CORSO DI ELETTRONICA DELLE TELECOMUNICAZIONI Prima prova in itinere - 5 MAGGIO 005 DOMANDE DI TEORIA 1) Qual è il vantaio di un ricevitore zero-if rispetto alla struttura a supereterodina? ) Che utilità ha e quali caratteristiche deve avere una rete di adattamento? Giustificare le risposte e presentare un tipo di rete di adattamento a scelta, analizzandola ESERCIZI ES1 Il circuito in fiura 1 è un mixer a reiezione di immaine utilizzato in down-conversion 1) Qual è il ruolo dei due filtro passa basso all uscita del mixer? E dei due circuiti RC e CR? ) E ω LO = π GHz e all inresso sono presenti due senali, uno centrato a ω 1 = π 19 GHz, di ampiezza A 1, e il secondo centrato a ω = π 1 GHz, di ampiezza A Quale dei due senali appare all uscita IF? (iustificare la risposta, scrivendo l espressione dei senali nei punti A e B indicati in fiura) Che valore deve avere il prodotto RC? 3) Si assuma un errore di uadano tra i due cammini pari a G, e uno sfasamento pari a θ Dimostrare che il rapporto tra la reiezione dell immaine e il uadano del senale è pari a: IRR = ( G/G) / 4 + ( θ) / 4 (nel calcolo assumerne G << G e θ <<1 rad) A IN sin (ω LO t) R C IF out C B cos (ω LO t) R Fiura 1 ES Si consideri il circuito in fiura, il transistore lavora in zona attiva diretta, e la base è polarizzata in tensione Il condensatore C I (di disaccoppiamento) si può considerare cortocircuitato alle frequenze del senale di inresso Il carico risonante ha L = 5 nh, C = 0 pf, Q = 5 1) Calcolare alla frequenza di risonanza del carico, la resistenza parallelo del tank Quanto vale il uadano V out /I in a tale risonanza? Quanto la banda a 3 db di tale uadano? ) Sapendo che il transistore ha β = 100 e resistenza di base pari a r bb = 00 Ω, calcolare i due eneratori di rumore equivalenti all inresso In, alla frequenza di risonanza del tank
(Si consideri sempre C I in corto circuito, e non si dimentichi il contributo del carico) Calcolare la cifra di rumore dello stadio, considerando, al solito, una impedenza sorente di 50 Ω 3) Calcolare il rapporto senale rumore all uscita, sapendo che il senale ha una banda di 0 MHz, centrata attorno alla risonanza del carico che l impedenza di sorente è 50 Ω, e che la potenza del senale di inresso è 80dBm Vdd L C Vb Out I in 05 ma C I In Fiura
ELETTRONICA DELLE TELECOMUNICAZIONI 5 Maio 005 Prima prova in itinere SOLUZIONE ESERCIZI ES1 1) Il ruolo dei due filtri passa-basso all uscita dei mixer è quello di eliminare le componenti spettrali alla frequenza somma ω RF +ω LO, lasciando inalterato il senale alla frequenza intermedia ω RF -ω LO Le due reti RC e CR costituiscono invece deli sfasatori La prima rete ritarda il senale di inresso, mentre la seconda rete lo anticipa Se la frequenza del polo RC viene posizionata in corrispondenza della frequenza intermedia: 1 RC = ω IF la rete RC ritarda il senale proveniente dal primo mixer di π/4, mentre la rete CR anticipa il senale proveniente dal secondo mixer di π/4 E facile dimostrare che entrambe le reti attenuano il senale dello stesso fattore 1/ ) All uscita del primo filtro passa-basso, ossia all inresso della rete RC, il senale è: x t = A cosωt sinω t + A cosω t sinω t = 1 1 LO A1 A = sin LO + LO mentre all inresso della rete CR abbiamo: Definiamo la frequenza intermedia ω IF come: e riscriviamo le espressioni di x(t) e y(t): ( ω ω ) t sin( ω ω ) 1 y t = A1cosω1t cosωlot + Acosωt cosωlot = A1 A = cos( ωlo ω1) t + cos( ωlo ω) t ω = ω ω1 = ω ω = π 100 IF LO LO MHz A1 A x() t = sinωift sinωift A1 A y() t = cosωift + cosωift t LO
(ATTENZIONE al seno meno nell espressione di x(t)) A questo punto, sceliendo frequenza del polo RC coincidente con ω IF, come osservato nel punto 1, i due senali nei punti A e B sono: A1 A At () = sin ωift sin ωift 4 4 A1 A B() t = cos ωift + + cos ωift + 4 4 ossia x(t) e y(t) attenuati di un fattore 1/ e ritardati/anticipati di π/4, rispettivamente All uscita del mixer si ha la somma A+B: A1 A At () + Bt () = sin ωift + cos ωift + cos ωift + sin ωift 4 4 4 4 Sfruttando la relazione cos x = sin (π/-x) si ottiene: A1 A At () + Bt () = sin ωift sin ωift + cos ωift + + cos ωift = 4 4 4 4 A = cos ωift + 4 Come si può notare, il senale di ampiezza A 1 e pulsazione ω LO -ω IF viene completamente cancellato nella somma, mentre sopravvive solo il senale di ampiezza A e pulsazione ω LO +ω IF 3) Per tener conto di errori di uadano e fase tra i due cammini, esprimiamo i due senali A e B nel seuente modo: A1 A At () = G sin ωift G sin ωift 4 4 A1 A B() t = ( G+ G) cos ωift + + θ + ( G+ G) cos ωift + + θ 4 4 dove G è l errore di uadano tra i due cammini e θ è l errore di fase A questo punto la somma dei due senali diventa: A1 G At () + Bt () = G sin ωift 1+ sin ωift + θ + 4 G 4 A G + G 1+ cos ωift + + θ + cos ωift G 4 4
