La Legge de Grad Numer Cosderata ua sere d prove rpetute co p par alla probabltà d successo ua sgola prova, l rapporto tra l umero d success K ed l umero d prove tede a p quado tede ad fto: K P p per co ua (qualsas) quattà postva. 452
Esempo: dat smulat.18 Stma della probabltà che esca "6" el laco d u dado regolare.175 Frequeza relatva.17.165.16.155.15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1* 453
Dado NON truccato: Varabltà Uforme 1666.66 Per u dado o truccato l umero d occorreze atteso per og facca, su N prove, è costate e par a N / 6 1666.66 se N = 1. 1666 p " Se" f N " Se".1666 1 p"se" 454
Dmostrazoe: La Legge de Grad Numer (segue) Var X S basa sulla dsuguaglaza d Chebyshev: PX X 2 K co X (frequeza relatva). La v.a. K è ua Bomale d valore atteso p e varaza pq, qud: p Var X X pq K p q P p 2 K lm P p 455
Legge de Grad Numer e Frequeza Relatva o La legge de grad umer costtusce u espressoe al lmte dell assuzoe eurstca alla base dell'terpretazoe della frequeza relatva: K p o La varable aleatora K coverge probabltà al umero p: K lm P p per og umero postvo e per og p. 456
Itroduzoe al Teorema del Lmte Cetrale La somma Y2 X1 X2 d due v.a. dpedet X 1 e X 2, detcamete dstrbute co legge Y 2 Exp, ha destà: 2 f y yexp y U y Se s cosdera la somma Y 3 X 1 X 2 X 3 d tre v.a. espoezal dpedet ed detche, s ottee per la destà d Y 3 Y 2 X 3 : 3 y fy y exp yuy 3 2 Iterado l procedmeto s ottee per la destà della somma: Y X X X... X Y X 2 1 2 3 1 1 fy y y exp y U y 1! (legge Gamma ) 457
Esempo: = 2, E[X ] = 3.14.12 Gamma = 2 Normale Destà d Probabltà.1.8.6.4.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 y Y 2 f y yexp y U y, 1 2 2,, 6, 18 3 458
Esempo: = 4, E[X ] = 3.8.7 Gamma = 4 Normale Destà d Probabltà.6.5.4.3.2.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 y 4 3 fy y y exp yu y, 6 1 2 4,, 12, 36 3 459
Esempo: = 6, E[X ] = 3.6.5 Gamma = 6 Normale Destà d Probabltà.4.3.2.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 y 6 5 fy y y exp yu y, 12 1 2 6,, 18, 54 3 46
Esempo: = 1, E[X ] = 3.5.4 Gamma = 1 Normale Destà d Probabltà.3.2.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 y 1 9 fy y y exp yu y, 9! 1 2 1,, 3, 9 3 461
Esempo: = 2, E[X ] = 3.35.3 Gamma = 2 Normale Destà d Probabltà.25.2.15.1.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 y 2 19 fy y y exp yu y, 19! 1 2 2,, 6, 18 3 462
Esempo: = 3, E[X ] = 3.25.2 Gamma = 3 Normale Destà d Probabltà.15.1.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 y 3 29 fy y y exp yu y, 29! 1 2 3,, 9, 27 3 463
Esempo: = 1, E[X ] = 3.14.12 Gamma = 1 Normale Destà d Probabltà.1.8.6.4.2 2 225 25 275 3 325 35 375 4 425 y 1 99 fy y y exp yu y, 99! 1 2 1,, 3, 9 3 464
Somma d 2 uform dpedet tra (,1).1.9.8 Somma Normale.7.6.5.4.3.2.1 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 465
Somma d 5 uform dpedet tra (,1).7.6 Somma Normale.5.4.3.2.1 5 1 15 2 25 3 35 4 45 5 466
Somma d 2 uform dpedet tra (,1).35.3 Somma Normale.25.2.15.1.5 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 467
Teorema del Lmte Cetrale Il Teorema del Lmte Cetrale (TLC) mostra che, sotto opportue codzo, molt feome aleator tedoo al modello gaussao. Teorema: Date varabl aleatore dpedet ed detcamete dstrbute co 1,2,..., (d valor atteso e devazoe stadard ), la loro somma (d valore atteso e devazoe stadard ) ormalzzata (rspetto al valore atteso ed alla devazoe stadard): X è ua v.a. la cu dstrbuzoe Y FY 11 X y tede ad ua ormale stadard. 468
Teorema del Lmte Cetrale (segue) I forma cocsa, data la sequeza d v.a...d. X co: la v.a. Y : e E X Y X Var X 11 1 X 1 per l TLC Coverge Dstrbuzoe a N,1. Coè: y 2 1 t 2 2 lm F Y y exp dt 469
Nel caso partcolare cu: allora: Teorema del Lmte Cetrale (segue) X ~ B p soo v.a. Beroullae: EX p e Var X pq Y 11 X pq p K p pq dove K (par al umero d success su prove) è ua v.a. Bomale (valore atteso p e devazoe stadard pq ) la cu fuzoe d dstrbuzoe tede alla gaussaa stadard per che va ad fto. 47
Legge de Grad Numer e TLC La legge de grad umer dca semplcemete l lmte al quale tede l rapporto K quado l umero d prove tede ad fto. Il TLC forsce formazo sulla dstrbuzoe d probabltà del umero d success K. 471
Approssmazoe del Modello Bomale Teorema d De Movre - Laplace La probabltà d k success prove rpetute, co p probabltà d successo ua sgola, è data approssmatvamete dalla formula: per k p 2 1 PX k exp 2 pq 2pq pq 1 p pq k p pq 472
Approssmazoe del Modello Bomale (segue).25 Modello Bomale: = 1, p = :5.2.15 P(X = k).1.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 k 473
Approssmazoe del Modello Bomale (segue).18.16 = 2, p =.5 Gaussaa B( = 2, p =.5) Destà - Massa d Probabltà.14.12.1.8.6.4.2 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 X = k Cofroto tra le destà d probabltà bomale e gaussaa 474
.16.14 Approssmazoe del Modello Bomale (segue) = 1, p =.7 B( = 1, p.7) Gaussaa Destà - Massa d Probabltà.12.1.8.6.4.2 2 4 6 8 1 12 14 16 X = k Cofroto tra le destà d probabltà bomale e gaussaa 475
Approssmazoe del Modello Bomale (segue) o Modello bomale e legge d Posso Teorema d Posso Data la legge bomale d parametr,p, quado: 1 p 1 e rsulta p costate l modello bomale può essere approssmato da u modello d Posso co valore atteso Coè: p. k p k q k exp k, 1, 2,... k k! 476
Dmostrazoe: Approssmazoe del Modello Bomale (segue) 1... k 1 k k! k k! per k q 1 p k q p e per p 1 p k p q k k k k k k k p p p pe e e k! k! k! 477
Approssmazoe del Modello Bomale (segue).2.18 Posso( = 4) B( = 1, p =.4) Massa d probabltà.16.14.12.1.8.6.4.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 X = k Cofroto tra le destà d probabltà bomale e possoaa 478
Approssmazoe del Modello d Posso Per 1 Posso N,.25 Posso( = 4) Gaussaa Massa - Destà d probabltà.2.15.1.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 x = k 479
Legam tra le Varabl Aleatore Fodametal Beroullaa Ber(p) Somma (rpetzoe volte) Bomale B(,p), p, p p, p 1 p Normale N(, ) 1 p 1 k dell'orde d p Posso P() Somma Somma 2 2, Normale N(, ), 48