Note di Geometria e Algebra

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1 Note di Geometria e Algebra Per i corsi di Informatica, Ingegneria dell Informazione e delle Comunicazioni e Ingegneria dell Informazione e Organizzazione d impresa Gianluca Occhetta

2 Ultimo aggiornamento: 21 gennaio 2017

3 Indice 1 Geometria di rette e piani nello spazio Vettori Geometrici Somma di vettori Prodotto per uno scalare Prodotto scalare - proiezioni ortogonali Sistemi di coordinate Equazioni di rette e piani nello spazio Equazioni di una retta Equazioni di un piano Fascio di piani Posizioni reciproche di rette e piani nello spazio Posizione reciproca di due rette Posizione reciproca di due piani Posizione reciproca di una retta e un piano Distanze Distanza di due punti Distanza di un punto da un piano Distanza di un punto da una retta Distanza di due rette Esercizi riassuntivi 20 2 Sistemi lineari Sistemi lineari Matrici associate ad un sistema lineare Operazioni elementari Matrici a scalini e algoritmo di Gauss Matrici a scalini

4 2.2.2 Matrici a scalini ridotte per righe Teorema di Rouché - Capelli Equazioni parametriche di rette e piani Esercizi riassuntivi 31 3 Matrici Matrici Operazioni tra matrici Somma di matrici Prodotto per uno scalare Prodotto di matrici Matrici delle operazioni elementari Matrici quadrate - Matrici inverse Calcolo della matrice inversa Ancora sui sistemi lineari Esercizi riassuntivi 45 4 Spazi vettoriali Lo spazio R n Sottospazi Dipendenza e indipendenza lineare Spazi vettoriali Gruppi e campi Definizione ed esempi Sottospazi Dipendenza e indipendenza lineare Esercizi riassuntivi 56 5 Determinante Determinante Definizione e proprietà Determinante e operazioni elementari Determinante, rango e invertibilità Applicazioni Prodotto vettoriale Applicazioni alla geometria Determinanti e sistemi lineari Esercizi riassuntivi 70 6 Basi Definizione - Esistenza delle basi Estrazione di una base da un sistema di generatori, caso V = R n

5 6.2 Completamento a una base Completare a una base un insieme indipendente di R n Coordinate Spazi delle righe e delle colonne di una matrice Esercizi riassuntivi 78 7 Funzioni lineari Funzioni lineari Definizione ed esempi Nucleo e immagine Funzioni lineari definite da matrici Alcune proprietà delle funzioni lineari Matrici rappresentative Cambiamenti di base Esercizi riassuntivi 92 8 Diagonalizzabilità Diagonalizzabilità Autovalori e autovettori Definizione e prime proprietà Polinomio caratteristico Molteplicità algebrica e geometrica Criteri di diagonalizzabilità Matrici diagonalizzanti Applicazioni Esercizi riassuntivi Endomorfismi simmetrici Spazi vettoriali euclidei Prodotto scalare Ortogonalità e proiezioni Basi ortonormali Endomorfismi simmetrici Il Teorema Spettrale Matrici ortogonali Esercizi riassuntivi 118 Bibliografia Testi consigliati 121

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7 1. Geometria di rette e piani nello spazio 1.1 Vettori Geometrici Definizione Un segmento orientato AB nello spazio è individuato da un punto iniziale A, e da un punto finale B, e si rappresenta con una freccia che parte dal punto A e termina nel punto B. Due segmenti orientati AB e CD si dicono equivalenti (o equipollenti) se hanno la stessa direzione, cioè giacciono su rette parallele, la stessa lunghezza, detta modulo e lo stesso verso, cioè la stessa orientazione. In altre parole due segmenti orientati AB e CD sono equipollenti se una traslazione che porta A in C porta B in D. Definizione Un vettore geometrico è una classe di equivalenza di segmenti orientati. Indicheremo i vettori geometrici con lettere in grassetto, e scriveremo, con abuso di notazione, v = AB per indicare che il segmento orientato AB è un rappresentante della classe del vettore geometrico v. La classe di equivalenza dei segmenti orientati di tipo AA verrà indicata con 0 e chiamata vettore nullo. Tale vettore ha modulo nullo, mentre direzione e verso sono indeterminati. Un vettore geometrico di modulo 1 è detto versore. Notazione 1.1. Denoteremo con V 3 l insieme dei vettori geometrici dello spazio Somma di vettori Definizione Dati due vettori geometrici v e w si può definire la loro somma nel modo seguente: sia AB un rappresentante di v di punto iniziale A, e sia BC il rappresentante di w di punto iniziale B. Allora v + w è il vettore geometrico individuato dal segmento orientato AC. Chiaramente v + 0 = v. B w v C A v+w

8 8 Capitolo 1. Geometria di rette e piani nello spazio Osservazione La somma di vettori geometrici gode delle proprietà commutativa e associativa, come mostrano i seguenti diagrammi. B w w v v+w C w+u u A w+v v v v+w w D (v+w)+u = v+(u+w) Definizione Dato un vettore geometrico v, il suo opposto, che indichiamo con v è un vettore geometrico che ha la stessa direzione, lo stesso modulo e verso opposto. Chiaramente la somma di un vettore con il suo opposto dà il vettore nullo. Riassumiamo le proprietà della somma dei vettori geometrici appena descritte. 1. Comunque scelti due vettori geometrici v,w si ha v + w = w + v; 2. Comunque scelti tre vettori geometrici v,w,u si ha (v + w) + u = w + (v + u); 3. Esiste un vettore, il vettore nullo, tale che, per ogni vettore geometrico v si ha v+0 = v; 4. Ogni vettore v ha un vettore opposto v tale che v + ( v) = Prodotto per uno scalare Un vettore geometrico può essere moltiplicato per un numero reale (detto scalare), nel modo seguente: Definizione Dati un vettore geometrico v ed un numero reale λ, il vettore geometrico λv è definito come il vettore che ha la stessa direzione di v, modulo uguale a λ v e verso concorde o opposto a quella di v a seconda che λ sia positivo o negativo. Chiaramente, se λ = 0 o v = 0, allora λv è il vettore nullo. Definizione Se v 0 il vettore è un versore, detto normalizzazione di v. v v Il prodotto per uno scalare gode delle seguenti proprietà: 1. Comunque scelti due scalari λ,µ ed un vettore geometrico v si ha λ(µv) = (λ µ)v; 2. Comunque scelto un vettore geometrico v si ha 1v = v; 3. Comunque scelti due scalari λ,µ ed un vettore geometrico v si ha (λ + µ)v = λv+ µv; 4. Comunque scelti uno scalare λ e due vettori geometrici v, w si ha λ(v + w) = λ v + λ w. Le prime tre proprietà sono di verifica immediata. Per l ultima è necessario osservare che il triangolo che si costruisce per sommare i vettori v e w è simile a quello che si costruisce per sommare i vettori λv e λw.

