Generlità sulle superfici lgeriche Definizione: Si definisce superficie lgeric di ordine n il luogo geometrico dei punti P dello spzio le cui coordinte crtesine,, z verificno un equzione lgeric di grdo n rppresentt d: F,, z 0 o d z f, Tlvolt si suole rppresentre l superficie qule luogo dei punti P dello spzio le cui coordinte,, z sino funzioni (continue e derivili) di due prmetri, d esempio u e v, cioè: u,v u,v z u,v P è un generico punto vriile dell superficie llor le coordinte,, z vengono Se,, dette coordinte correnti. Superficie cilindric Definizione: Si chim superficie cilindric un qulsisi superficie che poss pensrsi genert d un rett (dett genertrice) che si muove lungo un curv pin (dett direttrice) mntenendo costnte l su direzione. L equzione f, 0 3 rppresent nell spzio 3 R un superficie cilindric con le genertrici prllele ll sse z e con l direttrice coincidente con l curv pin vente equzione f, 0.
Anlog interpretzione sussiste per le superfici cilindriche venti equzioni f, z 0, f, z 0. Dunque, nello spzio 3 R un equzione contenente due sole vriili rppresent un superficie cilindric le cui genertrici sono rette prllele ll sse dell vriile mncnte. Teorem: L equzione f 0 4 rppresent nello spzio l pino z. In generle, nello spzio 3 R un gruppo di pini prlleli 3 R un equzione contenente un sol vriile rppresent un gruppo di pini (tnti qunti sono le soluzioni dell equzione f 0 ) prlleli l pino coordinto delle vriili mncnti. Conclusione: I cilindri con le genertrici prllele d un sse sono rppresentti d un equzione contenente soltnto le ltre due coordinte. Quest stess equzione, se riferit d uno dei pini coordinti rppresent l sezione rett (cioè l direttrice) del cilindro. Un curv o line è dett sghem o go se i suoi punti non pprtengono llo stesso pino. Superficie conic Definizione: Si chim superficie conic ogni superficie costituit d tutte le rette, dette genertrici, proiettnti d un punto fisso, detto vertice, i punti di un curv, dett direttrice. I coni venti il vertice coincidente con l origine O degli ssi crtesini sono rppresentti un equzione f,, z 0 omogene rispetto lle tre coordinte. Più in generle un equzione f,, z 0 che poss ridursi d essere omogene rispetto i termini,, z rppresent un cono col vertice nel punto V,,.
Le infinite rette pssnti per V e per ciscun punto dell curv individuno un superficie dett cono. Se l curv è un circonferenz l superficie è dett cono circolre. L line è l direttrice, il punto V è il vertice, un qulsisi rett pssnte per V e per un qulsisi punto di è l genertrice del cono. Si chim cono del secondo ordine un superficie definit d un equzione vente l seguente form: 0 5 Per cpire qule si l form del cono del secondo ordine è sufficiente considerre l sezione con un qulsisi pino non pssnte per l origine degli ssi coordinti (cioè non pssnte per il vertice del cono), d esempio con un pino prllelo l pino ( z c). Si ottiene l ellisse di equzione: z c 6 c 0 5 rppresent il cono circolre del secondo ordine. cilindro ellittico cilindro iperolico cilindro immginrio Le superfici di rotzione Definizione: Si chim superficie rotond o di rotzione quell genert d un curv che ruot ttorno d un rett fiss dett sse delle superficie. Ne segue che ogni punto di descrive un circonferenz concentric con l sse e gicente su un pino perpendicolre ll sse. 3
I pini pssnte per l sse tglino l superficie rotond lungo curve tutte uguli dette meridini dell superficie. Si un curv pin gicente nel pino Oz ed vente equzione f, z 0. L equzione dell superficie di rotzione di sse z è: f, 0 Regol: L equzione di un superficie di rotzione di sse z si può ottenere dll equzione f, z 0 dell su curv meridin, gicente sul pino Oz, ponendo l posto dell vriile l espressione. Con uno scmio opportuno di nomi si hnno le equzioni di superfici rotonde con sse di rotzione l sse o l sse e si h nche l regol per ottenerle prtire dll line meridin contenut rispettivmente nel pino 0 e z 0. Conclusione: Un superficie rotond con sse di rotzione l sse z ( o ) è crtterizzt d un equzione contenente le coordinte ed ( z,, z), soltnto nell cominzione ( z, z ) Qudriche Le qudriche sono l nlogo nello spzio 3 R delle coniche nello spzio R. L equzione cnonic di un qudric centro è: A B C z D 0 Un qudric può degenerre nel prodotto di due pini. C 0 D 0 cilindro ellittico cilindro iperolico cilindro immginrio A 0 B 0 C 0 D 0 4
