Università di Sien - Anno ccdemico 0-4 Corso di lure in frmci - Corso di mtemtic (prof..bttinelli) Prov di vlutzione in itinere n. dell..0 - Svolgimento - Testo A A De nisco, estrendole dl resoconto del rgionmento proposto, le seguenti proposizioni dichirtive elementri F io sono er di me B io fccio bene in qulche sport S io studio serimente A mio pdre mi pprezz e osservo che d ciò risultno nche implicitmente de nite le negzioni F io non sono er di me B io non fccio bene in lcuno sport S io non studio serimente A mio pdre non mi pprezz Il rgionmento const di tre premesse, che chimo P, P, P, e d un presunt conclusione, che chimo C. Tutte qunte sono composte delle precedenti, e precismente P A ) F P B _ F P S ) B C A ) S Posso schemtizzre l struttur del rgionmento nell form (P ^ P ^ P ) ) C e posso stbilire ch esso è e ettivmente vlido in due modi ppellndomi lle regole di deduzione, oppure costruendo un tbell di verità.. Riconosco nell premess P l form disgiuntiv del condizionle F ) B; e riformulo l premess P sull bse del principio di contrpposizione B ) S. A questo punto mi bst invocre due volte l regol del sillogismo ipotetico dll verità di P (A ) F ) e di P (F ) B) si tre quell di Q A ) B dll verità di Q (A ) B) e P (B ) S) si tre quell di C (A ) S) per ermre che è possibile dedurre l verità dell conclusione C d quell delle premesse P, P, P.
. Le 4 proposizioni elementri in esme sono logicmente indipendenti, e occorre quindi un tvol di verità con 4 = 6 righe F j B j S j A j P j P j P j C j Q P ^ P ^ P j Q ) C _ j _ V j V j V j V j V j V j F j F j F j V V j V j V j F j V j V j F j V j F j V V j V j F j V j V j V j V j V j V j V V j V j F j F j V j V j V j V j V j V V j F j V j V j V j F j V j F j F j V V j F j V j F j V j F j V j V j F j V V j F j F j V j V j F j V j V j F j V V j F j F j F j V j F j V j V j F j V F j V j V j V j F j V j F j F j F j V F j V j V j F j V j V j F j V j F j V F j V j F j V j F j V j V j V j F j V F j V j F j F j V j V j V j V j V j V F j F j V j V j F j V j V j F j F j V F j F j V j F j V j V j V j V j V j V F j F j F j V j F j V j V j V j F j V F j F j F j F j V j V j V j V j V j V l qule rivel che nelle condizioni dte l form enuncitiv (P ^ P ^ P ) ) C è ppunto un tutologi. B Rppresento in form d intervllo l incertezz reltiv i due vlori numerici e b 0 00 b 0 9 b b00 deduco d queste i corrispondenti intervlli di incertezz dei vlori derivti d e b medinte le operzioni elementri (tenendo presente che tnto b che b sono numeri negtivi, ed hnno perciò come limitzione inferiore il prodotto e il quoziente - rispettivmente - di mggior vlore ssoluto, e come limitzione superiore quell di minor vlore ssoluto, tr quelli delle corrispondenti limitzioni di e b; vedi svolgimento del gruppo di esercizi n.) 0 + b 0 = + b = 00 + b 00 00 b 0 = 4 4 b 9 4 = 0 b 00 0 b 00 = b 7 = 00 b 0 00 b 00 = b = 0 b 0 d cui clcolo gevolmente i reltivi vlori centrli ed errori ssoluti e reltivi + b = = + b ( + b) b = 7 4 9 = 6; 7 4; = b (b) b = = b ( b) b = = 0; 6 = b b
( + b) + b = = 00% (b) b = 9 7 4 ( b) = b = 40% b = b = = 66; 6% = 66; 6% Osserv come le formule di pprossimzione dell errore reltivo (libro di testo, pg.7) conducno nel cso presente soprvvlutre leggermente quelli di b e ; e come l mpiezz dell errore reltivo di + b si dovut essenzilmente b ll diminuzione (rispetto d e b) del vlore ssoluto del vlore centrle + b, dovut l diverso segno di e b. = = % b + b b = 7% b = = 0% C Chimo rispettivmente,, e z le quntità (in cl) di soluzione contenente il soluto A, di soluzione contenente il soluto B, e di solvente puro che utilizzo nell miscel. Il totle di questi tre ingredienti deve mmontre l = 00 cl. Poiché il soluto A è presente nell soluzione concentrzione del 0%, cl dell prim soluzione forniscono cl di soluto A; mentre cl dell second soluzione forniscono cl di soluto B, dto che questo vi è presente concentrzione del 0 0%; in ne, z cl sono di puro solvente. Nell miscel le quntità richieste sono di cl di soluto A e 0 cl di soluto B. Devono pertnto essere soddisftte le seguenti equzioni + + z = 00 che forniscono immeditmente = = 00 = 0 = 0 z = 00 + 00 = Per chi m le rppresentzioni decimli, le quntità con cui miscelre sono cl dell prim soluzione, ; cl dell second, e 4; 6 cl di solvente puro. Un ltro metodo per risolvere il problem (proposto dll studentess Frncesc P.). Mi propongo di ottenere le quntità richieste dei due soluti A e B lvorndo seprtmente sulle due soluzioni che li contengono, miscelndo ciscun con il solvente puro del terzo cone; tl ne, decido di preprre
