Laboratorio didattico classi quarte: geometria analitica Anno scolastico: 2013/2014 Attività:

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1 Lbortorio didttico clssi qurte: geometri nlitic Anno scolstico: / Attività: Le

2 \ÇàÜÉwâé ÉÇ L filosofi è scritt in questo grndissimo libro che continumente ci st perto innnzi gli occhi (io dico l'universo), m non si può intendere se prim non s'impr intender l lingu, e conoscer i crtteri, ne' quli è scritto. Egli è scritto in lingu mtemtic, e i crtteri son tringoli, cerchi, ed ltre figure geometriche e nche luoghi geometrici come l prbol, l circonferenz, l iperbole e l ellisse, senz i quli mezzi è impossibile intenderne umnmente prol; senz questi è un ggirrsi vnmente per un oscuro lberinto. (Glileo Glilei, Il Sggitore). Così Glilei nel, scrivev dell ntur: un libro tutto d scoprire dll uomo cui è dt l possibilità di frlo trmite il metodo scientifico. L ntur è, quindi, un qulcos che potremmo definire coincidente l mondo dell mtemtic, un mondo di mervigli ftto di precise regole e perché no, nche di intuito. Tr quest infinità di teoremi, dimostrzioni, un prte è occupt dll geometri nlitic il cui tto di nscit è considerto l ppendice Geometri del Discorso sul metodo di Crtesio. Pertnto, molte volte non ci si rende conto che in reltà simo bbrcciti, o meglio intrinsechi in così tnt mtemtic che sfugge l nostro occhio. In questo percorso, voglio però soffermrmi su un prticolre rgomento delle scienze mtemtiche: le coniche. Si trtt di figure geometriche che è possibile riscontrre in ogni cmpo, dl microcosmo dell uomo nelle sue perfette prti ntomiche (il cuore h pressoché un form conic) ttrversndo poi l mbiente quotidino: dlle diverse sezioni di un bnlissimo cono gelto ll ellisse di un girdiniere, giungendo in seguito ll mbiente esterno e ll rte, per rrivre ll complessità del mcrocosmo: l universo dove i pineti descrivono orbite ellittiche. In prticolre nell rte bbimo diverse rchitetture che si bsno strutturlmente su un delle quttro coniche, bsti pensre l tempio greco di tipo monoptero vente form circolre e poi ripreso nel Rinscimento; ll nfitetro romno come il Colosseo Rom. M è tr il 5 e il Rinscimento e Brocco- che le coniche cquistno prticolre importnz, inftti, in questo periodo si privilegi l uso dell line curv nei confronti dell line rett, diftti, le pinte delle chiese in questo corso storico hnno spesso form ellittic così come le rcte. Esempi

3 rchitettonici di questo periodo sono l cupol di Snt Mri del Fiore Firenze Lbortorio didttico clssi qurte: geometri nlitic di Filippo Brunelleschi. Bisogn infine considerre che le coniche sono tuttor utilizzte come modello in moltissime opere d rte moderne si in pittur che rchitettur. L circonferenz, l ellisse, l iperbole e l prbol sono definite globlmente coniche o sezioni coniche, in qunto sono originte dll intersezione tr un pino e un cono non definito due flde generto dll rotzione complet di un rett r dett genertrice, intorno d un second rett d ess incidente e non perpendicolre dett sse del cono. Inoltre l mpiezz dell ngolo tr le due rette è dett pertur del cono ed nel disegno è indict con l letter grec ϑ. Così dlle differenti inclinzione del pino si ottengono i diversi tipi di coniche. Mrinn Angiolelli. Circonferenz Definizione: luogo geometrico dei punti del pino equidistnti d un punto fisso detto centro. Si ottiene qundo il pino tgli perpendicolrmente il cono, in modo che l rett pssnte per il pino e l sse del cono formino un ngolo retto.

4 Equzione crtesin ( ) C α; β ( α ) ( β) r Equzione cnonic b c. E llisse Definizione: luogo geometrico dei punti del pino per i quli è costnte l somm delle distnze d un punto P dell ellisse e due punti detti fuochi. Si ottiene qundo si tgli obliqumente un pino ed in prticolre l pertur del cono è minore dell inclinzione del pino. Inoltre dll su origine come sezione conic deriv proprio il termine ellisse che in greco signific lscire, mncre ed indic proprio che l ngolo del cono mnc di qulcos, inftti, esso è minore di quello del pino. Equzione cnonic: b NB: L ellisse h l sse mggiore sull sse se b, in cso contrrio l sse mggiore si trov sull sse.. Prbol Definizione: luogo geometrico dei punti del pino equidistnti d un punto fisso detto fuoco e d un rett d dett direttrice. Si ottiene dll intersezione di un pino posto prllelmente ll genertrice del cono in modo tle che l ngolo di pertur del cono si ugule ll inclinzione del pino. L prbol è un curv pert e il termine deriv dl greco e signific uguglire che si riferisce i due ngoli sopr considerti. Equzione dell prbol con sse prllelo ll sse : b c Equzione dell prbol con sse prllelo ll sse : b c

