Vettori. Vettori. Grandezze Fisiche. Vettori in Matematica

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1 Vettori Vettori Progetto CO-META Renn, ITIS Nllo Bldini, 16 ferio 211 Un ettore è n entità mtemti strtt: Utilit per rppresentre entità fisihe onettlmente molto dierse tr loro, qli: Spostmento rettilineo di n pnto; Veloità; Aelerione; Qntità di moto; Momento dell qntità di moto; For; Momento di n for; Cmpo elettrio; Cmpo mgnetio; Momento di dipolo elettrio; Momento di dipolo mgnetio; Densità di orrente. Prof. Domenio Glli Alm Mter Stdiorm Uniersità di Bologn 2 Vettori in Mtemti Grndee Fisihe In mtemti n ettore è n elemento di n prtiolre strttr lgeri, denomint Spio Vettorile. Strttr lgeri: insieme S (himto insieme sostegno) mnito di n o più leggi di omposiione (operioni), le qli: Possono essere, nrie, inrie, e. Sono rtterite dllere proprietà qli ommttiità e ssoitiità, e. Le entità mtemtihe sono spesso strioni di entità onrete tilite nelle siene sperimentli (fisi, iologi, eonomi, e.): I ettori sono strioni di entità onrete tilite soprtttto nell fisi (spostmento rettilineo di n pnto, for, e.). Grndee slri: ompletmente speifite ssegnndo n lore nmerio e n nità di misr. Esempi: lnghe, tempo, sperfiie, olme, mss, densità, tempertr, ri elettri, densità di ri, potenile, loro, energi, flsso, intensità di orrente, resisten, resistiità, pità, intn, impeden, e. Grndee ettorili: ompletmente speifite ssegnndo n lore nmerio (detto norm o modlo), n direione, n erso e n nità di misr. Esempi: spostmento rettilineo di n pnto, eloità, elerione, qntità di moto, momento dell qntità di moto, for, momento di n for, mpo elettrio, mpo mgnetio momento di dipolo elettrio, momento di dipolo mgnetio, densità di orrente, e. Grndee tensorili: l loro speifiione è nor più omplit Esempi: rotione, tensore di ineri, tensore degli sfori, tensore energi-implso del mpo elettromgnetio, tensore di rtr, e. 3 4

2 Vettori in Fisi Vettori in Fisi (II) In fisi si distingono 2 diersi tipi di ettore: Vettori ordinri: Non è definito n prtiolre pnto si ppliione. Esempio: spostmento rettilineo di n pnto. Vettori ppliti: Insieme di n ettore ordinrio e di n pnto di ppliione. Esempio: for. In fisi si lssifino i ettori in 2 tegorie seond del loro omportmento per riflessione spelre: Vettori polri: Cmino erso i ettori perpendiolri llo spehio. Esempio: spostmento rettilineo di n pnto, for, mpo elettrio. Vettori ssili (o psedo-ettori): Cmino erso i ettori prlleli llo spehio. Esempio: mpo mgnetio, momento di n for, momento dell qntità di moto. Vettori polri Vettori ssili 5 6 Definiione di Vettore (I) Definiione di Vettore (II) A C E B A B D F D C Notioni eqilenti: Prototipo: spostmento rettilineo di n pnto. 11 Spostmento di n pnto d A B F E segmento orientto he onginge A on B. Esistono infiniti segmenti orientti he rppresentno spostmenti rettilinei di egl lnghe, prlleli ed eqiersi. Chimimo ettore il qid omne tli segmenti orientti (Vilti-Enriqe). Oppre, definiti eqipollenti de segmenti orientti di egl lnghe, prlleli ed eqiersi, definimo ettore l lsse di eqilen dei segmenti orientti rispetto ll relione di eqipollen (Frege-Rssel). s Norm (o modlo): distn tr origine A e ertie B. Si indi on. Direione: orientmento nello spio dell rett s i gie il segmento orientto AB. Verso: senso di perorren. Medesim direione, medesimo erso, norme dierse. Medesim norm direione diers. Medesim norm, medesim direione, erso opposto. possono essere tilite nei testi sritti mno 7 8

