Trattamento elle osservazon topograche Teora egl error Dstrbuzone emprca elle msure S supponga rpetere la msura una granezza per un numero molto elevato volte N, aveno a sposzone uno strumento la cu sensbltà è maggore ell accuratezza ell operazone msura Per esempo, con l cannocchale un teoolte s collma un punto n conzon vsbltà non ottmal Allora, n generale, le verse msure esegute anno rsultat leggermente vers Se s msura una granezza unmensonale a valor real, emprcamente s verca n molt cas che rsultat elle msure s strbuscono n moo approssmatvamente smmetrco attorno a un valore, e che, se s suve l ntervallo e valor msurat n pccol ntervall uguale ampezza, l numero e valor che caono n cascun ntervallo ecresce man mano che c s allontana al valore centrale Qun, se s costrusce un stogramma (g) n cu s rappresentano n ascssa valor msurat e n ornata l numero n valor corrsponent a cascun ntervallo ella suvsone, s ottene un tpco anamento a campana g stogramma una strbuzone statstca Inoltre, se l esecuzone elle N msure vene rpetuta, s constata che rsultat ottenut, pur non esseno entc, s strbuscono n manera smle A partre a valor msurat, è possble calcolare la mea emprca, N, che N conce approssmatvamente con l centro smmetra ella campana, e la varanza emprca s N N ( ) (la cu race quarata è lo scarto quaratco meo emprco), che à una msura quanto la strbuzone e valor è concentrata ntorno alla mea S verca natt mmeatamente che s è pccolo se valor sono n prevalenza molto prossm a quano se ne allontanano I valor Dstrbuzone gaussana s ε sono ett scart alla mea, e cresce I rsultat emprc escrtt nel paragrao preceente possono essere utlzzat per costrure un moello probablstco prevsone S ensce una unzone, etta enstà probabltà, l cu graco rlette l anamento a campana ell stogramma vsto sopra, tale che l suo ntegrale su un ntervallo I ornsce la probabltà che la msura ella granezza caa n I :
( ) prob{ I} Naturalmente ( ), che esprme la certezza che la granezza I assuma un valore reale Inoltre eve essere La granezza correata alla enstà probabltà è etta varable aleatora contnua NOTA: con questo moello prob{ I} tene a quano l ampezza I tene a Esso non è qun aatto a escrvere una probabltà concentrata su sngol valor, e escrve solo probabltà strbute su ntervall Data la unzone, s enscono le seguent quanttà: ( ) ( µ ) ( ) µ (valore atteso) () (varanza) () è etto scarto quaratco meo (sqm) Naturalmente queste enzon sono accettabl se gl ntegral esstono nt E ragonevole aspettars che, n un espermento come quello escrtto n, la mea emprca assuma un valore prossmo a µ Inatt, se la retta reale R vene suvsa n pccol ntervall tutt uguale ampezza e s ncano con punt me quest ntervall, allora ( ) ( ) Se l graco rlette l anamento ell stogramma escrtto n, la quanttà ( ), che è approssmatvamente uguale alla probabltà che caa nel -esmo ntervallo ella suvsone, eve anche essere crca uguale a η N, ossa alla razone tutte le msure n / esegute con rsultat nel -esmo ntervallo ella suvsone (etta requenza) n Qun ( ), ove nell ultmo termne la somma è su tutt N N rsultat elle msure, e l ultma uguaglanza approssmata è gustcata al atto che l valore approssma tutt valor contenut nel -esmo ntervallo ella suvsone In manera analoga c s rene conto che la varanza emprca assume verosmlmente un valore prossmo a NOTA: In generale, ata una unzone ϕ ella varable aleatora, s usa la notazone E ϕ ( ) ϕ( ) ( ) Qun µ E { } E{ ( µ ) } { }, L anamento a campana ell stogramma escrtto n è ben rappresentato alla enstà probabltà normale o gaussana (g), la cu espressone è
