INTEGRALI INDEFINITI Se F(x) è un primitiv di f(x), llor le funzioni F(x) + c, con c numero rele qulsisi, sono tutte e sole le primitive di f(x). Precismente:! se F(x) è un primitiv di f (x), llor nche F(x) + c lo è;! se F(x) e G(x) sono entrme primitive di f(x), llor G(x) - F(x) = c. Tutte le funzioni hnno l stess derivt perché nei punti con l stess sciss hnno tngente prllel. L funzione integrnd è f(x) mentre l vriile di integrzione è l vriile x. L funzione primitiv F(x) che si ottiene per c = 0 si chim primitiv fondmentle. Significto del simolo: l ricord un S llungt, mentre dx indic l vriile rispetto ll qule si f l operzione di integrle indefinito. Un funzione che mmette un primitiv, ne mmette infinite e si dice integrile. TEOREMA di CONTINUITÀ/INTEGRABILITÀ ; HP) Si f un funzione continu in [ ] TH) Allor f è integrile in [ ; ] Quindi: f è derivile f è continu f è integrile L continuità è un Condizione Sufficiente per l integrilità (mentre non tutte le funzioni continue sono derivili; st pensre lle funzioni con i punti ngolosi ) Le proprietà di linerità si possono sintetizzre come: c! f x + c! g(x) dx = c! f x dx + c! g x dx, c!, c! R. In sintesi, l integrle è un opertore linere. 1
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INTEGRALI DEFINITI <=Il Trpezoide TEOREMA introduttivo ll integrle definito ; HP) Se un funzione f è continu in [ ] TH) Allor i limiti per n + delle successioni e S n n (successione delle ree dei plurirettngoli inscritti e circoscritti rispettivmente) esistono finiti e sono uguli fr loro: lim s = lim S n + n s n + Il vlore comune di tle limite viene indicto con l scrittur ( ) f x dx si chim estremo inferiore; si chim estremo superiore. n Are trpezoide compres tr il plurirettngolo inscritto e il plurirettngolo circoscritto. f x 0 L integrle definito è sempre un numero rele (positivo, negtivo o nullo), diversmente dll integrle indefinito che è un insieme di funzioni. Per convenzione si pone: Proprietà dell integrle definito: Es. f x = ln x in 0,1; e 4
(1) TEOREMI DEL CALCOLO INTEGRALE Dim. pg. 2008 (us il T di Weierstrss e il T. dei vlori intermedi) Interpretzione geometric: se l funzione è positiv in ;, il Teorem dell Medi Integrle esprime l uguglinz fr l re! del trpezoide (indict d f(x) dx) e l re del rettngolo di se e ltezz f(z) dove z è un prticolre vlore in ;.! Il vlore f(z) si chim ppunto vlor medio dell funzione f x in ; : f ( z) f ( x)dx = Definizione Si f x un funzione continu in ; e si x ; un generico vlore. Si chim Funzione Integrle di f in ;, l funzione: F x x ( )dt che ssoci d ogni x ; il numero rele f ( t)dt ( ) = f t x Se l funzione f è positiv in ;, l funzione integrle F(x) rppresent l re del trpezoide ABCD e dipende d x. (2) N.B. Questo teorem colleg il concetto di integrle definito con quello di integrle indefinito (*) Dim. pg. 2011 (us il T dell medi integrle) (*) L derivt di F(x) coincide con il vlore che l funzione integrnd f ssume nell estremo vriile x di integrzione, oss x D f ( t)dt = f ( x). Pertnto l integrle indefinito dell funzione f, inteso come totlità delle sue primitive, si esprime come x f ( x)dx = f ( t )dt + c, con c R. (3) FORMULA DI NEWTON LEIBNIZ (riduce il clcolo di integrli definiti quello di integrli indefiniti) L integrle definito di un funzione continu f(x) è ugule ll differenz tr i vlori ssunti d un qulunque primitiv φ(x) di f(x) rispettivmente nell estremo superiore e nell estremo inferiore: x= f ( x)dx = ϕ ( ) ϕ ( ) = ϕ ( x) Dim. pg. 2012 (us il T fondmentle del clcolo integrle) x= 5
CALCOLO DELLE AREE DI SUPERFICI PIANE Per clcolre le ree, è opportuno vere il grfico dell funzione Se f(x)>0: Se f(x)<0: Se f(x) h segno vriile: N.B. Tle formul non cmi se entrme le funzioni sono trslte in verticle. CALCOLO DEI VOLUMI DEI SOLIDI (di rotzione e non) Metodo delle fette per il clcolo di volumi di solidi V = S ( x )dx dove S (x) è il vlore dell re di un generic sezione pin ottenut tglindo il solido in questione con un pino perpendicolre ll sse x in suo punto generico. 6
APPROFONDIMENTI SUL CALCOLO DI AREE 7
CALCOLO DEI VOLUMI DEI SOLIDI (nche rispetto ll sse y) Anlogmente per il metodo delle sezioni (o delle fette ) Sezioni con pini perpendicolri ll sse x Se S(x) è l re dell generic sezione del solido (ottenut con un pino perpendicolre ll sse x) pssnte per il punto di (x;0) il volume del solido è: Sezioni con pini perpendicolri ll sse y Se S(y) è l re dell generic sezione del solido (ottenut con un pino perpendicolre ll sse y) pssnte per il punto di (0;y) il volume del solido è: V = S(x) dx V = S(y) dy 8
INTEGRALI IMPROPRI 9