσ a ), per cui σ m σ R + σ a σ La = 1 s (1) Questa espressione, in cui l incognita è s ed è perciò una formula di verifica, si scrive in forma più generale tenendo conto dei fattori che influenzano la fatica nel seguente modo: K s σ m σ R + K f σ a C D C S σ La = 1 s (2) In cui il coefficiente di intaglio a rottura statica K s vale K s = K t per materiali fragili K s = 1 per materiali duttili Nel caso in cui a variare sia la tensione tangenziale τ invece della tensione normale σ vale l analoga della (2) ossia K s τ m + K f τ a = 1 (3) τ R C D C S τ La s Per la determinazione di τ R e τ La spesso non si procede con apposite prove, ma si tiene conto del fatto ampiamente sperimentato per cui per materiali fragili τ R = σ R 2 ; τ La = σ La

123 per materiali duttili τ R = 1 3 σ R ; τ La = 1 3 σ La Il valore di K t nel caso in cui si adopera la (3) (sollecitazione a taglio o a torsione) è in genare diverso da quello che si adopera nella (2) (sollecitazione a sforzo normale o a flessione). Nel caso vi siano variazioni sia di σ che di τ, ma senza precarico e senza effetti che influenzano la fatica vale la formula di Gough e Pollard ( σa σ La ) 2 ( ) 2 τa + = τ La ( ) 2 1 s Nel caso in cui vi siano precarichi ed effetti che influenzano la fatica si estrapola la formula di Gough e Pollard calcolando due coefficienti di sicurezza, s σ e s τ rispettivamente relativi alle sole tensioni normali e alle sole tensioni tangenziali usando le (2) e le (3), e poi si ottiene il coefficiente di sicurezza con la formula ( ) 2 ( ) = s σ s τ ( ) 2 1 (4) s Quest ultima espresione vale anche nel caso di sollecitazione statica con presenza di sforzi normali e tangenziali; se si trascura la presenza dell intaglio si ha infatti nel caso statico (particolarizzando le (2) e (3) e scrivendo σ m = σ e τ m = τ) ( σ σ R ) 2 ( ) 2 τ + = τ R ( ) 2 1. s Considerando che, applicando il criterio di Huber-Hencky-Mises si ha τ R = σ R / 3, mentre, applicando il criterio della massima tensione tangenziale si ha τ R = σ R /2, e ricordando che σ c = σ R /s, si riottengono le note espressioni σ c = σ 2 + 3τ 2 per il criterio di Huber-Hencky-Mises e σ c = σ 2 + 4τ 2 per il criterio della massima tensione tangenziale. All autore di queste righe pare incredibile che nei manuali di uso più corrente non venga trattato in maniera esplicita uno dei casi più fondamentali, forse il più fondamentale in Ingeneria Meccanica, quello di un albero soggetto a flessione rotante e con torsione costante per lunghi tratti ma che ogni tanto si azzera; è il caso di un albero di riduttore, di una linea d assi navale, di una trasmissione con alberi lunghi, e insomma di tutti quei casi in cui la potenza trasmessa non è dl tutto costante ma è soggetta a variazioni, per cui allo stesso modo si comporta il momento torcente. Il Peterson, comunque, nel suo Stress Concentration Factors (1973), riporta una formula (la sua [38], pag. 18), diversa nella forma, ma in realtà sostanzialmente identica alla mia (4), con il seguente commento, che traduco come mi riesce: Ê necessario ulteriore lavoro sperimentale in questo campo delle combinazioni di carichi particolari, specialmente nel caso in cui ci sia l effetto aggiuntivo della concentrazione di tensione. Nel frattempo, mentre appare che l uso della [38] (che, ripeto, è la mia (4)), può essere eccessivamente cautelativa in certi casi di flessione alternata più torsione statica, si ritiene (it is believed) che la [38] fornisca una ragionevole regola generale di progettazione

124 in cui La formula citata è 1 n = 1 [(σ0d /σ y ) + (σ 0b /L b σ y ) + (K tf σ a /σ f )] 2 + 3[(τ 0 /L s σ y ) + (K tf τ a /σ f )] 2 σ 0d è il precarico o tensione media in trazione, σ 0b è il precarico o tensione media in flessione, σ a è la tensione alternata in trazione o in flessione (o la somma delle due), σ y è la tensione di snervamento, σ f è il limite di fatica alterna simmetrica, L b è il rapporto tra il carico flessionale necessario per produrre il completo snervamento della sezione rispetto a quello necessario per produrre uno snervamento incipiente, L t è il fattore analogo per il carico torsionale, τ 0 è il precarico o tensione media in torsione, τ a è la tensione alternata in torsione, K tf e K tsf sono i fattori teorici di intaglio rispettivamente in trazione o flessione e in torsione Come si vede, con varianti che risultano numericamente piccole c è una perfetta rispondenza con la nostra (4). In particolare, qui i rapporti L b ed L t non sono considerati, ma in compenso si assume come limite la tensione di rottura invece che quella di snervamento Osservazioni critiche La costruzione adottata nel paragrafo precedente (fig ) suppone che, dato un certo carico, si esca dal dominio di sicurezza relativo alla durata infinita del pezzo grazie ad una variazione della sollecitazione che faccia aumentare il precarico proporzionalmente al carico alternato. Questa assunzione convenzionale è preferita da molti autori sia per la sua semplicità sia per il vasto numero di possibili applicazioni. Il caso in cui questa assunzione è rigorosa è quello in cui sia la σ m che la σ a dipendono da un unica forza e sono pertanto ad essa proporzionali. Ciò non toglie che sempre di una convenzione si tratta e che ogni volta che sia possibile indagare più esattamente sulle possibili cause di aumento del carico ciò debba essere fatto. Ad esempio, se ci sono tensioni residue, come nel caso di un recipiente autocerchiato (vedi appresso) solo un aliquota del carico medio risulta proporzionale alla forza esterna, nel nostro caso alla pressione nel recipiente, mentre la tensione alternata è senz altro proporzionale ad essa. Un altro caso è quello in cui il precarico sia costante e solo l ampiezza sia proporzionale ad una forza esterna; questo caso è piuttosto comune nel caso di flessione rotante, in cui di solito il precarico è nullo. È ovvio che il progettista deve considerare quale di questi casi effettivamente si verifica nell organo che sta studiando, e modificare opportunamente il procedimento sopra esposto adattandolo al caso che più da vicino rappresenta la realtà. Non ci si deve meravigliare se in alcuni casi occorra adoperare concetti probabilistici. Il grado di sicurezza calcolato con la (3) appare troppo pessimistico. Infatti, come affermato da vari autori (il Manuale dell Ingegnere, 80.a edizione, cita Smith, Univ. of Ill. Bull., 334,1942) il limite di resistenza a fatica a torsione, in funzione della torsione media (precarico) non cambia sensibilmente e risulta quindi sempre assai prossimo al limite di resistenza a fatica alternata a 11-14

125 torsione. Per questo motivo il grado di sicurezza si può ricavare per via grafica da una curva bilatera, o. a vantaggio di sicurezza, dedurre per via analitica dalla parabola di Gerber. In questo caso, la parabola di Gerber si scrive ) ] 2 τ L = τ La [1 ( τm le cui proprietà si studiano meglio scrivendola con lettere più usuali ( y = y 0 [1 1 x ) ] 2 ; x R si vede subito che è una parabola il cui asse è verticale e coincide con l asse delle ordinate, e le cui intersezioni con gli assi sono x R ed y 0, mentre la sua derivata vale per cui all intersezione con l asse x essa vale τ R y = 2 y 0 x, x R x r y = 2 y 0 x R. Siccome y 0 x R /2, ivi la derivata vale circa 1. La lieve differenza può essere trascurata, perché cade in una zona del diagramma non utilizzata per fini tecnici. Il grado di sicurezza viene qui definito come s = OB OP, però adesso il punto B giace sulla parabola di Gerber. Se le coordinate di P sono (τ m, τ a ), quelle di B sono (sτ m, sτ a ); imponendo l appartenenza di questo punto alla parabola si ottiene l equazione in s [ ( ) ] 2 sτ L = τ La 1 s 2 τm τ R che, riordinata dà luogo ad un equazione di secondo grado in s; risolvendola si ottiene s = τ a + τa 2 + 4τ La τm/τ 2 R 2 2τ La τm/τ 2 R 2. È da notare che τ a è sempre positivo, per cui davanti alla radice si deve prendere solo il segno positivo, perché il segno negativo darebbe luogo ad un grado di sicurezza negativo e quindi privo di significato. Se si adotta come linea di sicurezza la retta di Goodmann, si ottiene τ m τ R + τ a τ La = 1 s che fornisce un valore più piccolo del grado di sicurezza. Si vedrà ciò con un esempio. Sia τ R = 600 MPa, τ La = 6300 MPa, τ m = 100 MPa, τ a = 150 MPa; se si adotta come linea di sicurella la retta di Goodmann si ha = = ; 11-15

126 se invece si adotta la parabola di Gerber si ha s = /600 2 = Pure valendo la regola generale che il grado di sicurezza da scegliere deve essere il più piccolo, pare a chi scrive che l adozione della retta di Goodmann sia troppo restrittiva, e che quindi la parabola di Gerber, pur fornendo un valore più grande del grado di sicurezza, sia più vicina alla realtà Resistenza a fatica (vita finita) Determinazione dl numero di cicli a rottura Riguarda i carichi per i quali si prevede una vita finita; si tratta in effetti di prevedere la durata attesa di un organo soggetto a carichi di fatica. Questa impostazione è obbligatoria per i materiali che non presentano un limite di fatica. La chiave di questo procedimento è il calcolo del numero di cicli che portano a rottura il pezzo sotto l azione di un certo carico, qualora questo sia superiore a quello corrispondente al limite di fatica. Si consideri innanzitutto il caso di mancanza di precarico (ciclo alterno simmetrico) e si parta da un approssimazione al diagramma di Wöhler, che si ottiene ammettendo che la durata sia di 10 3 cicli per σ a = 0.8σ R e di 10 6 cicli per σ a = σ La. Oltre i 10 6 cicli la curva del Wöhler diventa una retta orizzontale. La prima parte di tale diagramma semplificato (N < 10 3 ) è quello relativo alla fatica oligociclica che qui non sarà trattata, la seconda (10 3 < N < 10 6 ) è quella della resistenza a durata e la terza ( σ < σ a ) è quella della resistenza a fatica infinita. La curva del Wöhler relativamente al tratto della resistenza a durata è espressa dalla formola ovvero σ 0 = (0.8σ R) 2 N b σ La ( ) 1/b σ 0 σ La N = (0.8σ R ) 2 (6) essendo b = 1 3 log 0.8σ R σ La. Se il materiale non presenta limite di fatica si può per esempio prendere le ampiezze di carico corrispondenti a 10 3 e 10 6 cicli e scrivere ovvero N = σ 0 = σ N b σ 10 6 ( σ 0 σ 10 6 σ ) 1/b (6 ) essendo b = 1 3 log σ σ 10 6 Se il pezzo è sottoposto a precarico la σ 0 si calcola in funzione del precarico e dell ampiezza usando il diagramma di Haigh Soderberg. In esso (fig 11.10), nella zona superiore a quella della 11-16

127 Figura 11.11: Diagramma di Haigh Soderberg per acciai 2024-T3, 2024-T4 e 2014-T6, provini non intagliati. σ R = 75 ksi, σ s = 52 ksi per il 2024 e 63 ksi per il Carico assiale. retta relativa al limite di fatica si tracciano tante curve, che nella consueta approssimazione diventano rette, che passano per il punto R di coordinate (σ R, 0). Quindi per ogni condizione di carico che è rappresentata dal punto Q di coordinate (σ m, σ a ), si traccia la retta QR e si prolunga fino all asse verticale nel punto N di ordinata σ 0. Questa rappresenta il carico alterno simmetrico che equivale al carico dato nel senso che dà luogo alla medesima durata. Scrivendo l equazione segmentaria della retta RQN si ha σ m σ R + σ a σ 0 = 1, che, in presenza dei fattori che influenzano la fatica diventa K s σ m σ R + K f σ a C D C S σ 0 = 1 (7) Si ricorda che in tutte queste espressioni l incognita è la σ 0 che poi va introdotta nella (6) per trovare N. La procedura precedente risulta grandemente semplificata se si hanno diagrammi sperimentali del tipo di quelli di figg e Esempio Sia dato un organo di macchine realizzato in materiale duttile con σ R = 600 MPa sottoposto a carico di fatica con σ La = 300 MPa K f = 1.8 C D = C S = 0.9 σ m = 200 MPa 11-17

128 Figura 11.12: Diagramma di Haigh Soderberg per acciaio 7075-T6, provini non intagliati. σ R = 82 ksi, σ s = 70 ksi Allora, dalla (7) ed, essendo, b = 0.068, si ha N = σ a = 100 MPa σ 0 = K f σ a C D C S 1 1 σ m /σ R = 333MPa Esercizio: albero in flessione rotante Risulta : D = [ 32M f K f σ La π(0.8σ R ) 2 N b ] 1/3 Se la progettazione è fatta a limite di fatica basta porre N = Fatica cumulativa Nello studio della resistenza a fatica finita si tiene spesso conto della presenza di cicli con caratteristiche diverse, per esempio con diverso σ a e σ m. Se un pezzo è sottoposto a n 1 cicli con σ m1 e σ a1 ai quali corrisponde una vita totale N 1, poi a n 2 cicli con σ m2 e σ a2 ai quali corrisponde una vita totale N 2 eccetera, il pezzo si rompe o no a seconda che la somma n 1 N 1 + n 2 N n m N m sia maggiore o minore di 1. Questa regola è detta di Palmgren-Miner o dell accumulo lineare del danno di fatica. La regola di Palmgren-Miner viene scritta anche in termini di carico equivalente; se la (6) si scrive facendo comparire l ampiezza di carico si ha: 11-18

129 ni σ 1/b 0i N i n i = σeq 1/b ni σ eq è quell ampiezza di tensione che procura lo stesso danno dei blocchi di carico effettivi. Sia ha in definitiva σ m σ eq = m 0i ni con m = 1/b. Nel caso di precarico non nullo la σ 0 si calcola con la (6) o la (7) Propagazione delle cricche di fatica La formazione delle cricche di fatica è ancora argomento non del tutto compreso; si ritiene che alcuni grani posti sulla superficie del pezzo possano essere in condizioni più sfavorevoli di altri, a causa della particolare orientazione del loro reticolo cristallino, sicché diventano sede di numerosi movimenti di dislocazioni che portano allo slittamento di interi piani cristallini rispetto ai piani vicini. Questi movimenti provocano delle irregolarità superficiali con formazione di sporgenze e rientranze, nelle quali ultime si origina la cricca per effetto d intaglio. Comunque, la durata della fase iniziale, detta di nucleazione non può essere prevista e da questo nasce la forte dispersione delle durate delle prove a fatica; invece la fase seguente, detta di propagazione, è del tutto deterministica (fig 11.13). Figura 11.13: Crescita della cricca di fatica per due provini di acciaio 18/8 austenitico in lastre, testati a 124 ± 62 MPa. Da Frost, La figura evidenzia il carattere deterministico della cresita della cricca di fatica, a contrasto col carattere aleatorio della fase di nucleazione. La propagazione della cricca di fatica è una propagazione stabile, detta così per differenziarla dalla propagazione instabile studiata in meccanica della frattura. La crescita della cricca è energeticamente sfavorita e può avvenire solo per la presenza delle forze esterne variabili, dal lavoro delle quali viene prelevata l energia necessaria

130 La cricca in assenza di forze è chiusa; quando le forze sono di trazione si allarga e si arrotonda all apice senza allungarsi; quando la forza diventa di compressione si richiude allungandosi. Tra le varie leggi proposte per prevedere la crescita della cricca di fatica, la più semplice è la legge di Paris a N = C Km in cui a è la crescita della cricca dopo N cicli K è la variazione del fattore di intensità degli sforzi a causa della sollecitazione di fatica, K = K max K min C e m sono costanti che dipendono solo dal materiale. La crescita stabile della cricca prosegue fino al raggiungimento della condizione di instabilità predetta dalla meccanica della frattura, dopo di che si ha la rottura di schianto. La forma più comoda della legge di Paris è a N = A ( K K 0 Dove K 0 è il valore di K per cui si raggiunge la velocità di propagazione A. Nella tabella sono dati i valori di K 0 per A = 10 6 mm ciclo 1. Secondo Tanaka e Matsuoka (1977) per tutti i materiali ferrosi si possono utilizzare i valori A = mm ciclo 1 e K 0 = 36 MPa m 1/2 ; resterebbe così da conoscere il solo valore di m. Si veda la tab La legge di Paris può essere trattata come una ordinaria equazione differenziale se si vuole la legge di crescita della cricca col numero di cicli. Si ha da dn = A Km K m 0 ) m = A (σ max σ min ) m K0 m f m a m/2 dove f è un fattore numerico (vale ad esempio π per la lastra piana con fessura passante). Separando le variabili e integrando tra a 0 e a, cui corrisponde N = 0 e N N = a m 2 +1 a m 2 +1 ( 0 Km 0 m 2 + 1) A(σ max σ min ) m f m questa formula è valida per m 2; nel caso fosse m = 2 non è difficile arrivare a N = K 2 0 A(σ max σ min ) 2 f 2 ln a a 0 Se le curve di propagazione sono riportate in funzione di K/E esse risultano molto vicine (fig 11.14; tale correlazione è importante per supplire alla cronica mancanza di dati sperimentali. La legge di Paris non è rigorosamente valida. Infatti per valori di K minori di un valore di soglia K th la propagazione non avviene. Valori di K th per vari materiali sono riportati in tab Invece, per valori molto grandi di K può accadere che il K max sia maggiore del K Ic e in questo caso si ha ovviamente l inizio della propagazione instabile con conseguente rottura istantanea del pezzo. La condizione di sicurezza K max < K Ic implica naturalmente che K min < RK Ic 11-20

131 Tabella 11.1: Coefficienti della legge di Paris. Da Pook, Figura 11.14: Correlazione di curve di propagazione sulla base di K/E. Da Frost, Pook and Denton,

132 Tabella 11.2: Valori di K th. Da Pook, quindi K = K max K min < (1 R)K Ic Il valore (1 R)K Ic è perciò un limite per K. Per tenere conto dei due limiti, inferiore e superiore, della legge di Paris, sono state proposte leggi più complete, tra le quali sono utilizzate le seguenti: legge di Forman da dn = C K n (1 R)K Ic K che tiene conto solo del limite superiore della propagazione, Legge di Collipriest-Walker ( ) log da dn = C log(kic K th /(K max (1 R) m ) 2 ) 1 + C 2 arctan log(k Ic /K th ) che tiene conto di entrambi i limiti ma che è, come si vede, piuttosto complessa. Nelle leggi precedenti i parametri C, n, C 1, C 2 e m devono essere determinati sperimentalmente

133 12. Recipienti a parete sottile Studiando gli organi destinati a contenere fluidi (di solito pressurizzati), si parla di recipente se il diametro è grande rispetto alla lunghezza, di tubazione se la lunghezza è molto maggiore del diametro; inoltre nelle tubazioni il diametro è ragionevolmente piccolo. Tuttavia in questo corso non si farà questa distinzione, visto che dal punto di vista della resistenza meccanica i due tipi di organi sono retti dalle stesse leggi L elemento di membrana I recipienti a parete sottile sono quelli il cui spessore è sufficientemente più piccolo del diametro (per esempio un decimo o meno). Sono studiati nell approssimazione membranale, che consiste nel trascurare la componente radiale della tensione (che nei recipienti a grosso spessore risulta sempre di compressione), nonché gli sforzi flessionali. La teoria delle membrane si fonda dunque su questi due postulati: 1. Non vi sono sforzi normali σ su elementini di superficie paralleli al piano medio della membrana. (Ciò esclude la componente radiale della tensione); 2. Non vi sono sforzi tangenziali diretti normalmente alla superficie media, su elementini di superficie normali al piano medio della membrana, ovvero sulle sezioni radiali. Ciò esclude il taglio e quindi anche la flessione. Sono consentiti invece sforzi tangenziali diretti parallelamente al piano medio della membrana. In questo modo una membrana diventa l analogo bidimensionale di quello che in Fisica è il filo flessibile e inestensibile; la membrana può essere considerata come un tessuto di fili flessibili e inestensibili posti perpendicolarmente gli uni agli altri (si pensi agli involucri delle mongolfiere, che un tempo erano proprio di stoffa, magari impermeabilizzata). Ovviamente la direzione delle due famiglie di fili, che per definizione non si scambiano sforzi tangenziali, risulta da determinare. Per il postulato 1, una membrana non può resistere a forze perpendicolari al proprio piano se non in virtù della sua forma; in altri termini una membrana piana non può resistere a tali sforzi, ma può farlo solo una membrana curva. Una delle conseguenze di quanto detto è che lo stato di tensione in una membrana è bidimensionale e che uno degli assi principali è la normale alla superficie. Infatti un cubetto, tagliato nello spessore della membrana, tale che due sue facce siano parallele al piano medio della membrana non ha: Né sforzo normale, perché tale componente sarebbe radiale, e quindi si trascura per il postulato 1, Né sforzi tangenziali, perché questi si ritroverebbero, per la proprietà di simmetria delle tensioni tangenzionali, sulle sezioni radiali della membrana in direzione radiale, dove non ci possono essere, per il postulato 2. La stessa cosa può essere vista direttamente dai due postulati: infatti questi escludono ogni componente della tensione perpendicolare al piano medio, e quindi affermano che tutte le componenti delle tensioni devono giacere nel piano medio; questo diventa quindi il piano delle tensioni e quindi (per definizione) lo stato tensionale è piano. Nel seguito ci si limiterà alle sole membrane di rivoluzione, senza perdita di generalità, visto che i recipienti usuali sono sempre riconducibili almeno a un insieme di membrane di rivoluzione; per esempio una tubatura con dei gomiti si può ricondurre ad un insieme di tratti cilindrici e a un insieme di tratti torici. 12-1

134 12.2 Geometria dei recipienti di rivoluzione Una superficie di rivoluzione 1 si ottiene facendo ruotare una curva qualsiasi, detta generatrice, intorno ad una retta detta asse. La sezione della superficie con un piano contenente l asse è detto curva meridiana o semplicemente meridiano. Ovviamente nella pratica il meridiano coincide con la generatrice, ma vi sono dei casi in cui ciò non è vero, per esempio nel caso del iperbolide ad una falda, in cui la generatrice è una retta sghemba rispetto all asse e il meridiano è ovviamente un iperbole. Poiché il meridiano può fungere benissimo da generatrice, si intuisce che l intera superficie è determinata dalla forma del meridiano e che quindi dallo studio di questo si possono dedurre tutte le proprietà di quella. In particolare il meridiano è di solito una curva ben nota (una retta o una circonferenza, o simile), e se ciò non è, può sempre essere dato in coordinate cartesiane, in base ad un ascissa lungo l asse e un ordinata perpendicolare all asse. Nei recipienti di rivoluzione, in quanto membranali, lo stato di tensione è piano e uno delle direzioni principali è la perpendicolare alla superficie. Un altra direzione principale, in base a considerazioni di simmetria è quella meridiana, mentre la terza, perpendicolare ad entrambe, è detta direzione normale. Di grande importanza sono i seguenti tre raggi di curvatura: 1. Raggio di curvatura del parallelo r p, che è appunto la distanza tra il punto considerato e l asse, 2. Raggio di curvatura del meridiano r m, che si ottiene al solito modo, come raggio del cerchio osculatore al meridiano in quel punto, 3. Raggio di curvatura della normale r n che si ottiene prolungando la normale alla superficie fino ad incontrare l asse, e vale r n = r p sin θ L ultima relazione scritta va sotto il nome di teorema di Meusnier de La Place 2 L angolo θ, detto colatitudine, è quello tra la normale alla superficie e l asse di simmetria Equazioni di equilibrio Prima equazione di equilibrio (equilibrio locale) Per scrivere l equazione, costruiamo un opportuno elementino estratto dal mantello (parte metallica) del recipiente. Poniamoci anzitutto sulla superficie media del recipiente, e stacchiamo su essa un trapezoide tagliandola con due semipiani meridiani assai vicini (distanti dλ) e due piani paralleli molto vicini. Si ottiene così l elementino 1234 (fig. 12.1). Consideriamo anche un semipiano maridiano centrale (o di simmetria, o baricentrico), cioè che divide in due l angolo dλ, e un piano parallelo equidistante dai due appena considerati. L intersezione tra questi ultimi due definisce un punto P che farà da riferimento. Per meglio definire la posizione dei due piani paralleli si potrebbe usare la loro distanza lungo l asse, ma invece si preferisce introdurre la colatitudine θ; si veda in proposito la fig Dal punto P si consideri la perpendicolare alla superficie media, orientata verso l esterno (asse z); essa ovviamente giace sul piano meridiano, e quindi interseca l asse di simmetria, formando con esso un 1 o di rotazione, o semplicemente rotonda 2 Jean-Baptiste Meusnier de La Place, matematico, chimico e ingegnere (Tours, Magonza, 1793). Fu allievo di Monge, collaborò con Lavoisier nell esperimento sulla decomposizione dell acqua, progettò la macchina per la stampa degli assegnati e il primo dirigibile, fu generale dell esercito rivoluzionario e morì all assedio di Cassel. 12-2

135 Figura 12.1: Costruzione dell elementino sulla superficie media del recipiente. Figura 12.2: Costruzioni sul semipiano meridiano di simmetria dell elementino. 12-3

