Unverstà degl Stud d Parma Facoltà d Ingegnera Dottorato d Rcerca n Ingegnera Cvle - XVIII Cclo Currculum: opografa e Cartografa (ICAR/6) Rccardo Roncella Svluppo e Applcazon d ecnche d Automazone n Fotogrammetra de Vcn Dssertazone per l consegumento del ttolo d Dottore d Rcerca utore: Prof. Ing. Ganfranco Forlan Coordnatore del Dottorato: Prof. Ing. Paolo Mgnosa Parma, Gennao 6
Unverstà degl Stud d Parma Facoltà d Ingegnera Dottorato d Rcerca n Ingegnera Cvle Currculum: opografa e Cartografa (ICAR/6) (XVIII Cclo) Rccardo Roncella Svluppo e Applcazon d ecnche d Automazone n Fotogrammetra de Vcn Dssertazone per l consegumento del ttolo d Dottore d Rcerca utore: Prof. Ing. Ganfranco Forlan Coordnatore del Dottorato: Prof. Ing. Paolo Mgnosa Parma, Gennao 6
Marco Polo descrve un ponte, petra per petra. -Ma qual è la petra che sostene l ponte?- chede Kubla Kan. -Il ponte non è sostenuto da questa o quella petra,- rsponde Marco -ma dalla lnea dell arco che esse formano. Kubla Kan rmane slenzoso, rflettendo. Po soggunge: -Perchè m parl delle petre? È solo dell arco che m mporta. Polo rsponde: -Senza petre non c è arco. Italo Calvno, Le Cttà Invsbl. utt lbr del mondo contengono una quanttà d nformazone non superore a quella trasmessa come segnale vdeo n una sngola grande cttà Amercana n un solo anno. Non tutt bt hanno la stessa mportanza. Carl Sagan
Indce INRODUZIONE Presentazone degl obettv e sntes del lavoro Convenzon e smbol 4 CAPIOLO Structure and Moton 7.. Introduzone 7.. Operator d nteresse... Operatore d Harrs... Operatore d Föerstner 5..3. Operatore d Lowe (SIF) 6..4. Altr operator d nteresse 8..5. Anals comparatva degl operator d nteresse 9.3. Feature Matchng 4.3.. Matchng procustano 5.3.. Descrttore d Lowe 9.3.3. Ottmzzazone dell estrazone d features 3.4. Collneartà e geometra proettva 34.5. Geometra eppolare 39.5.. Matrce Fondamentale 39.5.. Metod d stma della matrce fondamentale 4.5.3. Stma robusta della matrce fondamentale 43.6. Geometra trfocale 47.6.. ensore rfocale 47.6.. Metod d stma del tensore trfocale 5.6.3. Stma robusta della geometra trfocale 56.7. Rcostruzone metrca e bundle adjustment 58.8. Smulazon, est e Applcazon 64
Svluppo e applcazon d tecnche d automazone n fotogrammetra de vcn Rccardo Roncella.8.. Sequenze generate artfcalmente 64.8.. S&M applcata al rlevo d paret roccose 67.8.3. S&M applcata al rlevo archtettonco 69.8.4. S&M applcata alla navgazone d vecol per l moble mappng 7 CAPIOLO Algortm e tecnche d matchng area-based 79.. Metod d correlazone semplce 8.. Least Squares Matchng 84.3. Mult-Photo Geometrcally Constraned Matchng 87.4. Pre-elaborazone delle mmagn 9.4.. Elmnazone della dstorsone 9.4.. Ottmzzazone del contenuto nformatvo 95.4.3. Rettfca d mmagn eppolar 98.5. Metod d matchng denso 4.5.. Metod parallel 4.5.. Metod sequenzal 6.5.3. Metod d rlassamento 9.6. Fotogrammetra o Laser Scanner? 9.7. Smulazon, est e Applcazon.7.. Precson d msura del least squares matchng.7.. Least squares matchng e MPGCM 8.7.3. Generazone d nuvole d punt CAPIOLO 3 Anals d Pont Clouds 5 3.. Anals nterattva d nuvole d punt 6 3.. Segmentazone automatca d pan 9 3.3. Segmentazone con metod d stma robust 3 3.3.. Generazone del DSM mult-rsoluzone 33 3.3.. Estrazone delle enttà planar 35 3.3.3. Clusterng gerarchco delle gacture 36 3.3.4. Suddvsone della geometra 38 3.4. Segmentazone per mezzo della trasformata d Hough 39 CAPIOLO 4 Determnazone de pan d dscontnutà d paret roccose 43 4.. Lo studo delle dscontnutà negl ammass roccos 43 4.. Un sstema fotogrammetrco per l controllo d stabltà de versant n rocca 47
4... Progetto e rpresa delle mmagn 48 4... Il software d elaborazone ed l flusso d nformazon 5 4..3. Versant n rocca: Fotogrammetra o Laser Scanner? 5 4.3. Sto campone: Arnad 5 4.4. Sto campone: Longeborgne 58 4.5. Sto campone: Graner 6 Concluson 69 Appendce A 73 A.. Cenn d geometra proettva 73 A... Spaz vettoral proettv 74 A... Struttura degl spaz proettv 77 A..3. Conche nello spazo proettvo 79 A..4. Applcazon lnear e proettvtà 8 A.. Metod d stma 84 A... Sstem d equazon e decomposzone a valor sngolar. 84 A... Il metodo d Levenberg-Marquadt 88 A..3. Lne search 88 A..4. Metod d stma robust 9 A.3. Metod d resezone 94 A.4. Logca fuzzy 98 Appendce B B.. Matrce camera B.. Matrce fondamentale B.3. ensore trfocale 3 Bblografa 5 Rngrazament 5
v Svluppo e applcazon d tecnche d automazone n fotogrammetra de vcn Indce delle Fgure Rccardo Roncella CAPIOLO Fgura.: Schema a blocch delle operazon mplementate nella Structure and Moton. 8 Fgura.: Rappresentazone della funzone d rsposta R dell operatore d Harrs 4 Fgura.3: Immagn utlzzate per test comparatv degl operator d nteresse Fgura.4: est comparatv: grado d rpetbltà medo (rotazone) Fgura.5: est comparatv: grado d rpetbltà medo (varazone d scala) Fgura.6: est comparatv: grado d rpetbltà medo (trasformazone affne) Fgura.7: est comparatv: grado d rpetbltà medo (varazone del punto d vsta) 3 Fgura.8: est comparatv: grado d rpetbltà medo (varazone d lumnostà) 3 Fgura.9: Fnestra d rcerca nel feature matchng 6 Fgura.: Rappresentazone d un campo d parallass 6 Fgura.: Mappa delle orentazon ed ntenstà (operatore d Lowe) 9 Fgura.: Istogramm del descrttore d Lowe 3 Fgura.3: Ottmzzazone dell estrazone d features 3 Fgura.4: Localzzazone de punt d nteresse. 33 Fgura.5: Collneartà e geometra proettva 34 Fgura.6: Geometra eppolare fra due fotogramm 39 Fgura.7: Stma della matrce fondamentale note almeno 8 corrspondenze 4 Fgura.8: Rappresentazone della stma dell errore algebrco e geometrco 43 Fgura.9: Dstrbuzone degl error (dstanza dal modello funzonale) n un dataset 44 Fgura.: Stma robusta della geometra eppolare 46 Fgura.: Stma del tensore trfocale note 6 corrspondenze trple. 