ASPETTI TEORICI ED APPLICATIVI DEL METODO DEGLI ELEMENTI FINITI PARTE I Rev: 03 del 15/03/2012

in Ingg gnria L Corso di ASPETTI TEORICI ED APPLICATIVI DEL METODO DEGLI ELEMENTI FINITI PARTE I Rv: 3 dl 5/3/22 DOCENTE: Lonardo BERTINI Dip. di Inggnria Mccanica, Nuclar dlla Produzion, piano Tl. : 5-83662 E.mail : lonardo.brtini@ing.unipi.it

CONTENUTI DEL CORSO in Ingg gnria L LEZIONI Basi torich dl MEF Applicazion dl MEF a problmi strutturali in campo lastico linar Analisi critica di risultati di un modllo ad EF Critri di modllazion di struttur con il MEF ESERCITAZIONI Uso dl programma ANSYS Esmpi significativi di applicazion dl MEF a problmi strutturali Dottorato cuola di D Sc

Elasticità Elttromagntismo Elasticità Elttromagntismo T di i Fluidodinamica da Vinci Trmodinamica Fluidodinamica Etc onardo d gnria L Sistmi di quazioni diffrnziali all drivat parziali in Ingg + + + + 2 2 G w v u u Dottorato + + + + 2 2 2 G Y z w v u v G z ν ν E.qni di Navir cuola di D + + + + 2 2 2 G Z z w v u z w G z ν ν Sc 2 G z z ν

Soluzioni analitich: solo in casi particolari, introducndo rilvanti smplificazioni (travi, piastr, gusci ) Dottorato cuola di D Sc da Vinci onardo d gnria L in Ingg

Soluzioni analitich: solo in casi particolari, introducndo rilvanti smplificazioni (travi, piastr, gusci ) da Vinci onardo d gnria L in Ingg Sviluppo di tcnich di soluzion approssimat

in Ingg gnria L Mtodi di soluzion approssimata: Diffrnz finit it Elmnti Finiti Elmnti di contorno Mtodi msh fr Il Mtodo dgli Elmnti Finiti (MEF) è oggi di gran lunga il più diffuso, soprattutto a causa dlla sua strma vrsatilità Dottorato cuola di D Sc

Ida cntral dl MEF ( dll altr tcnich approssimat): da Vinci onardo d gnria L in Ingg Problma original: dtrminar l f.ni incognit u, v, w Dottorato cuola di D Sc

Id t l d l MEF ( d ll lt t i h i t ) Ida cntral dl MEF ( dll altr tcnich approssimat): Problma original: dtrminar l f.ni incognit u, v, w da Vinci g g,, 2 w v u onardo d + + + + + + + + 2 2 2 Y w v u G z w v u u ν gnria L + + + + + + + + 2 2 2 Z w v u w G z v ν in Ingg + + + + 2 G z z w ν Dottorato cuola di D Sc

Id t l d l MEF ( d ll lt t i h i t ) Ida cntral dl MEF ( dll altr tcnich approssimat): Problma original: dtrminar l f.ni incognit u, v, w da Vinci g g,, 2 w v u onardo d + + + + + + + + 2 2 2 Y w v u G z w v u u ν gnria L + + + + + + + + 2 2 2 Z w v u w G z v ν in Ingg + + + + 2 G z z w ν Dottorato Problma sostitutivo: dtrminar dll funzioni sostitutiv ch approssimino u, v w con un rror accttabil ai fini pratici siano cuola di D rlativamnt facili da calcolar Sc

da Vinci onardo d gnria L in Ingg Esmpio di funzion approssimant (problma monodimnsional) u() Dottorato cuola di D Sc

Esmpio di funzion approssimant (problma monodimnsional) da Vinci onardo d gnria L in Ingg u() F.n sostitutiva u (): u(): sprssion matmatica smplic nota ovunqu una volta noto il valor di un n finito di paramtri

Esmpio di funzion approssimant (problma monodimnsional) gnria L in Ingg u() u () u() F.n sostitutiva u (): u(): sprssion matmatica smplic nota ovunqu una volta noto il valor di un n finito di paramtri

Esmpio di funzion approssimant (problma monodimnsional) gnria L in Ingg u() u () u() F.n sostitutiva u (): u(): sprssion matmatica smplic nota ovunqu una volta noto il valor di un n finito di paramtri Oss.ni: ncssario assicurar la convrgnza soluzion afftta da rrori

Discrtizzazion (a) Struttura Scuola di Dottorato in Inggnria L

Discrtizzazion (a) (b) Struttura Modllo ( msh ) Scuola di Dottorato in Inggnria L

Discrtizzazion da Vinci onardo d gnria L in Ingg nodo (a) Struttura (b) Modllo ( msh ) lmnto

Esmpi di lmnti piani con divrs disposizioni di nodi da Vinci onardo d in Ingg gnria L nodo lmnto Dottorato cuola di D Sc

Nodi d lmnti idntificati da un numro univoco in Ingg gnria L 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 8 9 2 3 4 7 8 9 2 5 6 7 8 9 2 2 3 4 5 6 7 8 22 23 24 25 26 27 28 i n di nodo i n di lmnto

Gradi di librtà (g.d.l.) 7 Scuola di Dottorato in Inggnria L

Gradi di librtà (g.d.l.) 7 7 Scuola di Dottorato in Inggnria L

Gradi di librtà (g.d.l.) 7 7 (g.d.l.) Scuola di Dottorato in Inggnria L

Gradi di librtà (g.d.l.) gnria L in Ingg 7 7 N g.d.l./nodo varia da 2 a 6 scondo: tipo di lmnto natura problma (g.d.l.)

