Iperole Comincimo con l definizione: Dti due punti F e F si dice iperole I il luogo geometrico dei punti P del pino per i quli è costnte l differenz delle distnze d F e F cioè tli che F e F si dicono fuochi dell iperole PF PF costnte Osservimo che deve essere F F > costnte perché nel tringolo F F P si h F F > PF PF poiché un lto è sempre mggiore dell differenz degli ltri due Osservzioni ) Cerchimo di cpire come risult un iperole Considerimo per esempio F F 0 e l costnte 6 Per individure qulche punto del luogo possimo fre così : trccimo un circonferenz di centro F e rggio r (per esempio r 0) e l intersechimo con l circonferenz di centro F e rggio r costnte (quindi di rggio ) I punti P e P individuti pprtengono ll iperole poiché e nlogmente per P P F P F r ( r costnte) costnte 50
Osservimo poi che sul segmento F F ci sono due punti A e A del luogo fcilmente individuili (vedi figur) e che A A costnte 6 Se determinimo vri punti vremo un curv come nell seguente figur: ) L iperole è simmetric rispetto ll rett per F e F, che viene chimt sse trsverso poiché intersec l curv, e ll sse del segmento F F, che viene detto sse non trsverso perché non intersec l curv I punti A e A dell curv sono detti vertici dell iperole e A A costnte Se P pprtiene ll iperole nche P, P, P pprtengono ll iperole Nturlmente il punto di incontro dei due ssi di simmetri risult centro di simmetri dell iperole ) L iperole non è limitt, come l ellisse o l circonferenz, poiché ci sono punti dell curv nche molto lontni di fuochi dto che nell definizione del luogo è in gioco l differenz delle distnze d F e F 5
) L form dell iperole dipende dl rpporto tr F F e l costnte Questo rpporto viene chimto eccentricità e dell iperole e risult sempre mggiore di dto che F F > costnte F F cos tn te e F F A A Se e è di poco mggiore di (cioè se F F è di poco mggiore di A A ) si hnno iperoli come nell figur seguente: Not: se F F A costnte cioè se e l iperole degener nelle due semirette in figur A Se e è molto mggiore di, cioè se F F è molto mggiore di A A, si hnno iperoli come nell figur seguente: 5
L iperole nel pino crtesino Iperole con ssi di simmetri coincidenti con gli ssi coordinti Fissimo il sistem di riferimento in modo che gli ssi di simmetri dell iperole coincidno con gli ssi coordinti Si possono presentre due csi: l sse trsverso (quello su cui si trovno fuochi e vertici) è l sse oppure è l sse ) Asse trsverso coincidente con l sse Determinimo l equzione dell iperole considerndo per esempio ( 5;0) 6 F e l costnte ugule, P ; dovrà essere PF PF 6 cioè Se ( ) I ( 5) Sviluppndo i clcoli imo: + ( + 5) ( 5) + ( + 5) + + 6 ( + 5) + 0 + 6 ( + 5) + 5 + 9 ( + 5) + 5 + 8+ 90 9( + 0 + 5 + 6 9 Dividendo entrmi i memri per ottenimo: 9 6 ) + 6 Osservimo che i vertici sono ( ;0) A e che per determinre le coordinte degli ltri punti, possimo ricvre : 9 5