3 Ugglin di Vettori De ettori si diono gli se, e soltnto se, hnno: l medesim norm, l medesim direione, il medesimo erso. Se de ettori non sono gli si diono disgli, m non è possiile definire n relione d ordine in qnto non si pò trore n riterio per ffermre he n ettore è mggiore o minore di n ltro. Vettore Opposto e Vettore Nllo Dto n ettore, si definise ettore opposto ettore ente stess direione, stess norm m erso opposto. Si him ettore nllo n ettore he h norm nll (in qesto so direione e erso sono indeterminti). n 9 1 Versori Si himno ersori i ettori di norm nitri. Per ogni ettore non nllo esiste n ersore ˆ he h l stess direione orientt. ˆ ers Componente di n Vettore Rispetto n Direione (I) Dto n ettore e n qlsisi direione orientt, si definise l omponente di s e si indi on il prodotto dell norm di per il oseno dell ngolo he il ettore form on l direione orientt. ˆ 1 â ˆ ĉ > os < 11 12

4 Componente di n Vettore Rispetto n Direione (II) Dto n ettore e n qlsisi direione orientt, si definise il omponente di s e si indi on il ettore he h per norm il lore ssolto dell orrispondente omponente e per erso: lo stesso erso di se > ; il erso ontrrio se <. Componente di n Vettore Rispetto n Altro Vettore o n Versore Si definise il omponente o l omponente di n ettore s n ltro ettore (o s n ersore û ) ome il omponente o l omponente di rispetto ll direione orientt di o û. os Somm di Vettori Regol del Prllelogrmmo Prototipo: spostmento rettilineo di n pnto. Se onsidero de spostmenti sessii dello stesso pnto: prim d A B, poi d B C. Il risltto (somm dei de ettori) è lo spostmento d A C (regol del tringolo): C C A C B + B A A B + Oero, indindo: B A, C B Srà: + C A L somm + C A è l digonle del prllelogrmmo ABCD, ente per lti i segmenti orientti B A e D A. C A B + D 15 16

5 Proprietà Commtti dell Somm di Vettori Proprietà Assoiti dell Somm di Vettori ( + ) + D A + ( + ) D A % B ( + ) + + ( + ) + + C A + + D Rotioni (I) Rotioni (II) Un trslione è rppresentt d n ettore. Un rotione è ess pre rppresentt d n ettore? (edremo he l rispost è NO). Ttti, prim ist potremmo pensre di rppresentre n rotione medinte: Un direione (sse di rotione); Un nmero (ngolo di rotione); Un erso ( seond he l rotione eng in senso orrio o ntiorrio). Verifihimo se le rotioni godono dell proprietà ommtti: 9º sse 9º sse 9º sse 9º sse Il risltto è dierso se si smi l ordine delle rotioni. Non le l proprietà ommtti Le rotioni non sono rppresentte d ettori (sono rppresentte d tensori). 19 2

6 Differen di ettori Disgglin Tringolre È l operione iners dell somm. Dti de ettori e si him differen fr e e si indi on qel ettore he sommto dà ome risltto. O A B A O B O A B L norm dell somm (o dell differen) di de ettori è in generle dierso dll somm (o dll differen) delle norme. Per l disgglin tringolre si h: A O B + A C B ( > + ) ( < ) Prodotti tr Vettori e Slri Prodotto di n Vettore per no Slre Prodotto di n ettore per no slre: V V % Prodotto slre tr de ettori: V i V Prodotto ettorile tr de ettori: V V % V insieme dei nmeri reli V spio ettorile 23 Si pò definire il prodotto di n nmero ntrle n per n ettore ome n somm ripett % n n olte Generlindo, si definise prodotto di n nmero rele e n ettore e si indi on il simolo il ettore he h per norm il prodotto, per direione l stess direione di, e, per erso, lo stesso erso di se >, il erso ontrrio se <. V V % 2 3 insieme dei nmeri reli V spio ettorile 24