5 . Iperbole Definizione: luogo dei punti del pino per i quli è costnte l differenz d due punti fissi detti fuochi. Si ottiene qundo il pino intersec l superficie conic in tutte e due le prti di cui è composto il cono e l pertur del cono è mggiore dell inclinzione del pino. Si trtt di un curv formt d due rmi distinti e per l su origine, il termine iperbole viene nch esso dl greco e signific oltrepssre e richim proprio il ftto che l ngolo d pertur oltrepss l ngolo tr il pino e l sse. Equzione dell iperbole con i fuochi sull sse b Equzione dell iperbole con i fuochi sull sse b Equzione dell iperbole equilter Equzione dell iperbole equilter riferit gli sintoti Equzione dell iperbole trslt p q con v ( p; q) b Equzione dell funzione omogrfic b c d ( ) ( ) Inoltre si prl di coniche degeneri qundo il pino che sezion il cono pss per il vertice del cono stesso. Se si verific tle situzione l circonferenz e l ellisse degenerno in un punto, l prbol degener in un rett che corrisponde ll stess genertrice e l iperbole degener in un coppi di rette che si intersecno nel vertice.

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7 fäéäz ÅÇàÉ áüv é Attività numero : Scrivi le equzioni delle tre coniche rppresentte nell immgine e motiv brevemente le tue scelte. Individu ltresì eventuli simmetrie ssili o centrli. Risoluzione: Nell figur propost sono rffigurte tre coniche ed in prticolre un circonferenz vente centro nell origine degli ssi crtesini, un ellisse con l sse mggiore coincidente con l sse e un iperbole equilter con i fuochi sull sse. Dto che l obbiettivo è quello di trovre le equzioni delle singole coniche e le simmetrie cui esse sono soggette, per rendere più comprensibile lo svolgimento, nlizzo seprtmente ogni singolo cso.. L circonferenz Anlizzndo visivmente l figur ho notto che ess h centro in O (,), e dunque nell equzione generle di un circonferenz che è b c, i termini e b sono uguli zero e l equzione generic si riduce nell form: c. Inoltre spendo che in questo csor c r c e il rggio dell circonferenz è, l equzione diviene: c r Dunque l equzione dell circonferenz rppresentt è: e si trtt di un figur geometric vente infinite simmetrie ssili e un simmetri centrle. Verifico l equzione trovt riportndo il grfico di tle equzione costruito con il softwre Geogebr.

8 . L ellisse L second figur rppresentt nell immgine dell consegn è un ellisse che h i fuochi sull sse, sse che coincide con l sse mggiore, mentre l sse minore si trov sull sse ; pertnto b. Inoltre si può osservre che il cui temine costituisce l lunghezz del semisse minore è, mentre b che corrisponde ll lunghezz del semisse mggiore è: b. Dto che l equzione generle dell ellisse è: b, sostituendo i vlori i coefficienti e b si ottiene l seguente equzione: soluzione: Il grfico dell equzione trovt è questo lto che coincide perfettmente con quello proposto nell trcci. Le simmetrie presenti nell ellisse Dl punto di vist geometrico l ellisse h come sse di simmetri l sse, l sse, e come centro di simmetri l origine degli ssi crtesini. Verifico qunto detto costruendo i tre tipi di simmetri citti prtendo dll immgine dell ellisse. Riporto qunto detto nell immgine destr. Come si può notre esplicitmente il punto A è il simmetrico di A rispetto l sse, di A rispetto ll sse ed infine è simmetrico ripetto ll origine nel punto A.

9 . Iperbole Per qunto rigurd l iperbole scrutndo bene il grfico di prtenz posso trrre lcuni indizi che si rivelno fondmentli per giungere ll equzione dell curv. Ad esempio dll rppresentzione posso cpire che il secondo membro dell equzione generic è positivo dto che i fuochi si trovno sull sse. Inoltre spendo che l sintoto h inclinzione di 5 rispetto ll sse, tle rett che ccompgn l curv ll infinito, rppresent l bisettrice del I e III qudrnte, e un iperbole i cui sintoti sono le bisettrici del pino crtesino prende l denominzione di iperbole equilter pertnto l equzione generic è:. L unic incognit è il termine che però rppresent l metà dell sse trsverso, ovvero il segmento delimitto di due vertici reli che sono l intersezione tr l curv e l sse che in questo cso vle unità. Dunque spendo che, l equzione dell iperbole rppresentt è.