9 1.1 Vettori Geometrici Prodotto scalare - proiezioni ortogonali Definizione Dati due vettori geometrici v e w il loro prodotto scalare, indicato con v w è il numero reale v w = v w cosϑ, ove ϑ è l angolo formato da due rappresentanti di v e w applicati in un medesimo punto. In particolare due vettori non nulli sono perpendicolari se e solo se il loro prodotto scalare risulta nullo. Il prodotto scalare di vettori geometrici gode delle seguenti proprietà: 1. Comunque scelti due vettori geometrici v e w si ha v w = w v; 2. Comunque scelti due vettori geometrici v e w e uno scalare λ si ha (λv) w = λ(v w); 3. Comunque scelti tre vettori geometrici v,w,u si ha v (u + w) = v u + v w; 4. Comunque scelto un vettore v si ha v v = v 2 0. Tutte le proprietà sono conseguenze immediate della definizione tranne la 3. di cui vedremo una dimostrazione utilizzando le coordinate (Cf. Osservazione 1.1.5). Il prodotto scalare può essere utilizzato per descrivere la proiezione ortogonale di un vettore su un altro. Il caso più semplice è quello in cui proiettiamo su un versore: Proposizione Se e è un versore, allora il vettore geometrico proiezione ortogonale di w su e è il vettore geometrico (e w)e. Dimostrazione. Chiaramente la proiezione ortogonale di w su e ha la direzione di e; se ϑ è un angolo acuto ha anche lo stesso verso, e la sua lunghezza è data da w cosϑ. w w v v Se invece ϑ è un angolo ottuso la proiezione ortogonale ha verso opposto, e la sua lunghezza è data da w cos(π ϑ) = w cosϑ. In entrambi i casi si ha dunque (e w)e. Per quanto riguarda il caso più generale si ha che: Corollario Se v è un vettore geometrico non nullo il vettore geometrico proiezione ortogonale di w su v è il vettore geometrico (v w) v 2 v. Dimostrazione. Basta applicare la Proposizione al versore v/ v.

10 10 Capitolo 1. Geometria di rette e piani nello spazio Sistemi di coordinate Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale nello spazio, è possibile associare ad un vettore geometrico v una terna di numeri, dette coordinate del vettore, che si ottengono facendo la differenza delle coordinate degli estremi di un qualsiasi vettore applicato AB individuato da v. Le coordinate di v sono quindi v = (x B x A,y B y A,z B z A ). Indicando con i,j,k i versori degli assi cartesiani le componenti di v sono i coefficienti della decomposizione di v sugli assi, cioè, v = (v 1,v 2,v 3 ) se e solo se v = v 1 i + v 2 j + v 3 k. E semplice verificare che l operazione di somma di vettori geometrici corrisponde alla somma coordinata per coordinata delle terne associate, cioè che, se v ha coordinate (v 1,v 2,v 3 ) e w ha coordinate (w 1,w 2,w 3 ), allora v + w ha coordinate (v 1 + w 1,v 2 + w 2,v 3 + w 3 ) e che il prodotto per uno scalare corrisponde a moltiplicare per lo scalare ogni componente del vettore, cioè che se v ha coordinate (v 1,v 2,v 3 ) allora λv ha coordinate (λv 1,λv 2,λv 3 ). Inoltre il modulo di un vettore può essere calcolato, utilizzando le componenti, applicando due volte il Teorema di Pitagora, come v = v v2 2 + v2 3 (1.1) La normalizzazione di v è il versore di componenti v v = (v 1,v 2,v 3 ). v v2 2 + v2 3 Cerchiamo ora l espressione del prodotto scalare di due vettori nelle loro componenti: Proposizione Il prodotto scalare di v e w è dato da v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 = Dimostrazione. Sia u = v w; possiamo calcolare il quadrato del suo modulo come visto nella formula 1.1 scalare, come u 2 = u u u 2 3 = (v 1 w 1 ) 2 + (v 2 w 2 ) 2 + (v 3 w 3 ) 2 3 i=1 v i w i = v v v w w w 2 3 2(v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 ) = v 2 + w 2 2(v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 ). C w vw A H v B

11 1.2 Equazioni di rette e piani nello spazio 11 D altra parte u 2 può essere calcolato, utilizzando il teorema di Pitagora, come u 2 = HB 2 + HC 2 = ( v w cosϑ) 2 + ( w sinϑ) 2 = v 2 + w 2 2v w. Dal confronto delle due espressioni si ha la tesi. Osservazione Utilizzando le coordinate è immediato verificare (esercizio!) che, comunque scelti tre vettori geometrici v,w,u si ha v (u + w) = v u + v w. 1.2 Equazioni di rette e piani nello spazio Equazioni di una retta Sia r una retta nello spazio, e siano P e Q due suoi punti; sia v il vettore geometrico individuato dal segmento orientato PQ; un punto R sta sulla retta se e solo se il segmento orientato PR ha la stessa direzione di v, cioè è il prodotto di v per un numero reale. I punti R della retta sono cioè tutti e soli i punti tali che PR = tv per qualche t In coordinate, se P = (x P,y P,z P ) e Q = (x Q,y Q,z Q ), e R = (x,y,z) abbiamo che il vettore v ha componenti v 1 = x Q x P,v 2 = y Q y P,v 3 = z Q z P e la condizione sopra descritta si esprime come: x = x P +tv 1 y = y P +tv 2 z = z P +tv 3 Queste equazioni sono dette equazioni parametriche della retta r. Eliminando il parametro t si ottengono due equazioni lineari in x,y e z, dette equazioni cartesiane di r. Esercizio 1.1 Si trovino equazioni parametriche e cartesiane della retta r passante per i punti P = ( 1,2,1) e Q = (1,0,2). Svolgimento Il vettore geometrico che dà la direzione della retta è v = PQ che ha componenti (x Q x P,y Q y P,z Q z P ) = (2, 2,1); delle equazioni parametriche per la retta sono quindi x = 1 + 2t y = 2 2t z = 1 +t Eliminando t troviamo le equazioni cartesiane della retta: ricavando t = z 1 dall ultima equazione e sostituendolo nelle precedenti otteniamo { x 2z = Equazioni di un piano y + 2z = 4 Un piano π nello spazio tridimensionale può essere descritto, dati un punto P che gli appartiene e un vettore geometrico N ad esso ortogonale, come il luogo dei punti Q(x,y,z) tali che il vettore geometrico PQ sia ortogonale ad N, cioè tali che PQ N = 0.

