Tecnologie HW per TLC

Tecnologie HW per TLC Circuiti a Microonde (I Lezione) Docente: Macchiarella Giuseppe Politecnico di Milano macchiar@elet.polimi.it http://www.elet.polimi.it/upload/macchiar/indice.html 2005 - G. Macchiarella

Parametri Concentrati e Distribuiti Quando le dimensioni fisiche dei componenti di un circuito sono molto inferiori della lunghezza d onda (alla frequenza di funzionamento), il circuito si dice a parametri concentrati; in questo caso le dimensioni fisiche dei componenti non influenzano il funzionamento del circuito. Quando le dimensioni fisiche dei componenti diventano comparabili con la lunghezza d onda il circuito é detto a parametri distribuiti; in questo caso é necessario ricorrere alle leggi dell elettromagnetismo per studiare il comportamento del circuito. Il componente fondamentale dei circuiti a parametri distribuiti é la linea di trasmissione; é costituita da una struttura fisica in cui una dimensione (convenzionalmente indicata con z) risulta molto maggiore delle altre. Se sono verificate opportune condizioni, é possibile trasmettere energia elettromagnetica lungo la suddetta dimensione (propagazione guidata)

Linee di Trasmissione: Propagazione per onde v + (z) Rappresentazione schematica di una linea di trasmissione z Definizione matematica dell onda di tensione che si propaga verso la z crescente: ω 0 v ( z) = ( V e ) e + j t γ z 0 L onda é un fasore (cioé un vettore rotante) sia nel tempo (termine tra parentesi) che lungo la direzione z (secondo termine).

Significato della costante di propagazione γ Posto γ=α+jβ, si ha: ( ) 0 v ( z) = V e e e + jω t α z jβ z Costante di attenuazione α: Indica la rapiditá con cui si riduce l ampiezza dell onda che si propaga. Si misura in Neper/m o in db/m (1Np = 8.686 db) Costante di fase β: Indica la rapiditá con cui cambia la fase lungo la coordinata z (per t=cost). E legata alla lunghezza d onda e alla pulsazione dalla relazione β=2π/λ 0 =ω/ν (ν rappresenta la velocitá di propagazione che dipende dal mezzo che riempe la linea). β si misura in rad/sec.

Parametri primari della linea Sezione z L z R z C z G z Gli elementi R, L, C, G, sono detti parametri primari della linea di trasmissione. Dipendono dalla struttura fisica della linea e dal mezzo che la riempe. Utilizzando i parametri primari si possono ricavare le equazioni che governano la propagazione sulla linea (si impongono le equazioni di Kircoff alla maglia e al nodo sul tratto di lunghezza infinitesima e si integra)

Parametri secondari Impedenza Caratteristica (Z c ): é l impedenza che si vede all ingresso di una linea di lunghezza infinita (é presente solo l onda che si propaga verso le z crescenti) Costante propagazione γ=α+jβ Formule di calcolo in funzione dei parametri primari: L 1 R 1 Zc =, α= + G Zc, β = ω L C C 2Z 2 c Queste relazioni sono valide per ω>> R/L, G/C; tali condizioni sono in pratica sempre verificate se la frequenza operativa è superiore a qualche decina di MHz.

Tensioni e correnti sulla linea I(z) V(z) v + (z) v - (z) + jβz - Vz () = v () z+ v () z= V0e + V0e Z L + - V0 jβz V0 Iz () = i () z+ i () z= e e Z Z z + + jβz + + jβz c c v +, i + : Onde Incidenti v -, i - : Onde Riflesse L onda riflessa di tensione ha lo stesso segno dell onda incidente; l onda riflessa di corrente ha segno opposto rispetto a quella incidente. Entrambe sono legate tramite l impedenza caratteristica della linea Le onde riflesse si generano quando si introduce una disuniformitá nella struttura fisica della linea (nel caso rappresentato é il carico). Per annullare l onda riflessa bisogna che Z L sia uguale a Z C.