55 Fgura.: Stma robusta della geometra trfocale. 57 Fgura.3: Ambgutà proettva nella rcostruzone 58 Fgura.4: Confgurazon ottenbl dalla matrce essenzale 6 Fgura.5: Rcostruzone metrca della structure and moton. 63 Fgura.6: Immagne artfcale per la verfca della S&M. 64 Fgura.7: Poszon d presa e punt resttut della sequenza.6 (9 mmagn) 65 Fgura.8: Poszon d presa e punt resttut della sequenza.6 (8 mmagn) 65 Fgura.9: Arnad: una delle paret della Corma d Machaby 67 Fgura.3: Poszon d presa e punt resttut della sequenza realzzata ad Arnad 67 Fgura.3: Parete che sovrasta l eremo d Longebogne 68 Fgura.3: Poszon d presa e punt resttut della sequenza realzzata a Longeborgne 68 Fgura.33: Il prmo de grupp scultore del Pantheon analzzat 69 Fgura.34: Poszon d presa e punt resttut del gruppo scultoreo n fgura.33. 69 Fgura.35: Il secondo gruppo scultoreo utlzzato nella prova. 7 Fgura.36: Poszon d presa e punt resttut del gruppo scultoreo rappresentato n fgura.35. 7 Fgura.37: Schema del blocco elementare n applcazon moble mappng 7 Fgura.38: Stratege per la structure and moton applcata al MM 73 Fgura.39: Geometra eppolare n applcazon moble mappng 74
v Fgura.4: raettora dal vecolo nella prova descrtta 75 Fgura.4: Dfferenze fra soluzone d navgazone GPS e S&M 77 CAPIOLO Fgura.: Precson d poszonamento della patch, al varare delle funzon d forma 85 Fgura.: Matrce dsegno e matrce normale nell MGCM 89 Fgura.3: Schema delle operazon d nzalzzazone per l MGCM 9 Fgura.4: Schema delle poszon de punt dstort. 93 Fgura.5: Schema d scomposzone del pano mmagne medante quad-tree. 94 Fgura.6: rasformazone de ton d grgo d un mmagne 97 Fgura.7: Schema della generazone d mmagn eppolar (metodo proettvo) 99 Fgura.8: Esempo d generazone d mmagn eppolar con l metodo proettvo Fgura.9: Esempo d generazone d mmagn eppolar con l metodo polare 3 Fgura.: Schema d traettora d crescta nel matchng sequenzale 7 Fgura.: Schema delle prncpal operazon nel metodo d matchng denso sequenzale 8 Fgura.: Fotogrammetra e laser scannng: prmo caso d studo Fgura.3: Fotogrammetra e laser scannng: secondo caso d studo Fgura.4: Dfferenze d poszone (test con sltta mcrometrca) 4 Fgura.5: Error d poszonamento e dmenson della template (test con sltta mcrometrca) 5 Fgura.6: Campo d deformazone d un provno d conglomerato btumnoso 6 Fgura.7: Grafco della deformazone d un provno d accao 7 Fgura.8: Campo d deformazon d un provno d accao 8 Fgura.9: Confronto con la mesh orgnale del DSM ottenuto tramte LSM 9 Fgura.: Confronto con la mesh orgnale del DSM ottenuto tramte MGCM 9 Fgura.: Partcolare della cupola dell Ospedale Veccho d Parma Fgura.: Ospedale Veccho: meshng d una porzone della nuvola d punt ottenuta Fgura.3: Ospedale Veccho: dstanze geometrche dalla sfera nterpolante Fgura.4: DSM della parete nord-ovest dell ammasso d Longeborgne. 3 CAPIOLO 3 Fgura 3.: Operazon utlzzate nell anals d pont cloud nterattva 7 Fgura 3.: Selezone nterattva d porzon d DSM 8 Fgura 3.3: Segmentazone automatca d pan con metod d stma robust. 3 Fgura 3.4: Segmentazone automatca: voellng e successva aggregazone 33 Fgura 3.5. Dstanze assolute fra lvell della pramde del DSM 34 Fgura 3.6: Segmentazone automatca: clusterng gerarchco 37 Fgura 3.7: Segmentazone automatca: suddvsone tramte k-means 38 Fgura 3.8: rasformata d Hough: spazo eucldeo e spazo de parametr 4 Fgura 3.9: rasformata d Hough: spazo d accumulazone 4
v Svluppo e applcazon d tecnche d automazone n fotogrammetra de vcn Rccardo Roncella CAPIOLO 4 Fgura 4.: Defnzone degl angol d dp e dp drecton 44 Fgura 4.: Rlevo tradzonale delle superfc d dscontnutà 45 Fgura 4.3: Esempo d rlevo condotto per scanlne lungo la parete 46 Fgura 4.4: Schema per l rlevo, la modellazone e l anals d paret roccose. 48 Fgura 4.5: Inquadramento cartografco del sto d Arnad. 5 Fgura 4.6: Suddvsone del DSM n mcro-zone e n macro-zone (b.) 54 Fgura 4.7: Suddvsone del DSM: prove d segmentazone 55 Fgura 4.8: Segmentazone del DSM ottenuta per mezzo dell algortmo automatco 56 Fgura 4.9: Arnad: stereogramm ottenut con le dverse modaltà 57 Fgura 4.: Inquadramento cartografco del sto d Longeborgne. 58 Fgura 4.: DSM della parete nord-ovest dell ammasso d Longeborgne 59 Fgura 4.: Longeborgne: stereogramm ottenut con le dverse modaltà 6 Fgura 4.3: Inquadramento cartografco del sto del Graner 63 Fgura 4.4: Poszon d presa e punt d legame per l sto del Graner 64 Fgura 4.5: DSM della parete nord del complesso del Graner 65 Fgura 4.6: Graner: stereogramm ottenut con le dverse modaltà 66 Appendce A Fgura A.: Rappresentazone geometrca della retta proettva IP 74 Fgura A.: Rappresentazone della sfera untara 76 Fgura A.3: Rappresentazone della condzone d Armjo nel lne-search 89
v Indce delle abelle CAPIOLO abella.: Feature matchng: confronto fra due metod d rcerca 8 abella.: Immagn sntetche: replogo de rsultat ottenut con la structure and moton 66 abella.3: Arnad - Longeborgne: replogo de rsultat ottenut con la structure and moton 68 abella.4: Pantheon: replogo de rsultat ottenut con la structure and moton 7 abella.5: Moble mappng: statstche degl error su parametr d orentamento 76 CAPIOLO abella.: LSM: precson d msura e dmenson della template 3 abella.: Immagn sntetche: dfferenze fra mesh orgnale e DSM con LSM e MGCM abella.3: Ospedale Veccho: dstanze fra check pont e l DSM abella.4: Longeborgne: dstanze fra check pont e l DSM 3 CAPIOLO 4 abella 4.: Arnad: rsultat ottenut dal confronto con check pont 53 abella 4.: Longeborgne: rsultat ottenut dal confronto con check pont 6 abella 4.3: Longeborgne: dstanze fra check pont e l DSM 6 Appendce A abella A.: Ransac: numero d terazon mnme assumendo la probabltà p 99%. 9 abella A.: Ransac: numero d terazon mnme assumendo la probabltà p 95%. 9