Gradi di librtà (g.d.l.) gnria L in Ingg 7 7 N g.d.l./nodo varia da 2 a 6 scondo: tipo di lmnto natura problma N total g.d.l. N g.d.l./nodo * N nodi (g.d.l.)

Studio dl comportamnto mccanico dl singolo lmnto Elmnto piano pr problmi 2D da Vinci onardo d gnria L in Ingg

Studio dl comportamnto mccanico dl singolo lmnto Elmnto piano pr problmi 2D in Ingg gnria L i v v

Studio dl comportamnto mccanico dl singolo lmnto Elmnto piano pr problmi 2D in Ingg gnria L u u u u u 2 3 4 5 u 6 i v v v v v v i i { } U (6 ) v v

Studio dl comportamnto mccanico dl singolo lmnto Elmnto piano pr problmi 2D in Ingg gnria L { P } p p p p p p p 2 3 4 5 6 q q q q q q i i {U? } {P } q i q i i u u u u u 2 3 4 5 u 6 v v v v v v i i { U } v v

Studio condotto in campo linar: gnria L in Ingg { } [ ] { } P K U 6 66 6 Matric di rigidzza dll lmnto Dottorato cuola di D Sc

in Ingg gnria L Significato fisico di trmini dlla matric di rigidzza, i Cdimnto vincolar: p 2 3 4 5 6 p 2 22 23 24 25 26 2 p 3 32 33 34 35 3 36 p 4 42 43 44 45 46 4 p 5 52 53 54 55 5 56 p 6 62 63 64 65 66 6 i U { } p + + + + 2 2 22 23 26 p3 33; p4 43. 23

in Ingg gnria L Il trmin m,n di [K ] è pari alla razion vincolar prsnt scondo il grado di librtà m (m,..6), s si applica un sistma di spostamnti nodali in cui tutttt l componnti sono null trann la n-sima ch assum valor pari ad p m m, n n u n pso di u n nl contribuir a p m i 25 63

Elmnto molla multidimnsional in Ingg gnria L q i q i i F F { } [ ] { P K U } v v v

Torma di rciprocità gnria L in Ingg p m i A u l B δ ΒΑ δ ΑΒ δ ΒΑ p m p l ml lm [K ] simmtrica δ ΑΒ A u m i p l B

Valutazion di [K ] in Ingg gnria L In casi smplici è possibil calcolar l razioni vincolari in prsnza di cdimnti vincolari di nodi (Es. lmnti trav) si ottngono immdiatamnt l m,n i In gnral, qusta procdura non è praticabil pr un lmnto di forma gnrica

Spostamnti ni punti intrni all lmnto in Ingg gnria L v v (, ) ) v(, ) N (, ) U v (, ) 2 2 26 6 { } [ ] { } F.ni di forma ( shap functions ) v r 6 l N rl (, ) u l i v P(,) Ogni if.n diforma rapprsnta il pso (dipndnt d dalla posizion i di P) ch ciascuna componnt di spostamnto nodal ha nl dtrminar lo spostamnto di P Pb: - ch forma matmatica dar all N (,)? - com dtrminar l N (,)? v

i i i da Vinci P(,) onardo d v v i i v v u u 2 gnria L v P(,) { } v v v u u U 4 3 in Ingg v v u u 6 5 6 ) ( ) ( ) ( u N v v Dottorato 3 2 2. ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( u u N u N u N v v l l l + + cuola di D 3 ) ( l s N 3 2 2 ), ( ), ( Sc 3 ), ( l s N l

6. ), ( ), ( ), ( ), ( 2 2 + + u N u N u N v l l l N N da Vinci i ( ) ( ) ( ) ( ),,,, 5 2 4 i i i i i i i i N N N N v P(,) v ), ( ), ( i i N N ) ( ), ( 2 i i N N onardo d ( ) ( ),, 6 3 i i i i N N v v P(,) ), ( ), ( N ), ( ), ( 2 2 N N gnria L ( ) ( ) ( ) ( ),,,, 5 2 4 N N N N v ) ( ), ( 3 i i N N ) ( ), ( 4 i i N N in Ingg i v u ( ) ( ) ( ) ( ),,,, 6 3 5 2 N N v P(,) ), ( ), ( 3 3 N N ), ( ), ( 4 4 N N Dottorato { } i v v u u U 3 2 ( ) ( ),, 4 N N ), ( 5 i i N ), ( 6 i i N cuola di D { } v v u u U 4 3 ( ) ( ) ( ) ( ),,,, 6 3 5 2 N N N N ) ( ), ( 5 N N ) ( ), ( 6 N N Sc v v u u 6 5 ), ( 5 N ), ( 6 N

in Ingg gnria L A B C N ( i, i ) N(, ) N(, ) A + Bi + Ci A + B + C A + B + C 2 Δ 2 Δ 2Δ 2Δ N lm dt (, ) N i i i A lm + B lm + C lm

N i N 3 i N 5 5 i Scuola di Dottorato in Inggnria L

Intrprtazion gomtrica i N 3 P N 5 5 N Scuola di Dottorato in Inggnria L

in Ingg gnria L N N N 2 2 2 ( ( ( i,,, i ) ) ) A2 + B2i + C2 i A2 + B2 + C2 A2 + B2 + C2 A 2 B2 C 2 N lm (, ) i A N 2 lm + B lm + C lm

