CORSO DI TECNOLOGIE E TECNICHE DI RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE

CORSO DI TECNOLOGIE E TECNICHE DI RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE PER L ISTITUTO TECNICO SETTORE TECNOLOGICO Agraria, Agroalimentare e Agroindustria classe seconda PARTE PRIMA Disegno del rilievo Unità Didattica: Trigonometria parte 02 (Triangoli Rettangoli ) aggiornamento a.s. 2014-15 a cura di LABTOPOMOREA

ELEMENTI DI TRIGONOMETRIA Molti problemi che si incontrano nelle discipline scientifiche e tecniche portano spesso a considerare triangoli dei quali si conoscono alcuni elementi e si vogliono determinarne gli altri. I problemi possono essere risolti se si riescono a stabilire e applicare relazioni che legano tra loro i lati e gli angoli di un triangolo. La trigonometria è la parte della matematica che studia queste relazioni. Risolvere un triangolo significa quindi determinare le misure degli elementi incogniti (lati e angoli) quando sono note le misure di altri tre elementi. Tra gli elementi noti deve necessariamente esserci la misura di almeno un lato. E evidente che se si conoscono solamente le misure dei tre angoli il triangolo e indeterminato. Esistono infatti infiniti triangoli simili tra loro che hanno gli angoli corrispondentemente uguali. SOLUZIONE DI TRIANGOLI RETTANGOLI. Si consideri un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in C i cui elementi sono indicati in figura. Indicando con α e β gli angoli acuti e ricordando che in un triangolo qualsiasi la somma degli angoli interni e pari ad un angolo piatto, possiamo scrivere un utile relazione: Prof. ing. Fabio Anderlini pag.2 di 23

In un triangolo rettangolo, la somma degli angoli adiacenti all ipotenusa è un angolo retto. Si può pensare di introdurre il triangolo considerato in un sistema di riferimento cartesiano in modo tale da far coincidere il vertice A con l origine e di sovrapporre il lato AC al semiasse positivo delle ordinate. Consideriamo la circonferenza goniometrica con centro A e raggio pari all ipotenusa AB. Per la definizione delle funzioni goniometriche dell angolo α si ha: Generalizzando le relazioni possiamo affermare che in un triangolo rettangolo: il seno di un angolo è pari al rapporto tra il cateto opposto l angolo e l ipotenusa; il coseno di un angolo è pari al rapporto tra il cateto adiacente l angolo e l ipotenusa; la tangente di un angolo è pari al rapporto tra il cateto opposto l angolo e il cateto adiacente; Prof. ing. Fabio Anderlini pag.3 di 23

Risolvere un triangolo rettangolo vuol dire determinare tutti i lati e tutti gli angoli di un triangolo rettangolo, a partire da alcuni elementi dati. Quali elementi debbo conoscere per avere un solo triangolo? I. Sono dati due lati Con il teorema di Pitagora posso calcolare il terzo lato. E posso costruire un solo triangolo che ha tre dati lati. II. Sono dati un lato e un angolo acuto Un angolo è retto, perciò posso calcolare l altro angolo acuto. E posso costruire un solo triangolo di cui conosco un lato e due angoli adiacenti. Invece, se conosco solo un angolo acuto posso costruire tanti triangoli rettangoli tutti simili. Prof. ing. Fabio Anderlini pag.4 di 23

Triangoli qualsiasi risolti come triangoli rettangoli Si e visto in precedenza come sfruttando le relazioni (**) sia possibile risolvere triangoli rettangoli. È spesso possibile risolvere anche triangoli qualsiasi utilizzando le stesse relazioni. Se consideriamo ad esempio un triangolo ABC di cui ipotizziamo di conoscere le misure del lato AB e degli angoli CAB e ABC possiamo scomporre il triangolo in due triangoli rettangoli CAH e CHB tracciando l altezza CH relativa alla base AB. Utilizzando le ormai note relazioni possiamo scrivere: Superficie del triangolo rettangolo La superficie di un triangolo è data dalla BASE b moltiplicata per l ALTEZZA h diviso 2. S 1 = b h 2 S 1 = b h 2 S 1 = AC AB 2 1 S = AB CH 2 Prof. ing. Fabio Anderlini pag.5 di 23

Altezza di un lato del triangolo Disegniamo il TRIANGOLO ABC, disegniamo il segmento AH che parte dal vertice A e interseca, perpendicolarmente, il lato opposto BC: Il segmento AH si dice ALTEZZA del triangolo relativa al lato BC. Il punto H si chiama PIEDE dell'altezza. Mentre il lato BC è la BASE del triangolo. Quindi possiamo dire che l'altezza di un triangolo rispetto ad un suo lato, che in questo caso prende il nome di BASE, è la DISTANZA di questo LATO dal VERTICE OPPOSTO. Poiché il triangolo ha TRE LATI, ognuno di essi può essere considerato come BASE del triangolo. Di conseguenza, per ogni triangolo, possiamo disegnare TRE ALTEZZE, ognuna delle quali unisce perpendicolarmente un lato con il suo vertice opposto: Se tracciamo la perpendicolare al lato AB uscente dal vertice C, in segmento CH viene chiamato altezza del lato AB. Ogni lato ha la sua altezza che esce dal vertice opposto, le tre altezze si incontrano in un punto chiamato: ortocentro. L altezza CH divide il triangolo generico in due triangoli rettangoli. Prof. ing. Fabio Anderlini pag.6 di 23