v Svluppo e applcazon d tecnche d automazone n fotogrammetra de vcn Rccardo Roncella
INRODUZIONE Presentazone degl obettv e sntes del lavoro Negl ultm due decenn le scenze geomatche, e fra esse la fotogrammetra, hanno assstto a notevol cambament, sa d ordne operatvo sa d ordne teorco-metodologco, n vrtù del crescente mpatto delle nuove tecnologe n tutt gl aspett della nostra professone. In partcolare la fotogrammetra ha vsto crescere una comunanza d nteress con altre dscplne, prma fra tutte la vsone artfcale: sebbene la prma cur soprattutto gl aspett metrologc e la seconda le applcazon n real-tme, presuppost operatv (spece nel close-range) e le problematche d entrambe spesso rsultano affn. La cosa non deve sorprendere se s consdera che nostr ccl operatv fanno affdamento sull uso d calcolator sempre pù evolut e prestant e l dvaro fra costo delle rsorse umane e cost macchna tende ad aumentare n manera esponenzale. Se qund, da un lato, le tecnche d vsone artfcale, per rspondere a rcheste sempre pù mpegnatve, devono tener conto anche degl aspett metrologc, dall altro la fotogrammetra non può contnuare a svluppars se non puntando decsamente verso l automazone delle procedure. Da cò l sostanzale nteresse che le due dscplne tendono ad avere ne confront l una dell altra, seppur presuppost teorc e metodologc da qual prendono spunto sano dfferent. L ntroduzone d nuove tecnologe e una sempre maggore ntegrazone d sensorstca (laser a scansone, GPS e sstem d navgazone nerzale) hanno oggettvamente spostato l nteresse del mercato a svantaggo della fotogrammetra: lo studo e l mplementazone d nuove soluzon, che sano n grado d fornre lo stesso lvello prestazonale, soprattutto n termn d facltà d uso, temp d acquszone ed esperenza rchesta all operatore, sono essenzal per garantre lo svluppo della dscplna e mantenerla al passo delle altre tecnologe d rlevo. La presente dssertazone d dottorato verte propro sullo svluppo e l anals d tecnche d automazone n fotogrammetra de vcn (close-range), affrontando (eccetto l acquszone) tutte le fas del processo fotogrammetrco: orentamento, resttuzone, classfcazone de dat.
Svluppo e applcazon d tecnche d automazone n fotogrammetra de vcn Rccardo Roncella Una larga parte del lavoro è stata focalzzata sul tema dell automazone dell orentamento d sequenze d mmagn, che è stato applcato con successo sa nel Moble Mappng, sa nel settore archtettonco, sa nel rlevo d paret roccose. Per quanto rguarda la resttuzone, sono state mplementate tecnche d correlazone a mnm quadrat mult-mmagne con vncol geometrc e stratege per l matchng denso nella resttuzone d superfc, applcate sa nel settore del rlevo archtettonco, sa nello studo delle deformazon de materal, sa nella generazone d DSM. Partcolare attenzone vene prestata al tema dell anals d stabltà d paret roccose, sul quale da alcun ann v è un vvo nteresse del settore geotecnco n ambto nternazonale: è n tale ambto che sono state svluppate le tecnche pù nnovatve, soprattutto nell estrazone (nterattva o completamente automatzzata) delle dscontnutà d paret roccose. Inoltre, la messa a punto d una procedura ntegrata d msurazone ed anals de dat, applcata a questo tpo d problem, ha permesso d collegare tutt gl aspett descrtt n un unco processo, mostrando come l automazone delle operazon d rlevo sa un obettvo perseguble. La struttura della dssertazone rcalca n modo sequenzale le dverse fas d rlevo fotogrammetrco e d nterpretazone de dat. Nel prmo captolo vengono affrontate le tematche legate al problema della Structure and Moton, ovvero della determnazone de parametr d orentamento e delle caratterstche geometrche d oggett, determnabl dallo studo d una sequenza d mmagn: tematca storcamente legata al settore della vsone artfcale, ha vsto nell ultmo decenno un crescente nteresse da parte del mondo della fotogrammetra. Da una generca sequenza d mmagn, per mezzo d operator per l estrazone d features, modell matematc desunt dalla geometra proettva e algortm d stma robusta s è n grado d generare accoppament fra punt ndvduat su mmagn dfferent, fltrare quell non corrett e rsolvere, senza alcuna conoscenza d parametr approssmat, le equazon d collneartà, ottenendo, al termne della procedura, parametr d orentamento e la poszone trdmensonale de punt. Dopo aver presentato e dscusso tecnche d feature etracton e feature matchng, s llustrano concett d geometra eppolare e geometra trnoculare, ntroducendo la matrce fondamentale ed l tensore trfocale, che sono gl element chave dell approcco proettvo all orentamento d una sequenza. Partcolare attenzone è data noltre al problema della robustezza d stma, essendo sempre elevata la percentuale d error grossolan nel feature matchng.. I punt d forza del metodo sono l fatto che non sa rchesta la conoscenza d alcuna nformazone prelmnare sulla struttura del blocco o della scena, per cu tutte le procedure sono automatche; al tempo stesso, la sua generaltà, permette che sa effcacemente applcato n molt ambt: rlevo archtettonco, navgazone, controll ndustral ma sono numerose le applcazon anche n campo archeologco, medco, cnematografco etc. Al termne del captolo vengono presentat prncpal e pù nteressant rsultat ottenut nelle applcazon attualmente prese n consderazone.
