Esercitazione 2 Sta/s/ca Aziendale

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Giulio Martino
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1 Esercitazione Sta/s/ca Aziendale David Aristei 1 marzo 015

2 Esercizio A (es..4 libro) Sulla base dell esercizio precedente, si ipo/zzi di voler invece effeeuare un campionamento casuale semplice. Sapendo che la deviazione standard della variabile Y è pari a 14, si calcoli la numerosità campionaria necessaria in funzione di un errore non superiore a 3 e di un livello di fiducia del 99%. 1/03/15 David Aristei Esercitazione

3 Esercizio A (es..4 libro) Calcolo della numerosità campionaria con CCS La varianza teorica della media campionaria nel CCS: Var( y) = Valore teorico dell errore standard: ES e il valore teorico dell errore campionario: N n = N 1 da cui si opene n in funzione di e (e di altri parametri): SY zα n = N 1 SY zα e + N N N ns y N 1 n S y n e = z α N n N 1 S y n 1/03/15 David Aristei Esercitazione 3

4 Esercizio A (es..4 libro) Determinazione della numerosità campionaria con CCS: N = 5418; S y = 14; e = 3; (1 α ) = 99% α / = z α / =.5758 n SY zα = = = N 1 SY zα e N N /03/15 David Aristei Esercitazione 4

5 Esercizio B Si ipo/zzi di dover realizzare una indagine campionaria per s/mare la proporzione di studen/ universitari frequentan/ che u/lizzano i mezzi di trasporto pubblico locale. Noto che la popolazione di studen/ frequentan/ è N = , determinare la numerosità campionaria n in funzione di un errore non superiore al 5% (in più o in meno) e di un livello di fiducia del 95%. 1/03/15 David Aristei Esercitazione 5

6 Esercizio B Calcolo della numerosità campionaria con CCS: s4ma di una frequenza In caso di variabile dicotomica la varianza della popolazione è pari a: S y = P(1 P) In questo caso la numerosità campionaria può essere determinata anche non avendo informazioni sulla varianza della variabile dicotomica, assumendo che essa assuma il suo valore massimo, che si ha per P = 0.5, e sos/tuendolo nella formula generale: e = z α N n N 1 S y n = z α N n N n n = e 0.5 z N 1 + N α 0.5 z N α 1/03/15 David Aristei Esercitazione 6

7 Esercizio B Calcolo della numerosità campionaria con CCS: s/ma di una frequenza S y = 0.5 (1 0.5) = 0.5; e = 0.05; (1 α ) = 95% α / = 0.05 z α / = 1.96 n = e N 1 N S Y z α + S z Y α N = = /03/15 David Aristei Esercitazione 7

8 Esercizio C Per s/mare la spesa media mensile (escluso affieo) degli studen/ universitari è stato u/lizzato uno schema di campionamento a grappoli e si sono estraee casualmente a = 6 classi da una popolazione di A = 10 classi di studen/ frequentan/ i corsi universitari del primo semestre, per un totale di N = 1600 studen/. Per ognuna delle 6 classi campione sono sta/ intervista/ tup gli studen/ presen/, oeenendo i seguen/ risulta/: Calcolare: 1) La s/ma della spesa media pro capite; ) La s/ma della varianza della media campionaria; 1/03/15 David Aristei Esercitazione 8

9 Esercizio C Le s4me con il campionamento a grappoli Campione di a grappoli; probabilità di inclusione: a/a S/matore fondamentale della media: y GRA = 1 N a α =1 Se N/A = n/a : t yα a A = 1 N A (1 a a α =1 t yα ) = A N t y N/A: dimensione media grappoli Numerosità campionaria: n a = α = 1 B α a Bα a Bα ygra = y = y naa Media delle osservazioni αβ αβ α= 1 β= 1 n α= 1 β= 1 campionarie 1/03/15 David Aristei Esercitazione 9

10 Esercizio C Calcolo la s/ma della spesa media pro capite y GRA = 1 a N A (1 t a yα ) = A α =1 N t = 1 y ( ) 6 1 = = /03/15 David Aristei Esercitazione 10

11 Esercizio C Le s4me con il campionamento a grappoli Varianza della media campionaria: y GRA = 1 N A t y = A N t y A st var( y ) (1 ) y GRA = f N a dove: Var( y GRA ) = A N Var(t y ) S/ma della varianza della media campionaria: f = a/a 1 s t t a t = ( ) y y α y a 1 α = 1 (frazione di campionamento) (s/ma della varianza dei totali di grappolo) 1/03/15 David Aristei Esercitazione 11

12 Esercizio C Calcolo la s/ma della spesa totale media e la s/ma della sua varianza: t y = = s ty = 1 6 (t 6 1 yα ) α =1 = 1 5 [( ) ( ) ] = Calcolo la s/ma della varianza della spesa media campionaria: var( y GRA ) = ( ) = /03/15 David Aristei Esercitazione 1

13 Esercizio C Sulla base delle preceden/ s/me, qualora volessimo calcolare l intervallo di confidenza al 95% per la s/ma della media: [ y GRA z α var( y GRA ); y GRA + z α var( y GRA )] z α = z 0.05 = 1.96 [ ; ] [ ; ] [70.5; ] 1/03/15 David Aristei Esercitazione 13

14 Esercizio D Da un campione casuale semplice di 59 studen/ della Facoltà di Economia è stata s/mata la proporzione complessiva di studen/ che u/lizzano abitualmente i mezzi di trasporto pubblico locale, oeenendo che tale percentuale è del 18.43%. Poiché la percentuale di mancate risposte totali è risultata diversa tra maschi e femmine: 1) correggere tale s/ma tramite la tecnica della post- stra/ficazione, a par/re dalle seguen/ informazioni rela/ve al campione e alla popolazione di riferimento: Campione Popolazione Sesso p h n h N h Maschi Femmine In complesso ) confrontare la s/ma oeenuta con quella calcolata senza post- stra/ficazione e commentare brevemente il risultato. 1/03/15 David Aristei Esercitazione 14

15 Esercizio D Post- stra4ficazione Classificazione del campione in k stra/ (post- stra/ficazione) S/ma della media (o della frequenza) (formula equivalente a quella della riponderazione): y = k n i i=1 j=1 k n i i=1 j=1 w i y ij w i, dove: w i = P P i = N N i P Ci n n i (Pesi di riponderazione) (i = 1,..., k) y k Ni = N i= 1 y i Formula del campionamento stra/ficato applicata ai k stra/ costrui/ a posteriori 1/03/15 David Aristei Esercitazione 15

16 Esercizio D S/ma della proporzione media complessiva mediante post- stra/ficazione: N f / N = 1958 / 3560 = 0.55 N m / N = = 0.45 p POST = i=1 N i N p i = = /03/15 David Aristei Esercitazione 16

17 Esercizio D La s/ma oeenuta mediante post- stra/ficazione è inferiore della s/ma complessiva oeenuta con il CCS: p POST = < p = Ciò è dovuto al faeo che, a causa delle mancate risposte totali, nel campione sono sovra- rappresentate le femmine che si caraeerizzano per un maggior u/lizzo del trasporto pubblico locale rispeeo ai maschi. Con la riponderazione è possibile corregge tale problema. InfaP: w f = P P f P C f = = = 0.90 w f < 1 unità sovra-rappresentate, peso diminuito w m = = 1.15 unità sotto-rappresentate, w m > 1 peso aumentato 1/03/15 David Aristei Esercitazione 17

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