LEZIONE 2 b () LEZIONE DI OGGI E DOMANI Segnali nel dominio del empo V B onenzioni ipografiche Segnali analogici e segnali digiali Segnali periodici Generaore di segnali e Oscilloscopio Valor medio e alore efficace Leggi per grandezze ariabili nel empo B () Figura 1: onenzioni ipografiche riguardani un segnale elerico Energia inerna di un bipolo ondesaore Induanza ircuii del primo ordine SEGNALI NEL DOMINIO DEL EMPO Una grandezza elerica che aria nel empo secondo una legge deerminaa cosiuisce un segnale. I segnali possono essere di ensione oppure di correne, a seconda che la grandezza elerica che ci ineressa sia una ensione o una correne. Per esprimere in modo esplicio la dipendenza dal empo, scriiamo: SEGNALI ANALOGII E SEGNALI DIGIALI Un segnale è analogico quando il suo conenuo di informazione aria con coninuià, poendo assumere un infinià di alori possibili (enro un cero inerallo). Un segnale è digiale quando il suo conenuo di informazione aria in modo discreo (cioè a passi), poendo assumere solano un numero finio di alori possibili. Il segnale digiale più semplice è il segnale binario, che può assumerre solo i alori (zero) e 1 (uno), che in genere corrispondono ai alori bassi e ali di una grandezza fisica ariabile con coninuià. per un segnale di ensione i() per un segnale di correne alola la dipendenza dal empo iene soinesa; il caraere minuscolo indica comunque che si raa di una grandezza ariabile nel empo. ONVENZIONI IPOGAFIHE SEGNALI PEIODII Un segnale è periodico quando si ripee idenicamene dopo un inerallo di empo, deo periodo: x( ) = x() (1) ipo di caraere significao esempio Maiuscolo con pedice Maiuscolo inua (puno di Valore in con- V B, I laoro) minuscolo con pedice Maiuscolo minuscolo con pedice minuscolo Valore isananeo (funzione del empo) Segnale ( B () V B ()) B (), i () b (), i c () L inerso del periodo è la frequenza f = 1. Dimensionalmene, la frequenza è l inerso di un empo e si misura in herz (Hz). Per un moo roaorio, la frequenza f è legaa alla elocià angolare dalla relazione: ω = 2πf. La elocià angolare si misura in radiani al secondo (rad/s). Poiché l angolo giro è pari a 2π rad, risula: 1 Hz = 1 giro/s = 2π rad/s. 1
GENEAOE DI SEGNALI ED OSILLOSOPIO 2 Figura 2: Esempio di segnale periodico: Una sinusoide analiicamene può essere espressa come: = sin(2πf) con f = 1 Il alore di picco dell ampiezza è ; il alore picco-picco, cioè la differenza ra il massimo e il minimo, è 2. Figura 5: Foografia dell oscilloscopio DS 112b presene nei nosri laboraorio didaici; manuale d uso: hp://eliano.fisica. unimi.i/oefm/oscilloscopio.pdf Figura 3: Un esempio di onda quadra è cosiuio dal segnale di clock di un sisema digiale sincrono. Figura 6: Foografia del generaore di segnali Agilen 3322A presene nei nosri laboraorio didaici; manuale d uso: hp://eliano.fisica. unimi.i/oefm/generaore_di_segnali.pdf r f Figura 4: Nella realà l onda quadra ideale non esise; un approssimazione più adeguaa del segnale di clock di un sisema digiale sincrono è cosiuio dall onda rapezoidale, aene empi di salia ( r, rise ime ) e di discesa ( f, fall ime ) diersi da zero. VALO MEDIO E VALOE EFFIAE Il alor medio V m di un segnale periodico è: V m = 1 (2) Il alore efficace o alore quadraico medio o alore oo Mean Square (MS) di un segnale periodico è: V rms = 1 () 2 (3) 2 LEZIONE 2
LEGGI PE GANDEZZE VAIABILI NEL EMPO La legge di Ohm per grandezze ariabili nel empo è: = i() (4) La correne è legaa alla carica elerica dalla relazione: i() = dq() (5) ENEGIA INENA DI UN BIPOLO Esisono elemeni circuiali il cui comporameno non dipende solo dal alore isananeo delle grandezze eleriche, ma anche dai alori assuni in precedenza. Quesi elemeni circuiali hanno memoria cioè manengono al loro inerno un informazione legaa al loro funzionameno passao. L informazione è fisicamene immagazzinaa soo forma di energia ariabile nel empo w(). L energia assorbia da un bipolo all isane è: w() = p() = p() w() (6) L espressione della poenza assorbia da un bipolo qualsiasi è daa dal prodoo della ensione per la correne. Espliciando la dipendenza dal empo: Figura 8: Disegno ridimensionale di un condensaore Dalle due equazioni q() = e i() = dq() si oiene: i() = d (8) Nel condensaore la correne è proporzionale alla deriaa della ensione. Se la ensione è cosane, la deriaa è nulla e non passa correne Per il calcolo in ensione/correne coninua (f = ) il condensaore si compora come un circuio apero. A ole succede che per alori ali di frequenza passa un alore almene alo di correne che il circuio si compora come un circuio chiuso. ome mosra la Fig. 8 per un condensaore a facce piane e parallele, aeni area S e disanza d, fra le quali è inerposo un maeriale isolane con cosane dielerica ɛ, la capacià è: p() = i() (7) = ɛs d (9) Quando la poenza aria nel empo, si parla di poenza isananea. La poenza isananea p() può essere posiia o negaia: è posiia quando aumena l energia immagazzinaa nel bipolo, è negaia quando l energia immagazzinaa diminuisce ONDESAOE Il condensaore (in inglese: capacior) è cosiuio da due superfici mealliche parallele separae da un isolane. La carica immagazzinaa è proporzionale alla ensione applicaa: q() =. La cosane è la capacià del condensaore, che si misura in farad (F): 1 F = 1 / 1 V Il farad è un unià di misura molo grande; di solio si usano i suoi soomulipli: µf, nf, pf e ff. i() Figura 7: ondensaore - Inerendo l equazione i() = d si ricaa che in un condensaore la ensione è proporzionale all inegrale della correne: = 1 () (1) La ensione () (che maemaicamene rappresena la cosane di inegrazione) è la condizione iniziale: () = ( = ) (11) L energia immagazzinaa in un condensaore è: w() = 1 2 ()2 (12) Si ede facilmene che deriando l energia si oiene la poenza isananea: p() = dw() = d (13) L energia aumena (e quindi la poenza iene assorbia) quando il alore assoluo della ensione ai capi del condensaore aumena; l energia diminuisce (e quindi la poenza iene erogaa) quando il alore assoluo della ensione ai capi del condensaore diminuisce. Leggi per grandezze ariabili nel empo 3
I condensaori engono spesso usai per applicazioni indusriali. Ad esempio engono impiegai all inerno degli acceleromeri usai per smarphone e console di gioco come mosra la Figura seguene: INDUANZA L induore (in inglese: inducor) è cosiuio da un filo aolo a spirale (solenoide). All inerno dell aolgi- L i() - Figura 9: Induore meno si ha un flusso magneico Φ proporzionale alla correne nel filo: Φ() = Li(). Il flusso magneico Φ si misura in Weber (Wb): I condensaori possono essere suddiisi in due caegorie: ceramici mulisrao: Quesi condensaori sono cosiuii da una serie di srai alernai di conduori e ceramiche. I condensaori ceramici sono in assoluo quelli più uilizzai, più dell 8% dei condensaori prodoi annualmene sono di queso ipo. Possono essere suddiisi in re classi a seconda del ipo di ceramica uilizzaa (ad ala o bassa cosane dielerica) e delle consegueni caraerisiche eleriche 1Wb = 1 m2 Kg As 2 (14) La cosane L è l induanza dell induore, che si misura in henry (H): 1H = 1Wb 1A (15) Una ariazione nel empo del flusso magneico produce una differenza di poenziale ai capi dell induore (legge di Faraday-Henry): = dφ (16) ombinando le due equazioni: Φ() = Li() e = dφ() si oiene: = L di() (17) La ensione è proporzionale alla deriaa della correne. Se la correne è cosane, la deriaa è nulla e non c è ensione ai capi del bipolo, quindi per la coninua l induore si compora come un corocircuio. Inerendo l equazione = L di() si ricaa che in un induore la correne è proporzionale all inegrale della ensione: Eleroliici: ad ala capacià in piccoli olumi, indicaiamene da 1 µf a 1 µf con coso ridoo in rapporo alla capacià. Purroppo, presenano caie caraerisiche eleriche: in paricolare presenano alori eleai di ES (resisenza serie) e ESL (induanza serie) e eleae correni di perdia. Alcuni modelli (indicai come Low ES) sono migliori da queso puno di isa e sono adai, per esempio, per alimenaori a commuazione. Inolre, quesi condensaori sono polarizzai, cioè hanno un e un - da rispeare, pena la disruzione del componene. i() = 1/L i() (18) L energia immagazzinaa in un induanza è: w() = 1 2 L(i())2 (19) Si ede facilmene che deriando l energia si oiene la poenza isananea: p() = dw() = Li() di() (2) L energia aumena (e quindi la poenza iene assorbia) quando il alore assoluo della correne ai capi del induanza aumena; l energia diminuisce (e quindi la poenza iene erogaa) quando il alore assoluo della induanza ai capi del induanza diminuisce. 4 LEZIONE 2