INRODUZIONE Nel captolo vengono analzzate le tematche legate alla resttuzone densa d enttà puntual con tecnche d correlazone d mmagn, con le qual è possble, sempre n manera totalmente automatca sfruttando anche le nformazon ottenute durante la fase d Structure and Moton, descrvere la superfce oggetto con un nseme costtuto da qualche decna d mglaa a qualche mlone d punt. Dopo aver presentato metod d correlazone semplce ed l least squares matchng, s llustra l matchng mult-mmagne vncolato geometrcamente. Vengono po analzzate le prncpal tecnche al momento mplementate per ottmzzare l contenuto nformatvo delle dverse mmagn, che permettono d ottenere procedure d correlazone pù effcent ed accurate. Inoltre vengono llustrate le procedure e le stratege d ottmzzazone per ottenere l maggor numero possble d punt nella nuvola. Anche n questo caso, al termne del captolo, vengono analzzate le effettve prestazon de metod svluppat, sa dal punto d vsta delle precson che da quello dell affdabltà d resttuzone; vengono noltre llustrate alcune applcazon a nostro avvso partcolarmente nteressant. Nel terzo captolo s vanno a presentare le tecnche svluppate per l anals della nuvola d punt ottenuta durante la fase d matchng. al aspett assumono partcolare mportanza per lo studo del campo d dscontnutà delle paret roccose che, come gà detto, è al momento l applcazone svluppata che pù delle altre, fa uso d tecnche d automazone: pertanto la trattazone, seppur generale, tende a mettere n luce maggormente problem dervant da questo tpo d anals. Vengono presentat due metod d segmentazone: uno semautomatco, n cu l operatore ndvdua una porzone lmtata del DSM ed l software provvede a segmentarlo, mettendo n rlevo le regon pane present. Nel secondo, totalmente automatco, l calcolatore opera drettamente sulla nuvola d punt. Sebbene ancora la spermentazone non possa drs conclusa, anche n vrtù del fatto che la verfca de rsultat è spesso dspendosa e complessa, la metodologa svluppata è estremamente nteressante e può essere applcata a dvers aspett del rlevo. Il quarto captolo llustra rsultat ottenut dall applcazone congunta d tutte le tecnche precedentemente llustrate, nel caso specfco dell estrazone de pan d dscontnutà nello studo d anals d stabltà d paret roccose. Dopo aver sntetzzato le metodche mpegate nell anals d stabltà ed lmt delle tecnche d rlevo geostrutturale attualmente adottate, s presenta un procedmento alternatvo basato sull anals d un DSM accurato della parete, rlevato fotogrammetrcamente; seguono una sere d osservazon ed ndcazon, desunte dalle esperenze sul campo fnora effettuate, legate a problem d progettazone e realzzazone del rlevo. Infne vengono presentat rsultat ottenut su tre dvers st campone che permettono una valutazone delle real capactà de metod presentat. In un captolo conclusvo, nfne, s cerca d fornre un quadro rassuntvo d tutt gl aspett trattat nella dssertazone, con partcolare rguardo alle possbltà applcatve emerse, mettendo n rsalto gl element d orgnaltà svolt e possbl svlupp futur. Molt d quest stess aspett verranno comunque analzzat n cascun captolo, per permettere un collegamento pù mmedato agl aspett pù partcolar sa dal punto d vsta teorco e metodologco che da quello applcatvo.
Svluppo e applcazon d tecnche d automazone n fotogrammetra de vcn Rccardo Roncella In appendce A vengono llustrat aspett teorc general legat ad aspett specfc dello svluppo de metod d automazone: alcun rcham d geometra proettva, metodologe d stma robusta e metod d ottmzzazone, metod d resezone dretta; nfne verranno brevemente analzzat alcun aspett general legat alla logca fuzzy che rappresenta, al momento, la drezone d svluppo pù nteressante per molt degl algortm presentat nella tes. In appendce B, nfne, vene presentato un breve formularo che rassume molte delle propretà ottenbl dall utlzzo d tecnche proettve n problem fotogrammetrc. Convenzon e smbol Nella presente dssertazone s sono segute le seguent convenzon tpografche: Per quanto rguarda rferment bblografc, ess sono ndcat fra parentes quadre con l nome del prmo autore e l anno d pubblcazone: tale rfermento è rntraccable nella bblografa nserta al termne della presente, n cu tutte le ctazon sono elencate n ordne alfabetco e per data d pubblcazone. Qualora, per uno stesso autore, sano present pù rferment pubblcat nello stesso anno, l rfermento è seguto da una lettera. Per quanto rguarda le equazon nserte nel testo, quelle pù sgnfcatve vengono nserte n una rga solata e numerate nella forma (.), n cu () ndca l captolo n cu la formula è nserta e () la numerazone progressva. Gl element scalar vengono soltamente ndcat con lettera corsva mnuscola; gl element vettoral bdmensonal con lettera corsva mnuscola n grassetto, quell trdmensonal o n-dmensonal con lettera corsva mauscola n grassetto; le matrc vengono sempre ndcate con lettera corsva mauscola; gl element tensoral verranno ndcat con lettera corsva mnuscola o mauscola a seconda della dmensone del corrspettvo elemento vettorale. Gl ndc vengono soltamente ndcat con le lettere, j, k n corsvo. Qualora tal convenzon non vengano rspettate, per motv d pratctà d scrttura, l testo ne dà ndcazone, llustrando la smbologa utlzzata. Con l apce s ndcherà l operazone d trasposzone d matrce, con l apce - l nversa della trasposta, mentre l punto moltplcatvo $ verrà soltamente sottnteso o ndcherà l prodotto scalare fra due vettor. Il prodotto vettorale vene ndcato ndfferentemente con l smbolo # o con l smbolo / ; noltre l smbolo 6 v @ #, dove v è un vettore trdmensonale, sta ad ndcare la matrce emsmmetrca che codfca l prodotto vettorale: v _ v,, vy vz & 6 v@ # v z - v y - v z v v y - v
INRODUZIONE Per quanto rguarda le fgure, esse saranno numerate nella forma (.), n cu () ndca l captolo n cu la fgura è nserta e () la numerazone progressva; l elenco completo delle fgure è nserto nell ndce corrspondente. Per quanto rguarda le tabelle, esse saranno numerate nella forma (.), n cu () ndca l captolo n cu la fgura è nserta e () la numerazone progressva; la numerazone delle tabelle è ndpendente da quella delle fgure; l elenco completo delle tabelle è nserto nell ndce corrspondente. Qualora, all nterno del testo, fosse necessaro utlzzare smbologe dfferent da quelle appena descrtte per necesstà d stesura, ne verrà data ndcazone.
