ANALISI MATEMATICA - Traccia di soluzioni Commissione F. Albertini, L. Caravenna e V. Casarino Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Esercizio, Tema [9 punti] Vicenza, settembre 06 Si consideri la funzione f) = a) Determinare dominio ed eventuali simmetrie; sinh sinh 3. b) determinare i limiti agli estremi del dominio ed eventuali asintoti; c) discutere la continuità e la derivabilità di f; determinare la monotonia della funzione; d) determinare gli intervalli di convessità e di concavità della funzione f; e) disegnare un grafico qualitativo della funzione. Traccia di svolgimento. Osserviamo preliminarmente che f) = + sinh 3. a) Determiniamo il campo di esistenza imponendo che il denominatore non si annulli: sinh e e e e 0 e ± ) e otteniamo quindi ln +. Non si notano simmetrie evidenti. ) +, ), b) Gli estremi del dominio sono ln + ln + + e. Calcoliamo i limiti: ) lim f) = lim + ± ± sinh 3 = ln lim + ) f) = lim ± + ) + ± sinh 3 ln ) = ± Dall espressione f) = 3+ sinh notiamo inoltre che la retta y = 3 è un asintoto obliquo sia a + sia a. Dagli ultimi due limiti notiamo che = + è un asintoto verticale. c) Applicando le regole di continuità e derivabilità di somma e quoziente di funzioni elementari continue e derivabili, nel dominio R \ { ln + } la funzione f è continua e derivabile: ) ) f cosh ) = sinh ) 3 per ln + Siccome la derivata è somma di due funzioni negative e quindi è sempre negativa, f è strettamente )) ) ) decrescente sia in, ln + sia in ln +, +. La funzione non ammette né massimi locali né minimi locali. d) Studiamo il segno di f per determinare gli intervalli di convessità e di concavità della funzione f: f ) = sinh ) sinh cosh )sinh ) sinh ) sinh + sinh + sinh ) 3 ) ) ) per ln +. Troviamo che f è convessa in ln +, +, dove f è positivo, e )) concava in, ln +, dove f è negativo.
e) Si traccia sotto un grafico qualitativo di f. y = 3 y y = sinh sinh 3 = ln +)
Esercizio, Tema [9 punti] Per ogni a > 0, si consideri la serie: + n= ) a ) n n + 3 n ) n n a) Dire per quali a > 0 converge assolutamente; b) Dire per quali a > 0 converge semplicemente. Traccia di svolgimento. Osserviamo preliminarmente che la funzione n) è positiva e limitata. Siccome studiamo solo a > 0 la serie è a termini di segno alterno. a) Applichiamo il criterio del rapporto. Studiamo il quoziente di due termini consecutivi, in modulo: ) a ) n +3 n n ) { ) n ) n a = ) n + 3 n n a n+ +3 n+ n+ a n+ + 3 n+ a a > 3 n+ n+ 3 0 < a 3 Concludiamo che la serie converge assolutamente per 0 < a < perché il limite del quoziente è maggiore di. La serie non converge nè assolutamente nè semplicemente per a > siccome il limite del quoziente è minore di e quindi termine generale non tende a zero. Non abbiamo risposta per a =, lo studiamo separatamente. Siccome + 3/) n per n +, sostituendo a = troviamo che il valore assoluto del termine generale della serie proposta ) n + 3 n ) n n = n ) + 3 ) n ) ) n è asintotico a n, il termine generale della serie armonica. Siccome serie armonica n n diverge, concludiamo applicando il teorema del confronto asintotico che la serie proposta non converge assolutamente. b) Abbiamo osservato nel precedente punto che per a > il termine generale non tende a zero: la serie non converge neanche semplicemente. Inoltre per 0 < a < la serie converge assolutamente e quindi anche semplicemente. Se a = il termine generale in valore assoluto decresce a zero: ) n+ + 3 n+ ) ) ) ) 3 n+ n + n+ = + n + ) ) ) 3 n+ ) ) 3 n ) < + < + n n e lim n + n) + 3 ) n ) = 0. Siccome la serie ha termini di segno alterno, concludiamo che converge applicando il criterio di Leibniz. n 3
Esercizio 3, Tema [9 punti] Si consideri la funzione ) g) = e sinh ) e cosh ). a) Calcolare il limite della funzione g) per +. [Sugg.: Può essere utile sostituire le definizioni sinh ) =... ; cosh ) =... ] b) Determinare la convergenza dell integrale impoprio gt)dt per +. c) [Facoltativo] Determinare il campo di esistenza della funzione integrale G) = Traccia di svolgimento. a) Ricordiamo che y) = e gt)dt. 0 per +. Osserviamo quindi preliminarmente dallo sviluppo y = y + oy ) per y 0 e dalla definizione di sinh) = e e, cosh) = e + e che per +, la funzione g) ammette il seguente sviluppo: ) g) = e sinh) e cosh ) [ )] = e sinh) e e + o cosh ) = e [sinh) cosh)] ) e + o cosh ) e e + o ) cosh ) Sfruttando la definizione di o-piccolo e di cosh), osserviamo che si ha ) e o o cosh) = e ) e dove per definizione lim + o) = 0. Siccome ) e cosh) e o) e 3 per +. e lim + = lim e + = lim e + = lim e 3 + = 0 possiamo concludere che ) g) = e e + o ) e 3 lim g) = 0. + b) Osserviamo che la funzione g è continua in [, + ), quindi integrabile in [, M] per ogni M >. Mostriamo ora che g) = oe ) per + : grazie al conto nel punto precedente ) ) g) e = e e + o ) e e e 3 e = e + o ) e + 0 Concludiamo dal criterio del confronto asintotico che g è integrabile a +, siccome e lo è.