Matric dll funzioni di forma gnria L in Ingg v (, ) v (, ) 2 2 26 6 { } [ v(, ) N (, ) ] { U } (, ) N (, ) N (, ) N 3 5 N22 N N24 N3 N26 N5

Calcolo dll dformazioni in Ingg gnria L ε ε γ γ Spostamnti v v v + v ε ε γ congrunza Dformazioni v ( ), v ( ), [ L ] { v (, ) }

{ (, ) } [ L]{ v(, ) } ε { } [ ]{ } v (, ) N (, ) U da Vinci onardo d gnria L in Ingg 3 32 2 2 26 6 {} [ ][ ]{ } [ ]{ U } ε L N U B 3 36 6

Contnuto matric [B] Contnuto matric [B] da Vinci 5 3 N N N onardo d [ ] [ ][ ] 26 24 22 5 3 N N N N L B gnria L in Ingg N N N 5 3 Dottorato [ ] N N N B 26 24 22 cuola di D N N N N N N 26 5 24 3 22 Sc

N A + B + C in Ingg gnria L [ B] N B 2ΔΔ N C 2Δ B B 3 B 5 C 22 C24 C 26 C B22 C3 B24 C5 B26

Rlazioni costitutiv da Vinci Esmpio : stato piano di tnsion, matrial isotropo onardo d E E νσ σ ε ε ν σ gnria L E E E E νσ σ ε E ε ε ν ν ν σ σ 2 in Ingg ( ) + E E E τ ν γ 2 ( ) γ ν ν τ 2 / Dottorato cuola di D { } [ ]{ } ε σ D Sc

Rlazioni costitutiv in Ingg gnria L ε ε γ ε z Esmpio 2: stato piano di dformazion, matrial isotropo σ νσ νσ z E E E σ νσ νσ z E E E 2( + ν ) τ E σ z E νσ E νσ E [ D] ν ν E ν ν ( + ν )( 2 ν ) 2ν / 2 ( )

Valutazion di [K ] in Ingg gnria L Pi Principio i i di ilavori ivit Virtuali i

Valutazion di [K ] in Ingg gnria L Pi Principio i i di ilavori ivit Virtuali i {δu }

Valutazion di [K ] in Ingg gnria L Pi Principio i i di ilavori ivit Virtuali L st L int i {δu }

Valutazion di [K ] in Ingg gnria L Pi Principio i i di ilavori ivit Virtuali Carichi nodali vri * spost.nodali virtuali L st L int Tnsioni vr * dformazioni virtuali i {δu }

Valutazion di [K ] in Ingg gnria L Pi Principio i i di ilavori ivit Virtuali Carichi nodali vri * spost.nodali virtuali L δu st L st L int { } T { P } Tnsioni vr * dformazioni virtuali i {δu }

Valutazion di [K ] in Ingg gnria L Pi Principio i i di ilavori ivit Virtuali Carichi nodali vri * spost.nodali virtuali L δu st Spost. virtuali L st L int { } T { P } Tnsioni vr * dformazioni virtuali Carichi ffttivi i {δu }

L int V { } T δε { }dv σ Scuola di Dottorato in Inggnria L

da Vinci onardo d gnria L in Ingg V { } T δε { }dv Lint σ { } [ ]{ δε B δu } { T } { δε δuδ U } [ B ] T T Dottorato cuola di D Sc

gnria L in Ingg L V { } T δε { }dv Lint σ { } [ ]{ δε B δu } int V { } T [ ] T δu B { }dv σ { T } { δε δuδ U } [ B ] T T Dottorato cuola di D Sc

gnria L in Ingg V { } T δε { }dv Lint σ { } [ ]{ δε B δu } V { } T [ ] T δu B { }dv Lint σ { δu } [ B] { σ }dv T V T { T } { δε δuδ U } [ B ] T T Dottorato cuola di D Sc

in Ingg gnria L V { } T δε { }dv Lint σ { } [ ]{ δε B δu } V { } T [ ] T δu B { }dv Lint σ { δu } [ B] { σ }dv T V T { T } { δε δuδ U } [ B ] T T { σ } [ D]{ ε} Dottorato cuola di D Sc

in Ingg gnria L V { } T δε { }dv Lint σ { } [ ]{ δε B δu } V { } T [ ] T δu B { }dv Lint σ { δu } [ B] { σ }dv L int { } T [ ] T δu B [ D]{ }dv ε V T V T { T } { δε δuδ U } [ B ] T T { σ } [ D]{ ε}

in Ingg gnria L V { } T δε { }dv Lint σ { } [ ]{ δε B δu } V { } T [ ] T δu B { }dv Lint σ { δu } [ B] { σ }dv L L int int { } T [ ] T δu B [ D]{ }dv ε V { } T [ ] T U B [ D][ B]{ U }dv δ V T V T { T } { δε δuδ U } [ B ] T T { σ } [ D]{ ε} { ε} [ B]{ U }

in Ingg gnria L V { } T δε { }dv Lint σ { } [ ]{ δε B δu } V { } T [ ] T δu B { }dv Lint σ { δu } [ B] { σ }dv L L int { } T [ ] T δu B [ D]{ }dv ε V T V T { T } { δε δuδ U } [ B ] T T { σ } [ D]{ ε} { ε} [ B]{ U } { } T [ ] T [ ][ ]{ int δu B D B U }dv { } T [ ] T B [ D][ B] dv { U } V δu V

L δu st { } { P } T T { } [ ] T L δu B [ D ][ B ] dv { U } int V Dottorato cuola di D Sc da Vinci onardo d gnria L in Ingg

