STATISTICA Esercitazione 6
Esercizio 1 Ad un esame universitario sono stati assegnati in modo casuale tre compiti diversi con i seguenti risultati: Compito A Compito B Compito C Numero studenti 41 39 43 Media dei voti 24 24,6 23 Varianza dei voti 12,25 14,44 10,80 1. In termini di voto medio, si può concludere che i tre compiti sono di pari difficoltà? Per rispondere si esegua un test con livello di significatività pari al 1%.
Soluzione 1 ANOVA: Analisi della varianza a 1 via (Paragrafo 5.7.2) Compito A Compito B Compito C Numero studenti = 41 = 39 = 43 Media dei voti = 24 = 24,6 = 23 Varianza dei voti 12,25 = 14,44 = = 10,80 Test Ipotesinulla H 0 : le medie dei voti dei tre compiti sono uguali =0 Ipotesialternativa H 1 : almeno una delle suddette medie è diversa >0 Si rifiuta H 0 se /() > (, ) /()
Soluzione 1 ANOVA: Analisi della varianza a 1 via (Paragrafo 5.7.2) Compito A Compito B Compito C Numero studenti = 41 = 39 = 43 n= 123 Media dei voti = 24 = 24,6 = 23 Varianza dei voti = 12,25 = 14,44 = 10,80 Statistica test : /() /() = 2,33/(4),33/(44) =2,12 = 1 " = 1!. = 1!!!! "! " = 41 24 23,84 +39 (0,76) +43 ( 0,84) 123 "! = 41 24+39 24,6+43 23 123! =23,84 /! = 41 12,25+39 14,44+43 10,80 123 =12,44 =0,44 Compito A, B, C 1 =3
Soluzione 1 ANOVA: Analisi della varianza a 1 via (Paragrafo 5.7.2) Compito A Compito B Compito C Numero studenti = 41 = 39 = 43 Media dei voti = 24 = 24,6 = 23 Varianza dei voti = 12,25 = 14,44 = 10,80 Statistica test: Valore di soglia /(1 1). /( 1) =2,12 (, ) (4, 44) (, 2) =2,2 =2,66 =4,79 Si rifiuta H 0 se /() > (, ) /(), ossia se 2,12> 4,79 FALSO Quindi non si rifiuta H 0 e posso ritenere i tre compiti di ugual difficoltà.
Esercizio 2 Si consideri un campione di 4 individui di cui si rileva l età (variabile X) e il numero di pulsazioni cardiache per minuto (variabile Y): x i 10 20 30 45 y i 200 195 180 163 Al fine di indagare se il numero di pulsazioni cardiache dipenda dall età: 1. rappresentare graficamente i dati 2. calcolare il coefficiente di correlazione lineare 3. determinare la retta di regressione 4. valutare la bontà della retta regressione stimata 5. prevedere l intervallo di confidenza al 90% del numero di pulsazioni cardiache per un individuo di 22 anni. 6. Si verifichi l ipotesi 7 2 :9=0 contro 7 :9 0 per livello ;=0.05
Soluzione 2 1. rappresentare graficamente i dati x i 10 20 30 45 y i 200 195 180 163 Grafico di dispersione
Soluzione 2 2. calcolare il coefficiente di correlazione lineare = > =?@? @ = 184,37 167,19 208,25 = A,BCC X e Y sono in correlazione lineare inversa x i 10 20 30 45 105 y i 200 195 180 163 738 x i 2 100 400 900 2025 3425 y i 2 40000 38025 32400 26569 136994 x i y i 2000 3900 5400 7335 18635 " =! "! E=! E! = 105 4 =26,25 = 738 4 =184,5? = "! " = 3425 4 26,25 =167,19 @ = E! E = 136994 184,5 =208,25 4?@ = 1 "! E! " E= 18635 26,25 184,5= 184,37 4!