Svluppo e applcazon d tecnche d automazone n fotogrammetra de vcn Rccardo Roncella
CAPIOLO Structure and Moton.. Introduzone Una delle fas pù delcate del rlevo fotogrammetrco, come noto, è l orentamento de fotogramm: se n fotogrammetra aerea l blocco generalmente ha una struttura ben defnta e può far affdamento su tecnche e metodologe spermentate n quas un secolo d applcazon, lo stesso non s può dre per le applcazon terrestr. La fotogrammetra close-range ha subto un fortssmo svluppo soprattutto nel corso degl ultm ann, con la nascta d nuove applcazon non solo ne tradzonal settor ndustrale ed archtettonco, ma anche nel mondo della cnematografa, dell archeologa, della medcna. Al tempo stesso la sensorstca ha fatto pass da ggante e se da un lato è possble avere sul mercato fotocamere dgtal ad alta rsoluzone a prezz contenut, l ntegrazone d tale tecnologe con altr tp d sensor è un fenomeno n contnua espansone. Rsulta evdente, qund, che cascuna applcazone presenta suo aspett pecular sa n termn d rsultat attes, sa n termn d vncol operatv per la progettazone e realzzazone del blocco. Da questo punto d vsta l mpatto che la fase d orentamento del blocco può avere sull ntera procedura dventa crucale, n vrtù soprattutto del fatto che le caratterstche del blocco non sono sempre ugual e che l pù delle volte l utlzzatore non ha una preparazone specfca nel settore. Anche dal punto d vsta metrologco le precson rcheste nelle dverse applcazon possono essere assa dfferent fra loro e molto spesso possono essere consderat altrettanto mportant altr aspett conness al rlevo: s pens, per semplctà, allo svluppo della computer grafca, n cu molte volte non è necessaro raggungere lvell d precsone elevatssm, ma bsogna garantre che dal punto d vsta vsvo la scena o l oggetto rcostruto sano verosml. All nzo degl ann 9, con l dffonders delle prme telecamere dgtal, nel settore della vsone artfcale l attenzone s è concentrata sull anals d sequenze d mmagn, affrontando la rcostruzone della Structure from Moton [Huang 994], [Dhond 989], [Mohr 996], [Faugeras 993] (a volte ndcato anche con l nome d Structure and Moton per ndcare la contemporanetà d stma che può essere rchesto
8 Svluppo e applcazon d tecnche d automazone n fotogrammetra de vcn Rccardo Roncella dal problema). Il problema può essere così rassunto: n qual cas ed n che modo è possble determnare la struttura spazale d un oggetto o pù n generale d una scena avendo a dsposzone una sequenza d mmagn (ovvamente con punt d presa dfferent) con l mnor numero d nformazon a pror e parametr nzal? In altre parole s volevano ndvduare una sere d metodologe l pù possble automatzzate n grado d fornre la descrzone trdmensonale d un oggetto non dsponendo d nformazon su parametr d orentamento (nterno, esterno od entramb), eventualmente senza alcun tpo d nformazone sull oggetto, l tutto per mezzo d procedure che rducessero o elmnassero completamente l ntervento umano nel processo. La mente umana svolge quotdanamente tale operazone senza creare troppo scalpore: effettvamente per comprendere la forma e le caratterstche spazal d un oggetto non abbamo quas ma la necesstà d toccarlo o d msurarlo ma c basta poterlo guardare da alcune poszon dfferent. Il problema può qund essere formulato come l ndvduazone d tecnche e procedure n modo da nsegnare ad un calcolatore una metodologa per nterpretare la spazaltà d un nseme d oggett che è n grado d vedere su una sere d mmagn. Cò dà ragone del fatto che tale problema (e le sue mlle ramfcazon) sa stato nzalmente analzzato nel pù vasto ambto dell ntellgenza artfcale e che tuttora trov maggor spunt d svluppo n ambent legat alla vsone artfcale. In partcolare rcercator s sono sempre dvs sulla strada da segure per rsolvere l problema: da un lato, nfatt, c è ch sostene che l metodo pù effcente è quello d cercare d emulare la vsone bologca dell essere umano sebbene, come nota O. Faugeras nella prefazone a [Hartley ], non s conosce probablmente a suffcenza l funzonamento della vsone umana per poter pensare Estrazone d element (features) Punt, lnee, curve, regon... Defnzone corrspondenze prelmnar CONEMPORANEIA (opz.) Stma orentament ntern (Auto-calbrazone) Rcostruzone metrca Bundle Adjustment Fltraggo corrspondenze erronee (outler) Stma orentamento esterno (Moton) Stma coordnate punt terreno (Structure) Fgura.: Schema a blocch delle operazon generalmente mplementate n un problema d Structure and Moton.
CAPIOLO. Structure and Moton 9 d svluppare un algortmo o un nseme d algortm che ne rcalch l comportamento; dall altro v sono rcercator mpegnat nello svluppo d una vsone slcon-based ovvero con regole d percezone della spazaltà sostanzalmente dfferent da quelle umane. Da questo punto d vsta la fotogrammetra ha come dscplna l ndubbo vantaggo d avere uno svluppo orma quas secolare alle spalle propro nell ambto dell nterpretazone matematca e algortmca de process d formazone dell mmagne e della loro nterpretazone; è dunque n questo senso che le dfferent mpostazon possono trovare un punto d convergenza. Lo svluppo d una metodologa d vsone e msurazone dello spazo trdmensonale non può charamente prescndere da una solda base teorca che fornsca l substrato metodologco per affrontare l problema n manera effcente da parte d un calcolatore. In questo senso dverse branche della matematca del XIX e XX secolo hanno fornto prncp teorc d base (vd. appendce A) per lo svluppo d soluzon mrate: c rferamo non soltanto alla nascta e allo svluppo delle geometre non eucldee ed n partcolare dell algebra proettva d cu s parlerà approfondtamente n seguto, ma anche d procedure d stma sempre pù effcent e robuste che permettono d rsolvere compless sstem d equazon che codfcano le caratterstche del problema. Attualmente tutt metod d rsoluzone della structure from moton s basano su metodologe analoghe (s veda fgura.): nzalmente vengono estratte sulle dverse mmagn una sere d element (soltamente puntual, anche se non mancano mplementazon n cu s fa uso anche d element lnear) che, con un certo grado d probabltà sano rscontrabl su dvers fotogramm: per mezzo d opportun operator matematc, s scandagla tutta l mmagne analzzando valor radometrc sul domno spazale del fotogramma; ove tal valor presentano caratterstche pecular (ad esempo gradent elevat n due drezon mutuamente ortogonal) s suppone d aver ndvduato un punto maggormente contrastato rspetto ad altr (ad esempo uno spgolo o un vertce dell oggetto) e s rtene che tale punto appaa ugualmente contrastato anche sulle altre mmagn che compongono la sequenza. Una volta ndvduato un numero suffcentemente elevato d element nteressant, per mezzo d opportun crter geometrc e radometrc, s ndvduano delle corrspondenze putatve che formno un prmo tentatvo d catalogazone d corrspondenze omologhe su dvers fotogramm. A questo punto è possble stmare una geometra d presa prelmnare ed elmnare le corrspondenze sbaglate. Generalmente per ottenere questa stma prelmnare s fa uso della geometra eppolare fra due fotogramm (orentamento relatvo) o della geometra trfocale fra tre fotogramm: è nfatt faclmente dmostrable che la geometra relatva fra due sol fotogramm non è n grado d fornre un grado d robustezza suffcente all elmnazone sstematca d tutt gl error d accoppamento della fase precedente, soprattutto n que cas n cu, a causa ad esempo d una non suffcente caratterzzazone d tesstura, l oggetto esamnato può condurre ad una sere numerosa d accoppament ambgu; al contraro, la geometra ntercorrente fra tre mmagn dstnte, gode d una robustezza decsamente maggore e presenta confgurazon crtche molto raramente.