µ ( ) ep, () π ove µ e sono ue parametr S vee mmeatamente che l graco è smmetrco rspetto a µ mentre è un parametro scala, che ensce l ampezza ella campana: l graco è tanto pù allargato quanto pù grane è Pù precsamente, s può vercare che, con questa scelta, s ottene µ µ, g gaussane con uguale valore atteso e verso sqm NOTA: Nel caso strbuzone gaussana egl error, la probabltà che lo scarto rentr n un ntervallo semampezza uguale a volte lo scarto quaratco meo è crca 9975, ossa molto vcna alla certezza Per questa ragone per rappresentare l ncertezza una msura vene spesso usata la quanttà Correlazon S supponga ora che quanttà (), vengano msurate contemporaneamente e che questa operazone msura venga rpetuta N volte Ogn msura à luogo a una coppa () () () () n s possono etermnare mee emprche (, ), scart (, ε ) ( s ( ), s ( ) ) (,) () () Inoltre, s può prenere n conserazone la quanttà s N ε ε possono vercare le seguent crcostanze: () () () ( ) ; come, ε e varanze emprche S constata allora che s () () non esste alcuna relazone partcolare ra segn e, che qun sono crca altrettante volte concor e scor D conseguenza, segn e loro proott sono crca altrettante volte postv e negatv, e qun c sono molte cancellazon nella somma n (,), che n questo moo rsulta n generale molto pccola; s ε ε () () segn e sono prevalentemente concor o prevalentemente scor In questo caso segn e loro proott sono prevalentemente postv o prevalentemente (,) negatv, e qun la somma n è non pccola n valore assoluto s () () Nel prmo caso s ce che e non sono correlate, nel secono che sono correlate (,) (postvamente o negatvamente) La quanttà r s / s s, etta coecente correlazone emprco, à una msura ella presenza o meno correlazone S può provare che < r < ε () ε ( )
4 Varable aleatora -m () () Per costrure l moello probablstco prevsone relatvo alla coppa granezze (, ) s ntrouce una unzone varabl D ( (), () ) () () prob () () {(, ) D} () () () () D conseguenza (, ), () () (, ) tale che, per un omno D R, Introotta la notazone () () { (, )} () () () () () () ϕ(, ) (, ) E ϕ, s enscono ( ) { },, ( ) ( ) {( ( ) )( ( ) )},,,, µ (valore atteso) (4) C ( ) E ( ) E µ NOTA: µ (matrce covaranza) (5) C ( ) ( ) che l coecente correlazone emprco prossmo alla quanttà provare che ; noltre, con ragonament sml a quell vst n, c s può renere conto < ρ < ( ) / ( ) r ( ) ntrootto n assume verosmlmente un valore ρ C C C (coecente correlazone) Come per, s può ( ) T NOTA: n notazone matrcale s può scrvere C E{ ( µ )( µ ) }, ove µ è un vettore a component ( ) NOTA: la enzone ella matrce C può essere ovvamente estesa al caso n cu ha un ( ) numero arbtraro n component In questo caso la mensone C è n n ( ) n NOTA: La matrce C è enta postva, ossa per ogn vettore non nullo v R s ha ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v vv E{ ( µ ( ) )( µ ( ) )} E{ vv ( µ ( ) )( ( ) )} ( ) ( v ( ( ) )) > T v C µ { } E µ NOTA: se la enstà probabltà congunta può essere scrtta come prootto enstà () () () () () () probabltà unmensonal: (, ) ( ) ( ), le ue varabl, sono ette npenent In questo caso s verca che ( ) ( ) ( ) C, ossa le ue varabl sono anche ncorrelate, e la matrce covaranza è agonale Analogh rsultat s ottengono n S not che s può are l caso varabl ncorrelate, ma non npenent La orma generale una enstà probabltà gaussana congunta è n / / T ( ) (π ) ( et C) ep ( µ ) C ( µ ) (6) n R r
