Politecnico di Milano IV Facoltà di Ingegneria Fondamenti di Economia Aziendale ed Impiantistica Industriale Impiego della programmazione lineare nella progettazione degli impianti
Cosa significa progettare un impianto? Individuare la miglior configurazione di risorse tecniche, umane ed economico-finanziarie (limitate) e le corrispondenti modalità di gestione, finalizzate alla realizzazione di un prodotto/servizio, coerentemente con un obiettivo economico prestabilito. dimensionamento e bilanciamento dei fattori di produzione (impianti, forza lavoro, spazio, infrastrutture, capitale, ecc.) allocazione dei fattori di produzione a prodotti/servizi alternativi accanto all obiettivo economico esistono altri obiettivi non monetizzabili, quali: sicurezza, ambiente, innovazione, ecc. il grado di vincolo sulla limitatezza delle risorse è da valutare in relazione all orizzonte temporale di analisi FEAII - La programmazione lineare -2-
Cosa significa progettare un impianto? Formulazione analitica del problema Funzioni di produzione j = quantità di prodotto ( n) f i = fattore di produzione ( m)... n = = ϕ ϕ ( f,..., f ) m ( f,..., f ) m m Funzione Obiettivo P j = prezzo di vendita c j =costo di produzione ma MC tot n = ( P ) j c j j j= Vincoli disponibilità risorse f F... fm Fm FEAII - La programmazione lineare -3-
Cosa significa progettare un impianto? Dati del problema: tipo e caratteristiche del prodotto/servizio processo tecnologico di fabbricazione/erogazione Scelte progettuali: definire numero e localizzazione dei centri di produzione; definire la capacità produttiva (pezzi buoni/unità di tempo) dimensionare i fattori di produzione organizzare gli spazi interni alla fabbrica (progettazione del layout) definire le modalità di gestione e organizzazione dei fattori di produzione FEAII - La programmazione lineare -4-
Con quali criteri? ) Massimizzazione della redditività / minimizzazione dei costi Criteri di valutazione di investimento: NPV, IRR, PB, etc. Margine di contribuzione : ma MC tot n = j= ( P ) j c j j Costi totali di produzione : min CV tot n = j= c j j FEAII - La programmazione lineare -5-
Con quali criteri? 2) Economie di scala Costi C = C 0 P P 0 m * m : fattore di scala (<) C 0 I costi di impianto aumentano meno che proporzionalmente rispetto alla potenzialità (dimensioni) degli stessi P 0 Potenzialità (taglia) FEAII - La programmazione lineare -6-
Con quali criteri? 3) Trade-off tra costi di impianto e di esercizio Costi [ /anno] C TOTALI CAE = n V 0 ( i ) k= + k C IMPIANTO (es. fabbricati, macchinari, mezzi, attrezzature, montaggio, etc.) Ottimo C ESERCIZIO (es. energia, materie prime, personale, manutenzione, parti di ricambio, etc.) Prestazione tecnica FEAII - La programmazione lineare -7-
Con quali strumenti quantitativi? Programmazione Lineare Teoria delle code Simulazione Intelligenza artificiale (Neural Networks, ) FEAII - La programmazione lineare -8-
L azienda Scarpacomoda S.p.A. Modelli: Lusso 4 Casual 3 Margine unitario Magazzino cuoio 800 paia/gg Reparto 000 paia/gg modello Lusso tempo lavorazione doppio rispetto a Casual Finitura Lusso 400 paia/gg Finitura Casual 700 paia/gg Qual è il mi di scarpe Lusso e Casual che massimizza il profitto dell azienda? FEAII - La programmazione lineare -9-
L azienda Scarpacomoda S.p.A. Impostazione analitica del problema Variabili: = produzione giornaliera Lusso 2 = produzione giornaliera Casual Funzione obiettivo: ma(z = 4 + 3 2 ) Funzioni di produzione: reparto 2 + 2 <= 000 finitura lusso <= 400 finitura casual 2 <= 700 Limiti sulle risorse magazzino cuoio + 2 <= 800 FEAII - La programmazione lineare -0 -