Osservimo che qundo si consider l sciss molto grnde in vlore ssoluto si h : 9 e quindi cioè l iperole tende d vvicinrsi lle rette Queste rette sono dette sintoti dell iperole dl greco α συν τανγο ( non-insieme-tocco ) perché l iperole, pur vvicinndosi molto queste rette, non le intersec Generlizzimo: se indichimo con vremo: c l distnz F F e con l distnz A A cos tn te Se ( ) I P ; dovrà essere PF PF cioè ( c) + ( + c) + Sviluppndo i clcoli imo: ( c) + ( + c) + ( c) + ( + c) + + ( + c) + c + ( + c) + c + ( + c) + c + + c ( + c + c + ( c ) ( c ) ) Poiché c > c > 0 e llor possimo indicrlo come un qudrto cioè porre c Sostituendo imo: e dividendo entrmi i memri per ottenimo: equzione dell iperole con F ( ;0) A ( ;0) eccentricità c e, c, c 5
Per determinre l equzione degli sintoti ricvimo l dll equzione dell iperole Dopo lcuni semplici pssggi ottenimo: Quindi se è grnde e cioè gli sintoti hnno equzione ) Asse trsverso coincidente con l sse I vertici si trovno sull sse : se li indichimo con B ( 0; ), vremo: ( 0; ) ( 0; ) F c B, c > Se ( ) I P ; dovrà essere PF PF e sviluppndo si ottiene, posto c equzione dell iperole con F, ( 0; c) B, ( 0; ) c eccentricità e sintoti : c 55
Prolemi sull iperole con ssi di simmetri coincidenti con gli ssi coordinti Disegnre un iperole di equzione ssegnt Per disegnre in modo pprossimto un iperole disegnimo i vertici e gli sintoti Esempio : disegnimo l iperole di equzione Essendo, A ;0, sintoti : e sse trsverso l sse, imo ( ) Disegnimo l posizione dei vertici e trtteggimo gli sintoti Infine disegnimo l iperole, Se l equzione non si present in form normle fremo dei pssggi per ricondurl ll form normle (come per l ellisse) Esempi ) 6 6 6 ) c) 9 6 6 9 56
Determinre l equzione di un iperole con ssi di simmetri coincidenti con gli ssi coordinti ) Conoscenz di due punti dell iperole (non simmetrici rispetto gli ssi o ll origine) e del suo sse focle Esempio: sse focle coincidente con l sse, ( ; ) P 6; P ( ) Poiché l sse focle è l sse l equzione srà del tipo 9 Sostituendo vremo: 6 ) Conoscenz dei fuochi e dei vertici Esempio: ( 0; ) B F ( 0; 5),, L equzione srà del tipo : Poiché e c 5 c 0 6 e quindi I : 6 57
c) Conoscenz dei fuochi e dell eccentricità Esempio: ( ;0) F e, c Poiché in questo cso e srà Inoltre c e quindi I : d) Conoscenz dei vertici e dell eccentricità Esempio: B ( 0; ), e Poiché l sse trsverso è l sse srà c c Inoltre c e quindi c e e quindi I : e) Conoscenz dei fuochi e degli sintoti F, sintoti: Esempio: ( ;0) c 9 Quindi imo: I : 9 58
Rette tngenti d un iperole con ssi di simmetri coincidenti con gli ssi coordinti Considerimo un iperole I con ssi di simmetri coincidenti con gli ssi coordinti e un punto P ssegnto o ) Se P o I ed è esterno I (vedi figur) esisternno due rette tngenti d I uscenti d P o e per determinrle si procederà con il solito metodo (vedi ellisse) ) Se P o I vremo un sol tngente come che può essere determint come in ) oppure utilizzndo l formul dello sdoppimento (l dimostrzione è nlog quell svolt per l ellisse) Se : I e P ; ) I l equzione dell tngente è o ( o o t o o : Anlogmente se : I vremo o o Esempio: I : 6, P o5; I 5 t : + 5 + 6 6 6 59
Iperole con ssi di simmetri prlleli gli ssi coordinti Si I un iperole i cui ssi di simmetri non coincidono con gli ssi coordinti m sono prlleli d essi Si C ( ; C C ) il centro dell iperole (gli ssi di simmetri sono quindi C, C ) Anlogmente qunto visto per l ellisse, se trslimo il sistem di riferimento portndo l origine in C vremo che l equzione di I risulterà ll fine: ( C ) ( C ) ( C ) ( C ) oppure ( + ) Esempio: I : ( ) Il centro è C ( ; ),, ; sse focle prllelo ll sse I vertici sono A (; ) A (0; ) e gli sintoti hnno equzione + ( ) 60