Mediana di un lato del triangolo Disegniamo un qualsiasi triangolo ABC, disegniamo il PUNTO MEDIO del lato BC e lo chiamiamo P. Congiungiamo il vertice A con il punto medio P del lato opposto: Quella che abbiamo disegnato prende il nome di MEDIANA e più esattamente essa è la MEDIANA del triangolo ABC relativa al lato BC. Possiamo allora dire che una MEDIANA di un triangolo è il SEGMENTO che UNISCE un VERTICE al PUNTO MEDIO DEL LATO OPPOSTO. Poiché il triangolo ha tre lati e tre angoli, noi possiamo costruire tre mediane per ogni triangolo: ognuna di esse unisce un vertice con il punto medio del lato opposto. Tornando al nostro esempio avremo: Notiamo che le tre mediane passano tutte per uno stesso punto detto BARICENTRO che nell'immagine sopra abbiamo indicato con la lettera O. Osserviamo che le MEDIANE disegnate sono tutte INTERNE al triangolo. Questa regola vale qualunque sia il tipo di triangolo disegnato. Prof. ing. Fabio Anderlini pag.7 di 23

Bisettrice di un lato del triangolo Dallo studio degli ANGOLI abbiamo appreso che si chiama BISETTRICE DI UN ANGOLO la SEMIRETTA che ha per ORIGINE il VERTICE dell'angolo e che divide l'angolo in DUE PARTI UGUALI e abbiamo anche visto come è possibile disegnarla. Ora disegniamo il triangolo ABC, disegniamo un segmento che partendo dell'angolo A raggiunga il lato opposto BC, dividendo l'angolo A in due parti aventi la stessa ampiezza: Il segmento AH che abbiamo disegnato prende il nome di BISETTRICE di VERTICE A del triangolo. Quindi possiamo dire che la BISETTRICE di un triangolo RELATIVA AD UN VERTICE è il SEGMENTO che UNISCE il VERTICE al LATO OPPOSTO DIVIDENDO a META' l'angolo. Ora disegniamo anche la bisettrice del triangolo relativa al vertice B e la bisettrice del triangolo relativa al vertice C: Come possiamo osservare le TRE BISETTRICI si INCONTRANO in un punto detto INCENTRO che nel nostro disegno abbiamo evidenziato con la lettera O: Qualsiasi triangolo noi disegniamo l'incentro è sempre INTERNO al triangolo Prof. ing. Fabio Anderlini pag.8 di 23

Stabilire se un triangolo è rettangolo Come si può capire se un triangolo è rettangolo avendo la misura dei lati? Esempio: si deve stabilire se: il triangolo avente come lunghezze dei lati, tutte espresse in m, i numeri 24,00, 26,00, 10,00, è rettangolo o no. il triangolo con i lati di 23,00 m, 35,00 m, e 16,00 m. è rettangolo o no. Ci viene in soccorso il teorema di Pitagora. Se la radice quadrata dei quadrati delle misure dei lati più piccolo (Cateti) coincide con la misura del lato più grande (Ipotenusa) allora il triangolo è rettangolo. Veniamo a noi. Abbiamo tre misure: 24,00 m. 26,00 m. 10,00 m Dobbiamo capire quali sono le misure dei cateti e quale la misura dell'ipotenusa. Il numero più grande è la misura dell'ipotenusa (26,00 m), i rimanenti numeri rappresentano invece le misure dei cateti (24,00 m, 10,00 m): 2 2 A questo punto ti chiedi: "E' vero che" : (24,00 + 10,00 ) = 26, 00 m Se la risposta a questa domanda è sì allora il triangolo è rettangolo, se la risposta è no allora non è un triangolo rettangolo Facendo i conti: (24,00 2 2 + 10,00 ) = 676 = 26,00 m..si è un triangolo rettangolo! Vediamo la seconda tripla: 35,00 m è la misura dell'ipotenusa, 23,00 m e 16,00 m sono la misura dei cateti. (23,00 2 + 16,00 2 ) = 785 = 28,01785 28,02 35,00 poiché non coincide con la misura del lato più grande, allora non abbiamo un triangolo rettangolo. Prof. ing. Fabio Anderlini pag.9 di 23

A titolo di esempio risolviamo alcuni esercizi. Prof. ing. Fabio Anderlini pag.10 di 23

Prof. ing. Fabio Anderlini pag.11 di 23

QUESITO 01 SOLUZIONE 01 Prof. ing. Fabio Anderlini pag.12 di 23

SOLUZIONE 2 Prof. ing. Fabio Anderlini pag.13 di 23

ESERCIZI PROPOSTI Prof. ing. Fabio Anderlini pag.16 di 23

ALTRI ESERCIZI PROPOSTI Prof. ing. Fabio Anderlini pag.18 di 23