ove e µ sono vettor ( mensone n) e C è una matrce quarata S verca che, con ( ) questa scelta, µ µ, C C Se C è agonale, ( ) n / / ( ) T ( ) ( ) ( µ ) ( ) (π ) et C ep ( µ ) C ( µ ) ep πc C Qun, nel caso enstà probabltà gaussana, se le varabl sono ncorrelate sono anche npenent 5 Propagazone egl error S conserno ora varabl aleatore vettoral (anche mensone versa), W legate ra loro a un moello penenza lneare: W M + p, ove M è una matrce numerca, p un vettore numerco S verca aclmente che l operatore E è lneare, e qun s ottene mmeatamente µ µ p W M + Per quanto rguara la matrce covaranza, s ottene: C W T T T T E{ ( W µ W )( W µ W ) } E{ ( M ( µ ))( M ( µ )) } E{ M ( µ )( µ ) M } T T T {( µ )( µ } M MC M (7) ME ) Poché gl element agonal elle matrc covaranza sono le varanze elle component, la regola (7) (propagazone ella covaranza), consente rcavare normazon sulla spersone elle component W (e qun su loro error probabl) a partre alla conoscenza ella spersone elle component In pratca questa ormula può essere utlzzata quano le component sono msurate rettamente, e qun la loro spersone pene essenzalmente alla precsone elle msure legata alla qualtà egl strument e alle conzon operatve; n questo caso n generale la matrce C è agonale, ato che le operazon msura sono organzzate n moo tale che le msure elle verse component non s nluenzano recprocamente, e qun non s hanno correlazon NOTA: La regola propagazone ella covaranza per trasormazon lnear è npenente al tpo strbuzone probabltà egl error Se nvece la penenza W a è non lneare, non esste una regola semplce per la propagazone ell errore, che n generale pene al tpo enstà probabltà Se però s assume che lo scarto quaratco meo sa pccolo, s può approssmare con una lnearzzazone: W ϕ ) W ϕ( µ ) + J ( µ )( µ ) µ + J ( µ )( µ ), ove è la matrce Jacobana ( ϕ W ϕ ϕ, cu element sono / M J ϕ ϕ Posto allora, s può are la propagazone ella covaranza secono la regola (7) L approssmazone ϕ( µ ) µ a sua volta è gustcata al atto che, se la varable è molto concentrata, nel pccolo ntervallo n cu un approssmazone lneare ESEMPIO: Sano,, W è sgncatvamente versa a s può are µ E W E ϕ( ) ϕ E ϕ µ ) ϕ, e allora W { } { } ( { }) ( L N N msure quanttà omogenee (a esempo, tutt slvell), ra loro ncorrelate e tutte con la stessa varanza Qun la loro matrce covaranza è C I J ϕ
Sa ( L ) Allora ( L ) M N Se a esempo le M N sono ottenute n una sequenza battute lvellazone, lo scarto quaratco meo el slvello totale, che è la somma e slvell elle sngole battute, è ato allo sqm ella sngola battuta moltplcato per la race quarata el numero battute Analogamente, posto, s ottene Qun, se a esempo s eseguono pù N N msure una stessa granezza, lo sqm ella loro mea è ato allo sqm una sngola msura vso per la race quarata el numero elle msure Propro per questa ragone, per ottenere un valore pù precso una certa granezza, s rpetono le msure e s calcola la mea e valor ottenut Il rsultato è verso se le quanttà msurate sono correlate A esempo, posto ρ N, C, +, s ottene ( ) C ( + ρ) (S rcor che ρ < ρ < ) Qun la varanza ella somma è pù grane che nel caso quanttà ncorrelate se la correlazone è postva, pù pccola se la correlazone è negatva Questo rsultato è ntuble: natt, se la correlazone è postva, gl error sulle msure hanno prevalentemente lo stesso segno e tenono a accumulars, se è negatva, gl error hanno prevalentemente segno opposto e tenono a elers ESEMPIO (ntersezone n avant): Da punt P (, ) e P (,) vene collmato l punto ncognto P (, ) ; vengono msurat gl angol ra P P e P P, e ra P P e P P (g) Le equazon osservazone tal angol sono: arctan arctan S vuole veere come gl error sulle osservabl, s propagano alle ncognte, Per quanto vsto n preceenza, questo è possble n uno schema equazon lnearzzate, e la propagazone egl error è regolata alla matrce Jacobana (, ) + + J (, ) ( ) + ( ) + calcolata per valor approssmat,, o meglo alla sua nversa J, ato che la propagazone avvene a, a,, e qun bsogna usare la matrce el sstema equazon lnearzzate che esprme, n unzone,