6 Prolemi sull iperole con ssi di simmetri prlleli gli ssi coordinti ) Disegnre un iperole di equzione ssegnt Se l equzione è nell form ) ( ) ( C C oppure ) ( ) ( C C È molto semplice Esempio: 9 ) ( ) ( : + I Osservimo che ) (; C Se invece l equzione è stt sviluppt occorre riportrl nell form in cui si individuno il centro, e con il metodo già visto per l ellisse Esempio: 0 8 : + I ) ( ) ( ) ( ) ( + + + ) ( ) ( ) ( ) ( Quindi ) (; C
) Determinre l equzione di un iperole con ssi prlleli gli ssi coordinti Vedimo qulche esempio: ) Conoscenz dei fuochi e dei vertici Esempio: F (; ) F (7; ) A (; ) A (6; ) Di fuochi possimo ricvre il centro C(;) e c Osservndo l posizione dei vertici imo Quindi c 9 5 ( ) ( ) In conclusione: I : 5 ) Conoscenz dei fuochi e dell eccentricità Esempio: F ( ; ) F ( ; ) e Srà C(-;) e c Essendo l sse focle prllelo ll sse vremo Inoltre c e quindi: c e cioè I : ( ) ( + ) 6
Rette tngenti d un iperole con ssi prlleli gli ssi coordinti Si I un iperole con ssi prlleli gli ssi coordinti e P ; ) un punto ssegnto o ( o o ) Se P I ed è esterno I (vedi figur) si determinno le equzioni delle due rette tngenti o I uscenti d P o con il solito metodo ) Se P o I possimo utilizzre l formul dello sdoppimento (vedi ellisse con ssi prlleli gli ssi coordinti) ( C ) ( C ) Esempio: I : P o ( o; o ) I t ( ) ( ) ( ) ( o C C o C C : ) ( + ) Quindi se per esempio I : ( ) e P o (;) I ( + ) ( + ) t : ( ) ( ) ( ) ( + ) + 0 6
Iperole con ssi di simmetri non prlleli gli ssi coordinti Fccimo solo un esempio Determinre il luogo dei punti P(;) del pino tli che PF PF 5 dove F (0;0) e F (8;) P(;) : + ( 8) + ( ) 5 Sviluppndo i clcoli si determin l equzione di I Osservimo che: il centro è C(;) gli ssi di simmetri hnno equzione e ( ) Inoltre imo che l semidistnz focle è c 5 e che l distnz tr i vertici è A A 5 I vertici sono A (; ) e A (6;) 6
Un ltr definizione di iperole Avevmo visto che si potev dre un definizione dell ellisse più simile quell dt per l prol Vedimo se l stess cos si può fre per l iperole Considerimo il seguente prolem: Dt un rett d e un punto F d, determinre il luogo geometrico dei punti P del pino tli che PF dist( P, d) Fissimo il sistem di riferimento in modo che sse d e che F(0;) P(;) pprtiene l luogo PF ( dist( P, sse)) cioè + ( ) Aimo quindi trovto un iperole di centro Quindi 6 c + c 9 + 9 C 0;, sse focle sse, c Perciò F(0;) è un fuoco dell iperole e l eccentricità risult e, In generle si può dimostrre che, dt un rett d e un punto F d, il luogo dei punti P tli che PF e dove e è un costnte > dist( P, d) risult un iperole vente un fuoco in F ed eccentricità e In conclusione il luogo dei punti P tli che PF dist( P, d) 65 k un prol se k un ellisse se 0 < k < ( k è l eccentricità dell ellisse) un iperole se k > ( k è l eccentricità dell iperole) risult :
Esercizi sull iperole I) Disegn le seguenti iperoli indicndo le coordinte dei vertici, l equzione degli sintoti e le coordinte dei fuochi ) [ A, ( ;0) ; F, ( 5;0) ; ] ) [ A, ;0 ) 9 ( ; F, ( 0;0) ; ] c) [ B (0;, ) ; F, (0; ) ; ] d) [ A ;0 ) ; F ( 5;0) ; ] (,, e) 9 6 [ B, ) ; F, (0; ) ; ] f) [ 5 A, ;0 ) ; F, ( ;0) ; ] g) 9 [ 0 B, ) ; F, (0; ) ; ] f) 8 [ A ;0) ; F ( ;0) ; ] (,, i) 9 6 [ (0; 5 B, ) ; F, (0; ) ; ] l) [ A ;0 ) ; F ( ;0) ; ] (,, 66
