possono essere più o meno concentrati o sparpagliati. Una misura della concentrazione può essere data dal valore medio dello scarto assoluto s p x x

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1 Ottavo Serra Statstca descrttva e Calcolo delle probabltà Elemet d statstca descrttva La statstca ha due scop prcpal: I) Rcavare da u seme d dat, troppo umeros per essere esamat sgolarmete e profcuamete, alcue formazo sgfcatve per l partcolare problema da studare II) Forre metod che servao ad mparare dall espereza, gustfcado f dove è possble l passaggo da osservazo partcolar a legg geeral Nel prmo caso s parla d statstca descrttva, el secodo d statstca duttva o ferezale Quest ultma ha bsogo d ozo d calcolo delle probabltà, metre la statstca descrttva o e fa uso esplctamete Partamo percò da questa, dado alcu elemet d statstca ferezale dopo aver trodotto cocett e tecche d calcolo delle probabltà Nella statstca descrttva s parte da ua popolazoe che può essere d varo tpo: le molecole d u gas, ua coltura batterca, gl studet d ua scuola, professor d ua classe D questa popolazoe s studao alcu caratter o attrbut e s rpartsce la popolazoe class, a secoda de caratter U carattere può essere (a) qualtatvo, come per esempo l mezzo d locomozoe usato dagl studet per adare a scuola; (b) ordale come quado s fa ua scala d prefereze o d smpata; (c) umerco I tal caso l attrbuto (o carattere) vee detto varable Per u carattere d tpo (a) c è poco da dre, l uco dato sgfcatvo è quello d classe modale a) Moda o classe modale d ua popolazoe è la classe pù umerosa Per esempo, rspetto alla popolazoe scolastca d ua scuola, la Moda è la classe de pedo, se quest soo pù umeros rspetto agl studet che usao altr mezz d locomozoe b) Medaa Se valor della popolazoe soo ordat, la medaa d è quel valore (o que valor) rspetto al quale ammette tat valor mor quat soo maggor Per esempo ella sequeza ordata 44, 46, 50, 5, 59, la medaa è 50 (Potrebbe essere, mglaa d euro, l reddto d 5 grupp d persoe: l reddto medao è 50) La classe modale sarebbe l gruppo d persoe col reddto pù alto Suppoamo ora che ua popolazoe S è assegato u carattere espresso da ua varable umerca reale I tal caso è determata ua fuzoe a valor real : SR S potrebbe essere u gruppo d m opera classfcat secodo le ore lavorate u ao Se x soo le ore dell mo operao (la m varable assume valor x, x, x m ) è solto chamare la quattà M ( ) x x, meda m artmetca d c) Valore medo o speraza matematca: Se ua varable può assumere valor x, x, x co pes statstc p =m /m, p =m /m,p =m /m (p +p +p =), la meda pesata d è M()= x px Se p =/m, x m x m (meda artmetca) Però rspetto alla meda valor d possoo essere pù o meo cocetrat o sparpaglat Ua msura della cocetrazoe può essere data dal valore medo dello scarto assoluto s p x x No ha seso l valor medo dello scarto, perché questo è sempre zero: p ( x x) p x p x x x p x x 0 Ma lo scarto assoluto è dsagevole e calcol, perché l valore assoluto o è ua fuzoe lsca (o è dervable), percò s usa lo scarto quadratco medo (o devazoe stadard) σ defto come la rad- ce quadrata della varaza: Var( ) p ( ) x x p x x p x x M x x, da cu Var( ) S ot che M(x ) è sempre maggore o uguale a x, perché