L δu st { } { P } T T { } [ ] T L δu B [ D ][ B ] dv { U } int V gnria L in Ingg { T T T δ U } { P } { δ U } [ B] [ D ][ B ] dv { U } V Dottorato cuola di D Sc

L δu st { } { P } T T { } [ ] T L δu B [ D ][ B ] dv { U } int V in Ingg gnria L { T T T δ U } { P } { δ U } [ B] [ D ][ B ] dv { U } V { T P } [ B] [ D ][ B ] dv { U } V Dottorato cuola di D Sc

L δu st { } { P } T T { } [ ] T L δu B [ D ][ B ] dv { U } int V in Ingg gnria L { T T T δ U } { P } { δ U } [ B] [ D ][ B ] dv { U } V { T P } [ B] [ D ][ B ] dv { U } V { P } [ K ] { U }

Applicazion [ ] [ ] T K B [ D ][ B ]dv V Scuola di Dottorato in Inggnria L

in Ingg gnria L Applicazion [ ] [ ] T K B [ D][ B]dV V B B 3 5 [ B] C C C 22 24 26 C B 22 C 3 B 24 B C 5 B 26 Dottorato cuola di D Sc

in Ingg gnria L Applicazion [ ] [ ] T K B [ D][ B]dV V B B 3 5 [ B] C C C 22 24 26 C B 22 ν C 3 B 24 E [ D] ν 2 ν ( ν )/ 2 B C 5 B 26

in Ingg gnria L Applicazion [ ] [ ] T K B [ D][ B]dV V B B 3 5 [ B] C C C 22 24 26 C B 22 ν C 3 B 24 E [ D] ν 2 ν ( ν )/ 2 B C [ T T K ] [ B] [ D][ B] dv [ B] [ D ][ B ]V V 5 B 26

Ossrvazion: unità di misura gnria L in Ingg [ ] [ ] T K B [ D ] [ B ]V Dottorato cuola di D Sc

Ossrvazion: unità di misura in Ingg gnria L Dottorato cuola di D Sc Nm - [ ] [ ] T K B [ D ] [ B ]V

Ossrvazion: unità di misura in Ingg gnria L Dottorato cuola di D Sc Nm - [ ] [ ] T K B [ D ] [ B ]V m - m -

Ossrvazion: unità di misura in Ingg gnria L Dottorato cuola di D Sc Nm - [ ] [ ] T K B [ D ] [ B ]V m - N m -2 m -

Ossrvazion: unità di misura in Ingg gnria L Dottorato cuola di D Sc Nm - [ ] [ ] T K B [ D ] [ B ]V m 3 3 m - N m -2 m -

Ossrvazion: unità di misura in Ingg gnria L Nm - [ ] [ ] T K B [ D ] [ B ]V m 3 3 m - N m -2 m - N m m 2 m m 3 N m

Calcolo dlla matric [K ] [ ] [ ] T K B [ D ][ B ]dv V Scuola di Dottorato in Inggnria L

Calcolo dlla matric [K ] da Vinci onardo d gnria L in Ingg [ ] [ ] T K B [ D][ B]dV V Intgral calcolato numricamnt (Mtodo di Gauss) Dottorato cuola di D Sc

Calcolo dlla matric [K ] in Ingg gnria L [ ] [ ] T K B [ D][ B]dV V Intgral calcolato numricamnt (Mtodo di Gauss) Mtodi classici di intgrazion: f() Dottorato cuola di D Sc

Calcolo dlla matric [K ] in Ingg gnria L [ ] [ ] T K B [ D][ B]dV V Intgral calcolato numricamnt (Mtodo di Gauss) Mtodi classici di intgrazion: f() ) Si sclgono a priori n punti, i Dottorato cuola di D Sc

Calcolo dlla matric [K ] in Ingg gnria L [ ] [ ] T K B [ D][ B]dV V Intgral calcolato numricamnt (Mtodo di Gauss) Mtodi classici di intgrazion: ) Si sclgono a priori n punti, i f() 2) Si calcolano i valori di f( i ) Dottorato cuola di D Sc

Calcolo dlla matric [K ] in Ingg gnria L [ ] [ ] T K B [ D][ B]dV V Intgral calcolato numricamnt (Mtodo di Gauss) Mtodi classici di intgrazion: ) Si sclgono a priori n punti, i f() 2) Si calcolano i valori di f( i ) 3) Si approssima a f() con il polinomio di grado n- passant pr i punti sclti

Calcolo dlla matric [K ] in Ingg gnria L [ ] [ ] T K B [ D][ B]dV V Intgral calcolato numricamnt (Mtodo di Gauss) Mtodi classici di intgrazion: ) Si sclgono a priori n punti, i f() 2) Si calcolano i valori di f( i ) forma chiusa 3) Si approssima a f() con il polinomio di grado n- passant pr i punti sclti 4) Si intgra il polinomio in forma chiusa

Calcolo dlla matric [K ] in Ingg gnria L [ ] [ ] T K B [ D][ B]dV V Intgral calcolato numricamnt (Mtodo di Gauss) Mtodi classici di intgrazion: ) Si sclgono a priori n punti, i f() 2) Si calcolano i valori di f( i ) n 2 forma chiusa 3) Si approssima a f() con il polinomio di grado n- passant pr i punti sclti 4) Si intgra il polinomio in forma chiusa

Intgrazion scondo Gauss: smpio D da Vinci onardo d gnria L in Ingg F I f n ( ) d W f ( ) i i i Dottorato cuola di D Sc