II) Determin l equzione dell iperole I, riferit i suoi ssi di simmetri, vente: ) A, ( ;0) e [ ] ) (0; B, ) F, (0; ) [ ] c) ( A, ;0 ) sintoti [ ] d) F ( ;0) sintoti [ ], e) e 0, fuochi pprtenenti ll sse, pssnte per P ( 5;6) [ ] 9 III) ) Determin le equzioni delle tngenti ll iperole I : uscenti dl punto P (;0 ) [ ( ) ] ) Determin l equzione dell tngente ll iperole I : nel suo punto P (; ) 9 [ t : 0 ] c) Determin le equzioni delle tngenti ll iperole I : uscenti dl punto P(0;) [ t : ], + d) Determin l equzione dell tngente ll iperole I : nel suo punto P (; ) [ t : + 0 ] 67
IV) ) Determin l equzione dell iperole vente fuochi F (0;) F (;) ed eccentricità e Disegnl e determin le equzioni dei suoi sintoti ( ) [ I : ( ) ( ) ] ) Disegn l iperole di equzione I : + + 0 Determin il centro C, i vertici, i fuochi e gli sintoti Disegn I [ C (0; ) ; B (0; ) ; F (0; 5) ; sintoti : + ],, c) Determin l equzione dell iperole I vente vertici A (0;0) A ( ;0) e sintoti di equzione ( + ) Disegnl e determin l su eccentricità Verificto che P (; ) pprtiene ll iperole, determin l equzione dell tngente ll iperole in P [ I : ( + ) ; e 0 ; t : 6 + 0] 9 d) Determin l equzione dell iperole I vente fuochi F ( ;) e coefficienti ngolri degli, sintoti m Disegnl, determin vertici ed eccentricità Determinto il punto A di, sciss mggiore in cui I intersec l sse, scrivi l equzione dell tngente in A ll iperole [ ( ) ; A ; ) ; e ; A ( 0;0) ; t A : 0 + 0 0 ] (, 68
Iperole equilter Un iperole si dice equilter qundo : gli sintoti hnno quindi inclinzione e risultno perpendicolri Vicevers se gli sintoti sono perpendicolri imo che poiché se Osservimo che per un iperole equilter risult c + c e cioè l eccentricità è sempre e L equzione dell iperole equilter riferit i suoi ssi di simmetri è quindi: se l sse trsverso è l sse oppure se l sse trsverso è l sse 69
Equzione di un iperole equilter riferit i propri sintoti Se l iperole è equilter possimo prendere i suoi sintoti come sistem di riferimento: vedimo come risult l equzione in questo cso Considerimo l iperole equilter in figur: i fuochi si trovno sull rett dei fuochi in questo sistem di riferimento srnno F ( ; ) F ( ; ) e le coordinte poiché c e l sciss e l ordint dei fuochi rppresentno l misur del lto di un qudrto di digonle c Applicndo quindi l definizione di iperole come luogo geometrico imo: PF PF cioè ( ) + ( ) ( + ) + ( + ) 70
Sviluppndo con pssggi nloghi quelli visti qundo imo ricvto l equzione dell iperole riferit i propri ssi di simmetri ottenimo cioè un equzione del tipo k con k > 0 Se i fuochi si trovno sull rett ottenimo, con nloghi pssggi cioè un equzione del tipo k con k < 0 7
Prolemi sull iperole equilter riferit i propri sintoti ) Disegn l iperole e determinne i vertici e i fuochi Per disegnre possimo determinre qulche punto pprtenente ll iperole: poiché si ottiene per esempio ( ;) ( ;) ( ; ) Nturlmente, essendo l curv simmetric rispetto ll origine vremo nche ( ; ) ( ; ) ( ; ) Per determinre i vertici st intersecre l curv con l rett trsverso): (sse di simmetri A (;) A ( ; ) Poiché OA e le coordinte dei fuochi, in questo sistem di riferimento, sono F ( ; ) F ( ; ) vremo: F ( ; ) F ( ; ) 7