7 Prodotto di n Vettore per no Slre (II) Il prodotto di n ettore per no slre è ommttio, ssoitio, distritio, si rispetto ll somm di slri, si rispetto ll somm di ettori. ( ) (), %, V + + ( + ) + (1) 1 â ers 25 Prodotto Slre fr De Vettori V V i Assoi de ettori no slre (p. es., ssoi for e spostmento il loro). Si definise prodotto slre di de ettori e, e si indi ol simolo i il prodotto dell norm di no dei de ettori per l omponente dell ltro nell s direione. os ( os ) i % os % ( os ) i os os i oppre % oppre % 26 Prodotto Slre fr de Vettori (II) Il prodotto slre gode delle proprietà ommtti e distriti rispetto ll somm di ettori. i i ( + )i i + i ( m )i i m m ( i ),, V m Componente di n Vettore nell Direione di n Versore o di n Altro Vettore L omponente e il omponente di n ettore direione del ersore û si possono sriere: iû nell L omponente e il omponente di n ettore nell direione del ettore generio si possono sriere: i iû û i ( i ) 2 > 27 28

8 Qdrto e Norm di n Vettore Versori Si him qdrto di n ettore il prodotto slre di n ettore per se stesso: 2 i os 2 L norm (o modlo) di n ettore si pò periò sriere: 2 i Il ersore ˆ ssoito l ettore si pò sriere: ˆ ers ˆ 1 1 slre ettore Prodotto di n ettore per no slre Inerso dello slre 29 3 Norm dell Somm e dell Differen ( + ) 2 ( + )i( + ) i + i + i + i os ( ) 2 ( )i( ) i i i + i os 31 Prodotto Vettorile fr de Vettori V % V V Si definise prodotto ettorile tr de ettori e, e si indi, il ettore he h per norm l re del prllelogrmmo formto di ettori e, di direione perpendiolre entrmi i ettori e erso determinto dll regol dell mno destr (pollie: primo ettore; indie: seondo ettore; medio: prodotto ettorile). sin sin ( sin ) oppre % oppre % 32

9 Prodotto Vettorile fr de Vettori (II) Doppio Prodotto Misto Il prodotto ettorile gode delle proprietà ntiommtti e distriti rispetto ll somm e ll differen di ettori. ( m ) ( m ) m ( ) ( ± ) ±,, V m È o d: i È gle, meno del segno, l olme del prllelepipedo ente per lti, e. Tle prllelepipedo h per se e lte: B h i ers i ers V ers ( ) % % i V i Doppio Prodotto Misto (II) Dl Clolo Vettorile i Teoremi si Tringoli Il doppio prodotto misto h le segenti proprietà: i i i i i L prim sege dl ftto he nei 3 si il olme è il medesimo. L seond si ottiene tilindo l prim e l proprietà ommtti del prodotto slre: ( )i ( )i i ( ) Teorem di Crnot o dei oseni: 2 ( ) 2 ( )i os Teorem dei seni: + + Teorem delle proieioni: i + sin sin sin sin i i i + i i os + os 2 os + os % 35 36