136 angolo θ (si può prendere l uno o l altro dei due angoli, perché di esso importa solo il seno), detto colatitudine. Tirando le analoghe perpendicolari anche da A e B, possiamo senza errore ipotizzare che le tre perpendicolari si incontrino nel punto C m, centro di cuvatura del meridiano, e che le due estreme formino un angolo dθ. Per definire l elementino tenendo conto anche del suo spessore, consideriamo i due coni di direttrici C n1 A e C n2 B; essi taglieranno il mantello formando le due faccette superiore e inferiore. L altezza dell elementino, data da uno qualsiasi dei tre archi AB, 14 o 23, è r m dθ, mentre come larghezza sarà considerata quella staccata sul parallelo medio, ossia l arco CD, ossia r p dλ. Le forze agenti sull elementino sono: 1. forze di pressione; 2. sforzi normali nella direzione degli archi di meridiano; 3. sforzi normali nella direzione degli archi di parallelo; tutte devono essere proiettate sull asse z e la somma eguagliata a zero. Esaminiamo ora in dettaglio il valore delle singole forze 1. forze di pressione Sono dovute alla p i rivolta verso l esterno (quindi positiva, perché concorde con l orientamento scelto di z) e alla p e rivolta verso l interno, entrambe moltiplicate per l area dell elementino, quindi questo termine vale (p i p e )r m dφ r p dλ. 2. sforzi normali nella direzione degli archi di meridiano Sulle due faccette coniche ci sono le due tensioni σ m, ciascuna delle quali forma con l asse z un angolo dθ/2, per cui il valore efficace delle due tensioni è 2σ m (sin dθ/2) e il termine, ottenuto moltiplicando la precedente per l area vale: ( 2σ m sin dθ ) sr p dλ 2 3. sforzi normali nella direzione degli archi di parallelo Ciascuno vale σ n sr m dθ (ossia tensione per spessore per lunghezza dell archetto) e giace sul piano CP D ivi formando col semipiano meridiano di simmetria un angolo dλ/2, per cui la loro risultante su di essa vale in modulo 2σ n ( sin dθ 2 ) sr m dθ, ed è diretto sulla retta P C p, per cui deve essere ulteriormente proiettato sull asse z moltiplicando (vedi fig. 12.2) per il fattore di proiezione sin θ, in cui il segno meno indica che la risultante è diretta verso l interno, per cui il terzo termine vale ( 2σ n sin dθ ) sin θsr m dθ

137 Sommando i tre contributi, sostituendo al seno degli angoli piccoli il valore dell argomento, e dividendo per i fattori comuni dλdθ si ha: (p i p e )r p r m σ m r p s σ n r m s sin θ = 0 da cui, dividendo tutto per r p r m s e ricordando che, per il teorema di Meusnier sin θ/r p = 1/r n, si ottiene: σ n + σ m = (p i p e ), (1) r n r m s detta equazione di Laplace Seconda equazione di equilibrio (equilibrio globale) Figura 12.3: Equilibrio globale in un caso particolare La seconda equazione si ottiene come equilibrio di una porzione di superficie contenente un polo, come in fig. 12.3, per cui σ m sin θ 2π r p s = Q + (p i p e ) π r 2 p in cui Q è la forza peso del recipiente e del fluido contenuto nel volume di controllo. Di solito peraltro il peso del recipiente si trascura e si considera solo quello del liquido. Semplificando opportunamente e ricordando che r n = r p / sin θ si ha: σ m = (p i p e ) r n 2 s + Q 2π r p s sin θ (2) Se il fluido è un gas si può trascurare il secondo addendo del secondo membro. Se la pressione esterna è quella atmosferica si pone p e = 0 misurando la p i come pressione relativa. Questa equazione ha validità limitata a elementi della stessa topologia di quello della fig. 12.3; per esempio non vale per un elemento torico, come si vedrà a suo luogo. 12-5

138 12.4 Applicazioni Recipienti per gas Per essi si trascurano il peso del fluido e quello del recipiente, per cui Sfera di raggio R In essa r n = r m = R per cui dalla (2) e, sostituendo nella (1) σ m = (p i p e ) r n 2 s σ m = pr 2s σ n = pr 2s per cui σ m = σ n cosa che del resto si poteva prevedere anche per considerazioni di simmetria Cilindro di raggio R con fondi di pezzo Ci si limita al solo studio della porzione cilindrica. Per essa r m =, r n = R. In questo caso le due equazioni (1) e(2) sono disaccoppiate e posono essere risolte separatamente. dalla (1) σ n = pr s (formula delle caldaie) dalla (2) σ m = pr 2s = σ n 2. Figura 12.4: Equilibrio del recipiente torico: a) notazioni geometriche; b - equilibrio di un elementino. 12-6

139 Recipente torico Sia dato il recipiente di fig. 12.4a, e se ne prelevi un elemento di rotazione come in fig. 12.4b. Si imponga l equilibrio alla traslazione verticale da cui Facendo intervenire la (1) pπ(r 2 p R 2 ) = σ m sin θ 2πr p s σ m = p rp 2 R 2 2 r p s sin θ = p 2 ( p σ n = r n s σ ) m = r ( p p r m sin θ s p r p + R ) = r p 2s r p sin θ r(r p + R). r p s p ( 1 r p + R ) = r p s 2r p sin θ p 2r p r p R = pr s 2r p 2s Siccome questa coincide con la tensione meridiana dei tubi cilindrici si può adoperare questa soluzione per lo studio dei gomiti Serbatoio conico per liquidi Definizioni figura 12.5: α è l angolo di semiapertura del cono. la colatitudine è: θ = 90 α H è l altezza del liquido rispetto al vertice del cono. h è l altezza della sezione studiata rispetto al vertice del cono. ρ è la densità del liquido. r m = r n = h tan α/ cos α Essendo 1/r m = 0, le due equazioni, di equilibrio locale e di equilibrio globale, sono disaccoppiate. La σ m si calcola mediante l equilibrio (globale) della parte di recipiente al di sotto dell altezza h. La σ n mediante l equazione di equilibrio locale. 1) per punti posti al di sotto del pelo libero Nell equazione di equilibrio globale, prendendo positive le forze verso l alto si ha: ( p i + p e )πr 2 p + σ m 2πr p s cos α Q = 0 in cui p i p e = ρg(h h) Q = 1 3 πr2 phρg per cui Per l equilibrio locale: σ m = ρgh(h 2 3h) tan α 2s cos α σ n = ρgh(h h) tan α s cos α 12-7

140 Figura 12.5: Recipiente conico per liquidi 2) per punti posti al di sopra del pelo libero L equazione di equilibrio globale è: σ m 2πr p s cos α Q = 0 in cui Q = 1 3 πr2 p,maxhρg in cui r p,max è il raggio del parallelo corrispondente al livello del liquido. Il risultato è: Dall equazione di equilibrio locale: σ m = ρg H 3 3 tan α 2hs cos α σ n = 0 Uguagliando a zero le derivate rispetto ad h, si trova che σ n è massimo per h = H/2 e vale ivi: σ n (H/2) = 1 tan α ρgh2 4 s cos α Invece σ m è massimo per h = 3H/4 e vale ivi: σ m (3H/4) = 3 tan α ρgh2 16 s cos α L andamento di σ m e σ n con h è mostrato in fig

141 Figura 12.6: Tensioni nel recipiente conico per liquidi 12-9

142 13. Recipienti a parete spessa 13.1 Equazioni di Lamé Si pone che lo stato tensionale sia funzione solo di r e inoltre che dσ z /dr = 0 dɛ z /dr = 0 (1) Le equazioni che occorrono sono: Equazione di equilibrio Equazione di congruenza. Saranno richiamete in seguito, ma di esse non si farà uso in quanto saranno sostituite dalla (1) scritta sopra. Legame tensione-deformazione (legge di Hooke, tradotta formalmente dalle equazioni di Navier) Equazione di equilibrio Si consideri un elementino come in fig e di altezza unitaria lungo z. Si dimostra che le direzioni r, θ e z sono direzioni principali, per cui sulle facce dell elementino non vi sono tensioni tangenziali. Se ne faccia l equilibrio alla traslazione lungo r (tutte le altre equazioni di equilibrio si riducono ad identità). Tale equazione si scrive: σ r rdθ + ( σ r + dσ r dr dr ) (r + dr) dθ 2σ t dr sin dθ 2 = 0 Innanzitutto si può identificare il seno col suo argomento; ciò comporta la comparsa di un dθ a fattor comune, che quindi si semplifica. Sviluppando il prodotto delle due parentesi si ottiene un termine finito σ r rche si semplifica col preesistente σ r r e un termine in dr 2 che si trascura in quanto infinitesimo di ordine superiore. Raccogliendo i termini in dr, eliminando il fattor comune dr e raccogliendo si ha: 1 dσ r dr = σ t σ r r Equazioni di congruenza Vedi fig Si considera diversa da zero una sola componente dello spostamento, ossia la u (le altre sono nulle per ragioni di simmetria). Risulta: ɛ r = du dr ɛ t = u r 1 Raccomando allo studioso lettore di fare effettivamente i passaggi e non accontentarsi di questa sintetica descrizione 13-1

143 Equazioni di Navier (legame tensione-deformazione) Si noti che rimangono formalmente identiche a quelle in coordinate cartesiane. Eɛ t = σ t ν(σ r + σ z ) Eɛ r = σ r ν(σ t + σ z ) Eɛ z = σ z ν(σ t + σ r ) Queste relazioni, che esprimono in sostanza la legge di Hooke, sono, secondo Franciosi, dovute al Navier (1821) Equazione differenziale della tensione Derivando rispetto ad r l ultima equazione di Navier si ha da cui Dalla equazione dell equilibrio si ricava subito Eliminando σ t dalle (1) e (2) si ha d dr (σ t + σ r ) = 0 r dσ r dr + 2σ r = 2C 1. Il primo membro di questa espressione è σ t + σ r = 2C 1 (1) r dσ r dr = σ t σ r. (2) cosicché separando le variabili 1 d(σ r r 2 ) r dr d(σ r r 2 ) = 2C 1 rdr Figura 13.1: Costruzione per l equazione di equilibrio. 13-2

144 Figura 13.2: Equazioni di congruenza per recipienti cilindrici di grosso spessore e integrando e ancora σ r r 2 = C 1 r 2 C 2, σ r = C 1 C 2 r 2 σ t = C 1 + C 2 r 2 Le due costanti C 1 e C 2 si ottengono imponendo le condizioni al contorno σ r = p i per r = r i In definitiva si ha σ r = p e per r = r e C 1 = p ir 2 i p er 2 e r 2 e r 2 i C 2 = (p i p e ) r2 i re 2 ri 2. Le espressioni di σ t e σ r sono dette equazioni di Lamé, che si scrivono per esteso: r2 e σ t = p ir 2 i p er 2 e r 2 e r 2 i σ r = p ir 2 i p er 2 e r 2 e r 2 i + (p i p e ) r2 i r2 e r 2 e r 2 i (p i p e ) r2 i r2 e r 2 e r 2 i 1 r 2 1 r

145 Per quanto riguarda σ z la procedura precedente non ci illumina; ragionando in termini di equilibrio globale si ottengono i due valori σ z = p ir 2 i p er 2 e r 2 e r 2 i valida per fondi di pezzo o flangiati sul mantello e σ z = 0 per fondi con tiranti. In quest ultimo caso però, poiché i tiranti sono pre-tesi mentre la spinta sui fondi dipende dalla pressione, la tensione del mantello può anche essere negativa. Anzi, un piccolo valore negativo della tensione è necessario per il corretto funzionamento delle guarnizioni. Un esempio dell andamento delle tensioni è dato nella fig cost st(r) sr(r) Figura 13.3: Diagramma delle tensioni in un recipiente di grosso spessore. In ascisse c è r/r e, in ordinata σ/p i ; la pressione esterna è nulla e r i /r e = Formule di progetto e di verifica Si studia il caso più comune p e = 0; in questo caso la pressione interna p i sarà indicata con p. Le tensioni nel punto più sollecitato, cioè a r = r i valgono σ t = p r2 i + r2 e r 2 e r 2 i 13-4

146 σ z = σ r = p { 0 per fondi con tiranti p r2 i r 2 e r2 i per fondi di pezzo La più grande delle tensioni è quella tangenziale, seguita da quella assiale e la più piccola è quella radiale (l unica negativa). Si ottengono varie formule di progetto e di verifica applicando vari criteri di resistenza. Nelle formule precedenti si porrà k = r e /r i. 1) Criterio della massima tensione si scrive che diventa σ t σ amm p 1 + k2 k 2 1 σ amm (σ amm p)k 2 (σ amm + p) 0. Siccome k può essere solo positivo la disequazione avrà soluzione solo se σ amm p > 0. L unico zero positivo del primo membro è la radice del rapporto cambiato di segno tra terzo e primo coefficiente; poiché il primo coefficiente è positivo la disequazione è soddisfatta solo per valori di k maggiori del suddetto zero. Per questo la soluzione è σamm + p k σ amm p. 2) criterio della massima deformazione σ t ν(σ r + σ a ) σ amm. A vantaggio di sicurezza si sceglie σ a nullo. Perciò il criterio si scrive che diventa p 1 + k2 k νp σ amm p(1 + k 2 ν + νk 2 σ amm (k 2 1) k 2 (σ amm (1 + ν)p) σ amm (1 ν)p 0. Svolgendo considerazioni analoghe a quelle fatte sopra si trova che la soluzione esiste solo se σ amm > (1 + ν)p e vale k σ amm + (1 ν)p σ amm (1 + ν)p. 3) criterio della massima tensione tangenziale 2 σ t σ r σ amm. 2 Questo criterio unisce la massima semplicità con un discreto accordo con i dati sperimentali. 13-5

147 diventa k 2 (σ amm 2p) σ amm 0 Svolgendo considerazioni analoghe a quelle fatte sopra si trova che la soluzione esiste solo se (σ amm > 2p) e vale σamm k σ amm 2p. 4) criterio di Hencky-von Mises 3 σ 2 t + σ 2 z + σ 2 r σ t σ z σ z σ r σ t σ r σ amm A vantaggio di sicurezza si tratta il caso dei fondi di pezzo (σ z = p/(k 2 1)). Dopo calcoli un po noiosi 4, si ha 3k 2 p k 2 1 σ amm La soluzione esiste solo se e vale k 2 (σ amm 3p) σ amm 0 σ amm > 3p σamm k σ amm 3p. 3è il criterio in maggior accordo con l esperimento, per materiali duttili. 4 svolti per voi dalla collega Paola Ammendola: Elevando al quadrato ambo i membri e sostituendo le espressioni delle tre tensioni la disequazione diventa: p 2 (k2 + 1) 2 (k 2 1) 2 + p2 + p 2 1 (k 2 1) 2 + p2 k2 + 1 k 2 1 p2 k2 + 1 (k 2 1) 2 + p2 1 k 2 1 σ2 amm Mettendo in evidenza al primo membro p 2 /(k 2 1) 2 : p 2 (k 2 1) 2 [ (k 2 + 1) 2 + (k 2 1) (k 2 + 1)(k 2 1) (k 2 + 1) + (k 2 1) ] σ 2 amm 13-6

148 13.3 Appendice al capitolo Equazione differenziale dello spostamento e sua integrazione Si ricorda che le equazioni inverse di Navier sono: eccetera, essendo Derivando la prima eq. inv. di Navier σ t = 2G ( ɛ t + G = ν 1 2ν e) E 2(1 + ν) e = ɛ t + ɛ r + ɛ z dσ r dr = 2G( dɛ r dr + ν 1 2ν de ) dr Sottraendo la prima eq. inv. di Navier dalla seconda e dividendo per r, σ t σ r r = 2G ( ɛ t ɛ r ) r Nelle due ultime espressioni i primi membri sono uguali per l equazione di equilibrio; sono dunque uguali anche i secondi membri, cioè dɛ r dr + ν de 1 2ν dr = ɛ t ɛ r (1) r Derivando ora le espressioni di ɛ t ed ɛ r prese dalle eq. di congruenza e ricordando che ɛ z è uniforme su tutta la sezione ossia non varia con r, si ha: de dr = dɛr dr + dɛt dr + dɛz dr = dɛr ɛt ɛr + 0 dr r confrontando con la (1) si ha de dr = 0 (2) che è l espressione cercata. Sapendo che dɛ z dr = 0 si ricava dalla (2) d(ɛ t + ɛ r ) = 0 (3) dr che si trova più spesso scritta in termini di spostamento Per l integrazione poniamo da cui quindi 1 du r dr u r + d2 u 2 dr = 0 2 d 2 u dr 2 u = r α du dr = αrα 1 = α(α 1)rα 2 α(α 1)r α r αrα 1 1 r 2 rα = 0 che, dividendo per r α 2 dà luogo ad un equazione algebrica in α la cui soluzione è α = ±1. La soluzione generale è quindi u = Ar B r. 13-7

149 Più facilmente, tornando alla (3) si integri una prima volta ɛ t + ɛ r = 2A e si passi allo spostamento ossia quindi e integrando ancora ossia Sostituendo nelle eq. di congruenza si ha u r + du dr = 2A 1 d(ur) = 2A r dr d(ur) dr = 2Ar ur = Ar 2 B u = Ar B r. ɛ t = A + B r 2 ɛ r = A B r 2 e poi e quindi le equazioni di Lamè. σ t = C 1 + C 2 r 2 σ r = C 1 C2 r

150 14. Recipienti per altissime pressioni I risultati del capitolo precedente dicono che la massima pressione a cui i recipienti a parete spessa possono lavorare è una certa frazione della tensione ammissibile (il 100 per cento secondo il criterio della massima tensione, il 50 per cento secondo il criterio della massima tensione tangenziale). Se è necessario superare queste pressioni occorre servirsi di recipenti di tipo particolare, cioè i recipienti cerchiati, autocerchiati e nastrati Recipienti cerchiati Sono costituiti da due cilindri forzati l uno dentro l altro. Il cilindro più interno funge da contenitore del fluido e quello più esterno serve da rinforzo. 1 Il calettamento deve essere tale da generare una pressione p c che agisce come pressione interna sul cilindro esterno e come pressione esterna sul recipiente esterno. Per effetto di questa si ha una redistribuzione delle tensioni che porta in conclusione ad uno scarico della parte interna e ad un sovraccarico del recipiente esterno. Il valore di p c deve essere determinato a priori in base alla pressione di esercizio e alla tensione ammissibile nel materiale, tenendo conto della detta redistribuzione. Il calcolo è facilissimo in quanto non si esce dalla fase elastica e quindi sono pienamente valide le formule di Lamé. Sia r i il raggio interno del cilindro interno, r e il raggio esterno del cilindro esterno e r c (raggio di calettamento) il valore nominale del raggio esterno del recipiente interno e del raggio interno del recipiente esterno. In realtà i due ultimi raggi sono diversi tra loro in quanto devono essere tali da costituire un montaggio con interferenza, ma la loro differenza rispetto al valore nominale, che sarà ora determinata, è percentualmente trascurabile (meno di un millesimo). In fase di esercizio il cilindro interno è soggetto alla pressione interna di esercizio p i e alla pressione esterna di calettamento p c ; il recipiente esterno è invece soggetto alla pressione interna di calettamento p c. Se si applica il criterio della massima tensione tangenziale occorre calcolare il valore σ eq = σ t σ r, che è massimo in corrispondenza dei due rispettivi raggi interni, ossia r i per il recipiente interno e r c per quello esterno. Per il primo vale (applicando le formule di Lamé) e per il secondo c 2 σ eq = 2(p i p c ) c 2 ri 2 r 2 e σ eq = 2p c re 2 c 2 Si deve verificare preliminarmente che nessuno di questi due valori ecceda quello ammissibile σ amm. Volendo si può ottenere un uguale grado di sicurezza per entrambi i cilindri eguagliando i due valori e così ottenendo p i p c =. 1 + r2 c e 2 r 2 c 2 i re 2 c2 Una volta conosciuta la pressione di calettamento occorrente si determini il valore dell interferenza necessaria per generarla. 1 Eventualmente il recipiente più interno può essere costituito da materiale diverso da quello esterno, per esempio da materiale resistente alla corrosione, se necessario. 14-1

151 Per effetto della pressione di calettamento p c si ha un restringimento del cilindro interno, in corrispondenza del raggio c, pari a u i = ɛ t c = c E (σ t νσ r ) Le due tensioni si calcolano con le formule di Lamé con p i = 0 (perché siamo in fase di calettamento). Quindi u i = p cc E σ t = p c c 2 + r 2 i c 2 r 2 i σ r = p c ( c2 + r 2 i c 2 r 2 i ) + ν Ovviamente u i risulta negativo perchè il cilindro interno si restringe. Per il cilindro esterno, ragionando analogamente u e = p ( cc c 2 + r 2 ) e E re 2 c 2 + ν Ciò corrisponde ad una allargamento del diametro. Affinchè si abbia il giusto calettamento l interferenza deve perciò essere δ = u i + u e = p ( cc c 2 + ri 2 E c 2 ri 2 + c2 + re 2 ) re 2 c 2 Quando si ha la messa in esercizio del recipiente, il cilindro interno è sollecitato dalla pressione interna di esercizio p i e dalla pressione di calettamento p c Recipienti nastrati Il recipiente nastrato funziona con lo stesso principio del recipiente cerchiato ma viene realizzato in maniera diversa. La pressione esterna sul cilindro destinato a contenere il fluido viene data dalla tensione di un nastro avvolto ad elica di piccolo passo. I recipienti realizzati secondo questo metodo constano di un anima cilindrica relativamente sottile sulla quale viene avvolto, con tensione prefissata, un nastro riscaldato. Quando esso si raffredda si contrae e sottopone a pressione esterna gli strati ad esso sottostanti ed in definitiva l anima metallica. L avvolgimento viene effettuato facendo ruotare l anima nel modo illustrato dalla figura La velocità di avvolgimento è di 4 5 metri al minuto. La temperatura del nastro prima dell avvolgimento è di gradi centigradi e dopo cinque o sei giri di avvolgimento viene bruscamente raffreddato, dapprima con un getto d aria e poi con un getto d acqua, in modo da ottenere la prescritta compressione sugli strati sottostanti. Prima del raffreddamento il mnastro è mantenuto aderente alla superficie del recipiente mediante rulli di pressione. La tensione del nastro è di circa 50 MPa. Non appena terminato l avvolgimento di un intero strato si procede alla saldatura dell estremità e si passa all avvolgimento dello strato successivo. Il recipente finito, ma ancora senza fondi, si presenta come in figura

152 Figura 14.1: Costruzione di recipienti nastrati. 1 - Rulli di compressione; 2 - Rulli di rotolamento; 3 - nastro di acciaio; 4 - Fornetto elettrico di riscaldo; 5 - Raffreddamento ad aria o ad acqua Recipienti autocerchiati I recipienti autocerchiati vengono preparati sottoponendoli a plasticizzazione nella zona più interna, poi scaricandoli in modo da creare in essi delle tensioni residue, e infine ponendoli in esercizio con la pressione di lavoro. Questa può giungere fino al valore della tensione di precarico senza che si abbia ulteriore plasticizzazione. Si supponga che si voglia plasticizzare la zona cilindrica compresa tra il raggio interno r i e un raggio c e che il materiale sia del tipo elastico - idealmente plastico (ossia che dopo lo snervamento si abbia sempre σ = σ s ) e che valga il criterio di plasticizzazione della massima tensione tangenziale, ossia che nella zona plastica si abbia σ t σ r = σ s. La zona elastica è caratterizzata da un tensione radiale che al raggio c assume il valore p c, essendo p c il valore della pressione esercitata dalla parte elastica sulla parte plasticizzata. Ivi deve Figura 14.2: Recipiente nastrato 14-3

153 essere σ t σ r = σ s (condizione di incipiente plasticizzazione) e quindi σ t + p c = σ s. (1) Supponendo che la pressione esterna sia nulla, la tensione tangenziale si calcola con le equazioni di Lamé dalla quale, sostituendo nella (1) si ricava p c, σ t = p c c 2 + r 2 e r 2 e c 2 p c = σ c r 2 e c 2 2r 2 e Il valore massimo di c è r e e il corrispondente valore di p c è zero. Queste condizioni corrispondono, in caso di materiale non incrudente, allo scoppio del recipiente, e saranno sfruttate in seguito per ottenere il valore minimo dello spessore. Nella zona plastica vale l equazione σ t σ r = σ s e quella di equilibrio dσ r dr = σ t σ r = σ s r r che, essendo a variabili separabili si integra immediatamente Particolarizzando per r = c, dove σ r = p c, σ r σ s = ln r r 0 (2) p c σ s = ln c r 0, da cui r 0 = ce p c/σ s, (3) per cui, visto che e pc/σs > 1, r 0 risulta esterno a c. La pressione di plasticizzazione, ancora incognita, p p esercitata sulla parete interna del recipiente si ottiene dalla (2) per r = r 1 ricordando che p p = σ r (r = r i ): p p = σ s ln r i r 0. (4) Allo scarico si producono delle tensioni uguali e opposte a quelle che si avrebbero se la pressione p p fosse applicata ad un recipiente con le stesse caratteristiche geometriche ma avente un comportamento puramente elastico. Per conseguenza si hanno, in direzione tengenziale, tensioni residue di compressione all interno e di trazione all esterno. Esse migliorano lo stato tensionale in fase di esercizio. Calcoliamo ora lo spessore minimo, ponendoci nelle condizioni limite: identifichiamo la pressione di esercizio p i con quella di plasticizzazione p p (mentre deve essere p i p p ), e poniamo c r e (la condizione c = r e corrisponde allo scoppio). Ricordiamo inoltre che a c = r e corrisponde p c = 0. Sostituendo nella (3) si ottiene r 0 = c = r e e dalla (4) p p = σ s ln r i r e 14-4