) Determin l iperole equilter riferit i propri sintoti spendo che pss per il punto P (; ) (*) Osservimo che per determinre l equzione di I : k è sufficiente un condizione Bsterà sostituire in k le coordinte P (; ) : k k e quindi I : ) Determin l equzione dell iperole equilter riferit i propri sintoti spendo che è tngente ll rett di equzione t : + 0 In questo cso sterà impostre l condizione di tngenz : k + 0 ( ) k k 0 + 8k 0 + 8k 0 k 8 Quindi I : 8 7
Iperole equilter con sintoti prlleli gli ssi coordinti (funzione omogrfic) Aimo visto che l equzione dell iperole equilter con sintoti coincidenti con gli ssi coordinti è del tipo k E se gli sintoti non coincidono con gli ssi coordinti m sono comunque prlleli d essi? Vedimo un esempio: supponimo che il centro dell iperole si C (;) e che gli sintoti ino equzione, Supponimo inoltre che l iperole pssi per il punto P (;0 ) (vedi figur) Se trslimo il sistem di riferimento portndo l origine in C cioè: X Y l iperole vrà equzione XY :per determinre k st sostituire in XY k le coordinte di P che nel nuovo sistem di riferimento sono ( ; ) Quindi I : ( ) ( ) E sviluppndo vremo: + 6 ( ) 7
In generle, quindi, l equzione di un iperole equilter di centro C ( ; C C ) con sintoti prlleli gli ssi coordinti vrà equzione: ( C ) ( C ) k che sviluppt dà un equzione del tipo: + c + d Quest funzione viene nche chimt funzione omogrfic Osservimo che : ) c 0 poiché se c 0 ottenimo un rett; ) ( c + d) poiché se m m c d c d c + d che per d dà l rett m c + M se imo l equzione come possimo determinre il centro dell iperole? c + d Tornimo ll esempio inizile: sviluppndo i clcoli vevmo ottenuto Osservimo che quest funzione è definit per (per il denomintore si nnull) e quindi srà l sciss del centro cioè srà l sintoto verticle (inftti non c è nessun punto dell iperole con sciss ) Inoltre qundo è grnde in vlore ssoluto i termini e d nell equzione diventno trscurili nel clcolo del vlore di e e quindi semplificndo l si ottiene Quindi è l sintoto orizzontle cioè è l ordint del centro: i rmi dell iperole, qundo + o si vvicinno ll rett + In generle quindi se imo l funzione omogrfic poiché per c + d denomintore si nnull e per il centro C vrà coordinte c d il c d C ; c c 75
Prolemi sull funzione omogrfic ) Disegn l funzione omogrfic di equzione: Si ricv suito, d qunto imo detto, che il centro è C ( ; ) Possimo quindi disegnre gli sintoti che srnno le rette di equzione e Per disegnre l iperole, dopo ver trovto il centro e trccito gli sintoti,possimo determinre per esempio l intersezione dell iperole con l sse ponendo 0 0 0 0 0 Conoscendo il punto ( ;0), per l simmetri rispetto C, ricvimo che nche ( 0; ) pprterrà ll iperole (del resto ponendo 0 si ottiene proprio ) Inoltre possimo ricvre fcilmente nche ltri punti (vedi figur) ricordndo che rispetto l centro l equzione dell iperole sree stt XY k e in questo cso imo k Ottenimo in conclusione il seguente disegno: 76