10 Rppresentione Crtesin di Vettori Rppresentione Crtesin di Vettori (II) Tern rtesin ortogonle: 3 rette orientte (o ssi), e, de de perpendiolri, enti n pnto in omne O detto origine. Versori rtesini: ersori orrispondenti gli ssi, e, inditi on î, ˆ e. (Le) omponenti rtesine e (i) omponenti rtesini: le omponenti e i omponenti di n ettore sgli ssi rtesini. î tern destrors (preferit) ˆ î ˆ ˆ î tern sinistrors (sonsiglit) î ˆ Un olt selt (d ritrio) n tern rtesin ortogonle, qlnqe ettore si pò sriere ome l somm dei soi 3 omponenti rtesini: î + + î + ˆ + ˆ A O C B Rppresentione Crtesin di Vettori (III) Rppresentione Crtesin di Vettori (IV) Dto n ettore en definito, esso h n differente espressione rtesin per ogni differente tern rtesin he si onsider. Nell esempio in figr onsiderimo l for peso di n oggetto di peso pri 2 Newton. p 2N Usndo l tern rtesin ortogonle î, ˆ,, on i N p primi de ssi sl pino oriontle e il tero sse ertile, si h: p 2N î Usndo inee l tern rtesin ı ˆ, ˆ, k ˆ, on i primi de ssi sl pino k ˆ 45 perpendiolre ll sse terrestre e il O î tero sse lngo l sse terrestre, si h: p 2 N ı ˆ 2 N k ˆ Ttti, fisst n tern rtesin ortogonle, i è n orrisponden inio tr ettori e terne ordinte di nmeri reli (le omponenti rtesine): 11 V % )( s (,, ) 3 % p 2 N N p Nell esempio in figr, fisst l tern rtesin ortogonle î, ˆ,, si h: î p,,2 N Fisst inee l tern rtesin ı ˆ, ˆ, k ˆ, si h: p 2 N,, 2 N k ˆ O 45 î 39 S 4 S

11 Rppresentione Crtesin di Vettori (V) Relioni tr i ersori ortogonli Fisst n tern rtesin ortogonle: De ettori sono gli se e soltnto se sono gli le 3 orrispondenti omponenti rtesine. Un ettore è nllo se e soltnto se sono nlle ttte e 3 le omponenti rtesine. Le operioni tr ettori possono essere esegite, oltre he nell form intrinse he imo isto finor, nhe nell form rtesin, tilindo ioè le espressioni rtesine dei ettori. Prodotti slri: î iî 1, ˆ i ˆ 1, i 1 î i ˆ, ˆ i, iî Prodotti ettorili: î î, ˆ ˆ, î ˆ î ˆ î ˆ, ˆ î, î ˆ Operioni tr Vettori in Form Crtesin Operioni tr Vettori in Form Crtesin (II) + ( î + ˆ + ) + ( î + ˆ + ) ( )î + ( ) ˆ + ( ) + î + ˆ + î + ˆ + î + + î + ˆ + + ˆ + î + ˆ + i ( î + ˆ + )i î + ˆ + î iî + î i ˆ + î i + ˆ iî + ˆ i ˆ + ˆ i iî + i ˆ + i + + i ( î + ˆ + ) ( î + ˆ + ) î î + î ˆ + î + ˆ î + ˆ ˆ + ˆ + + î + ˆ + ˆ î ( )î + ( ) ˆ + ( ) det ˆ î ˆ i ( )î + ( ) ˆ + ( ) % i ( î + ˆ + ) ( ) + ( ) + ( ) + + det î 43 44

12 Operioni tr Vettori in Form Crtesin (III) Vettori Vriili on il Tempo Nell rppresentione rtesin si possono nhe filmente dimostrre le identità ettorili: % ( ) ( i ) ( i ),, V ( ) ( i ) ( i ), (, V Inftti, prendendo, per esempio, l omponente dell prim identità, si h: - ( ) % ( / ) / *. ( ) +, ( ) / / ( i ) ( i ) % + + * ( * / ( ) +, 1 ( ) % i ( i ) % Uno slre fisio (p. es. l tempertr) pò rire nel tempo. In tl so l riione è desritt d n fnione slre del tempo: f : t % f t Anlogmente n ettore fisio (p. es. l eloità) pò rire nel tempo. In qesto so l riione è desritt d n fnione ettorile del tempo: : t % t V Vettori Vriili on l Posiione e Cmpi Vettorili Derit di n Pnto Uno slre fisio (p. es. l tempertr) pò rire on l posiione nello spio. In tl so l riione è desritt d n Cmpo Slre (oero d n fnione slre delle 3 oordinte spili): f : P(,,) 3 % f ( P ) f (,, ) Anlogmente n ettore fisio (p. es. l eloità) pò rire on l posiione nello spio. In qesto so l riione è desritt d n Cmpo Vettorile (oero d n fnione ettorile delle 3 oordinte spili): : P(,, ) 3 % ( P) (,,) V Cmpo ettorile dell eloità del ento Dto n pnto moile P P(t), doe t è n prmetro riile (p. es. il tempo) si definise derit del pnto P rispetto ll riile t il limite, se esiste: dp lim ( 1 P( t + t) P( t) + ) t *t %, - P( t) P t + t è n ettore, per i nhe dp è n ettore. L derit di n pnto è n ettore. P( t) dp P( t + t) P t + t P( t) 47 48