154 e completando le sostituzioni e riordinando cioè r e r i = e p p/σ s s r i = 1 + e pp/σs Gli spessori minimi ottenuti con l applicazione dei vari criteri di resistenza in fase elastica sono riportati nella tabella 14.1, assieme con gli spessori minimi per recipienti autocerchiati. Tabella 14.1: Spessori s minimi per vari criteri di resistenza e per recipienti autocerchiati p/σ amm s/r i max tens. max deformazione max tau HHvM autocer. senza fondi con fondi (max tau) Si ripeta ora il ragionamento adottando il criterio di plasticizzazione della massima tensione normale: per essa, nella zona plastica si ha σ t = σ s. In quasto caso, al raggio interno c della zona che rimane elastica si ha σ t = σ s = p c c 2 + r 2 e r 2 e c 2 dalla quale si ricava subito p c che ovviamente, a parità di c, r e e σ s, risulta diversa da quella calcolata col criterio della massima tensione tangenziale. Nella zona plastica si ha σ t = σ s, quindi l equazione di equilibrio si scrive dσ r dr = σs σr r 14-5

155 che si integra immediatamente così: d(σ s σ r ) σ s σ r ln = dr r σ s σ r (σ s σ r ) 0 = r r 0 σ s σ r = r 0 (σ s σ r ) 0 r σ s σ r = k r σ r = σ s k r. Il valore di k si trova particolarizzando l equazione per r = c dove σ r = p c. Si trova Quindi e la pressione interna di plasticizzazione vale k = c(σ s + p c ). σ r = σ s c (σs + pc). r p p = σ s + c r i (σ s + p c ). In questo caso la condizione di spessore minimo, che si ottiene ponendo c = r e, p i = p p e p c = 0 si scrive: ( p i = σ s 1 + r ) e r i e quindi ovviamente s = p i r i σ s ritrovando paradossalmente la formula delle caldaie. 14-6

156 15. La costruzione dei recipienti In questo capitolo saranno presentate soluzioni costruttive per alcune classi di recipienti, e sarà fatto cenno ad alcuni aspetti normativi Spessori minimi delle pareti Salvo diverse disposizioni contenute in norme particolari, gli spessori minimi previsti dalla norma vigente in Italia, VSR.1.C dell ANCC, sono i seguenti: Per pareti ricavate da lamiera oppure da tubo per fasciami cilindrici: Acciai al carbonio Acciai debolmente legati e legati Per pareti ricavate per fusione: Acciai al carbonio Acciai debolmente legati e legati 3 mm 2 mm 6 mm 5 mm Per i recipienti sferici lo spessore in millimetri non deve essere inferiore a quanto dato dalle formule: per lamiere di acciaio al carbonio: D e 3000 per lamiere di acciaio legato o debolmente legato: D e 3000 In ogni caso lo spessore non deve essere inferiore ai 6 mm. Norme particolari valgono per i generatori di acetilene e per i vasi di espansione Recipienti sferici La teoria membranale conduce alla formula s p = D m. 4σ amm Applicando la vecchia, cara regola dello scomporre si ha s p = D m s 4σ amm p = D i 4σ amm p (1) La normativa ricava la σ amm dividendo la tensione di snervamento (vera o convenzionale) per 1.5; si prende inoltre in considerazione un coefficiente z datto modulo di efficienza del giunto per tenere conto della presenza di chiodature, saldature, eccetera. Per potere usare la (1) anche per recipienti a parete spessa, lo spessore viene alquanto maggiorato scrivendo pd i s = 4σ amm z 1.2p 15-1

157 che vale comunque solo per p/(σ amm z) Sfere di diametro limitato, fino a 1500 mm, possono essere costruite con soli due elementi, saldando lungo la circonferenza massima due comuni fondi emisferici. Per diametri maggiori la sfera è ottenuta dall unione saldata di più elementi preventivamente formati secondo una doppia curvatura e disposti come indicato in fig I serbatoi sferici sono sostenuti da un certo numero di colonne cilindriche che vengono saldate tangenzialmente a partire dalla linea equatoriale direttamente sulla lamiera. Se l attacco delle colonne si estende per una sufficiente superficie non è necessario l impiego di piastre di rinforzo. Figura 15.1: Costruzione di un serbatoio sferico 15.3 Cilindri soggetti a pressione interna La formula delle caldaie, scritta sotto forma di proporzione è s p = D m. 2σ amm Applicando ad essa la regola del comporre, facendo comparire il modulo di efficienza e riordinando si ha pd i s = 2σ amm z p s = pd e 2σ amm z + p. Queste formule vanno applicate per recipienti a parete sottile; la norma stabilisce la pressione limite di applicabilità (Vedi tab. 15.1). Oltre questa vanno usate le formule per i recipienti a parete spessa, la cui espressione è: s = D i 2 ( 1 + ) σ amm z σ amm z 1.333p Questa è in effetti una variante delle formule di progetto della massima tensione tangenziale (che prevede al denominatore il coefficiente 2 per la p) e di Huber-Hencky-von Mises (che prevede il 15-2

158 Tabella 15.1: Pressione massima di validità della formula delle caldaie coefficiente 3 per la p). Tutavia la formula della normativa appare ottimistica, sia rispetto a queste, sia rispetto alla formula del criterio della massima deformazione. Nel caso in cui la pressione di esercizio sia parzialmente bilanciata da una contropressione esterna inferiore, il dimensionamento dello spessore del mantello si esegue di solito assumendo cautelativamente la seconda come nulla. Se la pressione non si mantiene costante lungo l asse del cilindro si può pensare ad uno spessore variabile. Però per recipienti di piccola o media capacità motivi di praticità costruttiva consigliano generalmente l adozione di uno spessore costante pari a quello calcolato per la pressione massima. Solo in casi particolari, come per esempio nei grandi serbatoi verticali per lo stoccaggio atmosferico di prodotti liquidi o nelle colonne molto alte la notevole economia di materiale che si può realizzare a causa dell elevato sviluppo superficiale del mantello può giustificare l adozione di spessori gradualmente decrescenti verso l alto. Per diametri fino a 1000 mm i mantelli cilindrici posono essere costruiti a partire da tubi senza saldatura commerciali, che sono disponibili in una discreta varietà di spessori. Per diametri maggiori i mantelli sono invece realizzati saldando diversi elementi di lamiera preventivamente sagomati per calandratura a caldo o a freddo, disposti in corsi orizzontali con giunzioni sfalsate come indicato in figura. Se il recipiente non è molto grande, e se il proporzionamento è imposto rigidamente da esigenze di processo, occorre ben ottimizzare i tagli delle lamiere (disponibili ovviamente solo in formati 15-3

159 unificati) per minimizzare gli sfridi e la lunghezza delle saldature. Recipienti verticali di notevole altezza, come le colonne, possono talvolta essere realizzati per convenienza di trasporto e di montaggio in più tronconi da unire mediante flange. La presenza di aperture corrispondenti a bocchelli, passi d uomo, attacchi per strumenti di misura, finestre di ispezione, determina un indebolimento del mantello. Per forature di diametro superiore a 50 mm è spesso necessario irrigidire la parete circostante saldando su di essa, esternamente, una piastra di rinforzo dei tipi indicati in figura. Il criterio di dimensionamento delle piastre di rinforzo è quello di aggiungere una sezione resistente minima uguale a quella sottratta con la foratura. Con le notazioni indicate in figura 15.2 si ha: (A d b )s = d f s Figura 15.2: Piastre di rinforzo di aperture La costruzione dei recipienti per alta pressione è assai complessa e delicata. Oltre alla necessità di avere pareti di grosso spessore occorre limitare le giunzioni e adottare particolari accorgimenti per l attacco dei fondi e per la tenuta. Si ha pertanto a che fare con pezzi molto pesanti che richiedono speciali tecniche di lavorazione e speciali attrezzature di manipolazione. La forma è quasi senza eccezioni cilindrica con rapporti lunghezza/diametro crescenti al crescere della pressione in modo da contenere gli spessori. Cilindri monoblocco vengono ottenuti per forgiatura e fucinatura a partire da billette piene. Nel caso di elevate lunghezze la costruzione può essere realizzata in due pezzi identici, uniti per flangiatura. La figura 15.3 mostra lo schema di un reattore di sintesi ad alta pressione di costruzione monoblocco Cilindri soggetti a pressione esterna La formula di verifica adottata dalla normativa per i recipienti cilindrici sottoposti a pressione esterna è quella di von Mises. La pressione ammissibile all esterno del recipiente è 1/3 di quella così determinata. è chiaro che problemi di instabilità si possono avere solo con cilindri a parete sottile. 15-4

160 Figura 15.3: Recipiente per alte pressioni Nel caso che questa pressione risulti troppo bassa si posono prevedere cerchiature da disporre all esterno o all interno del recipiente. Tali cerchiature sono ottenute da profilati commerciali, curvati a caldo. La disposizione è quella di figura 15.4, e l unione avviene per saldatura. Inutile dire che le operazioni di saldatura, sia del profilato col recipiente che delle due estremità del profilato, sono assai più critiche per il rinforzo esterno; in compenso esse risultano ovviamente più agevoli. La formula per il momento d inerzia I x rispetto all asse neutro parallelo all asse del fasciame è I x 0.2pLD2 ad e E T in cui D a è il diametro del rinforzo in corrispondenza dell asse neutro e E T è il modulo di Young in corrispondenza della temperatura di esercizio, dato dalla tabella Cilindri verticali snelli La verifica dei recipienti sviluppati prevalentemente in verticale, quali per esempio le colonne di distillazione, non deve considerere la sola pressione, ma anche il peso proprio, il peso del fluido, le spinte orizzontali del vento e del sisma, combinando queste azioni nel modo più sfavorevole, in modo da ottenere la massima sicurezza. 15-5

161 Figura 15.4: Cerchiature interne (a) ed esterne (b) di un recipiente. Tabella 15.2: Variazione del modulo elastico con la temperatura Pressione Le tensioni indotte dalla pressione si calcolano con la consueta teoria dei recipienti a parete sottile Carichi statici I carichi da considerare sono: Peso proprio del mantello, compresi passi d uomo, bocchelli e rinforzi Peso delle strutture interne, come piatti e strati di riempimento Peso delle strutture esterne, come scale, ballatoi, passerelle Peso dell isolamento termico e delle tubazioni sopportate dal mantello Peso dei fluidi contenuti sui piatti. 15-6

162 Sovraccarichi accidentali, soprattutto in caso di montaggio e di manutenzione. Tutti questi carichi inducono nel mantello una tensione assiale di compressione variabile lungo l altezza, che nel caso di carichi centrati risulta uniforme e pari a w(l x) σ aw = πds in cui w è il peso delle strutture per unità di altezza, L l altezza totale della colonna, x la quota da terra, D il diametro della colonna ed s lo spessore. Si faccia attenzione, come al solito, ad usare unità coerenti. Il massimo valore di questa tensione è alla base della colonna Spinta del vento La spinta del vento sulle costruzioni si riconduce a una forza orizzontale distribuita sulla superficie esposta. Essa è dovuta sia alla pressione di ristagno sulla superficie sopravvento, sia al distacco di vortici, sia ad una depressione sulla superficie sottovento. L attuale normativa consiste essenzialmente nel D.M Norme tecniche relative ai criteri generali per la verifica delle costruzioni e dei carichi e sovraccarichi, e nella relativa circolare esplicativa n.156/aa.gg. Istruzioni per l applicazione delle norme tecniche relative ai criteri generali per la verifica delle costruzioni e dei carichi e sovraccarichi 1 Tale normativa stabilisce una pressione cinetica q ref dovuta al vento, variabile in funzione della posizione geografica e dell altitudine, che viene poi maggiorata con opportuni coefficienti, per ottenere la pressione p. Uno dei coefficienti, quello di esposizione, varia anche con la quota fuori terra della costruzione, e quindi la pressione agente è in generale crescente con la quota. La formula è: p = q ref c e c p c d in cui q ref è la pressione cinetica di riferimento, calcolata in funzione della posizione geografica e dell altitudine dell impianto; c e è il coefficiente di esposizione, variabile in funzione della posizione topografica (per esempio, impianto posto in una valle, o in cima ad una collina) e dell altezza fuori terra della costruzione. c p è il coefficiente di forma, o aerodinamico, dipendente dalla tipologia della costruzione (p.e. edifici, coperture di vario tipo, travature reticolari, corpi cilindrici, sfere) c d è il coefficiente dinamico. Per quanti riguarda i corpi cilindrici, il coefficiente aerodinamico c p è 1.2 per d q 2.2 c p = d q per 2.2 < d q < per d q 4.2 in cui d è espresso in metri e q = Q ref c e è espresso in N m 2. 1 Questi e altri riferimenti normativi sono reperibili al sito

163 Carico sismico Il terremoto consiste in una vibrazione del terreno, che induce una sollecitazione nelle strutture. Tale sollecitazione può essere studiata sia con metodi dinamici, quindi essenzialmente con l analisi modale, sia con metodi statici, applicando sulla struttura dei carichi statici che simulano l azione dei carichi dinamici. Il metodo statico è adatta solo a quelle strutture di tipo a massa concentrata, quali gli edifici civili; per sistemi a massa distribuita, come appunto un recipiente alto, è preferibile il metodo dinamico. La normativa in vigore consiste nel D.M Norme tecniche per le costruzioni in zona sismica e nella circolare n. 65/AA.GG. Istruzioni per l applicazione delle norme tecniche per le costruzioni in zona sismica. 2 Un recipiente alto e snallo può essere schematizzato come una mensola incastrata alla base e libera alla sommità. Un metodo di analisi modale può essere quello di determinare le frequenze di vibrazione e le relative deformate per i primi n modi di vibrare; dato il tipo di schema si considerano solo modi flessionali. Sono ben note le espressioni che danno i modi di vibrare (autovettori) e i periodi (correlati con gli autovalori) di una trave a mensola; il periodo del modo più basso è: T 1 = 2π ml 4 in cui m è la massa per unità di lunghezza, l la lunghezza, E il modulo di Young e I il momento d inerzia della sezione trasversale, e due successivi sono: EI T 2 = T 1/ T 3 = T 1/ Conoscendo la deformate normalizzate φ i corrispondenti a ciascun modo di vibrare si determina la massa modale M i = l 0 φ 2 i (x)m(x)dx Il fattore di normalizzazione per ogni modo si determina con l espressione: Y i = Q ia i M i ω 2 i In cui a i l accelerazione in corrispondenza del periodo T i, ω i = 2π/T i e Q i è il carico modale, Q i = l 0 φ i(x)m(x)dx Una volta trovato Y i la deformata effettiva per il modo i-esimo è: f i (x) = Y i φ i dalla conoscenza della deformata tramite la teoria delle travi si giunge a trovare il diagramma del momento. Per il diagramma del momento complessivo la normativa prescrive: M(x) = Mi 2. i 15.6 Cilindri orizzontali snelli Il caso dei cilindri orizontali snelli riguarda i serbatoi di stoccaggio e gli scambiatori di calore, per i quali si possono avere rapporti tra lunghezza e diametro fino a 10. Questi apparecchi sono in genere sostenuti da due selle concave che abbracciano inferiormente il mantello per un angolo di 120. In questo caso le sollecitazioni del vento e del sisma risultano trascurabili, mantre hanno importanza la pressione interna, il peso proprio, quello delle strutture di servizio e delle tubazioni sostenute dal recipiente, il peso dei fluidi contenuti, i sovraccarichi accidentali ed eventualmente 15-8

164 Figura 15.5: Serbatoio cilindrico ad asse orizzontale. la neve. Non bisogna dimenticare, per gli scambiatori, il peso del fascio tubiero e delle relative piastre. Il serbatoio orizzontale può essere schematizzato come una trave su due appoggi con estremità aggettanti, sollecitata da un carico uniformemente distrubuito. I due fondi vengono approssimati da una lunghezza equivalente l di cilindro; con le notazioni di fig. 15.5, si pone l = 2h/3. Il carico unitario è quindi q = g(m c + M f ) L + 2l in cui M c è la massa del recipiente e delle strutture e M f la massa del fluido. Il diagramma del momento è quello schematizzato in figura e si vede che le sezioni critiche sono quelle di appoggio e di mezzeria, dove i momenti sono rispettivamente M a = qa2 2 M m = qb2 8 qa2 2 = q 2 ( B 2 4 A2 Una progettazione ottimale prevede che i due momenti siano uguali in valore assoluto, per cui A/B = 2/4 = e A/(2A + B) = 0.207; in questo caso M a = M m = qb2 16 Questa sollecitazione produce una tensione assiale il cui valore massimo è σ a = ± qb2 4πD 2 s che si somma a quella dovuta alla pressione interna. In pratica i carichi statici, e in particolare la distribuzione triangolare delle pressioni dovute al battente liquido, tendono a deformare la sezione circolare, schiacciandola verticalmente; l effetto 2 Anche queste norme sono reperibili al sito ) 15-9

165 è più sentito nei mantelli più sottili. Una prima conseguenza è la diminuzione del momento d inerzia della sezione per cui le tensioni da momento flettente crescono; inoltre, in corrispondenza delle selle di supporto, il cui profilo è rigorosamente circolare, lo schiacciamento della sezione è localmente impedito e ciò determina una concentrazione di tensione per ragioni di congruenza, in particolare in corrispondenza dei vertici superiori di ciascuna sella, al di sopra dei quali il mantello ritorna bruscamente libero di deformarsi. Per queste ragioni è necessario rinforzare il mantello in corrispondenza dei supporti saldandovi esternamente delle piastre per un arco maggiore di quello abbracciato dalle selle. È anche possibile introdurre delle cerchiature, o appoggiare il recipiente su tre selle anziché su due

166 15.7 Fondi Si parla ovviamente di fondi solo in recipienti cilindrici, visto che il cilindro è una figura geometricamente indefinita. Inoltre faremo riferimento solo a recipienti per gas (Q = 0). Considerazioni generali In un punto qualsiasi di un recipiente per gas vale la relazione σ m = pr n 2s in cui p = p i p e o, se si preferisce si può porre per semplicità p e = 0 quindi p = p)i. Dall equazione di Laplace σ n r n = p s pr n 2sr m = p s (1 r n 2r m ) (1) Ora, nel cilindro r m = mentre nel fondo r m ha valore finito. Nascono perciò due problemi: 1. All attacco tra cilindro e fondo r n rimane pressocché costante, mentre r m per quanto detto varia bruscamente, per cui la σ n presenta certamente una discontinuità. 2. Il valore della σ n al di là della discontinuità, cioè all inizio del fondo, può essere negativo, cosa che si verifica se nella (1) risulta r n /(2r m ) > 1. Poiché fisicamente non ci possono essere discontinuità nelle tensioni, il primo risultato qui illustrato non è vero, ma indica solo che la soluzione membranale non vale, e a rigore occorre tener conto degli sforzi di flessione. Tale trattazione più approssimata non verrà qui svolta; basti dire che la trattazione membranale rimane qualitativamente valida, e anche quantitativamente molto approssimata. Per quanto riguarda l insorgere di sforzi di compressione, va detto che questi possono avere per conseguenza la presenza di instabilità. Dal punto di vista costruttivo conviene che i fondi siano quanto più appiattiti possibile, per ragioni di ingombro. A tal proposito si definisce il rapporto H/R, con H altezza del fondo ed R raggio del recipiente, come grado di appiattimento, mentre il suo reciproco è detto grado di profondità Fondi sferici Si calcolano come ordinari recipienti sferici. Per il caso di pressione interna le tensioni principali risultano di trazione in ogni punto; esiste il problema della discontinuità di σ n in corrispondenza dell attacco al mantello cilindrico, e questo può essere visto come caso particolare dello stesso problema nel fondo ellittico, ma non esiste il problema dell insorgere di sforzi di compressione. Come facile esercizio lo studioso lettore può tracciare l andamento della σ n in funzione dell ascissa curvilinea lungo il recipiente Fondi ellittici Il fondo ellittico è sempre un semisferoide oblato, in quanto deve avere un ingombro minore del fondo sferico. I raggi di curvatura principali sono: r m = a2 b 2 z 3 r n = a2 z 15-11

167 con essendo θ la colatitudine. Quindi z = a 2 sin 2 θ + b 2 cos 2 θ σ m = pa2 2sz σ n = pa2 2sb 2 2b2 z 2 z i cui andamenti sono riportati in fig (2) Figura 15.6: Tensioni nel fondo ellittico (k = a/b) Come si vede dalla (2), la σ n diventa negativa quando z > 2b. Siccome all equatore dello sferoide, ossia all attacco col mantello cilindrico si ha z = a, nell intorno di tale zona σ n sarà negativa se a/b < 2, caso quasi sempre verificato in pratica, sempre per ragioni di ingombro del fondo. La presenza di tensioni negative (di compressione) può portare all instabilità. Un altro problema che si presenta in questi fondi, ma anche in quelli sferici, è la discontinuità della σ n nel passare dal fondo al mantello. Infatti, all equatore dello sferoide mentre nel cilindro σ n = pa 2s ) (2 a2 σ n = pr s e nella maggior parte dei casi questi valori sono diversi e non riconciliabili (in particolare quando uno è positivo e l altro negativo). Questa discontinuità degli sforzi di membrana viene superata dall insorgere di sforzi di flessione. Un esempio è data dalla fig b

168 Figura 15.7: Tensioni nel fondo ellittico con a/b = 2 e nel mantello cilindrico, tenendo conto degli sforzi di flessione Fondi torosferici Qualitativamente si comportano come i fondi ellittici. Si può applicare la formula generale (1) per trovare un limite al raggio r del raccordo torico. Infatti, imponendo che σ n > 0, risulta r n > 2r m ; questa condizione, scritta per il punto di raccordo tra toro e cilindro, nel quale r n R e r m = r restituisce r > R/2, ma tale condizione darebbe luogo ad un fondo troppo bombato per cui si tollera che r sia più picvcolo, e quindi che σ n diventi negativa, purché siano rispettate opportune regole di proporzionamento, come spiegato in seguito Costruzioni grafiche per fondi torosferici Detti: D il diametro del cilindro, r il raggio del raccordo torico, R il raggio della calotta sferica, H l altezza del fondo, A il punto limite della parte rettilinea del meridiano, si propongono tre costruzioni: 1. Dati D, H, r. Dal vertice A si stacca un segmento di lunghezza r fino ad arrivare al punro O. Si congiunge O e O 1, centro del raccordo torico. L asse del segmento O O 1 interseca l asse nel punto O, centro della calotta sferica. Vedi figura Dati D, H, R

169 Figura 15.8: Costruzione di un fondo torosferico dati D, H, r Dal vertice A si stacca un segmento di lunghezza R fino ad arrivare al punro O. Si traccia un arco di centro O e raggio R fino ad intersecare il piano parallelo per O nel punto B. Si congiunge B con A e si prolunga fino a intersecare l arco A B nel punto O. Congiungendo O con O si trova O 1, centro del raccordo torico. Infatti il triangolo O 1 AO è isoscele sulla base AO in quanto simile al triangolo OBO. Vedi figura 15.9 Figura 15.9: Costruzione di un fondo torosferico dati D, H, R 3. Dati D e H, con l ulteriore condizione che r/r sia massimizzato. Si congiunge A e A e si tracciano le bisettrici dei due angoli A AB e AA B. Esse si incontrano nel punto O, che è il punto di raccordo tra toro e sfera. Da O si traccia la normale ad AA fino ad incontrare l asse nel centro O della calotta sferica. La costruzione si basa sul fatto che i due triangoli AO 1 O e OO A sono isosceli, come si dimostra facilmente in base ai loro angoli. Vedi figura

170 Figura 15.10: Costruzione di un fondo torosferico dati D e H, con l ulteriore condizione che r/r sia massimizzato Aspetti normativi A parte complicazioni dovuto all uso di unità non coerenti, i fondi in un sol pezzo 3, secondo la normativa ANCC, vanno proporzionati con la formula s = C pd e/2 σ amm in cui il coefficiente C è dato dal diagramma di fig , in funzione dal rapporto H/D e I fondi sferici devono avere s 0.16D e ; i fondi ellittici H 0.2D e e i fondi torosferici: (vedi figura 15.12) s 0.08D e r 0.1D e r 3s R D e H 0.18D e Inoltre i fondi ellittici e torosferici devono avere un colletto cilindrico di pezzo, avente altezza minima di 0.3 D e s. 3 e con esclusione quindi dei fondi ottenuti per saldatura 15-15

171 Figura 15.11: Coefficiente C per il proporzionamento di fondi sferici, ellittici e torosferici, con o senza aperture; d è il diametro massimo dell eventuale apertura ed s è lo spessore del fondo. Figura 15.12: Fondo torosferico 15-16

172 15.8 Serbatoi di stoccaggio Si premette che i serbatoi si dividono in serbatoi di processo e serbatoi di stoccaggio. I primi sono normalmente di dimensioni ridotte e si interpongono tra le apparecchiature di processo al fine di rendere relativamente indipendenti parti diverse dell impianto. Esempi sono i serbatoi di svincolo tra sezioni funzionanti in modo discontinuo e in modo continuo, i serbatoi di mescolamento di diverse correnti e i polmoni per l assorbimento di variazioni di composizione o di temperature. I serbatoi di stoccaggio invece sono di dimensioni molto maggiori e si trovano di norma all inizio e alla fine di ogni ciclo di lavorazione per far fronte all esigenza di conservare le materie prime e i prodotti finiti nell intervallo tra due rifornimenti o spedizioni. Essi vengono situati generalmente in un parco serbatoi esterno al recinto delle apparecchiature dell impianto e ciò in base a esigenze di manutenzione, facilità di carico e scarico e sicurezza. I serbatoi si distinguono in aperti e chiusi; questi ultimi possono essere a pressione atmosferica o a pressione maggiore; a seconda del fluido si distinguono inoltre serbatoi per liquidi e per gas Serbatoi per liquidi Tra i serbatoi aperti vi sono le piscine, di calcestruzzo o di acciaio, in genere interrate; in questo modo si elimina il problema dell ingombro e quello della resistenza delle pareti, sostenute dalla spinta del terreno, e in parte anche quello delle fondazioni, visto che scavando si raggiungono comunque strati di terreno più resistenti. Per depositi a pressione atmosferica di grandi volumi la soluzione più economica è quella dei serbatoi cilindrici ad asse verticale a fondo piano. I fondi piani poggiano direttamente sulla fondazione e quindi sono soggetti alla sola compressione dovuta al carico idrostatico, che è sempre trascurabile, e alla flessione in corrispondenza della saldatura col mantello, anch essa trascurabile. Per tale motivo non si effettuano calcoli e si pone lo spessore uguale a 5 10 mm. I tetti possono essere fissi o galleggianti. I tetti fissi hanno generalmente forma conica molto svasata o raramente curvilinea e sono in lamiera. Per piccoli diametri, fino a 10 m, sono sostenuti solo perimetralmente dal mantello. Il calcolo di stabilità si effettua tenendo conto del peso proprio, del sovraccarico accidentale e dell eventuale depressione ammessa dalla valvola di respirazione. Eventualmente sono da prevedere nervature radiali irrigidenti, collegate da un nodo centrale. Le nervature si dimensionano a due a due considerandole come arco a tre cerniere soggetto ad un carico triangolare dovuto allo scarico del tetto. Sono perciò soggette a flessione e carico di punta. Il tetto autoportante produce anche una spinta radiale sul mantello, crescente al diminuire dell inclinazione, per assorbire la quale occorre prevedere un anello di rinforzo sul bordo. è chiaro che per diametri maggiori di 10 m il tetto deve essere sostenuto in maniera autonoma tramite una serie di pilastri, che nei casi migliori si riducono ad uno solo centrale, e nei casi peggiori costituiscono una o più corone circonferenziali. In questo caso le nervature si considerano puramente appoggiate e quindi soggette a sola flessione e quindi scompare il carico di punta, al quale sono invece soggetti i pilastri. Alla base del pilastro si deve prevedere una piastra di ripartizione di spessore 10 mm. Sia i pilastri che le nervature sono costituiti da profilati saldati. I tetti galleggianti sono assai più semplici perché sostenuti direttamente dal liquido. Sono costituiti da una struttura cava in modo da assicurare il galleggiamento e irrigiditi internamente da setti radiali e circonferenziali. La lamiera superiore e inferiore può essere quindi suddivisa in trapezoidi, ciascuno dei quali si calcola come piastra appoggiata lungo il bordo. Alla periferia si deve prevedere un apposita tenuta. Per pressioni superiori a quella atmosferica è necessario ricorrere a serbatoi a fondi torosferici, ellittici o sferici. La bombatura del fondo aumenta con la pressione. L asse può essere orizzontale 15-17

173 o verticale; nel primo caso il diametro è raramente maggiore di 4 m e la lunghezza di 20 m. Per volumi elevati è necessario usare più serbatoi in batteria o ricorrere a serbatoi ellissoidali o sferici, questi ultimi, di norma, riservati ai gas. Va detto infine che, per evitare pericolose sovratensioni dovute alla dilatazione termica, i serbatoi per liquidi non vengono mai riempiti interamente, ma fino ad un massimo del 90 % Serbatoi per gas I serbatoi per gas possono essere a volume o a pressione costante. Nel primo caso le forme costruttive sono quelle già note (cilindriche o sferiche) e il calcolo si effettua come per i recipienti per liquidi. Le pressioni sono superiori a quelle degli analoghi serbatoi per liquidi, onde immagazzinare una maggiore massa per unità di volume. Inoltre, essendo trascurabile il carico idrostatico, spesso si ricorre a serbatoi cilidrici ad asse verticale, anche molto alti. I serbatoi a pressione costante sono i gasometri, che ovviamente sono a volume variabile e quindi dotati di sistemi telescopici. Si noti che spesso i gas sono immagazzinati in condizione di liquefazione Strutture di sostegno Fondazioni Plinti Il tipo di fondazione più conveniente ed economico per strutture a sviluppo verticale di limitata sezione è il plinto, costituito da un blocco di calcestruzzo armato prismatico o piramidale, appoggiato sul terreno con l interposizione di uno strato di calcestruzzo magro. La forma più economica è la pianta quadrata, anche se la più efficiente dal punto di vista del contrasto dei momenti ribaltanti è quella circolare; spesso come soluzione di compromesso si adotta una pianta esagonale o ottagonale. Dal punto di vista del dimensionamento, ci interessiamo qui solo del calcolo delle dimensioni della base di appoggio, notando comunque che il calcolo del cemento armato è in questo caso molto facile. I carichi gravanti sul plinto sono verticali o orizzontali. Quando vengono ricondotti al baricentro della base di appoggio danno luogo ad una forza orizzontale, una verticale F e un momento M, detto momento ribaltante. La componente orizzontale è assorbita senza difficoltà dall attrito sulla base e quindi non entra nei calcoli; la forza verticale dà luogo ad una compressione uniforme σ P = F A e il momento ad una distribuzione di tensioni a farfalla di valore massimo σ F = M W f In cui W f è il modulo di resistenza a flessione della base. Noto il valore del carico ammissibile σ T sul terreno, deve essere: σ F + σ P σ T ; Inoltre, per assicurare che la tensione sia di compressione in ogni punto deve essere: σ F σ P

174 Platee Vengono utilizzate in caso di bassa resistenza del terreno e di notevole vicinanza tra loro delle apparecchiature. Sono costituite da una soletta di cemento armato, talvolta irrigidita da travi rovesce. Data la notevole rigidezza dell insieme, perdono di importanza i momenti ribaltanti agenti sulle varie strutture. Pali Vengono utilizzati in terreni a scarsa resistenza, per raggiungere strati più profondi. Un palo agisce in due modi: da un lato viene sostenuto dall attrito lungo la sua superficie laterale, dall altro va a scaricare il carico su strati più profondi e quindi più resistenti. Alla testa dei pali viene fissata la fondazione ordinaria, in genere a plinto. Basamenti Si dicono basamenti quei blocchi di fondazione particolarmente pesanti e robusti destinati a supportare aparecchiature che generano intensi carichi dinamici e vibrazioni, come vagli, mulini, pompe, compressori, turbine. Superficialmente simile al plinto, il basamento richiede un dimensionamento del tutto diverso. Inannzitutto la pressione ammissibile sul terreno, in caso di carichi dinamici, deve essere limitata ad 1/2 1/3 di quella statica; poi occorre che il basamento assorba il più possibile le vibrazioni. A tale ultimo scopo esso deve avere una frequenza propria molto elevata, che si ottiene dandogli una massa molto elevata rispetto a quella dell apparecchiatura che supporta. Se il volume del basamento diventa molto elevato, risulta opportuno abbassarne il piano di posa rispettoa quello di altre fondazioni Sostegni Generalità Mentre i macchinari come pompe, compressori, turbine, sono normalmente collocati a livello del suolo, le apparecchiature di processo per varie esigenze operative e di manutenzione devono essere assai spesso sistemate in posizione sopraelevata. Ciò comporta la predisposizione di adeguate strutture di sostegnno. Colonne, grandi reattori, scambiatori di calore, serbatoi, dispongono di solito di sostegni individuali. Condensatori, autoclavi, recipienti di accumulo e apparecchiature minori come vagli, filtri, separatori, vengono invece sistemate alle rispettive quote entro strutture reticolari comuni Sostegni per apparecchiature singole La gonna costituisce il sistema di sostegno più diffuso per le colonne e in generale per le apparecchiature cilindriche a sviluppo verticale. Come mostrato in fig , si tratta di un tronco cilindrico in lamiera che in pratica prosegue il mantello dell apparecchiatura, fino alla fondazione. Lateralmente è presente un apertura per l ispezione. L ancoraggio alla fondazione avviene per mezzo di apposite scatole saldate alla gonna, in cui vengono serrate le teste di tiranti filettati previamente annegati nel calcestruzzo, come mostrato in fig Le sollecitazioni a cui la gonna è sottoposta sono le stesse che agiscono sul mantello dell apparecchiatura che essa sostiene, ad eccezione, ovviamente, della pressione interna. Inoltre, se la temperatura di esercizio è diversa da quella ambiente, nella gonna si instaura un gradiente di temperatura. La gonna è sempre realizzata in acciaio al carbonio. Il numero di tiranti alla base dipende dal diametro dell apparecchiatura e dal momento flettente da contrastare

175 Figura 15.13: Sostegno a gonna. Figura 15.14: Forme costruttive di tiranti. Apparecchiature verticali di piccola altezza come autoclavi, piccoli serbatoi, scambiatori di calore, sono preferibilmente sostenute da zampe metalliche equidistanziate lungo la circonferenza e realizzate con profilati commerciali. Le zampe sono saldate all apparecchiatura e alla base ciascuna di esse è saldata ad una piastra che realizza l unione con la fondazione a mezzo dei soliti tiranti filettati. La sollecitazione agente sulle zampe è di sola compressione, e quindi di carico di punta, in quanto in ciascuna di esse il momento flettente agente sulla struttura si traduce in un aliquota di carico assiale di trazione o di compressione che si somma alla sollecitazione dovuta ai carichi verticali. Analoga soluzione vale per i recipienti sferici. I recipienti cilindrici orizzontali sono, come si è visto, sostenute da selle in calcestruzzo o in lamiera metallica

176 Strutture reticolari Quando occorre sistemare una singola apparecchiatura a quota elevata o più aparecchiature di limitate dimensione in elevazione, conviene ricorrere a strutture di sostegno comuni, che possono essre aperte o chiuse. Le prime sono caratteristiche degli impianti che eseguono lavorazioni di base e sono più economiche; le seconde, che sono richieste quando si voglia offrire alle apparecchiature una maggiore protezione, sono caratteristiche di impianti più piccoli. Nel primo caso si ricorre a strutture reticolari costruite con solai, travi e pilastri. Possono essere in cemento armato o in struttura metallica, quest ultima molto più diffusa in quanto, sia pure più costosa, presenta il vantaggio di un rapido montaggio e di un valore residuo elevato in caso si dovesse rottamarla. Le strutture chiuse sono invece i capannoni, o di un vero e proprio fabbricato, realizzato in cemento armato o in acciaio o con struttura prefabbricata Tecnologie per la costruzione dei recipienti L elemento fondamentale di un impianto chimico si può ricondurre alla tipologia del tubo, sia di piccolo che di grosso spessore, di piccola o grande lunghezza, in metallo ordinario o speciale eccetera. Consideriamo innanzitutto i tubi di acciaio, che sono i più comuni. Dal punto di vita tecnologico essi si distinguono tubi saldati e senza saldatura; questi ultimi ulteriormente suddivisi in tubi laminati (Mannesmann) o estrusi. I tubi saldati si ottengono piegando un foglio di lamiera, fino a ridurlo ad un cilindro, e saldando poi i due lembi accostati; poiché la saldatura potenzialmente è fonte di indebolimento, e richiede quindi sia un accurata esecuzione sia controlli di integrità, anche questa lavorazione è riservata a ditte specializzate e a produzioni fortemente industrializzate, quindi ripetitive, con macchine dedicate e con forti volumi di produzione. Affini alla tipologia dei tubi saldati sono i recipienti conici (tramogge). I tubi senza saldatura Mannesmann sono fabbricati con un processo particolare che impiega in successione due laminatoi, quello foratore (o Mannesmann) e quello finitore (a passo del pellegrino). Il lingotto, di diametro superiore a quello del tubo da ottenere, viene forato al centro nel laminatoio Mannesmann; successivamente il diametro esterno viene ridotto (e con esso lo spessore) nel laminatoio a passo del pellegrino. I tubi trafilati si ottengono facendo passare un tubo senza saldatura (semilavorato) attraverso un foro calibrato; se l interno del tubo è libero (trafilatura senza mandrino) si ottiene una diminuzione del diametro a spessore pressocché costante; se all interno del tubo è posto un albero (che definisce il diametro interno del tubo) si ha la trafilatura con mandrino. I tubi di grandissimo diametro possono essere anche forgiati; ossia si fora un lingotto piuttosto corto e poi se ne lavora l interno tra due cilindri laminatori in modo da portarne diametro e spessore alle dimensioni desiderate. I tubi di ghisa sono ottenuti per fusione o per centrifugazione; nel primo caso si adottano forme verticali; nel secondo il metallo viene colato in una forma rotante ad asse orizzontale, in modo da uniformare lo spessore grazie alla forza centrifuga. I tubi di ghisa, per la loro elevata resistenza alla corrosione, sono utilizzate per condotte interrate. In alcuni casi (per esempio condotte forzate di impianti idroelettrici) i tubi devono essere rinforzati tramite anelli disposti esternamente; questi sono sempre ottenuti per fucinatura al maglio o per laminazione a partire da dischi forati. Tubi in cemento o in materie plastiche sono di uso limitato in un impianto chimico, per lo più in impieghi di carattere civile: pluviali, fognature eccetera. La raccorderia (gomiti, raccordi a T e a croce, adattatori di diametro) viene ottenuta per fusione, in forme metalliche (fusione in conchiglia) per garantire elevata ripetibilità dimensionale 15-21

177 e grande durata degli stampi. I raccordi possono essere più semplicemente ottenuti per piegatura di spezzoni corti di tubo. Le valvole sono costituite di due parti, una fissa (corpo valvola) e una mobile (disco o sfera di chiusura e stelo di manovra). Il corpo valvola, che è di forma complessa, si ottiene per fusione; dischi e steli per stampaggio (alla pressa o al maglio). I fondi dei recipienti a piccolo spessore sono ottenuti per imbutitura a freddo; si parte da una lamiera piana circolare e si pone tra due stampi, uno convesso e uno concavo, uno fisso e l altro azionato da una pressa. I due stampi riproducono in negativo la superficie del fondo; man mano che si avvicinano deformano la lamiera che da piana diventa bombata e si adatta alla cavità tra i due stampi. I fori necessari possono essere ottenuti in questa fase per punzonatura; i successivi particolari costruttivi (rinforzi, attacchi) vengono collegati per saldatura. Ancora per saldatura viene collegato il fondo al recipiente. I fondi dei recipienti di grosso spessore vengono ottenuti per fucinatura o stampaggio, con successiva finitura alle macchine utensili, per creare le superficie di accoppiamento con la guarnizione e il mantello. La bulloneria (viti e dadi di varie forme e dimensioni) è costruita in acciaio speciale da bulloneria (appunto... ) e viene ottenuta per lavorazione a macchine utensili speciali (derivazioni del classico tornio) oppure per rullatura (viti rullate), a partire da semilavorati speciali (p. e. barre esagone per i dadi). La testa delle viti viene ricavata per ricalcatura. Con i sostegni (per tubazioni e per ausiliari) si entra nel capitolo della carpenteria metallica. Gli elementi che la caratterizzano sono lamiere, travi a L, a T e a doppio T, ancora tubi. Tutti questi elementi sono ottenuti per laminazione. Profilati di piccola sezione, specie se di leghe leggere, sono ottenute anche per estrusione (trafilatura). Con questi elementi si costruiscono sostegni più o meno grandi, che talvolta prendono la forma di vere e proprie strutture a telaio, a uno o più piani. Le giunzioni sono ottenute quasi sempre per bullonatura, che garantisce la possibilità di un eventuale smontaggio; qualche volta usata la saldatura, specialmente per costruire pezzi complessi a partire da pezzi semplici, per esempio travi a cassone a partire da lamiere piane. In disuso ormai è la chiodatura. I grandissimi serbatoi, p.e. per derivati del petrolio, sono costituiti, come già detto, di lamiere saldate; i tetti (sia fissi che flottanti) possono essere ricondotti alla classe delle carpenterie, perché costituiti di travature di sostegno e di lamiere di copertura. Le fondazioni, realizzate in cemento armato, sono state trattate sopra. Accenno al fatto che i tondini per cemento armato sia lisci (in acciaio dolce) sia ad aderenza migliorata (in acciaio al carbonio) sono prodotti per laminazione. I capannoni per deposito di materiali, mezzi di trasporto, bombole e quant altro rispondono alla tipologia degli analoghi edifici industriali: sono costituiti da struttura metallica o in cemento armato e copertura in carpenteria metallica; in genere sono ad un solo piano. Più vicini al genere delle costruzioni civili (anch esse in struttura metallica o in cemento armato) sono le palazzine per uffici, portineria, e quant altro. Queste sono in genere a più piani

178 16. Collegamenti filettati, flange e guarnizioni 16.1 Chiusura dei coperchi Nel contesto dei recipienti in pressione i collegamenti filettati sono impiegati per collegare il coperchio al corpo dei recipienti, o per collegare due tratti di tubazione ecc. Comunque il discorso fatto vale anche per altri casi. Sulle due estremità del tubo da collegare sono saldate due flange tra le quali si interpone una guarnizione di materiale più cedevole che serve ad assicurare la tenuta (vedi fig. 16.1). Figura 16.1: Collegamento con flangia tra mantello e coperchio In un primo momento i bulloni 1 vengono serrati per assicurare la tenuta; poi il recipiente viene pressurizzato. Per effetto della pressione le viti si tendono ulteriormente, mentre la guarnizione si scarica. Comunque un certo carico deve rimanere su di essa per evitare perdite. Nella fase di pretensionamento i bulloni sono tesi da una forza complessiva W 1 e corrispondentemente la guarnizione è compressa da una forza W 1. Nella fase di pressurizzazione la pressione interna p provoca l insorgere della forza W 2 = πg 2 p/4 in cui G è il diametro medio della guarnizione 2 ; questa provoca uno spostamento δ 2 verso l alto del coperchio rispetto al mantello. Corrispondentemente le viti si allungano di δ 2 e la gurnizione aumenta il suo spessore di δ 2. Siano K b la forza che provoca un allungamento unitario delle viti (rigidezza delle viti) e 1 dicesi bullone l insieme di una vite e del relativo dado 2 G è il diametro medio della superficie di contatto della guarnizione, purchè la larghezza di quest ultima sia minore o uguale a 6.25 mm. 16-1

179 K g la forza che provoca una diminuzione unitaria di spessore della guarnizione (rigidezza della guarnizione). Allora l allungamento δ 2 corrisponde ad una forza aggiuntiva di K b δ 2 nelle viti e di K g δ 2 nella guarnizione. Siccome la loro somma deve fare W 2, risulta che alle viti va un aliquota mentre alla guarnizione va un aliquota K b W 2b = W 2 K g + K b K g W 2g = W 2 K g + K b Entrambe le aliquote sono positive per cui le viti si caricano ulteriormente mentre la guarnizione si decomprime 3. Si deve quindi imporre la condizione che il carico totale sulla guarnizione sia negativo; la normativa impone che esso sia proporzionale alla pressione del fluido e ad un coefficiente m dipendente dal tipo di guarnizione, ossia K g W 1 + W 2 = 2πbGmp, (1) K g + K b in cui e b la larghezza convenzionale della guarnizione; da dove venga il fattore 2, proprio non lo so. In base a questa formula si può determinare W 1. Nasce tuttavia una difficoltà: il carico W 1 non può essere troppo maggiore di quello che provoca lo snervamento della guarnizione, che in buona approssimazione si raggiunge con la pressione y di assestamento data dalla normativa, 4 ossia W 1 = πgby (2) Il fatto di avere una stessa quantità (W 1 ) determinata da due equazioni, la (1) e la (2), permette di porre un vincolo sulla dimensione della guarnizione o sulla pressione raggiungibile nel recipiente. Poniamoci infatti nelle condizioni peggiori supponendo che sia W 2g W 2 (cosa che avviene se K b è trascurabile rispetto a K g ). Allora Facendo sistema tra (2) e (3) si trova da cui W 1 = W 2 + 2πGbmp (3) W 2 = πg2 p 4 b = = πgby 2πGbmp Gp 4(y 2mp da cui risulta che b non può essere troppo piccolo rispetto a G, a meno che non ci si limiti a bassi valori di p. Si trova innanzitutto 2mp < y, quindi, posto m 4, p < y 2m y 8 3 abbiamo ottenuto un caso particolare della regola molto generale per cui la forza si ripartisce tra elementi in parallelo in misura proporzionale alle rispettive rigidezze. ; una regola che l ingegnere è chiamato ad applicare non solo in senso passivo, per prevedere la distribuzione delle forze, ma anche in senso attivo, modificando le rigidezze in modo da avere una predeterminata distribuzione di forze. 4 La lettera y etimologicamente è l iniziale di yield. 16-2

180 e che, se y/lly, b/g p/(4y), per cui se p y/25, ossia se la pressione è dell ordine di grandezza di 10 bar, si ha G/b 100. Le costanti m e y per varie guarnizioni sono date in tab Questa tabella, contempla il caso di guarnizioni con amianto, oggi fuorilegge perché cancerogeno. Come succedaneo si usa la grafite, oppure fibre ceramiche; purtroppo anche queste sono sospette di cancerogenicità. La successiva tabella 16.2 riguarda i particolari costruttivi delle sedi per guarnizioni. 16-3

181 Tabella 16.1: Guarnizioni: Materiali e tipi (tab. 1.U.3.2 della raccolta VSG dell ANCC). La corrisponente tab. 1.U.3.3 è riportata in tab

182 Tabella 16.2: Guarnizioni: Larghezza di assetto (tab. 1.U.3.3 della raccolta VSG dell ANCC). 16-5

183 16.2 Formule per le rigidezze Rigidezza dei bulloni K b = N A ne b L dove N numero bulloni L lunghezza libera della vite uguale allo spessore delle due flange più la parte libera della guarnizione. E b modulo elastico delle viti A n area di nocciolo di una vite. Rigidezza della guarnizione dove E g modulo elastico della guarnizione A g area della guarnizione, K g = A ge g s g A g = 2πD g b g s g spessore della guarnizione. Se la guarnizione è molto rigida conviene impiegare al posto della rigidezza della sola guarnizione K g la rigidezza equivalente delle flange più la guarnizione K fg, calcolata con la formula delle rigidezze in serie 1 = K fg K f1 K g K f2 dove la rigidezza di una flangia è calcolata tenendo conto che la parte reagente è un tronco di cono avente per base minore la superficie di appoggio del dado o della testa della vite e angolo di semiapertura 45 gradi. Per semplicità si sostituisce ad esso un cilindro equivalente di area A f. Quindi K f = N A f E f s f dove N numero bulloni s f spessore di una flangia E f modulo elastico della flangia A f area equivalente della parte reagente della flangia [ ( ) ] 2 D m + s f d 2 A f = π 4 D m diametro medio del dado (media tra larghezza in chiave e diametro nominale) d diametro del foro. 16-6

184 16.3 Collegamento a flangia per attrito Sia da trasmettere un momento torcente M t e il contatto tra le due flange sia limitato ad una corona circolare compresa tra i reggi R i ed R e ; questa limitazione rende più realistica l ipotesi che verrà fatta cioè che la pressione p tra le due flange sia uniformemente distribuita. Un area elementare posta a distanza r dall asse trasmette un momento elementare dm t = fprda in cui f è il coefficiente di attrito tra le facce (per sicurezza conviene prendere il coefficiente di attrito dinamico che è più piccolo di quello statico). Per facilitare l integrazione si può supporre che l elementino di area sia una corona circolare di larghezza dr, la cui lunghezza è ovviamente 2πr. Quindi e dm t = fp2πr 2 dr Re M t = 2πfp r 2 dr = 2πfp R3 e Ri 3. R i 3 Da questa formula si ricava la pressione p, per cui la forza di chiusura totale, data dalla pressione per l area di contatto, è W 1 = πp(r 2 e R 2 i ); questa quantità è anche lo sforzo totale di trazione su tutte le viti. Si è usato il pedice 1, di fatto qui inutile, per analogia con quanto svolto nei paragrafi precedenti nel caso delle flange per coperchi Momento di serraggio Per creare sulle viti il carico assiale W 1 calcolato nelle sezioni precedenti (cioè un carico di W 1 /N su ciascuna vite) occorre stringere i dadi con il dovuto momento di serraggio (popolarmente detto coppia di serraggio). Per calcolarlo osserviamo che la coppia vite-madrevite è dinamicamente equivalente ad un piano inclinato Per camprendere questo fatto si faccia riferimento alla figura 16.2; qui si immagina che la vite sia costituita sostanzialmente di una molla (che schematizza l elasticità del gambo) che tira verso il basso un elementino trapezoidale (che schematizza una porzione del filetto della vite), a sua volta appoggiato su un cuneo, che rappresenta una porzione del filetto del dado. Lo scopo dell avvitamento è insinuare il cuneo (filetto del dado) sotto l elementino trapezoidale (filetto della vite) vincendo la forza della molla e quindi esercitando una forza T. Evidentemente tra i due elementi a contatto c è una forza di chiusura Q e una forza di attrito µq in cui µ è il coefficiente di attrito tra i due filetti. Si considerino ora le forze agenti sul filetto del dado (figura 16.3, in basso): sono la T (orizzontale), la Q (inclinata di α rispetto alla verticale verso il basso) e la µq (inclinata di α rispetto all orizzontale e diretta verso destra). Vi è anche un altra forza verticale diretta dal basso verso l alto, e che rappresenta la reazione della superficie su cui il dado è appoggiato, ma essa non influisce sul nostro ragionamento, che sarà basato su un equilibrio alla traslazione orizzontale. Eseguendo dunque tale equilibrio alla traslazione orizzontale si ha T Q sin α µq cos α da cui T = Q(sin α + µ cos α) (1) 16-7

185 Figura 16.2: Meccanismo ideale equivalente ad una coppia vite-dado. Figura 16.3: Forze agenti sul filetto della vite (in altro) e su quello del dado (in basso); le forze indicate come distribuite sono ininfluenti rispetto al ragionamento che qui interessa. Le forze agenti sul filetto della vite (figura 16.3, in alto) sono: la W 1 /N, diretta dall alto verso il basso, la Q, e la µq, dirette nel verso opposto al caso precedente in quanto forze di reazione. Qui non prendiamo in considerazione le forze orizzontali, in quanto procederemo ad un equilibrio in direzione verticale; basterà accennare al fatto che l equilibrio orizzontale è assicurato dalla rigidezza torsionale del gambo. 16-8

186 Eseguendo dunque tale equilibrio alla traslazione verticale si ha da cui W 1 N Q cos α + µq sin α T = W 1 Q(cos α µ sin α) (2) N Ricavando Q dalla (1) e sostituendo nella (2) si ha T = W 1 N sin α + µ cos α cos α µ sin α e, introducendo l angolo di attrito φ, definito in modo che sia µ = tan φ, W 1 N = sin α + tan φ cos α cos α tan φ sin α Ricordando la formula di addizione della tangente, si ha T = W 1 tan(α + φ) N in cui α angolo d elica del filetto (α = arctan p/(πd m )) per una vite di passo p e φ angolo di attrito. Da essa M t = d m 2 W 1 N tan(α + φ) in cui d m è il diametro medio tra quello esterno D (nominale) della vite e quello interno D 1 della madrevite (vedi figura nella tab. 16.4). Questo è il momento torcente indotto sulla vite e che potrebbe chiamarsi momento di serraggio netto. Occorre considerare anche l attrito tra dado e superficie di appoggio, che dà un momento M d = D m 2 W 1 N tan φ in cui φ angolo di attrito tra dado e superficie di appoggio e D m è il diametro medio del dado (media tra larghezza in chiave e diametro nominale) Il momento di serraggio totale (o lordo, se si vuole) è dato dalla somma di questi due momenti parziali di cui il secondo è completamente perduto, mentre il primo rimane immagazzinato nella vite come momento torcente Verifica della vite La vite è soggetta ad uno sforzo normale Q = W 1 N + W 2 N K b K g + K b e ad un momento torcente M t = d m W 1 tan(α + φ). 2 N Infatti il momento M d rimane confinato al dado e non interessa la vite. La verifica si fa come in un normale solido del de Saint Venant. 16-9

187 Lo sforzo di trazione dà luogo, sulla sezione perpendicolare all asse, ad una distribuzione uniforme di tensioni normali σ = 4Q πd 2. n Il momento torcente dà luogo, sulla sezione perpendicolare all asse, ad una distribuzione di tensioni tangenziali a farfalla τ(r) = 32M t πd 4 r n Per la verifica si osserva che i cubetti più sollecitati sono sul contorno, per essi τ = τ max = 16M t πd 3 n Per la determinazione delle tensioni principali, da introdurre in un criterio di resistenza, si sfrutterà la costruzione di Mohr. Consideriamo il cubetto definito nella figura Le facce 1 sono sezioni normali della vite, le facce 2 sono sezioni radiali, le facce 3 sono parallele alla superficie laterale. Figura 16.4: Cubetto in stato piano di tensione estratto dal solido di de Saint Venant Risultando scarica la superficie laterale (è una delle condizioni poste al problema di de Saint Venant), le facce 3 sono scariche; per conseguenza la normale n 3 ad esse è una direzione principale (autovettore del tensore degli sforzi) e la relativa tensione principale (autovalore) è nulla. Per la determinazione degli altri due autovalori, seguiamo il teorema di Mohr, che dice che al ruotare del cubetto intorno alla normale n 3 i punti le cui coordinate sono la σ e la τ percorrono sul piano di Mohr una circonferenza, mantenendosi su di essa diametralmente opposti. Disegnando la situazione sul piano di Mohr (fig. 16.5) si vede che il punto 1 ha coordinale (σ, τ) e il punto 2 ha coordinate (0, τ) coerentemente con la regola dei segni di Mohr che prende positive le rotazioni orarie. Siccome i due punti sono diametralmente opposti il cerchio ha centro 16-10

188 C di coordinate (σ/2, 0) e raggio quindi le tensioni principali sono: (σ ) 2 C2 = C1 = + τ 2 2 σ 1 = σ 2 + (σ 2 ) 2 + τ 2 σ 3 = σ 2 (σ 2 ) 2 + τ 2 mentre σ 2 = 0 (come detto gli indici delle tensioni principali si scelgono in modo che sia σ 1 > σ 2 > σ 3 ). Una formula di progetto è Figura 16.5: Verifica sul piano di Mohr A s mm 2 = 152W N σ s MPa in cui A s è l area resistente, W la forza assiale agente e σ s la tensione di snervamento del materiale di cui la vite è fatta. 2/ Distanze tra i bulloni La pressione è uniformemente distribuita sulla guarnizione se i bulloni distano meno di 10 volte il loro diametro. La distanza minima tra i bulloni è data dalla necessità di agire con la chiave

189 16.7 Tabelle dell unificazione Tabella 16.3: Filettature metriche ISO a profilo triangolare: Coordinamento diametro-passo (UNI 4535) 16-12

190 Tabella 16.4: Dimensioni delle filettature metriche ISO a profilo triangolare a passo grosso 16-13

191 Tabella 16.5: Dimensioni dei dadi esagonali con filettatura metrica ISO e delle rosette piane

192 Tabella 16.6: Spazio necessario per la manovra con chiavi a forchetta (dimensioni in millimetri)

193 Tabella 16.7: Spazio necessario per la manovra con chiavi a tubo (dimensioni in millimetri) Guarnizioni Si distinguono in guarnizioni tra superfici fisse, come quelle usate per assicurare la tenuta tra coperchio e recipiente, e guarnizioni tra superfici mobili, per esempio i premistoppa, le tenute a labbro e le tenute meccaniche Guarnizioni tra superfici fisse Sono costituite da rondelle di materiali deformabili, che vengono schiacciate tra le due flange durante la fase di tensionamento dei bulloni e che quindi come spiegato sopra assicurano la tenuta. Caratteristiche delle più comuni guarnizioni sono date in tab Guarnizioni tra superfici mobili Sono utilizzate quando le due superfici sono in moto relativo, esempio classico è il caso degli alberi. Per esigenze lievi di tenuta, per esempio se si tratta solo di impedire l entrata di polvere o la fuoriuscita di grasso da un cuscinetto a rotolamento, si usano le tenute a labbro (fig. 16.6) costituite da un dispositivoin gomma con o senza una molla interna per migliorare la tenuta. Ben nota è anche la variante per alberi in cui la guarnizione presenta un armatura metallica in modo da formare un pezzo unico per il montaggio. Nel caso di alberi in moto alternativo, p. e. per steli di pistoni, la tenuta usata è l O-ring, piccolo toro in gomma, originariamente a sezione circolare, la cui tenuta è assicurata da una leggera deformazione

194 Figura 16.6: Tenute a labbro Nel caso di alberi in moto lento o saltuario la tenuta clasica è quella a baderna, costituita da una serie di anelli di materiale molto deformabile, quali canapa impregnata o teflon, sistemate in un alloggiamento e premute da un dispositivo detto pressatrecce. Il numero di anelli in genere varia da quattro a dieci. Per evitare che l eccessivo schiacciamento degli anelli ostacoli il moto dell albero, e per assicurare una tenuta supplementare, talvolta si interpone un anello metallico forato che alimenta dell olio lubrificante a bassa pressione. (fig. 16.7). Questa soluzione è comunemente adottata per gli alberidi pompe centrifughe, al fine di evitare ingressi d aria nella zona di aspirazione, e per gli alberi degli agitatori di reattori e autoclavi per evitare fuoriuscite di vapori o di gas. Nei casi più gravosi si usano le tenute meccaniche, che realizzano la tenuta attraverso il contato strisciante tra un anello fisso solidale con il mozzo e un anello rotante solidale con l albero e premuto contro il primo dalla pressione di una molla elicoidale. Esse, sebbene più costose delle tenute a baderna, offrono prestazioni nettamente superiori. Nel caso di alberi molto veloci, quali quelli dei turbocompressori, difficoltà di lubrificazione e raffredamento sconsigliano l uso della tenuta a contatto, come quelle dei tipi precedenti, e si realizza quindi una tenuta senza contatto o tenuta a labirinto, costituita da una serie di allargamenti e contrazioni di sezione che impongono al gas che vuole sfuggire forti perdite di carico. Ovviamente la tenuta non è perfetta, nel senso che un aliquota di gas comunque sfugge, per cui, se ci sono esigenze di evitare perdite occorre iniettare nella sezione centrale del labirinto un gas inerte che assicuri la tenuta. Figura 16.7: Guarnizioni a baderna 16-17

195 Tabella 16.8: Caratteristiche delle guarnizioni 16-18

196 16.9 Flange Costituiscono delle espansioni a corona circolare all estremità di un recipiente o di un tratto di tubo, in modo ad assicurare la connessione con un elemento contiguo per mezzo di bulloni. Si dividono in flange con superficie di contatto parziale, se la guarnizione non si estende oltr la circonferenza dei bulloni, oppure con superficie di contatto integrale, se la guarnizione supera la circonferenza dei bulloni. Le prime si dividono a loro volta in flange integrali, quelle che formano un tutto unico col mantello, e quindi sono soggette alla pressione del fluido, e flange libere, che non sono soggette alla pressione del fluido. Un ulteriore classificazione è quella della figura per il dimensionamento delle flange si fa solo l esempio delle flange integrali, rimandando per le altre alla normativa. Esse vengono proporzionate con le formule seguenti: σ r = MX t 2 σ a = f MX [ s 2 2 ] F t/s 1 2r1 /s 1 σ t = MY t 2 Zσ r i cui parametri sono dati nella tab e nella figura Figura 16.8: Tipi di flange: a, saldata di testa; b, saldata a sovrapposizione; c, filettata; d, mandrinata; e, libera; f, slip-on. Finiture della faccia: g, piana; h, con risalto; i, con risalto per guarnizione tipo ring-joint ; l, a incameratura semplice; m, a incameratura doppia

197 Figura 16.9: Formule per flange integrali 16-20

198 Figura 16.10: Figure per flange integrali 16-21

199 17. Trasmissioni 17.1 Generalità Vediamo quale forma devono avere due corpi rotolanti l uno sull altro per trasmettere moto tra due assi comunque disposti nelllo spazio e con legge qualsiasi. Naturalmente data l enorme generalità del problema ci limiteremo a dare qualche principio generale e a discutere alcuni casi particolari interessanti. Dati due assi a e b, ci proponiamo di determinare la forma che devono avere i due corpi C a e C b, rotanti rispettivamente intorno a tali assi, affinché il loro moto avvenga per continuo contatto di sviluppo, cioè affinché due punti coincidenti delle loro superfici si spostino nella medesima direzione e con la stessa velocità assoluta. Siano ω a e ω b le velocità angolari intorno ai due assi a e b e sia AB la minima distanza tra i detti assi (fig. 17.1) Figura 17.1: Trasmissione del moto attorno ad assi comunque disposti nello spazio. Ci proponiamo di dimostrare che: Il moto relativo dei due corpi C a e C b si può in generale ridurre in ciascun istante ad una rotazione intorno ad un asse c e ad uno scorrimento parallelo allo stesso asse. Premettiamo che le rotazioni si compongono tra loro come vettori, per cui se due assi sono concorrenti la rotazione somma delle due è diretta secondo un asse concorrente con gli altri due e la cui direzione è data dalla diagonale della regola del parallelogrammo. Attribuiamo a tutto il sistema la velocità angolare ω b intorno all asse b: ciò equivale a guardare il moto da un sistema di riferimento solidale al corpo C b, che ora appare immobile. 17-1

200 Lo stesso risultato si ottiene dando al sistema una rotazione ω b intorno all asse x parallelo a b e passante per A ed una traslazione in direzione normale ad x di velocità v = ω b AB Componiamo le due rotazioni ω a e ω b intorno agli assi concorrenti a e x nella rotazione risultante di velocità angolare Ω intorno all asse c la cui direzione è definita dalla relazione ω a = sin β ω b sin α (1) Decomponiamo la velocità v di traslazione in due componenti s e V secondo la direzione di c, ossia di Ω e la sua normale s = v sin β V = v cos β Componiamola rotazione Ω e la traslazione V in un unica rotazione di uguale velocià angolare intorno all asse c parallelo a c e passante per un punto C di AB tale che sia V = ΩAC con ciò avremo ridotto il movimento del sistema ad una rotazione Ω intorno a c a ad una traslazione s lungo c, ossia ad un movimento elicoidale relativo all asse c con velocità Ω e con velocità di scorrimento s. La direzione e la posizione dell asse c dipendono dalla posizione degli assi a e b e dalla grandezza, e soprattutto dal verso, delle due velocità angolari ω a e ω b. Possiamo infatti scrivere AC = V Ω = v cos β Ω = ω bab cos β Ω Con analogo procedimento si potrenne ottenere: BC = V Ω = v cos β Ω = ω aab cos α Ω per cui AC BC = ω b cos β ω a cos α Se i valori di ω a e ω b sono variabili col tempo, varia col tempo la posizione dell asse elicoidale c e ciascuna delle sue posizioni rappresenterà un asse elicoidale istantaneo. Considerando tale asse c solidale all asse a (o all asse b) avremo, per effetto della rotazione ω a (o ω b ), che il luogo dei successivi assi c verrà a costituire due superficie rigate 1 assoidi 2 che possiamo assumere a rappresentare la forma dei due corpi C a e C b rotanti attorno ad a e b. In tal caso il moto relativo dei due corpi C a e C b si riduce ad una rotazione e contemporaneo scorrimento intorno all asse elicoidale istantaneo lungo il quale si toccano le due superfici assoidi. Se in particolare il rapporto tra le velocià angolari (rapporto di trasmissione) è costante, le due superfici assoidi diventano due iperboloidi di rivoluzione (fig. 17.2) generati dalla rotazione della retta c intorno all asse a e intorno all asse b. Si possono distinguere due casi: 1 superficie formate da una semplice infinità di rette. 2 cioè luoghi di assi istantanei (2) 17-2

201 Figura 17.2: Trasmissione del moto attorno ad assi comunque disposti nello spazio. Caso del rapporto di trasmissione costante. 1. Se α = β = 0 cioè se gli assi a e b sono paralleli l asse c risulta parallelo agli altri due: cioè i due iperboloidi di rivoluzione diventano due cilindri a sezione circolare. In tal caso la (2) diventa: AC BC = ω b ω a (2 ) il che significa che i raggi dei cilindri stanno tra loro nel rapporto inverso delle velocità angolari. Dalle precedenti relazioni risulta anche s = 0 cioè il moto relativo si riduce ad un semplice moto di rotazione. 2. Se AB = 0 cioè se gli assi a e b sono incidenti 3, i due iperboloidi diventano due coni a sezione circolare definiti dalla condizione (1). Dalle precedenti relazioni, essendo v = 0, risulta anche s = 0 cioè anche in questo caso il moto relativo si riduce ad un semplice moto di rotazione senza strisciamento. La presenza dello strisciamento comporta ovviamente una dissipazione di energia; per questa ragione la trasmissione tra assi sghembi non viene impiegata se non quando la potenza da trasmettere è piuttosto piccola e quindi si può tollerare un piccolo valore del rendimento. 3 o concorrenti, come si dice in gergo. 17-3

202 17.2 Ruote di frizione Se ai corpi rotolanti si dà la forma delle superfici assoidi sopra determinate si hanno le ruote di frizione cosiddette perché affinché si abbia effettiva trasmissione di potenza occorre l intervento della forza di attrito. Le due ruote vengono pressate fortemente l una contro l altra e se l una è posta in moto riesce a trascinare anche l altra. Il caso più comune è quello ruota-rotaia (o ruota-strada) in cui ovviamente una delle due ruote ha in realtà un raggio infinito. È chiaro che in questo caso il trascinamentò della rotaia è presente nel sistema di riferimento in cui il veicolo è fermo. L inconveniente principale delle ruote di frizione è la necessità di avere una notevole forza di chiusura per generare una sufficiente forza di attrito. Ciò causa ben presto un sovraccarico degli alberi e addirittura deformazione plastica o comunque usura dei corpi rotolanti; perciò le ruote di frizione sono adatte solo per trasmissione di piccole potenze. Per superare l inconveniente si può: aumentare il coefficiente di attrito (anticamente si interponeva il cuoio), come per esempio nelle trasmissioni Stevans ed Evans, creare dispositivi particolari, per aumentare la forza di chiusura senza sovraccaricare gli assi (sistema Garrad (fig. 17.3)) disporre sulla superficie delle ruote delle scanalature circonferenziali (soluzione possibile solo con le ruote cilindriche) però il sistema migliore è di disporre scanalature in senso assiale (più precisamente nel senso dello scorrimento s ricavato nel paragrafo precedente) ottenendo così le ruote dentate. Figura 17.3: Trasmissioni Garrad. La ruota A trasmette il moto a quella B; il rullo C, essendo libero di spostarsi nella direzione normale al piano contenete gli assi di Ae B, viene trascinato dall anello D e si incunea tra B e D aumentando moltissimo la forza di chiusura, la quale viene contrastata dall anello D senza creare sovraccarichi sugli alberi. Si noti che il passaggio ruote di frizione lisce ruote di frizione scanalate ruote dentate, corrisponde a quello che nelle trasmissioni flessibili è il passaggio cinghie lisce cinghie trapezoidali cinghie dentate (o catene). 17-4

203 18. Ruote dentate 18.1 Generalità Per ovviare all inconveniente caratteristico delle ruote di frizione di non poter trasmettere grandi valori della forza periferica (e quindi grandi potenze), basta munire la periferia delle ruote di denti che ingranino gli uni con gli altri. Si hanno così le ruote dentate. I profili dei denti di due ruote dentate accoppiate essendo necessariamente estesi nel senso radiale per una certa quantità all infuori e all indentro delle due primitive, si trasmettono il moto per contatto di rotolamento e di strisciamento, anziché per semplice contatto di rotolamento, come le ruote di frizione. Durante tale contatto di rotolamento e di strisciamento i denti si spingono l un l altro con una forza normale N la cui componente nella direzione normale ad AB eguaglia (se si trascurano in prima approssimazione gli attriti) la forza periferica F da trasmettere (fig. 18.1). Figura 18.1: Forze scambiate tra due ruote dentate Premettiamo alcune definizioni e nozioni fondamentali. Superficie primitive sono le superficie assoidi cui corrisponde la legge di trasmissione che si vuol realizzare tra i due assi e che costituirebbero le superficie di due ruote di frizione cinematicamente equivalenti. Si potrebbero anche definire, in modo forse impreciso, ma efficace, come le superficie medie di contatto; in quanto superficie assoidi sono superficie rigate, e quindi possono essete cilindri, o coni, o iperboloidi a una falda (questi ultimi ammettono il cilindro e il cono come casi particolari). Linee primitive o primitive sono le intersezioni delle superficie primitive con una superficie contemporaneamente normale ad esse e agli assi di rotazione. Nel caso di assi paralleli le primitive sono le intersezioni dei cilindri assoidi con un piano normale ai due assi; nel caso di assi concorrenti sono le intersezioni dei con assoidi con una sfera avente il centro nel loro vertice comune; nel caso di assi sghembi sono le intersezioni degli iperbolidi con due ellissoidi di rivoluzione generati da due ellissi omofocali con le iperboli che generano gli iperboloidi. Testa e base del dente sono la parte del dente che sporge e rientra nella superficie primitiva, costa e fianco del dente le parti dei profili dei denti corrispondenti alla testa e alla base. General- 18-1

204 mente le altezze della testa e della base (misurate nella direzione del raggio) si fanno uguali a m e 4/5m (essendo m il modulo, che verrà definito tra breve). Passo è la distanza tra due denti consecutivi, misurata lungo la primitiva. Il passo è uguale allo spessore del dente più il vano che è un poco maggiore dello spessore del dente (fig. 18.2) per dare spazio ai denti della ruota compagna e permettergli di ingranare. Se indichiamo con z il numero dei denti di una ruota di cui sia r il raggio della primitiva sarà p = 2πr z Essendo z ed r espressi in numeri interi, il passo risulta irrazionale. Si preferisce perciò nella pratica considerare, al posto del passo, il modulo. Figura 18.2: Alcune definizioni Modulo (o passo diametrale) è il rapporto tra il diametro e il numero di denti m = 2r z. Il modulo dunque non è altro che il passo misurato, invece che in millimetri, in unità di π millimetri e tra il modulo e il passo sussiste la relazione m = pπ. Arco d azione è la parte di primitiva che si svolge durante il tempo in cui un singolo dente rimane impegnato col dente coniugato. Esso è composto dall arco di accesso e dall arco di recesso, che corrispondono rispettivamente al tempo per il quale il contatto avviene lungo il fianco o lungo la costa del dente della ruota motrice. Per assicurare la continuità della trasmissione è necessario che l arco di azione sia maggiore del passo, il che equivale a dire che prima che due denti siano abbandonati è necessario che altri due abbiano già incominciato a ingranare. Linea d imbocco è il luogo dei punti dello spazio fisso in cui avviene successivamente il contatto dei punti corrispondenti di due profili compagni. Evidentemente la linea d imbocco MN (fig. 18.3) non può prolungarsi oltre i due cerchi di testa delle due ruote. La linea d imbocco fornisce immediatamente la direzione della reazione mutua tra i denti. Infatti tale reazione (a pare l effetto dell atttrito) è diretta secondo la normale ai profili nel punto di contatto e, per definizione di profilo coniugato, tale normale passa sempre per il centro di istantanea rotazione (punto di tangenza delle due primitive). Le varie rette che vanno dal centro di istantanea rotazione ai punti della linea di imbocco rappresentano perciò le successive direzioni della reazione tra i denti alla cui componente normale alla linea congiungente i centri è dovuta la trasmissione del moto. La linea d imbocco MN permette di determinare l arco d azione proiettando gli estremi M ed N sulle due primitive dai centri delle due ruote; l arco d azione risulta così dalla somma dei due archi di accesso e di recesso QO e OR. 18-2

205 Figura 18.3: Linea d imbocco 18.2 Classificazione Le ruote dentate si classificano a seconda della diposizione degli assi e in seguito a seconda della disposizione dei denti. Si hanno perciò ruote cilindriche per trasmissione tra assi paralleli, a loro volta divise in ruote cilindriche a denti diritti ruote cilindriche a denti elicoidali ruote coniche per trasmissione tra assi concorrenti ruote iperbolidiche per trasmissione tra assi sghembi, di cui i tipi più usati sono: copiia vite senza fine - ruota elicoidale ruote ipoidi (per maggiori dettagli vedi appresso). Nel seguito si tratterà quasi esclusivamente delle ruote cilindriche a denti diritti, concettualmente le più semplici, benché le più usate siano quelle a denti elicoidali Profili dei denti I profili dei denti sono coniugati, cioè: le tangenti ai profili nel punto di contatto devono coincidere; per conseguenza coincidono anche le normali; la comune normale deve passare per il centro di istantanea rotazione. 18-3

206 In questo modo la velocità relativa dei profili risulta puramente tangenziale (strisciamento), e non ha componente normale (tendenza al distacco o all urto). Lo strisciamento risulta proporzionale alla distanza tra punto di contatto e centro di istantanea rotazione; non può essere del tutto annullato, ma può essere ridotto al minimo facendo in modo che il contatto avvenga sempre nei pressi del centro di istantanea rotazione. In pratica ciò si ottiene riducendo l altezza dei denti, e quindi aumentandone il numero, compatibilmente con la loro resistenza. Le due forme usuali dei profili sono: profilo cicloidale profilo ad evolvente. Una coppia di profili coniugati si ottiene geometricamente facendo rotolare senza strisciamento una curva ausiliaria detta rulletta una volta su una superficie primitiva (all esterno) e una volta sull altra (all interno). Si hanno così le sporgenze della prima ruota e le rientranze della seconda; lo stesso procedimento, con posizioni invertite della rulletta si userà per determinare le rientranze della prima ruota e le sporgenze della seconda. Nel profilo cicloidale la rulletta è una circonferenza; nel profilo ad evolvente la rulletta è una retta; in quest ultimo caso la rulletta rotola non sulla primitiva ma su una retta ausiliaria, interna alla primitiva, detta circonferenza di base Profilo cicloidale Determinazione dei profili Siano m 1 ed m 2 le due primitive: assumiamo una circonferenza e come curva rotolante, cioè come ipociclo (per la m 1 ) e come epiciclo (per la m 2 ) (fig. 18.4). Figura 18.4: Profili cicloidali: determinazione dei profili Per quanto è stato dimostrato le due rullette s e s (ipocicloide ed epicicloide ) di un suo punto (per es. Del punto O) quando questa circonferenza e rotola rispettivamente sulla m e sulla m 18-4

207 costituiscono due profili coniugati dei quali potremo utilizzare due archi per profilare due denti coniugati. Ma così facendo non potremmo ottenere che denti tutti sporgenti dalla superficie primitiva per la ruota m 2, e tutti incavati dentro la superficie primitiva per la ruota m 1, mentre conviene che i denti siano in parte sporgenti ed in parte incavati perchè si discostino il meno possibile dalla superficie primitiva essendo lo strisciamento dei profili tanto minore quanto meno essi si allontanano dalla primitiva. Per completare i denti assumeremo perciò un altra circonferenza i (fig. 18.5) simmetrica della precedente rispetto ad O come epiciclo (per la m ) e come ipociclo (per la m): le traiettorie s ed s di un suo punto (per es. del punto O ) quando questa circonferenza i rotola rispettivamente sulla m 1 e sulla m 2 costituiscono due profili coniugati ed anche di essi potremo utilizzare due archi per completare i profili dei denti che quindi risultano completi di costa e di fianco. Figura 18.5: Profili cicloidali: determinazione dei profili Gli archi di ipo- ed epicicloide che utilizzeremo per il profilo dei denti saranno per ciascuna ruota limitati dal cerchio di base e dal cerchio di testa (fig. 18.6). I profili dei denti così ottenuti presentano in corrispondenza della primitiva un punto di flesso che costituisce una caratteristica del profilo cicloidale dal quale generalmente esso si può riconoscere sulle ruote già costruite. La linea d imbocco Nei denti a profilo cicloidale La linea d imbocco è un arco dell epiciclo. Infatti sia m 1 la primitiva ed e l epiciclo (fig. 18.7): consideriamo una posizione successiva è dell epiciclo cui corrisponde l arco OM di epicicloide descritta dal punto O ed il punto O di tangenza con la primitiva. La normale in M all epicicloide è (per la proprietà dell epicicloide) la M O. Durante la rotazione della ruota m 2 il punto M descrive la circonferenza punteggiata: esso verrà a contatto col punto corrispondente del profilo coniugato dell altra ruota quando (per proprietà di profilo coniugato) la normale condotta per esso al profilo passerà per il centro O di istantanea rotazione. Ma la normale condotta per M al profilo epicicloidale è, come si è detto, la M O ed il punto O verrà - durante la rotazione della ruota m - a coincidere con O quando M verrà a coincidere col punto M dell epiciclo tangente in O alla primitiva. 18-5

208 Figura 18.6: Profili cicloidali Figura 18.7: Generazione dei profili cicloidali 18-6

209 Profilo ad evolvente Figura 18.8: Generazione dei profili ad evolvente Determinazione dei profili Siano (fig. 18.8) m 1 ed m 2 le due primitive: assumiamo una retta t tangente a due circonferenze ausiliarie interne alle primitive: tale retta t si chiama retta d azione. Le traiettorie s 1 ed s 2 descritte da un punto (per es. O) della retta t quando essa si svolge rispettivamente sulle circonferenze ausiliarie a 1 ed a 2 costituiscono due profili coniugati. Ciò risulta evidente se si considera il moto relativo delle primitive m 1 ed m 2 e se si suppone avvolto sulle ausiliarie un filo inestensibile SR. Si supponga che sia fissa la m 2 e che la m 1 rotoli su di essa: il punto O del filo mentre questo si svolge sulla a 2 descrive l evolvente s 2. Considerando invece fissa la m 1 e mobile la m 2 il punto O descrive l evolvente s 1. Ora, queste due evolventi hanno un punto in comune in tutte le loro posizioni perchè sono descritte entrambe dallo stesso punto O ed hanno inoltre la normale comune che è la retta t passante per il centro di istantanea rotazione O. In conseguenza le due evolventi costituiscono due curve coniugate il cui punto di contatto si sposta sulla retta t. Possiamo quindi scegliere (figura 18.9) due archi di tali evolventi limitati dal cerchio di base e dal cerchio di testa per profilare i denti delle ruote compagne: tali profili avranno per linea di imbocco il segmento MN della retta d azione limitato dai due cerchi di testa. Ciò significa che la direzione della spinta tra i denti (a parte gli attriti) è diretta per tutta la durata dell ingranamento secondo la direzione della retta d azione. Caratteristica dei profili ad evolvente Una proprietà dei profili ad evolvente che nella pratica ha importanza notevole è costituita dal fatto che se la distanza fra gli assi di due ruote compagne è lievemente maggiore della somma dei raggi delle due primitive (per es. per una imperfezione di montaggio o per usura dei cuscinetti), i due profili seguitano ad essere coniugati. Infatti la normale ai profili nei punti di contatto rimarrà sempre diretta secondo la tangente comune alle due circonferenze ausiliarie le quali non si modificano per il fatto che gli assi delle ruote cambiano la loro posizione relativa, trattandosi di elementi geometrici direttamente coniugati alle sagome dei denti. Ciò significa che i profili rimengono coniugati. 18-7

210 Oltre a ciò la legge di trasmissione del moto non risulta per l allontanamento degli assi modoficata, potendosi scrivere (figura 18.10), se r1 = AO, r2 = OB, ed essendo il nuovo centro di istantanea rotazione Ò, intersezione fra la congiungente i centri e la tangente comune alle ausiliarie: ω 1 ω 2 = BO A O = BM A N = ρ 2 ρ1 = r 2 sin φ r 1 sin φ = r 2 r 1 Tutto si riduce quindi soltanto ad una piccola variazione dell angolo di spinta che viene ridotto da φ a φ. Per tale preziosa proprietà, oltre che per la maggiore facilità di lavorazione (essendo a semplice curvatura) il profilo ad evolvente è certamente il più usato La forma della dentatura I denti delle ruote dentate, secondo uno dei profili indicati nel precedente paragrafo, possono essere a generatrice rettilinea o a generatrice elicoidale Ruote a denti diritti I denti sono intagliati sulle superfici assoidi primitive e le loro generatrici sono rettilinee e parallele all asse di istantanea rotazione. Le ruote a dentatura diritta si usano per la trasmissione del moto rotatorio tra assi paralleli (ruote cilindriche) e tra assi concorrenti (ruote coniche). Assi paralleli Si usano le ruote cilindriche, che sono limitate da una superficie cilindrica avente per generatrice una retta parallela all asse di istantanea rotazione e per direttrice i profili dei denti tracciati con uno dei metodi indicati precedentemente (profili cicloidali o ad evolvente) su un piano normale all asse. Figura 18.9: Denti a profilo elicoidale 18-8

211 Figura 18.10: Ruote ad evolvente nel caso di aumentato interasse Assi concorrenti Si usano le ruote coniche (fig ) che sono limitate da una superficie conica avente per generatrice una retta concorrente nel punto O e per direttrice il profilo dei denti tracciati con uno dei due metodi precedentemente indicati. Poichè è poco comodo disegnare i profili dei denti sopra due calotte sferiche si usa sostituire ad esse i due coni tangenti DV 1 E e CV 2 E che si dicono coni complementari sviluppando tali coni su un piano (fig ), disegnando i profili dei denti con uno dei due metodi noti sui due settori circolari che se ne ottengono e riavvolgendo i due settori così profilati sui coni complementari. Ne risulta che i profili dei due denti sono costruiti come se appartenessero a ruote di raggio R 1 ed R Ruote a denti elicoidali Tornando al caso più generale, consideriamo la trasmissione tra due assi sghembi, in cui le ruote di frizione che realizzano la trasmissione del moto sono costutuite da due tronchi di iperbolidi. Il moto relativo istantaneo si riduce, come abbiamo visto, ad un moto elicoidale attorno all asse d istantanea rotazione lungo il quale i due iperboloidi si toccano, cioè ad un moto di rotazione intorno a detto asse con velocità Ω e di strisciamento lungo lo stesso con velocità s. Se pratichiamo su ciascuna delle due ruote dei denti (elicoidali) potremo ottenere la trsmissione del moto. Poichè il moto relativo ha una componente di stisciamento s, l asse dei denti dovrà essere orientato secondo l asse istantaneo del moto elicoidale. I denti delle due ruote si svolgeranno l uno sull altro realizzando un contatto di rotolamento e di strisciamento dei due profili in direzione normale all asse dei denti, come ogni coppia di profili coniugati, mentre strisceranno con velocità s anche lungo il loro asse. 18-9

212 Figura 18.11: Ruote coniche Figura 18.12: Coni complementari sviluppati Dato il limitato spessore che ordinariamente viene assegnato alle ruote, potremo sostituire per ragioni costruttive ai due tronchi di iperboloidi di rivoluzione due tronchi di cilindri (o di coni). In conseguenza di tale sostituzione i denti delle due ruote non si toccheranno più per tutta la loro lunghezza ma soltanto in un punto. Le due ruote considerate non potranno perciò servire per trasmettere elevati valori della forza periferica (e quindi della potenza); e in ogni caso per effetto dello strisciamento lungo l asse del dente con velocità s tale trasmissione non potrà avvenire senza notevole dissipazione di energia. Ruote siffatte sono infatti impiegate soltanto in casi speciali per piccole potenze e quando non interessi il rendimento della trasmissione. Esse invece acquistano notevole importanza e sono correntemente usate in due casi particolari: quando gli assi sono paralleli o quando gli assi sono sghembi a 90 gradi ed il rapporto di trasmissione è molto piccolo (o molto grande). Assi paralleli Si hanno le ruote Hooke, così dette perchè proposte per la prima volta (nel 1647) da Hooke, ed oggi adoperate nei casi più importanti di trasmissione di potenza tra assi paralleli per le particolari proprietà che verranno messe in evidenza

213 Essendo gli assi a e b paralleli, gli iperboloidi si riducono a cilindri e perciò le ruote cilindriche non rappresentano, come nel caso generale della pagina precedente, una soluzione approssimata, ma sono cinematicamente corrette. Si ha inoltre, per quanto già visto ω b ω a = r a r b s = 0 Come per le ruote a denti diritti, il rapporto di trasmissione del moto rotatorio è uguale al rapporto inverso dei raggi ed è nullo lo scorrimento dei denti in direzione parallela al loro asse. Possiamo infatti immaginare le ruote a denti elicoidali con assi paralleli derivate dalle ruote a denti diritti per successive rotazioni infinitesime di elementi di ruote, senza che tali successive rotazioni alterino la legge della trasmissione del moto o introducano alcuno scorrimento dei denti in direzione parallela al loro asse. Immaginiamo che una coppia di ruote cilindriche a denti diritti venga intersecata da una serie di piani paralleli equidistanti e normali agli assi a e b, e così scomposta in tante coppie di ruote elementari di spessore x. Tenendo ferma la prima coppia di ruote elementari di cui siano s 1 ed s 2 i profili coniugati combacianti nel punto 1, si faccia rotare ciascuna successiva coppia (fig ) di un angolo θ rispetto alla precedente: il punto di contatto dei corrispondenti profili coniugati si troverà nelle successive posizioni 1,2,3... della linea d imbocco ed avremo così due ruote a gradini, e al limite, per x infinitamente piccolo (fig ) due ruote a denti elicoidali. Figura 18.13: Ruote a denti elicoidali Durante il funzionamento quando due delle ruote elementari si abbandonano le due successive seguitano ad ingranare per il tempo corrispondente alla rotazione dell arco di cui ogni coppia di ruote elementari è spostata rispetto alla precedente. Indichiamo con θ la somma di questi angoli θ, cioè l angolo tra la prima e l ultima coppia di elementi: l arco di azione corrispondente ai profili delle ruote a denti diritti da cui siamo partiti risulta così in queste ruote virtualmente aumentato di θ, e tale proprietà è una delle caratteristiche delle ruote di Hooke

214 Figura 18.14: Ruote a denti elicoidali Le conseguenze più interessanti di tale virtuale aumento dell arco di azione sono: 1) Non essendo più necessario che l arco d azione α sia maggiore del passo, perchè è sufficiente che α + θ sia maggiore del passo, si possono fare i denti più bassi e si hanno quindi minori strisciamenti tra i profili e conseguentemente maggiore rendimento. 2) Essendo il numero dei denti contemporaneamente in presa maggiore che nel caso delle ruote a denti diritti, si ha una maggiore dolcezza di trasmissione ed anche per questa circostanza un maggiore rendimento. Adottando, come generalmente, il profilo ad evolvente, il contatto tra due denti coniugati avviene secondo una linea che si proietta su un piano normale all asse in una tangente tt alla circonferenza ausiliaria a 2 (fig ); solo nell istante in cui due denti cominciano ad ingranare il contatto si riduce ad un punto situato ad una estremità del dente in prossimità della base in S o all altra estremità sul vertice T. Figura 18.15: Linee di contatto tra i denti nelle ruote a denti elicoidali 18-12

215 In generale, quindi, non è realizzata la condizione che si era proposto Hooke, di costruire delle ruote così dette senza attrito, nelle quali cioè il contatto di due denti coniugati fosse limitato ad un punto della primitiva e fosse perciò eliminato lo strisciamento relativo dei due profili. Il contatto tra i denti avviene invece lungo tratti di linee elicoidali la cui somma è più lunga del segmento di generatrice a cui si ridurrebbe il contatto se si trattasse di ruote a denti diritti, e su tale aumentata lunghezza si distribuisce la pressione tra i denti. Nelle ruote a denti elicoidali la pressione tra i denti da origine ad una componente lungo l asse della ruota che tenderebbe a spostare assialmente la ruota stessa. Per evitare tale inconveniente, che renderebbe necessaria la sistemazione di un cuscinetto di spinta sull asse, si usano le ruote a freccia (à chevron) costituite (fig ) da due semi ruote eguali accoppiate aventi i denti inclinati simmetricamente rispetto al piano mediano. Le due semi ruote possono essere sfasate l una rispetto all altra di mezzo passo periferico (fig ) in modo che ai denti dell una corrispondano i vani dell altra: si hanno così le ruote Wüst che realizzano una trasmissione più dolce perchè i due semidenti non iniziano contemporaneamente l imbocco. Figura 18.16: Ruote a freccia Figura 18.17: Ruote Wüst Le dentature elicoidali permettono di trasmettere grandi potenze e si usano nei riduttori per 18-13

216 motori marini che oggi si costruiscono correntemente fino a parecchie decine di migliaia di kw. La possibilità di trasmettere sì grandi potenze deriva dall elevato rendimento che, per quanto detto, caratterizza le ruote a denti elicoidali. Con ruote a denti diritti ciò non sarebbe infatti possibile per l eccessivo aumento di temperatura dei denti (dovuto alla dissipazione per attrito) e quindi del lubrificante interposto, il quale diminuirebbe tanto la sua viscosità da perdere le sue caratteristiche lubrificanti e non poter rimanere tra le superfici dei denti. Per l aumento virtuale dell arco d azioen si riduce l altezza del dente in confronto ai denti diritti assumendo l altezza di costa pari a (5/6)m e l altezza del fianco pari a m. L angolo di apertura della freccia 2γ (fig ) si assume pari a per modo che l arco θ corrispondente all aumento di arco d azione θ = AD = b 1 2 tan γ (con la larghezza della ruota b = (4 5)p) risulti uguale o maggiore del passo. Figura 18.18: Ruote a freccia 18-14

217 18.5 Angolo di spinta L angolo di spinta è l angolo tra la tangente alle due circonferenze primitive nel centro di istantanea rotazione e la congiungente questo centro con il punto di contatto tra i denti. In generale varia con la posizione del punto di contatto; nelle dentature ad evolvente risulta invece costante ed è quindi una caratteristica dell ingranaggio; in particolare il suo valore nominale è una caratteristica costruttiva delle ruote ed è in genere di 20. Condizione necessaria affinché due ruote ad evolvente ingranino tra loro è che abbiano lo stesso angolo di spinta nominale La costruzione delle ruote dentate ad evolvente Si definisce dentiera una ruota dentata ad evolvente di raggio infinito; in essa la linea primitiva è una retta e i fianchi dei denti sono rettilinei e perpendicolari alla retta di spinta. Tutte le ruote che ingranano con la dentiera ingranano anche tra loro; perciò si usa la dentiera come utensile per la costruzione delle ruote. Vi sono due tipi di dentatrici che sfruttano questo principio: la dentatrice Maag ad utensiledentiera e la dentatrice a fresa-vite o a creatore. La dentatrice Maag possiede una dentiera i cui denti sono affilati e resi quindi taglienti; il moto di taglio è perpendicolare all asse della ruota da costruire, perciò ha un andamento a va-e-vieni. Inoltre la ruota e la dentiera hanno due moti relativi: uno corrispondente a quello che avrebbero se ingranassero tra loro (cosa che sarà realizzata solo al termine del processo costruttivo) (vedi la fig ) e uno di graduale avvicinamento, necessario in quanto l utensile deve tagliare la ruota a profondità via via crescenti (questo moto non è mostrato nella fig ). Figura 18.19: Generazione dei denti con un utensile dentiera

218 Nella dentatrice a creatore l utensile è una fresa ottenuta facendo ruotare il profilo della dentiera di moto elicoidale attorno ad un asse. Sia il moto di taglio che il moto di traslazione del profilo a dentiera sono ottenuti facendo ruotare la fresa intorno al proprio asse. Quando si costruisce una ruota con dentatrice Maag o a creatore, si deve evitare il fenomeno del sottotaglio, ovvero indebolimento della base resistente del dente; perciò si è limitati da un numero minino di denti pari a: essendo α l angolo di spinta. z min = 2 sin 2 α 18.7 Verifica delle ruote dentate La verifica di resistenza degli ingranaggi deve essere eseguita per le due condizioni: di usura del dente per lo strisciamento col dente compagno, di rottura del dente per carico di fatica. Per quanto riguarda il calcolo l usura, questa più precisamente è riferito alla resistenza ad un particolare tipo di usura per fatica, detta pitting, dovuta alla ripetizione della pressione di contatto. Per il calcolo della resistenza al pitting si valuta la pressione massima sul fianco dei denti, applicando la legge di Hertz sul contatto di due superfici tenendo conto di tutte le cause di sovraccarico. Questo risultato viene poi confrontato con la resistenza la pitting, opportunemente corretta per l ingranaggio in esame. Per il calcolo a fatica, si noti che il dente non è sempre in presa, per cui risulta soggetto a carichi ripetuti dallo zero. Il carico agente sul dente è essenzialmente flessionale e si deve tener conto dell effetto d intaglio. I metodi di calcolo degli ingranaggi sono pressocché infiniti. A parte i metodi più primitivi e del tutto superati, tra gli autori che negli ultimi cinquant anni si sono occupati dell argomento vanno citati Elley e Pedersen, Almen e Straub, Niemann ed Henriot. Il più attivo tra gli italiani è stato il Castellani. A seguito di questi e di innumerevoli altri studi sono state emanate la norme AGMA e ISO; queste ultime prospettano tre metodi di calcolo, di semplicità crescente e precisione decrescente, denominati A, B e C. La norma UNI 8862 ricalca essenzialmente la norma ISO C. Qui nel seguito seguirò essenzialmente il percorso concettuale che sta dietro alla UNI 8862, quindi con grosse ulteriori semplificazioni, finalizzate comunque a rendere meno impervio l arduo argomento

219 Simboli Simbolo Denominazione e formula unità di misura a Interasse di riferimento mm a Interasse di funzionamento mm b Larghezza di fascia mm d Diametro primitivo di riferimento mm d = zm n cos β d Diametro primitivo di funzionamento mm d 1 = u 2a ± 1 ; d 2 = ud 1 m n Modulo normale di riferimento mm u Rapporto di ingranaggio u = z 2 z 2 1 z Numero di denti α n Angolo di pressione normale di riferimento α t Angolo di pressione trasversale di riferimento tan α t = tan α n cos β α t Angolo di pressione trasversale di funzionamento cos α t = d cos α t d β Angolo d elica di riferimento β b Angolo d elica di base sin β b = sin β cos α n Condizione di resistenza al pitting Il dente è soggetto a strisciamento sotto l azione di una forza concentrata, in quanto i due denti a contatto si premono fortemente l uno con l altro. Si parte dalla teoria di Hertz sui contatti localizzati, che predice il valore della pressione massima di contatto per caso di sfere ed i cilindri. In generale la distribuzione della pressione nella zona di contatto è un semiellissoide. Nel caso delle ruote dentate il contatto tra denti è schematizzabile come contatto tra due cilindri. In questo caso la zona di contatto diventa un rettangolo e la distribuzione delle pressioni un cilindro a sezione ellittica. Se P è la forza di chiusura e b la lunghezza del contatto tra i due cilindri, pari alla larghezza delle ruote, la pressione massima q 0 vale q 0 = 2 P π ab in cui a è la larghezza della zona di contatto, data da a = 4 P b (k 1 + k 2 ) R 1R 2 R 1 + R 2 in cui k 1 = 1 ν2 1 πe 1 k 2 = 1 ν2 2 πe 2 riferiti al materiale dei due cilindri, e quindi della ruota 1 e della ruota 2, R 1 e R 2 sono i raggi di curvatura dei due cilindri, presi con il proprio segno (+ se cilindri convessi, - se cilindri concavi). Nel caso delle ruote dentate il caso di denti a fianchi concavi si ha per le ruote a dentatura esterna; inoltre del raggio si prende sempre il valore assoluto, facendo comparire un segno ± davanti al raggio di curvatura del dente della ruota più grande (infatti, se una delle due ruote è a dentatura interna, sarà necessariamente la più grande)

220 quindi, sostituendo nell espressione della pressione massima, con queste avvertenze, si ha σ H = 1 ( P 1 1 ± 1 ) π b k 1 + k 2 R 1 R 2 La forza di chiusura P si correla in modo ovvio con la forza tangenziale F t P = F t cos α essendo α l angolo di spinta. R 1 è il raggio di curvatura del dente della ruota più piccola e R 2 è il raggio di curvatura del dente della ruota più grande (il segno + si riferisce a dentature esterne, il segno - a dentature interne) Il raggio di curvatura dei denti è variabile lungo il suo contorno; il calcolo si fa in corrispondenza delle primitive; tale procedura è stata raccomandata da Earle Buckingham visto che il massimo pericolo di pitting si ha proprio in quella zona, nella quale lo strisciamento è nullo e quindi si ha rottura del velo di lubrificante. Dalla figura si vede che R i = d i 2 sin α Figura 18.20: Curvatura del fianco del dente Quindi in cui u è il rapporto di ingranaggio 1 1 ± 1 = 2 ( 1 ± 1 ) ( 2 = 1 ± d ) 1 = R 1 R 2 sin α d 1 d 2 d 1 sin α d 2 ( ) 2 u ± 1 = d 1 sin α u u = z 2 z 1 = z 2 z da non confondere col rapporto di trasmissione, che dipende evidentemente da quale delle due ruote è motrice e quale è mossa

221 essendo i z i i numeri di denti. Sostituendo il tutto nell espressione di σ H e riordinando, in modo da far comparire i gruppi di variabili contemplati dalla normativa, si ha σ H = Ft d 1 b u ± 1 u 1 π 2 (k 1 + k 2 ) 2 sin α cos α La seconda radice è il fattore di elasticità Z E, che esplicitamente si scrive 1 Z E = ( 1 ν 2 π ) ν2 2 E 1 E 1 La terza radice nella (1) è una forma semplificata del fattore di zona Z H, che in tutto il suo splendore è 2 cos β b cos α t Z H = cos 2 α t sin α t Per decifrare questa espressione, si vedano i simboli riportati sopra. Per dentature elicoidali il secondo membro della (1) deve essere moltiplicato per l ulteriore fattore dell angolo d elica Z β Z β = cos β Per tener conto della distribuzione del carico tra più denti in presa il secondo membro della (1) si moltiplica ulteriormante per il fattore del rapporto di condotta Z ɛ, per la cui espressione si veda la UNI 8862/2. Nella (1) la F t deve essere ulteriormente moltiplicata per tutta una serie di fattori correttivi che tengono conto dei sovraccarichi: K A, fattore di applicazione al carico, che tiene conto della presenza di eventuali sovraccarichi, K v, fattore dinamico, che tiene conto di eventuali velocità critiche, K Hβ, fattore di distribuzione longitudinale del carico K Hα, fattore di distribuzione trasversale del carico La determinazione di questi fattori è abbastanza laboriosa, non per la presenza di difficoltà concettuali, ma per una certa lunghezza dei calcoli. Si rimanda alla citata norma UNI. La (1) diventa finalmente Ft σ H = Z H Z E Z ɛ Z β d 1 b u ± 1 KA K v K Hβ K Hα (2) u La condizione di resistenza al pitting si scrive allora σ H σ HP in cui la pressione di contatto ammissibile σ HP si ricava dalla pressione limite base di fatica superficiale σ Hlim con l impiego di tutta una serie di fattori correttivi: in cui σ HP = σ HlimZ N Z L Z R Z v Z W Z X S Hlim (1) 18-19

222 Z N è il fattore di durata Z L è il fattore di lubrificazione Z R è il fattore di rugosità Z v è il fattore di velocità Z W è il fattore del rapporto tra le durezze Z X è il fattore di dimensione Per i valori di questi fattori, rimando alla norma UNI; sottolineo solo che il fattore di durata tiene conto che per durate limitate è consentito uno sforzo superiore a quello del limite di fatica, mentre il fattore di dimensione, concettualmente analogo al fattore di effetto grandezza, viene dalla norma posto sempre uguale ad Condizione di resistenza alla fatica Il dente della ruota si comporta essenzialmente come una mensola incastrata alla base e sollecitata all estremità da una forza concentrata. Si destano quindi in esso sforzi di flessione e di compressione. Nel calcolo a rottura si trascura innanzitutto l aliquota compressiva, dovuta alla componente assiale della forza, in quanto, come ogni compressione, essa tende a chiudere le eventuali cricche di fatica che si destassero, per cui trascurarla va a vantaggio di sicurezza. Nel calcolare gli sforzi da momento flettente si schematizza il dente come una mensola a sezione triangolare con angolo al vertice di 60 e tangente internamente all effettivo profilo, come in fig Figura 18.21: Calcolo del dente a flessione Si considera inoltre, sempre a vantaggio di sicurezza, che vi sia una sola coppia di denti in presa e che la forza agisca proprio all estremità del dente. Tale forza vale ovviamente F t / cos α, ma la sua inclinazione rispetto alla normale all asse del dente vale α an in quanto il contatto critico avviene quando i denti si toccano lontano dalle primitive. Tale angolo α an risulta maggiore dell angolo di spinta α a della quantità γ di fig, 18.22, che è lo spostamento angolare dell asse del dente in condizione di incipiente ingranamento rispetto alla posizione del punto di contatto tra le primitive

223 Figura 18.22: L inclinazione tra forza trasmessa ed asse del dente risulta maggiore in condizione di incipiente ingranamento che in condizione di contatto centrale, e precisamente maggiore di un angolo γ, che costrituisce anche la differenza α an α n. La forza viene trasportata lungo la sua retta d azione fino a incidere sull asse del dente; con ciò l altezza della mensola vale h F a. Il momento agente sulla sezione d incastro è dato da questa altezza moltiplicata per la componente tangenziale della forza, e per ottenere il massimo valore della tensione occorre ulteriormente dividere per il modulo di resistenza. Si ha allora: σ F = h F a F t cos α an 6 cos α n bs F n Adimensionalizzando rispetto al modulo normale m n si ha σ F = F t bm n 6(h F a/m n ) cos α an (S F n /m n ) 2 cos α n (3) La seconda frazione della (3) è il fattore di forma del dente Y F a, che dipende dal tipo di dentatura (normale o corretta) e dal numero dei denti. Come al solito il calcolo è lungo ed è facilitato da appositi abachi. Per il calcolo della σ F occorre tenere conto di altri tre fattori moltiplicativi: Y Sa, fattore di correzione della tensione, che non è altro che il fattore teorico d intaglio, Y ɛ, fattore del rapporto di condotta, che tiene conto che possono esser in presa più denti contemporaneamente, Y β, fattore dell angolo d elica, usato per dentature elicoidali. Nella (3) la F t deve essere ulteriormente moltiplicata per tutta una serie di fattori correttivi che tengono conto dei sovraccarichi: K A, fattore di applicazione al carico, che tiene conto della presenza di eventuali sovraccarichi 18-21

224 K v, fattore dinamico, che tiene conto di eventuali velocità critiche, (questi primi due fattori sono identici a quelli già definiti per la resistenza al pitting), K F β, fattore di distribuzione longitudinale del carico per la tensione al piede, K F α, fattore di distribuzione trasversale del carico per la tensione al piede. Anche per questi fattori si rimanda alla normativa. La (3) diventa finalmente σ F = F t bm n Y F a Y Sa Y ɛ Y β (K A K v K F β K F α ) (4) La condizione di resistenza a rottura del dente per flessione si scrive allora σ F σ F P (5) in cui la resistenza a fatica ammissibile σ F P si ricava dal limite base di fatica σ F lim con l impiego di tutta una serie di fattori correttivi: in cui Y NT è il fattore di durata σ F P = σ F limy ST Y NT S F lim Y δrelt Y RrelT Y X (4) Y ST è il fattore assoluto di correzione della tensione riferito alle dentature di prova e posto sempre uguale a 2, Y δrelt è il fattore relativo di sensibilità all intaglio Y RrelT è il fattore relativo allo stato della superficie del raccordo al piede del dente relativo a quello delle dentature di prova, Y X è il fattore di dimensione per la tensione al piede. Per i valori di questi fattori, rimando alla norma UNI. Materiali per ruote dentate Mi limito a riportare la seguente tab tratta dalla UNI Progetto a flessione del dente Innanzitutto si riscrive la (5) usando la (4) e la (6), σ F lim Y ST Y NT S F lim Y δrelt Y RrelT Y X F t bm n Y F a Y Sa Y ɛ Y β (K A K v K F β K F α ) (7) In sede di progetto si iper-semplifica questa espressione dando ai vari termini dei valori plausibilì senza scendere in dettaglio. Si ha allora: Y ST = 2; Y NT = 1 per vita infinita, mentre sale fino a 2.5 per vita molto limitata; 18-22

225 Tabella 18.1: Materiali per ruote dentate S F lim = 1.5 perché non è necessario avere una sicurezza eccessiva; Y δrelt 1 per geometrie usuali dell intaglio; Y RrelT 1 per rugosità usuali; Y X = 1 per valori piccoli del modulo (m < 5); Y ɛ al più vale 1; Y β al più vale 1; K A = 1.5 per ingranaggi non troppo sovraccaricati; K v = { 1.2 per denti elicoidali 1.4 per denti diritti visto che non è il caso di far funzionare ad alte velocità ingranaggi poco precisi; K F β 1.5 per non essere troppo pessimisti; K F α { 1.5 per denti elicoidali 1.1 per denti diritti almeno attenendosi ai valori dati dal Manuale dell ingegnere meccanico

226 Così la (7) diventa, per il caso di denti diritti (m n = m): σ F lim 2.6 Si può far comparire il momento torcente ponendo F t bm Y F ay Sa F t = 2M t zm in cui è chiaro che il rapporto M t /z è uguale per le due ruote (z è il numero di denti); inoltre si adimensionalizza la larghezza b ponendo b = λm facendo in modo che λ assuma valori di 5 per dentature grossolane, 10 per dentature ordinarie, 20 per dentature precise, fino a 80 per dentature pressocché perfette. Sostituendo ed evidenziando il modulo m si ha 2M m 3 t 3 YF a Y Sa λz(σ F lim /2.6) Il termine sotto l ultima radice, Y F a Y Sa, prende il posto di alcuni ben noti fattori dei calcoli di progetto del passato, cioè il fattore di Lewis 1/Y o quello che nell ottantesima edizione del Colombo (risalente agli anni cinquanta) era chiamato q, ma con maggiore precisione, visto che si tiene conto dell intaglio (e infatti i valori sono più alti). Più precisamente, il q di Colombo va identificato con Y F a Da calcoli fatti tenendo presente le norme si vede che il detto fattore varia col numero di denti, col proporzionamento (normale o corretto), con l angolo di spinta e col raggio di raccordo al piede del dente; i valori vanno da 5.05 a 4.21 e quindi, una volta estratta la radice, tutto il termine vale da 1.72 a 1.62, il che significa che un valore medio di 1.67 va bene sempre. C è da osservare che la radice cubica che compare nella formula di progetto potrebbe divenire una radice quadrata se la larghezza della dentatura non varia col modulo, ma è fissa, in dipendenza per esempio da necessità tecnologiche

227 19.1 Generalità 19. Cuscinetti a strisciamento Cuscinetti sono quelle parti di macchina che servono per sostenere i perni e gli alberi, permettendone la rotazione col minimo attrito possibile. Nei cuscinetti a rotolamento (a sfere o a rulli) ciò viene ottenuto con l interposizione tra perno e supporto di una corona di corpi rotolanti; Nei cuscinetti a strisciamento la riduzione dell attrito viene affidata ad un velo di lubrificante, la cui pressione permette di sostenere il carico radiale. Questi ultimi si distinguono in due categorie: cuscinetti idrostatici, in cui la pressione dell olio è fornita da un dispositivo esterno; cuscinetti idrodinamici, in cui l olio è messo in pressione dallo stesso moto relativo tra perno e cuscinetto. In questo corso ci occuperemo solo dei cuscinetti idrodinamici. Dal punto di vista dinamico, il cuscinetto è proprio il velo d olio che sostiene il perno; ma dal punto di vista costruttivo si chiama cuscinetto quell elemento cilindrico che è inserito nel foro del supporto e sostiene il velo d olio. Esso può essere in un sol pezzo, e in tal caso si chiama boccola, o in due metà, che si chiamano bronzine, o gusci se relativamente sottili. Le boccole sono usate per movimenti di rotazione lenta o di oscillazione, per rotazione a piccola velocità e sotto carichi leggeri; nei casi più impegnativi si usano le bronzine. Pe esempio, in un motore alternativo lo spinotto è collegato al piede di biella mediante una boccola, mentre i cuscinetti posti tra testa di biella e albero a gomito sono bronzione; ugualmente bronzine sono usate nei cuscinetti di banco, tra albero a gomito e supporti fissi. Il comportamento dei diversi tipi di cuscinetto è rilevabile qualitativamente dal diagramma di fig. 19.1; da esso si nota che la capacità di carico nei cuscinetti a rotolamento decresce con la velocità (curva A), che nei cuscinetti idrostatici essa riamane costante (curva D), e che nei cuscinetti idrodinamici aumenta con la velocità (curva C). La curva B si riferisce al caso di cuscinetti con lubrificazione imperfetta. Figura 19.1: Capacità di carico dei cuscinetti L uso dei cuscinetti a strisciamento, rispetto a quelli a rotolamento, è consigliabile nei casi di elevate velocità o carichi molto forti e variabili. 19-1

228 Per quanto riguarda l attrito, i cuscinetti a rotolamento presentano valori inferiori dell attrito di primo distacco rispetto ai cuscinetti idrodinamici, e presentano perciò un vantaggio in caso di frequenti avviamenti sotto carico. Nei cuscinetti idrostatici l attrito di primo distacco è praticamente nullo. In condizione di regime i coefficienti di attrito sono paragonabili per tutti i cuscinetti. L andamento qualitativo del coefficiente d attrito per cuscinetti a strisciamento in funzione della velocità è data dalla fig Figura 19.2: Andamento qualitativo del coefficiente d attrito in un cuscinetto a strisciamento in funzione della velocità. Quando il perno è fermo (punto A) non c è praticamente lubrificante fra esso e il cuscinetto, sicché il valore dell attrito è molto elevato (p. e. f = 0.14 per perno in acciaio e cuscinetto di bronzo); tale valore prende il nome di attrito di primo distacco. All aumentare della velocità il perno diventa sempre più in grado di trascinare del lubrificante sotto di sé, per cui l attrito diminuisce rapidamente (condizione di lubrificazione imperfetta). Quando si raggiungono le condizioni di progetto si ha il valore minimo del coefficiente d attrito (punto B = lubrificazione perfetta). Seguitando a crescere la velocità il coefficiente d attrito aumenta in maniera quasi lineare con la velocità per effetto della legge di Newton (vedi sotto), ma oltre un certo punto (D in fig. 19.2) comincia a diminuire l attrito per effetto dell aumento di temperatura del lubrificante (qui supposto liquido, come è di solito). L andamento del coefficiente d attrito con la velocità e col carico per cuscinetti a rotolamento è dato nella fig Si noti che al crescere della velocità il coefficiente d attrito cresce in maniera monotona. Le dimensioni d ingombro, a parità di capacità di carico, sono maggiori in senso assiale per i cuscinetti radenti, e maggiori in senso radiale per quelli volventi. I cuscinetti a rotolamento sono più rumorosi, anche se il rumore può rivestire carattere diagnostico di eventuali rotture; però le rotture dei cuscinetti a strisciamento sono di solito meno gravose per gli alberi e i supporti. Per quanto riguarda il costo, i cuscinetti radenti sono più economici per produzione di grande serie, mentre per piccolissime serie, o per pezzi singoli, il rapporto si inverte, in quanto il cuscinetto a rotolamento si trova in commercio a prezzo contenuto, mentre quello a strisciemento deve essere costruito in casa. Nella lavorazione delle sedi, risulta più costoso il cuscinetto volvente, mentre minore ne è il costo operativo. 19-2

229 Figura 19.3: Andamento del coefficiente d attrito in un cuscinetto a rotolamento in funzione del carico (in ascissa) e della velocià (parametro delle curve) Lubrificanti e viscosità I lubrificanti possono essere solidi, liquidi, gassosi o semisolidi. I più diffusi sono quelli liquidi, in particolare l olio, ma si usano anche i siliconi, l acqua (o emulsioni acqua-olio) e altre fluidi. Il principale lubrificante semisolido è il grasso. Tra i lubrificanti solidi si annoverano: la grafite, il bisolfuro di molibdeno, la steatite, l ossido di piombo, il sapone, la mica, la polvere di vetro e alcune materie plastiche. Tra i gas sono usati l aria, l idrogeno e l azoto. Varie sono le caratteristiche che un buon lubrificante deve presentare, ma tra esse la più importante è la viscosità. La definizione di viscosità η risale alla legge di Newton relativa alla tensione di taglio τ trasmessa tra due lastre piane e parallele a distanza y, per effetto della velocità v relativa e della presenza di un fluido interposto. η = τ v/y L unità di misura della viscosità nel Sistema Internazionale disgraziatamente non ha nome ed è il Pa s; universalmente usati sono invece il Poise (P), vecchia unità CGS, e soprattutto il centipoise (cp): 1 cp = 10 3 Pa s. Unità anglosassone è il reyn (in onore di Osborne Reynolds) pari a 1 lb f s /in 2 e a Pa s. Si definisce viscosità cinematica il rapporto tra la viscosità e la densità; nel SI si misura in m 2 s 1. Unità usuali sono lo Stokes (St) e più ancora il centistokes (cst): 1 cp = 10 6 m 2 s 1. Sono molto in uso delle scale pratiche di viscosità, derivate dalle misure effettuabili con i viscosimetri, ossia i gradi Engler, usati in Europa, i secondi Saybolt, usati nei paesi anglosassoni e i secondi Redwood. Si tratta sempre di misure della viscosità cinematica e la conversione in unità assolute (cst) si effettua con abachi, tabelle (es. la tab. 19.1) e formule empiriche. Altri due abachi di conversione sono quelli delle figg e La variazione della viscosità con la temperatura è abbastanza ben conosciuta per i fluidi usuali, per esempio la viscosità dei gas aumenta con la temperatura e quella dei liquidi diminuisce con la legge di de Guzman-Andrade ( ) E η = η exp kt Per gli oli lubrificanti, si usa la seguente legge, utilizzata dall ASTM: ln ln(η + γ) = k c ln T. (1) 19-3

230 Tabella 19.1: Correlazione tra scale di viscosità cinematica Figura 19.4: Correlazione tra scale di viscosità cinematica 19-4

231 Figura 19.5: Correlazione tra scale di viscosità cinematica Tale legge non è estremamente diversa da quella di Andrade, visto che si scrive ( ) e k η + γ = exp T c. non troppo diversa da quella di Andrade. Sulla legge (1) è basata la celebre fig che si riferisce agli oli SAE; da un esame di questo diagramma ho trovato γ 0.74 cp. L influenza della pressione sulla viscosità può essere invece quasi sempre trascurata. Informazioni sulle viscosità di alcuni fluidi sono contenute nelle figure 19.7 e Anche se non c entra troppo con l argomento dei lubrificanti, non resisto alla tentazione di inserire la figura 19.9, che riporta un applicazione alla viscosità di vari fluidi della legge degli stati corrispondenti. Come al solito, questa legge non è rigorosa, ma dà un idea molto precisa dell andamento delle proprietà dei fluidi con la pressione e la temperatura. Per quanto riguarda la viscosità la citata figura 19.9 mostra molto bene la diminuzione della viscosità della temperatura per i liquidi e l aumento per gas e vapori. Inoltre, per questi ultimi, viene posta in evidenza la quasi indipendenza della viscosità dalla pressione, come affermato dalla legge di Maxwell, una delle più conosciute conseguenze della teoria cinetica dei gas Teoria della lubrificazione perfetta Facciamo le seguenti ipotesi: che le due superfici, l una mobile e l altra fissa costituenti il cuscinetto, siano separate da uno spessore di lubrificante, che sia trascurabile l effetto della perdita di lubrificante lungo i bordi del cuscinetto; 19-5

232 Figura 19.6: Variazione della viscosità dinamica con la temperatura per oli SAE che la velocità della superficie mobile sia tale da realizzare il moto laminare del lubrificante, che cioè sia sufficientemente basso il numero di Reynolds e che quindi valga la legge di Newton. Consideriamo il lubrificante compreso tra due superfici piane delle quali la superiore sia fissa e l inferiore sia mobile von velocità costante V. Siano fissati due assi ortogonali, Ox orizzontale coincidente con la traccia della superficie fissa e Oy verticale, positivo verso il basso, ossia in direzione della superficie mobile. Ciascuno degli strati elementari di altezza dy in cui potremo immaginare diviso il lubrificante si muove con velocità u funzione di y. Consideriamo un elementino di liquido contiguo al punto M (fig ) e di volume dxdy (la lunghezza secondo z si intende uguale ad 1). A regime esso si muove di moto uniforme con velocità u. Le forze che agiscono sull elemento considerato sono dovute alla pressione del fluido e all attrito interno che, per quanto già detto, è espresso dalla legge di Newton. Si ha perciò, indicando come al solito con i e j i versori degli assi x e y: sulla faccia 1 +pdy i sulla faccia 2 sulla faccia 3 ( p + p ) x dx dy i +pdx j µ dv dy dx i 19-6

233 Figura 19.7: Viscosità dinamica in funzione della temperatura per vari fluidi. Per la conversione: T C = ( 5 T 9 F 32) ; 1lb s = Pa s ft

234 Figura 19.8: Viscosità cinematica in funzione della temperatura per vari fluidi 19-8

235 Figura 19.9: Viscosità dinamica in coordinate adimensionali. Da Codegone, C., Atti Acc. Scienze, Torino, 86, , citato in Enciclopedia dell Ingegneria, vol I, p sulla faccia 4 ( p + p ) ( ) dv y dy dx j + µ dy + d2 v dy 2 dy dx i Le condizioni di equilibrio si scrivono imponendo che siano uguali a zero le somme delle componenti delle forze lungo i due assi, ossia: µ d2 v dy 2 p x = 0 p y = 0 dalla quale ultima si ricava che p non è funzione di y, per cui nella prima si scrive il segno di derivata totale al posto di quello di derivata parziale, ottenendo: d 2 u dy 2 = 1 dp µ dx (1) 19-9

236 Figura 19.10: Elemento di fluido per la deduzione dell equazione di Reynolds che, secondo il Ferretti (1966), rappresenta l equazione fondamentale della lubrificazione. Integrando la (1), e tenendo presente che dp/dx è indipendente da y, si ha successivamente du dy = 1 dp µ dx y + C 1 u = 1 dp 2µ dx y2 + C 1 y + C 2 Imponendo le condizioni al contorno (u = 0 per y = 0 e u = V per y = h) si ha e quindi C 2 = 0 C 1 = 1 dp 2µ dx h + V h u = 1 dp 2µ dx (y2 hy) + V h y (2) La velocità ha dunque andamento quadratico e consta di due termini: uno lineare, l altro parabolico. Questo può essere sia positivo che negativo, quindi si può aggiugere o sottrarre al termine lineare e ciò in dipendenza da dp/dx. In tulle le sezioni esso si annulla a y = 0 e a y = h; e si annulla identicamente nella sezione dove p è massima. Consideriamo ora la portata volumetrica di fluido Q lungo il meato. Tenendo conto della (2) sarà: h Q = udy = 1 dp 12µ dx h3 + V h 2 0 Per continuità, avendo supposte nulle le fughe laterali, Q dovrà essere costante lungo x, quindi dq dx = d ( ) h 3 dp + V dh dx 12µ dx 2 dx = 0 ovvero ( ) d h 3 dp = 6V dh dx µ dx dx che è la classica equazione di Reynolds 1 per il flusso unidimensionale. Quando si consideri anche il flusso in direzione z, ossia le perdite laterali, uno sviluppo simile porta all equazione di Reynolds 1 Osborne Reynolds (Belfast 1842-Watchett, Somersetshire, 1912) Ingegnere, studioso di idrodinamica e di macchine a fluido rotative. Introdusse il numero adimensionale che da lui prende nome

237 per il flusso bidimensionale: ( h 3 x µ ) p + ( h 3 x z µ ) p = 6V h z x Per i cuscinetti molto corti, entrati da poco nell uso comune, Ocvirk ha proposto di trascurare nell equazione precedente il termine x, per cui si ha: ( ) h 3 p = 6V h z µ z x Questa equazione, a quanto pare, si integra molto facilmente. Tale metodo è chiamato approssimazione del cuscinetto corto di Ocvirk Progettazione speditiva dei cuscinetti a strisciamento Nella comune pratica costruttiva si verifica solamente che la pressione specifica media (per area proiettata) sia minore di valori pratici (dipendenti dalle applicazioni e dai materiali accoppiati), in corrispondenza dei quali è assicurata l azione portante del lubrificante. La pressione media p m p m = Q bd essendo Q il carico radiale, d il diametro e b la lunghezza del cuscinetto, deve essere minore di quella di tabella Per quanto riguarda la verifica termica si verifica che sia il prodotto p m v, essendo v la velocità lineare del perno, minore o uguale al valore ottimale dato dalla tab Superamenti del valore suggerito significano solo che occorre una verifica accurata delle condizioni termiche. Per quanto riguarda il rapporto L/D, si usano oggi rapporti di , mentre nel passato erano più vicini all unità. Cuscinetti più lunghi hanno meno perdite di estremità, quindi richiedono un flusso d olio minore, ma si riscaldano di più. Gioco relativo. Per cuscinetti di diametro mm, il rapporto c/r, essendo c il gioco radiale e R il raggio, assume valori tra 0.001, per costruzioni molto precise, di per costruzioni ordinarie e di per macchine grossolane. Si ricorda che il gioco dato dalle tabelle di tolleranze è il gioco diametrale, pari a 2c; ovviamente però nulla cambia, passando a considerare il rapporto 2c/D = c/r Verifica e progettazione dei cuscinetti a strisciamento Per la verifica e la progettazione accurata dei cuscinetti a strisciamento occorre partire dalle soluzioni dell equazione di Reynolds. Esse sono date in un celebre lavoro di Raimondi e Boyd (1958). La geometria del perno e del cuscinetto è data in fig I valori delle variabili di progetto sono date, in funzione del numero di Sommerfeld, nelle figg , 19.13, 19.14, 19.15, In esse vi sono solo quattro curve per L/D, per cui sarà necessaria la seguente formula di interpolazione: y = [ 1 (L/D) ( 1 2L 3 D ( 1 L D ) ( 1 2L ) ( 1 4L ) y + D D ) ( 1 4L ) y 1 1 ( 1 L ) ( 1 4L ) y 1/2 + D 4 D D + 1 ( 1 L ) ( 1 2L ) ] y 1/4 24 D D 19-11

238 Tabella 19.2: Valori di carico per cuscinetti a strisciamento dove y è il parametro desiderato per qualsiasi valore di L/D maggiore di 1/4 e y, y 1, y 1/2, y 1/4 sono i valori di quello stesso parametro per L/D =, 1, 1/2 e 1/4 rispettivamente. I grafici sono stati pensati soprattutto per la verifica; per entrare in essi occorrono le seguenti grandezze: viscosità η Carico radiale sul cuscinetto W, velocità di rotazione n in giri al secondo diametro del cuscinetto (usare il diametro del perno o del foro è assolutamente indifferente), il gioco radiale ψ = c/r. In fase di progetto alcune di queste grandezze devono essere date a priori tramite la progettazione speditiva del paragrafo precedente. Essa deve fornire diametro, lunghezza e gioco radiale c

239 Figura 19.11: Complessivo perno-cuscinetto: notazioni usate e diagramma polare dell andamento della pressione Di poi si assegna una temperatura di esercizio (primo tentativo (60 80) C), e si calcola la viscosità dell olio, determinando così finalmente il numero di Sommerfeld S = ( ) 2 R ηn c p Dall apposito abaco si ricava l altezza del meato e in base ad essa si assegni la rugosità delle superfici. Si fa uso in questo caso del criterio di Kreisle che stabilisce che la condizione di lubrificazione perfetta cessa, e inizia quella in velo sottile, quando le creste delle asperità superficiali si toccano. Deve perciò essere, se le due superfici hanno la stessa rugosità R a, R a h m 2 Si trova la portata dell olio in uscita Q s e la potenza dissipata per attrito, da cui si ricava la temperatura dell olio in uscita