) Per determinre l equzione di un funzione omogrfic (iperole equilter con sintoti prlleli gli ssi coordinti) occorrono tre condizioni indipendenti Questo risult chiro se scrivimo l equzione nell form I : ( C ) ( C ) k ( in cui imo tre prmetri C, C, k ) + oppure se considerimo l equzione m dividimo numertore e denomintore per c + d c (ricordimo che c 0 ) ottenendo + c c ' + ' cioè ( in cui compiono solo i tre prmetri ', ', d ' ) d + d' + c Quindi possimo nche scrivere l equzione dell funzione omogrfic nell form Vedimo qulche esempio ' + ' + d' ) Conoscenz del centro C dell iperole e pssggio per un punto P Esempio: C (; ) P (0;0) Considerimo l equzione ( C ) ( C ) k : poiché il centro è C ( ;) ( ) ( ) k Sostituendo le coordinte di P vremo: ( ) ( ) k k In conclusione I : ( ) ( ) ) Conoscenz dell equzione di un sintoto e pssggio per due punti P, P Esempio: sintoto : ; P (0;0) P (; ) + Considerimo l equzione nell form (vedi osservzione precedente) + d Il centro è C( d; ) e poiché un sintoto è vremo C cioè d Quindi imo c d d 0( pssggio per P ) 0 d + ( pssggio per P ) + d c d 0 I : c) Conoscenz del pssggio per tre punti P P P In questo cso sterà sostituire le coordinte dei punti nell equzione un sistem di tre equzioni nelle tre incognite,,d + : otterremo + d 77
V) Esercizi sull iperole equilter ) Determin l equzione dell iperole equilter riferit i suoi sintoti spendo che pss per il punto P (; ) Disegnl e determin vertici e fuochi [ I :, A ; ), F ( 6; 6) ] (,, ) Determin l equzione dell iperole equilter riferit i suoi sintoti spendo che è tngente ll rett t : + Disegnl e determin vertici e fuochi [ I :, A ( ; ), F ( ; ) ],, ) Determin l equzione dell iperole equilter riferit i suoi sintoti vente vertice A (; ) Disegnl e, detto P il suo punto di sciss, determin l equzione dell tngente ll iperole in P [ I :, t P : 8 ] ) Disegn l iperole equilter (funzione omogrfic) Determin i suoi vertici [ A (;0 ) A ( ;) ] 5) Disegn l iperole equilter (funzione omogrfic) e detto A il suo punto di intersezione con l sse, determin l tngente in A ll iperole [ A (;0), t A : ] 6) Determin l equzione dell iperole equilter vente sintoti e e pssnte per (0;0) Disegnl e determin l tngente ll iperole in (0;0) [ I :, t( 0;0) : ] 78
7) Determin l equzione dell funzione omogrfic pssnte per A (;0) B (0;) C ; Disegnl e verific che A e B sono i vertici dell iperole + [ I : ] + 8) Determin l equzione dell funzione omogrfic tngente in (0;0) ll rett t : e pssnte per P ; Disegnl [ I : ] 9) Determin l equzione dell funzione omogrfic tngente in A ( ; ) ll rett t : e vente sintoto Disegnl [ I : ] + 0) Determin l equzione dell funzione omogrfic tngente in A (;0) ll rett t : 0 e pssnte per B (;) Disegnl [ I : ] + ) Disegn l iperole di equzione I : Detto A il suo punto di intersezione con l sse +, determin l equzione dell prol P con sse di simmetri prllelo ll sse vente il vertice V nel centro di simmetri di I e pssnte per A [P : + ] ) Disegn l funzione omogrfic I : e determin l equzione dell circonferenz C vente in (0;0) l stess tngente di I e pssnte per A (;0) [C: + + 0 ] 79