13 Derit di n Vettore Dto n ettore t, doe t è n prmetro riile (p. es. il tempo) si definise derit del ettore rispetto ll riile t il limite, se esiste: d lim ( 1 ) t + t t t % * ( t) ( t) +, - Poihé t + t è nor n ettore, d è pre n ettore. L derit di n ettore è n ettore. Vettore Posiionle ( t + t) ( t) t t + t 49 Derit di n Segmento Orientto L derit di n segmento orientto B A B( t) A( t) è gle ll differen delle derite dei soi pnti estremi: segmento orientto segmento orientto d l tempo t+t l tempo t 1 %%% %%% % % ) ( B A) lim B t + t t A( t + t) B( t) A( t) ) t ) ) % ( 1 lim B( t + t) B( t) A( t + t) A( t) t t % ( 1 lim B( t + t) B( t) t t % ( lim 1 A( t + t) A( t) t t % ( db da B t A( t) d ( B A) db da Regole di Deriione dei Vettori B( t + t) A( t + t) B( t) A( t) B t + t B( t) B( t + t) A( t + t) A( t) A t A t + t A t + t B( t) B( t + t) 5 Un so interessnte si h qndo si onsider n segmento orientto P( t) O on n estremo fisso O (detto ettore posiionle o rggio ettore): P( t) r t P( t) O d r d P( t) O % dp r ( t) L derit di n pnto è gle ll derit del so ettore posiionle. O d ( ± ) d ± d d ( ) d + d, % V d ( i ) d i + i d d ( ) d + d Le derite dei ettori possono essere effettte medinte le espressioni rtesine: d d î + d ˆ + d 51 52

14 Fnione Primiti o Integrle Indefinito Fnione Primiti o Integrle Indefinito (II) Dt n fnione slre: f t % f t si definise integrle indefinito o (meglio) fnione primiti dell fnione f l fnione F tle he f si l derit di F: F f ( t) f df Anlogmente, n fnione ettorile: L fnione primiti (o integrle indefinito) si pò lolre medinte le espressioni rtesine: ( t) ( t)î + ( t) ˆ + ( t) ( t) î ( t) + ˆ ( t) + ( t) t % t V si definise integrle indefinito o (meglio) fnione primiti dell fnione l fnione w tle he si l derit di : w ( t) d w w Eseriio 1 Eseriio 1 (II) De ettori, di norm, rispettimente e, posti on l origine oinidente, formno tr loro n ngolo di 6 rd. 1 Trore l norm del ettore:. Trore inoltre l ngolo ompreso tr i ettori e (espresso in rdinti). Aimo, innnittto: rd 1 Per qnto rigrd l norm, si h: ( ) 2 i i i + i ( )i( ) os os (.3912)

15 Eseriio 1 (III) Eseriio 2 Per qnto rigrd l ngolo, per l definiione di prodotto slre, si h: os per i: os os ros rd os De ettori, di norm, rispettimente e, posti on l origine oinidente, formno tr loro n ngolo di 6 rd. 1 Trore l norm del ettore: +. Trore inoltre l ngolo ompreso tr i ettori e (espresso in rdinti) Eseriio 2 (II) Eseriio 2 (III) Aimo, innnittto: rd 1 Per qnto rigrd l norm, si h: + ( + ) 2 i + i + i + i ( + )i( + ) os os (.3912) Per qnto rigrd l ngolo, per l definiione di prodotto slre, si h: os per i: os + + os ros rd os 59 6

