. I DEL PINO Le grndezze slri e le grndezze ettorili Esistono grndezze determinte dl nmero he le misr rispetto n prefisst nità, ome per esempio l lnghezz, l re, il olme, il tempo. Qeste grndezze sono dette grndezze slri. ltre grndezze, ome per esempio lo spostmento e l eloità, sono rppresentte d n nmero, n direzione e n erso. Tli grndezze engono himte grndezze ettorili e engono desritte medinte ettori. Segmenti orientti e ettori Un segmento pò essere perorso in de modi: d erso oppre d erso. Nel primo so, lo indihimo on e diimo he è il primo estremo e il seondo estremo; nell ltro so, indihimo il segmento on e diimo he è il primo estremo e il seondo estremo. In generle, n segmento orientto è rtterizzto dll lnghezz del segmento, dll direzione dell rett e d n erso, ossi dl senso di perorrenz dl primo estremo l seondo estremo. direzione erso Figr Il erso di n segmento pò essere indito medinte l pnt di n frei. lnghezz De segmenti orientti EF e GH hnno erso opposto, o ontrrio, se hnno l stess direzione m non lo stesso erso. E F DEFINIZIONE Segmenti eqipollenti De segmenti orientti e CD si diono eqipollenti, e sriimo = CD, se hnno: l stess lnghezz, ioè sono ongrenti; l stess direzione, ioè pprtengono rette prllele; lo stesso erso. H G Indihimo on S l insieme dei segmenti orientti del pino. Nell insieme S l eqipollenz è n relzione di eqilenz perhé gode delle proprietà riflessi (ogni segmento orientto è eqipollente se stesso), simmetri (se MN è eqipollente PQ, llor PQ è eqipollente MN ) e trnsiti (se MN è eqipollente PQ e PQ è eqipollente RS, llor MN è eqipollente RS ). Qindi, l relzione di eqipollenz inde in S n prtizione in lssi di eqilenz. Dt n relzione di eqilenz s n insieme S, preso n elemento! S, l lsse di eqilenz di è l insieme di ttti gli elementi di S he sono in relzione on. Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi
DEFINIZIONE Vettore Si him ettore liero, o sempliemente ettore, ogni lsse di eqilenz relti ll relzione di eqipollenz fr segmenti orientti. ettore Indihimo on V l insieme dei ettori lieri del pino. Figr Ogni segmento orientto è eqipollente infiniti ltri segmenti. L insieme dei segmenti fr loro eqipollenti è n ettore. D E F H C G Figr 3, CD, EF e GH sono segmenti orientti eqipollenti, ioè rppresentnti dello stesso ettore: isno di essi è n ettore pplito. Per indire n ettore liero simo n letter minsol sormontt d n frei (,,, f ), oppre no dei segmenti orientti (, CD, f ). Ogni segmento orientto pprtenente n medesim lsse di eqilenz è, inftti, n prtiolre rppresentnte di qell lsse, ioè del ettore, e si die ettore pplito. Il primo estremo di n ettore pplito si him pnto di pplizione. Un ettore è rtterizzto d: il modlo, ossi l misr dell lnghezz del segmento rispetto n nità prefisst; l direzione, ioè l direzione dell rett i pprtiene il segmento; il erso. Il modlo di n ettore si indi on no dei segenti simoli: ; ;. ersore Figr 4 = 3. 0 Per esempio, il ettore dell figr 4 h modlo 3 rispetto ll nità. Sriimo = 3 oppre = 3 o nhe = 3. Si him ersore del ettore n ettore di modlo nitrio on l stess direzione e erso di. Si him ettore nllo l lsse di eqilenz dei segmenti on estremi oinidenti. L s direzione e il so erso sono indeterminti. Esso si rppresent medinte n pnto e si indi on 0 oppre on 0. Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi
Dto n ettore =, si him ettore opposto di, e si indi on -, il ettore ente lo stesso modlo e l stess lnghezz e direzione m erso opposto di, ioè l lsse di eqilenz del segmento orientto. Prime operzioni on i ettori = = ddizione di ettori Dti de ettori e, l loro somm s = + è n ettore he si ottiene nel modo desritto di segito; rppresentimo on il segmento e on il segmento C onsetio l primo. Se i ettori e hnno l stess direzione e erso (figr 5), il ettore somm s h l stess direzione e lo stesso erso di e e modlo gle ll somm dei modli. Se i ettori e hnno l stess direzione m erso opposto (figr 5), il ettore somm s h l stess direzione di e, erso gle qello del ettore on modlo mggiore e modlo pri ll differenz dei modli. Diimo he de segmenti orientti sono onsetii qndo il seondo estremo del primo segmento oinide on il primo estremo del seondo segmento. Se i ettori e hnno direzioni dierse (figr 5), il ettore somm s è rppresentto dl segmento C he h lnghezz e direzione del terzo lto del tringolo indiidto di ettori e (regol del tringolo). È eqilente onsiderre l digonle C del prllelogrmm determinto di de rppresentnti di e D di ppliti entrmi in (regol del prllelogrmm) (figr 5d ). C C s = + s = + s = + C D C s = +. Somm di de ettori e enti stess direzione e stesso erso.. Somm di de ettori e enti stess direzione e erso opposto.. Somm di de ettori e enti direzioni dierse, medinte l regol del tringolo. d. Somm di de ettori e enti direzioni dierse, medinte l regol del prllelogrmm. Rissmendo, possimo dre l segente definizione. Figr 5 DEFINIZIONE Somm di de ettori Il ettore somm s di de ettori e è rppresentto d n segmento orientto he si ottiene rffigrndo onsetimente i ettori dti e onsiderndo ome primo estremo il primo estremo di e ome seondo il seondo estremo di. s = + C Il ettore somm s si him nhe risltnte. Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi 3
ESEMPIO Troimo il ettore somm dei de ettori e dell figr, enti i modli = 48 e = 0 (figr 6). C C D C D 60 + 60 + 60 H Figr 6 Considerimo i il prllelogrmm l formto di de ettori (figr 6). Clolimo il modlo di D. Considerimo l proiezione H del pnto D sll rett (figr 6). Nel tringolo rettngolo DH, poihé D = 0 e DH V = 60 o, si h H = 0 e DH = 0 3. pplihimo il teorem di Pitgor l tringolo HD: - D = H + HD = 58 + ( 0 3) = 3664 60, 5. Il teorem di Crnot o del oseno fferm he in n tringolo il qdrto dell misr di n lto è gle ll somm dei qdrti delle misre e degli ltri de lti, diminit del doppio prodotto delle misre di qesti de lti per il oseno dell ngolo he essi formno: = + - $ os. In generle, per lolre il modlo dell somm di de ettori e si ppli il teorem del oseno. Osserndo l figr 7, imo s = + - $ $ os, ed essendo = r -, e qindi os = - os, ottenimo: s = + + $ $ os. α s β Figr 7 s = + Il simolo 6 signifi per ogni. L operzione he de ettori ssoi l loro somm si die ddizione. Si pò dimostrre he l ddizione di ettori gode delle segenti proprietà: proprietà ommtti: + = +, 6,! V; proprietà ssoiti: ( + ) + w = + ( + w), 6,, w! V; il ettore nllo 0 è l elemento netro: + 0 = 0 + =, 6! V; per ogni! V esiste il ettore opposto - : + (- ) = (- ) + = 0. 4 Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi
Dti tre o più ettori,, w, f, l loro somm si ottiene sommndo i primi de e poi sommndo l ettore ottento + il terzo w e osì i. Grfimente il ettore risltnte si ottiene riportndo di segito, prtire d n pnto, i segmenti orientti he rppresentno i ettori d sommre (figr 8). w s = + + w w Figr 8 Si ottiene n poligonle l il i lto he onginge on l ltimo lti estremo dell poligonle rppresent il ettore somm. Sottrzione di ettori L esistenz dell opposto di n qlsisi ettore permette di definire l differenz di de ettori riondendol n somm. DEFINIZIONE Differenz di de ettori Si him differenz di de ettori, selti in n dto ordine, l somm del primo on l opposto del seondo. d = L operzione he de ettori ssoi l loro differenz si die sottrzione. Moltiplizione di n ettore per no slre Dto n ettore, possimo determinre i ettori 3, -, f, medinte ddizioni ripette. Per esempio: 3 = + +, - =- + (- ). In generle le l segente definizione. 3. Moltiplizione del ettore per lo slre 3.. Moltiplizione del ettore per lo slre. Figr 9 DEFINIZIONE Prodotto di n ettore per no slre Dto n ettore e n nmero rele k, si him prodotto di k per il ettore k $ he h l stess direzione di, modlo gle l prodotto del lore ssolto di k per il modlo di e lo stesso erso di se k 0, erso opposto se k 0. L operzione he h ome risltto qesto prodotto iene dett moltiplizione di n ettore per no slre. Si pò dimostrre he gode delle segenti proprietà: proprietà distriti rispetto ll ddizione dei nmeri reli: ( k+ p) $ = k$ + p$, 6k, p! R e 6! V; Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi 5
Per sempliità, tilizzimo per le operzioni fr ettori gli stessi simoli di qelle fr nmeri reli. Tli simoli ssmono qindi signifito dierso seond del ontesto in i sono sti. Per esempio, il segno + fr de nmeri reli denot l ddizione dei de nmeri, il segno + fr ettori indi l ddizione di ettori. proprietà distriti rispetto ll ddizione dei ettori: k$ ( + ) = k$ + k$, 6k! R e 6,! V; proprietà ssoiti mist: kp ( $ ) = ( kp) $, 6k, p! R e 6! V; il nmero è l elemento netro: $ = $ =, 6! V. L somposizione di n ettore Considerimo il ettore e le semirette O e O dell figr 0. C O O Figr 0 O Dll estremo C di trimo le prllele l O e O (figr 0) e ottenimo i pnti e, he indiidno i segmenti orientti O e O, ioè i ettori e, he hnno ome somm. In generle, dti n ettore e de direzioni r e s, si pò somporre in de ettori he hnno direzioni r e s e per somm. In prtiolre, se onsiderimo gli ssi rtesini, possimo somporre n ettore in de ettori e enti le direzioni dell sse e dell sse.. I LINERMENTE DIPENDENTI E INDIPENDENTI Figr L ominzione linere Considerimo i ettori,, 3 dell figr e i nmeri reli, 3, -. Determinimo il risltto (figr ) dell segente espressione: + 3-3. 3 3 3 6 Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi
Il ettore ottento è detto ominzione linere dei ettori,, 3 di oeffiienti, 3, -. Cmindo l tern di nmeri reli o il loro ordine, ottenimo differenti ominzioni lineri dei ettori dti. In generle, dimo l segente definizione. DEFINIZIONE Cominzione linere Si die he il ettore è ominzione linere dei ettori,, f, n, non ttti nlli, se rislt = + + f + nn, doe i oeffiienti,, f, n sono nmeri reli. Un ominzione linere di ettori on oeffiienti ttti nlli h per risltto il ettore nllo. Qesto pò dere nhe se i oeffiienti non sono ttti nlli. Per esempio, on i ettori onsiderti prim, segliendo i oeffiienti, -, -, 3 ottenimo il ettore nllo. In qesto so i ettori,, 3 si diono linermente dipendenti. In generle, dimo l segente definizione. O 3 3 DEFINIZIONE Vettori linermente dipendenti I ettori,, f, n sono linermente dipendenti se esistono n nmeri reli,, f, n non ttti nlli tli he: + + + = 0. f n n Considerimo or de ettori del pino e, enti direzioni dierse (figr ). Qlsisi ominzione linere + dei de ettori on oeffiienti non ttti nlli non dà mi il ettore nllo, perhé l somm di e l rire di e è sempre rppresentt dll digonle del prllelogrmm formto di de ettori. Tle digonle pò essere nll solo se = = 0. I de ettori e si diono linermente indipendenti. DEFINIZIONE Vettori linermente indipendenti I ettori,, f, n sono linermente indipendenti se l ni ominzione linere di qesti ettori he h ome risltto il ettore nllo è qell on i oeffiienti ttti nlli. Se de ettori del pino e sono prlleli, llor sono linermente dipendenti. Inftti, se ', si pò sriere: = k " - k = 0. Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi 7
3 Vieers, se de ettori sono linermente dipendenti, llor sono prlleli. Si pò dimostrre he nel pino il nmero mssimo di ettori linermente indipendenti è de, mentre nello spzio è tre. Se de ettori e del pino sono linermente indipendenti, llor ogni ltro ettore del pino si pò sriere ome n ominzione linere di e. Diimo llor he e sono n se del pino. ESEMPIO I ettori dell figr, poihé non sono prlleli, ostitisono n se del pino. Ogni ettore del pino si pò ottenere ome ominzione linere di e. Per esempio, il ettore nell figr si ottiene on l somm - +. 3 In prtiolre, nel pino rtesino, de ettori e on le direzioni degli ssi rtesini ostitisono n se. nlogmente, per lo spzio, tre ettori non omplnri,, z, on le direzioni degli ssi rtesini, ostitisono n se. 3. IL PRODOTTO SCLRE E IL PRODOTTO LE Il prodotto slre Considerimo de ettori e non nlli e si l ngolo he essi formno. O = 3 = 4 0 DEFINIZIONE Prodotto slre Il prodotto slre di de ettori e è il nmero os. Si indi on $. ESEMPIO Il prodotto slre dei de ettori dell figr preedente è: $ = os 0 o = 3 $ 4 $ - l =-6. Il prodotto slre di de ettori e non nlli pò essere positio, negtio o nllo seond dell ngolo he essi formno. In prtiolre: $ = 0 se = 90 o e ieers. Possimo llor sriere l segente ondizione di perpendiolrità. De ettori e non nlli sono perpendiolri se e solo se il loro prodotto slre è nllo: = + $ = 0. 8 Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi
Se de ettori e sono prlleli, si h = 0 o, qindi os = e il prodotto slre rislt: $ =. Per il prodotto slre lgono le segenti proprietà: $ = $, proprietà ommtti; ( + ) $ = $ + $, proprietà distriti. Il prodotto ettorile Considerimo de ettori e non nlli he formno n ngolo. DEFINIZIONE Prodotto ettorile Il prodotto ettorile di de ettori e è il ettore he h: modlo gle d sen ; direzione perpendiolre l pino indiidto di de ettori; erso dto dll regol dell mno destr, illstrt nell figr. Si indi on #. Il prodotto ettorile non gode dell proprietà ommtti, #! #, m gode dell proprietà distriti: # ( + ) = # + #. Per il prodotto ettorile si h: # =- #. Se de ettori sono prlleli, il loro prodotto ettorile è nllo: se ', llor # = 0. In prtiolre, # = 0. 4. L RPPRESENTZIONE CRTESIN DEI I ettori nel pino Le omponenti rtesine Considerimo il pino rtesino O e disegnimo n ettore he prte dll origine. Indihimo on i il ersore ente l direzione e il erso dell sse e on j il ersore ente l direzione e il erso dell sse. j O i P Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi 9
Se dl pnto P mndimo le prllele gli ssi rtesini, ottenimo i pnti e he indiidno i segmenti orientti O e O. Se i modli di O e O sono rispettimente e, possimo sriere: O = i e O = j. Rissmendo, se somponimo il ettore lngo gli ssi rtesini, ottenimo: I ersori i e j sono n se per il pino rtesino. Ogni ettore pò inftti essere sritto ome ominzione linere dei de ersori, seondo le se omponenti rtesine. 5 = i+ j. e sono le omponenti rtesine del ettore. Per identifire il ettore on le se omponenti rtesine sriimo nhe = ( ; ). ESEMPIO I ettori = ( ; - ) e = (- 35 ; ) nel pino rtesino hnno l rppresentzione dell figr lto. In prtiolre, per i ersori i e j: i ( 0 ; ) e j( 0. ; ) 3 O Il modlo e l direzione Se onsiderimo il ettore = ( 3 ; ), possimo trore il so modlo pplindo il teorem di Pitgor l tringolo OPH: = OH + PH = 4+ 9 = 3. P Possimo nhe determinre l ngolo he il ettore form on l direzione positi dell sse, riordndo le relzioni lide in n tringolo rettngolo, OH = OP os e PH = OP sen, O α H e ioè d i: = 3os e 3 = 3sen, 3 os = e sen =. 3 3 Con l loltrie, sndo il tsto sin - o il tsto os -, ottenimo - 56, 3. In generle, dto n ettore = ( ; ), il modlo di è = +, mentre l ngolo he form on l direzione positi dell sse si ottiene on le formle: os = e sen =. Risriimo tli formle e ottenimo le omponenti rtesine di in fnzione del modlo e dell ngolo on l direzione positi dell sse : = os e = sen. 0 Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi
Considerimo = ( ; ) e = ( ; ) ed esprimimo medinte le omponenti rtesine i risltti delle operzioni on i ettori. Somm + = ( i+ j) + ( i+ j) = Qindi: = ( + ) i+ ( + ) j. + = ( + ; + ). ESEMPIO Dti i ettori = (- 4 ; ) e = ( ; - ), il ettore somm s è: s = + = (- 4+ ; - ) = (- ; ). Differenz - = + (- ) = i+ j+ (- i- j) = Qindi: = ( - ) i+ ( - ) j. - = ( - ; - ). ESEMPIO Dti i ettori = (- 3; ) e = ( 5; - 8), il ettore differenz d è: - = (- 3-5; + 8) = (-8; 0). Prodotto di n ettore per no slre Dti il ettore = ( ; ) e lo slre k, si h: Qindi: k = k( i+ j) = k i+ k j. k = ( k ; k ). ESEMPIO Dto il ettore = ; - l, si h: -8 = -8$ ; -8$ - lm = (-6; 4). Prodotto slre $ = ( i+ j) $ ( i+ j) = = i$ i+ i$ j+ j$ i+ j$ j. pplihimo l proprietà distriti. Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi
Poihé: i$ i =, j$ j = perhé ettori prlleli di modlo, i$ j = 0 perhé ettori perpendiolri, llor il prodotto slre di e dient: $ = +. ESEMPIO Dti i ettori = ( ; - 3) e = ( 5; - ), il prodotto slre è: $ = $ 5 + (-3) $ (- ) = 0+ 3 = 3. È possiile determinre l ngolo formto d de ettori = ( ; ) e = ( ; ) onsiderndo he: $ $ = os " os =. Essendo $ = + : os = +. ESEMPIO Troimo l ngolo formto di ettori = ( ; ) e = ( 3; - ). Clolimo = + 4 = 5 e = 9 + = 0 ; Qindi: $ 3+ ( - ) 3- os = = =. 5 $ 0 5 5 Con l loltrie, si ottiene - 8 o. Figr Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi
LORTORIO DI MTEMTIC I CON DERIVE ESERCITZIONE GUIDT Con Derie lolimo le omponenti p e q dei ettori = ( p; - ) e = (; q) del pino in modo he l espressione + ( - ) lg r = (-3; - ). Le oordinte p e q Dimo Cre_Espressione e sriimo nell rig di editzione l definizione del ettore, = [p, -], e on INVIO l immettimo nell # (figr ). Operimo in modo simile per l definizione del ettore, sriendo = [, q] e immettendol nell #. Sriimo r = [-3, -], l definizione di r, e l inserimo nell #3. Digitimo l espressione + /*( - ) = r e l ponimo nell #4. pplihimo sll #4 il omndo Risoli_Espressione e simo dll orrispondente finestr di dilogo on n li s Risoli, ottenendo l impostzione dell solzione nell #5 e l solzione medesim nell #6. Figr Eseritzioni I ettori e del pino formno n ngolo onesso, i loro modli sono = 5 e = 8. Il ettore è gle h + e form on l ngolo onesso. Con Derie determin le grndezze rihieste nei segenti eserizi ttrerso i dti ssegnti e poi tri il grfio dei ettori,, h e. Dti l ngolo = r e lo slre h = 3, tro il modlo e l ngolo. [ = 3 e = 0,56] 3 Dti il modlo = 0 e l ngolo = r, lol lo slre h e l ngolo. 3 [h = 4,55 e = 0,3537; h = -,95 e = - 0,3537] 3 Dti il modlo = 0 e l ngolo = r, lol lo slre h e l ngolo. 9 [h =,9 e =,056 0 h = -,93 e =,59] Dti i ettori = ( ; - 3), = ( k; - 4) e w = ( 5; h), determin h e k in modo he lgno le segenti gglinze. Verifi grfimente i risltti. 4 + + w = ( 3 ; ) [h = 0 e k = - 4] 5 + ( - w) = ( ; - 0) [h = 0 e k = 7] 6 3-w- = (- ; 9) [h = - 9 e k = 3] Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi 5
. I DEL PINO Teori pg. VERO O FLSO? ) Il ettore - 4 h modlo - 4. V F ) Se de ettori hnno lo stesso ersore, llor hnno l stess direzione e lo stesso erso. V F ) Se de segmenti orientti hnno l stess lnghezz, sono eqipollenti. V F 4 5 d) Il ettore opposto di è. V F 5 4 e) Ogni pnto del pino rppresent il ettore nllo. V F Indi qle o qli tr le segenti grndezze è rppresentt d n ettore: tempertr, mss, forz, età, re, olme. 3 Dto il ersore, indi modlo, direzione e erso di - 5. 4 Rppresent n ettore to piimento e i segenti ettori: 3 ; - ; - 4;. Le operzioni on i ettori ddizione di ettori Tri il ettore somm dei ettori disegnti nelle figre. 5 6 7 Dti i ettori e, enti modlo = 6, =, rppresent il ettore somm e determin il so modlo nel so he l ngolo d essi formto si: ) 90 o ; ) 80 o ; ) 0 o ; d) 60 o. [) 0; ) 4; ) 8; d) - 4, 3] 8 Se de ettori e onsetii e il loro ettore somm hnno lo stesso modlo, gle 0, qnto le l ngolo formto d e? [0 o ] 6 Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi
9 ESERCIZIO GUID Disegnimo l somm s dei de ettori dell figr e lolimo il modlo di s. s 7 = 8 = 6 Il ettore s = + è l digonle del prllelogrmm formto d e. Il modlo di s si ottiene on il teorem del oseno: s = + + os 7 o. Sostitimo i lori di e e lolimo: o s = 64 + 36 + $ 8 $ 6 os7-00 + 96 $ 0, 3 = 8, 8 -, 3. Disegn il ettore somm s dei de ettori e di i è ssegnto il modlo e l ngolo he formno. Clol il modlo di s. 0 = 3, = 5, = 0 o. [ s - 44, ] = 4, =, = 50 o. [ s - 88, ] = 0, = 6, = 80 o. [ s -, 5] 3 =, = 9, = 90 o. [ s - 5] 4 = 5, = 8, = 05 o. [ s - 5, ] Tro grfimente il ettore somm dei ettori inditi. 5 7 d 6 8 Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi 7
Sottrzione di ettori 9 Disegn i ettori opposti dei ettori inditi. d 0 Tri il ettore differenz - dei ettori e disegnti in figr. Se l somm e l differenz di de ettori hnno lo stesso modlo, qnto misr l ngolo tr i de ettori? [90 o ] Moltiplizione di n ettore per no slre Disegn n ettore e rppresent poi i ettori: -,, 3. 4 3 I ettori e, on modlo = 8 e = 6, formno n ngolo di 90 o. Determin il modlo dei ettori: - ; ( + 3 ) ; -3(- + 4 ). [- 4, 4; - 98, ;- 865, ] 4 Disegn de ettori e e erifi le proprietà: k ( + ) = k+ k, on k = 3; ( + ) = +, on = 4 e =-. L somposizione di n ettore 5 Somponi il ettore lngo le de direzioni ssegnte. d 8 Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi
. I LINERMENTE DIPENDENTI Teori pg. 6 E INDIPENDENTI 6 Srii l ominzione linere dei ettori,, 3 seondo i nmeri -, 4,. : - 4 + + 3D 7 VERO O FLSO? ) De ettori linermente dipendenti hnno ome somm il ettore nllo. V F ) De ettori he hnno ome somm il ettore nllo sono linermente dipendenti. V F ) De ettori perpendiolri tr loro sono linermente indipendenti. V F d) I ettori 3 e - sono linermente dipendenti. V F 8 VERO O FLSO? ) Nel pino, de ettori qlsisi ostitisono n se. V F ) Nello spzio, i ersori enti le direzioni degli ssi rtesini formno n se. V F ) Un se del pino è n oppi di ettori he gener ttti i ettori del pino. V F d) De ettori on direzioni he formno fr loro n ngolo di 45 o ostitisono n se del pino. V F 9 Dti i ettori e dell figr, indi qle loro ominzione linere permette di ottenere il ettore. 30 Dti i ettori dell figr, rppresent il ettore, ominzione linere di oeffiienti -, -, 3. Determin il modlo di. 3 [5] 3. IL PRODOTTO SCLRE Teori pg. 8 E IL PRODOTTO LE 3 VERO O FLSO? ) Se de ettori sono perpendiolri, il prodotto slre è nllo. V F ) Il prodotto slre di de ettori è n ettore. V F ) Se de ettori opposti hnno lo stesso modlo, il prodotto slre è nllo. V F d) Se il prodotto slre di de ettori è nllo, i ettori hnno l stess direzione. V F Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi 9