Soluzione 2 3. determinare la retta di regressione 9X =?@? = 184,37 167,19 = 1,10 YZ=E 9X" =184,5 ( 1,10) 26,25=213,38 x i 10 20 30 45 105 y i 200 195 180 163 738 x i 2 100 400 900 2025 3425 y i 2 40000 38025 32400 26569 136994 x i y i 2000 3900 5400 7335 18635 " =! "! E=! E! La retta di regressione stimata è = 105 4 =26,25 = 738 4 =184,5? = "! " = 3425 4 26,25 =167,19 @ = E! E = 136994 184,5 =208,25 4?@ = 1 "! E! " E= 18635 26,25 184,5= 184,37 4! E=213,38 1,10"
Soluzione 2 3.Extra : Rappresentare la retta di regressione stimata Retta di regressione : E=213,38 1,10" Si tratta di calcolare due punti della retta e congiungerli: Primo punto = (10; 202,38) ( x =10 E=213,38 1,10 10=202,38 ) (",E) Secondo punto = = (26,25; 184,5) ( ilbaricentro ultime righe pag. 172 ) Nella figura: - primo e secondo punto (punti rossi) - retta di regressione (linea rossa)
Soluzione 2 4. valutare la bontà della retta regressione stimata Indice [ di bontà di adattamento della retta ai dati: [ =\?@ =( 0,9881) =0,9764 ] =A,B^_4 indica che la retta di regressione si adatta bene ai dati. RIPASSO [ varia tra 0 e 1 (da scarso a ottimo adattamento della retta ai dati) \?@ varia tra -1 e 1 (scarsa correlazione lineare vicino a 0, ottima correlazione lineare vicino a ±1)
Soluzione2 Calcolo di s 2 s 2 viene utilizzato per: - la verifica di ipotesi sul coefficiente b della retta di regressione - il calcolo dell intervallo di confidenza per la previsione Primomodo: s = 2 1 [ @ = 4 1 0,9764 208,25=9,85 4 2 Secondo modo: s = a e a n 2 =19,67 4 2 =9,835 (differenza nei risultati dovuta all approssimazione) x i 10 20 30 45 y i 200 195 180 163 >b c 202,38 191,38 180,38 163,88 d c => c >b c -2,38 3,62-0,38-0,88 0 (circa) d c 5,66 13,1 0,14 0,77 19,67
Soluzione 2 E=213,38 1,10" 5. prevedere l intervallo di confidenza al 90% per il numero di pulsazioni cardiache di un individuo di 22 anni. Già calcolati in precedenza : " =26,25 / =9,85? =167,19 Previsione di Y per "=22: Ee=213.38 1.10 22=189,18 2 Intervallo di confidenza per tale previsione al 95% : () EZ 2 g h/ / 1 +(" " 2)? 189,18 2,91999 9,85 1 4 +(26,25 22) 4 167,19 189,18 4,82 kl 90% : (184,36 ;194) 90% =0,90 ;=1 0,90=0,10 g h/ () =g 2,2/ (3) =g 2,6j () =2,91999
Soluzione2 6. Si verifichi l ipotesi 7 2 :9=0 rispetto a 7 :9 0 per livello ;=0.05 Si rifiuta H 0 se n o2 pb q >t / (r), ossia se 9,17 >4,30265 VERO!!! Si rifiuta H 0 per ;=0.05, quindi il valore stimato di b è significativamente diverso da zero σb n = r au s (x a x ) = / = 9,85? 4 167,19 =0,12 bx 0 = 1,10 0 σb n 0,12 =9,17 t / (r) =t 2.2j/ () = t 2,6wj () =4,30265
Esercizio 3 Data la retta di regressione E=1 3", qual è il valore previsto della variabile Y per "= 2? a) y=2 b) y=0 c) y=7 d) y=-5
Soluzione 3 Data la retta di regressione E=1 3", qual è il valore previsto della variabile Y per "= 2? a) y=2 b) y=0 c) y=7 d) y=-5 Infatti E=1 3 2 =1+6=7
Esercizio 4 Data la retta di regressione E= 2+", qual è l intervallo di confidenza al 90% per la previsione della variabile Y in "=4? a) IC(90%): (-0,5 ; 1,5) b) IC(90%): (0,5 ; 3,5) c) IC(90%): (3 ; 7) d) IC(90%): (10 ; 12)
Soluzione 4 Data la retta di regressione E= 2+", qual è l intervallo di confidenza al 90% per la previsione della variabile Y in "=4? a) IC(90%): (-0,5 ; 1,5) b) IC(90%): (0,5; 3,5) c) IC(90%): (3 ; 7) d) IC(90%): (10 ; 12) Il valore previsto in "=4 di Y è E= 2+4=2 Siccome il valore ottenuto E=2 è il punto medio di IC(90%), la risposta b) è la sola possibile.