2 Accato alla varaza d ua varable, è usata ache la Covaraza d due varabl e Y defta come valore medo del prodotto degl scart: Cov(, Y) p ( x x)( y y) Svluppado l prodotto s ottee: Cov(, Y) p x y x p y y p x y p M ( Y ) x y La retta d regressoe o de mm quadrat A volte s sospetta che c sa u legame statstco tra due varabl d ua stessa popolazoe, che sa approssmatvamete leare Per esempo, statura e peso per gl studet d ua scuola, della stessa età e sesso Se s rappresetao valor d (statura) sull asse delle ascsse e valor d Y (peso) sull asse delle ordate, o s otterrà pratcamete ma ua retta, per le fluttuazo statstche S cerca allora la retta d equazoe y = ax+b che meo s dscosta da dat msurat, coè s determao parametr a e b modo che sa mmo lo scarto quadratco medo de put (x ; y ) dalla retta y=ax+b (retta d regressoe) Lo scarto quadratco medo è la radce quadrata della varaza rappresetata dalla fuzoe m F( a, b) ( y ax b) m Per mmzzare F rspetto a parametr, occorre aullare le dervate d F: F a ed F b : m ( y ax b) x 0 M ( Y ) am ( x ) bx 0 b y ax m ( y ax b) y ax b 0 0 M ( Y ) am ( x ) ( y ax) x 0 Dalla a M ( Y ) x y Cov(, Y) Cov(, Y) s rcava a e dalla a s rcava b M ( x ) x Var( ) ( ) Cov(, Y) S chama coeffcete d correlazoe tra e Y l rapporto r, che è ua spece Var( ) Var( Y) d coseo (vara tra - e ); Le varabl soo tato pù correlate quato pù r è prossmo ad ( valore assoluto); se r è prossmo a zero, ed Y s dcoo o correlate; se r=0, e Y s dcoo dpedet o ortogoal Spaz d probabltà dscret Sa S u seme,fto o umerable, detto Spazo degl Evet; A, B sottosem, dett Evet; trodotta ua msura m su S, chameremo probabltà d u eveto A l rapporto tra m(a) e m(s) p(a)=m(a)/m(s) La probabltà d u eveto è u umero p compreso tra 0 e, che gode delle seguet propretà: p(a = p(a)+p(- p(a ; Spegare a lvello tutvo Se A e B soo dsgut, A B=, allora p(a = p(a)+p( p( A p(a/ = La probabltà d A codzoata al verfcars d B è la probabltà della pb ( ) parte d A clusa B relatvamete a B, come se lo spazo degl evet s cotraesse B: m( A m( A / m( S) p( A p(a/= m( m( / m( S) p( p( A Per smmetra p(b/a) = e qud pa ( ) p( A p( p( A/ p( A) p( B / A)

3 A s dce dpedete stocastcamete da B (dpedeza seso probablstco) se p(a/=p(a); tal caso p( A =p(a)p(, da cu derva che p(b/a)=p(: Se A è dpedete da B, B è dpedete da A Percò s dce che A e B soo (stocastcamete) dpedet 3 Se A, A, A, è ua successoe d evet compatbl (coè a due a due dsgut), allora p( A ) p( A ) (addtvtà umerable) N La probabltà dell uoe umerable d sem dsgut (coè d evet compatbl) è la somma della sere delle sgole probabltà E charo che la sere deve covergere a u umero (o egatvo e) o maggore d 4 Se due evet A e B soo compatbl, coè se l verfcars d uo esclude l verfcars dell altro, e oltre soo complemetar (uo de due s deve verfcare), allora p(a)+p(= [p+q=] Esempo I u ura c sao 7 getto bach e 3 er Se rteamo che og gettoe ha la stessa probabltà d essere estratto, (dstrbuzoe uforme) allora p=p(baco)=7/0 e a q=p(ero)=3/0 p+q= Se però ell ura c soo ache 8 gettoo ross, p+q= 7/8+3/8 = 0/8 < Esempo U tratore ha probabltà p=0,7 d colpr l bersaglo: che probabltà ha d colpre almeo ua volta 3 tr? I Metodo: P(almeo ua volta su 3) = P(essua volta) = - (0,3) 3 = 0,973 II Metodo: detta q la probabltà d o colpre (p+q= q= -0,7 = 03), s ha P(almeo ua