Svluppo e applcazon d tecnche d automazone n fotogrammetra de vcn Rccardo Roncella E mportante evdenzare che, fno a questo punto, soltamente, non s è rcors all utlzzo d alcun parametro nzale per vncolare la geometra d presa: n altre parole è solo la struttura matematca del fotogramma (analzzata per mezzo degl operator d nteresse), l effcenza nell ndovnare gl accoppament prelmnar da parte degl opportun algortm e dalla successva fase d fltratura delle corrspondenze sbaglate che s arrva a defnre una geometra d presa. ale geometra non strettamente verfca le condzon real del blocco fotogrammetrco, nel senso che fornsce una geometra proettvamente equvalente a quella reale. Dal momento che su tale argomento s dedcherà n seguto partcolare attenzone, sa suffcente n questa sede semplfcare l problema dcendo che analtcamente è possble ottenere, con le procedure poc anz llustrate, una confgurazone n cu parametr d orentamento esterno ed nterno d cascun fotogramma sa sostanzalmente dfferente da quello del blocco consderato, ma che n termn d resdu nelle equazon d collneartà fornsca lo stesso rsultato del caso reale; così come la geometra del blocco rsulta sostanzalmente deformata, anche la geometra dell oggetto rsulta compromessa pur essendo proettvamente equvalente (secondo la defnzone che verrà pù avant fornta) a quella dell oggetto stesso. Per ottenere nfne una rcostruzone reale del blocco e della scena è suffcente la conoscenza de parametr d orentamento nterno: la geometra nterna al fotogramma nfatt permette una rcostruzone conforme (ovvero equvalente a meno d una trasformazone d smltudne) del blocco e dell oggetto consderato. al parametr possono essere not a pror o, ancora una volta, possono essere stmat (seppur con un grado d approssmazone a volte non adeguato) drettamente dalle corrspondenze gà determnate. In altre parole anche la rcostruzone conforme dell oggetto e del blocco può avere luogo anche nel caso n cu sano parzalmente o completamente ncognt parametr d calbrazone della camera utlzzata. Per concludere, è possble ottenere una stma ottmale (n termn d massma verosmglanza), utlzzando rsultat ottenut come parametr approssmat d un sstema rsolvente a mnm quadrat (bundle adjustment) n cu possono essere nserte nformazon agguntve sul blocco (punt d appoggo, nterdstanze note, orentament etc ). S arrva così alla defnzone completa de parametr d orentamento esterno ed nterno d cascun fotogramma (moton) oltre che della geometra della scena (structure) per mezzo de punt defnt dalle corrspondenze fnal che rsultano coerent con la geometra stmata. Nel seguto cascun passaggo del metodo delneato verrà charto n maggor dettaglo, svluppando concett matematc necessar alla sua mplementazone e andando a svluppare un anals crtca delle tecnche attualmente dsponbl. Verranno noltre llustrat alcun esemp real n cu è possble notare come l mpostazone generale del problema ne permetta l utlzzo n una casstca estremamente ampa d applcazon nell ambto della fotogrammetra de vcn. E mportante nfne evdenzare che, sebbene la struttura dell oggetto determnata per mezzo dell applcazone delle tecnche d structure and moton, non sa l pù delle volte suffcente a fornrne una descrzone esaurente ( punt vengono decs arbtraramente dall operatore d nteresse e possono non concdere con punt necessar all operatore umano), essa può fornre parametr nzal per procedure d nfttmento del contenuto nformatvo geometrco, come verrà dettaglatamente llustrato nel prossmo captolo.
CAPIOLO. Structure and Moton.. Operator d nteresse Il prmo passo nello schema d fgura.. è la scelta d element faclmente rntraccabl nel maggor numero d fotogramm che compongono la sequenza. al element sono generalmente d tpo puntuale n vrtù del fatto che, nelle successve operazon d fltraggo e d elmnazone d corrspondenze sbaglate, rsulta pù semplce e spesso pù robusto lavorare con questo tpo d prmtve. Non mancano però mplementazon n cu vene fatto largo uso anche d altre prmtve, qual lnee e curve: una vasta panoramca de prncpal metod algebrc per gestre tal problem vene fornta n [Schmd a]. al prmtve s dmostrano partcolarmente utl nello studo d scene n cu effettvamente è preponderante la presenza d element lnear (archtettura, road modellng, alcune applcazon ndustral etc ). Il crtero fondamentale per valutare la reale effcenza d un operatore d nteresse è rappresentato dalla sua capactà d ndvduare l medesmo partcolare (ovvero d fornre punt omologh) anche su fotogramm dfferent per scala, per l dverso punto d vsta, per condzon d llumnazone, ecc. In altre parole un operatore d nteresse è tanto pù effcente quanto maggore è l suo grado d nvaranza rspetto a trasformazon geometrche e radometrche va va pù general. Un confronto partcolarmente nteressante fra operator dfferent s può trovare n [Schmd b] e n [Mkolajczyk 3], dove, a seconda del tpo d trasformazone che nteressa successv fotogramm della sequenza (rotazon, varazon d scala, cambament d llumnazone e rsposta radometrca, effett d prospettva), è possble ndvduare l operatore mglore ovvero quello che fornsce l pù elevato grado d rpetbltà (rapporto fra rconoscment corrett e numero d punt ndvduat sul fotogramma). Altro parametro fondamentale per valutare le prestazon d un operatore d nteresse è la precsone nella localzzazone, ovvero la capactà d ndvduare esattamente lo stesso punto n termn d coordnate mmagne. ale precsone può essere stmata conoscendo la geometra dell oggetto o verfcando resdu delle equazon d collneartà dopo aver eseguto un bundle adjustment al termne del rconoscmento. Nel nostro studo, dopo aver trattato prncpal fondament teorc che contraddstnguono gl operator attualmente mplementat, c occuperemo n partcolare del prmo aspetto, rmandando alle succtate opere d Schmd e Mckoljczyk per una trattazone pù ampa del problema. Quas tutt descrttor d nteresse attualmente mpegat, a prescndere dall mplementazone scelta, analzzano la funzone I (, y) (a domno e valor dscret) che descrve la radometra dell mmagne; come osservato n [Moravec 977], la funzone d auto-correlazone de ton d grgo f (, y), calcolata nell ntorno d un dato pel su una fnestra d dmenson assegnate, può fornre nformazon sul tpo d struttura locale dell mmagne. Posto nfatt: f (, y )!_ I (, y ) - I ( + D, y + D y ) ( k, y k ) k k k k (.)