Ellissoide z L ellissoide è un qudric centro. L ellissoide è un superficie simmetric rispetto i pini coordinti, rispetto gli ssi crtesini e rispetto ll origine degli ssi crtesini che è il centro dell qudric. Le coordinte,, z di ciscun punto dell ellissoide verificno le seguenti limitzioni: z c I punti A,0,0, A,0,0, B,0,0, B,0,0, Cc,0,0, C c,0,0 dell ellissoide sono i vertici L ellissoide intersec il pino O secondo l ellisse di equzione ed il pino z k secondo l ellisse di equzione k I numeri c,, si chimno semissi dell ellissoide. Qundo uno dei tre semissi c,, sono uguli imo un ellissoide di rotzione e qundo tutti e tre sono uguli imo un sfer di centro O 0,0,0. z è l ellissoide di centro,, gli ssi coordinti C e semi ssi prlleli L sfer z r sfer di centro,, C e rggio r d 0 equzione generle dell sfer di centro C,, cz d e rggio r d 5
Iperoloide d un fld L iperoloide d un fld present le simmetrie riscontrte proposito dell ellissoide. Pertnto esistono tr pini di simmetri, tre ssi di simmetri ed un centro di simmetri. Due ssi soltnto intersecno l iperoloide d un fld ed i corrispondenti vertici sono i punti A,0,0, A,0,0, B,0,0, B,0,0 Le sezioni principli sono:. z 0 z 0 c z 0 c Sezionndo l iperoloide d un fld con un pino prllelo l pino O ottenimo un ellisse. Le intersezioni dell iperoloide d un fld con i pini cost oppure cost sono iperoli. Nel cso prticolre in cui, l superficie è un iperoloide di rotzione d un fld l cui equzione è: c L ellisse di gol pssnte per l origine degli ssi crtesini divent l circonferenz di gol di rggio. Le sezioni dell iperoloide d un fld con i pini pssnti per l sse longitudinle (sse z ) sono iperoli tutte uguli. L iperoloide di rotzione d un fld si può definire come l superficie genert dll rotzione di un iperole ttorno l su sse immginrio (sse non trsverso). 6
Iperoloide due flde E simmetrico rispetto i tre pini coordinti, rispetto ll origine egli ssi coordinti e rispetto gli ssi crtesini O, O, Oz. Il pino 0 non intersec l iperoloide. Vuole dire che l qudric considert si compone di due prti distinte (le due flde) simmetriche rispetto tle pino Le sezioni principli con i pini 0 e z 0 sono due iperoli venti rispettivmente equzioni: z 0 A c z 0 I pini z h intersecno l iperoloide due flde secondo un iperole il cui sse trsverso è sempre prllelo ll sse L intersezione col pino di equzione k è dt d: k z z k c Si trtt di un punto se k e di un ellisse se k 0 ( k ) I vertici di stnno sulle iperoli A. Iperoloide di rotzione due flde Per l equzione dell iperoloide due flde divent: e prende il nome di c iperoloide di rotzione due flde. Si ottiene fcendo ruotre ttorno ll sse l iperole di equzione z 0. c 7
Proloide ellittico Superficie dt dll equzione ridott Non esiste un centro di simmetri; solo l sse z è sse di simmetri. z Le sezioni principli situte sui pini 0, 0 sono le prole di equzioni: z z Il pino z 0 h un solo punto in comune col proloide ellittico. Sezionndo il proloide ellittico con il pino zk 0 si ottiene l ellisse di equzione z z L intersezione del proloide ellittico con i pini h ( k) sono prole con l sse prllelo ll sse z e vertici sull prol z 0 ( z 0 ) Se ottenimo il proloide di rotzione di equzione z che si ottiene fcendo ruotre ttorno ll sse z l prol di equzione z 0. 8
Proloide iperolico Per l su form prticolre si chim nche proloide e sell. Gli elementi di simmetri sono gli stessi del proloide ellittico. z Le intersezioni del proloide iperolico con i pini coordinti O, Oz sono dte d: z ( 0) z ( 0 ) Si trtt di due prole, l prim con l concvità rivolt verso l lto e l second con l concvità rivolt verso il sso. Le intersezioni del proloide iperolico con i pini h ed k sono prole con sse prllelo ll sse z ; le prime hnno l concvità rivolt verso il sso ed hnno il vertice sull prol z 0, le seconde hnno l concvità rivolt verso l lto ed hnno il vertice sull prol z 0. Le intersezioni con i pini z h sono iperoli i cui ssi trsversi sono prlleli ll sse se h 0, ll sse se h 0. Per h 0 l iperole sezione è spezzt (degener) in due rette z 0 Il proloide iperolico non è mi un superficie di rotzione. 9