g ntersezone n avant Per semplctà s assuma che l trangolo P PP sa soscele Qun a meno egl a b error msura, e s può assumere / ; conseguenza J ha la orma, e a b b a qun J ab b a Assumeno che gl error msura su, sano statstcamente npenent e abbano lo stesso sqm, la loro matrce covaranza è C I, e qun T b C ( )( ) a J J 4a b a b D conseguenza, gl error su e rsultano ncorrelat, e + ( + tan ) + tan a tan tan + ( + tan ) b S osserv che / tan, che è molto grane per π /, molto pccolo per C s aspetta qun un ncertezza su molto pù grane quella su se l trangolo è molto allungato n rezone, e vceversa un ncertezza su molto pù grane quella su se l trangolo è molto appattto ESEMPIO: S supponga ora, con lo stesso schema geometrco ell esempo preceente, msurare le stanze ra P e P e ra P e P anzché gl angol, Le equazon osservazone sono + ( + )
e la matrce Jacobana è + + + + ) ( ) ( J Nel caso el trangolo soscele s ha /, ) / ( + (a meno egl error msura), e J ha la orma, b a b a a a b b ab J Se gl error msura su sono statstcamente npenent e hanno lo stesso sqm, la loro matrce covaranza è, e qun, I C ( )( ) b a J J C T Qun anche n questo caso gl error su e sono ncorrelat e ; In questo caso, /, e qun, al contraro el caso preceente, l ncertezza su è molto pù pccola quella su se l trangolo è molto allungato n rezone, mentre è molto pù grane se l trangolo è molto appattto
Compensazone con l metoo e mnm quarat Introuzone Le msure geoetche e topograche, che n molt cas non rguarano solo stanze e angol, ma anche quanttà non puramente geometrche, come a esempo l'ntenstà el campo ella gravtà, sono legate alle quanttà a stmare, che n generale sono coornate o quote punt, a sstem equazon, che costtuscono l moello ella rete Il moello è spesso puramente geometrco, ma può anche contenere aspett namc, come nel caso ella etermnazone erenze quote ortometrche o geopotenzale, che rcheono msure el moulo ella gravtà Tutte le msure sono aette a error casual, escrtt alla matrce covaranza elle osservazon, che costtusce l moello stocastco In molt cas le osservazon sono stocastcamente npenent, nel senso che gl error casual cascuna msura non sono nluenzat agl error casual elle altre, e sono qun ncorrelat La matrce covaranza è qun agonale, e suo element sono le varanze elle sngole osservazon, che ncano l lvello precsone con cu vengono esegute In generale nelle ret geoetche e topograche vene eseguto un numero ronante msure, e qun sstem equazon osservazone, che esprmono le quanttà msurate n unzone elle granezze a stmare, contengono pù equazon che ncognte, e n generale non possono essere rsolt esattamente propro a causa egl error msura, per eetto e qual msure ronant possono non essere compatbl con l moello g rete lvellazone ESEMPIO: slvell msurat a partre a una quota Q ssata (g): q q q Q Q q () ovvero, n orma matrcale, q q Q + Q ()
Le quote e q sono ncognte Il sstema è ronante: equazon (osservazon) e ncognte q NOTA: s potrebbe pensare che, aveno a sposzone equazon, sa possble etermnare anche Q Questo però non è possble, ato che l sstema q q Q () è sngolare (la secona rga è somma ella prma e ella terza), n accoro con l atto che l'aggunta una stessa quanttà a tutte le quote non camba slvell, e qun la soluzone non è unca Per qualsas scelta e q n () è vercata l'equazone q + (4) D conseguenza, se le osservazon,, non vercano l'equazone - cosa che n generale accae, poché le msure sono aette a errore - non esste nessuna soluzone n senso propro q, q La va uscta n questo caso consste nella rcerca una soluzone approssmata qˆ, qˆ, che, a esempo, sos la seguente propretà: le quanttà ˆ, ˆ, ˆ che s ottengono sosttueno qˆ, qˆ n () renono mnma la unzone ( ˆ ) + ( ˆ ) + ( ˆ ) ( ( qˆ Q ˆ ˆ )) + ( ˆ ( q Q )) + ( ( q q)) (5) (metoo e mnm quarat) Da un punto vsta geometrco, l'equazone () rappresenta, al