12 12 Capitolo 1. Geometria di rette e piani nello spazio In coordinate, se P = (x P,y P,z P ) e N = (a,b,c) abbiamo che il vettore PQ ha componenti (x x P,y y P,z z P ) e la condizione sopra descritta si esprime come: a(x x P ) + b(y y P ) + c(z z P ) = 0, che, posto d = ax P + by P + cz P può essere riscritta come ax + by + cz = d. Una tale equazione è detta equazione cartesiana del piano. Abbiamo visto che una retta nello spazio può essere descritta, con le equazioni cartesiane, come l insieme delle soluzioni di un sistema lineare di due equazioni; tale descrizione corrisponde quindi a vedere la retta come intersezione di due piani. Un piano può anche essere descritto con equazioni parametriche. Siano P,R ed S tre suoi punti non allineati, e siano v e w i vettori geometrici individuati dai segmenti orientati PR e PS; un punto Q sta sul piano se e solo se il vettore PQ può essere scritto come somma di un vettore diretto come v e un vettore diretto come w, cioè se esistono due numeri reali t ed s tali che PQ = tv + sw In coordinate, se P = (x P,y P,z P ), R = (x R,y R,z R ), e S = (x S,y S,z S ) abbiamo che il vettore v ha componenti v 1 = x R x P,v 2 = y R y P v 3 = z R z P, il vettore w ha componenti w 1 = x S x P,w 2 = y S y P w 3 = z S z P, e la condizione sopra descritta si esprime come: x = x P +tv 1 + sw 1 y = y P +tv 2 + sw 2 z = z P +tv 3 + sw 3 Tali equazioni sono dette equazioni parametriche del piano. Eliminando i parametri si ottiene un equazione cartesiana del piano. Esercizio 1.2 Siano A = (0,0,1), B = ( 2, 1,0), C = (1,0,0). Si trovi un equazione cartesiana del piano π che contiene i tre punti dati. Svolgimento Troviamo i vettori v = AB = ( 2, 1, 1) e w = AC = (1,0, 1) che danno la giacitura del piano. Le equazioni parametriche del piano cercato sono dunque, x = 2t + s y = t z = 1 t s Eliminando i parametri (esercizio!) si ottiene un equazione cartesiana del piano:, Fascio di piani π : x + 3y + z = 1. Abbiamo visto che le equazioni cartesiane di una retta la descrivono come intersezione di due piani. Tali equazioni non sono chiaramente uniche, perché si possono scegliere le equazioni di due piani qualsiasi che contengono la retta. L insieme dei piani che contiene una retta data r è

13 1.3 Posizioni reciproche di rette e piani nello spazio 13 detto fascio di piani di sostegno r. Tale insieme si descrive combinando le equazioni di due piani che contengono la retta data con dei parametri reali. Se la retta r è data con equazioni cartesiane { ax + by + cz = d a x + b y + c z = d, allora il fascio di piani è descritto dall equazione λ(ax + by + cz d) + µ(a x + b y + c z d ) = 0. Per ogni coppia di valori diversi da (0,0) assegnati a λ e µ si ottiene un piano che contiene la retta r. Chiaramente se si considerano due coppie diverse, ma proporzionali tra di loro, il piano ottenuto è lo stesso. Mostriamo con un esercizio l utilità del fascio di piani. Esercizio 1.3 Sia r la retta di equazioni cartesiane x + 2z = 3, x y + z = 1, e sia P il punto (0,2,1). Si trovi il piano π che contiene r e P. Svolgimento Troviamo il fascio di piani di sostegno r come sopra descritto: λ(x + 2z 3) + µ(x y + z 1) = 0. Imponiamo il passaggio per il punto P, sostituendo le sue coordinate nell equazione del fascio: λ 2µ = 0 λ = 2µ. Diamo a µ un valore diverso da zero, ad esempio µ = 1, e sostituiamo λ = 2, µ = 1 nell equazione del fascio, trovando che è un equazione del piano cercato. 2x 4z x y + z 1 = 0, x y 3z 5 = 0, 1.3 Posizioni reciproche di rette e piani nello spazio Posizione reciproca di due rette Siano r ed s due rette distinte, individuate rispettivamente da un punto P e da un vettore v e da un punto Q e da un vettore w. Definizione Le rette si dicono parallele se i vettori v e w sono proporzionali. Se ciò non accade le rette si dicono incidenti se hanno un punto in comune, sghembe altrimenti. Le rette si dicono complanari se giacciono in uno stesso piano. Questo accade se e solo se esse sono parallele o incidenti. Le rette si dicono perpendicolari o ortogonali se v e w sono ortogonali, cioè se e solo se v w = 0. La definizione di perpendicolarità non richiede che le rette siano incidenti. Esercizio 1.4 Trovare la retta r, passante per P = (0, 2,1), perpendicolare e incidente alla retta s di equazioni parametriche x = 1 +t y = 1 + 2t z = 3 t

14 14 Capitolo 1. Geometria di rette e piani nello spazio Svolgimento Possiamo risolvere questo esercizio in due modi diversi. Primo metodo: Per essere incidente alla retta s, la retta r dovrà passare per un punto di essa, cioè per Q(t) = ( 1 + t, 1 + 2t, 3 t) per qualche valore di t. Il valore cercato di t si trova imponendo che il vettore QP e il vettore v che dà la direzione di s siano ortogonali. Nel nostro caso QP = 0 ( 1 +t) 2 (1 + 2t) 1 (3 t) e quindi il loro prodotto scalare è = 1 t 3 2t 2 +t v = QP v = 1 t 6 4t + 2 t = 6t 3, che si annulla per t = 1/2. Sostituendo tale valore in QP troviamo la direzione della retta r cercata: 3/2 w = 2 5/2 La retta r ha quindi equazioni parametriche x = 3 2 t y = 2 2t z = t Secondo metodo: Troviamo il piano π perpendicolare ad s e passante per P; la sua direzione nomale è data dal vettore v che dà la direzione di s. Si tratta quindi di un piano della forma x + 2y z = d; imponendo il passaggio per P troviamo che d = 5. Troviamo ora il punto Q, intesezione di π e s. Sostituendo nell equazione di π le equazioni parametriche di s: 1 +t + 2(1 + 2t) (3 t) = 5 troviamo t = 1/2; il punto Q ha quindi coordinate ( 3/2,0,7/2). La retta r è la retta passante per P e Q, ed ha quindi equazioni parametriche x = 3 2 t y = 2 2t z = t Esercizio 1.5 Siano r la retta passante per A = (0,0,1) e B = ( 2, 1,0) ed s la retta passante per C = (1,2,2) e D = ( 3,0,0). Si mostri che tali rette sono complanari e si trovi un equazione cartesiana del piano π che le contiene. Svolgimento La retta r ha direzione data da AB = ( 2, 1, 1), mentre la retta r ha direzione data da CD = ( 4, 2, 2); tali vettori sono proporzionali, quindi le rette considerate sono parallele, e quindi complanari