10 Le simmetrie presenti nell iperbole Dl punto di vist geometrico l iperbole è un curv simmetric rispetto ll sse, ll sse e ll origine. Come nell esercizio precedente verifico qunto detto costruendo i tre tipi di simmetri come riportto nell immgine seguente. In questo modo si può individure subito che il punto A è il simmetrico di A rispetto l sse, di A rispetto ll sse ed infine è simmetrico ripetto ll origine nel punto A.

11 Riporto le soluzioni di quest prim ttività in un tbell rissuntiv. Prim conic. Second conic. Terz conic Tipo di conic equzione simmetrie Circonferenz Infinite simmetrie ssili simmetri centrle con centro di simmetri l origine degli ssi Ellisse Iperbole equilter crtesini. Rppresentzione delle simmetrie con Geogebr Osservzioni: Simmetri ssile con ssi di simmetri l sse e l sse. simmetri centrle con centro di simmetri l origine degli ssi crtesini. Simmetri ssile con ssi di simmetri l sse e l sse. simmetri centrle con centro di simmetri l origine degli ssi crtesini. Ogni punto pprtenente d un delle tre coniche h un corrispondente punto simmetrico che può scturire si d un simmetri ssile che centrle in qunto eseguendo due

12 simmetrie ssili con ssi perpendicolri, un dopo l ltr, si ottiene un simmetri centrle che h come centro l intersezione dei due ssi.

13 Attività numero : Dt l equzione prmetric ( ) ( ), stbilire per quli vlori di. L equzione rppresent un circonferenz;. L equzione rppresent un iperbole;. L curv è un ellisse con l sse mggiore sull sse delle ordinte. Risoluzione:. L circonferenz obbiettivo: dl fscio di coniche estrrre l equzione che rppresent un circonferenz. Svolgimento: per vere l equzione di un circonferenz è necessrio che ci sino due termini e di secondo grdo, e inoltre che i loro coefficienti (dei due termini) sino tr loro uguli, dunque per sottrrre dl fscio l equzione dell circonferenz occorre uguglire tr di loro i coefficienti dell e : ( ) ( ) 8 9,, ± ± b c b In questo modo ho trovto i due vlori di, che sostituiti nel fscio individuno le equzioni delle circonferenze. circonferenz: / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) flso Lbortorio didttico clssi qurte: geometri nlitic Se / l circonferenz non esiste

14 circonferenz: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). L iperbole obbiettivo: dl fscio di coniche estrrre l equzione che rppresent un iperbole. Svolgimento: l equzione di un iperbole è crtterizzt d due termini e i cui coefficienti sono discordi, dunque uno è positivo e l ltro è necessrimente negtivo per l ntur stess dell iperbole. Pertnto dividendo tutto il fscio per il cui vlore è vribile, l secondo membro è possibile ottenere si si - e in entrmbi i csi si trtt di un iperbole. Ciò che deve però restre costnte è l discordnz dei segni dei coefficienti dei termini di grdo. In ltre prole si può ffermre che il prodotto tr il primo e secondo coefficiente deve essere sempre negtivo e non import qule dei due termini si negtivo perché ciò non influisce sull esistenz dell iperbole, m solo sull rppresentzione grfic, inftti, se il secondo membro è si vrà un iperbole con i fuochi sull sse, mentre se l equzione è ugule -, si vrà un iperbole con i fuochi sull sse. Per qunto detto l condizione d porre ffinché si otteng l equzione dell iperbole è l seguente: * b. Dto che il fscio è ( ) ( ) pplico innnzitutto il secondo principio di equivlenz: ( ) ( ) ( ) ( ) A questo punto si può impostre precismente l condizione necessri: ( ) ( ) ( ) ( ) * ; b Risolvo l disequzione risultnte ponendo ogni fttore mggiore di zero e cercndo poi le soluzioni negtive trmite il grfico dei segni. Le soluzioni dell disequzione sono esterne dto che il segno di è concorde con il segno dell disequzione. ± b b b b ( ) ( ) ( ) ( ) * :, ± D N disequzione Lbortorio didttico clssi qurte: geometri nlitic