Esercizio 5 Quale potrebbe essere il coefficiente di correlazione tra X e Y qualora si fosse stimata la seguente retta di regressione E=2 5"? a) \?@ =10 b) \?@ = 1,5 c) \?@ =0,9 d) \?@ = 0,5
Soluzione 5 Quale potrebbe essere il coefficiente di correlazione tra X e Y qualora si fosse stimata la seguente retta di regressione E=2 5"? a) \?@ =10 b) \?@ = 1,5 c) \?@ =0,9 d) = > = A,x Si escudono a) e b) in quanto \?@ varia tra -1 e +1 Si esclude anche c) in quanto 0,9 denota una relazione lineare diretta tra X e Y, mentre la retta di regressione stimata indica una relazione lineare inversa in quanto 9X = 5 è negativo. L unico valore plausibile e indicato in d).
Esercizio 6 Gli addetti alla sicurezza dell aeroporto di Malpensa, sottoposti ad un test, sono stati in grado di scoprire solo 72 delle 100 armi indossate da ispettori in incognito. Si verifichi che il tasso riscontrato sia uguale a quello medio nazionale, pari all 80%, contro l alternativa che sia inferiore. Si assuma ;=0,01. DATI: esperimento di Bernoulli y 1,y 2,,y 100 ~ }~ n=100 TEST 7 2 : =0,80 7 : <0,80 = } ~ / }// = 72 100 =0,72 ;=0,01
Soluzione 6 DATI: esperimento di Bernoulli y 1,y 2,,y 100 ~ }~ n=100 = } ~ / }// = 72 100 =0,72 TEST 7 2 : =0,80 7 : <0,80 ;=0,01 Rifiuto 7 2 se 2 2 (1 2 )/ < ˆh, ossia se 2< 2,33 FALSO!!! 2 2 (1 2 )/ = 0,72 0,80 0,80(1 0,80)/100 = 2 ˆh = ˆ2,2 = ˆ2,66 = 2,33 NON rifiuto l ipotesi nulla Si può ritenere Malpensa in linea con gli altri aeroporti nazionali per quanto riguarda i controlli di sicurezza
Esercizio 6 bis Gli addetti alla sicurezza dell aeroporto di Malpensa, sottoposti ad un test, sono stati in grado di scoprire solo 72 delle 100 armi indossate da ispettori in incognito. Calcolare l intervallo di confidenza a livello 90% per la vera proporzione di armi scoperte durante i controlli. DATI: esperimento di Bernoulli y 1,y 2,,y 100 ~ }~ n=100 = } ~ / }// = 72 100 =0,72 90%=0,90 ;=1 0,90=0,10
Soluzione 6 bis DATI: esperimento di Bernoulli y 1,y 2,,y 100 ~ }~ n=100 ;=1 0,90=0,10 = } ~ / }// = 72 100 =0,72 ˆ h =ˆ 2,2 =ˆ2,6j =1,64 ˆ h 1 0,72 1,64 0,72 1 0,72 100 0,72 0,07 kl 90% =( 0,65 ; 0,79 )
Esercizio 7 Il tempo (in giorni) di degenza ospedaliera per il trattamento di una certa malattia si distribuisce normalmente con media incognita e deviazione standard 2,1. Su un campione di n=30 pazienti, si è riscontrato un tempo medio di degenza di 7,3. Posto ;=0,05, si esegua il test 7 2 : =7 contro l alternativa 7 : >7. DATI: y 1,y 2,,y 30 ~ Š ; =2,1 n=30 " =7,3 TEST 7 2 : =7 7 : >7 ;=0,05
