I decibel e le taniche (J. Q.)

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1 I decibel e le tanice (J. Q.) remessa: Scopo di questa nota e far capire la seguente cosa: In una tanica lineare se sommo due liquidi aventi lo stesso volume, l altezza si raddoppia. elle tanice ad imbuto, ciamiamole deci-esponenziali, sommando due liquidi con lo stesso volume ottengo un liquido di altezza un po superiore a quello di partenza. In acustica il volume del liquido rappresenta la potenza del suono e si puo usare l altezza nella tanica come indice della sua rilevanza (forza). Usare il decibel significa usare le tanice ad imbuto. ertanto i volumi e le altezze non sono piu proporzionali. er questo 5 db 5 db non fanno db, ma 8 db. Si consideri la fig.. In essa la potenza sonora e rappresentata dal liquido blu e si trova in una tanica lineare. In queste condizioni essa e misurata in Watt. Se ora travasiamo il contenuto della tanica lineare in una tanica deci-esponenziale il suo livello (la sua altezza) e misurato in decibel: oice le tanice deci-sponenziali si allargano sempre piu, solo un contenuto quasi uguale fa aumentare sensibilmente il piu alto dei due livelli. Infatti sommando due tanice deci-esponenziali il livello (in questo caso, comune) si alza di sole tre tacce (3 decibel). Quindi cio ce conta nella addizione e nella sottrazione dei decibel e la differenza delle tacce (decibel). Algebra logaritm ica spicciola Se la differenza e :: ::aggiungi al piu grande ella som m a db db 5 db 5 3 db 3 db 5,5 db 34 db 39 db 4 db

2 Algebra logaritm ica spicciola ella differenza Ovviamente queste regolette si possono usare per calcolare gli ordini di grandezza, ma i conti vanno fatti con la calcolatrice o usando i grafici predisposti. Se la differenza e :: ::aggiungi al piu piccolo Vediamo ora di trovare una corrispondenza fra le immagini proposte e gli enti matematici da esse rappresentate. Volume di liquido blu (Area se profondita ); Largezza tanica lineare; Altezza liquido, cioe, umero di tacce; Se prendiamo, cosa sempre possibile, allora nel modello lineare rappresenta allo stesso tempo il volume e l altezza. ertanto nel sommare le quantita di liquido (watt) e indifferente sommare i volumi (watt) o l altezza del liquido. In altre parole al numero ce esprime l altezza puo essere assegnato il compito di rappresentare la potenza acustica (ce e invece il volume) e, alla fine, sommare i volumi o le altezze e la stessa cosa.

3 Invece, nel modello deci-esponenziale, si perde la proporzionalita fra area e altezza: se sommo due aree uguali non o una altezza doppia. In questa configurazione l area e la stessa (profondita ): e l altezza e data da : * ( Questa espressione induce alle seguenti riflessioni: ) ) Quando (la potenza sonora) e piccola il modello ad imbuto da variazioni di altezze (decibel) grandi. ) Quando (la potenza sonora) e grande il modello ad imbuto da variazioni di altezze (decibel) piccole. 3) Quando voglio sommare due potenze sonore devo sommare i volumi di liquido e non i decibel (cioe le altezze del liquido). Ma se voglio sommare le potenze scrivendo di fatto le altezze allora dovro realizzare ce: e quindi * ( ) * ( ) * ( ) Cosa dobbiamo ricordare di tutto questo? Ce le potenze sonore sono i deci-esponenziali. E pertanto quando vogliamo sommare tante potenze sonore dobbiamo sommare i deci-esponenziali per ottenere il deci-esponenziale totale da cui estrarre il decibel, cioe il livello sonoro. Se abbiamo potenze sonore ce si sommano in un punto, dobbiamo scrivere:

4 da cui *. el caso si voglia fare una media temporale pesata, avremmo: t t * * t * * In questo decreto troviamo, tra l altro, le seguenti formule:

5 Come si vede, dal punto di vista matematico sono tutte riconducibili ad una unica formula, tenendo presente ce: ) Dobbiamo sommare i deci-esponenziali ( e tale somma si scrive come un unico deci-esponenziale medio -> I teorema della media della Analisi Matematica.) b a b f ( x) dx f dx ( b a) * f ( x) medio a el nostro caso abbiamo: medio medio * E ricordando ce:

6 ) In acustica un deci-esponenziale e uguale al rapporto delle potenze acustice e cioe al rapporto dei quadrati delle pressioni. p p capiamo ce la stessa formula puo essere scritta in molti modi equivalenti ce, a prima vista, sembrano diversi. 3) el passaggio dal discreto al continuo, si sostituisce alla sommatoria l integrale. 4) Il (-k) della penultima espressione appare se si trasforma il del rapporto nella differenza dei.