10 Modell d dspersone Smulare l comportamento d un nqunante, rlascato n atmosfera, sgnfca determnare l campo d concentraone da esso prodotto n qualunque punto dello spao e n qualunque stante successvo all emssone. Esstono sostanalmente due mod per smulare la dspersone d nqunant n atmosfera. Il prmo, e l punto d vsta Eulerano, nel quale s utlano coordnate fsse nello spao. In questa manera s determnano valor d concentraone n punt fss, rfert al sstema scelto, utlando l equaone d conservaone della massa della sostana rlascata. Il secondo utla coordnate che s muovono con le partcelle e vene detto Lagrangano. Questo vuol dre che le partcelle d nqunant possono essere trattate, da un punto d vsta dnamco, come partcelle d ara, qund soggette alle stesse fore, dotate della stessa denstà e caratterate nel loro moto dagl stess fenomen che caratterano l moto d partcelle d ara (trasporto, turbolena ecc..). Esstono var modell d questo tpo qual, nella maggorana de cas usano per descrvere l moto d partcelle n un campo turbolento l equaone d Langevn, gà vsta nel precedente captolo. Il pù dffuso d quest modell è quello svluppato da Thomson nel 1987. I modell Lagrangan Stocastc a partcelle Ne modell stocastc a partcelle s usa l equaone d Langevn per descrvere l evoluone temporale delle veloctà delle partcelle d nqunant rlascate n atmosfera, n condon turbolente. Perché questo possa essere fatto n manera corretta è necessaro, per quanto vsto nel captolo precedente, poter consderare le veloctà come un processo stocastco Marovano. Cò è vero, se s consderano veloctà separate temporalmente da un t maggore d τ n, tempo d scala d Kolmogorov crca uguale al tempo d correlaone delle acceleraon (10 - s), e mnore d T L, tempo Lagrangano d correlaone delle 1
veloctà (da poch second a qualche centnaa), allora l processo che lega queste veloctà è, n ottma approssmaone, un processo Marovano. In una dmensone l equaone d Langevn per le veloctà turbolente può essere scrtta come segue: du( t) = a(, u) dt b(, u) dw e sarà accoppata all equaone per lo spostamento d ( t) = u( t) dt dove dw rappresenta un processo d rumore banco (W(t) e un processo d Wener), con meda ero e varana dt, gà ntrodotto n precedena. b(,u) puo essere dervata dalla teora d Kolmogorov sull sotropa locale nell ntervallo nerale. Essa s basa su relaon d smlartà determnate n un partcolare ntervallo (subrange) dello spettro della turbolena. Come gà accennato, l energa meccanca s trasfersce da vortc pù grand a quell pù pccol, fno ad arrvare a vortc a pccolssma scala della turbolena atmosferca nel PBL che vengono dsspat n calore a causa della vscostà. All nterno d questa cascata energetca c è una parte d spettro dove vortc sono suffcentemente pccol da non rsentre degl effett d ansotropa ndott da vortc pù grand e suffcentemente grand da non essere dsspat n calore. Questa parte d spettro è chamata, appunto, ntervallo nerale. Questo ntervallo concde con l ntervallo d scale temporal defnto n precedena per la condone d Marovantà e n esso vale la relaone: b (, u) C = 0 ε Defnendo b(,u) n questo modo possamo rcavare a(,u) tramte la condone d well med condton. Quest ultma mplca che la funone denstà d probabltà (PDF) delle partcelle d nqunant dopo un certo perodo d tempo, raggunta una condone staonara, sa uguale a quella delle partcelle d ara. Sotto questa condone e sotto le condon d marovantà e contnutà a cu obbedscono le veloctà delle partcelle d ara s può,