Soluzione 7 DATI: y 1,y 2,,y 30 ~ Š ; =2,1 n=30 " =7,3 TEST 7 2 : =7 7 : >7 ;=0,05 Rifiuto 7 2 se " 2 / >ˆh, ossia se 0,78>1,64 FALSO!!! " 2 / = 7,3 7 2,1/ 30 =0,78 ˆh =ˆ2,2j =ˆ2,6j =1,64 NON rifiuto l ipotesi nulla In base al test, si ritiene che il numero medio di giorni di degenza sia 7 giorni
Soluzione 7 con il p-value DATI: y 1,y 2,,y 30 ~ Š ; =2,1 n=30 " =7,3 TEST 7 2 : =7 7 : >7 ;=0,05 Come prima, si calcola la statistica test " 2 / = 7,3 7 2,1/ 30 =0,78 Sulla tavola della normale : Y }=1 Φ 0,78 =1 0,78230=0,21770 NON rifiuto 7 2 in quanto p-value> ;,ossia 0,21770 > 0,05
Esercizio 7 bis Il tempo (in giorni) di degenza ospedaliera per il trattamento di una certa malattia si distribuisce normalmente con media incognita e deviazione standard 2,1. Su un campione di n=30 pazienti, si è riscontrato un tempo medio di degenza di 7,3. Trovare l intervallo di confidenza a livello 99% per il tempo medio di degenza. DATI: y 1,y 2,,y 30 ~ Š ; =2,1 n=30 " =7,3 99%=0,99 ;=1 0,99=0,01
Soluzione 7 bis DATI: ;=1 0,99=0,01 y 1,y 2,,y 30 ~ Š ; =2,1 n=30 " =7,3 ˆ h =ˆ 2,2 =ˆ2,66j =2,58 " ˆ h 7,3 2,58 2,1 30 7,3 0,99 kl 99% =( 6,31 ;8,29 )
Esercizio 8 Un botanico misura la lunghezza (in centimetri) di 16 foglie di camelia in un area altamente inquinata e ottiene una lunghezza media pari a 15 con deviazione standard 2. Si supponga il campione estratto da una popolazione Gaussiana. I libri di botanica riportano che le foglie di camelia sono lunghe mediamente 10 cm. A livello 5% sottoporre a verifica l ipotesi nulla che la lunghezza media delle foglie sia 10 contro l alternativa che sia diversa da 10. DATI: y 1,y 2,,y 15 ~ Š, n=16 " =15 /=2 / =4 TEST 7 2 : =10 7 : 10 ;=0,05
Soluzione 8 DATI: y 1,y 2,,y 15 ~ Š, n=16 " =15 /=2 / =4 TEST 7 2 : =10 7 : 10 ;=0,05 Rifiuto 7 2 se " 2 () // >g h, ossia se 10 >2,13145 VERO!!! " 2 // =15 10 2/ 16 =10 () ( ) g h/=g2,2j/ (j) =g 2,6wj=2,13145 Rifiuto l ipotesi nulla Le foglie di camelia nella zona inquinata hanno lunghezza diversa dall usuale.
Esercizio 8 bis Un botanico misura la lunghezza (in centimetri) di 16 foglie di camelia in un area altamente inquinata e ottiene una lunghezza media pari a 15 con deviazione standard 2. Si supponga il campione estratto da una popolazione Gaussiana. Si costruisca l intervallo di confidenza al 95% per la lunghezza medie delle foglie di camelia. DATI: y 1,y 2,,y 15 ~ Š, n=16 " =15 /=2 / =4 95%=0,95 ;=1 0,95=0,05
Soluzione 8 bis DATI: ;=1 0,95=0,05 y 1,y 2,,y 15 ~ Š, n=16 " =15 /=2 / =4 () ( ) g h/=g2,2j/ (j) =g 2,6wj=2,13145 () / " g h/ 15 2,13145 2 16 15 1,07 kl 95% =( 13,93 ;16,07 )