volta su 3) = (pqq+qpq+qqp)+(ppq+pqp+qpp)+(ppp) = 3(pq )+3(p q)+p 3 =0,973 (Meglo l prmo metodo!) Esempo3 Lacado due dad rsultat vao da (=+) a (=6+6) La somma 7 è la pù probable: come ma? Il prmo a dare ua gustfcazoe fu Galle (S tede, dad o truccat) Esempo4 Due amc ugualmete brav a brscola (o scopa) putao somme ugual co l accordo che vce l tera posta ch per prmo arrva a 5 vttore Le mogl però l terrompoo quado l prmo ha vto 4 partte e l secodo 3 Come devoo dvders la posta? (Problema proposto dal cavalere de Mèray a Pascal) Suggermeto: l prmo vce l toreo se mpedsce al secodo d vcere due partte cosecutve: P(prmo) = p+qp, P(secodo) = qq Sccome p=q=/, P(prmo) =3/4 e P(secodo) = ¼, percò la posta va dvsa ella proporzoe d 3 ad Geeralzzare per p e q geerche e ell potes che al macho x partte e al e macho y Esempo5 Qual é la probabltà d fare ambo alla ruota d Napol? I umer soo 90 e se e estraggoo 5, percò lo spazo degl evet (lo spazo d tutte le cque) ha msura C90,5 I cas favorevol soo dat da quelle cque che cotegoo umer putat, tolt qual gl altr 3 possoo essere qualuque, duque la msura dell eveto è data C da cas favorevol che soo 88, P(ambo)= Eserczo Calcolare le probabltà P(tero), P(quatera), P(cqua) Esempo6 Totocalco Suppoedo d trascurare l fattore campo e la forza delle squadre, sccome og partta ha 3 rsultat :, x,, la probabltà d azzeccare u rsultato è p=/3 e d sbaglarlo è 3 percò q= /3 La probabltà d mbroccare rsultat su 3 sarà P( su 3)= (/ 3) ( / 3) 3 e 3

4 Verfcare che (/ 3) ( / 3) 3 Eserczo Qual è la probabltà d fare almeo u puto sulla scheda? E d fare meo d 3 put? Esempo7 Lacado ua moeta 0 volte (è lo stesso che 0 moete smultaeamete), qual é la probabltà d otteere esattamete 3 Teste? E quella d otteere almeo 3 Teste? E pù probable otteere 0 Teste su 0 lac, oppure 5 Teste segute da 5 Croc? Qual è la probabltà d otteere 5 Teste e 5 Croc, se s prescde dall orde? Osservazoe I geerale, se la probabltà d eveto è p(e) = p e dell eveto cotraro è q=-p, la probabltà che E s verfch volte ua sequeza d prove (prove rpetute) è! P(, ) p q p q!( )! Dstrbuzoe bomale o beroullaa!! Se p=q=/, P(, ) p q (0 )!( )!!( )! I tal caso s dmostra che P(,) ha u massmo per =/ se è par o due massm cosecutv per =(-)/ e per =(+)/ se è dspar I geerale s ha l massmo (o due massm) per compreso tra p-q ed p+p (estrem clus) Se è grade, la dstrbuzoe d probabltà assume la forma a campaa d Gauss e possamo dre che la probabltà massma spetta al caso che l eveto E s preset u umero d volte par ad p (se p è tero, altrmet all tero pù vco) e d cosegueza che l eveto cotraro s preset q volte I ua sequeza d prove rpetute le probabltà d u eveto e del suo cotraro soo proporzoal alle rspettve probabltà Esempo8 Lacado ua moeta 0 volte, l eveto pù probable è 5 Teste (e 5 Croc) 5=0/ 0! P(0;5)= 0 5!5! =368800/(0) /04=5/04=0,46 0! P(0;4)=P(0;6)= =368800/(4x70)/04=0/04=0,05 < 0,46 0 4!6! Però la probabltà massma decresce al crescere d ; per esempo, lacado la moeta 0 volte s ha P(0;0)=0!/(0!) / 0 =84756/048576=0,76 < P(0;5); ma appea c s allotaa dal caso pù probable le probabltà soo acora pù pccole e decrescoo rapdamete Però l calcolo esatto de fattoral, ache per umer o troppo grad, è molto laboroso I tal caso s approssma! co la formula d Strlg: log(!)