15 Dopo ver trovto le soluzioni dei due fttori, clcolo l soluzione di tutt l disequzione fcendo il grfico dei segni: : : disequzione disequzione Soluzione e conclusione: ( ) ( ) * Di clcoli svolti è emerso che ffinché l equzione prmetric poss individure l equzione di un iperbole occorre che. NB: vedi rppresentzione fine ttività. Ellisse obbiettivo: dl fscio di coniche estrrre l equzione che rppresent un ellisse con l sse mggiore sull sse delle ordinte. Dto il fscio di equzione ( ) ( ) e spendo che un ellisse h equzione b pplico il secondo principio di equivlenz dividendo tutto per ottenendo così che il secondo membro dell equzione è ugule d. ( ) ( ) ( ) ( ) Or pongo le condizioni necessrie ffinché si rggiunto l obiettivo. Innnzitutto dto che ( ) ( ) b e i termini e b srnno: b e. Per l stess ntur dell ellisse i coefficienti dei termini di secondo grdo devono essere mggiori di zero e così le due prime condizioni srnno:. Inoltre dto che si chiede di clcolre il prmetro in funzione di un situzione in prticolre, che l ellisse bbi l sse mggiore sull sse dell ordinte è : D N disequzione Lbortorio didttico clssi qurte: geometri nlitic

16 necessrio porre l condizione che b si più grnde di dunque. Di conseguenz l rispost ll esercizio è dt dll soluzione del sistem seguente formto dlle tre disequzioni soprcitte. : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) N D ( )( ), ± Grfico dei segni: Grfico dei segni: Per l prim e second disequzione riporto solo il risultto senz svolgere i clcoli siccome si l prim che l second, nche se l contrrio, sono stte svolte nel punto. ( ) 8 9, ± Equzione ssocit Equzione ssocit I II I II minimo comune multiplo dei denomintori Numertore: rccoglimento fttor comune Denomintore: rccoglimento per prti. Lbortorio didttico clssi qurte: geometri nlitic

17 Soluzione: soluzione: Dopo ver trovto le soluzioni delle tre disequzioni clcolo l soluzione di tutto il sistem: Grfico delle linee sovrpposte Conclusione: Dopo ver svolto i clcoli necessri è emerso che ffinché l equzione prmetric ( ) ( ) si riduc ll equzione di un ellisse con l sse mggiore sull sse delle ordinte è necessrio che Riporto le soluzioni di quest second ttività in un tbell rissuntiv. Grfico con geogebr Equzione prmetric Circonferenz Osservzioni: ( ) ( ) Ellisse con sse mggiore sull sse delle ordnte -/ Iperbole dll osservzione delle due immgini lto è possibile ottenere un conferm di qunto emerso fcendo i clcoli: se si h l equzione di un circonferenz, m se / non si h lcun conic.

18 Descrizione: Le linee colorte in viol rppresentno le curve delle funzioni che si ottengono qundo ssume vlori minori e diversi di -/. In questo cso si trtt sempre di iperboli. Descrizione: Le linee colorte in blu rppresentno le curve delle funzioni che si ottengono qundo ssume vlori mggiori e diversi d. In questo cso si trtt sempre di un ellisse con l sse mggiore sull sse delle ordinte.

19 Attività numero : Osserv bene il grfico. Spendo che A h coordinte A (,) determin:. L equzione dell prbol;. L equzione dell circonferenz;. L equzione dell rett tngente ll circonferenz nel punto A;. Verificre che il rpporto tr l re del qudriltero e quell del tringolo è pri 7/. Svolgimento: I. Equzione dell prbol Come prim zione individuo l equzione dell prbol rppresentt in figur. Per giungere ll soluzione si possono utilizzre diversi metodi, il primo sfrutt gli zeri dell funzione, mentre il secondo metodo f riferimento lle tre condizioni necessrie e sufficienti ffinché si conoscno i tre prmetri:, b e c. Utilizzo il primo metodo poiché in mtemtic occorre seguire il procedimento giusto che ci port in minor tempo ll soluzione, d poter essere così considerto l strd più efficiente. metodo: Si definiscono zeri di un funzione quei vlori che sostituiti ll dell equzione dnno come risultto, e dl punto di vist grfico corrispondono ll intersezione tr l sse delle scisse e l curv. Dunque in questo cso gli zeri dell funzione sono: ( )( ) equzione: 5 metodo: in questo cso occorrono individure tre indizi, ognuno dei quli corrisponde d un condizione per ricercre il vlore dei tre coefficienti. Le tre condizioni corrispondono lle tre condizioni di pprtenenz ll curv dei punti A(,), D(,) e C(,), che sono evidenziti nell figur. Così ogni punto pprtiene ll curv se soddisftt l condizione di pprtenenz. Infine l equzione dell prbol è scturit dl sistem tr le tre equzioni. Condizione di pprtenenz: sostituisco le coordinte dei tre punti ll e dell equzione generle: A D C (,) b c (,) b c (,) b c b c b c c b c