ESERCIZI DI RICAPITOLAZIONE Determin l equzione dell iperole riferit i propri ssi di simmetri vente fuochi F ( 0;0) F ( 0;0) e sintoti di equzione Disegnl e clcolne l eccentricità Si P il punto dell iperole situto nel qudrnte e vente ordint ugule : determin l equzione dell tngente t ll iperole in P e, dett Q l intersezione di t con l sse, determin l re del tringolo PQO (O origine del sistem di riferimento) [ 5 9 ; e 0 ; t : ; 9 6 re ( PQO) ] 5 Determin l equzione dell iperole vente fuochi F (0;) F (0;0) ed eccentricità e Disegnl e scrivi l equzione degli sintoti Determin le coordinte dei punti A e B in cui l iperole tgli l sse e le equzioni delle tngenti in A e B ll iperole Detti A e B i punti simmetrici di A e B rispetto l centro C dell iperole determin perimetro e re del qudriltero ABA B [ ( ) ; A (;0) B (;0) ; + 0 ; + 0 ; p 0 ; A] Determin l equzione dell iperole equilter riferit i suoi sintoti tngente ll rett di equzione + Disegnl e determin le coordinte dei suoi vertici e dei suoi fuochi Determin l equzione dell circonferenz tngente nei vertici ll iperole 9 [ ; ) A ( ; ( ; ) A ; F, ( ; m ) ; 9 + ] Determin l equzione dell funzione omogrfic vente come sintoto orizzontle l rett di equzione e pssnte per i punti A(-;) e B(;0) Disegnl e determinne i vertici Determin l equzione dell prol con sse di simmetri prllelo ll sse e pssnte per A B e C (centro dell iperole) [ ; A, ( ; ) ; ] 80
5 )Determin l equzione dell iperole riferit i propri ssi di simmetri vente fuochi F ( 5;0) e pssnte per il punto P ( ;) Disegnl indicndo vertici, sintoti e, clcol l su eccentricità ) Determin l equzione dell tngente t ll iperole nel punto P e, dett Q l intersezione di t con l sse, determin l equzione dell circonferenz C pssnte per O, A (vertice dell iperole di sciss positiv) e Q [ I : ; A, ( ;0) ; ; 5 e t : 0 ; C : + + 0 ] 6 ) Determin l equzione dell iperole equilter I riferit i propri sintoti tngente ll rett t : 6 + Disegn l iperole ed indic le coordinte dei vertici A, e dei fuochi F, ) Detto T il punto di tngenz di t, clcol l re del tringolo A AT [ I : 6 ; A ( m 6; 6) ; F ( m ; ) ; re A A T ) 5 6 ],, ( 7 ) Determin l equzione dell funzione omogrfic I vente come sintoto orizzontle l rett e pssnte per A (;0) e B (0;) Disegnl ed indic con C il suo centro ) Determin l equzione dell rett t tngente in A ll iperole Determin l equzione dell prol P con sse di simmetri prllelo ll sse, tngente t in A e pssnte per B Disegn P + [ I : ; t : ; P : ] + 8
8 ) Determin l equzione dell iperole I riferit i propri ssi di simmetri vente fuochi F, (0; 0) e sintoti Disegnl indicndo con B il suo vertice di ordint positiv ) Si P il punto dell iperole situto nel qudrnte vente sciss Determin l tngente in P ll iperole e, detto Q il suo punto di intersezione con l sse, clcol l re del tringolo B QP 5 [ I : ; P ; ; t : 5 + 9 0 ; 9 re ( B QP) ] 5 9 ) Determin l equzione dell iperole equilter I riferit i propri sintoti spendo che è tngente ll rett t : + Disegnl e determin i vertici A, e i fuochi F, ) Determin un punto (o i punti) pprtenenti ll rett t tle che l re del tringolo PA A 5 si ugule [ 9 I : ; A, ; ; F, ; ; P (; ) P ( ;) ] 0 ) Determin l equzione dell funzione omogrfic I vente come sintoto verticle l rett e pssnte per i punti A ( ; ) e B (0; ) Disegnl, indic con C il suo centro e determin l equzione dell tngente t ll iperole in B ) Determin l equzione dell circonferenz C tngente in B ll rett t e vente il centro sull sintoto verticle di I [ I : ; t : + ; C : ( ) + ( 0) 90 ] 8