varare q, q, un pano nello spazo -m Il punto osservato, (,, ), a causa egl error msura, non appartene a tale pano, e l punto ˆ, ˆ, ˆ ) el pano etermnato n ( corrsponenza q ˆ, qˆ è l punto mnma stanza a (,, ) (g) Per evenzare la presenza error msura, spesso le equazon osservazone vengono scrtte nella orma q q q Q Q q + ε + ε + ε (,, ) ˆ, ˆ, ˆ ) ( (6) g relazone ra osservabl e osservabl compensate In alternatva, è anche possble, senza ntrourre parametr q, q, proceere rettamente alla mnmzzazone ella unzone (5) rspetto a ˆ, ˆ ˆ, sotto la conzone ˆ ˆ ˆ + (ve eq (4)), utlzzano l metoo e moltplcator Lagrange In questo caso tuttava è possble
soltanto ottenere valor compensat e slvell msurat, compatbl con l moello; le quote, non esseno state ntrootte nelle equazon, non possono eventemente essere etermnate n questo stao ella elaborazone Il crtero aottato è smmetrco nelle tre varabl ˆ, ˆ, ˆ D conseguenza, esegueno calcol rsulta che, se a causa egl error msura la (4) non è vercata esattamente e s ottene nvece + ε (n questo caso ε è etto errore chusura), gl scart ˆ, ˆ, ˆ sono tutt ugual a ε / Questo rsultato non è accettable se è noto a pror che le tre msure sono state esegute con erente precsone, per cu c s aspetta scart pù pccol n corrsponenza elle msure pù precse Una possble straa per tenere conto questo atto consste nel mocare l crtero mnmzzazone ntrouceno nella (5) e pes, coè e coecent moltplcatv postv alle verse component, tanto pù gran quanto pù s assume che le msure elle corrsponent component sano precse: c ˆ ˆ ˆ (7) ( ) + c ( ) + c( ) ove, a esempo, s può sceglere c / In questo caso l punto ˆ, ˆ, ˆ ) non è pù la proezone ortogonale,, ) ( ( Generalzzano l'esempo sopra llustrato, s assume avere a sposzone msure verse quanttà legate ra loro a un moello Un altro esempo tpco n topograa sono le msure angol e stanze n una rete, legat ra loro a relazon geometrche (a esempo un trangolo è completamente etermnato alle lunghezze e suo lat, e qun gl angol sono esprmbl n unzone e lat) NOTA: Il metoo e mnm quarat può essere applcato anche n problem altra natura: un caso tpco è quello msure esegute n stant vers una quanttà che evolve nel tempo secono una ben etermnata legge (a esempo polnomale), con coecent a etermnare: t ; a L, a ) (a esempo a t ) ( k k ove sono le quanttà msurate (le cu msure vercano solo approssmatvamente le equazon perché aette a error), t sono stant tempo esattamente not, ak sono parametr a stmare, n numero nerore alle quanttà msurate A causa egl error msura c s aspetta che le quanttà msurate non sosno esattamente l moello A esempo, se s msurano angol un trangolo, la somma elle msure non è esattamente 8 C s aspetta però che gl error sano a mea nulla, e qun che le msure sano varabl aleatore cu valor attes vercano l moello Il rsultato che s vuole ottenere è una stma queste mee, che vengono assunte come valor corrett elle quanttà msurate (compensazone - nglese austment) Per la ormalzzazone el problema, l'nseme elle n granezze msurate (, L, n ) è escrtto come un vettore n R n A causa elle relazon present, valor ammssbl appartengono a un sottonseme (varetà) R n Le relazon possono essere espresse a equazon ella orma