c) [Facoltativo] La funzione g) è continua se 0, quindi in particolare è integrabile in [ε, M] e in [ M, ε] comunque si scelgano 0 < ε < M. Osserviamo i seguenti limiti in = 0 della funzione g: ) sinh lim g) = lim lim 0 ± 0 0 ± e = π Allora g è una funzione continua a tratti e limitata, la discontinuità nell origine è di salto. Siccome g è integrabile in ogni intervallo limitato della retta reale, il dominio della funzione G è tutto R. Esercizio, Tema [5 punti] Si consideri la funzione: h, y) = a) Dire se h è continua nei punti Pȳ = 0, ȳ). { y cos ) ) 0, 0 = 0. b) Dire se esistono le derivate parziali di h nei punti Pȳ = 0, ȳ). Traccia di svolgimento. a) La funzione h, y) è della forma h, y) = r)sy) dove sy) = y è continua su R e anche r) = cos/) ) può essere definita in modo continuo su R, siccome lim 0 cos/) = 0 per il teorema del confronto. Concludiamo che h si può definire con continuità su R, e in particolare nei punti 0, ȳ). In alternativa, si poteva verificare la continuità di h in Pȳ = 0, ȳ) con la definizione: ) ) lim h, y) = lim y cos = 0 = h0, ȳ), 0,y ȳ 0,y ȳ poiché il polinomio y è infinitesimo per 0 e la parte cos ) ) è una funzione limitata. b) Siccome h è un prodotto di funzioni delle singole variabili, dove queste sono derivabili le derivate parziali di h si calcolano facilmente come y, y) = r)s y) = cos/) ) se s derivabile in y, cioè vale, y) R y, y) = r )sy) se r derivabile nella variabile, da vedere r è derivabile in 0 per le regole di derivazione di prodotto, composizione e quoziente. In = 0 non possiamo applicare invece la formula sopra perché la derivata r 0) non esiste: r) lim 0 = lim cos/) 0 Nei punti 0, ȳ) applichiamo allora la definizione di derivata parziale rispetto ad : h, ȳ) h0, ȳ) lim 0 0 ȳ cos ) = lim ) ) 0 0 0 = lim 0 0 ȳ cos ) ) = Concludiamo che la derivata parziale rispetto ad esiste solo nell insieme R \ {0, ȳ) : ȳ 0}, { 0 se ȳ = 0 se ȳ 0 5
ed in particolare la derivata parziale rispetto ad non esiste nei punti 0, ȳ) quando ȳ 0. In alternativa, poiché le derivate venivano chieste solo nei punti Pȳ = 0, ȳ), per calcolarle si poteva applicare direttamente la definizione, e scrivere semplicemente: h, ȳ) h0, ȳ) ȳ cos ) ) ) { 0, ȳ) = lim = lim ) ) 0 0 se ȳ = 0 = lim ȳ cos = 0 0 0 se ȳ 0 0 0 0 h0, ȳ + h) h0, ȳ) 0, ȳ) = lim = 0, y h 0 y h 0 poiché nel secondo limite il numeratore è identicamente nullo, infatti h0, ȳ + h) = h0, ȳ) = 0. 6