Intgrazion scondo Gauss: smpio D gnria L in Ingg Intgral da calcolar F I f n ( ) d W f ( ) i Pso i i Valor dlla f.n nl punto i Dottorato cuola di D Sc

Intgrazion scondo Gauss: smpio D in Ingg gnria L Intgral da calcolar F I f n ( ) d W f ( ) i Pso i i ) Si fissa n Valor dlla f.n nl punto i Dottorato cuola di D Sc

Intgrazion scondo Gauss: smpio D in Ingg gnria L Intgral da calcolar F I f n ( ) d W f ( ) i Pso i i ) Si fissa n Valor dlla f.n nl punto i 2) Si sclgono gli i d i W i in modo da valutar in modo satto l intgral di un polinomio di grado 2n- sull intrvallo dato

Intgrazion scondo Gauss: smpio D in Ingg gnria L Intgral da calcolar f() n F I f n ( ) d W f ( ) i Pso i i ) Si fissa n Valor dlla f.n nl punto i 2) Si sclgono gli i d i W i in modo da valutar in modo satto l intgral di un polinomio di grado 2n- sull intrvallo dato I punti i sono dtti punti di Gauss

Intgrazion scondo Gauss: smpio D in Ingg gnria L Intgral da calcolar f() n2 3 F I f n ( ) d W f ( ) i 3 Pso i i ) Si fissa n Valor dlla f.n nl punto i 2) Si sclgono gli i d i W i in modo da valutar in modo satto l intgral di un polinomio di grado 2n- sull intrvallo dato I punti i sono dtti punti di Gauss

Vantaggi dll intgrazion i scondo Gauss: in Ingg gnria L fissato n, consnt il calcolo satto dll intgral di una f.n di grado 2n- anziché n- dato il grado n dlla f.n ch si vuol potr intgrar sattamnt, richid il calcolo dlla f.n stssa in (n+)/2 punti, anziché in n+ punti L posizioni i i di punti di Gauss pr intgrali in, 2 3 dimnsioni sono not pr molti domini di intgrazion.

ANALISI INTERA STRUTTURA in Ingg gnria L Congrunza Costitutiv [B] [D] Equilibrio i Garantito pr il singolo lmnto (non ancora pr la struttura)

u v VETTORI DEGLI SPOSTAMENTI u u u v v v 2 VETTORI DEGLI SPOSTAMENTI E DEI CARICHI ESTERNI PER L INTERA STRUTTURA da Vinci { } v u U 3 2 onardo d gnria L GDL N n v n u f f in Ingg f f f f 2 Dottorato { } f f F 3 2 cuola di D Sc GDL N n f n f

in Ingg gnria L VETTORI DEGLI SPOSTAMENTI E DEI CARICHI APPLICATI PER L INTERA STRUTTURA 8 () v 27 27 (i) 33 (l) f 8 { } 3 () { } u u2 u54 v u n GDL U 27 f f2 f35 f F 8 f n GDL

MATRICE DI { } [ ]{ } 2 3,4 3,3 3, 2,6 2,5 2,4 2,3 2,2 2,,6,5,4,3,2, 3 u p q U K P 3,2 RIGIDEZZA ESPANSA PER IL da Vinci { } [ ]{ } 3, 3,3 3, U K P 3, v i PER IL SINGOLO ELEMENTO onardo d 8 8 8 8 8 27 (i) gnria L 8 () 33 (l) q in Ingg 3 () ) ( ) ( ) ( 2 54 * u u * Dottorato { } [ ]{ } ) ( ) 35 ( 3 * * p p U K P 3,2 35,54 cuola di D Sc ) 64 ( ) 8 ( n n n n gdl gdl gdl gdl cui di cui di

in Ingg gnria L 3 f p * p 2* p 3* 2 p 4* Carico strno 4 f f n E p * Carico applicato nl nodo all lmnto n E p *

{ * } [ P K * ]{ U } in Ingg gnria L f n E p + * n E n gdl i * u i u i ( ) * + 2* + + ne * u + i i ngdl ne * u i i i i i

in Ingg gnria L ngdl ne * i i f n GDL u i n gdl i u i n E * i { F } [ K ]{ U } i n GDL n GDL n GDL Matric di rigidzza dll dlla struttura tt i

SOLUZIONE gnria L in Ingg { F } [ K ]{ U } { U } [ K ] { F } [ ] c.n.s. : dt K

dt [ K ] Struttura non labil Scuola di Dottorato in Inggnria L

VINCOLI Vincolar assgnar a priori il valor di una dll componnti di spostamnto (g d l ) da Vinci dll componnti di spostamnto (g.d.l.) onardo d u f gnria L GDL GDL n m n m u u f f 2 2 2 22 2 2 2 u m u* m in Ingg f Dottorato mn GDL m m m m m m u f, 2 cuola di D GDL GDL GDL GDL GDL GDL GDL n n n m n n n n u f 2 Sc n GDL n GDL n GDL n GDL

u m u* m da Vinci f m non assgnabil onardo d + + GDL n m m n m m m m u u f f 2 2 2 2 22 2 2 2 2 gnria L + GDL n m m m u u f 2 2 2 2 22 2 2 * 2 in Ingg + + GDL m m mn m m m m m m m m m m u u u f,, 2, Dottorato + GDL GDL GDL GDL GDL GDL GDL GDL GDL n n n m n m n n n m n n u f 2 cuola di D n GDL n GDL (n GDL -) (n GDL -) Sc