16 Eseriio 3 Eseriio 3 (II) In n pino sono fissti de ssi rtesini ortogonli e ( di ersori rispettimente î e ˆ ). Dti i de ettori: 2î + ˆ 5î 7 ˆ Determinre l norm e l ngolo formto on il ersore î dell somm e dell differen dei de ettori e. Possimo innnittto lolre l somm e l differen ettorile nell rppresentione rtesin: 2î + ˆ + 3î 6 ˆ % 5î 7 ˆ 7î + 8 ˆ Possimo qindi lolre le norme: % Per qnto rigrd gli ngoli, imo: ( + ) tn ( + ) % ( ) tn ( ) ˆ î Eseriio 3 (III) Eseriio 4 D i: rtn(2) 1.11rd tn 2 % tn 8 ) + rtn(2) 2.3rd % ( % rtn (8 7).85rd 7 % ) + rtn (8 7) 2.29rd Oorre qesto pnto preione nello segliere, tr le de solioni, qell orrett (i sono 2 ngoli, nel primo giro, on l stess tngente, edi figr). Nel so dell somm, l omponente è positi mentre l omponente è negti (edi figr). Aremo periò: 1.11rd ˆ Nel so dell differen, l omponente è negti mentre l omponente è positi. î Aremo periò: rd Fisst n tern rtesin ortogonle e i i de ettori: 11î 7 ˆ î + 5ˆ determinre, nell rppresentione rtesin, i ettori: + Determinre inoltre, per tli ettori, l norm e i 3 ngoli formti on gli ssi rtesini

17 Eseriio 4 (II) Eseriio 4 (III) I ettori somm e differen, nell rppresentione rtesin, si trono sempliemente sommndo e sottrendo le omponenti: 11î 7 ˆ î + 5ˆ % + 25î 2 ˆ + 8 ( ) 3î 12 ˆ + 1 Le norme si lolno direttmente dlle omponenti: + ( ) ( ) Per qnto rigrd i 3 ngoli osserimo he per n ettore generio (edi figr) si h: iî os os i ˆ os os % % i os os Qesti 3 oseni prendono il nome di oseni direttori. Essi non sono tr loro indipendenti in qnto sono legti dll relione: os 2 + os 2 + os os 2 + os 2 + os Eseriio 4 (IV) Eseriio 4 (V) Nei nostri de si le ggline: os, os, os si sriono: + + os + +, os + +, os os, os, os Poihé: + 25î 2 ˆ % 3î 12 ˆ + 1, % 15.9 Si h: % + ros rd + ros rd + ros rd ( % ros rd ros rd ros rd ( 67 68

18 Eseriio 5 Eseriio 5 (II) Si fisst n tern rtesin ortogonle e sino i i de ettori: 11î 7 ˆ î + 5ˆ Determinre il prodotto slre i. Determinre, l norm e gli ngoli formti on gli ssi rtesini del prodotto ettorile:. Per qnto rigrd il prodotto slre: 11î 7 ˆ î + 5ˆ % i Per qnto rigrd il prodotto ettorile: det î ˆ î det ˆ det det ( 7 45)î (11 126) ˆ L s norm è: î ˆ Eseriio 5 (III) Eseriio 6 Clolimo gli ngoli tilindo i oseni direttori: os, os (, os ) % 38î ˆ % 28.9 % ros rd ros rd ros rd ( Clolre il olme del prllelepipedo he h per spigoli i 3 segmenti AB, AC e AD, doe le oordinte dei pnti A, B, C e D, rispetto n tern ortogonle prefisst sono (in entimetri): A( 28,35,16), B( 43,62,24), C (13,47,18), D( 3,26,22) 71 72

19 Eseriio 6 (II) Aimo: A( 28,35,16), B( 43,62,24), C (13,47,18), D 3,26,22 B A 15 î + 27 ˆ 8 C A 41 î +12 ˆ + 34 D A 2 î 9 ˆ 6 % ( B A) ( C A)i( D A) det det det det ( ) 8( ) V ( B A) ( C A)i D A 456 m 3 73 Prof. Domenio Glli Diprtimento di Fisi domenio.glli@nio.it