15 1.3 Posizioni reciproche di rette e piani nello spazio 15 Il piano che le contiene è individuato da due punti su una retta e un punto sull altra. Possiamo prendere tali punti come A,B e C e trovare il piano passante per questi tre punti come nell Esercizio 1.2. Alternativamente possiamo trovare equazioni cartesiane per la retta r, che ha equazioni parametriche x = 2t y = t z = 1 t Eliminando t otteniamo { x = 2y z = 1 + y Ora consideriamo il fascio di piani di sostegno r: λ(x 2y) + µ(y z + 1) = 0, ed imponiamo il passaggio per C. 3λ + µ = 0, da cui µ = 3λ e, posto λ = 1 troviamo π : x + y 3z + 3 = Posizione reciproca di due piani Siano π e π due piani distinti di equazioni π : ax + by + cz = d π : a x + b y + c z = d Definizione I piani sono paralleli se le direzioni normali ad essi sono proporzionali, cioè se e solo se i vettori N = (a,b,c) e N = (a,b,c ) sono proporzionali. Se ciò non accade i piani si dicono incidenti, e la loro intersezione è una retta. Due piani in R 3 si dicono perpendicolari o ortogonali se le loro direzioni normali sono ortogonali, cioè se e solo se N N = 0. Esercizio 1.6 Siano π e π i piani di equazioni x y+z = 0 e 3x y z = 0, rispettivamente. 1. Si trovi la posizione reciproca di π e π ; 2. Si trovi un equazione cartesiana del piano π passante per il punto P = (1,1,1) e ortogonale sia a π che a π. Svolgimento I vettori che danno le direzioni normali a π e a π sono rispettivamente N = (1, 1,1) e N = (3, 1, 1), che non sono proporzionali, quindi i piani sono incidenti. Il prodotto scalare di N e di N è N N = = 1 0, quindi i piani non sono perpendicolari. Sia (a,b,c) la direzione normale del piano π. Imponendo la condizione di ortogonalità con π e π otteniamo { a b + c = 0 3a b c = 0

16 16 Capitolo 1. Geometria di rette e piani nello spazio Sommando e sottraendo le due equazioni troviamo { 4a 2b = 0 2a + 2c = 0 da cui b = 2a e c = a. Un equazione cartesiana del piano cercato è quindi della forma ax + 2ay + az = d. Imponendo il passaggio per il punto P otteniamo 4a = d, quindi ax + 2ay + az = 4a. Qualsiasi valore non nullo di a (ad esempio a = 1) fornisce ora un equazione cartesiana del piano cercato Posizione reciproca di una retta e un piano Sia π il piano di equazione ax + by + cz = d, e sia r una retta, non contenuta nel piano, individuata da un punto P e da un vettore v. Definizione La retta e il piano si dicono paralleli se il vettore v è ortogonale al vettore normale al piano, cioè se e solo se v N = 0, ove N = (a,b,c). Si dicono incidenti se hanno un punto in comune; ciò accade se e solo se v N 0; se inoltre v è proporzionale a N allora la retta e il piano si dicono ortogonali. Osservazione La condizione v N = 0 è verificata anche quanto r è contenuta in π. Per distinguere tale caso da quello in cui la retta è parallela ad r è sufficiente verificare se un qualsiasi punto di r appartiene o no a π. Esercizio 1.7 Siano P = (1,0, 1), π il piano di equazione x + y + z = 1 e r la retta di equazioni { x + 2y = 0 y z = 0 1. Si trovi la posizione reciproca di r e π; 2. Si trovi un equazione cartesiana del piano π passante per P e ortogonale ad r. Svolgimento E innanzitutto necessario trovare equazioni parametriche per la retta; questo può essere fatto ponendo y = t, e quindi ricavando x = 2t y = t z = t Pertanto un vettore v che dà la direzione di r è v = ( 2,1,1). Un vettore normale al piano π è N = (1,1,1); pertanto v N = = 0. Ci sono quindi due possibilità: o la retta è contenuta nel piano o è parallela ad esso. Per determinare in quale caso ci troviamo prendiamo un punto su r e vediamo se tale punto appartiene a π. Prendendo ad esempio A = (0,0,0) è immediato verificare che A π, e quindi r e π sono paralleli.

17 1.4 Distanze 17 Il piano π, ortogonale ad r avrà un equazione cartesiana del tipo 2x + y + z = d, e d può essere trovato imponendo il passaggio per P, ottenendo 2 1 = d, cioè d = Distanze Distanza di due punti La distanza di due punti P = (x P,y P,z P ) e Q = (x Q,y Q,z Q ) è il modulo del segmento orientato PQ, cioè d(p,q) = PQ = (x Q x P ) 2 + (y Q y P ) 2 + (z Q z P ) 2. (1.2) Distanza di un punto da un piano Vediamo come ricavare la formula che dà la distanza di un punto da un piano Proposizione Sia P il punto di coordinate (x P,y P,z P ), e sia π il piano di equazione ax + by + cz = d. Allora d(p,π) = ax P + by P + cz P d a 2 + b 2 + c 2 Dimostrazione. Sia Q = (x Q,y Q,z Q ) un punto del piano π. La distanza di P da π è il modulo della proiezione ortogonale di QP sulla direzione normale al piano. Indicato con n il versore normale al piano, cioè si ha che n = 1 a 2 + b 2 + c 2 (a,b,c) d(p,π) = QP n = ax P + by P + cz P (ax Q + by Q + cz Q ) a 2 + b 2 + c 2 = ax P + by P + cz P d a 2 + b 2 + c 2, ove l ultima uguaglianza è dovuta al fatto che il punto Q appartiene al piano π Distanza di un punto da una retta Per trovare la distanza del punto P dalla retta r è necessario trovare il punto H su r tale che PH sia ortogonale a un vettore v che dà la direzione della retta r. A questo punto è sufficiente calcolare la distanza dei punti P ed H. Per trovare il punto H è possibile procedere in due modi. Si può, analogamente a quanto fatto nell Esercizio 1.4 considerare un generico punto Q(t) sulla retta r scritta in forma parametrica con parametro t, e imporre che PQ v = 0. Si trova così un valore t 0 di t che individua il punto H = Q(t 0 ). Alternativamente si può cercare l equazione del piano π perpendicolare a r e passante per P; l intersezione di tale piano con la retta r è il punto H.

18 18 Capitolo 1. Geometria di rette e piani nello spazio Esercizio 1.8 Si trovi la distanza del punto P = (1,2,2) dalla retta r passante per il punto R = (3, 1,3) di direzione v = (2, 1 1). Svolgimento Il generico piano perpendicolare ad r ha equazione 2x y z = d; imponendo il passaggio per P si trova d = 2, quindi il piano π ha equazione La retta r ha equazioni parametriche 2x y z = 2. x = 3 + 2t y = 1 t z = 3 t Troviamo il punto H, intersezione di r e π, sostituendo nell equazione di π le espressioni di x, y e z date dalle equazioni parametriche di r, e otteniamo: 6 + 4t + 1 +t 3 +t = 2, trovando t = 1. Il punto H è quindi il punto (1,0,4) e la distanza cercata è data da d(p,r) = d(p,h) = (1 1) 2 + (0 2) 2 + (4 2) 2 = Distanza di due rette Per distanza di due rette r ed r si intende la minima distanza possibile tra un punto sulla prima retta ed un punto sulla seconda. Chiaramente se r ed s sono incidenti, la loro distanza è zero. Se r ed r sono parallele, la loro distanza è data dalla distanza di un punto qualsiasi preso su una di esse dall altra. Più complesso è il caso delle rette sghembe. Vediamo due metodi per calcolare la distanza in questo caso. Il primo metodo richiede di trovare un segmento i cui estremi stanno sulle due rette, che sia ortogonale ad entrambe, e calcolare quindi la lunghezza di tale segmento. Poniamo entrambe le rette in forma parametrica (con parametri diversi!!), e, detti P(t) il punto generico della retta r e Q(s) il punto generico della retta r, rispettivamente, andiamo a imporre le condizioni di ortogonalità: { PQ v = 0 PQ w = 0 ove v e w sono vettori che danno la direzione di r e di r. Risolvendo il sistema troviamo i valori t 0 e s 0 di t ed s che individuano i punti P(t 0 ) e Q(s 0 ) sulle due rette che realizzano la minima distanza. La distanza delle due rette è la distanza di tali punti, cioè il modulo di P(t 0 )Q(s 0 ). Un metodo alternativo prevede l utilizzo del fascio di piani: si costruisce innanzitutto il fascio di piani che ha come sostegno una delle due rette, diciamo la retta r; in tale fascio si cerca l unico piano π parallelo alla retta r, imponendo l ortogonalità di un vettore N ortogonale al piano π e del vettore w che dà la direzione di r : N w = 0. A questo punto è sufficiente calcolare la distanza di un punto qualsiasi di r da π, con la formula vista nella Proposizione

19 1.4 Distanze 19 Esercizio 1.9 Calcoliamo la distanza delle rette x = 1 t r : y = 1 + 3t z = t x = 2 + s r : y = s z = 1 s Svolgimento Possiamo risolvere questo esercizio in due modi diversi: Primo metodo: I vettori v e w che danno le direzioni delle due rette hanno componenti v = ( 1,3, 1) e w = (1,1, 1), e il vettore PQ ha componenti (1 + s +t,s + 1 3t,1 s +t); il sistema visto sopra diventa { 1 s t + 3s + 3 9t 1 + s t = 3s 11t + 1 = s +t + s + 1 3t 1 + s t = 3s 4t + 1 = 0 che ha come soluzione t = 0,s = 1 3. La distanza delle due rette è dunque ( d(r,r ) = P(0)Q 1 3) ( = 2 3, 2 3, 4 3 ) = Secondo metodo: costruiamo innanzitutto il fascio di piani che ha come sostegno la retta r, le cui equazioni cartesiane sono: { x = 1 + z r : y = 1 3z Il fascio di piani è dunque λ(x z 1) + µ(y + 3z + 1) = 0. λx + µy + (3µ λ)z λ + µ = 0. Cerchiamo, in questo fascio, un piano che sia parallelo alla retta r. Dobbiamo perciò imporre che il vettore N = (λ, µ, 3µ λ), ortogonale al piano, sia ortogonale al vettore w = (1, 1, 1): N w = λ + µ 3µ + λ = 2λ 2µ = 0, da cui troviamo che il piano cercato è (prendendo λ = µ = 1): x + y + 2z = 0. Ora è sufficiente calcolare la distanza di un punto qualsiasi di r da π; ad esempio, scegliendo P = (2,0,1) troviamo d(p,π) = = 4 = =

20 20 Capitolo 1. Geometria di rette e piani nello spazio 1.5 Esercizi riassuntivi Esercizio 1.10 Sia r la retta di equazioni x y = 0, y z = 1, e sia s la retta passante per i punti (2,0,1) e (3,0,0). Siano inoltre π il piano perpendicolare a r passante per ( 1,0,0) e P il punto di intersezione di r e π. 1) Si trovi la posizione reciproca di r ed s. 2) Si trovi la distanza di P da s. Svolgimento Scriviamo le rette date in forma parametrica: x = 1 + λ x = 2 +t r : y = 1 + λ s : y = 0 z = λ z = 1 t Sostituendo le equazioni parametriche si s nelle equazioni cartesiane di r troviamo il sistema { 2 +t = 0 t 1 = 1 che non ha soluzione, quindi le rette non sono incidenti. Inoltre i vettori v e w che danno la direzione delle rette v = (1,1,1) w = (1,0, 1) non sono proporzionali, e quindi le rette non sono parallele; quindi le rette sono sghembe. Il piano π ha come direzione normale quella del vettore (1,1,1) e passa per ( 1,0,0) e ha quindi equazione π : x + y + z = 1. Il punto di intersezione tra r e π si ottiene sostituendo le equazioni parametriche di r nell equazione di π: (1 + λ) + (1 + λ) + λ = 1, da cui λ = 1 che individua il punto P = (0,0, 1). Sia Q(t) il generico punto di s. Allora PQ = (2 +t,0,2 t). Imponendo l ortogonalità con w 0 = PQ w = 2 +t 2 +t, da cui si ricava t = 0. La distanza di P da s è uguale al modulo di PQ(0), cioè a = 2 2. Il punto 2) può essere svolto in modo alternativo, considerando il piano π ortogonale ad s e passante per P; essendo ortogonale ad s il piano π si scrive come x z = d e, imponendo il passaggio per il punto si ottiene x z = 1. L intersezione di π con la retta s è il punto Q = (2,0,1) e la distanza di P e Q è = 2 2. Risposte: 1) Le rette sono sghembe 2) d(p,s) = 2 2

21 1.5 Esercizi riassuntivi 21 Esercizio 1.11 Siano P il punto di coordinate (0,1,1), π il piano di equazione y z = 0 e r la retta di equazioni { x y + z = 1 2x z = 0. 1) Sia Q il punto di intersezione di r e π. Si trovi la distanza di P da Q. 2) Si trovino equazioni cartesiane per la retta r, parallela ad r e passante per P. 3) Si trovi un equazione cartesiana del piano π che contiene r e P. Svolgimento Le coordinate del punto Q di intersezione di r e π sono le soluzioni del sistema x y + z = 1 2x z = 0 y z = 0 si ricava facilmente che cioè Q = (1,2,2). La distanza di P da Q si calcola ora con la formula (1.2), ottenendo d(p,q) = (1 0) 2 + (2 1) 2 + (2 1) 2 = 3. Per trovare la retta s dobbiamo scrivere la retta r in forma parametrica, per trovare un vettore che ne dà la direzione. Ponendo x = t troviamo equazioni parametriche per r x = t r : y = 1 + 3t z = 2t e vediamo che la direzione di r è data da v = (1,3,2). Possiamo quindi trovare equazioni parametriche per r : x = s r : y = 1 + 3s z = 1 + 2s ed, eliminando il parametro s, equazioni cartesiane: { r y = 1 + 3x : z = 1 + 2x Infine, per trovare il piano π, consideriamo il fascio di piani di sostegno la retta r: e imponiamo il passaggio per P: λ(x y + z 1) + µ(2x z) = 0, λ µ = 0, da cui λ = µ; scegliendo µ = 1 troviamo un equazione cartesiana del piano π : π : x + y 2z + 1 = 0. Risposte: 1) 3 2) 3x y + 1 = 2x z + 1 = 0 3) x + y 2z + 1 = 0.

22 22 Capitolo 1. Geometria di rette e piani nello spazio Esercizio 1.12 Sia l la retta di equazioni cartesiane x z + 1 = 0, y + 2z 1 = 0, e sia P il punto di coordinate (0,2,1). 1. Si trovi un equazione cartesiana del piano π, ortogonale ad l e passante per P. 2. Si trovino equazioni parametriche della retta r, passante per P, contenuta in π e incidente ad l. 3. Si trovi un equazione cartesiana del piano π che contiene l e P. Svolgimento Dalle equazioni cartesiane di l ricaviamo equazioni parametriche: x = 1 +t y = 1 2t z = t Un vettore che dà la direzione di l è quindi, ad esempio, (1, 2,1). I piani ortogonali ad l hanno quindi equazioni cartesiane del tipo x 2y + z = d. Imponendo il passaggio per P troviamo = d, e quindi π ha equazione x 2y + z = 3. La retta r passa per P e per il punto Q di intersezione di l e π. Troviamo tale punto, sostituendo le equazioni parametriche di l nell equazione cartesiana di π. 1 +t 2(1 2t) +t = 3, trovando t = 0. Il punto Q ha quindi coordinate ( 1,1,0), e possiamo quindi scrivere equazioni parametriche per r: x = s y = z = 2 s 1 s Consideriamo il fascio di piani di sostegno l, dato da λ(x z + 1) + µ(y + 2z 1) = 0, ed imponiamo il passaggio per il punto P, ottenendo 3µ = 0. Il piano cercato è quindi x z + 1 = 0. Risposte: x = s 1) x 2y + z = 3 2) y = 2 s z = 1 s 3) x z + 1 = 0.

23 2. Sistemi lineari 2.1 Sistemi lineari L insieme R n = {(a 1,a 2,...,a n ) a i R,i = 1,...,n} è detto spazio delle ennuple di numeri reali. Al suo interno possiamo introdurre l operazione di somma di due ennuple: (a 1,a 2,...,a n ) + (b 1,b 2,...,b n ) = (a 1 + b 1,a 2 + b 2,...,a n + b n ) e di prodotto per un numero reale (prodotto per uno scalare): λ(a 1,a 2,...,a n ) = (λa 1,λa 2,...,λa n ). Un equazione lineare in n incognite x 1,x 2,...,x n è un equazione del tipo ove gli a i e b sono numeri reali. a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, Definizione Un sistema di equazioni lineari di m equazioni in n incognite è un insieme di equazioni lineari, del tipo a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2... =... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Una soluzione del sistema è una ennupla di numeri reali (t 1,...,t n ) che sia soluzione di tutte le equazioni del sistema. Il sistema è detto compatibile se esistono delle soluzioni, incompatibile altrimenti. Un sistema è detto omogeneo se tutti i termini noti sono nulli.

24 24 Capitolo 2. Sistemi lineari N.B. Un sistema omogeneo è sempre compatibile, perché ammette sicuramente come soluzione la ennupla nulla (0,0,...,0). Problema 2.1 Come è possibile stabilire se un sistema è compatibile e, in caso affermativo, trovare le sue soluzioni? Matrici associate ad un sistema lineare Ad un sistema lineare del tipo a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2... =... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m possiamo associare tre tabelle di numeri: una tabella con m righe ed n colonne che contiene i coefficienti delle variabili nelle equazioni del sistema, detta matrice dei coefficienti o matrice incompleta, una tabella con m righe e una colonna, detta matrice dei termini noti o colonna dei termini noti che contiene i termini noti e una tabella con m righe ed n+1 colonne che contiene sia i coefficienti delle variabili nelle equazioni del sistema che i termini noti, detta matrice completa: A = a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn b = b 1 b 2... b n (A b) = a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b a m1 a m2... a mn b m Notiamo che la conoscenza della matrice completa permette di risalire al sistema lineare ad essa associato Operazioni elementari Dato un sistema lineare è immediato verificare che effettuando una delle seguenti operazioni elementari: 1. scambiare due equazioni, 2. moltiplicare un equazione per un numero diverso da zero, 3. aggiungere ad un equazione un altra equazione moltiplicata per un numero, si ottiene un sistema equivalente, cioè un sistema le cui soluzioni sono tutte e sole le soluzioni del sistema precedente. Le operazioni appena viste possono essere effettuate direttamente sulla matrice completa del sistema considerato; denotando con R i la riga i-esima della matrice, riscriviamo le operazioni elementari sopra viste nel modo seguente: 1. scambiare due righe R i ed R j, 2. moltiplicare una riga R i per un numero λ diverso da zero, 3. aggiungere alla riga R i la riga R j moltiplicata per un numero µ, Tali operazioni verranno indicate con S i j, D i (λ) e E i j (µ), rispettivamente. Definizione Se una matrice B si ottiene da una matrice A mediante un numero finito di operazioni elementari, allora si dice che B è una modificazione per righe di A.