(, L, ) (equazon conzone), n numero nerore a quello elle granezze n nteressate A esempo, per gl angol un trangolo, 8 ; qun l'nseme elle terne angol ammssbl è rappresentato a un pano n uno spazo -m Se l numero elle equazon è n-k, n realtà solo k granezze sono npenent; s ce allora che la varetà è k-m E però anche possble rappresentare le relazon ra le granezze msurate esprmeno tal granezze n unzone un certo numero parametr numerc, φ ( t, L, t k ) (nel caso elle ret topograche sono n generale le coornate e vertc ella rete, eventualmente anche rotazon, traslazon e varazon scala e sstem rermento; nel caso una granezza che evolve sono coecent el polnomo o altra orma unzonale); se parametr sono k, s ce allora che la varetà e valor ammssbl è k-m Per una varetà escrtta a un nseme parametr, l prmo problema è propro quello stmare valor numerc quest parametr, o correzon a valor approssmat, utlzzano le msure a sposzone; la stma elle osservabl compensate vene po atta ntrouceno valor ottenut e parametr nelle equazon osservazone Nel caso elle ret topograche, quano parametr sono le coornate e vertc ella rete, la stma quest parametr è l nteresse prmaro ella proceura compensazone, mentre la stma elle osservabl compensate ha lo scopo ottenere un nseme valor compatbl con la struttura geometrca ella rete Esemp tpc varetà sono le curve n un pano o n uno spazo -m (varetà -m) e le superc n uno spazo -m (varetà -m), che, come è noto, possono essere rappresentate sa n orma parametrca, sa meante equazon conzone In partcolare, rette e pan sono varetà lnear Stma e parametr e elle osservabl compensate Il problema stma llustrato nell esempo vene ora espresso n una orma che, pur non esseno quella pù generale, è aatta per la trattazone ella maggor parte elle ret topograche S assume che le osservabl (ossa le quanttà che esprmono le msure topograche esegute) sano esprmbl n moo esplcto n unzone un certo numero parametr, che n generale rappresentano le coornate e vertc ella rete S assume nzalmente che la penenza sa lneare, ossa che l vettore elle osservabl ( mensone n ) sa legato al vettore t e parametr ( mensone k ) a una relazone el tpo At + b (8) Per avere ronanza elle msure esegute rspetto a parametr a stmare, occorre che assume che l rango A sa massmo, ossa uguale a k k < n S A causa egl error msura le osservazon essere espresse nella orma non vercano esattamente la (8), ma possono At + b + r ε (9) S assume nvece che l vettore sa estrazone una varable aleatora Y l cu valore atteso verca la (8) per un partcolare valore t el parametro t
S tratta etermnare n unzone elle osservazon una stma tale valore atteso, ovvero un punto ŷ, appartenente alla varetà e qun tale a vercare la (8) per un opportuno tˆ, che approssm l meglo possble secono un opportuno crtero Generalzzano crter mnmzzazone vst nell'esempo (c (5) e (7)), come unzone a mnmzzare vene scelta T ( ˆ) CY ( ˆ) () ove C Y è la matrce covaranza Y, supposta nota a pror Il mnmo ella () esste certamente, mentre non esste l massmo, ato che la () è contnua, postva e non lmtata superormente S osserv noltre che, se la matrce C Y è moltplcata per una costante proporzonaltà, l punto mnmo ella () resta nvarato; s può qun assumere che sa nota a meno una costante moltplcatva: C Y Q, con ncognto Questa stuazone corrspone al caso realstco n cu sono note le precson relatve, ma non quelle assolute, elle verse quanttà msurate (a esempo, s sa che l'accuratezza un prolo lvellazone è proporzonale alla race quarata ella sua lunghezza, ma s può non sapere la precsone una sngola battuta) Soltamente s assume che gl error msura sulle verse quanttà osservate sano stocastcamente npenent: n eett, n generale non c è ragone pensare che gl error casual commess su una certa partcolare msura nluenzno o sano nluenzat a error casual commess nell esegure le altre msure, ato che non c è alcuna relazone ra le verse operazon compute D conseguenza, la matrce C Y è agonale; se po le quanttà msurate sono tutte ella stessa natura (a esempo, tutt angol o tutte stanze) e s assume che sano tutte le msure sano esegute con la stessa precsone, è multplo ella matrce enttà I C Y Il rsultato ella mnmzzazone è ato alla ormula C Y tˆ T N A Q ( b) ˆ Atˆ + b () ove N A T Q A S osserv che le stme ottenute sono unzon lnear elle osservazon Questa è una conseguenza el atto che la unzone obettvo a mnmzzare è quaratca e che la varetà moello è lneare Esseno unzone elle osservazon, tˆ è anch esso una varable aleatora Il suo valore atteso è {} t ˆ T T T N A Q ( E{} b) ( A Q A) A Q ( At + b b) t E () Questo rsultato s esprme ceno che S verca anche che E ˆ E {} {} tˆ è una stma lneare corretta t Formule per le matrc covaranza Applcano la regola ella propagazone ella covaranza, e teneno conto che Q e N sono matrc smmetrche, s ottene
T ( Q) Q AN N A Q AN T C t ˆ N A Q N In moo analogo, posto r ε ˆ (vettore egl scart), s ottene () C T C ˆ AN A T ( r ε Q AN A ) (4) 4 Stma S è vsto che nelle ormule per la stma e parametr e elle osservabl compensate non compare esplctamente, che nvece compare nelle espresson elle matrc covaranza Fermo restano che la matrce Q eve essere ssata a pror, poché l valore numerco è legato all enttà complessva egl error msura, è possble arne una stma a posteror sulla base egl scart ottenut sulle osservabl L espressone usata è ˆ r ε T n k Q r ε (5) che, come s vee, è quaratca rspetto agl scart ossa, la stma è corretta ε ˆ S può vercare che E { ˆ }, Problem non lnear In generale, problem compensazone che s presentano n topograa, che contengono equazon osservazone angol e stanze n unzone elle coornate e vertc, sono non lnear, e non rentrano qun nello schema sopra llustrato Il sstema equazon osservazon è espresso nella orma ( t, L, t ),, L, n, n k () k > che escrve una varetà non lneare k-m n n) n R (a esempo, una superce nello spazo se k, Da un punto vsta concettuale s può pensare applcare rettamente a questo sstema la proceura mnmzzazone egl scart escrtta nel paragrao preceente; s gungerebbe però a un sstema equazon non lnear che n generale hanno soluzone non unca e non acle a etermnare D solto, tuttava, è noto un valore approssmato el vettore ncognto ( t, Lt k ), e n un ntorno t la varetà () è bene approssmata alla varetà lnearzzata t t ( t ) + ( t )( t t ) () ove è la matrce cu element sono / t In pratca s ssa anche un valore approssmato el vettore, non necessaramente concente con ( t ) (a esempo, s possono sceglere le component ugual a valor numerc elle msure esegute) e, posto t t t,, s ottene
( t () ) t + ( t ) La ormula () è el tpo (8), con A ( t ), b ( t ), e s può esegure l calcolo applcano le ormule (), per ottenere una stma tˆ a partre al ato S not che valor a nserre per le component el vettore sono quell elle msure esegute; conseguenza, se anche per s sono scelt gl stess valor, rsulta Una volta etermnato tˆ tˆ t, valor elle osservazon compensate ŷ s possono ottenere per sosttuzone nella (), o anche, con erenze generalmente trascurabl, nella () ESEMPIO: S vuole etermnare la coornata un punto sul semasse postvo, e s msurano le stanze a punt coornate (,) e (,-), otteneno rspettvamente 48m, 58m S assume che le msure sano ncorrelate, con scart quaratc me mm, mm (g) g S eve qun etermnare l solo parametro utlzzano msure, e pertanto s hanno equazon osservazone con una sola ncognta: + 4 + (4) Fssat valor approssmat equazon lnearzzate,,, e posto,, s ottene l sstema + + 4 + + + 4 + A + b A + b (5)