L azienda Scarpacomoda S.p.A. Regione ammissibile 2 In un sistema di assi cartesiani ortogonali (, 2 ) è possibile tracciare le 4 rette che corrispondono alle condizioni di vincolo La condizione di disuguaglianza individua un insieme di punti tutti dalla stessa banda rispetto ad una retta nel piano 000 900 800 700 600 500 400 300 2 + 2 = 000 = 400 2 = 700 Pertanto si ottiene un poligono delle soluzioni possibili 200 00 0 + 2 = 800 0 00 200 300 400 500 600 700 800 900 000 FEAII - La programmazione lineare - -
L azienda Scarpacomoda S.p.A. 2 Funzione obiettivo 000 900 800 700 600 500 400 300 z = 4 + 3 2 La funzione obiettivo (di profitto) corrisponde graficamente ad un fascio di rette ad inclinazione costante (- 4/3) z= 2,6 0 3 z= 2 0 3 200 00 0 z= 0 3 0 00 200 300 400 500 600 700 800 900 000 FEAII - La programmazione lineare -2 -
L azienda Scarpacomoda S.p.A. 2 000 900 800 700 600 500 400 ( =200, 2 =600) Soluzione ottima L ultimo punto (il più distante) appartenente al poligono delle soluzioni base rappresenta la soluzione ottima in corrispondenza della quale si ha il massimo profitto (z=2.600) z= 2,6 0 3 300 z= 2 0 3 200 00 z= 0 3 0 0 00 200 300 400 500 600 700 800 900 000 FEAII - La programmazione lineare -3 -
Programmazione Lineare Tecnica di Ricerca Operativa di supporto alla presa di decisioni che riguardano l allocazione ottimale delle risorse (es. impianti, mdo, capitale, tempo, spazio, materie prime, ) in un contesto di breve termine in cui non èmodificabile la disponibilitàdi risorse Pianificazione della produzione (mi fattori di produzione) Strategie di produzione (allocazione risorse) Schedulazione Ottimizzazione di ricette e scelta materie prime Scelta portafoglio investimenti... FEAII - La programmazione lineare -4 -
Caratteristiche di un problema di Programmazione Lineare Considerando j = quantità di prodotto j-esimo (j =,,n) f i = consumo del fattore produttivo i-esimo (i =,,m) b i = quantità ma disponibile del fattore produttivo i-esimo c j = costo unitario P j = prezzo unitario a ij = coefficienti di impiego (= tassi di assorbimento dei fattori) a ij = f i j FEAII - La programmazione lineare -5 -
Caratteristiche di un problema di Programmazione Lineare Massimizzazione o minimizzazione di una funzione obiettivo (es. profitto, costo, ) z z C P = = n j= n c j ( P ) j cj j= j j DA MINIMIZZARE DA MASSIMIZZARE LINEARI SE c j = costante P j = costante FEAII - La programmazione lineare -6 -
Caratteristiche di un problema di Programmazione Lineare a a a 2 m Presenza di vincoli che limitano le possibilità di perseguire l obiettivo (es. disponibilità risorse, ) + + a a 2 22 m2 2 2 2 +... + +... + n a 2n... + a +... + a a mn + ULTERIORI CONDIZIONI DI VINCOLO n n n b b 2 b m colonna = consumo degli m fattori per produrre la quantità j Esprime i legami tecnologici tra impieghi e risorse riga = bilancio di un fattore Esprime i limiti di disponibilità delle risorse j 0 per j =,...,n Esprime le condizioni di non-negatività FEAII - La programmazione lineare -7 -
Caratteristiche di un problema di Programmazione Lineare I vincoli devono essere espressi come disequazioni lineari legame lineare tra quantita di prodotto realizzata (d j ) e consumo di fattore produttivo (df i ) a f i ij = = j cos t Effetti della legge dei rendimenti decrescenti trascurabili Non si considerano variazioni marginali nei consumi dei fattori produttivi BREVE PERIODO e TECNOLOGIE EVOLUTE FEAII - La programmazione lineare -8 -