25 2.1 Sistemi lineari 25 Esempio 2.1 Vediamo come può essere possibile studiare un sistema lineare utilizzando le operazioni elementari: x 3y z +w = 0 2y 4z +w = 1 x 2y +z 4w = 1 2x 4y 3z w = 0 La matrice completa associata a tale sistema è: Utilizziamo ora alcune operazioni elementari per portare la matrice in una forma più semplice: E 31 ( 1) E 41 ( 2) S E 32 ( 2) E 42 ( 2) E 43 ( 5/8) /8 1/8 Abbiamo mostrato che il sistema di partenza è equivalente al sistema x 3y z +w = 0 y +2z 5w = 1 8z +11w = 3 1/8w = 1/8 Possiamo ora ricavare w = 1 dall ultima equazione, sostituirlo nella precedente e ricavare z = 1, e così via, trovando che l unica soluzione del sistema è data dalla quaterna (6,2,1,1). Esempio 2.2 Vediamo ora un altro esempio: x 1 2x 2 +2x 3 x 4 = 1 2x 1 4x 2 +3x 3 +x 4 = 3 3x 1 6x 2 +5x 3 = 4 La matrice completa associata a tale sistema è: Utilizziamo ora alcune operazioni elementari per portare la matrice in una forma più semplice: E 21 ( 2) E 32 ( 1) E ( 3) Abbiamo mostrato che il sistema di partenza è equivalente al sistema { x1 2x 2 +2x 3 x 4 = 1 x 3 +3x 4 = 1

26 26 Capitolo 2. Sistemi lineari E ora possibile esprimere le due variabili x 1 e x 3 in funzione delle altre due: dalla seconda equazione si ricava x 3 = 3x 4 1 e x 1 = 2x 2 5x In questo caso il sistema è compatibile e ha infinite soluzioni che dipendono da due variabili. Le quaterne soluzioni del sistema sono 2x 2 5x x 2 3x 4 1 x 4 = x 2 x Esempio 2.3 Vediamo un ultimo esempio. La matrice completa associata a tale sistema è: 5x 4 0 3x 4 x 4 = 2x y = 1 y +2z = 0 x +z = x x 4 Utilizziamo ora alcune operazioni elementari per portare la matrice in una forma più semplice: E 31 ( 1/2) E 32 ( 1/2) /2 1 3/ / Abbiamo mostrato che il sistema di partenza è equivalente al sistema che è chiaramente incompatibile. 2x y = 1 y +2z = 0 0 = 3/2 2.2 Matrici a scalini e algoritmo di Gauss Vediamo ora di formalizzare quanto visto negli esempi precedenti, per descrivere la forma della matrice completa di un sistema lineare che vogliamo ottenere tramite modificazioni per righe e capire quali sono le operazioni elementari da effettuare per ottenerla Matrici a scalini Definizione Una matrice A è detta a scalini se, comunque prese due righe consecutive R i ed R i+1 di A si verifica una delle possibilità seguenti: R i e R i+1 sono entrambe non nulle e il numero di zeri che precedono il primo elemento non nullo di R i è minore del numero di zeri che precedono il primo elemento non nullo di R i+1. R i non è nulla e R i+1 è nulla. R i è nulla e R i+1 è pure nulla. Sia p i il primo elemento non nullo (se presente) della riga R i di una matrice a scalini; i p i sono detti pivot o elementi conduttori.

27 2.2 Matrici a scalini e algoritmo di Gauss 27 Esempio 2.4 Matrici a scalini. Le seguenti matrici sono esempi di matrici a scalini Ogni matrice può essere portata in forma a scalini mediante una modificazione per righe, utilizzando una procedura, chiamata l algoritmo di Gauss-Jordan, che andremo ora a descrivere. Cerchiamo la prima colonna che contiene un termine non nullo p 1. Se necessario, utilizziamo degli scambi S 1 j per avere p 1 sulla prima riga. Utilizziamo operazioni elementari di tipo E 1 j (µ) per ottenere una modificazione nella quale tutti i termini nella colonna di p 1 sono nulli. Ripetiamo il procedimento sulla matrice ottenuta rimuovendo la prima riga. N.B. Per portare una matrice in forma a scalini sono necessarie solo le operazioni del tipo S i j e E i j (µ). N.B. La forma a scalini di una matrice non è unica, ma, come dimostreremo più avanti, il numero dei pivot di due diverse forme a scalini di una stessa matrice è lo stesso. Definizione Si dice rango di una matrice A, e si denota con rg(a) il numero di pivot di una sua forma a scalini Matrici a scalini ridotte per righe Definizione Una matrice a scalini è detta ridotta per righe se ogni pivot vale 1 ed è l unico elemento non nullo nella sua colonna. Osservazione E possibile dimostrare che la forma a scalini ridotta per righe di una matrice è unica. Notazione 2.1. Data una matrice A indicheremo con rref(a) (row reduced echelon form) la sua forma a scalini ridotta per righe. Esempio 2.5 Matrici a scalini ridotte per righe. Le seguenti matrici sono esempi di matrici a scalini ridotte per righe Ogni matrice a scalini può essere portata in forma a scalini ridotta per righe mediante una modificazione per righe, detta riduzione all indietro, che andremo ora a descrivere.