Introduzion vincolo riduzion di dl numro di incognit d quazioni da Vinci + GDL n m m m u f 2 di incognit d quazioni onardo d + + GDL GDL n m m n m m m m u f f 2 2 2 2 22 2 2 2 2 gnria L + GDL m n m m m m m m m m m m m u u u f f,,,,,. in Ingg + + + + + + + + + GDL m n m m m m m m m m m m u f f,,,,2,, Dottorato + GDL GDL GDL GDL GDL GDL GDL GDL GDL n n n m n m n n n m n n u f 2 cuola di D (n GDL -) (n GDL -) (n GDL -) (n GDL -) Sc

da Vinci onardo d [ ] K gnria L [ ] M M I S K in Ingg M M I S. Dottorato cuola di D La matric [K]: è simmtrica Sc ha una struttura a banda attorno alla diagonal principal

Esistono molti mtodi di soluzion dl sistma. Uno di più comuni d fficinti è il mtodo di liminazion dirtta di Gauss da Vinci d fficinti è il mtodo di liminazion dirtta di Gauss. onardo d gnria L in Ingg Dottorato cuola di D PASSO PASSO 2 PASSO 3 PASSO 4 FINALE Sc PASSO PASSO 2 PASSO 3 PASSO 4 FINALE

Larghzza di banda ( bandwidth ) da Vinci onardo d gnria L in Ingg Dottorato cuola di D n 2 banda) (largh oprazioni N Sc n GDL banda) (largh. oprazioni N

Larghzza di banda dipnd dal Modo di costruir [K] da Vinci onardo d in Ingg gnria L Esistono du modi principali di costruir la matric [K]: sgundo l ordin progrssivo di nodi; sgundo l ordin progrssivo dgli lmnti Dottorato cuola di D Sc

Ma. diff. n d ordin pr nodi attaccati allo stsso lmnto ORDINE NODI 9 2 L h b d ( ) stsso lmnto N g.d.l. pr nodo da Vinci 5 8 7 6 Largh. banda (n ne +)n GDL,n onardo d 4 3 2 2 9 8 7 6 5 4 3 2 gnria L 4 3 2 Largh. Banda 2 in Ingg 3 2 9 6 Dottorato 2 8 5 cuola di D 7 4 2 8 5 Sc 7 4 Largh. Banda

Ma. diff. n d ordin pr lmnti attaccati allo stsso nodo ORDINE ELEMENTI 9 2 allo stsso nodo N nodi pr lmnto/2 O N N da Vinci 5 8 7 6 4 5 6 2 3 Largh. banda ~(n En )n nod, n GDL,n onardo d 4 3 2 2 9 8 4 7 3 6 5 2 2 3 gnria L 4 3 2 Largh. Banda 6 in Ingg 3 2 9 6 Dottorato 2 8 5 2 4 6 cuola di D 7 4 2 8 5 3 5 Sc 7 4 Largh. Banda 2

Condizioni di convrgnza sull funz.ni di forma in Ingg gnria L Condizion : la f.n di spostamnto dv dar luogo ad una dformazion nulla in tutti i punti dll lmnto quando il campo di spostamnti nodali corrispond ad un moto rigido. i

in Ingg gnria L Vrifica pr lmnto triangolar u u u u u u { U } Dottorato cuola di D Sc

in Ingg gnria L Vrifica pr lmnto triangolar u u u u u u { U } { } [ ]{ } ε B U Dottorato cuola di D Sc

in Ingg gnria L Vrifica pr lmnto triangolar u u B u [ B ] C 22 u u C B22 u { U } { } [ ]{ } ε B U B B 3 5 C 24 C 26 C C 3 24 5 26 B B Dottorato cuola di D Sc

in Ingg gnria L ε Vrifica pr lmnto triangolar u u B u [ B ] C 22 u u C B22 u { U } B u + B3 u + B5 u { } [ ]{ } ε B U B B 3 5 C 24 C 26 C C 3 24 5 26 B B Dottorato cuola di D Sc

in Ingg gnria L ε Vrifica pr lmnto triangolar u u B u [ B ] C 22 u u C B22 u { U } B u + B3 u + B5 u { } [ ]{ } ε B U B B 3 5 C 24 C 26 C C 3 24 5 26 B B B B 3 5 B 2Δ i 2 Δ i 2 Δ

in Ingg gnria L ε ε Vrifica pr lmnto triangolar u u B u [ B ] C 22 u u C B22 u { U } B u + B3 u + B5 u i i u + u + u 2Δ 2Δ 2Δ { } [ ]{ } ε B U B B 3 5 C 24 C 26 C C 3 24 5 26 B B B B 3 5 B 2Δ i 2 Δ i 2 Δ

in Ingg gnria L Condizion 2: la f.n di spostamnto dv dar luogo ad una dformazion costant in tutti i punti dll lmnto lmnto quando il campo di spostamnti nodali è compatibil con tal condizion. i

in Ingg gnria L Condizion 2: la f.n di spostamnto dv dar luogo ad una dformazion costant in tutti i punti dll lmnto lmnto quando il campo di spostamnti nodali è compatibil con tal condizion. i ( ) i ( ) i u u

Condizion i 3: la f.n di spostamnto dv dar luogo a dformazioni limitat all intrfaccia tra lmnti divrsi. da Vinci onardo d gnria L in Ingg Dottorato cuola di D Sc

Condizion i 3: la f.n di spostamnto dv dar luogo a dformazioni limitat all intrfaccia tra lmnti divrsi. gnria L in Ingg ε v Dottorato cuola di D Sc

Condizion i 3: la f.n di spostamnto dv dar luogo a dformazioni limitat all intrfaccia tra lmnti divrsi. gnria L in Ingg ε v v