20 Rppresentzione grfic dell equzione trovt Osservndo l immgine finco si not che l curv intercett l sse delle scisse nei punti C e B di coordinte, e, così come è emerso dll nlisi dell rppresentzione fornit nell trcci. Pertnto l equzione trovt è quell estt. II. Equzione dell circonferenz Per determinre l equzione di un circonferenz, così come per l prbol, occorre conoscere tre informzioni geometriche, indipendenti tr loro, dette condizioni. Un delle condizioni possibili è quell propost nel grfico: si conosce il centro dell circonferenz che corrisponde due condizioni e si conosce le coordinte di un punto che pprtiene ll circonferenz. In questo cso il centro è C (,) e il punto che pprtiene ll curv è il punto A (,), l equzione dell circonferenz è dt dl seguente metodo:. Teorem di Pitgor per conoscere l lunghezz del rggio ( AC) ( AC) ( ) ( ) r r r 8. Sostituisco il vlore di r nell equzione crtesin dell circonferenz per giungere quell cnonic: ( C) ( C) ( ) ( ) 8 r 8 r Ciò implic che l equzione dell circonferenz rppresentt è:

21 III. Equzione dell rett tngente ll circonferenz nel punto A. è noto che un rett è tngente in ogni punto d un circonferenz, ciò signific che il rggio che congiunge il centro dell circonferenz e il punto di tngenz dell rett è perpendicolre ll rett stess, dunque per determinre l equzione dell tngente si potrebbe seguire il metodo che propongo:. Trovre l rett pssnte per i punti A e C: ( A) ( ) C A ( A) ( ) C A pplico_ il_principio_ di_ equivlenz:. Or so che l rett cui pprtiene il rggio dell circonferenz è e dunque il coefficiente ngolre dell rett è.. Clcolo il fscio di rette pssnte per A (,): A m ( ) m( ) A. Al fscio di rette ppen trovto, sostituisco l ntireciproco di m gicché le due rette sono perpendicolri tr loro: condizione_ di_tngenz: m m fscio_ per_ A: m rett_ per_ A: ( ) ( ) s: 5. L rett tngente ll circonferenz h equzione: s : si trtt di un rett con ndmento discendente, inftti, il coefficiente ngolre è negtivo e incontr l sse in, inftti, il termine noto, e dunque l intercett dell rett è.

22 IV. Rpporto tr le ree del qudriltero e del tringolo OBBIETTIVO: verificre che il rpporto delle ree dei due poligoni è 7/. Per svolgere questo punto clcolo innnzitutto l re del tringolo colorto in zzurro spendo che CA e AF sono due lti del tringolo, perpendicolri tr loro per qunto detto nello svolgimento del punto, pertnto i segmenti CA e AF si possono considerre i due cteti di un tringolo rettngolo, m nche isoscele dto che i due cteti sono uguli. Inoltre nel punto vendo trovto l lunghezz del rggio dell circonferenz l qudrto (r 8), si può dedurre che CA. Clcolo llor l re del tringolo: ( ) */ A A CA* AF A t At t t / Or clcolo l re del qudriltero ros sfruttndo l equiscomponibilità dei qudrilteri, inftti, il poligono ros è dto dll intero tringolo DOF che contiene esso stesso -DOCA- e il tringolo CAF. Dunque clcolo l superficie di DOF spendo che si trtt di un tringolo rettngolo isoscele di cteto DO. A T DO /AT /AT /AT Come psso successivo clcolo l re del qudrilteroa q : A q AT At Aq 8 Verifico qunto detto trmite un costruzione con Geogebr. 8

23 Conclusione: In questo modo ho trovto che l re del tringolo piccolo è, mentre quell del qudriltero è dunque il rpporto tr l re del qudriltero e l re del tringolo è:/, semplificndo: 7/ come ffermto nell consegn. C.v.d. Riepilogo delle soluzioni dell ttività numero Equzione dell prbol 5 Equzione dell circonferenz Equzione dell rett tngente ll circonferenz nel punto A Rpporto tr l re del qudriltero e quell del tringolo s : 7/

24 Éà Vorrei ringrzire l prof.ss Antoniett Iemm per vermi iutto nell produzione mnule per l relizzzione del modello D di un cono due flde. Allego questo documento un file di Geogebr in cui è relizzt un presentzione inerente lle sezioni coniche ed in più lo svolgimento dell second ttività progetto probl.. le sezioni coniche con geogebr.ggb progetto probl..ggb Y Ç Alunn Insegnnte Mrinn Angiolelli IVA Luigi Boscino