Utilizzando le formule di addizione e sottrazione deli anoli: A π π 1 G G At () + Bt () = G 1 1+ cos θ sin ωift + 1+ sin θ cos ωift + G 4 G 4 A π π G G + G 1+ 1+ cos θ cos ωift + 1+ sin θ sin ωift G 4 G 4 e approssimando cos θ 1 e sin θ θ: A1 G G At () + Bt () = G sin ωift + 1+ θ cos ωift + G 4 G 4 A G G + G + cos ωift + + θ 1+ θ sin ωift G 4 G 4 Calcoliamo ora il rapporto tra il quadrato del uadano visto dalla componente A 1 (idealmente pari a zero) e il uadano visto dalla componente A (idealmente pari a 1/ ): G G + 1+ θ = G G IRR G G + + 1+ θ G G ricordando che G/G<<1 ed eliminando i termini trascurabili, si arriva all espressione: G + θ G IRR 4 ES 1) La frequenza di risonanza del carico vale: f 0 1 = = 503 GHz π LC La resistenza equivalente parallelo alla risonanza è data da: RP = ω0lq = 790Ω La transconduttanza del transistor bipolare è pari a: m = IBIAS ϕ = 05mA = 0 ma/ V 5mV th
e il uadano a centro banda dello stadio: Vout Iin = R P La banda a 3dB è semplicemente data da: f B = 0 = 1 GHz Q ) I eneratori di rumore da considerare sono quattro: - il rumore di tensione della resistenza r bb, v b, avente densità spettrale di potenza 4kTr bb ; - il rumore di corrente di base, i b, avente densità spettrale qi B = qi BIAS /β; - il rumore di corrente di collettore, i c, con densità spettrale qi C = qi BIAS ; - il rumore di tensione v R della resistenza equivalente R P : 4kTR P Iniziamo a calcolare il eneratore equivalente di corrente i n A questo scopo, lasciamo l inresso in circuito aperto e calcoliamo il rumore di tensione in uscita dovuto ai eneratori di rumore (ATTENZIONE! Siccome non sappiamo a priori se i due eneratori saranno correlati, aspettiamo ad esprimere i rumori in termini di densità spettrali di potenza) - i rumori v b e i c vedono un uadano nullo verso l uscita, poiché il transistor è deenerato dal eneratore di corrente ideale; - il rumore della resistenza del tank, v R, si trova direttamente in uscita; - il rumore della corrente di base, i b, ricircola nel transistor e viene interamente iniettato nella resistenza R P Quindi otteniamo: vout = vr + Ri P b A questo punto eliminiamo i eneratori di rumore e consideriamo un eneratore di corrente i n all inresso dello stadio (corrente entrante nello stadio) Il suo trasferimento verso l uscita è: v out = Ri P n Uualiando le due espressioni precedenti, si ottiene: i n v = i + R b R P Nel caso del eneratore equivalente di tensione v n, cortocircuitiamo l inresso e calcoliamo il rumore di tensione all uscita dovuto ai eneratori di rumore: - il rumore della resistenza del tank, v R, è ancora direttamente in uscita; - il rumore della corrente di collettore scorre interamente nella resistenza di carico R P ; - il rumore di tensione v b e di corrente i b si trasferiscono verso l uscita, poiché il transistor non è più deenerato dal eneratore di corrente (il suo emettitore è a massa) Si ottiene:
β m rbb β m v = v R i + R v + R i r + β r + β out R P c m P b m P b bb m bb m Utilizziamo l approssimazione (lecita) r bb <<β/ m : vout = vr RP ic + mrpvb + rbbmrp i b Ponendo il eneratore di tensione v n all inresso dello stadio, l uscita è data da: Uualiando le due espressioni precedenti, si ha: vout mrpv n vr ic v = + v + r i R n b bb b m P m Notiamo che i due eneratori equivalenti di rumore sono correlati, a causa della presenza dei termini comuni v R e i b Di conseuenza è necessario ricorrere all espressione enerale della NF: NF = 1+ / v + Ri f n n 4kTR Si ottiene: NF = 1+ ib 1 1 vr 1 ic vb rbb + R + + R + + f RP m f m f f 4kTR Sostituendo le densità spettrali di potenza, otteniamo: NF = 1+ r + R I BIAS 1 1 1 q + + R 4kTR + β RP m m qi + 4kTr 4kTR bb P BIAS bb Il risultato è NF=5875 (177 db) 3) La potenza disponibile di rumore all inresso si calcola come: P = kt NF B = 933dBm Il rapporto senale rumore è quindi pari a 133dB N