Svluppo e applcazon d tecnche d automazone n fotogrammetra de vcn Rccardo Roncella se la fnestra è prva d tesstura, f (, y) presenta valor prossm a zero; qualora la fnestra contenga un contorno (edge), la correlazone s mantene alta nella drezone del contorno e cala rapdamente n drezone ad esso ortogonale; nfne, nel caso la fnestra contenga uno spgolo (corner) la funzone d auto-correlazone presenterà varazon sgnfcatve n tutte le drezon. Altr tp d operator, d cu però non c occuperemo n questa sede, s basano nvece sull ndvduazone d contorn (lnee e curve) per po andare ad analzzare la curvatura locale d tal contorn (s veda ad esempo [Asada 986] o [Medon 987]).... Operatore d Harrs L operatore d Harrs [Harrs 988] è sostanzalmente una rvstazone ed un superamento d alcun problem d ordne concettuale del metodo proposto da Moravec [Moravec 977]. Nell mplementazone d Moravec la funzone d autocorrelazone vene calcolata dando alla fnestra gl spostament { (,), (,), (,), (-,) }ovvero lungo gl ass e y e le dagonal:! E (, y ) w ( u, v ) $ f (, y ) u, v (.) dove w ndca una funzone fnestra che vale nella zona corrspondente all ntorno del punto (, y) (coè appunto la fnestra consderata) e altrove. L mplementazone d Moravec ha tre controndcazon: pochè vengono prese n consderazone solo drezon prefssate non è possble mettere n luce nella stessa manera lnee o spgol dversamente nclnat; essendo punt all nterno della fnestra equpesat, l metodo rsentre maggormente del rumore ne ton d grgo dell mmagne; l metodo tende a rspondere eccessvamente n corrspondenza d element lnear dal momento che vene preso n consderazone solo l valore d E. La soluzone proposta da Harrs permette d rsolvere tal problem. Innanztutto la funzone d autocorrelazone deve essere calcolata n tutte le drezon. Analtcamente cò è possble consderando uno svluppo n sere d aylor d tale funzone (per semplctà arrestato al prmo ordne, consderat gl spostament modest che s voglono analzzare): Sosttuendo nella (.) ottenamo: I ( + D, y + D y ), I (, y ) + k k k k I y I d k k dy (, y ) ( k, y k ) (.3) f (, y) I y I d! e ( (, ) dy, y ) k y o k k k (, y ) k k (.4) Svluppando la quanttà a secondo membro ottenamo:
CAPIOLO. Structure and Moton 3 f (, y ) d dy I I y I (, ) (, y ) y (, ) (, y ) d k k k k k yk k k ( k, y k ) I y I y I d dy!! dy A (, y ) ( k, y k )! ( k, y k ) ( k, y k )! ( k, y k ) ( k, y k ) d dy (.5) n cu la matrce A permette d descrvere approssmatvamente la funzone d auto-correlazone nell ntorno del punto (, y). Inoltre è possble utlzzare nella (.) come funzone fnestra una funzone non costante, come ad esempo una funzone gaussana D con smmetra crcolare, che permetta d fltrare eventual fenomen d rumore: w ( u, v ) e u v - + v Sosttuendo la (.5) e la (.6) nell equazone (.) s ottene nfne: (.6) E (, y ) d dy M (, y ) d dy (.7) con M (, y )! ( k, y k )! ( k, y k ) I ( k, y k ) w (, y ) k (, ) I y I w k yk ( k, y k ) ( k, y k ) k! ( k, y k ) (, ) I y I w k yk! ( k, y k ) ( k, y k ) ( k, y k ) y I ( k, y k ) w (, y ) k k (.8) S not come E sa strettamente legata alla funzone d auto-correlazone e come M possa essere utlzzata per defnrne la forma locale: dett nfatt a e b due autovalor della matrce M ess rappresentano le component prncpal d curvatura della funzone d auto-correlazone. E mmedato allora notare che valor d a e b permettono d ottenere una descrzone della forma locale della funzone d auto-correlazone nvarante rspetto ad una qualsas rotazone. In fgura. è evdenzata la classfcazone del contenuto della fnestra n funzone d a e b: quando entramb gl autovalor a e b presentano valor bass, la funzone d auto-correlazone fornsce valor prossm a zero, ovvero l punto consderato s trova n una zona a tesstura omogenea; se uno de due autovalor rsulta pù elevato dell altro, la funzone d auto-correlazone ha valore maggore lungo la drezone del corrspondente autovettore: samo qund n presenza d un contorno; se nfne entramb gl autovalor rsultano grand, la funzone d autocorrelazone tende a varare rapdamente n tutte le drezon: samo n presenza d uno spgolo. Per codfcare tal nformazon n un unco valore, che msur n grado d nteresse del punto consderato, Harrs suggersce d consderare un opportuno operatore: R Det ( M ) - k $ r ( M ) (.9) Osservando che
4 Svluppo e applcazon d tecnche d automazone n fotogrammetra de vcn Rccardo Roncella Det ( M ) ab e r ( M ) a + b (.) s ottengono valor elevat d R se lo sono entramb gl autovalor d M; l secondo termne della (.9) assume l sgnfcato d fattore d forma, lmtando la rsposta quando la funzone d auto-correlazone rsulta allungata (quando coè uno de due autovalor è preponderante sull altro). Generalmente la varable k assume valor ntorno a.4.6 n presenza d corner ben defnt: la determnazone d tale valore è però del tutto emprca. Per rendere effcente l calcolo della funzone R n cascun punto dell mmagne s può procedere nel seguente modo: per prma cosa s calcolano le dervate local n drezone e y per mezzo d una convoluzone con una maschera del tpo [ - ] o [ - - ]; alcun autor [Schmd b] suggerscono d usare al posto d una maschera per le dfferenze fnte, come le suddette, una maschera gaussana con s ; dalla convoluzone s determnano termn omogene della (.5); eseguendo una ulterore convoluzone, stavolta con una maschera gaussana d dmenson prefssate, s consdera l nterazone della funzone fnestra e s ottengono per ogn punto gl element della matrce M; è qund possble calcolare l valore d R n cascun punto dell mmagne. Per selezonare punt d nteresse s effettua una soglatura prelmnare de valor d R,trascurando coè punt che presentano valor d rsposta troppo bass. Infne per mezzo d una fnestra d rcerca d dmenson prefssate s vanno a rcercare punt d massmo locale della funzone R. ale funzone può essere nterpolata, ad esempo per mezzo d un polnomo d grado n, n modo da ottenere una stma sub-pel della poszone d massmo della funzone che, lo rcordamo, essendo calcolata n corrspondenza d cascun pel, è a domno dscreto. In base a quanto detto, rsulta evdente che l operatore d Harrs è nvarante rspetto a α 7 9 8 6 5 4 3 EDGE FLA CORNER EDGE 3 4 5 6 7 8 9 Fgura.: Rappresentazone per curve d lvello della funzone d rsposta R e della suddvsone tpologca n funzone degl autovalor a e b β