mezzo litro di ciscun delle due miscele przili. Dunque il primo mezzo litro che prepro contiene solo soluto A e solvente; e il secondo mezzo litro solo soluto B e solvente. Poichè l proporzione di A nell miscel nle deve essere del %, devo preprre il primo mezzo litro con un proporzione di A del 0%; llo stesso modo, l proporzione del 0% di B nell miscel nle ne richiede un proporzione del 0% nel secondo mezzo litro. Per bbssre l 0% l proporzione di A dl 0% che h nell prim soluzione, bst miscelre l prim soluzione con ltrettnto solvente, quindi cl di prim soluzione e cl di puro solvente. Per il secondo mezzo litro, devo trsformre l proporzione di B dl 0% dell second soluzione l 0%, cioè devo ridurl di ossi moltiplicrl per. A tl ne bst miscelre dell second soluzione con di solvente puro e dunque ; cl di second soluzione e 6; 6 di puro solvente. Il solvente utilizzto complessivmente mmont così 4; 6 cl. D Per trccire il gr co dell funzione de nit dll formul primo membro procedo ttrverso i seguenti pssggi gr. = + rett per (0; ) e coe ciente ngolre nero gr. = j + j simm. vert. (sse X) dell prte ordint < 0 celeste gr. = j + j trslz. vert. in bsso di mpiezz lill gr. 4 = jj + j j simm. vert. (sse X) dell prte ordint > 0 mrrone gr. = jj + j j trslz. vert. in lto di mpiezz blu 4
e posso gevolmente delinere l soluzione dell disequzione per vi gr c 6 4 6 4 4 6 4 6 = jj + j j in blu, = in nero L disequzione è soddisftt nei due intervlli [ ; ] e [0; ]. È nturlmente sempre possibile rppresentre l funzione de nit dll formul presente primo membro in form ltern, procedendo in due stdi = * j j se j + j se = * + se e + se e = * se e + se e
e risolvere l disequzione propost ( ) in quttro stdi ( ) + in ; +! S = ( ) + in ( ) in ( ) + in ; ; ;! S =! S =! S = ; 0; ; Poiché S ed S risultno dicenti, e così nche S ed S, essi possono essere descritti congiuntmente come un unico intervllo, ritrovndo l soluzione ottenut per vi gr c. C è nche un terzo modo, forse il più rpido, di risolvere l disequzione per vi purmente lgebric (nche se trscur del tutto l richiest di identi cre l funzione de nit dll formul primo membro e di disegnrne il gr co). Eccolo jj + j j () jj + j j () j + j () j + j ; () [( + ) _ ( + )] ^ [ + ] () [( ) _ ( 0)] ^ [ ] () [( ) ^ ( )] _ [( 0) ^ ( )] () ( ) _ (0 ) 6
D b Rppresento in form ltern l funzione de nit dll formul presente primo membro dell disequzione * + se 0 = + se 0 e ne ottengo pertnto il gr co disegnndo destr dell sse Y l prbol d sse verticle col vertice nel punto di coordinte (; ) e concvità verso l lto, e sinistr dell sse Y l prbol d sse verticle col vertice nel punto di coordinte ( ; 4) e concvità verso il bsso. Aggiungendo l rett di equzione =, 6 4 6 4 4 6 = + nero, = + blu, = mrrone posso già intrvedere lqunto chirmente l struttur dell insieme delle soluzioni, che ppre composto d un semirett e d un intervllo. Per confermre con esttezz l origine dell prim e gli estremi del secondo, considero le equzioni ssocite = 0 e = 0 che risultno bbstnz semplici, con soluzioni = 0 per entrmbe, e = e = rispettivmente. L insieme delle soluzioni è pertnto ( ; )[(0; ). Anche qui è possibile risolvere lmeno l disequzione in vi purmente lgebric, d esempio così jj + < () jj < () [( > 0) ^ (jj < )] _ [( < 0) ^ (jj > )] _ [( = 0) ^ (0 < 0)] () [( > 0) ^ ( < < )] _ [( < 0) ^ f( < ) _ ( > )g] () (0 < < ) _ ( < ) 7
D c Procedo come nel cso precedente l rppresentzione in form ltern dell funzione de nit dll formul primo membro è = * + + + se 0 se 0 pertnto ne ottengo il gr co disegnndo destr dell sse Y l iperbole equilter con sintoto orizzontle di equzione =, sintoto verticle di equzione =, e rmi nei qudrnti dispri (d bc = < 0), e disegnndo sinistr dell sse Y l iperbole equilter con sintoto orizzontle di equzione =, sintoto verticle di equzione =, e rmi nei qudrnti dispri (d bc = < 0). Aggiungendo l rett di equzione = 4, 6 4 6 4 4 6 4 = + nero, = + + blu, = 6 4 mrrone intrvedo nche qui bbstnz chirmente l struttur dell insieme delle soluzioni, costituito dll unione di due semirette con un intervllo. Le due equzioni ssocite sono + = 4 e + + = 4 con soluzioni = 7 l prim e = 7 dell disequzione è pertnto ; l second. L insieme delle soluzioni 7 [ ; 7 [ (; +).