Coefficiente di riflessione Onda Riflessa V e V Γ ( z) = = = e =Γ e Onda Incidente V e V + jβ z 0 0 + jβ z + 0 0 + j2β z + j2β z 0 Propietá di Γ(z): Il modulo non dipende da z (é costante lungo la linea) La fase presenta, al variare di z, una periodicitá di λ/2 Il modulo é sempre minore di 1 quando il carico é passivo (la potenza riflessa non puó superare quella incidente).

Linea di trasmissione disadattata Quando la linea non é chiusa su una impedenza di carico pari alla sua impedenza caratteristica si genera un onda riflessa La presenza di un onda riflessa determina due effetti dannosi: Perdita di una parte della potenza trasferibile al carico Distorsione del segnale (è dovuta al sovrapporsi di echi ritardati al segnale principale; aumenta di intensitá se anche l impedenza del generatore all inizio della linea non é adattata ) Se l impedenza di carico non coincide con quella della linea bisogna quindi introdurre (tra la linea e il carico) un doppio bipolo (rete di adattamento) che trasforma Z L in Z C Una linea reale, anche se adattata, determina comunque una distorsione (in generale molto piccola) perché: la costante di attenuazione α varia con la frequenza la costante di fase β puó presentare una variazione non lineare con la frequenza (dipende dal modo che si propaga, cioé dalla specifica configurazione del campo elettromagnetico associato all onda)

Andamento del V(z) V V max + + [ 1 Γ ] V(z) = v (z) + v (z) = v (z) + (z) + 0 j2 β z V ( z) = V 1 + Γ e = 0 + V min V min z V 0 + { 2 } 1 + 2 Γ 0 cos( 2β z ) + Γ 0 1 2 La tensione presenta un andamento periodico (stesso periodo di Γ) con massimi e minimi che valgono rispettivamente: V max 1+ Γ, V 1 min Γ Si definisce Rapporto d onda stazionaria (ROS) il rapporto tra queste due tensioni: ROS = V max V min

Impedenza lungo la linea I(z) Z(z) V(z) Z L Z( z) V ( z) = = I( z) Z c 1+ 1 Γ( z) Γ( z) z Esiste una corrispondenza biunivoca tra il valore del coefficiente di riflessione e l impedenza vista in ogni sezione della linea (normalizzata all impedenza caratteristica) OSSERVARE: L impedenza é quella vista verso il carico! Relazione inversa: Γ ( z ) = Z( z) Z( z) + Z Z c c

Impedenza di un tratto di linea chiuso su una Z L generica I(z) V(z) Z c, β L Z L Z in Vin = = I in Z Z jz L L + c tan( β ) c Z + jz tan( βl) c L Casi particolari: Zin = Z Z c L = 0 (corto circuito) Vin L Zin = = jzc tan( β L) = jzc tan(2 π ) I λ in 0 Z L = (circuito aperto) Vin L Zin = = jzc cot( β L) = jzc cot(2 π ) I λ in 0 Z L = Zc (carico adattato) Z in = Z c Z L = jx (carico reattivo) Z jz X+ Zc tan( βl) in = c Z + X tan( β L ) c ( Γ in unitario)

Le linee di trasmissione come elementi circuitali a) Tratto lungo L terminato in corto circuito Z I in V in Z c, β, L I out Vin L = = jz c tan( β L) jz c tan(2π ) 0 0.25 0.5 0.75 L/λ 1 I in = in λ 0 Z in /Z c a) Tratto lungo L terminato in circuito aperto 10 8 6 4 2 0-2 -4-6 -8-10 Z in = I in V in V I in in = jz Z c, β, L c cot( β L) = V out jz c L cot(2π λ 0 Z in /Z c ) 10 8 6 4 2 0-2 -4-6 -8-10 0 0.25 0.5 0.75 L/λ 1

Linee di trasmissione planari Si realizzano mediante deposizione di strati metallici su materiali dielettrici che fungono da supporto. La linea più diffusa di questa categoria è la microstriscia: t Strato dielettrico Strato metallico ε r w h h spessore del substrato w larghezza della strip ε r costante dielettrica relativa del substrato t spessore della metallizzazione

Peculiarità della microstriscia La microstriscia è una struttura non omogenea. Ciò comporta che il campo elettromagnetico non è perfettamente trasverso (cioè non si ha un onda TEM). In questo caso, a rigore, non sono più definibili in modo univoco la tensione e la corrente sulla linea (si conserva solo la potenza). Nella pratica si introduce l approssimazione quasi-tem: vale ancora la descrizione in termini di V e I, assumendo un mezzo omogeneo equivalente, caratterizzato da una costante dielettrica efficace ε r,eff, definita come: ε = C C reff, m 0 C m : Capacità pul della struttura non omogenea C 0 : Capacità pul della struttura in aria (ε r =1) Inoltre ε r,eff risulta funzione della frequenza (e quindi anche la velocità di fase e l impedenza caratteristica. La linea è quindi dispersiva

Rappresentazione grafica di Γ Γ é un numero complesso che puó essere rappresentato sul piano x, y in forma polare Γ Φ 1 Se il numero complesso Γ rappresenta il coefficiente di riflessione su una linea di trasmissione, il punto su piano é sempre all interno del cerchio a raggio unitario -1 1 Γ -1

Rappresentazione grafica di Γ Il coefficiente di riflessione su una linea di trasmissione priva di perdite si rappresenta sul piano come un cerchio di raggio pari al Γ. La fase varia di 360 per uno spostamento di λ/2 sulla linea d c Γ b a Punti caratteristici: Linea adattata Γ =0 ( centro della carta) Circuito Aperto Γ =1 (a) Corto circuito Γ =-1 (d) Massimo di tensione sulla linea (b) (Γ reale e positivo) Minimo di tensione sulla linea (c) (Γ reale e negativo)

Carta di Smith Sul piano di rappresentazione di Γ si possono tracciare le curve che rappresentano il luogo dei punti in cui la parte reale (o la parte immaginaria) di z n =Z/Z c rimane costante: Γ () z + 1 Re{ Zin} = Re = cost ( r) Γ() z 1 Γ () z + 1 Im{ Zin} = Im = cost ( x) Γ() z 1 Queste curve sono dei cerchi, il cui raggio e centro dipendono dal valore di r o x. La Carta di Smith é la rappresentazione grafica di tali cerchi, che consente di risolvere, per via grafica, molti problemi relativi all impiego di linee di trasmissione nei circuiti a microonde.

Angolo di Γ (si misura in gradi o in L/λ 0 Verso il generatore Cerchio a x = 1 Verso il carico Cerchio a r = 1 Asse di riferimento

Rappresentazione delle ammettenze sulla Carta di Smith Γ Impedenza nel punto Γ: z n 1+ Γ = 1 Γ Γ φ Π+φ Impedenza nel punto Γ : ( π+ φ) j jφ 1 Γ 1 Γ e 1+Γe 1+Γ 1 z n = = = = = j( π+ φ) jφ 1+Γ 1+Γe 1 Γe 1 Γ z n Il punto diametralmente opposto presenta l inverso dell impedenza del punto originale, cioè la sua ammettenza. La carta di Smith può rappresentare indifferentemente Z o Y

Carta di Smith Elettronica Esistono tool software che implementano la carta di Smith su computer. In tal caso si possono tracciare sulla carta anche i cerchi a g e b costante e avere contemporaneamente la rappresentazione di Z e Y. Cerchi a Y cost Cerchi a Z cost Cerchi a Z ey cost

Definizione dei punti sulla Carta di Smith Dato un carico (descritto da Γ, Z, Y), il posizionamento dello stesso sulla Carta di Smith può avvenire nei seguenti modi: Γ: si riporta sul piano complesso il numero complesso Γ. Z: si individuano cerchi a r e x costanti e se ne valuta l intersezione. Y: si individuano cerchi a g e b costanti e se ne valuta l intersezione.

Spostamenti a Γ costante sulla Carta di Smith Γ0 0 Γ x Γ L ( x) ( x ) j2βx j Γ j4π 0 λ Γ = Γ0 e = Γ0 e e j 2βd j Γ j4π L Γ ( d ) = ΓL e = ΓL e e Spostamenti su linee senza perdite Asse d d 0 Asse x Spostamenti su cerchi a Γ costante (circonferenze centrate nell origine) Spostamenti verso il carico spostamenti lungo x crescente ( x) = Γ βx Γ 2 0 + Rotazione antioraria Verso il generatore spostamenti lungo x decrescente ( x) = Γ L βd Γ 2 Z L Rotazione oraria NOTA: Γ (e z) è una funzione periodica della distanza con periodo λ/2 ( d ) λ

Spostamento a x costante r Carta di Smith Spostamenti a r o x Costanti x L Γ L z L = r L + jx L Γ in z in = (r L + r) + jx L r L r in = r+r L Spostamento a r costante jx x L Γ L Γ in x in = x L + x z L = r L + jx L z in = r L + j(x L + x) r L

Carta di Smith Spostamenti a g o b Costanti Con solo cerchi in Z Con cerchi in Z e Y Spostamenti a b costante Γ L g L Γ L b L g y L = g L + jb L Γ in Γ I,in Γ in y in = (g L + g) + jb L Spostamenti a g costante jb y L = g L + jb L b Γ I,L L Γ I,in b in =b L +b g in =g L + g g L Γ L Γ L b L y in = g L + j(b L + b) b L Γ I,L Γ in g L Γ in b in =b L +b

Trasformazione di impedenza Z g (Γ g ) Z in (Γ in ) V g, Rete di Trasformazione Z L (Γ L ) In genere Z L e Z in sono specificati e bisogna sintetizzare la rete di trasformazione (si assume composta di soli elementi reattivi). La realizzazione dell adattamento è caso particolare di trasformazione di impedenza: in questo Z in deve coincidere con il complesso-coniugato dell impedenza Z g del generatore collegato all ingresso della rete (così tutta la potenza disponibile dal generatore viene trasferita sul carico). Condizione di adattamento: Z = Z, Γ = Γ * * in g in g

Adattamenti Stub in c.c. o c.a. Stub: tratto di linea chiuso su un corto circuito oppure su un circuito aperto Z in φ=βd Stub in c.c. Zin = jzc tan( ϕ ) Z c jyc Yin = tan( ϕ ) Z in Stub in c.a. φ=βd Zin = Yin = tan( ϕ ) Z c jy tan( ϕ ) c jz c Ai morsetti terminali gli stub equivalgono ad elementi privi di perdite collegabili: In serie In parallelo

Adattamenti Dimensionamento Stub Dimensionamento analitico: data la reattanza (suscettanza) da realizzare si calcola la lunghezza dello stub invertendo le formule della slide precedente. Dimensionamento con carta di Smith: si disegna sulla carta il punto corrispondente alla reattanza (suscettanza) da realizzare e si misura in senso orario l angolo (2φ=2βD) che lo separa, a seconda del caso, dal punto di c.c. o c.a. ( D = φ/2β). Esempio: Dimensionamento di uno stub in c.c.; si mostra la risoluzione sulle due carte. b φ=βd c.c. (C.Imp.) c.c. (C.Amm.) 2φ = 2βD c.c. (C.Imp.) b Es: b = -0.5 2φ = 126.9º b 2φ = 2βD

Adattamenti Adattatore con Linea λ/4 Osservazione: una linea di lunghezza λ/4 rappresenta un invertitore di impedenza: λ/4 Z in Z 0 Z L Z in = Z Z 2 0 L R g λ/4 Z 0 jx Z L = R L + jx L 2 Z0 * Z in = = Z = R + j L g g ( X + X ) L X = X L R Z in Z ~ Z 0 = R g R L Note: Lo stesso principio può essere applicato con le ammettenze. La reattanza (o suscettanza) può essere realizzata con componenti a costanti concentrate oppure con stub. L utilizzo di imp. car. non standard può essere un problema. Y 0 G g = G g G L, jb B G L + + jb L = B L

Adattamenti Adattatore a Singolo Stub Stub (in c.c. o c.a.) impiegati per realizzare una reattanza serie oppure una suscettanza parallelo. In condizioni d adattamento: Γ in = 0 ( y in = 1) Y c A B d C jb Y c y L = g L +jb L Osservazione: la rete permette, in sequenza: Uno spostamento a Γ= cost. (linea d) Uno spostamento a g= cost. (suscettanza b) y in = g B + j(b B + b) = 1 Procedimento Si dimensiona d in modo da trasformare Γ L in un punto Γ B sul cerchio g =1. Si dimensiona b per muovere Γ B al centro della carta (Γ in =0). Si progetta lo stub che realizza la suscettanza b. Nota È possibile realizzare lo stesso adattatore in forma duale con una reattanza serie. Γ in Γ B Γ L Γ B deve appartenere al cerchio g= 1

Adattamenti Singolo Stub Esempio/1 ESEMPIO: Y C A B d C jb x Z c = 50 Ω; Z G = Z c ; ε r = 4; f 0 = 3 GHz; y L = Y L /Y c = 0.25+0.75j Y c 0.25+ +j0.75 Γ I,L 2βd ΓI,B Γ 0 Γ B Γ L Cerchio Γ = Γ L Cerchio g = 1 1 zl 1 yl 1 Determinaz. di Γ L : Γ L = = 0.73 76 Γ 1 I, L = ΓL = 0.73 104 z + 1 y + 1 Dimensionamento di d: L 2βd 60.7 0. 337π L Γ L d 2βd 0 Γ B 0.337π = 2 2πf ε r c = Γ L 4.2 mm

Adattamenti Singolo Stub Esempio/2 Y c A B d C jb x Y c 0.25+ +j0.75 Γ I,L 2βd ΓI,B Γ in Γ 0 Γ B Γ L Γ I,in =Γ in Cerchio Γ = Γ L Cerchio g = 1 Cerchio b = b B Dimensionamento di b x : Γ B = Γ Γ L 2βd Γ B I, B 0.73 136.7, B = 1+ b } B y j2. 12 b x Γ L y 0 = y B +jb x = 1+j(b x + 2.12)=1 b x = -2.12 Dim. stub (es. in c.c.): 2βL 0.28π L 3.5 mm x x 2βL x c.c.

Adattamenti Adattatore a Doppio Stub Si utilizzano due stub (chiusi in c.c. o c.a.) separati da un tratto di linea di lunghezza d fissata per realizzare due reattanze serie oppure due suscettanze parallelo. Y c A B d C y L = g L +jb L Ipotesi: generatore adattato alla linea In condizioni d adattamento: Γ in = 0 ( y in = 1) Osservazione: la rete permette, in sequenza, a partire dal carico: Un primo spostamento a g= cost. (suscettanza b 2 ) Uno spostamento a Γ= cost. (linea d) Un secondo spostamento a g= cost. (suscettanza b 1 ) y in = g B + j(b B + b 1 ) = 1 Γ B deve appartenere al cerchio g= 1 lo spostamento a d costante deve trasformare Γ C in un punto sul cerchio g=1 Γ in Γ B jb 1 Y c Γ C D jb 2 Γ L Γ L viene trasformato in Γ C attraverso uno spostamento sul cerchio g= g L

Adattamenti Adattatore a Doppio Stub - Procedimento Γ C deve appartenere nello stesso tempo: Al cerchio g= g L sul quale ci si muove tramite la suscettanza b 2. Al luogo dei punti che, ruotati in senso orario di un angolo 2βd, cadono sul cerchio g= 1, cioè allo stesso cerchio g= 1 ruotato in senso antiorario di 2βd. Dunque: 1. Si disegnano i cerchi g= g L e g= 1 ruotato: le intersezioni tra questi due cerchi sono punti ammissibili per Γ C. Γ B g= g L g= g G Γ = Γ C Γ L 2. Si dimensiona b 2 per trasformare Γ L in Γ C. b 2 = b C -b L 3. Si disegna il cerchio Γ = Γ C e si compie una rotazione oraria di angolo 2βd fino al punto Γ B che deve cadere sul cerchio g= 1 (non ruotato). 4. Si dimensiona b 1 per trasformare Γ B in Γ in. b 1 = b in -b B = -b B 2βd Γ C Γ in g= g G ruotato

Adattamenti Doppio Stub Esempio/1 ESEMPIO: g G Z c = 50 Ω; Z G = Y c ; ε r = 4; f 0 = 3 GHz; y L = Y L /Y c = 0.25+0.75j d = 7.5 mm A B d C jb 1 Y c D jb 2 0.25+ +0.75j g= g L Γ in Γ B Cerchi g= g L e g=1 ruotato Γ C Γ C Γ L 2πf 0 2βd = 2 d = c ε b 678 C = 0.61 19.8, y = 0.25 + j0. 164 Dimensionamento di b 2 : C r 3 π 5 3 π 5 [ y ] Im[ y ] = 0. 59 b2 = bc bl = Im C L Γ L Γ C g= 1 ruotato

Adattamenti Doppio Stub Esempio/2 g G A B d C jb 1 Y c D jb 2 0.25+ +0.75j Γ = Γ C g= g L Γ in Γ B Γ C Γ L Γ in Cerchio Γ = Γ C e rotazione oraria di 2βd [rad] Γ B b 678 B = 0.61 127.8, y = 1+ j1. 540 B Γ B Γ C Dimensionamento di b 1 : Dim. stub b 1 in c.c.: Dim. stub b 2 in c.c: b1 = bb = 1.540 3 π 5 Γ L ( 1 b ) 1 = 0.58 rad L 4.6 mm ( 1 b ) = 1.04 rad L 8.3 mm 1 ϕ1 = βl1 = tan 1 = 1 ϕ2 = βl2 = tan 2 2 = g= 1 ruotato

Adattamenti Adattatore a Doppio Stub - Note Le dimensioni lineari dell adattatore sono costanti al variare del carico. Adattamenti diversi si possono ottenere modificando esclusivamente gli stub. Fissata la lunghezza d, esiste una regione proibita nella quale giacciono tutti i punti Γ L per i quali la struttura non è in grado di effettuare l adattamento. Ciò accade quando il cerchio g= g L ed il cerchio g=1 ruotato non hanno intersezioni. g= g G ruotato È possibile realizzare lo stesso adattatore in forma duale con una reattanza serie. 2βd

Reti di adattamento ad elementi concentrati (1) RETE 1 Zg = Rg + jxg Z B X s B p Y L = G L + jb L Condizione di adattamento: Z A * 1 ZA = ZB Rg + j( Xg + Xs) = GL + j( Bp + BL) * da cui si ottengono i due elementi X s e B P della rete: B X p s = ± G R = ± G g L L ( R G ) 1 B Condizione di g L [ G ( )] L 1 Rg GL X g L realizzabilitá: < 1 R g G L

Reti di adattamento ad elementi concentrati (2) RETE 2 Y g = G g + jb g Y B Z L = R L + jx L X s B p Condizione di adattamento: * 1 YA = YB Gg + j( Bg + Bs) = RL + j( Xs + XL) da cui si ottengono i due elementi X s e B P della rete: Y A * X B s p = ± G = ± R R g L ( G R ) 1 X L g L L Condizione di [ R ( 1 G R )] B L g L g realizzabilitá: RG < 1 L g

Rete (2): Soluzione con carta di Smith Dati: Impedenza del carico (arrivo): Z L =0.7 + j 0.7 Ammettenza del generatore (partenza): Y G =0.5 j.45 Procedura 1. Tracciare i cerchio a R=R L e G=G G 2. Dal carico Z L muoversi sul cerchio a R cost fino ad una delle intersezioni con il cerchio a G=cost. La variazione di X rappresenta l elemento Xs 3. Dall intersezione, muoversi sul cerchio a G=cost fino al punto che rappresenta Y L. La variazione di B costituisce l elemento Bp. Y g = G g + jb g Y B Z L = R L + jx L X s B p Xs = 0.254 Bp = 0.23 Y A

1 N Circuito a microonde 2 3 Sezioni di riferimento (Bocche) 5 4 Un circuito a microonde è costituito dall interconnessione di elementi distribuiti e concentrati; l interazione con il mondo esterno avviene tramite linee di trasmissione (bocche), ad una sezione di riferimento specificata

Definizioni di Guadagno di Potenza z S i 1 i 2 v in v 1 Doppio Bipolo v 2 P P out disp P in z L P disp = Potenza disponibile dal generatore P in = Potenza entrante nell amplificatore P out = Potenza sul carico (P out ) disp = Potenza disponibile all uscita dell amplificatore Guadagno di Potenza G p = P out /P in Guadagno Disponibile di Potenza G a = (P out ) disp /P disp Guadagno Trasduttivo di Potenza G p = P out /P disp

Definizione delle onde di potenza a i b i Impedenza Di riferim Zc Bocca i-esima Circuito (1/2) a i 2 : Onda di potenza incidente = Potenza disponibile da un generatore con impedenza interna pari a Zc (1/2) b i 2 : Onda di potenza riflessa = Differenza tra la potenza disponibile e quella assorbita dalla bocca

Relazione tra le onde di potenza e Ie tensioni e correnti V g,i Z c,i a i I i V i Circuito a i V + Z = I, V Z b = I 2 Re 2 Re * i c, i i i c, i i i { Zci, } { Zci, } b i V = V + V = Z I Z I + * + i i i c i c i { Zci} { Zci} { } { } { Zci} Re 1 1 Re 2 a = V = Z I a = V = Potenza disponibile dalla sorgente, + + 2, + i Re * i c, i i i 2 i Zci, 2 2 Zci, { Zci} Re 1 1 Re b = V = Z I b = V = Potenza riflessa all'ingresso, 2, 2 i i Re c, i i i 2 i Zci, 2 2 Zci, 2 2 * ( ) { } 1 1 a b = Re V I = P 2 2 i i i i IN, i

Parametri di Scatter Z c,5... Z c,n Z c,4 Circuito a microonde Z c,1 Z c,3 Z c,2 Per un circuito a microonde composto da elementi lineari si può scrivere la seguente relazione: b = s a + s a +... + s a 1 11 1 12 2 1N b = s a + s a +... + s a 2 21 1 22 2 2N... N N b = s a + s a +... + s a N N1 1 N2 2 NN N In forma matriciale: b = S a S s11 K s1 N = M O M sn1 s L NN

Significato dei parametri S s ii = bi a i a k i = 0 Coefficiente di riflessione alla bocca i-esima con le altre bocche adattate (chiuse sulle loro impedenze di riferimento) s ij = bi a j a k j = 0 Coefficiente di trasmissione dalla bocca j- esima alla i-esima con le altre bocche adattate (chiuse sulle loro impedenze di riferimento). Si noti che s ij 2 rappresenta il guadagno trasduttivo tra le due bocche

Proprietà della matrice S Per una rete reciproca S è simmetrica(s ij =s ji ) * Per una rete priva di perdite S è unitaria ( ) Spostando le sezioni di riferimento alle bocche di una distanza d i si ottiene una nuva matrice S data da S = Φ S Φ, con Φ matrice diagonale i cui elementi sono costituiti da exp(jβd i ) Dalla matrice S, definita rispetto alle impedenza Z c,i, si può ottenere la matrice S rispetto a differenti impedenze Z c,i mediante le seguenti formule: ( % ) ( ) S = A S Γ U Γ S A% 1 * 1 * con Γ e A matrici diagonali date da: S S = U ( ) ( * 1 1 ) { } ( * )( 2 %, diag A, 1 1 1 ) ii Aii ii ii ii Γ = Z Z Z + Z A = = Γ Γ Γ { ci, }, Z diag { Z ' ci, } Z = diag Z = 12

Discontinuità Quando si interconnettono tra loro gli elementi di un circuito a microonde, bisogna considerare gli effetti prodotti dalla stessa interconnessione. Tali effetti sono determinati dall eccitazione di modi superiori che rimangono localizzati intorno alla giunzione, ma accumulano energia reattiva (elettrica e/o magnetica). Dal punto di vista circuitale l effetto delle discontinuità può essere descritto con circuiti equivalenti o (meglio) mediante matrici di scatter opportunamente calcolate. Z c1 Z c2 Modello Z Giunzione c1 Z c2 Z cs Z cs Discontinuità Cortocircuito

Principali discontinuità in microstrip Open End Gap Step Tee Junction

Esempio: Doppio Stub in microstrip Carico: L=5 mm H=0.8 mm X=66 Ω (L=10.5 nh) W=2.2 mm t=35 µ R=17 Ω ε r =2.55 Z c =50 Ω Microstrip Obbiettivo: S11 < -15 db per 1.025 > f > 0.975 GHZ Obbiettivo: S11 < -15 db per 1.025 > f > 0.975 GHZ Doppio Stub Progetti Iniziale (f 0 =1GHz) : Carico Doppio Stub Carico TLIN ID=TL3 Z0=50 Ohm EL=135 Deg F0=1 GHz TLIN ID=TL1 Z0=50 Ohm EL=8.73 Deg F0=1 GHz TLIN ID=TL2 Z0=50 Ohm EL=135 Deg F0=1 GHz TLIN ID=TL1 Z0=50 Ohm EL=8.73 Deg F0=1 GHz TLOC ID=TL4 Z0=50 Ohm EL=68.2 Deg F0=1 GHz TLOC ID=TL2 Z0=50 Ohm EL=2.06 Deg F0=1 GHz Z IMPED ID=Z1 R=17 Ohm X=66 Ohm TLSC ID=TL5 Z0=50 Ohm EL=12.5 Deg F0=1 GHz TLSC ID=TL4 Z0=50 Ohm EL=44.37 Deg F0=1 GHz Z IMPED ID=Z1 R=17 Ohm X=66 Ohm Soluzione 1: stub in c.a Soluzione 1: stub in c.c

Risposta in frequenza della rete ideale 0-5 DoppioStub Stub in c.c. -10-15 -20-25 Stub in c.a. -30-35 -40 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 Frequency (GHz)

Ottimizzazione della risposta 1. Si definiscono i parametri variabili del circuito da ottimizzare 2. Si definiscono i limiti delle variabili 3. Si definisce l obbiettivo (gli obbiettivi) del progetto 4. Si sceglie un algoritmo di ottimizzazione (ricerca del minimo di una funzione di n variabili) Rete a doppio stub C.A. Parametri variabili: Zc e Lunghezze elettriche delle linee (6 variabili) Algoritmo di ottimizzazione: Random + Gradiente

Rete ideale ottimizzata: progetto della struttura in microstrip Risultato ottimizzazione Parametro Valore iniziale Valore finale Z C1 (Ω) 50 67.4 EL 1 (Gradi) 68.2 56.5 Z C2 (Ω) 50 97.34 EL 2 (Gradi) 135 133.7 Z C3 (Ω) 50 70.6 EL 3 (Gradi) 2.06 13.7 Dimensioni Microstrip (mm) W 1 =1.33, L 1 =32.92; W 2 =0.622, L 2 =79.68; W 3 =1.22, L 3 =8.0;

Risposta in frequenza e Layout 0 DoppioStub -5-10 -15-20 -25-30 -35 Rete ideale Rete in microstrip NOTA: L analisi della rete in microstrip include l effetto delle discontinuità -40 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 Frequency (GHz) Layout della rete in microstrip

Ottimizzazione della rete in microstrip Nuovo Layout: Parametri ottimizzati: Solo lunghezze stub 0 DoppioStub -5 Risposta: -10-15 -20-25 -30-35 -40 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 Frequency (GHz)