3 VERO O FLSO? ) Se de ettori sono perpendiolri, il loro prodotto ettorile è nllo. V F ) # = #. V F ) Il risltto di ( # ) $ è n nmero. V F d) Se il prodotto ettorile di de ettori è nllo, i ettori hnno l stess direzione e erso. V F 33 Consider i ettori dell figr, he si trono nel pino. Determin $ e #. α 60 = = 3 O [3; # = 3 3] 34 Clol il prodotto slre e il prodotto ettorile dei ettori e he hnno = 9 e = 5 e he formno n ngolo di 30 o. ; 35 3 35 ; # = E 35 Dti i ettori e, on = 6 e = 8, lol $, spendo he l ngolo fr essi ompreso è: ) 0 o ; ) 80 o ; ) 90 o ; d) 60 o. [ ) 48; ) - 48; ) 0; d) 4] 36 Dti i ettori e, on = 0 e = 6, lol #, spendo he l ngolo fr essi ompreso è: ) 90 o ; ) 0 o ; ) 45 o ; d) 30 o. [ # : ) 60; ) 0; ) 30 ; d) 30] 37 Clol $ e #, spendo he = 6. [ 36; 0] I ettori e, on = 4 e =, formno n ngolo di 60 o. Clol le segenti espressioni. 38 (- ) $ ; ( ) # ; ( # ) $. [- 4; # = 48 3; 0] 39 $ 3; ( # ) $ ( # ) ; $ ( # ). [ 7; -78; 0] 40 I ettori e, di modli = 3 e = 8, hnno prodotto slre -. Determin l ngolo formto di ettori. [0 o ] 4 Il prodotto slre dei ettori e w, he formno n ngolo di 50 o, è - 90. Spendo he il modlo di è 0, tro il modlo di w. [ 6 3] 4 Spieg perhé il prodotto ettorile di de ettori h modlo gle ll re del prllelogrmm he h per lti i de ettori. 43 Dimostr he per ogni ettore è ero he $ = e # = 0. 0 Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi
4. L RPPRESENTZIONE CRTESIN Teori pg. 9 DEI I ettori nel pino 44 Rppresent i ettori = (- 4 ; ), = (-3; - ), = ( 86, ) nel pino rtesino. 45 ESERCIZIO GUID Dto il ettore = (- 6; ), determinimo il modlo e l direzione di. Rppresentimo nel pino rtesino e lolimo il modlo on l forml = + : = 36 + 4 = 40 = 0. Determinimo l direzione di lolndo l ngolo he form on l direzione positi dell sse. α Utilizzimo le formle: 6 O os = e sen =. Ottenimo: 6 3 os =- =-. 0 0 Con l fnzione os - dell loltrie, ottenimo - 6 o. Osserimo he, tilizzndo l forml del seno, imo sen = =, 0 0 e on l fnzione sen - dell loltrie ottenimo il lore dell ngolo, on seno he le per ottenere doimo lolre: = 80 o -., del primo qdrnte; 0 6 O α α Tro il modlo e l direzione dei segenti ettori. 46 = ( 34 ; ); = (- 55 ; ); = ( 4 ; ). [ = 5, - 53 o ; = 5, = 35 o ; = 5, - 63 o ] 47 = (- 3 3 ; 3) ; = ( 4; - 5) ; = ( 96 ; ). [ = 6, = 50 o ; = 6, 4, -309 o ; = 0, 8, -34 o ] 48 =- 3i+ 4j; =- i- j; = i+ 6j. o o o [ = 5, - 7 ; =, = 5 ; - 0, = 7 ] Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi
Con i dti forniti, determin iò he è rihiesto. 49 = 8; = 30 o.?? [ 4 3, 4] 50 = 6; = 35 o.?? [-3, 3 ] 5 = ; = 60 o.?? [ 4, 3] 5 =- 0; = 0 o.?? [ 0, -0 3] Dti i ettori = (; - 5), = (; - ), = (- 6; 3), esegi le segenti operzioni. 53 + ; - ; +. [( 3; -7); ( ; -3); (-5; )] 54 - ; + 4; ( - ). [( 6; -);( 6; -3);( 4; -0)] 3 55 + ; - + ; - 4+. [(-0; );( -5; 0);( 5; -4)] 56 Dti i ettori =- 4i+ 3j e = 6i+ 8j, tro modlo e direzione dei ettori,, +, -. o o o o [ = 5, - 43 ; = 0, - 53 ; + = 5 5, - 80 ; - = 5 5, - 07 ] Il prodotto slre 57 ESERCIZIO GUID Dti i ettori = i- j e =-4i- 3j, determinimo il loro prodotto slre e l ngolo formto di de ettori. Rppresentimo e nel pino rtesino e lolimo $ on l forml $ = + : $ = ( - 4) + (-)(- 3) =- 8+ 3 =- 5. Per lolre l ngolo, tilizzimo l forml: os = $. Clolimo i modli dei de ettori: = 4+ = 5, = 6 + 9 = 5, e sostitimo: os =- 5 =- 5 $ 5 5 " - 7 o. 4 O α 3 Clol il prodotto slre delle segenti oppie di ettori. 58 =- i- j, = i+ j. [- ] 59 = ( 4 ; ), = ( 8; - ). [ 8] 60 = (- 5 ; ), = (-6; - 3). [- 9] 6 =- i, = 5 j. [ 0] 6 = 9i, =- i. [- 3] 3 Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi