Esercizi di Geometri - Foglio Corso di Lure in Mtemtic A. Sottospzi ffini. Esercizio A.1 Esempi e non-esempi di sottospzi ffini Determinre quli dei seguenti insiemi sono sottospzi ffini (precisndo di qule spzio vettorile V, e l loro gicitur): (i) l unione r s di due rette r, s del pino R, pssnti per l origine; (ii) S = {X K n X soluzione del sistem AX = 0} (A mtrice fisst); (iii) S = {X K n X soluzione del sistem AX = b} (A, b fissti, b 0). Nei csi (ii) e (iii), se K = R, cos rppresentno geometricmente le righe dell mtrice A? (iv) l insieme delle mtrici tringolri superiori T (n, K); (v) l insieme delle mtrici T r 0 (n, K) con trcci ugule 0; (vi) K n [T ] = {polinomi p(t ) K[T ] di grdo n}; (vii) T K[T ] = {polinomi p(t ) K[T ] con termine noto nullo}; (viii) S 0 (R) = {successioni(s n ) vlori in R tli che lim n s n = 1}; (ix) F x0,0([, b], R) = {f : [, b] R t.c. f(x 0 ) = 0} (x 0 [, b] fissto); (x) F x0,1([, b], R) = {f : [, b] R t.c. f(x 0 ) = 1} (x 0 [, b] fissto). Esercizio A. Spzio ffine generto Si V uno spzio vettorile su K, e si A = + A un suo sottospzio ffine, di gicitur A. Mostrre che: (i) se A non è uno spzio vettorile, llor A A = ; (ii) se è un punto qulsisi di A, llor si h nche A = + A. (iii) si h A = { P Q P, Q A}; Si or B = b + B un ltro sottospzio ffine di V, con gicitur B. (iv) Mostrre che A B, se non è vuoto, è un sottospzio ffine (qul è l su gicitur?) (v) In quli csi A B è un sottospzio ffine? Il più piccolo sottospzio ffine di V che contiene si A si B è denotto Spn ff (A, B) (perché non A + B?) (vi) Se A B, cos è Spn ff (A, B)? Qul è l su gicitur? 1
Esercizio B.1 B. Rette e pini Prmetrizzzioni ffini e equzioni crtesine di rette (i) Dre un prmetrizzzione ffine dell rett r di R pssnte per P = (1, 1) e di direzione v = (1, ), e dell rett s pssnte per i punti (distinti) P = (1, 1) e Q = (1, ); determinre quindi le loro equzioni crtesine. (ii) Dre un prmetrizzzione ffine dell rett r di R 3 pssnte per il punto P = (1, 0, 1) e di direzione v = (1,, 3), e dell rett s pssnte per i punti P = (1, 0, 1) e Q = (0, 1, 0); determinre quindi le loro equzioni crtesine. (iii) Dre un prmetrizzzione ffine dell rett r di R 4 pssnte per P = (1, 1, 1, 1) e di direzione v = (1,, 3, 4), e dell rett s pssnte per P = (1, 0, 1, 0) e Q = (0, 1, 0, 1); determinre quindi le loro equzioni crtesine. Esercizio B. Prmetrizzzioni ffini e equzioni crtesine di pini (i) Dre un prmetrizzzione ffine del pino σ di R 3 pssnte per P = (1, 1, 1) e di gicitur ugule Spn(u = e 1 3e 3, v = e + 3e 3 ); determinre quindi l su equzione crtesin. Dre un prmetrizzzione ffine del pino σ pssnte per i punti P = (1, 1, 1), Q = (1,, 3) e R = (3,, 1); determinre quindi l su equzione crtesin. (ii) Dre un prmetrizzzione ffine del pino σ di R 4 pssnte per P = (1, 0, 1, 0) e di gicitur ugule Spn(e 1, e 4 ); determinre quindi le sue equzioni crtesine. Dre un prmetrizzzione ffine del pino σ pssnte per i punti P = (1, 0, 1, 0), Q = (0, 1, 0, 1) e R = (1, 1, 1, 1); determinre quindi l su equzione crtesin. Esercizio B.3 Distnz punto-rett nel pino (i) Sino P = (p 1, p ) e r un rett di R di equzione 1 x 1 + x + b = 0. Mostrre che l distnz di P d r è dt dll formul: d(p, r) = 1p 1 + p + b 1 + (ii) Si clcoli quindi l distnz del punto { P = (, 3) dll rett r di x = 1 t equzione x y + = 0 e dll rett s : y = 1 + t. Esercizio B.4 Distnz punto-pino nello spzio (i) Mostrre che se un pino di R 3 h equzione σ : x 1 +bx +cx 3 = d llor il vettore v = (, b, c) è ortogonle ll gicitur σ. Trovre quindi il pino σ pssnte per l origine ed ortogonle ll rett di equzioni { x y + z = 0 r : x + y z = 0 (ii) Sino P = (p 1, p, p 3 ) e σ un pino di R 3 di equzione crtesin 1 x 1 + x + 3 x 3 + b = 0. Mostrre che l distnz di P d σ è dt dll formul: d(p, σ) = 1p 1 + p + 3 p 3 + b 1 + + 3
Esercizio B.5 Distnz tr due rette nello spzio Clcolre l distnz tr le seguenti rette dello spzio: { x = t x + y = 0 r : r : y = 1 t x y + z = 1 z = t Primo Metodo (senz clcolre l rett ortogonle ed incidente r, r ): () determinre il pino τ contenente r e prllelo d r ; (b) clcolre l distnz di un punto qulsisi di r d τ usndo l formul per l distnz punto-pino. Secondo Metodo: (i) si verific che non sono incidenti (ii) se sono prllele, si prende un punto P qulsisi su r, e si trov l su proiezione P 0 su r ; quindi si clcol d(p, P 0 ) (iii) se non sono né incidenti né prllele, llor le rette sono sghembre ed esiste un unic direzione ortogonle i vettori direzione r, r di r, r : è l direzione n = r r (iv) si trov il pino σ contenente r e di gicitur Spn{ r, n}; nlogmente si trov il pino σ contenente r e di gicitur Spn{ r, n}; (v) l rett n = σ σ è incidente r ed r, ed è ortogonle d entrmbe (dimostrrlo!) (vi) detti P = n r e P = n r, si h d(r, r ) = d(p, P ) (perché?) Terzo Metodo: (i)& (ii) come sopr; (iii) scrivere l equzione F λ = 0 del fscio di pini di sse r, e l equzione F λ = 0 del fscio di pini di sse r (iv) considerre l rett n λ,λ di equzione F λ = F λ = 0 e determinrne (usndo 11.) un vettore direzione n λ,λ (v) imporre che n λ,λ si ortogonle d r, r Esercizio B.6 Posizioni reciproche di rette e pini nel pino e nello spzio Si dimostri nliticmente che (i) le possibili posizioni reciproche di due rette in un pino sono: coincidenti, incidenti, prllele; (ii) le possibili posizione reciproche di due rette nello spzio sono: coincidenti, incidenti in un punto, prllele, sghembe; (iii) le possibili posizione reciproche di un pino π e un rett r nello spzio sono: r contenut in π, r (debolmente) prllel pi, incidenti in un punto; (iv) le possibili posizione reciproche di due pini nello spzio sono: coincidenti, incidenti in un rett, prlleli. 3
Esercizio B.7 Mostrre che se un rett r di R 3 h equzioni crtesine { x1 + bx + cx 3 = d x 1 + b x + c x 3 = d llor un vettore direzione di r è dto d v = (, b, c) (, b, c ). Esercizio B.8 Si considerino: (i) nel pino, le rette r 1, r descritte d { x = 1 + 3t r 1 : y = + t r : y x 1 = 0 Si trovi: l equzione crtesin di r 1 ed un prmetrizzzione di r ; l eventule punto di intersezione tr r 1 ed r ; l ngolo tr r 1 ed r ; l equzione crtesin delle rette s 1 pssnti per S = (1, 1) che è perpendicolre r 1. (ii) nello spzio, l rett r 1 dello spzio, pssnte per P 1 = (3, 0, 4) e Q 1 = ( 1,, ), e l rett r, pssnte per P = (,, 5) e Q = (0, 0, 3). Si trovi: le equzioni prmetriche e crtesine di r 1 ed r ; l eventule punto di intersezione tr r ed r ; l ngolo tr r 1 ed r. Esercizio B.9 Si trovino le equzioni dell rett s nei seguenti csi: (i) s pss per l origine ed è complnre r : x 1 = y = z 3 ed r : x 1 = y = z ; (ii) s incide le rette r, r del punto (i) ed è loro ortogonle; (iii) s pssnte per l origine e (debolmente) prllel i pini π : x+y+z = 1, π : x + y + z = 1; (iv) s pssnte per l origine e che form ngolo π/4 con π, π del punto (iii). Esercizio B.10 Si trovi l equzione del pino π nei seguenti csi: (i) π contiene l rett r : x + y + z 1 = x z + 0 e f ngolo π con l sse x; 6 (ii) π pss per il punto P = (1,, 3), è debolmente prllelo ll sse y ed h distnz 1 dll origine (cf. 13.1(ii)). 4
C. Un pizzico di geometri in dimensione n > 3. Esercizio C.1 Si consideri lo spzio R 4. Determinre: (i) l equzione crtesin dell iperpino h pssnte per P = (1, 1, 1, 1) e ortogonle v = (1,, 3, 4); (ii) l equzione crtesin dell iperpino h 4 pssnte per e 1, e, e 3 ed e 4 ; (iii) l dimensione del sottospzio ffine h h 4 ; Esercizio C. (i) Sino P = (p 1,..., p n ) e σ un iperpino di R n di equzione crtesin 1 x 1 +... + n x n + b = 0. Mostrre che, l distnz di P d σ è dt dll formul: d(p, σ) = 1p 1 +... + n p n + b 1 +... + n (ii) L iperpino fondmentle di R n è l iperpino h n pssnte per gli n punti fondmentli, cioè i punti P i = e i. Scrivere l equzione crtesin di h n. Disegnrlo in R ed in R 3. Clcolre l distnz di O d h n. Dedurre che, prità di spigolo, le tende cndesi bse tringolre sono più scomode in R n+1 che in R n. Esercizio C.3 Si dic, portndo un esempio esplicito per ogni cso, quli sono tutte le possibili posizioni reltive e le intersezioni di: (i) due pini di R 4 ; (ii) due iperpini di R 5. Esercizio C.4 (i) tre punti P 0, P 1, P di R 3? Qunti iperpini pssno per: (ii) quttro punti P 0, P 1, P, P 3 di R 4. Suggerimento: considerre seprtmente il cso in cui i vettori P 0 P i (i > 0) sono linermente dipendenti e quello in cui sono linermente indipendenti. 5