IUII DEL PIMO ODINE Un circuio del primo ordine è caraerizzao da un equazione differenziale del primo ordine. I circuii del primo ordine sono di due ipi: L o. S Figura 1: ircuio del primo ordine S è un inerruore ideale: si compora come un circuio apero quando è speno, e come un corocircuio quando è acceso. L inerruore S è acceso per <, e iene speno all isane =. Per calcolare l andameno nel empo della ensione di uscia si procede nel seguene modo: inerruore acceso per < : dalla KVL alla maglia eserna si ricaa la ensione di uscia = La correne nel resisore è i = V. La carica immagazzinaa nel condensaore è q =. inerruore speno per : il generaore di ensione iene scollegao; per risolere il circuio occorre scriere la KL al nodo di uscia conrassegnao con il segno (). che è fisicamene impossibile). Quindi abbiamo la condizione iniziale () = ( ) =, e il problema di hauchy: { d = 1 () = (23) si risole facilmene separando le ariabili e : d = e inegrando a parire dalla condizione iniziale: Poiché d cioè d = = ln, si oiene: ln ln = = (24) (25) (26) (27) alcolando l esponenziale di enrambi i membri, si ha la soluzione: = e (28) i () i () = (21) doe i () è la correne nel resisore e i () è la correne nel condensaore. Dalla KL i () i () =, sosiuendo i () = e i () = d, si ricaa l equazione differenziale: d = (22) La ensione ai capi del condensaore dee essere una funziona coninua nel empo (perché in caso conrario doremmo aere una correne infinia, Nella soluzione del circuio, il prodoo prende il nome di cosane di empo e si indica con τ e si misura in secondi: τ =. Geomericamene, la cosane di empo è l inersezione della angene alla cura per = con l asse dei empi. ircuii del primo ordine 5
ESEIZI 1. Generare più segnali con il generaore di segnali conneendo l uscia del generaore all ingresso dell oscilloscopio. Usare cai coassiali. Eiare se possibile l uilizzo del conneore coassiale a. (a) Un onda quadra proando a ariare l ampiezza e il periodo,e l offse; (b) Un onda sinusoidale proando a ariare l ampiezza e il periodo, e l offse (c) Un onda riangolare proando a ariare l ampiezza e il periodo, e l offse Per ogni segnale generao, regisrarne i alori sul P. 2. Esercizio dierene: ipeere l esperimeno precedene conneendo uno speaker e senendone il suono emesso. osa cambia ra quadra, sinusoidale, riangolare? osa cambia se cambio la frequenza? osa cambia se cambio l ampiezza o l offse? 3. Per prendere confidenza con l oscilloscopio: (a) Imposare l accoppiameno dei segnali in ingresso: imposare sempre l accoppiameno D per segnali generai dal generaore di segnali! (b) Proare a cambiare la scala dei empi e della ensione. osa indica ogni quadraino del display? (c) roare l indicazione di scala. (d) Applicare alcune funzioni maemaiche ad i segnali generai (ad esempio la media) (e) Uso dei cursori: Imparare ad usare i cursori (misurare il periodo dell onda sinusoidale e l ampiezza) (f) Imposare il rigger a in manuale. Generare un segnale con alori di ensione che non inconreranno mai il liello in ensione del rigger. osa si ede sul display dello srumeno? Sposare la manopola del rigger per rienrare nei alori di ensione del segnare. osa cambia rispeo prima? molo simile a quello fao a lezione la soluzione è una esponenziale 6. Solgere il calcolo eorico per il seguene circuio: I S L i() i() Proare a cosruire il circuio, in maniera analoga all esercizio 4. Per generare correne applicare una ensione ai capi di un resisenza con un alore di 1 Ω. a hps://i.wikipedia.org/wiki/rigger_ (eleronica) 4. osruire il circuio del primo ordine iso a lezione. Uilizzare gli inerruori sul lao basso della breadboard oppure saccare/aaccare manualmene un filo all alimenazione. Imposare il rigger manuale con liello di rigger pari a 1 2. Inolre, imposare l acquisizione singola del segnale. egisrare l esponenziale decrescene sul P. onfronare le misure con i calcoli eorici. 5. osruire un circuio con e in serie ed applicare un onda quadra (periodo molo maggiore rispeo a τ). Vedere l andameno nel empo e confronarlo con il calcolo eorico. Il calcolo è 6 LEZIONE 2