=log()-, da cu! Ae, essedo A u fattore correttvo che vale crca Esempo9 Gà cooscamo cocett d valore medo e varaza Basta rpredere quato detto ella a sezoe (Statstca descrttva) e terpretare pes statstc come probabltà Lacado u dado, l puteggo va da a 6; s chede l puteggo medo La varable aleatora assume valor 6*7 4,, 6 co probabltà costate p=/6; x ( ) 3, Il valor medo del quadrato è M( ) ( 6 ) 5,67, percò la varaza Var( ) M ( ) x,97 6 e lo scarto quadratco medo,97,708 Esempo0 S vogla calcolare l umero medo d tr ecessar per colpre u bersaglo, essedo p la probabltà costate d colprlo cascu tro 4

5 Posto q=-p, s ha: 3 x p qp 3q p 4 q p q p p q Questa sere coverge ad /(-q) =/p (credetem sulla parola!), percò M ( ) x p (abbastaza tutvo, a p p lvello qualtatvo) E la varaza? Var( ) M( ) x =M( )-p, ma M( ) è dffcle da calcolare: p ( )?? p M p q (Sere acor pù dffcle della prma da calcolare Sapreste scrvere u algortmo per approssmarle?) Se, per esempo, p=0, s ottee: Somma e prodotto d varabl aleatore Y M(+Y)=M()+M(Y) Dm: M(+Y)= p, ( x y ) p x p y M ( ) M ( Y), cdv, M(Y)=M()M(Y), se e Y soo dpedet Dm: M(Y)= p, x y p p x y (per l dpedeza stocastca) = p x p y Y =M()M(Y), cdv Y,, Passamo ora alla varaza Var(+Y)=Var()+Var(Y)+Cov(x,y) Dm: Var(+Y)=M((+Y-M(+Y)) )= M(( Y x y) ) M (( x) ( Y y) ( x)( Y y)) ; teedo coto che l valor medo d ua soma è la soma de valor med, segue la tes La varaza della somma s rduce alla somma delle varaze se e Y soo dpedet, coè se Cov(,y)=0 Osservamo acora che M(λ)=λM() e che Var(λ)=λ Var() da cu segue σ(λ)= ( ) UN CASO IMPORTANTE: valor medo e varaza della varable = successo co probabltà p: P(x=)=p, P(x=0)=q, [p+q=] M( ) x p q0 p Var( ) p( x) q(0 x) p( p) q(0 p) pq qp pq( p q) pq Lo scarto quadratco medo sarà pq Prove rpetute Suppoamo ora d avere varabl dpedet,, co la stessa legge: stesso valore medo x e stessa varaza σ Posto Y = + +, avremo M( Y) x e Var( Y) Var( ), qud Y Se le varabl cotao suc- cess prove, M(Y) = p e Y pq Come s vede, la dspersoe cresce deftamete co Però, se cosderamo la varable Y/, che cota la percetuale de success, coè la frequeza relatva de success: ν/, l suo valor medo è p/ = p e Var (Y/)= σ pq / =pq/; percò Y, che dmusce al dvergere d Teorema d Cebcev e legge de grad umer d Jaob Beroull Sa Y la varable aleatora (ν/ p) e y, y, y suo valor; l valor medo de quadrat è 5

6 r p y M ( Y ) Fssato u arbtraro umero reale postvo ε, alcu degl y, dcamo prm, soo modulo mor d ε, rmaet maggor o ugual Percò p r Segue che r r pq p P p da cu P p,coè P p Questa dsuguaglaza, trovata da Cebcev (8-894), gustfca la legge de grad umer d Beroull ( ): La probabltà che ua sere d prove rpetute lo scarto tra la frequeza relatva e la probabltà a pror sa more valore assoluto d u arbtraro umero reale postvo ε tede ad (alla certezza) al crescere del umero delle prove LmP p Cò o sgfca che ν/ p per, ma solo che tede alla certezza la probabltà d uo scarto arbtraramete pccolo Esempo Quate volte devo lacare ua moeta perché la frequeza relatva dell eveto Testa sa compresa tra 0,49 e 0,5 co ua probabltà maggore del 90%? S ha p=q=0,5, ε = 0,0; 9 percò 5000 (C vogloo 5000 lac) Vedremo u altra lezoe che s possoo otteere valutazo pù strget (valor d pù pccol) 6