CAPIOLO. Structure and Moton 5 rotazon dell mmagne. Vceversa, se la trasformazone che lega localmente punt dell oggetto n due dfferent fotogramm presenta varazon d scala o deformazon prospettche, le sue prestazon peggorano drastcamente: mentre per rotazon arbtrare l grado d rpetbltà tende a manteners costantemente ntorno a valor prossm a.9 (l 9% de punt estratt su un fotogramma concdono con quell estratt nell altro), è suffcente un fattore d scala d.5 per dmezzare l numero d rconoscment corrett. Analoghe osservazon possono essere fatte per cambament d llumnazone e varazon prospettche. S rmanda all ultma parte del paragrafo per un maggor approfondmento delle prestazon degl operator e della loro nvaranza ne confront d trasformazon geometrche e radometrche.... Operatore d Föerstner L operatore d Föerstner [Föerstner 987], svluppato un anno prma d quello d Harrs, pur da presuppost dfferent, arrva ad un rsultato assa smle. Il punto d partenza del lavoro d Förstner è nfatt la correlazone a mnm quadrat o Least Squares Matchng proposta precedentemente da Grün [Grün 985]. Maggor dettagl sul metodo verranno presentat nel paragrafo.; qu s osserva solo che, consderando la matrce de pes untara, la matrce normale del sstema a mnm quadrat è del tutto equvalente alla matrce A (, y) n (.5): N! ( k, y k )! ( k, y k ) I ( k, y k ) I y I ( k, y k ) ( k, y k )! ( k, y k ) I y I! ( k, y k ) ( k, y k ) ( k, y k ) y I ( k, y k ) (.) La matrce d covaranza de due parametr spostamento (n rga e colonna) rsulta qund: C - v $ N (.) Come noto, dalla matrce d covaranza s possono rcavare parametr dell ellsse d errore, che rappresenta n questo caso l errore atteso nell ndvduare l punto con tecnche d Least Squares Matchng: maggor le dmenson dell ellsse, maggore l ncertezza nella determnazone. Forstner osservò po che, un ellsse d errore molto allungato ndca la presenza d un contorno: la poszone del punto lungo la drezone ortogonale al contorno è determnata con buona precsone, mentre n drezone parallela ad esso è mal determnata. Not gl autovalor l e l della matrce normale (.), lo schaccamento dell ellsse è dato dal parametro roundness: 4Det ( N ) m - m q (.3) - e o r ( N ) m + m che rappresenta l rapporto fra due ass prncpal dell ellsse, mentre l area dell ellsse è msurata da: Det ( N ) m m w r ( N ) m + m (.4)
6 Svluppo e applcazon d tecnche d automazone n fotogrammetra de vcn Rccardo Roncella che prende l nome d valore d nteresse (nterest value). In tal senso l operatore d Föerstner è sostanzalmente analogo a quello d Harrs, non fosse che n questo caso l autore non defnsce una funzone d rsposta che tenga n consderazone entramb parametr w e q. Valgono d conseguenza le consderazon fatte per l comportamento dell operatore n presenza d trasformazon geometrche e radometrche. A questo rguardo, però, può essere nteressante osservare che, nell mpostazone d Föerstner sarebbe possble consderare un modello funzonale pù complesso, andando ad esempo a consderare una trasformazone geometrca affne ed una varazone radometrca lneare: n tal caso lo studo dell ellssode d errore, seppur pù complessa, porterebbe ad ndvduare que punt dell mmagne che meno rsentono d trasformazon d quel tpo. uttava, a nostro parere, tale percorso non porta ad un effettvo mgloramento del metodo, n quanto s presume che solo n condzon partcolar la natura del punto scelto permetta un nvaranza nella procedura d matchng rchesta per determnarlo. In altre parole, è l descrttore d nteresse che deve utlzzare crter nvarant rspetto a determnate trasformazon e non l punto a presentare una conformazone tale da rendere l operatore nvarante...3. Operatore d Lowe (SIF) L operatore d Lowe [Lowe 999], [Lowe 4] è attualmente uno degl algortm pù studat n ambto d rcerca (soprattutto n robotca e computer vson) a causa della sua estrema effcenza nel determnare features corrspondent su pù mmagn. Il metodo non solo è nvarante rspetto a trasformazon d scala, rappresentando pertanto un notevole passo avant rspetto a metod precedentemente analzzat, ma permette d generare per cascuna feature de descrttor unvoc, una sorta d mpronta dgtale della feature, che favorscono notevolmente le operazon d matchng. L nvaranza rspetto alla varazone d scala è ottenuta per mezzo d un approcco pramdale n cu l mmagne sorgente vene camponata a dverse scale; al tempo stesso l suo contenuto d frequenze, a cascun lvello d scala, vene scomposto per mezzo d un fltro passa-banda basato sulla dfferenza d convoluzon gaussane. Il metodo prende spunto da stud sulla vsone umana [Lndeberg 994], da qual rsulta che l attenzone del soggetto tende a soffermars su partcolar dfferent n funzone del lvello d dettaglo percepble (ovvero della dstanza dalla quale s osserva l oggetto) e a scale ugual s tende a concentrare l attenzone localmente sulle bande d frequenze pù sgnfcatve. Innanztutto, dall mmagne orgnale s derva l cosddetto Pyramd Scale Space [Wtkn 983], ovvero una struttura dat n cu sono memorzzate mmagn separate da ntervall d scala dscret; raggruppament d tal mmagn vengono defnt da Lowe ottave. In cascuna ottava, la dfferenzazone d scala non avvene per mezzo d un rdmensonamento dell mmagne, ma per mezzo d un fltro gaussano che rduce l lvello d dettaglo (defocusng). ale struttura, sebbene costtuta da una sere d mmagn separate da ntervall d scala dscret, permette la rappresentazone contnua della varazone del contenuto nformatvo estrable n funzone della scala mmagne. Le mmagn che compongono le ottave sono le scomposzon
CAPIOLO. Structure and Moton 7 n frequenza dell mmagne orgnale, ottenute come gà antcpato per dfferenze fra convoluzon con gaussane sotrope d varanza dfferente: detta I (, y) la funzone a domno e valor dscret che descrve l mmagne ad una determnata scala, rsulta: L ^, y, v h G ^, y, v h ) I ^, y h (.5) dove s è ndcato G ^, y, v h e rv ` + y j - v (.6) Le mmagn che compongono l ottava ad una determnata scala sono date dalla dfferenza fra due funzon dervate dalla (.5) utlzzando dfferent valor d s: D ^, y, v h _ G ^, y, k v h - G ^, y, v h ) I ^, y h L ^, y, k v h - L ^, y, v h (.7) Come osservato n [Lndeberg 994] e prma ancora n [Koendernk 984] per ottenere una corretta rappresentazone dello spazo delle scale, n cu ad ogn lvello sa garantto lo stesso grado d contenuto nformatvo, la funzone d rcamponamento deve essere una funzone Laplacana: n [Lowe 4] vene effettvamente dmostrato che la dfferenza d due gaussane è proporzonale ad una funzone Laplacana ed è qund corretta per ottenere l nvaranza d scala. S determna un ntervallo ncrementale della varanza n (.6) n modo tale che n cascuna ottava l ultma mmagne abba valore d s uguale al doppo d quella nzale. Il numero d ottave da consderare dpende dall ntervallo d scale che s voglono analzzare: n alternatva, s può stablre una dmensone mnma d mmagne n cu non ha pù sgnfcato cercare d estrarre nformazon. Vceversa l numero d mmagn all nterno d un ottava può essere fssato n base al lvello d dscretzzazone che s vuole operare per lo scale-space: n [Lowe 4] vene mostrato emprcamente che un valore par a 3 4 mmagn è soltamente suffcente. Per determnare punt d nteresse s procede per mezzo d una rcerca de massm e mnm local della funzone D(, y, s) n cascuna ottava: per mezzo d un volume d rcerca cubco (ad esempo d dmensone 333) s va a verfcare qual punt rsultano massm local n tale volume (n letteratura vene consglato d scartare punt con valor d D mnor a.3). Una volta ndvduato tale punto, per rendere pù precsa l ndvduazone del massmo o mnmo locale, è possble procedere come segue [Brown ]: s consdera una funzone quadratca trdmensonale che nterpol valor della funzone nello scale-space D(, y, s) nel punto estremo trovato; tale funzone per mezzo d uno svluppo n sere d aylor arrestato al secondo ordne rsulta: (.8) D, y, D D D D ^ vh ^ h ^ h + +