240 Figura 19.12: Altezza minima del meato 19-14

241 Figura 19.13: Parametro d attrito Figura 19.14: Pressione massima nel meato 19-15

242 Figura 19.15: Parametro di portata Figura 19.16: Rapporto di portata 19-16

243 19.6 Un esempio Un cuscinetto a strisciamento, su un rotore di turbina a vapore da 1500 giri al minuto sopporta un acrico costante di 17 kn. Il diametro del perno è di 150 mm. Il cuscinetto è alimentato tramite lubrificazione forzata con un olio SAE 10, con temperatura di ingresso di 50 C. Determinare una combinazione idonea di lunghezza e gioco radiale del cuscinetto. Come conclusione determinare i valori di Coefficiente d attrito, potenza dissipata, portata d olio entrante (e uscente) nel cuscinetto e incremento della temperatura dell olio. Soluzione La lunghezza viene trovata in modo speditivo in base alla pressione specifica adatta per l applicazione. Assunta una pressione specifica di 1.6 MPa, risulta una lunghezza di mm, che si può arrotondare a 75 per avere un rapporto L/D = 1/2, più facile da trovare nei diagrammi di Raimondi-Boyd. Ovviamente in tal caso p = MPa. Dalla figura si vede che l intervallo ottimale è compreso tra S = e S = 0.35, mentre la viscosità dinamica si ricava dalla fig. 19.7, con le formule di conversione riportate in didascalia. Ovviamente per l uso di questo abaco occorre conoscere la temperatura media, che qui non è data; se ne ipotizza perciò un valore ragionevole, salvo correggere i risultati in una ulteriore iterazione. Nel caso in studio è opportuno prendere una temperatura media di 90 C pari a 194 F, cui corrisponde, per un olio SAE 10, una viscosità di Pa s. Dalla definizione del numero di Sommerfeld, si trova l ampiezza c del meato: µn c = R P S che, nel caso del più piccolo dei due valori di S, dà: Pa s 25 s c = 75 mm = mm Pa e per il valore più grande c = mm A questo punto, per vari valori del gioco radiale si calcolano vari gruppi adimensionali e le relative variabili. Tutto ciò è riportato nella tabella 19.3, con l avvertenza che non è assolutamente necessaria una tale massa di calcoli, che qui sono stati fatti solo per scopo didattico. Dall andamento delle variabili di progetto in funzione di c si vede che basta fare i calcoli al massimo per quattro o cinque valori di c. Comunque, dall innalzamento della temperatura calcolato si vede che la temperatura media ipotizzata di 90 C è esagerata, quindi i calcoli vanno ripetuti per una temperatura media più bassa e forse differenziata per i singoli valori di c. Come conclusione appare chiaro che, dovendo scegliere i valori di S nell intervallo ottimale, conviene mantenersi più vicino al valore che dà il minimo valore di f, per avere temperature più basse senza che la capacità di carico venga penalizzata troppo. Tolleranze Una volta trovato l intervallo ottimale per il gioco radiale e in linea di massima conviene rinunciare un poco alla capacità di carico per ottenere un minore attrito si devono determinare le tolleranze costruttive sul cuscinetto. Nel nostro esempio il gioco radiale deve essere tra 0.05 e 0.13 mm, mentre ricordiamo che le tabelle delle tolleranze permettono di ricavare il gioco diametrale, cioè il doppio del gioco radiale. Innanzitutto scegliamo il metodo albero base, per cui la posizione di tolleranza sul foro è H, mentre quella sull albero varia; per quanto riguarda la qualità di tolleranza si sceglie la IT8 sul foro e la IT7 sull albero, oppure, volendo una maggiore precisione, la IT7 sul foro e la IT6 sull albero

244 Tabella 19.3: Calcoli di verifica di un cuscinetto c/mm S h 0 /c h 0 /mm fr/c f Q RcnL Q/mm3 s 1 Q s /Q Q s /mm 3 s 1 4π[f] [Q][Q s ] T /K L ampiezza del campo di tolleranza per un diametro nominale di 150 mm è di 63 µm per la IT7, 40 µm per la IT7 e 25 µm per la IT7 (notare il ricorrere di numeri di Renard della serie R10). Lo scostamento fondamentale per la posizione H è quello inferiore e vale zero, quindi per il foro H8 la tolleranza è H8 ( ) Per quanto riguarda l albero, facciamo l esempio della posizione c7. Per essa lo scostamento fondamentale è quello superiore che vale -200 µm. Sottraendo l ampiezza del campo di tolleranza si determina lo scostamento inferiore; quindi la tolleranza è c7 ( ). Per questo accoppiamento il gioco diametrale minimo è mm e il gioco massimo è mm, quindi il gioco medio è mm. Dividendo per due si ottengono i corrispondenti giochi radiali. Altri casi sono contemplati nella tab. 19.4, dal cui esame appaiono consigliabili gli accoppiamenti H8/d7, H8/c7, H7/c6, H7/d6 e H7/e6. Forse lo studioso lettore potrà trovare delle soluzioni ancora migliori. Tabella 19.4: Accoppiamenti possibili per il cuscinetto dell esempio. Foro Albero Gioco radiale max medio min 150 H8 ( ) c7 ( ) d7 ( ) e7 ( ) f7 ( ) H7 ( ) c6 ( ) d6 ( ) e6 ( ) f6 ( )

245 19.7 Materiali per cuscinetti a strisciamento Nel caso di lubrificazione perfetta, qualsiasi materiale con sufficiente resistenza a compressione e una superficie liscia potrebbe fungere da materiale per cuscinetti, ma per superare le fasi di avviamento e di arresto (con lubrificazione imperfetta) si devono usare materiali particolari, dotati delle seguenti proprietà: Alta deformabilità, il che significa basso modulo elastico e alta deformabilità plastica, per scaricare picchi di pressione dovuti a disassamento e inflessione dell albero. penetrabilità, per incorporare particelle estranee seza danno, salvaguardando così l albaero, bassa resistenza a taglio, per una facile levigatura delle asperità superficiali, resistenza a compressione e a fatica, per sopportare il carico e resistere alla flessione ripetuta. alta conducibilità termica per asportare calore dai punti di contatto tra metalli durante l avviamento e dal meato di lubrificante durante le normali condizioni di lavoro coefficienti di dilatazione termica non troppo diverso da quello dei materiali del supporto e del perno compatibilità con il materiale del perno, per resistere a usura, saldatura e grippaggio, resistenza alla corrosione di acidi che possono formarsi per l ossidazione del lubrificante e di contaminanti esterni. I materiali usati sono: 1. bronzo al solo stagno (B), UNI bronzo allo stagno con zinco (BZN) 3. bronzo al piombo con più o meno stagno (BPB, BSPB): (metallo rosa) 4. bronzo di alluminio (Cu Al): vedi UNI 2111S, 5. metalli bianchi: al piombo senza stagno (MB0), al piombo con stagno (MB10), e allo stagno (MB 80, MB 80 F): vedi UNI I metalli bianchi non hanno rivali per quanto riguarda deformabilità elastica e penetrabilità, ma hanno resistenza a compressione e a fatica piuttosto bassa, specie sopra i 75 C. 6. metalli sinterizzati 7. resine sintetiche 19-19

246 A. Bibliografia A.1 Manuali ed enciclopedie AISC, Manual of steel construction - Allowable Stress Design, IX, AISC, Chicago, Baldassini L., Vademecum per disegnatori e tecnici, 14.a edizione, Hoepli,1993 Crocker, S., Piping Handbook, McGraw Hill, 1945 Dubbel, Manuale di Ingegneria Meccanica, 15.a edizione, EST/Springer, Enciclopedia dell ingegneria (8 voll.), 1.a ed., ISEDI, Milano, 1972 Manuale dell ingegnere Nuovo Colombo, 83.a edizione, Hoepli, Milano, Manuale dell ingegnere meccanico, Hoepli, Milano, Manuale degli organi di comando (a cura della SEW Eurodrive), Tecniche nuove, A.2 Opere generali Atzori B., Moderni metodi e procedimenti di calcolo nella progettazione meccanica, Laterza, Belingardi G., Calderale P.M., Genta G., Garro A. et al., Principi e metodologie della progettazione meccanica (4 voll.), Levrotto a Bella, Belluzzi, O., Scienza delle Costruzioni, Zanichelli, Bologna, Bernasconi G. (coord.), Lezioni di Costruzione di macchine, CLUP, Bertolini I., Bazzaro E., Lezioni di Costruzione di macchine - Resistenza dei materiali, Masson, Bongiovanni G., Roccati G., Giunti e innesti (3 voll.), Levrotto e Bella, Buch, A., Fatigue Strenght Calculation, TransTech Publications, Aedermannsdorf, CH, Carmignani C., (coord.), La meccanica della frattura per la valutazione della affidabilita strutturale degli elementi delle macchine, Pitagora, Carmignani C., Fondamenti di dinamica strutturale, ETS, Chirone, Vullo, V., Cuscinetti a strisciamento Dieter, G. E. jr., Mechanical Metallurgy, McGraw Hill, New York, Dornig A. (coord.), Lezioni di Costruzione di macchine 2, CLUP, Dornig A., Le molle, CLUP, Dowling, N. E., Mechanical Behavior of Materials, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, Eschmann P. et al., I cuscinetti volventi, Tecniche nuove, Ferretti, P., Meccanica delle macchine, Liguori, Napoli, Giovannozzi R., Costruzione di macchine (2 voll.) Patron, 1965 Giovannozzi R. (coord.), Affidabilita strutturale degli organi delle macchine, Pitagora, 1979 Henriot G., Ingranaggi (2 voll.), Tecniche nuove, 1987 Hall, A.S., Holowenko, A. R., and Laughlin, H.G., Costruzione di macchine, Schaum, Etas Libri, Milano, Lazzarino L., Appunti di Costruzione di macchine, Accademia Navale Livorno, AN12-49, Massa E., Bonfigli L., Costruzione di macchine (2 voll.), Tamburini, Matek W. et al., Maschinenelemente, Vieweg, Johnson, W., Mellor, P. B., Plasticity for Mechanical Engineers, Van Nostrand, London, Juvinall, R.C., Stress, Strain and Strenght, McGraw Hill, New York, A-1

247 Juvinall, R.C., Marshek, K.M., Fondamenti della progettazione dei componenti delle macchine, ETS, Pisa, 1993 Landau, L. D., Lifšits, E. M., Teoria dell elasticità, Editori Riuniti, Roma, Machine Design Problem Solver, The, REA, Piscataway NJ, Manna, F., Costruzione di macchine, Liguori, Napoli, Nerli G. (coord.), Lezioni di Costruzione di macchine (2 voll.), Levrotto e Bella, Nicodemi, W., Zoia, R., Metallurgia applicata, Tamburini, Milano, 1975 Niemann G., Winter H., Elementi di macchine (3 voll.) - EST/Springer, Orlov P., Fundamentals of Machine Design (5 voll.), MIR, Pahl G., Beitz W., Konstruktionslehre, 3.a edizione, Springer,1993 (traduzione della 1.a edizione: Engineering Design, Design Council/Springer, 1984). Peterson, R.E., Stress Concentration Factors, Wiley-Interscience, Pighini U., Elementi costruttivi delle macchine (2 voll.), Edizioni Scientifiche Associate, Strozzi, A., Costruzione di Macchine, Pitagora, Bologna, Timoshenko, S., History of Strenght of Materials, Dover, New York, Timoshenko, S., Scienza delle costruzioni, Viglongo, Torino, Timoshenko, S., Gere, J. M. Theory of Elastic Stability, McGraw Hill, Timoshenko, S., Goodier, J. N. Theory of Elasticity, McGraw Hill, Timoshenko, S., Woinowsky-Krieger, S. Theory of Plate and Shells, McGraw Hill, Ullman, D.G., La verifica della resistenza nella progettazione meccanica, Tecniche nuove, Zagatti E., Giunti, Criteri di scelta e di proporzionamento, Tecniche nuove, A.3 Articoli Codegone, C., Atti Acc. Scienze, Torino, 86, pp ; ; , Ferro, A., Montalenti, G. On the Effect of Crystalline Structure on the Form of Fatigue Curves - The Case of Iron-Nickel Alloys, Philosophical Magazine, 10, Frost, N.E., DSIR,NEL Rep. n. PM287 (1959). Frost, N.E., Pook, L.P. and Denton, K., Eng. Fract. Mech, 3, 109, Kuhn, P., Hardraht, H.F., An Engineering Method for Estimating the Notch-size Effect in Fatigue Tests on Steel, NACA TN2805, Washington, D.C., Peterson, R.E., Notch Sensitivity in Metal Fatigue, McGraw Hill, New York, Pook, L.P., Analysis and Application of Fatigue Crack Growt Data, J. of Strain Analysis, 10, n. 4, Sailor, R.H., Corten, H.T., Relationships between Material Fracture Toughness using Fracture Mechanics and Transition Temperature Tests in Fracture Toughness, STP 514, ASTM, Villaggio, P., Elasticità, Teoria dell in Enciclopedia delle Scienze Fisiche, Treccani, Milano, A.4 Opere su comportamento meccanico e scelta dei materiali American Society for Metals (Boyer H.E., Gall T.L., coord.), Metals Handbook - Desk Edition, ASM, Metals Park, Ohio, American Society for Metals (Unterweiser P.M., Penzenik M., coord.), Worlwide Guide to Equivalent Irons and Steels, ASM, Metals Park, Ohio, Centro di Informazione del Nichel, Assider, Manuale per 1 uso degli acciai legati da cementazione a da bonifica tipizzati - 31, edizione, Centro di Informazione del Nichel, [M4] Cibaldi C., I criteri di scelta e di trattamento degli acciai da costruzione e da utensili, Analisi di Cibaldi C. & C. Snc. e Studio associato Biasi A. & C, Brescia, A-2

248 Cigada A. (a cura di), Struttura e proprietà dei materiali metallici, Citta Studi, Milano, Conserva M., Donzelli G., Trippodo R., Alluminio - Manuale degli impieghi, Edimet, Brescia, Lazzarino L., Manfredi E. (coord.), Meccanica dei materiali, ETS, 1987 American Society for Metals (Brinson T.H. et al. coord.), Engineered Materials Handbooks - Composites, Engineering Plastics, Adhesives and Sealants, Ceramics and Glasses (4 voll), ASM, Metals Park, Ohio, A.5 Periodici ATA - Ingegneria automotoristica Engineering Il Progettista industriale Konstruktion Machine Design Meccanica Mechanical Engineering Oleodinamica e pneumatica Organi di trasmissione Progettare Rivista di Meccanica A.6 Norme Si premette the in Europa la normativa tecnica, emessa dai vari Enti nazionali, viene attualmente armonizzata, con to scopo di promuovere l uso delle norme ISO e creare un riferimento omogeneo (norme CEN). Qui si riportano i riferimenti ad alcune norme dell ente Nazionale Italiano di Unificazione (UNI) affini a quelle statunitensi citate nel testo ed altre informazioni essenziali. A.6.1 Norme per progetto ed il calcolo di componenti a strutture Le norme CNR UNI possono avere valore legale; le altre sono da ritenere come autorevoli consigli a meno che non abbiano valore contrattuale. CNR UNI Costruzioni in acciaio. Istruzioni per il calcolo, l esecuzione, il collaudo a la manutenzione (1988) CNR UNI - Calcolo, costruzione e controllo degli alberi (in corso di emissione) UNI Viti per flange di tubazioni. Metodi di calcolo. (1943) UNI Flange comuni per tubazioni. Calcolo di verifica delle flange fisse. (1943) UNI Flange comuni per tubazioni. Calcolo di verifica delle flange libere. (1943) UNI Meccanismi per apparecchi di sollevamento. Istruzioni per il calcolo. (1988) UNI 7900/2 - Molle ad elica cilindrica di compressione a trazione - Calcolo delle molle a compressione. (1978) UNI 7900/5 - Molle ad elica cilindrica di compressione a trazione - Calcolo delle molle a trazione. (1980) UNI Giunti saldati di alluminio a leghe di alluminio sollecitati staticamente. Istruzioni per il calcolo. (1981) UNI 8350 (parti: 2 e 3) - Metropolitane. Calcolo di verifica del dimensionamento delle sale delle carrozze. (1982) A-3

249 UNI Strutture in leghe di alluminio. Istruzioni per il calcolo a 1 esecuzione. (1985) UNI Molle a tazza. Tipi, calcolo a collaudo. (1985) UNI 8862 (parti 1, 2 e 3, sperimentale) - Calcolo della capacita degli ingranaggi ad assi paralleli. (Differisce dalla norma ISO 6336) (pp. l a 2: 1987; p.3: 1991) UNI Trasmissioni industriali a cinghia trapezoidale. Calcolo della potenza trasmissibile. (Coincide con la norma ISO )(1987) UNI Cinghie sincrone. Calcolo della potenza trasmissibile a dell interasse. (Coincide con la norma ISO )(1987) UNI Barre di torsione a sezione circolare Calcolo e progettazione. (1987) UNI Apparecchi di sollevamento. Criteri di progetto per i carichi a le combinazioni di carichi. (Coincide con la norma ISO/DIS 8686/1)(1988) UNI ISO Sistema ISO di tolleranze ed accoppiamenti. (1990) UNI EN 292 (parti I e 2) - Sicurezza del macchinario. Concetti fondamentali, principi generali di progettazione (Conforme con la Direttiva Macchine n. 89/392 emessa dal Consiglio delle Communita Europee) (1991) A.6.2 Principali norme circa le prove sui materiali metallici UNI Prove meccaniche sui materiali. Prova di durezza Brinell. (Coincide con la norma ISO )(1990) UNI Prove meccaniche dei materiali ferrosi. Prova di durezza Rockwell. (Coincide con le norme ISO 80 ed ISO 1024)(1975) UNI Prova di temprabilità dell acciaio su provetta raffreddata ad un estremita (prova Jominy). (Coincide con la norma ISO 642)(1974) UNI Prove meccaniche dei materiali metallici. Prova di fatica a temperatura ambiente. Principi generali. (1985) UNI Prove meccaniche dei materiali ferrosi. Prova di resilienza per 1 acciaio a temperature minori di quella ambiente. (1969) UNI Prove meccaniche dei materiali ferrosi. Prova di scorrimento a temperature elevate per l acciaio. (Coincide con le norme ISO 203, ISO 204 a ISO 205)(1969) UNI Prove meccaniche dei materiali ferrosi. Prova d urto per caduta per la determinazione della temperatura di transizione a duttilità nulla su lamiere e profilati di acciaio. (1982) UNI Prove meccaniche dei materiali metallici. Determinazione della tenacità alla frattura in condizioni di deformazione piana. (1979) UNI Prove meccaniche dei materiali metallici. Determinazione dello spostamento all apice di una cricca (COD).(1987) UNI EN 10002/1 - Materiali metallici. Prova di trazione. Metodo di prova (a temperatura ambiente). (1992) UNI EN Materiali metallici. Prova di resilienza su provetta Charpy. Metodo di prova, 1992 (questa norma deriva dalle ISO 83 e ISO 148 e sostituisce le UNI 4431 e UNI 4713). UNI ISO Cuscinetti radenti. Prove di comportamento tribologico dei materiali antifrizione. La pane: Prova di comportamento all attrito ed all usura in condizioni di lubrificazione limite (1988) A.6.3 Principali norme circa le prove sui materiali non metallici UNI Prove sulle materie plastiche termoindurenti. Determinazione della fattore di riduzione di volume.(1959) (Corrisponde alla norma ASTM D955). A-4

250 UNI Materie plastiche. Determinazione della durezza Rockwell su materiali rigidi. (Coincide con la norma ISO 2039/2-87)(1989) UNI Prove sulle materie plastiche termoindurenti. Determinazione della temperatura di deformazione sotto carico di plastici rigidi (grado Martens).(1959) (Corrisponde alla norma ASTM D648). UNI Prove sulle materie plastiche. Determinazione del modulo apparente di elasticita tangenziale in funzione della temperatura. (Coincide con la norma ISO 458)(1974) UNI Prove sulle materie plastiche. Determinazione della temperatura di inflessione sotto carico. (Coincide con la norma ISO 75-1a ed.)(1965) (Corrisponde alla norma ASTM D648) UNI Prove sulle materie plastiche. Determinazione della temperatura di rammollimento Vicat dei materiali termoplastici. (1965) UNI Prove sulle materie plastiche. Determinazione della temperatura di fragility per urto. (1966) UNI Prove sulle materie plastiche. Determinazione del coefficiente di dilatazione termica lineare. (1967) (Corrisponde alla norma ASTM D696) UNI Prove sulle materie plastiche. Determinazione della resilienza Charpy di materiali plastici rigidi.(coincide con la norma ISO 179)(1967) UNI Elastomeri. Prove su vulcanizzati. Prova di trazione su provini normali e ridotti. (Coincide con la norma ISO 37)(1981) UNI Prove sulle materie plastiche. Determinazione della resilienza Izod dei materiali plastici rigidi.(coincide con la norma ISO a ed.) (1968) (Corrisponde alla norma ASTM D256) UNI Prove sulle materie plastiche. Determinazione della massa volumica delle materie plastiche non alveolari. (Coincide con la norma ISO a ed.)(1972). (Corrisponde alla norma ASTM D792). UNI Prove sulle materie plastiche. Determinazione delle caratteristiche a flessione delle materie plastiche rigide.(coincide con la norma ISO )(1973) (Corrisponde alla norma ASTM D790). UNI Elastomeri. Prove su vulcanizzati. Determinazione della durezza in gradi internazionali con durometro a microdurometro. (Coincide con le norme ISO 48, ISO 1818 e ISO 1400) (1974). UNI Materie plastiche. Determinazione della resistenza alla trazione per urto. (1984) UNI Materie plastiche. Resine poliesteri ed epossidiche. Determinazione del ritiro volumetrico globale. (Corrisponde ally norma ASTM D955). UNI EN 61- Materie plastiche rinforzate con fibre di vetro. Determinazione delle caratteristiche a trazione. (1978). (Corrisponde alla norma ASTM D638). UNI EN 63- Materie plastiche rinforzate con fibre di vetro. Determinazione delle caratteristiche a flessione. Metodo dei tre punti. (1978). (Corrisponde alla norma ASTM D638). UNI ISO 62- Materie plastiche. Determinazione dell assorbimento d acqua. (1986). (Corrisponde alla norma ASTM D570). UNI NOM Prodotti petroliferi a lubrificanti. Determinazione con viscosimetro Brookfield della viscosity degli oli lubrificanti per autotrazione. (1992) A.6.4 Raccolte di norme tecniche europee Sebbene per un informazione completa occorra riferirsi ai cataloghi dei vari corpi di normative, la consultazione delle norme tecniche, specie da parte degli studenti, a facilitata dai manuali the raccolgono organicamente le piu importanti tabelle. Questi sono pubblicati sia dall UNI, sia dally International Organization for Standardization (ISO) sia da vari Enti di unificazione europei, try cui si citano il Deutsches Institut für Normung (DIN), la British Standards Institution (BSI) a la Association Française de Normalisation (AFNOR). A-5

251 A.6.5 Manuali UNI Manuale M 1 - Norme per il disegno tecnico - Volume I, Norme generali (1990) - Volume II, Meccanica a settori correlati (1990) Manuale M5 Norme per i prodotti siderurgici (6 Voll.; ) Manuale M6 - Norme per la bulloneria - Volume I, Filettature. Tolleranze e prescrizioni, Volume II, Norme di prodotto, 1989 A.6.6 ISO Standards Handbooks 3 - Statistical Methods 11 - Road Vehicles 12 - Technical Drawings 18 - Fasteners and Screw Threads 19 - Welding 20 - Metallic and Other Non-organic Coatings 21 - Plastics (3 Voll.) 24 - Paint and Varnishes 27 - Bearings 28 - Pipes and Fittings (2 Voll.) 29 - Steel (3 Voll.) 30 - Non-ferrous Metals 31 - Mechanical Testing of Metallic Materials 32 - Mechanical Trasmissions 33 - Applied Metrology A.6.7 Altre pubblicazioni Si ricordano sia i DIN Handbooks, editi dalla Beuth Verlag, che raccolgono le traduzioni in inglese di parte della normativa tedesca, sia gli analoghi BS Handbooks. Un corpo molto ampio ed autorevole di linee guida, anche di progettazione, (VDI Richtlinien), è curato dal Verein Deutscher Ingenieure (VDI) ed è pubblicato dalla Beuth Verlag. Di queste linee guida solo alcune sono tradotte in inglese. A-6

252 B. Alfabeto greco Non confondere: minuscola maiuscola nome minuscola maiuscola nome α A alfa ν N ni β B beta ξ Ξ xi γ Γ gamma o O òmicron δ delta π, ϖ Π pi ɛ, ε E epsilon ρ, ϱ P ro ζ Z zeta σ, ς Σ sigma η H eta τ T tau θ Θ theta, teta υ Υ, Y üpsilon ι I iota φ, ϕ Φ fi κ K kappa χ X chi λ Λ lambda ψ Ψ psi µ M mi ω Ω omèga 1. l omega minuscola ω con la w corsiva 2. la epsilon ɛ col segno insiemistico di appartenenza (per quanto questo derivi da quella) 3. la üpsilon minuscola υ con la ni minuscola ν e con la v minuscola corsiva. Bisogna però dire che per distinguere questi tre segni occorre una vista piuttosto buona. 4. la ρ con la p minuscola corsiva. Notare che la iota ι si scrive senza puntino. Il segno ϖ si usa solo in astronomia per indicare l argomento del perielio. Qualcuno, poco familiare con questa scrittura, per la verità troppo arcaica, la prende per una omega sovrasegnata! Il segno ς non si usa mai nella letteratura tecnica, ma solo nella scrittura di parole greche, e sostituisce obbligatoriamente la σ normale in finale di parola. Nella tabella precedente con il segno ü si è voluto rappresentare la u lombarda o francese. Lo stesso suono andrebbe usato per la µ e la ν (da leggere quindi rispettivamente mü e nü), ma di solito in italiano si leggono mi e ni. È invece assolutamente sbagliato pronunciare òmega invece di omèga. B-1