S tratta ora applcare la () Q è una matrce agonale, con element agonal proporzonal 4 a, s può qun prenere Q, e conseguenza A N ( A A ) Q A + A A 4 4 A ( b ) + A ( b Qun la () à ˆ ) A + A 4 Per valor approssmat s può sceglere,, a cu Per la scelta, c s può basare sulla msura : 4 m Per eetto tale scelta, rsulta b I rsultat numerc sono: A 59 ; A 7759 ; b 4; 49m, a cu ˆ 5m Sosttueno questo valore n (4) s ottengono ˆ, ˆ e s possono calcolare gl scart ˆ ε Utlzzano la (5) s ottene ˆ ε + ε 4m 4 NOTA: Può accaere, a esempo per una scelta naeguata e valor approssmat, che l moello lnearzzato non ornsca una approssmazone abbastanza buona el moello non lneare orgnaro In questo caso le stme e parametr possono essere aette a error moello, che s manestano con un valore ˆ anormalmente elevato Allora è possble attvare una proceura terazone, n cu, per cascun passo, l calcolo elle stme per l moello lneare vene rpetuto ntrouceno come valor approssmat e parametr e elle osservabl le stme ottenute nel passo preceente Se l procemento converge (cosa non garantta a pror), l valore ˆ s ruce no a stablzzars, e a questo punto l terazone può essere ermata ESEMPIO (polgonale): S conser una polgonale chusa 4 lat, con vertc n sstema rermento vene ssato mponeno che l orgne sa n P, P, P P Il,, e conserano nota senza error la rezone P P, così come rsulta alla lettura ello strumento Tutte le altre quanttà msurate, ossa le 4 stanze (msurate a una sola stazone) e le 7 rezon ( per ogn stazone, esclusa quella conserata ssa) vengono nserte nel sstema equazon osservazone per la compensazone I parametr ncognt sono una coornata P, per esempo (la coornata è legata a alla relazone unzonale / tan, ove è l angolo ella rezone P P, supposto noto), le coornate, P e, P, e noltre le rezon β, β, β elle orgn e cerch grauat n P, P, P : n tutto, qun, 8 parametr Poché è necessaro lnearzzare le equazon osservazone, occorre ornre valor approssmat sa per le osservabl sa per parametr Per le osservabl s possono utlzzare come valor approssmat gl stess valor msurat; quanto a parametr, per le coornate s possono usare come valor approssmat quell calcolat n sequenza lungo la polgonale a partre a P usano gl angol e le stanze msurate, con le ormule vste ne captol preceent ( el cap Rlevamento n ambto locale) Per gl angol β, β, β non è nvece necessaro ornre valor approssmat, ato che compaono lnearmente nelle equazon E po necessaro ntrourre la matrce covaranza C elle osservabl S assume senz altro che gl error msura sano statstcamente npenent, e conseguenza la loro matrce P
covaranza è agonale Inoltre, n base alle prestazon egl strument usat per l rlevo, charate alle case costruttrc, vengono ssat gl scart quaratc me A ttolo esempo s può assumere 5 che lo sqm egl error angolar sa '' ra (nel calcolo compensazone è obblgatoro nserre per gl angol valor n raant) e lo sqm egl error sulle stanze sa mm m (per le lunghezze l untà msura è arbtrara, ma eve ovvamente essere la stessa a esempo l 6 metro per tutte le stanze ntrootte e loro sqm D conseguenza, 4 Poneno C Q con, sulla agonale Q compare n corrsponenza elle msure angolar e 4 n corrsponenza elle msure stanza Come nell esempo preceente, l sstema lnearzzato s esprme nella orma A t + b, ove a prmo membro c sono le erenze ra valor msurat e valor approssmat elle osservabl (nulle se s scelgono valor approssmat ugual a quell msurat), mentre l vettore b contene le erenze ra valor elle osservabl calcolat usano valor approssmat e parametr e quell scelt come approssmat per le osservabl stesse La matrce A contene le ervate parzal elle osservabl rspetto a parametr, calcolate n corrsponenza e valor approssmat quest ultm; per collocarle nella poszone gusta bsogna enre l orne n cu s presentano osservabl e parametr A esempo, nello schema seguente è speccato l orne scelto e sono ncate le poszon egl element matrce non null; per le ervate rspetto a β è espressamente ncato l valore assunto -: 4 β β β P 4 P NOTA: è l angolo ella rezone al punto stazone P al vertce P Le lnee tratteggate ncano le rezon ell orgne el cercho grauato nelle verse stazon Le recce ncano le rezon ntrootte come osservabl P P