Le soluzon della prova scrtta d Matematca per l corso d laurea n Farmaca (raggruppamento M-Z). Data la funzone a. trova l domno d f f ( ) ln + b. scrv, esplctamente e per esteso, qual sono gl ntervall n cu f rsulta postva e quell n cu rsulta negatva c. determna le eventual ntersezon con gl ass d. studa l comportamento d f agl estrem del suo domno, determnando eventual asntot; (gustfcare rsultat de lmt) e. calcola la dervata prma e scrv, esplctamente e per esteso, qual sono gl ntervall n cu f è crescente e quell n cu è decrescente, scrvendo se c sono eventual massm o mnm relatv o fless a tangente orzzontale f. dsegna un grafco approssmatvo n un sstema d rfermento scelto opportunamente. (Non è rchesto lo studo della dervata seconda) a) Dobbamo mporre che l argomento del logartmo sa postvo, coè > + Sccome l denomnatore + è sempre postvo, tale dsequazone è soddsfatta per >. Pertanto D (,+ ). b) ln > + equvalente a se e solo se ln e + > e, coè >. Quest ultma dsequazone è + + >. + S not che l denomnatore + è sempre postvo, mentre l numeratore + ( ) è sempre. Deducamo che la funzone non è ma postva. c) Non v possono essere ntersezon con l asse y n quanto non appartene al domno. Rguardo le ntersezon con l asse, dobbamo rsolvere l sstema y y ln + Sosttuendo la seconda equazone nella prma s ottene
coè da cu s ottene ln + ln ln() + +. Questa equazone frazonara è equvalente a. + S trova dunque l unca soluzone. Pertanto v è l ntersezone con l asse data dal punto d coordnate (,). d) Innanztutto lm ln + + + perché + argomento tende a. Rguardo al lmte lm ln + + quando +, e sappamo che l logartmo naturale tende a quando l suo v è dapprma da rsolvere la forma ndetermnata nell argomento del logartmo. Abbamo che Qund lm ln + + + + + + perché l logartmo naturale tende a quando l suo argomento tende a. Non v sono dunque asntot vertcal o orzzontal. e) ( + ( + ) f ) + ( + ) ( + + + ) Pertanto f ( ) > se e solo se <. Esamnamo segn d numeratore e denomnatore. Il numeratore è postvo per < oppure >, e negatvo per < < ; l denomnatore è postvo per > e negatvo per <.
- + + + + - - - - - - - - - - + + + + + - + + - - - - - - - - - - + + + + + + + + + Confrontando segn d numeratore e denomnatore, e tenendo conto del fatto che l domno è dato da tutt gl postv, s ha che la f ( ) > per < < e f ( ) < per > f ( ) > : --------------------------------- Dunque f rsulta essere crescente nell ntervallo (,) e decrescente n (,+ ). Nel punto d ascssa è presente un massmo, la cu ordnata è f(). Qund l massmo è l punto M(,). f) M
. Calcola: - una prmtva della funzone f( ) ln( ) - l equazone della retta r tangente al grafco della funzone ascssa 4 π. cos() g( ) nel punto P d - Usando la formula d ntegrazone per part s ha: ln( ) d ln( ) d ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) 9 (ln) d d + c d per qualsas c R. Per esempo, per c, ottenamo la prmtva F( ) ln( ). 9 - Utlzzando la formula della dervata d funzon composte s ha: g ( ) cos() ( ) cos() cos() ln ln (cos( )) ln ( sn( )) ( ) cos() sn( ) Dalla teora sappamo che l coeffcente angolare d r è dato da 4π cos cos 4 π π m g ( ) ln sn ln sn ln Qund la retta ha equazone y ln + q, con q ancora da trovare. D altra parte sappamo che la retta r passa per l punto P del grafco della funzone g, avente 4 π ascssa. Essendo un punto del grafco d g, l ordnata d P è data da cos( ) 4π cos π cos π y g( ).
P è un punto per l quale passa la retta r, qund le sue coordnate devono soddsfare l equazone d tale retta, che rcordamo è y ln + q. Sosttuendo qund a e y rspettvamente l ascssa e l ordnata d P, ottenamo: 4 π ln + q da cu rcavamo cò che c serve, coè l valore d q: q 5(4 π)ln In conclusone, l equazone della retta r è: y ln + 5(4 π) ln.
. In uno studo clnco su un farmaco anttumorale su 8 pazent, s trovano seguent dat relatv alla sopravvvenza: Pazente Pazente Pazente Pazente 4 Pazente 5 Pazente Pazente 7 Pazente 8 mes mes mes mes 5 mes 8 mes 4 mes 9 mes Calcolare la meda artmetca, la medana e la devazone standard della sopravvvenza. Indcata con X la varable sopravvvenza, la meda artmetca è data da µ X + + + + 5 + 8 + 4 + 9 8 9,8 dove abbamo arrotondato alla seconda cfra decmale. Per trovare la medana, mettamo dapprma n ordne crescente dat: 5 8 9 4 ed solamo dat central, coè dat che occupano la quarta e la qunta poszone: 9 e. La medana è dunque data dalla meda artmetca d quest due dat, coè 9,5. Trovamo ora la varanza, calcolando gl scart sono contenut nella seguente tabella: µ ed l loro quadrato X ( µ X). Tal calcol µ X ( µ X),,9,,4 -,8,9,,89 5-4,8 9,4 8 -,8,89 4 4,,9 9 -,8,4 Sommando tutt numer sulla terza colonna s ottene che Da cu la varanza è data da 8 ( µ X ),88 e qund la devazone standard è σ 8 8 ( µ X ),88 8 7,99 σ 7,99,8.
4. (Questo facoltatvo) Dare la defnzone d funzone contnua. Fornre un esempo d funzone contnua ma non dervable (dmostrando la contnutà e la non dervabltà). S rnva a quanto detto a lezone.