Condizion i 3: la f.n di spostamnto dv dar luogo a dformazioni limitat all intrfaccia tra lmnti divrsi. gnria L in Ingg ε v v d Δv

Condizion i 3: la f.n di spostamnto dv dar luogo a dformazioni limitat all intrfaccia tra lmnti divrsi. gnria L in Ingg ε v v ε d Δv

Condizion i 3: la f.n di spostamnto dv dar luogo a dformazioni limitat all intrfaccia tra lmnti divrsi. in Ingg gnria L ε v v ε valor finito

Condizion i 3: la f.n di spostamnto dv dar luogo a dformazioni limitat all intrfaccia tra lmnti divrsi. gnria L in Ingg ε v In gnral: S l ε implicano la drivata n-sima dlla f.n di spostamnto, qust ultima dv ssr continua all intrfaccia con Class di continuità C n-

in Ingg gnria L Oss.n: la funzion di spostamnto sclta garantisc tal continuità in quanto lo spostamnto di un punto appartnnt ad un lato non dipnd dagli spostamnti dl nodo opposto N i N 5 N 5 i N3 N i

Approssimazion ffttiva dl campo di spostamnti sul singolo lmnto da Vinci onardo d gnria L in Ingg v i

Approssimazion ffttiva dl campo di spostamnti sul singolo lmnto in Ingg gnria L v v i i v v

Approssimazion ffttiva dl campo di spostamnti sull intro modllo gnria L in Ingg u Dottorato cuola di D Sc

u Esatto Andamnto ffttivo dll tnsioni Scuola di Dottorato in Inggnria L

Andamnto ffttivo dll tnsioni gnria L in Ingg u Esatto σ Esatto

Andamnto ffttivo dll tnsioni gnria L in Ingg u Esatto EF σ Esatto

Andamnto ffttivo dll tnsioni gnria L in Ingg u Spostamnti continui ni nodi Esatto EF σ Esatto

Andamnto ffttivo dll tnsioni gnria L in Ingg u Spostamnti continui ni nodi Esatto EF σ Tnsioni idiscontinu ni nodi Esatto EF

Andamnto ffttivo dll tnsioni gnria L in Ingg u Spostamnti continui ni nodi Esatto EF Tnsioni idiscontinu ni nodi σ Esatto EF Calcolo di valori mdiati ni nodi (mdia aritmtica o altr tcnich)

Andamnto ffttivo dll tnsioni gnria L in Ingg u Spostamnti continui ni nodi Esatto EF Tnsioni idiscontinu ni nodi σ Esatto EF Calcolo di valori mdiati ni nodi (mdia aritmtica o altr tcnich) Intrpolazion di valori mdiati nodali nll zon intrn (Es. tramit l N)

Dimnsioni ottimali dgli lmnti gnria L in Ingg σ Esatto EF Dottorato cuola di D Sc

Dimnsioni ottimali dgli lmnti gnria L in Ingg σ Esatto EF σ Esatto EF Dimnsioni lmnti non ottimali Dimnsioni lmnti ottimali

Modllo Tnsioni σ non mdiat Tnsioni σ mdiat Scuola di Dottorato in Inggnria L

da Vinci onardo d gnria L in Ingg In casi in cui l tnsioni sono intrinscamnt discontinu, l oprazion di mdia ni nodi può diminuir la prcision. Esmpio : Lastra in du matriali divrsi, soggtta ad allungamnto uniform E 5 MPa E2. 5 MPa

da Vinci onardo d gnria L in Ingg In casi in cui l tnsioni sono intrinscamnt discontinu, l oprazion di mdia ni nodi può diminuir la prcision. Esmpio : Lastra in du matriali divrsi, soggtta ad allungamnto uniform η E 5 MPa E2. 5 MPa

η σ Mdiat Non mdiat E 5 MPa E2. 5 MPa η Scuola di Dottorato in Inggnria L

Esmpio 2: lastra incastrata agli strmi caricata al cntro Dottorato cuola di D Sc da Vinci onardo d gnria L in Ingg

Esmpio 2: lastra incastrata agli strmi caricata al cntro da Vinci onardo d gnria L in Ingg η

Esmpio 2: lastra incastrata agli strmi caricata al cntro gnria L in Ingg η σ Mdiata Non mdiata η

i Elmnti di ordin suprior Scuola di Dottorato in Inggnria L

Elmnti di ordin suprior in Ingg gnria L i N ( i, i ) N(, ) N (, )

Elmnti di ordin suprior in Ingg gnria L i N ( i, i ) N(, ) N (, ) N lm (, ) A lm + B lm + C lm

in Ingg gnria L N i N ( i, i ) N(, ) N (, ) N lm (, ) A lm + B Elmnti di ordin suprior lm + C lm

in Ingg gnria L N i N ( i, i ) N(, ) N (, ) N lm (, ) A lm + B Elmnti di ordin suprior lm + C lm i l n m

in Ingg gnria L N i N ( i, i ) N(, ) N (, ) N lm (, ) A lm + B Elmnti di ordin suprior lm + C lm i l N( i, i ) N(, ) N(, ) n m N( l, l ) N( m, m) N( n, n)

in Ingg gnria L N i N ( i, i ) N(, ) N (, ) N lm (, ) A lm + B Elmnti di ordin suprior lm + C lm i l N( i, i ) N(, ) N(, ) n m N( l, l ) N( m, m) N( n, n) Nlm (, ) Alm + Blm + Clm + + D lm 2 + E lm 2 + F lm

in Ingg gnria L N i N ( i, i ) N(, ) N (, ) N lm (, ) A lm + B Elmnti di ordin suprior lm + C lm N i l N( i, i ) N(, ) N(, ) n m N( l, l ) N( m, m) N( n, n) Nlm (, ) Alm + Blm + Clm + + D lm 2 + E lm 2 + F lm

u Esatto Elmnto con F.n Forma quadratica Scuola di Dottorato in Inggnria L

Elmnto con F.n Forma quadratica gnria L in Ingg u σ Esatto Esatto

Elmnto con F.n Forma quadratica gnria L in Ingg u Spostamnti continui ni nodi σ Esatto Esatto EF