28 28 Capitolo 2. Sistemi lineari Cerchiamo l ultima riga che contiene un pivot p k, ed effettuiamo un operazione elementare D k (1/p k ). Utilizziamo operazioni elementari di tipo E k j (µ) per ottenere una modificazione nella quale tutti i termini nella colonna di p k sono nulli. Ripetiamo il procedimento sulla matrice ottenuta rimuovendo la riga k. N.B. E evidente che il passaggio da una forma a scalini ad una forma a scalini ridotta non altera il numero di pivot Teorema di Rouché - Capelli Vediamo ora qual è il criterio per stabilire se un sistema lineare è compatibile: Teorema Rouché - Capelli. Dato un sistema lineare in n incognite di matrice completa (A b) tale sistema è compatibile se e solo se il rango di A è uguale al rango di (A b). In tal caso il sistema ha un unica soluzione se rg(a) = n, oppure infinite soluzioni dipendenti da n rg(a) variabili libere se rg(a) < n. Dimostrazione. Chiaramente rg(a b) rg(a) se e solo se l ultimo pivot di una forma a scalini di (A b) sta nell ultima colonna. In tal caso il sistema considerato è equivalente ad un sistema che contiene l equazione 0 = 1, e quindi non compatibile. Se invece l ultimo pivot non sta nell ultima colonna dopo aver effettuato la riduzione all indietro le variabili corrispondenti alle colonne dei pivot possono essere espresse in funzione delle altre variabili (che sono n meno il numero dei pivot, cioè n rg(a)) e dei termini noti. In particolare, se rg(a) = n la forma a scalini ridotta per righe fornisce direttamente l unica soluzione del sistema. Esempio 2.6 Consideriamo la matrice ottenuta nell Esempio /2 In questo caso rg(a) = 2 rg(a b) = 3, quindi il sistema non è compatibile. Esempio 2.7 Consideriamo la matrice ottenuta nell Esempio /8 1/8 In questo caso rg(a) = rg(a b) = 4, e n = 4, quindi il sistema è compatibile, ed ha un unica soluzione. Troviamo la soluzione portando la matrice in forma a scalini ridotta per righe D 4 (8) /8 1/ E 34 ( 11) E 24 (5) E 14 ( 1)

29 2.2 Matrici a scalini e algoritmo di Gauss 29 D 3 ( 1/8) E 23 ( 2) E 13 (1) E 12 (3) La soluzione è dunque (6,2,1,1). Esempio 2.8 Consideriamo la matrice ottenuta nell Esempio In questo caso rg(a) = rg(a b) = 2, e n = 4, quindi il sistema è compatibile con infinite soluzioni che dipendono da due variabili libere (quelle nelle colonne senza pivot). Portiamola in forma a scalini ridotta per righe per esprimere le variabili dipendenti (quelle nelle colonne dei pivot) in funzioni delle variabili libere D 2 ( 1) E 12 ( 2) E ora possibile esprimere le due variabili x 1 e x 3 in funzione delle altre due in questo modo: x 1 = 2x 2 5x e x 3 = 3x 4 1 e le quaterne soluzioni del sistema sono dunque Equazioni parametriche di rette e piani (2x 2 5x 4 + 3,x 2,3x 4 1,x 4 ) Alla luce di quanto appena visto possiamo vedere il passaggio da equazioni cartesiane per rette e piani a equazioni parametriche come risoluzione di un sistema lineare con infinite soluzioni che dipendono da una variabile libera (rette) o da due (piani). Le variabili libere corrisponderanno alle colonne senza pivot della matrice del sistema: Esempio 2.9 Sia r la retta di equazioni cartesiane: { x + y z = 1 2x y 3z = 2 Scriviamo la matrice del sistema e utilizziamola per risolverlo [ E 21 ( 2) [ [ 1 0 4/3 1 E 12 ( 1) 0 1 1/3 0 D 2 ( 1/3) [ /3 0 La variabile libera è z, e sarà essa a corrispondere al parametro. Possiamo quindi scrivere equazioni parametriche di r nel modo seguente: x = t y = 1 3 t z = t

30 30 Capitolo 2. Sistemi lineari Esempio 2.10 Sia r la retta di equazioni cartesiane: { x + y z = 1 2x + 2y + z = 2 Scriviamo la matrice del sistema e utilizziamola per risolverlo [ [ E ( 2) E 12 (1) [ La variabile libera è y, e sarà essa a corrispondere al parametro. Possiamo quindi scrivere equazioni parametriche di r nel modo seguente: Esempio 2.11 Sia r la retta di equazioni cartesiane: { y z = 1 x = 1 t y = t z = 0 y + z = 3 Scriviamo la matrice del sistema e utilizziamola per risolverlo [ [ E ( 1) [ E 12 (1) D 2 (1/2) [ La variabile libera è x, e sarà essa a corrispondere al parametro. Possiamo quindi scrivere equazioni parametriche di r nel modo seguente: Esempio 2.12 Sia π il piano di equazione cartesiana: x = t y = 2 z = 1 y 3z = 2 La matrice del sistema corrispondente è [ da cui vediamo che le variabili libere sono x e z, che corrisponderanno dunque ai parametri. Possiamo quindi scrivere equazioni parametriche di π nel modo seguente: x = t y = 3s + 2 z = s

31 2.3 Esercizi riassuntivi Esercizi riassuntivi Esercizio 2.1 Si consideri il seguente sistema lineare, in dipendenza dal parametro reale k: 2x y (k + 1)z = 7 2x (k + 7)z = 9 x +y 3z = 2 x +y (k + 10)z = 7 1) Si stabilisca per quali valori di k il sistema ammette un unica soluzione e per quali valori ha infinite soluzioni. 2) Si trovino esplicitamente le soluzioni del sistema per k = 1. Svolgimento Consideriamo la matrice completa associata al sistema e cerchiamone una forma a scalini. Scambiamo la prima e la terza riga, per usare nel primo passaggio della riduzione una riga che non contiene il parametro: 2 1 (k + 1) (k + 7) S (k + 7) (k + 1) (k + 10) (k + 10) 7 E 21 (2) E 31 (2) E 41 (1) k k k 13 5 La seconda riga è uguale all ultima, quindi possiamo eliminare l ultima k 13 5 E 32 ( 1/2) 0 2 k k k/2 1/2 1/2 Se k 1 il rango della matrice dei coefficienti e della matrice completa sono uguali e uguali a tre, quindi il sistema ha un unica soluzione. Se k = 1 invece, i due ranghi sono diversi e il sistema non è compatibile. In particolare non ci sono valori di k per cui il sistema ha infinite soluzioni. Troviamo ora l unica soluzione del sistema per k = 1 mediante riduzione all indietro /2 E 23 (7) E 13 ( 3) / /2 D 1 ( 1) D 2 ( 1/2) D 3 ( 1) E 12 (1) L unica soluzione, per k = 1 è dunque x = 5/2,y = 1,z = 1/2. Risposte: / / / /2 1) Soluzione unica per k 1. Infinite soluzioni: per nessun valore di k. 2) x = 5/2,y = 1,z = 1/2