L soluzione purmente lgebric dell disequzione può procedere distinguendo i due bituli csi emergenti per l presenz del vlore ssoluto denomintore * + jj 4 () >< > >< > 0 + 4 + 0 + 4 + >< () > 0 7 0 0 >< () > + 7 0 Nel primo sistem l non negtività dell frzione richiede concordi di segno tr numertore e denomintore, individundo due possibilità 0 < e 7 oppure > e 7 che identi cno l intervllo 0; 7 e l semirett (; +); nel secondo sistem l non positività dell frzione richiede discordi di segno tr numertore e denomintore, individundo due ulteriori possibilità < e 7 oppure < 0 e 7 7 che identi cno l semirett ; e l intervllo ( ; 0]. Unendo i due intervlli, che risultno dicenti, risult confermt l soluzione ottenut per vi gr c. 9
E 6 4 R 4 4 6 0 4 r P R' T s H T' r' s'' P' 6 Q L rett r contenente l ltezz reltiv l lto P Q è l rett per R perpendicolre l lto P Q, e quindi ll rett r 0 per P e Q; pertnto, scrivo l equzione di r 0 0 = P Q = 7 b 0 = (P Q) = c 0 = P Q QP = 4 r 0 7 4 = 0 Ogni perpendicolre d r 0 h i coe cienti delle incognite scmbiti di posto e in un segno; tr di esse determino r imponendo l termine noto di grntire il pssggio per R = b = 7 c = ( R + b R ) = r + 7 = 0 Per le equzioni prmetriche di r posso utilizzre proprio i coe cienti ( 0 ; b 0 ), che (come sempre nell equzione crtesin di un rett nel pino) identi cno un direzione perpendicolre ll rett r 0 e quindi l lto P Q, cioè ppunto l direzione di r = R + 0 t = + 7t = R + b 0 t = t 0
Procedendo nello stesso modo per l rett s contenente l ltezz reltiv l lto QR, scrivo l equzione dell rett s 00 per Q ed R 00 = R Q = b 00 = ( R Q ) = 6 c 00 = R Q Q R = 4 s 00 + 6 + 4 = 0 e, più semplicemente, 4 + + = 0 e determino s scmbindo di posto e in un segno i coe cienti delle incognite nell equzione di s 00 e imponendo l termine noto di grntire il pssggio per P = b = 4 c = P + b P = s 4 = 0 Le equzioni prmetriche di s sono poi = P + 00 u = + u = P + b 00 u = + 6u Per trovre il punto di incidenz delle due rette metto sistem le loro equzioni e procedo come d uso col metodo di eliminzione < I (r) + 7 = 0 < I + 6 = 0 II (s) 4 = 0 II 4 = 0 < I II = 0 I = 7 + < r\s = r\s = Ho ritrovto le coordinte del punto P, e questo mi conferm qunto suggerito dll gur l ltezz reltiv l lto P Q, contenendo P, non è ltro che il lto P R; in ltre prole, l ngolo in P è retto. Uso le formule presentte lezione e discusse nello svolgimento del 4 gruppo di esercizi (punto D), utilizzndo pesi e per le coordinte di P ed R l ne di ottenere quelle del punto R 0 simmetrico di R rispetto P R 0 = P R = R 0 = P R = 0 Per il simmetrico (ortogonle) di P rispetto ll rett contenente il lto QR (rett s 00 ), determino il piede H dell ltezz d P QR (intersezione tr s ed
s 00 ) < < I (s 00 ) 4 + + = 0 II (s) 4 = 0 4I + II = 0 I 4 = < < 4I 6 + + = 0 II 9 = 0 H = H = e costruisco P 0 come simmetrico di P rispetto d H con le formule precedenti P 0 = H P = P 0 = H P = L divisione del lto QR in prti di lunghezze in rpporto di 7 00, cioè di 4, si ottiene combinndo le coordinte di Q ed R con pesi + 4 e 4 + 4 (vedi ncor lo svolgimento del 4 gruppo di esercizi) T = 7 Q + 4 7 R = 4 7 T 0 = 4 7 Q + 7 R = 0 7 T = 7 Q + 4 7 R = 0 7 T 0 = 4 7 Q + 7 R = 7