Elmnto con F.n Forma quadratica gnria L in Ingg u Spostamnti continui ni nodi σ Tnsioni discontinu ni nodi Esatto EF Esatto EF

Carichi non concntrati i da Vinci onardo d in Ingg gnria L Dottorato cuola di D Sc

in Ingg gnria L Carichi non concntrati F di l { t } Carichi distribuiti i Forz di volum { w } Dottorato cuola di D Sc

in Ingg gnria L Carichi non concntrati F di l t t { t } i Carichi distribuiti Forz di volum { w } w w w Dottorato cuola di D Sc

in Ingg gnria L st Carichi non concntrati F di l t { }{ T U P } + LW Lt L δ + t { t } i Carichi distribuiti Forz di volum { w } w w w Dottorato cuola di D Sc

in Ingg gnria L Lavoro forz di volum st Carichi non concntrati F di l t { }{ T U P } + LW Lt L δ + Lavoro carichi distribuiti t { t } i Carichi distribuiti Forz di volum { w } w w w Dottorato cuola di D Sc

in Ingg gnria L Lavoro forz di volum st Carichi non concntrati F di l t { }{ T U P } + LW Lt L δ + Lavoro carichi distribuiti W { }{ T w} dl δv L W dv t { t } i Carichi distribuiti Forz di volum { w } w { }{ T } { } [ ] T { } { } [ ] T δv w dv δu N w dv δu N { w} V V T T V w w dv

{ P } [ K ]{ U } + { P } + { P } W t Scuola di Dottorato in Inggnria L

{ } [ ]{ } { } { } P K U + P + P W t gnria L in Ingg { } [ ] T P { } W N w V dv Dottorato cuola di D Sc

{ } [ ]{ } { } { } P K U + P + P W t gnria L in Ingg { } [ ] { } T T P W N w dv { P } [ ] { } t N t V L dl Dottorato cuola di D Sc

{ } [ ]{ } { } { } P K U + P + P W t in Ingg gnria L Dottorato cuola di D Sc { } [ ] { } T T P W N w dv { P } [ ] { } t N t V L dl Razioni vincolari consgunti all applicazion all lmnto dll forz distribuit di volum - Carichi nodali staticamnt quivalnti all forz distribuit o di volum

gnria L in Ingg Esmpio: carico uniformmnt distribuito sul lato di un lmnto triangolar i

in Ingg gnria L Esmpio: carico uniformmnt distribuito sul lato di un lmnto triangolar t t { t } Carichi distribuiti i

in Ingg gnria L Esmpio: carico uniformmnt distribuito sul lato di un lmnto triangolar { } [ ] T P N {}d t t ξ L 6 6 2 2 t t { t } Carichi distribuiti i

in Ingg gnria L Esmpio: carico uniformmnt distribuito sul lato di un lmnto triangolar { } [ ] T P N {}d t t ξ L 6 6 2 2 N t t { t } Carichi distribuiti N N [ 3 5 N ] N N3 N5 i

i Scuola di Dottorato in Inggnria L

in Ingg gnria L p t, i N p t i N, p N t t, 3 p N t t, L 3 p t N, 5 p t N, 5 { } P dξ t i Dottorato cuola di D Sc

in Ingg gnria L p t, i N p t i N, p N t t, 3 p N t t, L 3 p t N, 5 p t N, 5 { } P dξ t ( L ξ p, ) t i N ξ t dξ t dξ L L ( ξ p 3 ) t N ξ t dl t, dl L p t, L N5( ξ ) t dl t, L L L L dl tl 2 tl 2 i

in Ingg gnria L p t, i N p t i N, p N t t, 3 p N t t, L 3 p t N, 5 p t N, 5 { } P dξ t ( L ξ p, ) t i N ξ t dξ t dξ L L ( ξ p 3 ) t N ξ t dl t, dl L p t, L N5( ξ ) t dl t, L L L L dl tl 2 tl 2 i i N

in Ingg gnria L p t, i N p t i N, p N t t, 3 p N t t, L 3 p t N, 5 p t N, 5 { } P dξ t ( L ξ p, ) t i N ξ t dξ t dξ L L ( ξ p 3 ) t N ξ t dl t, dl L p t, L N5( ξ ) t dl t, L L L L dl tl 2 tl 2 i i N 3

in Ingg gnria L p t, i N p t i N, p N t t, 3 p N t t, L 3 p t N, 5 p t N, 5 { } P dξ t ( L ξ p, ) t i N ξ t dξ t dξ L L ( ξ p 3 ) t N ξ t dl t, dl L p t, L N5( ξ ) t dl t, L L L L dl tl 2 tl 2 i i N 5

Carichi nodali quivalnti i Scuola di Dottorato in Inggnria L

t L/2 Carichi nodali quivalnti i t L/2 in Inggnria L tl/2 tl/2 Scuola di Dottorato