come vsto nel captolo precedente, rcavare a(,u) a partre dall equaone d Foer- Planc. La well med condton mpone che la funone denstà d probabltà delle veloctà P(,u,t) delle partcelle sa uguale (abba ugual moment) a quella dell ara. Nel caso staonaro la P(,u,t) non dpende esplctamente dal tempo. D fondamentale mportana n questo modello la defnone della PDF n quanto a(,u) dpende esplctamente da questa scelta. In partcolare nel caso generale n cu tale dstrbuone sa non-gaussana (e qund s fa rfermento prncpalmente alla PDF delle veloctà vertcal), bsogna costrure degl algortm n grado d generare dstrbuon con un numero d moment non null superore a. 3
Ne modell a partcelle vengono smulate le traettore d un gran numero d partcelle (alcune mglaa) utlando l equaone d Langevn e qund se ne calcola l valor medo. Nella pratca la concentraone dell nqunante, emesso da una certa sorgente, n un dato punto del domno è dato dal numero d partcelle contenute n un volumetto ntorno al punto consderato dvso per l volume stesso. 4
Modell Euleran Rsolvono drettamente l equaone d avveone-dffusone per la concentraone c d nqunante, su una grgla trdmensonale (fgura) che ne defnsce l domno d calcolo: c t c c u = ν dove ν e la dffusvtà cnematca, n genere trascurable rspetto alla dspersone turbolenta, S e l termne d sorgente ed u la componente della veloctà. In questa S espressone s sottntende che l ndce assuma valor 1,,3 corrspondent alle coordnate spaal e termn così ottenut sano sommat. Ponendo u = u u' e c =< c> c' dove < c > e u sono valor med e u, c le fluttuaon ( ndca la generca componente, =1,,3). Trascurando l termne d dffusvtà molecolare, sosttuendo e medando s ottene: < c t > u < c > < c' u = ' > u s rcava dalle msure o da modell meteorologc, mentre l termne S 5
< c u ' > ' e da determnare tramte una chusura, s deve coè esprmere questa quanttà n funone delle varabl mede. Modello K Se come potes d chusura s assume la relaone flusso-gradente (qu scrtta per la componente vertcale): < c w' >= K < c> ' (*) con K costante d proporonaltà (postva) detta coeffcente d dffusone turbolenta. Questa espressone ndca che l flusso d concentraone < c 'w' > ha dreone opposta al gradente d concentraone n modo da trasportare la concentraone da one dove è maggore a one dove è mnore. Supponendo condon staonare e lontano dalla sorgente s ottene la seguente equaone, nota come Modello K : u < c> < c> < c> < c> < c> < c v w = K K K > S not che la precedente potes (eq. *) mette n relaone termn d crosscorrelaone delle fluttuaon della concentraone e della componente del vento con l gradente, lungo la dreone relatva a tale componente della concentraone meda, chudendo l equaone d avveone dffusone. S possono avere soluon analtche con K e u costant (modello Gaussano), o con K e u funon d potena d e soluon numerche. 6
7 Modello Gaussano La pu semplce soluone analtca dell equaone d dffusone e data dalla formula Gaussana ( ) ( ) = ),, ( e e H H e e e u Q C π
8 dove la concentraone C nel punto d coordnate,, e funone della quanttà Q d nqunante emesso per untà d tempo, del vento medo u, dell altea effettva; dell emssone H e. Le devaon standard nella dreone trasversale al vento medo () e nella dreone vertcale () sono funon della dstana sottovento dalla sorgente (): ) ( ) ; ( = = Per esempo s possono utlare le sgma d Pasqull-Gfford: 5 3 4 1 1 ) ( 1 ) ( = = I coeffcent d queste relaon dpendono dalla classe d stabltà secondo la tabella. Le devaon standard della Gaussana seguono andament del tpo d quell mostrat nelle fgure, rcavate da Pasqull.
Altre curve largamente utlate sono quelle rcavate da Brggs: 9
S not che nella formula Gaussana compare un doppo termne per la coordnata vertcale che s dfferena per l segno, n un termne la della quota sorgente vene sottratta mentre nell altro vene sommata. In questo modo s tene conto della rflessone al suolo del pennacch e del conseguente aumento nelle concentraon al suolo (s veda la fgura successva). 10