Superfici cilindriche Un superficie S genert dl moto di un rett (dett genertrice) che durnte il moto rest prllel d un rett fiss (d esempio d uno degli ssi coordinti) si chim superficie cilindric. Ogni line intersect in un solo punto dll genertrice in qulunque su posizione si chim direttrice dell superficie cilindric. Ogni equzione f, 0 che non contiene l coordint z e che sul pino (spzio R ) O rppresent un curv rppresent nello spzio 3 R un superficie cilindric l cui genertrice è prllel ll sse Oz e dell qule l line è un direttrice. Qunto detto finor può essere esteso superfici cilindriche con genertrici prllele gli ltri ssi coordinti ed il risultto può essere rissunto nei seguenti termini: un equzione in coordinte crtesine mncnte di un vriile rppresent un superficie cilindric con genertrici prllele ll sse ssocito ll vriile mncnte. L curv di equzione Cilindro ellittico rppresent sul pino O un cilindro con le genertrici prllele ll sse z e direttrice l curv che è un ellisse. Le intersezioni con i pini z h sono ellissi uguli di equzione gicenti sul pino di equzione z h. D qui il nome di cilindro ellittico. L equzione rppresent un cilindro iperolico con le genertrici prllele ll sse Oz ed un su direttrice è Cilindro iperolico l iperole di equzione. 0
Cilindro prolico L curv di equzione pz rppresent un cilindro prolico con le genertrici prllele ll sse z e direttrice l curv che è un prol. Le intersezioni con i pini z h sono prole uguli di equzione pz gicenti sul pino di equzione z prolico. h. D qui il nome di cilindro Cono del secondo ordine Si chim superficie conic ogni superficie genert dl moto di un rett (dett genertrice) che in ogni posizione pss per un punto fisso (detto vertice dell superficie conic). Ogni curv pin non pssnte per il vertice e che intersec l genertrice in qulunque su posizione si chim direttrice. L superficie di equzione si chim cono ellittico o cono del secondo ordine. Tle cono è simmetrico rispetto tutti e tre i pini coordinti. L sezione del cono ellittico col pino di equzione 0 è costituit dlle due rette di equzioni z gicenti sul pino Oz. c L sezione del cono ellittico col pino di equzione 0 è costituit dlle due rette di equzioni z gicenti sul pino Oz. c
L sezione del cono punto O 0,0,0 per h 0 col pino z h è l ellisse h che degener nel Per le ellissi h diventno circonferenze ed il cono del secondo ordine divent un cono circolre di equzione c Le sezioni del cono con pini prlleli l pino Oz (o l pino Oz ) sono ieroli. L equzione omogene di secondo grdo cz 0 con c,, 0 rppresent un cono vente il vertice coincidente con l origine O 0,0,0 degli ssi crtesini. Osservzione: Le sezioni di ogni cono del secondo ordine con pini non pssnti per il vertice sono circonferenze, ellissi, iperoli e prole. Ognun di queste curve può essere ssulnt come direttrice del cono.
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Qudriche non degeneri Ellissoide Sferoide (cso prticolre di ellissoide) Sfer (cso prticolre di sferoide) Proloide ellittico Proloide circolre (cso prticolre di proloide ellittico) Proloide iperolico Iperoloide d un fld (iperoloide iperolico) 4
Iperoloide due flde (iperoloide ellittico) Qudriche degeneri Cono Cilindro ellittico Cilindro circolre (cso prticolre di cilindro ellittico) Cilindro iperolico Cilindro prolico 5
Il pino nello spzio crtesino cz d 0 equzione generle del pino equzione segmentri del pino p q r cz 0 d 0 equzione del pino pssnte per l origine degli ssi crtesini cz 0 0 d 0 pssnte per l sse equzione del pino pssnte per l sse 0 c 0 d 0 cz 0 0 d 0 equzione del pino equzione del pino pssnte per l sse z z 0 equzione del pino O 0 equzione del pino Oz 0 equzione del pino Oz k equzione del pino prllelo l pino Oz h equzione del pino prllelo l pino Oz z p equzione del pino prllelo l pino O Equzione del pino tngente d un superficie S di equzione P,, z : z 0 o o o o f f f z o o o Po Po Po f,, z 0 in un suo punto Equzione del pino tngente d un superficie S di equzioni prmetriche: u,v u,v z u,v in un suo punto,, z o o o Po o o z o : 0 u u u Po Po Po v v v Po Po Po L equzione del pino tngente d un qudric in un suo punto,, P si ottiene pplicndo o o o o l regol degli sdoppimenti: o o o o o o oz zo z z z z o z zo z oz zo z 6