Caratteristiche di un problema di Programmazione Lineare ) Massimizzazione o minimizzazione di una funzione obiettivo (es. profitto, costo, ) 2) Presenza di vincoli che limitano le possibilità di perseguire l obiettivo (es. disponibilità risorse) 3) Esistenza di corsi d azione alternativi tra cui scegliere 4) La FO e i vincoli devono essere espressi come disequazioni lineari FEAII - La programmazione lineare -9 -
Formalizzazione di un problema di Programmazione Lineare Il poligono delle soluzioni possibili è convesso in quanto ottenuto per successive eliminazioni di semipiani Una retta a profitto costante può avere solo nessuno, uno o infiniti punti in comune con il confine del poligono La soluzione ottima si trova necessariamente sul confine del poligono (su un lato o su un vertice) : in definitiva si avranno una sola o infinite soluzioni ottime Se la soluzione ottima è unica, essa è anche una soluzione base Per trovare la soluzione ottima non è necessario esplorare l intero campo delle soluzioni possibili, ma ci si può limitare all insieme delle soluzioni base ( Metodo del Simplesso) FEAII - La programmazione lineare -20 -
Formalizzazione di un problema di Programmazione Lineare n incognite proprie:,, n m variabili di slack (una per vincolo): S,, S m Il poliedro delle soluzioni èdelimitato da piani di equazione: i = 0 (piani coordinati) S j = 0 (piani di limitazione) Ogni soluzione base è individuata da n relazioni del tipo: i = 0 oppure S j = 0 FEAII - La programmazione lineare -2 -
Formalizzazione di un problema di Programmazione Lineare Equazioni di vincolo a a a 2 m + + a 2 22 m2 2 2 2 n 2n... + a a +... + a +... + a +... + a mn n n + + n S S + 2 S = = m b b = 2 b m j 0 per j =,...,n FEAII - La programmazione lineare -22 -
Algoritmo del simplesso 2 000 900 800 700 600 500 ( =200, 2 =600) (s =200, s 2 =00, s 3 =0, s 4 =0) Soluzioni base del caso Scarpacomoda S.p.A. Il problema in esame è indeterminato in quanto è un sistema di 4 equazioni in 6 incognite (, 2, S, S 2, S 3, S 4 ) 400 300 200 00 0 ( =400, 2 =200) (s =0, s 2 =500, s 3 =200, s 4 =0) 0 00 200 300 400 500 600 700 800 900 000 ( =0, 2 =0) (s =400, s 2 =700, s 3 =800, s 4 =000) ( =400, 2 =0) (s =0, s 2 =600, s 3 =400, s 4 =200) La soluzione ottima coincide con la utilizzazione totale del cuoio e alla completa saturazione della capacità produttiva del Reparto (S 3 =S 4 =0 ) FEAII - La programmazione lineare -23 -
Analisi di sensitività 2 000 900 800 700 600 500 400 300 200 00 z = 6 + 3 2 z = 4 + 2 2 ( =200, 2 =600) Coefficienti della Funzione obiettivo Profitto Lusso : 3-4 - 6 Profitto Casual : 2-3 - 4 z = 3 + 3 2 z = 4 + 4 2 0 0 00 200 300 400 500 600 700 800 900 000 FEAII - La programmazione lineare -24 -
Analisi di sensitività 2 000 900 800 700 600 500 z= 2,6 0 3 Disponibilità delle risorse Risorsa : capacità produttiva Reparto Prezzo ombra : Range : 0.9 -.2 400 300 z= 2,8 0 3 200 2 + 2 =.2 00 0 2 + 2 = 0 00 200 300 400 500 600 700 800 900 000 FEAII - La programmazione lineare -25 -
Analisi di sensitività 2 000 900 800 700 600 500 400 300 200 z= 2,5 0 3 z= 2,6 0 3 Disponibilità delle risorse Risorsa : capacità produttiva Reparto Prezzo ombra : Range : 0.9 -.2 2 + 2 = 00 0 2 + 2 = 0.9 0 00 200 300 400 500 600 700 800 900 000 FEAII - La programmazione lineare -26 -
Programmazione lineare con Ecel Problema Variabili (X, X 2 ) Funzione Obiettivo formula = f (X, X 2 ) Condizioni di vincolo, espresse in funzione delle variabili FEAII - La programmazione lineare -27 -
Programmazione lineare con Ecel Funzione Obiettivo Variabili (X, X 2 ) Condizioni di vincolo FEAII - La programmazione lineare -28 -
La Molisana S.p.A. Per mantenere alto il livello qualitativo della pasta prodotta, la semola deve avere uno standard minimo di contenuto di alcuni principi nutritivi fondamentali, quali: proteine, riboflavina, fosforo e magnesio. PROBLEMA: Determinare la ricetta della semola, realizzata con tipologie diverse di grano (A, B, C), che soddisfi i requisiti qualitativi al minimo costo, sulla base di: contenuto di proteine, riboflavina, fosforo e magnesio per ciascuna tipologia di grano costo unitario di ciascuna tipologia di grano requisiti nutrizionali (proteine, ) FEAII - La programmazione lineare -29 -
La Molisana S.p.A. Dati del problema Standard Grano A Grano B Grano C Costo per chilo [ ] 0.470 0.330 0.380 Proteine [gr/kg] 26 22 28 2 Riboflavina [gr/kg] 7 6 4 25 Fosforo [gr/kg] 6,8 8 7 9 Magnesio [gr/kg] 0,425 5 0 6 FEAII - La programmazione lineare -30 -
La Molisana S.p.A. Impostazione del problema Variabili Funzione obiettivo Vincoli FEAII - La programmazione lineare -3 -
Il caso GALAXY DATI DEL PROBLEMA La Galay èun azienda produttrice di giocattoli che realizza due modelli di pistole ad acqua : Space Ray e Zapper. Entrambi gli articoli sono realizzati esclusivamente in materiale plastico. Le due risorse critiche nel processo di fabbricazione sono : - la quantità di materiale plastico disponibile a settimana : 200 kg - le ore settimanali disponibili per la produzione : 40 ore L ufficio Marketing della Galay ha inoltre stabilito un volume massimo di produzione settimanale pari a 800 unità di pistole ad acqua dei due tipi, con un ulteriore vincolo legato al mi di vendita : le vendite settimanali di Space Ray non devono superare quelle di Zapper di oltre 450 unità. Nella tabella sottostante sono riportati i dati di assorbimento delle risorse produttive e il margine di contribuzione unitario Modello margine unitario kg plastica/pezzo min lavorati/pezzo Space Ray $8 2 3 Zapper $5 4 Attualmente la Galay produce 550 unità di Space Ray e 00 di Zapper, con un ricavo settimanale di 4900 $. Esiste un programma di produzione più redditizio? FEAII - La programmazione lineare -32 -
Il caso GALAXY VARIANTE DEL CASO BASE A seguito di un approfondita analisi di mercato l ufficio Marketing della Galay ha stabilito che a partire dal prossimo mese la produzione settimanali dei due modelli dovrà adeguarsi alla richiesta del marcato : 70% di Space Ray e 30% Zapper. Assumendo tassativo il vincolo sul mi di produzione e considerando che la nuova politica commerciale porterà ad un cambiamento nei margini di contribuzione unitari per i due modelli di pistole ($8,5 per Space Ray e 4,5$ per Zapper), determinare il valore ottimale di produzione che consentiràalla Galaydi massimizzare i suoi ricavi FEAII - La programmazione lineare -33 -
Il caso Powerco La Powerco èun autoproduttore di energia elettrica e dispone di 3 centrali elettriche per alimentare il fabbisogno di energia richiesto da 4 aree metropolitane. Ogni impianto di generazione può rifornire le seguenti quantità di elettricità (espresse in milioni di kwh): Impianto Impianto 2 Impianto 3 Energia generata 35 50 40 La richiesta di energia elettrica da parte delle 4 città (in termini di milioni di kwh) è pari a : Città Città 2 Città 3 Città 4 Energia assorbita 45 20 30 30 Noto infine il costo di distribuzione dell energia da ciascun impianto alle 4 città (euro per milione di kwh), si chiede di determinare la scelta più conveniente di distribuzione dell energia (impianti / città). Città Città 2 Città 3 Città 4 Impianto 8 6 0 9 Impianto 2 9 2 3 7 Impianto 3 4 9 6 5 FEAII - La programmazione lineare -34 -